复变函数与积分变换期末考试复习知识点
复变函数与积分变换知识点总复习
解析函数 f (z) 的导数仍为解析函数, 它的 n阶
导数为:
f
(n)
( z0
)
n! 2πi
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2,)
其中C 为在函数 f (z) 的解析区域 D内围绕 z0 的
任何一条正向简单闭曲线, 而且它的内部全含于 D.
8.调和函数与解析函数的关系
调和函数
满足 Laplace
但u iv不是解析函数。
证明：
因为 u x
2x,
2u x 2
2,
u y
2 y,
2u y 2
2,
2u 2u 2 2 0,所以，u是调和函数。 x2 y2
同理 2v 6x2 y 2y3 , 2v 6x2 y 2y3 , x2 (x2 y2 )3 y2 (x2 y2 )3
2v x 2
解：u(x, y) a ln(x2 y2 ),v(x, y) arct an y ,则 x
u 2ax , u 2ay , v y , v x , x x2 y2 y x2 y2 x x2 y2 y x2 y2 在区域x 0内连续，且 u v , v u 在区域x 0上成立时，2a 1, x y x y 即，当a 1 时，函数f (z)在区域x 0内是解析的。
Байду номын сангаас
而 u y2, u 2xy, v 2xy, v x2,在复平面上
x
y
x
y
处处连续，当x y 0时满足C R方程，
故f (z)仅在(0,0)点可导，在复平面上处处不解析。
2）因为f (z) x2 iy,则u(x, y) x2, v(x, y) y,
复变函数与积分变换复习提纲知识
复变函数复习提纲(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：两个复数不能比较大小.2.复数的表示 1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下： 当0,x > arg arctan yz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根 1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
复变函数与积分变换复习重点及 习题
双曲函数 shz ez ez , chz ez ez ；
2
2
shz 奇函数， chz 是偶函数。 shz, chz 在 z 平面内解析，且 shz chz,chz shz 。
（四）解析函数的概念
1．复变函数的导数
1）点可导：
f
z0
=
lim
z 0
f
z0
z
z
f
z0
；
2）区域可导： f z 在区域内点点可导。
c
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设 f z 在单连域 B 内解析， c 为 B 内任一闭曲线，则
f z dz 0
c
6
2．复合闭路定理： 设 f z 在多连域 D 内解析，c 为 D 内任意一条简单闭曲线，c1, c2, cn 是 c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 c1, c2, cn 为
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
(一)复数的概念
1.复数的概念： z x iy ， x, y 是实数, x Re z , y Im z . i2 1.
注：两个复数不能比较大小.
2.复数的表示
1）模： z x2 y2 ；
2）幅角：在 z 0 时，矢量与 x 轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函数）；主值 arg z 是位于 ( , ] 中的幅角。
2 i n!
