1979年(高考数学试题文理科)
1979年全国统一高考数学试卷(理科)
1979年全国统一高考数学试卷（理科）一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．2．（6分）（1979•北京）化简．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？4．（6分）叙述并证明勾股定理．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|P D|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．1979年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（6分）（1979•北京）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，求证：x，y，z成等差数列．考点：等差关系的确定．专题：证明题．分析：根据所给的等式进行整理，分解整理成符合完全平方形式，得到一个式子的完全平方等于0，则这个式子等于0，三个变量符合等差数列．解答：证明：∵（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=（x+z）2﹣2•2y（z+x）+4y2=（z+x﹣2y）2=0∴2y=x+z，∴x，y，z成等差数列．点评：本题考查等差数列和整式的整理，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．2．（6分）（1979•北京）化简．考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：由下向上依次运算，1﹣csc2x=﹣cot2x，1﹣=1+tan2x，1﹣=1﹣cos2x．解答：解：原式=．点评：本题考查同角三角函数的基本关系的应用，繁分式的化简采用从下向上依次运算的顺序进行．3．（6分）甲，乙二容器内都盛有酒精，甲有V1公斤，乙有V2公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为m1：n1；，乙中纯酒精与水之比为m2：n2，问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：溶质=溶液×百分比；分别求得甲容器中的纯酒精和水，乙容器中的纯酒精和水，让纯酒精相加后除以水的和即为将两者混合后所得液体中纯酒精与水之比．解答：解：甲中含纯酒精（公斤），含水（公斤）乙中含纯酒精（公斤），含水（公斤）甲乙共含纯酒精=公斤甲乙共含水=公斤混合后，纯酒精与水比为：[m1v1（m2+n2）+m2v2（m1+n1）]：[n1v1（m2+n2）+n2v2（m1+n1）]．点评：考查函数模型的选择与应用，考查列代数式；得到纯酒精的和及纯水的和是解决本题的关键．4．（6分）叙述并证明勾股定理．考点：分析法和综合法．专题：证明题．分析：勾股定理的内容为：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理．它有不同的证明方法，这里我们用面积法来证明．解答：证明：如图左边的正方形是由1个边长为a的正方形和1个边长为b的正方形以及4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．右边的正方形是由1个边长为c的正方形和4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形拼成的．因为这两个正方形的面积相等（边长都是a+b），所以可以列出等式，化简得a2+b2=c2．下面是一个错误证法：解：勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理证明：作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b＞a），斜边长为c．再做一个边长为c的正方形．把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上．过点Q作QP∥BC，交AC于点P．过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N．∵∠BCA=90°，QP∥BC，∴∠MPC=90°，∵BM⊥PQ，∴∠BMP=90°，∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°．∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，∴∠QBM=∠ABC，又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，∴Rt△BMQ≌Rt△BCA．同理可证Rt△QNF≌Rt△AEF．即a2+b2=c2点评：勾股定理是初等几何中的一个基本定理．所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究．故大家要熟练掌握他的内容及证明方法．5．（10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域，设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=α同时在B站测得∠BAP=β，问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？考点：解三角形的实际应用．专题：应用题．分析：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC可分别表示出AC，BC，进而代入S=AC+BC 中，根据d的范围确定cotα+cotβ的范围．解答：解：作PC⊥AB于C，设PC=d，在直角三角形PAC中，AC=d•cotα在直角三角形PC中，BC=d•cotβ∴S=AC+BC=d（cotα+cotβ）当d≤D，即cotα+cotβ≥时，应向外国船发出警告．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．（10分）（1979•北京）设三棱锥D﹣ABC中，∠ADB=∠BDC=∠CDA=直角．求证：△ABC是锐角三角形．考点：棱锥的结构特征；余弦定理的应用；三垂线定理．专题：计算题；证明题．分析：证一求出△ABC的三边，利用余弦定理验证即可．证二利用三垂线定理证明△ABC是锐角三角形．解答：解：证一：设DA=a，DB=b，DC=c，AB=p，BC=q，CA=r．于是p2=a2+b2，q2=b2+c2，r2=c2+a2．由余弦定理：∴∠CAB为锐角．同理，∠ABC，∠BCA也是锐角．证二：作DE⊥BC，E为垂足，因DA垂直于平面DAC，所以DA⊥BC又BC⊥DE，所以BC垂直于平面EAD，从而BC⊥AE及在△ABC中，A在BC边上的垂足E介于B和C之间，因此，∠B和∠C都是锐角，同理可证∠A也是锐角．点评：本题考查棱锥的结构特征，三垂线定理，余弦定理等知识，是中档题．7．（12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x＜0.1，可用：ln（1+x）≈x，取lg2=0.3，ln10=2.3）考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：根据题设条件，年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．然后取自然对数求出年增长率x．解答：解：年增长率x应满足100（1+X）40=500，即（1+X）40=5．取自然对数有40ln（1+x）=ln5．又lg5=1﹣0.3=0.7ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61利用ln（1+x）≈x，则有x≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四．点评：注意挖掘题设中的隐含条件，寻找数量间的等量关系，能够准确求解．8．（12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A，与CF的延长线相交于点B．求证：考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：做出辅助线，根据一个圆周角是直角，得到圆周角所对的弦是直径，根据连接圆心与切点的直线垂直，得到直角，在直角三角形中应用射影定理，得到线段成比例，通过变形得到要征得结论．解答：解：证连接CD，∵∠CFD=90°，∴CD为圆O的直径，又AB切圆O于D，∴CD⊥AB，又在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∴AC2=AD•AB，BC2=BD•BA∴又因BD2=BC•BF，AD2=AC•AE∴由（1）与（2）得点评：本题是一个与圆有关的比例线段问题，这是一个平面几何问题，在解题时所应用的方法在立体几何中也会用到，是一个综合题．