复变函数与积分变换期末考试复习知识点

复习要点

一题型

1、填空题（每题3分，共18分）

2、单项选择题（每题3分，共21分）

3、计算题（每题6分，共36分）

4、解答题（4小题，共25分）

二知识点

第一章复数与复变函数

1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。

一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ

2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。

3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。

4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。

5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。

6、理解复变函数的概念。

7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。

例：1.1；1.2

习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5

第二章解析函数

1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。

对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导

2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。

3、了解柯西—黎曼方程。

4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。

例：1.4；2.1；3.1；3.2

习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）

第三章复变函数的积分

1、熟悉复积分的概念及其基本性质。

2、了解复积分计算的一般方法。

3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。

本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。

（1）牛顿—莱布尼茨公式。

（2）柯西积分定理。

（3）柯西积分公式。

（4）高阶导数公式。

（5）复合闭路定理。

注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。

例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1

习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7

第四章级数

1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。

2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。

3、熟悉幂级数的概念，会求幂级数的收敛半径。

4、熟记常见函数（

11

,sin,cos,,

11

z

e z z

z z

-+

）在0

z=的泰勒展开式。

5、会用间接法求函数在指定点处的泰勒展开式。

6、熟悉洛朗级数的概念，会用间接法将函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。

例：1.1；1.2；1.3；2.1；2.2；3.1；3.2；3.3；

习题四：4.2（1）（2）；4.3（1）（3）；4.4（1）

第五章留数

1、会求函数的孤立奇点，并会判孤立奇点的类型（可去奇点、几级极点、本性奇点）。注意：其中方法很多。

2、理解留数的概念，会求函数在各类孤立奇点处的留数。注意理清方法。

3、理解留数定理，并会用留数定理求积分（闭路径）。注意与第三章的部分内容结合起来复习。

例：1.1；1.2；1.3；1.4；1.6；2.1；2.2；2.3

习题五：5.1（1）（2）（4）（6）；5.5（1）（2）（5）；5.6（1）（2）（3）

第七章傅里叶变换

1、熟悉傅氏变换及傅氏逆变换公式。

2、会利用傅氏变换公式求简单函数的傅氏变换。

3、会利用傅氏逆变换公式求简单函数的傅氏逆变换。

4、熟悉单位脉冲函数（两种形式）及其筛选性质（两种形式），会利用筛选性质求积分值。

5、熟记与单位脉冲函数有关的函数的傅氏变换及傅氏逆变换。

例：2.1；2.2；3.1；3.3

习题七：7.5（2）；7.6（2）；7.8

第八章 拉普拉斯变换

1、熟记下列函数的拉氏变换：1,(),,sin ,cos ,,()kt m u t e kt kt t t δ。

2、会利用拉氏变换的线性性质求某些函数的拉氏变换。

3、会求两个函数在区间[0,)+∞上的卷积。

4、会利用留数求拉氏逆变换。

例：1.1；1.2；1.3；1.4；2.1；2.8；2.9；3.1

习题八：8.1（2）（3）；8.2；8.3（1）；8.7；8.8（1）（2）（3）

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