f
n z0
n
曲线 c 内有多于一个奇点： f z dz
f z dz （ ci 内只有一个奇点 zk ）
c
k 1 ck
n
或： f z dz 2i Re s[ f (z), zk] （留数基本定理）
复变函数和积分变换重要知识点归纳
.WORD.格式.复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z ez z θθ-=3.乘幂与方根1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
复变函数与积分变换知识点
复变函数与积分变换知识点一、复变函数的基本概念与性质：1. 复数及复平面：复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常表示为a+bi，其中i为虚数单位。
复平面是将复数与二维平面上的点一一对应的方法表示复数。
2. 复变函数的定义：复变函数是将复数域上的数映射到复数域上的函数。
通常表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别为实部函数和虚部函数。
3. 复变函数的导数与解析函数：对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若存在导数f'(z)，则称f(z)在z处可导。
若f'(z)在复平面上处处可导，则称f(z)为解析函数。
4.柯西-黎曼方程：柯西-黎曼方程是解析函数的充分必要条件，即u(x,y)和v(x,y)满足柯西-黎曼方程的偏微分方程组。
5.全纯函数与亚纯函数：全纯函数是指在区域上处处可导的函数，亚纯函数是指在其定义域上除有限个孤立点外处处为全纯函数。
二、积分变换的基本概念与性质：1.积分变换的定义：积分变换是将函数f(t)变换为函数F(s)的方法，表示为F(s)=L[f(t)]，其中L为积分变换算符。
常见的积分变换有拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
2. 拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是将函数f(t)变换为复变函数F(s)的变换方法，定义为F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt。
拉普拉斯变换有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
3. 傅里叶变换：傅里叶变换是将函数f(t)变换为复变函数F(ω)的变换方法，定义为F(ω)=∫(-∞,+∞)e^(-iωt)f(t)dt。
傅里叶变换也具有一系列性质，如线性性、平移性、尺度变换等。
4. 反变换：反变换是将复变函数F(s)逆变换为函数f(t)的方法。
对于拉普拉斯变换，反变换为f(t)=1/2πi∫(σ-i∞,σ+i∞)F(s)e^(st)ds；对于傅里叶变换，反变换为f(t)=1/2π∫(-∞,+∞)F(ω)e^(iωt)dω。
复变函数与积分变换复习重点总结
复变函数与积分变换复习重点总结一、复变函数基本概念1.复数的定义与运算规则。
复数由实部和虚部构成，在复平面上表示为点，加减乘除等运算遵循分配律。
2.复平面及相关概念。
复平面是复数集合在直角坐标系上的表示，实部和虚部在坐标轴上的投影分别对应x轴和y轴，共轭复数、模、幅角等概念。
3.复变函数的定义与性质。
复变函数表示为z的其中一种函数，具有实变量函数的性质，例如连续性、可微性等。
二、整函数1.整函数的定义与性质。
整函数指复变函数在全复平面都解析，可以用无穷级数表示为幂级数形式。
2.全纯函数与调和函数。
全纯函数是整函数的一种特殊情况，对应于实变量函数的解析函数，调和函数满足拉普拉斯方程。
3.零点与奇点。
零点是整函数取值为0的点，奇点是整函数在一些点上无定义或有定义但不解析的点。
4.极限定理与唯一性定理。
解析函数具有一致性和唯一性，即零点有稠密性，且相同函数在相同域上必然一致。
三、留数定理1.留数的概念与计算方法。
留数是复变函数在奇点处的残余，可以通过留数公式计算得到，留数与曲线积分的关系。
2. 留数定理与积分公式。