9．（14分）（1979•北京）试问数列前多少项的和的值最大？并求这最大值．（lg2=0.301）考点：数列的求和；对数的运算性质．分析：根据题意得该数列的第k项的通项a k，得到这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数，得到a k≥0且a k+1＜0，解得k的取值范围，求出正整数解得到k的值，然后利用等差数列的前k项和的公式得到和的最大值即可．解答：解：该数列的第k项为：所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2．要使前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数因此，k应适合下列条件：解此不等式组：由（1）得k≤14.2由（2）得k＞13.2又k∈N，∴k=14取k=14，前14项的和点评：此题考查学生会进行对数的运算，会根据要使数列前k项的和最大，必须前k项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数列出不等式求出数列和的最大值．10．（18分）（1979•北京）设等腰△OAB的顶点为2θ，高为h．（1）在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|•|PF|=|PE|2，求P点的轨迹．（2）在上述轨迹中定出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．考点：轨迹方程．专题：计算题．分析：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），由题意知|OP|=，|PD|=xsinθ﹣ycosθ，|PF|=xsinθ+ycosθ，由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0，由此可知，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分．（2）由题意知x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，所以5y3cos2θ=x2sin2θ，y=，由此入手可以推出所求点P的坐标．解答：解：（1）设OP与正X轴的夹角为α，P的坐标为（x，y），则|OP|=|PD|=|OP|sin（θ﹣α）=|OP|（sinθcosα﹣cosθsinα）=xsinθ﹣ycosθ|PF|=|OP|sin（θ+α）=|OP|（sinθcosα+cosθsinα）=xsinθ+ycosθ由条件|PD|×|PF|=|PE|2得x2sin2θ﹣y2cos2θ=（h﹣x）2（1）即x2cos2θ﹣2hx+y2cos2θ+h2=0除以cos2θ≠0得即这是以为中心，以为半径的圆，所求轨迹是此圆在所给等腰三角形内的一部分，注意：在A作直线AE′⊥OA，则OE′=，E′是圆的中心AE′=是圆的半径，A是圆上一点，而且圆在A的切线是OA．（2）由条件|PD|+|PE|=|PF|得xsinθ﹣ycosθ+h﹣x=xsinθ+ycosθ即x+ycosθ=h （2）此直线通过（h，0）点及（0，）点，由（1），（2）得x2sin2θ﹣y2cos2θ=4y2cos2θ，∴5y3cos2θ=x2sin2θ，y=由|PD|+|PE|=|PF|可知y＞0，所以这里右端取正号，代入（2）得=h，∴=，=，所求点P的坐标为（）．点评：本题二圆锥曲线知识的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．。
1989年全国统一高考数学试卷(理科)
1989年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e} 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．（3分）的值等于（ ） A ． ﹣1 B ．C ．D ．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a 1+a 2+a 3=18，a 2+a 3+a 4=﹣9，S n =a 1+a 2+…+an ，那么S n 的值等于（ ） A ． 8 B ． 16 C ． 32 D ． 486．（3分）如果的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z 满足关系：z+||=2+i ，那么z 等于（ ） A ． ﹣+i B ． +i C ． ﹣﹣iD ． ﹣i 8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（ ） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 59．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（ ） A ． B ．C ．D ．10．（3分）如果双曲线上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是（ ）A ． 10B ．C ．D ．11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是_________ 14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x 2﹣3x|＞4的解集是 _________ ．15．（4分）函数的反函数的定义域是 _________ ．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x ）6=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 6x 6，则a 1+a 2+…+a 6= _________ ． 17．（4分）已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么B 是A 的 _________ 条件 18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A 、B 两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB 与轴OO'之间的距离等于 _________ ．三、解答题（共6小题，满分60分） 19．（8分）证明：．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A 1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上； （Ⅱ）求这个平行六面体的体积．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k ﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}1989年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．（3分）（2000•北京）如果I={a ，b ，c ，d ，e}，M={a ，c ，d}，N={b ，d ，e}，其中I 是全集，那么（C I M ）∩（C I N ）等于（ ） A ． φ B ． {d} C ． {a ，c} D ． {b ，e}考点： 交、并、补集的混合运算． 分析： 根据交集、补集的意义直接求解．或者根据（C I M ）∩（C I N ）=C I （M ∪N ）求解． 解答： 解：C I M={b ，e}，C I N={a ，c}，∴（C I M ）∩（C I N ）=∅，故选A点评： 本题考查集合的基本运算，较容易． 2．（3分）与函数y=x 有相同图象的一个函数是（ ） A ． B ． C ． y =a log a x ．其中a ＞0，a≠1 D ． y =log a a x ．其中a ＞0，a≠1考点： 反函数． 分析： 欲寻找与函数y=x 有相同图象的一个函数，只须考虑它们与y=x 是不是定义域与解析式都相同即可．解答： 解：对于A ，它的定义域为R ，但是它的解析式为y=|x|与y=x 不同，故错；对于B ，它的定义域为x≠0，与y=x 不同，故错； 对于C ，它的定义域为x ＞0，与y=x 不同，故错；对于D ，它的定义域为R ，解析式可化为y=x 与y=x 同，故正确； 故选D ．点评： 本题主要考查了函数的概念、函数的定义域等，属于基础题． 3．（3分）如果圆锥的底面半径为，高为2，那么它的侧面积是（ ） A ． B ． C ． D ．