留数定理为计算曲线闭合积分提供了便捷的方法，包括留数定理、Cauchy积分公式、Cauchy积分定理等。
3.洛朗展开与留数计算。
洛朗展开将复变函数表示为一部分主要项和无穷级数项的形式，通过计算主要项的留数可以快速得到积分结果。
四、解析函数与幂级数展开1.解析函数的定义与性质。
解析函数是在一些域上解析的复变函数，具有在其定义域上处处可微的特点，可以表示为幂级数形式。
2.幂级数展开与泰勒级数。
将解析函数表示为幂级数展开的形式，其中泰勒级数是幂级数的一种特殊情况，可以用于近似计算。
3.余项估计与收敛半径。
余项估计用于估计幂级数展开的误差范围，收敛半径表示幂级数展开的有效范围。
4.解析函数的四则运算与复合函数。
解析函数具有基本的四则运算和复合运算规则，可通过幂级数展开来计算。
五、积分变换1.积分变换的基本概念与性质。
复变函数与积分变换重点公式归纳
复变函数与积分变换复习提纲第一章 复变函数一、复变数和复变函数()()()y x iv y x u z f w ,,+== 二、复变函数的极限与连续极限 A z f z z =→)(lim 0连续 )()(lim 00z f z f z z =→第二章 解析函数一、复变函数),(),()(y x iv y x u z f w +==可导与解析的概念。
二、柯西——黎曼方程掌握利用C-R 方程⎪⎩⎪⎨⎧-==x yyx v u v u 判别复变函数的可导性与解析性。
掌握复变函数的导数：yx y x y y x x v iv iu u v iu y fi iv u x f z f +==-=+-=∂∂=+=∂∂=1)('三、初等函数重点掌握初等函数的计算和复数方程的求解。
1、幂函数与根式函数θθθθθin n n n n n e r n i n r i r z w =+=+==)sin (cos )sin (cos 单值函数nk z i n n er z w π2arg 1+== (k =0、1、2、…、n-1) n 多值函数2、指数函数：)sin (cos y i y e e w xz+==性质：（1）单值.（2）复平面上处处解析，zze e =)'(（3）以i π2为周期 3、对数函数ππk i z k z i z Lnz w 2ln )2(arg ln +=++== （k=0、±1、±2……）性质：（1）多值函数,（2）除原点及负实轴处外解析,（3）在单值解析分枝上:kk z z 1)'(ln =。
4、三角函数：2cos iz iz e e z -+= ie e z iziz 2sin --=性质：（1）单值 （2）复平面上处处解析 （3）周期性 （4）无界5、反三角函数（了解）反正弦函数 )1(1sin 2z iz Ln iz Arc w -+== 反余弦函数 )1(1cos 2-+==z z Ln iz Arc w 性质与对数函数的性质相同。
复变函数和积分变换期末整理复习
当点 z 沿直线 z x iy0 ( x )趋于z0 时,有
f (z) z
f (z0 ) z0
1
x x
x0 x0
2
21
例4 研究 f (z) z Re z 的可导性.
当点 z 沿直线 z x0 iy ( y )趋于z0 时,有
f
(z) z
f (z0 ) z0
1
i(
y
0
y0 )
10
2)三角函数
定义 性质
sin z eiz eiz ,称为正弦函数 . 2i
cos z eiz eiz ,称为余弦函数 . 2
(1) sin z 是奇函数,cos z 是偶函数.
sin(z) sin z, cos(z) cos z.
(2) 正弦函数和余弦函数都 以 2π 为周期. sin(z 2) sin z, cos(z 2) cos z.
处解析,且
(ln z) 1 . z
15
4)幂函数
定义 设是任意复数 , 对于z 0, 用下列等式定义
z 的幂函数 : w z e Ln z (z 0).
当 是正实数时 , 补充规定 z 0 时, z 0.
性质 (1) 一般说来, z是一个无穷多值函数 . 当Ln z 取主值 ln z时, z e ln z称为幂函数 z 的主值;
设简单光滑曲线 C 的参数方程是
z z(t ) x(t ) iy(t ) (a t b)
则
C
f
( z )dz
b a
f [z(t )]
z(t )dt.
27
4. 积分的性质
设 f (z), g(z)沿曲线C连续.
(1) C f (z)dz C f (z)dz;
最新大学考试复习资料-复变函数与积分变换重要知识点归纳
复变函数复习重点(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比拟大小，但其模〔为实数〕有大小.1〕模：z=2〕幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z 〔多值函数〕；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3〕()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4〕三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+〞号。
5〕指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二) 复数的运算：假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+± ：1〕假设111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2〕假设121122,i i z z e z z e θθ==, 则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=1） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n nn in z z n i n z e θθθ=+=。
2） 假设(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则122cos sin (0,1,21)nk k z i k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭〔有n 个相异的值〕〔三〕复变函数1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数1〕指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
复变函数与积分变换复习重点
2．复初等函数1）指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z z e e '=。
注：z e 是以2i π为周期的周期函数。
（注意与实函数不同） 1） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2)k =±±（多值函数）； 主值：ln ln arg z z i z =+。
（单值函数）Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且()1lnz z'=；注：负复数也有对数存在。
（与实函数不同）3）乘幂与幂函数：(0)bbLnaae a =≠；(0)bbLnzze z =≠注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1b b z bz -'=。
4）三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z zz z gz ctgz i z z---+====sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同） 2）双曲函数 ,22z z z ze e e e shz chz ---+==；shz奇函数，c h z 是偶函数。
,s h z c h z 在z 平面内解析，且()(),s h z c h z c h z s h z''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数1）点可导：()0f z '=()()000lim z f z z f z z∆→+∆-∆； 2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。
2．解析函数的概念1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导⇔(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C D -条件：,u vu vx yy x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 此时， 有()u v f z i xx∂∂'=+∂∂。
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
ℱ f nx ( j)n F()
4、积分性质
ℱ
x x0
f
xdx
1 F () j
ℱ
(
j
xn)
f
x
d
n F () d n
由 Fourier 变换的微分和积分性质，我们可以利用 Fourier 变换求解微积分方程。
四、卷积和卷积定理
f1(x) * f2 (x) f1( ) f2 (x )d
2、闭路积分： a) f zdz c
利用留数定理，柯西积分公式，高阶导数公式。
b) [u(x, y) iv(x, y)]dz c
三、柯西积分定理：
c f zdz 0
推论 1：积分与路径无关
f zdz z2 f (z)dz
c
z1
推论 2：利用原函数计算积分
z2 z1
f
(z)dz
F(z2 ) F(z1)
第四章 解析函数的级数
一、幂级数及收敛半径：
an (z b)n
n0
1、一个收敛半径为 R（≠0）的幂级数，在收敛圆内的和函数 f (z) 是解析函数，在这个收敛圆内，这
个展开式可以逐项积分和逐项求导，即有：
f 'z nan z bn n1
zb R
z f
0
z dz
n0
z
l an
大学高数复变函数与积分变换复习公式知识点
第一章 复变函数 一、复变数和复变函数
w f z ux, y ivx, y
二、复变函数的极限与连续
极限 lim f (z) A zz0
连续
lim f (z)
zz0
f (z0)
第二章 解析函数
一、复变函数 w f (z) u(x, y) iv(x, y) 可导与解析的概念。
复变函数与积分变换期末考试复习知识点
复习要点一题型1、填空题（每题3分，共18分）2、单项选择题（每题3分，共21分）3、计算题（每题6分，共36分）4、解答题（4小题，共25分）二知识点第一章复数与复变函数1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。
一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。
3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。
4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。
5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
6、理解复变函数的概念。
7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。