考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 专题： 计算题． 分析： 根据圆锥的侧面积公式直接解答即可． 解答： 解：圆锥的底面半径为，高为2，母线长为：，那么它的侧面积：故选C ．点评： 本题考查圆锥的侧面积和表面积，是基础题、必会题．4．（3分）的值等于（ ）A ． ﹣1B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：利用反函数的运算法则，以及两角和的余弦公式求解即可．解答：解：===﹣[cos（arcsin）cos（arccos）+sin（arcsin）sin（arccos）]=﹣[]=﹣1故选A．点评：本题考查反函数的运算，两角和的正弦公式，是基础题．5．（3分）已知{an}是等比数列，如果a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=﹣9，S n=a1+a2+…+an，那么S n的值等于（）A．8B．16 C．32 D．48考点：极限及其运算；等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题意知，所以，S n=．解答：解：∵a1+a1q+a1q2=18，a1q+a1q2+a1q3=﹣9，∴．∴，∴S n=．故选B．点评：本题考查等比数列的计算和极限，解题时要正确选取公式，注意公式的灵活运用．6．（3分）如果的值等于（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：由题目中给出的角θ的范围，确定余弦值，用余弦表示sin，求出结果，容易出错的地方是，要求结果的正负，要用角的范围帮助分析解答：解：∵，∴，∵∴或，∵，∴，故选C点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的半角或二倍角的三角函数值，要用到二倍角公式．7．（3分）（2010•宁波模拟）设复数z满足关系：z+||=2+i，那么z等于（）A．﹣+i B．+i C．﹣﹣i D．﹣i考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；综合题．分析：解法1：设出复数，利用复数相等的条件求解即可；解法2：利用复数模的性质，移项平方，然后解方程即可；解法3：考虑选择题的特点，考查选项复数的模，结合题干推出复数z的实部、虚部的符号即可．解答：解：法1：设z=a+bi（a，b∈R）由已知a+bi+=2+i由复数相等可得∴故z=+i故选B．法2：由已知可得z=﹣||+i ①取模后平方可得|z|2=（2﹣|z|）2+1=4﹣4|z|+|z|2+1，所以，代入①得，故选B．法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模，考查计算能力，判断能力，是基础题．8．（3分）已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是（）A．4B．3C．2D．5考点：球面距离及相关计算．专题：计算题．分析：画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．解答：解：由题意画轴截面图，截面的面积为5π，半径为，截面的面积为8π的圆的半径是，设球心到大截面圆的距离为d，球的半径为r，则5+（d+1）2=8+d2，∴d=1，∴r=3故选B．点评：本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．9．（3分）已知椭圆的极坐标方程是，那么它的短轴长是（）A．B．C．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的短轴长即可．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=．，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=，a=3，b=，c=2．∴它的短轴长2故选C点评：本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．10．（3分）如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的右准线的距离是（）A．10 B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的第二定义可知点P到双曲线右焦点的距离和点P到它的右准线的距离之比等于离心率，由此可以求出点P到它的右准线的距离．解答：解：设点P 到它的右准线的距离是x ，∵， ∴，解得．故点P 到它的右准线的距离是．故选D ．点评： 本题考查双曲线的第二定义，解题时注意认真审题． 11．（3分）已知f （x ）=8+2x ﹣x 2，如果g （x ）=f （2﹣x 2），那么g （x ）（ ） A ． 在区间（﹣1，0）上是减函数 B ． 在区间（0，1）上是减函数 C ． 在区间（﹣2，0）上是增函数 D ． 在区间（0，2）上是增函数考点： 复合函数的单调性． 专题： 计算题；综合题；压轴题． 分析： 先求出g （x ）的表达式，然后确定它的区间的单调性，即可确定选项． 解答： 解：因为 f （x ）=8+2x ﹣x 2，则 g （x ）=f （2﹣x 2）=8+2x 2﹣x 4 =﹣（x 2﹣1）2+9，因为g′（x ）=﹣4x 3+4x ，x ∈（﹣1，0），g′（x ）＜0，g （x ）在区间（﹣1，0）上是减函数． 故选A ．点评： 本题考查复合函数的单调性，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 12．（3分）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ） A ． 60个 B ． 48个 C ． 36个 D ． 24个考点： 排列及排列数公式． 专题： 压轴题． 分析： 由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种，其他位置安排方法有A 33=6种，求乘积即可．解答： 解：由题意，符合要求的数字共有2×3A 33=36种故选C点评： 本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑．二、填空题（共6小题，每小4分，满24分） 13．（4分）方程的解集是 {x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k ∈Z ）考点： 正弦函数的图象；三角函数的积化和差公式． 专题： 计算题．分析： 先利用两角和公式对化简整理，进而根据正弦函数的性质可求得x 的解集． 解答：解：=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣）=∴sin（x﹣）=∴x﹣=2kπ+或2kπ+∴x=2kπ+或2kπ+故答案为{x|x=2kπ+或x=2kπ+}（k∈Z）点评：本题主要考查了正弦函数的基本性质．考查了学生对正弦函数基础知识的理解和运用．14．（4分）（2010•焦作二模）不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1，或x＞4}．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：用绝对值的意义将绝对值不等式转化为一般不等式求解．解答：解：∵|x2﹣3x|＞4∴x2﹣3x＞4 或x2﹣3x＜﹣4由x2﹣3x＞4解得x＜﹣1或x＞4，x2﹣3x＜﹣4无解∴不等式|x2﹣3x|＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞4}故应填{x|x＜﹣1或x＞4}点评：考查绝对值不等式的解法，用绝对值的几何意义来进行转化．15．（4分）函数的反函数的定义域是（﹣1，1）．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求反函数的定义域，可以通过求在函数的值域获得，所以只要求出函数的值域即可．解答：解：由得，e x=．∵ex＞0，∴．＞0，∴﹣1＜y＜1，∴反函数的定义域是（﹣1，1）．故填：（﹣1，1）点评：本题主要考查反函数的性质，考查了互为反函数的两个函数的定义域和值域正好相反．属于基础题．16．（4分）（2010•佛山模拟）若（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a1+a2+…+a6=63．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：本题为求二项式系数的和，注意到等式右边当x=1时即为a0+a1+a2+…+a6，故可采用赋值法，只要再求出a0即可．解答：解：在原式中，令x=1得26=a0+a1+a2+…+a6=64，又因为a0=1，所以a1+a2+…+a6=63；故答案为：63点评：本题考查二项式系数求和：赋值法的应用，准确理解二项式定理是解决本题的关键．17．（4分）已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：压轴题；阅读型．分析：本题考查的知识点是充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．解答：解：由充要条件的定义，如果A是B的充分条件，那么B是A的必要条件．故答案为：必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．18．（4分）如图，已知圆柱的底面半径是3，高是4，A、B两点分别在两底面的圆周上，并且AB=5，那么直线AB与轴OO'之间的距离等于．考点：棱柱的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；压轴题．分析：画出几何图形，直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，求解即可．解答：解：如图直线AB与轴OO'之间的距离，等于直线轴OO'与平面ABC的距离，由图形可知直线AB与轴OO'之间的距离等于O到BC 的距离，AB=5，AC=4，所以BC=3所以所求距离为：故答案为：点评：本题考查棱柱的结构特征，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题．三、解答题（共6小题，满分60分）19．（8分）证明：．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数恒等式的证明；弦切互化．分析：等式左边是两个正切值，右边是余弦、正弦的分式，左边是半角与，右边是单角x和倍角2x．若从右向左证，需进行单角变半角，而分母可进行和化积，关键是分子的变化，仍从角入手，将x写成﹣，再用两角差公式，而从左向右证，需进行切变弦，同时还要考虑变半角为单角．解答：证明：=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系和两角差的正弦公式．属中档题．三角函数部分公式比较多要强化记忆．20．（10分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=．（Ⅰ）求证：顶点A1在底面ABCD的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求这个平行六面体的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；证明题；综合题．分析：（Ⅰ）如图利用Rt△A1NA≌Rt△A1MA证明A1M=A1N，OM=ON，即证明顶点A1在底面ABCD 的射影O在∠BAD的平分线上；（Ⅱ）求出底面ABCD的面积，和高A1O，然后可求几何体的体积．解答：解：（Ⅰ）证：连接A1O，则A1O⊥底面ABCD．作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连接A1M，A1N由三垂线定理得A1M⊥AB，A1N⊥AD∵∠A1AM=∠A1AN，∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA∴A1M=A1N∴OM=ON．∴点O在∠BAD的平分线上（Ⅱ）∵AM=AA1，∴AO=AM．又在职Rt△AOA1中，A1O2=AA12﹣AO2=，∴A1O=．∴平行六面体的体积V=．点评：本题考查棱柱的体积，以及射影问题，考查学生逻辑思维能力，是基础题．21．（10分）自点A（﹣3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程．考点：直线和圆的方程的应用；关于点、直线对称的圆的方程．分析：化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得到l的方程．解答：解：已知圆的标准方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，它关于x轴的对称圆的方程是（x﹣2）2+（y+2）2=1，设光线L所在直线的方程是y﹣3=k（x+3）（其中斜率k待定）由题设知对称圆的圆心C'（2，﹣2）到这条直线的距离等于1，即．整理得：12k2+25k+12=0，解得：，或．故所求的直线方程是，或，即3x+4y﹣3=0，或4x+3y+3=0．点评：本题考查点、直线和圆的对称问题，直线与圆的关系，是基础题，解答简洁值得借鉴．22．（12分）已知a＞0，a≠1，试求使方程有解的k的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题设条件可知，原方程的解x应满足，当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解，再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围．解答：解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．当k≠0时，（4）的解是把（5）代入（2），得．解得：﹣∞＜k＜﹣1或0＜k＜1．综合得，当k在集合（﹣∞，﹣1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．点评：解题时要注意分类讨论思想的灵活运用．23．（10分）是否存在常数a，b，c使得等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）对于一切正整数n都成立？并证明你的结论．考点：数学归纳法；数列的极限．专题：证明题；压轴题．分析：先假设存在符合题意的常数a，b，c，再令n=1，n=2，n=3构造三个方程求出a，b，c，再用用数学归纳法证明成立，证明时先证：（1）当n=1时成立．（2）再假设n=k（k≥1）时，成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），再递推到n=k+1时，成立即可．解答：证明：假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）中，令n=1，得4=（a+b+c）①令n=2，得22=（4a+2b+c）②令n=3，得70=9a+3b+c③由①②③解得a=3，b=11，c=10，于是，对于n=1，2，3都有1•22+2•32+…+n（n+1）2=（3n2+11n+10）（*）成立．下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立．（1）当n=1时，由上述知，（*）成立．（2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立，即1•22+2•32+…+k（k+1）2=（3k2+11k+10），那么当n=k+1时，1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2=（3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2=（3k2+5k+12k+24）=[3（k+1）2+11（k+1）+10]，由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立．综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立．点评：本题主要考查研究存在性问题和数学归纳法，对存在性问题先假设存在，再证明是否符合条件，数学归纳法的关键是递推环节，要符合假设的模型才能成立．24．（10分）设f（x）是定义在区间（﹣∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I k表示区间（2k﹣1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在I k上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合M k={a|使方程f（x）=ax在I k上有两个不等的实根}考点：根的存在性及根的个数判断；函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：（1）利用2为周期2k也是周期可得f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2即为所求．（2）转化为x2﹣（4k+a）+4k2=0在区间I k上恰有两个不相等的实根，再求有两个不相等的实根成立的条件即可．解答：解：（1）∵f（x）是以2为周期的函数，∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．又∵当x∈I k时，（x﹣2k）∈I0，∴f（x）=f（x﹣2k）=（x﹣2k）2．即对k∈Z，当x∈I k时，f（x）=（x﹣2k）2．（2）当k∈Z且x∈I k时，利用（1）的结论可得方程（x﹣2k）2=ax，整理得：x2﹣（4k+a）+4k2=0．它的判别式是△=（4k+a）2﹣16k2=a（a+8k）．上述方程在区间I k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足化简得由（1）知a＞0，或a＜﹣8k．当a＞0时：因2+a＞2﹣a，故从（2），（3）可得，即当a＜﹣8k时：2+a＜2﹣8k＜0，易知无解，综上所述，a应满足故所求集合点评：本题借助于函数的周期性对函数解析式的求法和根的存在性'根的个数的判断的综合考查，是道中档题．。