例：1.1；1.2习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5第二章解析函数1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。
对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。
3、了解柯西—黎曼方程。
4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。
例：1.4；2.1；3.1；3.2习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）第三章复变函数的积分1、熟悉复积分的概念及其基本性质。
2、了解复积分计算的一般方法。
3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。
本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。
（1）牛顿—莱布尼茨公式。
（2）柯西积分定理。
（3）柯西积分公式。
（4）高阶导数公式。
（5）复合闭路定理。
注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。
例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7第四章级数1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。
2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。
成人高等教育《复变函数与积分变换》复习资料
【重点归纳】(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数,()()Re ,Im x z y z ==.21i =-.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.2.复数的表示1）模：z =2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctanyx之间的关系如下：当0,x >arg arctan yz x =；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z xx y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。
(二)复数的运算1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121212i z z z z e θθ+=；()121122i z z e z z θθ-=3.乘幂与方根1）若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )nnn in z z n i n z e θθθ=+=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习要点
一题型
1、填空题（每题3分，共18分）
2、单项选择题（每题3分，共21分）
3、计算题（每题6分，共36分）
4、解答题（4小题，共25分）
二知识点
第一章复数与复变函数
1、会求复数的各种表示式（一般式、三角式、指数式）。
一般式：z=x+yi 三角式：z=r(cosθ+isinθ) 指数式：z=re iθ
2、会求复数（各种表示式）的模、辐角、辐角主值。
3、掌握复数的四则运算、共轭运算、乘幂运算、方根运算。
4、理解区域、有界域、无界域、单连通域与多连通域等概念。
5、会用复变数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
6、理解复变函数的概念。
7、了解复变函数的极限与连续性的概念，会求常见的复变函数的极限。
例：1.1；1.2
习题一：1.2（2）（3）；1.3；1.5
第二章解析函数
1、理解可导与解析的联系与区别（在一点；在一个区域）。
对于点：解析→可导→连续对于区域：解析↔可导
2、会判别常见函数的解析性，会求常见函数的奇点。
3、了解柯西—黎曼方程。
4、掌握各类初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的定义、性质。
例：1.4；2.1；3.1；3.2
习题二：2.3（1）（2）（3）；2.4；2.9（1）（2）（3）；2.10；2.12（1）（3）
第三章复变函数的积分
1、熟悉复积分的概念及其基本性质。
2、了解复积分计算的一般方法。
3、会求常见的各类积分（包括不闭路径、闭路径）。
本章的主要方法如下，但要注意适用的积分形式。
（1）牛顿—莱布尼茨公式。
（2）柯西积分定理。
（3）柯西积分公式。
（4）高阶导数公式。
（5）复合闭路定理。
注意：上述方法中的（3）（4）（5）可与第五章中的留数定理的应用结合起来复习。
例：1.1；2.1；2.2；3.1；4.1
习题三：3.1（1）；3.3；3.4；3.5；3.6；3.7
第四章级数
1、理解复数项级数的相关概念（收敛、发散、绝对收敛、条件收敛）。
2、会判常见复数项级数的敛散性，包括判绝对收敛和条件收敛。
3、熟悉幂级数的概念，会求幂级数的收敛半径。
4、熟记常见函数（
11
,sin,cos,,
11
z
e z z
z z
-+
）在0
z=的泰勒展开式。
5、会用间接法求函数在指定点处的泰勒展开式。
6、熟悉洛朗级数的概念，会用间接法将函数在指定圆环域内展开成洛朗级数。
例：1.1；1.2；1.3；2.1；2.2；3.1；3.2；3.3；
习题四：4.2（1）（2）；4.3（1）（3）；4.4（1）
第五章留数
1、会求函数的孤立奇点，并会判孤立奇点的类型（可去奇点、几级极点、本性奇点）。
注意：其中方法很多。
2、理解留数的概念，会求函数在各类孤立奇点处的留数。
注意理清方法。
3、理解留数定理，并会用留数定理求积分（闭路径）。
注意与第三章的部分内容结合起来复习。
例：1.1；1.2；1.3；1.4；1.6；2.1；2.2；2.3
习题五：5.1（1）（2）（4）（6）；5.5（1）（2）（5）；5.6（1）（2）（3）
第七章傅里叶变换
1、熟悉傅氏变换及傅氏逆变换公式。
2、会利用傅氏变换公式求简单函数的傅氏变换。
3、会利用傅氏逆变换公式求简单函数的傅氏逆变换。
4、熟悉单位脉冲函数（两种形式）及其筛选性质（两种形式），会利用筛选性质求积分值。
5、熟记与单位脉冲函数有关的函数的傅氏变换及傅氏逆变换。
例：2.1；2.2；3.1；3.3
习题七：7.5（2）；7.6（2）；7.8
第八章 拉普拉斯变换
1、熟记下列函数的拉氏变换：1,(),,sin ,cos ,,()kt m u t e kt kt t t δ。
2、会利用拉氏变换的线性性质求某些函数的拉氏变换。
3、会求两个函数在区间[0,)+∞上的卷积。
4、会利用留数求拉氏逆变换。
例：1.1；1.2；1.3；1.4；2.1；2.8；2.9；3.1
习题八：8.1（2）（3）；8.2；8.3（1）；8.7；8.8（1）（2）（3）
（资料素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。