关于数学跨学科内容与教学的已有研究——兼及2022年全国高考数学试卷跨学科试题分析
关于数学跨学科内容与教学的已有研究兼及!"!!年全国高考数学试卷跨学科试题分析刘祖希!华东师范大学出版社"!"""#!#摘!要$加强跨学科内容与教学是课程改革的新趋势"已经进入数学课标%教材与高考&关于数学跨学科内容与教学的已有研究中"学理研究包括相关概念的界定%教学价值的明确等'教学研究涉及教师跨学科素养培养%跨学科教学方法构建%跨学科教学案例开发%学生跨学科意识培养等'教材研究聚焦于不同国家或地区以及国内不同版本教材之间的比较研究'试题研究集中在中考数学试题层面&!"!!年全国高考六套数学试卷中的跨学科试题的位置分布比较均衡"学科来源广泛"呈现方式以图文并茂为主"使用目的多种多样"知识领域比较广泛但不够均衡"素养目标相对清晰%聚焦(三会)&关键词$数学教学'跨学科'文献综述'高考数学'试题分析!!!当前"我国高中教学及评价主要采用分科模式&这样有利于各学科基础知识%基本技能等的掌握"但也在一定程度上妨碍了学生综合能力%创新素养的发展&对此"*普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#+!以下简称(课标)#在(课程理念)中指出高中数学课程(强调数学与生活以及其他学科的联系)"'在(教学建议)#和(学业水平考试与高考命题建议)$中把教学情境与问题情境都分为现实情境%数学情境%科学情境三种形式'在(学业质量)的水平三!最高水平#中要求学生能够借助直观想象建!"本文系中国教育学会!"!$年度教育科研中小学德育专项课题(中小学数学学科德育教学$方法与路径)!编号$!$&'"("#$)*+#的阶段性研究成果&#$!中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#,--,北京$人民教育出版社"!"!"$!")$")(&立数学与其他学科的联系"能够合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流!&与此呼应"当下的高中数学教材加大了跨学科内容的设置"近几年的高考数学试卷也加强了跨学科试题的设计&本文拟综述数学跨学科内容与教学的已有研究"进而分析!"!!年全国高考六套数学试卷中的跨学科试题"以期为教师的日常教学以及备考复习指导提供参考和借鉴&一%文献综述从中国知网上查阅到的文献来看"当前关于数学跨学科内容与教学的研究"集中在学理研究%教学研究%教材研究%试题研究等四个方面&!一#学理研究学理研究包括相关概念的界定%教学价值的明确等&相关概念有跨学科%跨学科思维%跨学科教学等&(跨学科)概念起源于!"世纪!"年代"由美国学者泰勒%伍德沃斯等提出"并倡导在高等教育中实施&"跨学科思维是指在课程与教学中"不囿于学科边界"重视学科内部%外部的知识交叉和融合"通过跨界去整合知识"从而解决问题的思维方式"它的突出特征是思维上的融会贯通&#跨学科教学通常是指以一个学科为中心"选择一个题目"运用不同学科的知识"对所指向的中心题目进行加工和设计教学&$为何要开展数学跨学科教学.黄翔等给出的理由是$重视学科的交叉%融合不仅是教育发展的必然趋势"也是数学发展的现代特点"通过数学学科的跨界%融合可以更好地促进学生数学素养的提高"所以"在当前数学课程设计上要更加注重学科的跨界%交融&%华志远认为"跨学科教学的目标首先是使学生有效地习得学以致用的知识"其次是提高学生的能力和素养"再次是引导学生形成正确的世界观%人生观和价值观&&这些观点与当前我国基础教育阶段的数学课程性质%指向核心素养的数学课程目标是一致的&数学跨学科教学不仅能引导学生使用数学知识解决其他学科的问题"还可以利用其他学科的知识%方法%思维促进数学知识的理解"拓展数学解题的方法&比如"唐素锋通过一道行程问题的物理解法与化学解释"启发读者运用具象思维%合情推理%直观想象"优化数学解题方法&'杨丽辉等甚至还提出了高中数学跨学科教学的(共生理念)$通过其他学科在知识与方法等方面对数学教学的促进"达到学生数学学科素养与其他学科素养共同生长的境界&(!二#教学研究教学研究涉及教师跨学科素养培养%跨学科教学策略!方法#构建%跨学科教学课程!案例#开发%学生跨学科意识培养等&胡晓霞构建了基于跨学科视角的中学数学教师教学能力结构!包括!个一级指标%#个二级指标%$(个三级指标#"实质是在一般教学能力与数学教学能力的基础上增加了科学探究教学能力与跨学科教学能力"其中跨学科教学能力包括创设跨学科教学情境的能力%跨学科理解与实践能力&)为培养具有跨学科教学意识和能力的数学教师"李哲丽提出了三点建!"#'()中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#,--,北京$人民教育出版社" !"!"$%)&$&!华志远,以数学为中心的高中跨学科教学路径初探,.-,教育研究与评论!中学教育教学#"!"!"!/#$!#" !%"!%&%!黄翔"童莉"史宁中,谈数学课程与教学中的跨学科思维,.-,课程/教材/教法"!"!$!%#$$"#"$"%&唐素锋,例谈数学知识的跨学科理解,.-,中学生百科"!"")!!#$!)!(&杨丽辉"黄兴仲,共生理念下高中数学跨学科教学的探索,.-,课程教材教学研究!中教研究#"!"!!!$0!#$/) 0"&胡晓霞,基于跨学科视角的中学数学教师教学能力结构研究,&-,重庆$西南大学"!"!$&议$!$#合理制定课程标准"重视教材建设'!!#增设科学课程"加强跨学科教学实践'!/#更新传统教育理念"提高综合学科能力&!如何开展跨学科数学教学.黄翔等认为"跨学科思维将运用于数学教学"需要更新学科观念"增强学科交叉融通意识'加强知识之间的融通和联系"让数学在学科交融中活起来'探索有效展开跨学科教学的教学方式'注意体现数学本质"切忌简单%生造'提升跨学科思维下的教师专业素养&"华志远则给出了实施以数学为中心的高中跨学科教学的路径$抓住课程主线"寻求内容的交汇点'研究课程标准"寻求方法的结合点'发掘真实问题"拓展应用的边界'回顾发展历史"获得成功的经验&#很多研究者都强调更新学科观念%提升专业素养"加强数学与其他学科的联系"找准多学科知识的交汇点"探索跨学科教学方式&黎丽娟从学生的角度提出"在平时教学中采取(树立学科渗透意识)(培养观察思考能力)(提高数学思维水平)等应对策略&$陈莉梅从教师的角度提出了五条实施策略$改变教育理念"树立跨学科教学的观念'梳理数学与其他学科间的知识交融点"提高跨学科教学的能力'加强与其他学科教师间的合作交流"丰富跨学科教学的经验'充分考虑学生学情"进行合理地跨学科教学'实施多样评价"逐步完善跨学科教学模式&%黄荣等以高中数学与人文学科的融合为例"开发了数学与文学融合%数学与史学融合%数学与哲学融合%数学与美学融合等多个跨学科教学的案例"形成了有特色的数学文化校本课程&&梁勇以主题为(奇妙的对称)的小学数学跨学科课程为例"从主题确定%协同开发%实施过程和学习评价等层面"全面展示了其所在学校语文%英语%科学%美术%体育等学科教师的团结协作"以及学生在技术支持下跨学科学习过程中的真实学习状态"从而构建(以学科内容为基点的统整项目课程)&'李雪琴通过跨学科数学课程实施前后的对比研究"发现初中生对跨学科数学课程有积极的学习态度'认识到各学科学习的重要性和应用性"对各学科的学习态度由模糊变得清晰"尤其对数学的认识最深刻'掌握了一些跨学科知识"逐渐形成了跨学科学习的思维'产生或巩固了从事跨学科职业的想法&(!三#教材研究关于跨学科内容的数学教材研究"可分为不同国家或地区教材之间的比较研究%国内不同版本教材之间的比较研究&不同国家或地区教材之间的比较研究"如尚念以我国人教版%沪教版和美国加州版初中数学教材数与代数部分为研究对象)"朱树金选取中美高中数学教材中的指数函数与对数函数%圆锥曲线%随机变量等内容作为研究对象*+,&此外"张维忠等专门分析了澳大利亚七!"#$%&'()*+,参见$李哲丽,中学数学职前教师跨学科教学态度研究111以数学与科学融合为例,&-,长沙$湖南师范大学"!"!"&黄翔"童莉"史宁中,谈数学课程与教学中的跨学科思维,.-,课程/教材/教法"!"!$!%#$$"#$$$&华志远,以数学为中心的高中跨学科教学路径初探,.-,教育研究与评论!中学教育教学#"!"!"!/#$!#/"&黎丽娟,跨学科中考数学试题教学策略初探,.-,考试周刊"!"$!!$!#$!/&参见$陈莉梅,初中数学跨学科教学的现状与对策研究,&-,重庆$重庆师范大学"!"!"&黄荣"周超,高中数学跨学科教学的实践111以数学与人文学科的融合为例,.-,中学数学月刊"!"!!!$#$ #1##&梁勇,以学科内容为基点的跨学科统整111以数学主题(奇妙的对称)统整项目课程为例,.-,广西教育"!"$#!!"#$0%1"&参见$李雪琴,数学跨学科教学对初中生-234态度的影响研究,&-,长沙$湖南师范大学"!"!$&参见$尚念,中美初中数学教材跨学科内容的比较研究111以(数与代数)部分为例,&-,上海$华东师范大学"!"$%&朱树金,中美高中数学教材跨学科内容比较研究,.-,中学数学月刊"!"!"!)#$0%1"&年级数学教科书中跨学科内容的使用情况&!国内不同版本教材之间的比较研究"如包智慧等以改革开放以来四套人教版初中数学教材为研究对象""潘小勤等对人教5版高中数学新旧教材内容进行量化对比分析#"宋燕伶等选取!"$$年和!"$(年出版的两套北师大版高中数学教材作为研究对象$&无论是哪种形式的教材比较研究"研究者不约而同地采用了相对一致的研究框架"即从学科来源%呈现方式%设置目的%知识领域等维度对数学教材中的跨学科内容进行实证研究"并从跨学科内容的深度和广度等方面提出教材编写建议&!四#试题研究关于跨学科内容的数学试题研究较多"而且集中在中考数学试题层面&笔者查询到较早的文献是朱文彦的*跨学科的中考数学题型+%等&此类文章多数以试题列举%归类%赏析为主"比较可贵的是朱广科给出了跨学科试题的解题策略$首先是关注社会热点"注意收集有关信息"扩充知识面"形成较强的综合素质和能力'其次是认真审题"挖掘有用的信息"为正确解题奠定基础'最后则是讲究方法"注重知识与技能的灵活运用"将有关学科知识加以迁移%引申"针对具体问题或现象灵活应用不同的学科知识和技能&&二%试题分析高考数学试题既有数学问题的一般属性"也有高考评价的特殊属性&依据这两个属性"借鉴已有研究"从位置分布%学科来源%呈现方式%使用目的%知识领域%素养目标等六个维度"分析!"!!年全国高考六套数学试卷!甲卷理科%甲卷文科%乙卷理科%乙卷文科%新课程-卷%新课程.卷#中的跨学科试题"探寻数学跨学科试题的特点&!一#位置分布!"!!年全国高考数学试卷中一共出现了$0道跨学科试题!文理科试卷中相同的试题仍单独统计题量#&这$0道试题的位置分布如表$所示!表中题号后括号内的文字为相应试题的情境概述#&表&!跨学科试题的位置分布卷别选择题填空题解答题甲卷理科第!题!公益讲座#%第)题!会圆术#1第$(题!体育比赛#甲卷文科第!题!公益讲座#1第$(题!包装盒#乙卷理科第0题!嫦娥二号#%第$"题!赢棋概率#1第$(题!木材总量#乙卷文科第0题!运动时长#1第$(题!木材总量#新课程-卷第0题!水库水量#1第!"题!疾病风险#新课程.卷第/题!举架结构#1第$(题!患者年龄# !"#$%&张维忠"赵千惠,澳大利亚初中数学教科书中的跨学科内容,.-,浙江师范大学学报!自然科学版#"!"!!!!#$!//!0"&包智慧"杨新荣,初中数学教科书跨学科内容的变迁分析111基于四套人教版教科书的纵向比较研究,.-,中学数学杂志"!"!$!$"#$)$!&潘小勤"张维忠,高中数学教材中跨学科内容的呈现111以新人教5版高中数学必修教材为例,.-,中学数学教学参考"!"!"!$/#$/$/0&宋燕伶"彭刚,北师大版高中数学教材跨学科内容研究,.-,中学数学杂志"!"!!!$#$#$"&朱文彦,跨学科的中考数学题型,.-,数学教学通讯"!""!!!#$!/!0&朱广科,中考数学跨学科试题归类解析,.-,教学与管理"!"$!!0#$#!#0&!!可以发现"跨学科试题在各卷别中的位置分布比较均衡"一般选择题中有$1!道"解答题中有$道"均属于中档难度的题目"这体现了跨学科试题设计的整体性和一致性&之所以没有出现在填空题中"可能与填空题短小精悍%控制难度的命题特点有关&跨学科试题在全卷中的总分值为$%分或!!分"比重超过$$6"应该引起重视&!二#学科来源关于数学跨学科试题的学科来源"可采取*中华人民共和国学科分类与代码国家标准!!""(年版#+"将学科划分为自然科学%农业科学%医药科学%人文与社会科学%工程与技术科学1类"具体如表!所示!&!"!!年全国高考数学试卷中的$0道跨学科试题的学科来源分别是$体育科学!/道#%地球科学!/道#%林学!!道#%医学!!道#%材料工程!!道#%历史学!$道#%航空航天科学技术!$道#&表(!学科划分一览序号学科类别一级学科$自然科学类物理学%化学%生物学%地球科学%天文学等!农业科学类农学%林学等/医药科学类医学%药学等0人文与社会科学类语言学%历史学%考古学%政治学%经济学%艺术学%社会学%文学%体育科学等1工程与技术科学类材料工程%电子通信%计算机科学技术%航空航天科学技术等!!可以看出"跨学科试题的学科来源广泛"五大学科类别均有涉及"这体现了跨学科试题设计的宽度和广度&其中"与体育%地理相关的跨学科试题较多"反映了人们对体育健康%环境保护的重视"体现了以人为本的发展理念'与历史!主要是数学史#相关的跨学科试题数量较往年有所减少&"!三#呈现方式自然语言%图形语言%符号语言是数学常用的三种语言形式"而数学跨学科试题的呈现方式主要包括文字符号%图形表格%图文并茂三种&!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题中"使用文字符号表述的有0道"图文并茂呈现的有$"道"没有单独使用图形表格的试题&图文并茂的试题占主体地位"既体现了试题的趣味性%真实性!(有图为证)#以及文化魅力!如精妙绝伦的中国古代建筑图#"也体现了数学的直观性%抽象性以及语言特征&同时"对学生的能力带来了挑战$既要能准确读取图表的数据信息"又要能快速识别图形的位置关系"还要能实现自然语言%图形语言%符号语言的相互转化&!四#使用目的跨学科内容的使用目的主要包括三类$引入数学问题!跨学科内容是可剥离的情境#%补充解释数学问题!跨学科内容是不可剥离的情境#%用数学知识解决问题!跨学科内容是问题"而不是情境#&不同的使用目的决定了跨学科内容的深度差异&!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题中"#道题跨学科内容的使用目的是引入数学问题"属于比较浅层的跨学科试题&!道题跨学科内容的使用目的是补充解释数学问题!提出的数学问题依赖于跨学科情境#"属于比较有深度的跨学科试题&这两道题分别!"宋燕伶"彭刚,北师大版高中数学教材跨学科内容研究,.-,中学数学杂志"!"!!!$#$#$"&王婷"李 ,基于数学文化的高考试题特征分析,.-,数学通报"!"!$!##$1$1/&是甲卷理科第)题%新课程.卷第/题&前者以我国古代科技史上的杰作*梦溪笔谈+收录的计算圆弧长度的(会圆术)为背景"后者以我国古代建筑中的举架结构为背景"两题都从跨学科内容中抽象出数学问题"体现数学的科学价值与我国古代人民的智慧&还有#道题!甲卷理科第$(题"乙卷理科第$(题"乙卷文科第$(题"新课程-卷第0%第!"题"新课程.卷第$(题#属于用数学知识解决的跨学科问题&比如新课程-卷第0题"该题要求南水北调工程中某个水库的水量"属于工程问题"不使用数学方法也是可以解决的"但是使用数学方法!棱台体积公式#非常便捷"充分体现了数学的应用价值&跨学科试题的使用目的多种多样"展现了多姿多彩的社会文化生活!如中华优秀传统文化%国家社会经济发展成就等#"体现了数学的重要价值!如科学价值%应用价值%文化价值%审美价值等#&!五#知识领域课标给出了(三类课程!必修%选择性必修%选修#定位%四条主线!函数%几何与代数%概率与统计%数学建模活动与数学探究活动#贯穿%一条暗线!数学文化#融入)的高中数学课程内容结构!"其中"四条主线就是知识领域&!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题中"1道题的知识领域是几何与代数"(道题的知识领域是概率与统计&这说明"几何与代数是数学跨学科试题重要的知识领域'概率与统计是数学跨学科试题!特别是解答题#主要!更重要#的知识领域"这和概率与统计知识主要来源于生活%应用于生活有密切关系&没有出现函数领域的跨学科试题"说明跨学科试题的知识领域还不够均衡&虽然没有出现具备完整环节的数学建模活动与数学探究活动领域的跨学科试题"但是甲卷文科第$(题以学生参加综合实践活动时设计的包装盒为背景"考查几何体中的直线与平面的位置关系以及几何体的体积&这释放了明确的信号$数学建模活动与数学探究活动已进入高考命题人的视野&比如"将包装盒改为由考生设计"先设计后计算"或边设计边计算边优化"就是典型的数学建模活动与数学探究活动&当然"具体命题及评价方式还有待积极探索%稳妥推进&!六#素养目标无论是高中数学课程标准"还是高考评价体系"都以核心素养为导向"因此"素养目标是高考试题的终极指向&高中数学核心素养包括数学抽象%逻辑推理%数学建模%直观想象%数学运算%数据分析等#个方面&考虑到数学抽象%直观想象指向(数学眼光)"逻辑推理%数学运算指向(数学思维)"数学建模%数据分析指向(数学语言)!这三者分别对应数学基本思想的三个要素$抽象%推理%模型"#"因此"!"!!年全国高考数学试卷$0道跨学科试题的素养目标分这三类进行统计&结果表明"指向数学建模%数据分析的数学跨学科试题最多!(道#"均为概率与统计领域的试题&指向数学抽象%直观想象的数学跨学科试题有0道&仍以新课程-卷第0题为例"该题需要考生将水库两个水位之间的部分抽象为棱台!数学抽象#"将两个水位对应的水面想象成棱台的上下底面%水位差想象成棱台的高!直观想象#"再利用棱台体积公式进行计算&指向逻辑推理%数学运算的数学跨学科试题有$道!乙卷理科第0题#&该题以(嫦娥二号)卫星的运行周期为背景"!"刘祖希,*普通高中数学课程标准!!"$%年版#+之新变,.-,中学数学教学参考"!"$)!!1#$$&刘祖希,访史宁中教授$谈数学基本思想%数学核心素养等问题,.-,数学通报"!"$%!1#$$1&提出一个连分数型递推数列问题"需要学生运用演绎推理!取特殊值#%数学运算!连分数的计算与化简%比较大小#%归纳推理解决问题&可见"跨学科试题的素养目标相对清晰"聚焦(三会)数学核心素养"体现了高考试题设计的科学性与导向性&当然需要说明的是"由于高考试题本身具有综合性的特点"其素养目标并非单一的"上述统计仅为了在一定程度上说明问题&三%研究展望在数学课程%教材%考试中设置跨学科内容既是人才培养的需要!如(中国学生发展核心素养)框架的提出!#"也是数学学科特点所决定的$数学是一种工具%语言"是自然科学的重要基础"在社会科学中发挥着越来越重要的作用"数学的应用渗透到现代社会的各个方面"直接为社会创造价值"推动社会生产力的发展&"综合以上文献综述和试题分析"对数学跨学科内容与教学的研究提出以下展望$第一"数学跨学科内容的研究"不能狭义地理解为用数学的知识%方法解决其他学科!或者以其他学科为背景#的问题"还应包括用其他学科的知识%方法解决数学问题"甚至是用多学科的思维解决综合问题&它是一个数学与其他学科双向互动甚至多向转换的研究领域%思维系统&第二"高考数学试卷中的跨学科试题比数学应用题更宽泛"思维层次更丰富'比数学文化题更聚焦"学科特征更突出&它延续了我国高考数学试题创新的传统$自$(%%年恢复高考以来"数学应用题%数学开放题%数学文化题%数学跨学科试题先后进入高考数学试卷"顺应社会需求"响应时代召唤"对考查学生的综合素养%为国家培养和选拔创新型人才起到了重要作用&这种创新的传统不会停歇"将不断推陈出新%与时俱进&第三"加强中小学数学课程%教材中跨学科内容的整体设计"为学生的综合能力与创新素养发展提供一体化的培养机制&令人振奋的是"*义务教育数学课程标准!!"!!年版#+不仅强调数学与其他学科的联系!文本中出现0"余次这样的表述#"更把(跨学科学习)作为义务教育数学课程四个学习领域之一111(综合与实践)的主要学习方式"具体要求是$以跨学科主题学习为主"适当采用主题式学习和项目式学习的方式"设计情境真实%较为复杂的问题"引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题&#期待我国学生的数学核心素养与综合实践能力齐头并进"共生共长&第四"跨学科教育!包括-234教育%-2354教育等#已经成为一种国际发展趋势"成为国家发展战略的必然选择"这给数学教育带来了发展机遇和挑战&对此"应积极做好顶层设计%选择好项目实践%抓好师资培训%开展实施评价"助推我国数学教育改革&$!"#$刘祖希,我国数学核心素养研究进展111从数学素养到数学核心词再到数学核心素养,.-,中小学教材教学"!"$#!%#$/10"&中华人民共和国教育部,普通高中数学课程标准!!"$%年版!"!"年修订#,--,北京$人民教育出版社" !"!"$$&中华人民共和国教育部,义务教育数学课程标准!!"!!年版#,--,北京$北京师范大学出版社"!"!!$$#&胡焱"蒋秋,数学教育与-234!-2354#教育的融合$机遇与挑战111基于数学教育与-234 !-2354#教育国际学术研讨会,.-,数学教育学报"!"$( !##$(!(0&。
2016年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含答案及解析)
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．23．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．974．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．811．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合．【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【考点】R3：不等式的基本性质．【专题】33：函数思想；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2B．4C．6D．8【考点】K8：抛物线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11B．9C．7D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（5分）（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5P：二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．==25﹣【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【考点】87：等比数列的性质；8I：数列与函数的综合．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】HU：解三角形．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5H：空间向量及应用；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.04=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【考点】J2：圆的一般方程；KL：直线与椭圆的综合．【专题】34：方程思想；48：分析法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
1988年(高考数学试题文理科)
一九八八年（理科）一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分。
（1）2i 1i 1⎪⎭⎫⎝⎛+-的值等于 （ B ）（A ）1 （B ）-1 （C ）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ C ） （A ）点P 在直线L 上，但不在圆M 上。
（B ）点P 在圆M 上，但不在直线L 上。
（C ）点P 既在圆M 上，又在直线L 上。
（D ）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上。
（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ B ） （A ）7个 （B ）8个 （C ）6个 （D ）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=-，那么它的焦距是 （ A ）（A ）10 （B ）5 （C ）15 （D ）152（5）在10)3x (-的展开式中，x 6的系数是 （ D ）（A ）610C 27- （B ）410C 27 （C ）610C 9- （D ）410C 9 （6）函数x sin x cos y 44-=的最小正周期是 （ A ） （A ）π （B ）π2 （C ）2π （D ）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+-的解集是 （ C ） （A ）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （B ）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅-+π= （C ）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D ）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ-=ρcos 234所表示的曲线是 （ D ）（A ）圆 （B ）双曲线右支 （C ）抛物线 （D ）椭圆（9）如图，正四棱台中，D A ''所在的直线与B B '所在的直线是（A ）相交直线 （ C ） （B ）平行直线（C ）不互相垂直的异面直线 （D ）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( D ） （A ）4 （B ）21 （C ）81 （D ）8（11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600。
1977年普通高等学校招生考试全国各省市高考数学试题及解答（汇总
1977年全国各省市高考数学试题及解答北京市(理科)1.解方程』x-1=3—x.解：将两边平方，得x2-l=9-6x+x,BP x2-7x+10=0,(x-2)(x-5)=0,/.x=2,x=5o经检验x=5是增根，故原方程的解是x=2。
--2°12.计算22+令+^^V2V2-1解:原式=2^2+1.3.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求l gA/45。
解:=0.8266。
、十“¥、21+sin2a4.证明(1+tga)2cos2 a八“(cosa+sinocY cos2a+2sinoccosa+sin2 oc1+sin2oc证:・.・(l+g)=------------=--------------------J------------------=——2—v cosa)cos a cos a.•.原式成立5.求过两直线x+y-7=0和3x-y-l=0的交点且过(1,1)点的直线方程。
解：由「x+y-7=0\3x-y-l=0,解得x=2,y=5。
过点(2,5)和(1,1)的直线方程为y=4x-3。
6.某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%,问今年七月份到十月份总产值是多少？解：七月份到十月份总产值为100+(1+20%)-100+(1+20%)2-100+(1+20%)3-100100x[(1.2)4—1]1.2-1100x1.0736ec/工一、------------=5368(万兀)0.27.已知二次函数y=x2-6x+5(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程；(2)画出它的图象；(3)分别求出它的图象和x轴、y轴的交点坐标。
解：如图(列表，描点)略。
8.一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A处看见一灯塔B在船的北45°东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔在船的北15°东方向，求这时船和灯塔的距离CB。
1989年高考数学试题(文理科)
一九八九年（理科）考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ） （A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e}2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ） （A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257 （D ）510- 5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于 （ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）486．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于 （ D ）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）59．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g （ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ） （A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
1981年(高考数学试题文理科)
一九八一年（理科）一．（本题满分6分）设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B.解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ。
二．（本题满分6分）在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果。
解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果：AB、AC、AD、BC、BD、CD、BA、CA、DA、CB、DB、DC。
2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果：ABC、ABD、ACD、BCD。
三．（本题满分8分）下表所列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，四．（本题满分8分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明。
证二：解析法：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsinA).由两点距离公式得：a 2=|BC|2=(c-bcosA)2+(-bsinA)2 =b 2+c 2-2bccosA. 五．（本题满分10分） 解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x ac b a x 解：右式=x 2(x-a-b-c)>0原不等式解是x ≠0,x>a+b+c 。
六．（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式nnn xx x x x x 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos32=⋅⋅⋅ 对一切自然数n 都成立。
证：略。
七．（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算。
（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？（2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即x=10×（1.02）20,两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200,∴x=14.859（亿)Y C2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2.根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略。
1983年高考数学全国卷(理科)及其参考答案
（A）两条相交直线
（C）两条重合直线
3．三个数 a ,b ,c 不全为零的充要条件是
）
（A）a ,b ,c 都不是零
（B）两条平行直线
（D）一个点
（B）a ,b ,c 中最多有一个是零
（C）a ,b ,c 中只有一个是零（D）a ,b ,c 中至少有一个不是零
4．设 4 , 则 arccos(cos) 的值是
1981 年高考数学全国卷（理科）及其参考答案
（这份试题共九道大题，满分 120 分）
一．（本题满分 10 分）本题共有 5 小题，每小题都给出代号为
A，B，C，D
的四个结论，其中只有一个结论是正确的 把正确结论 新疆 王新敞
的代号写在题后的圆括号内 每一个小题：选对的得 新疆 王新敞
奎屯
或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得 0
3
（A） 4
3
（B） 2
3
5． 0.32 , log2 0.3, 20.3 这三个数之间的大小顺序是
（C） 2
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
1977-1987年高考理科数学试题
15°45°B E D AC B 1977年普通高等学校招生考试理科(北京市)数学试题满分120分，120分钟1．（本小题满分10分）3x =-． 2．（本小题满分10分）计算1022-+．3. （本小题满分10分）已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg 45． 4．（本小题满分10分） 证明：αα+=α+22cos 2sin 1)1(tg ．5．（本小题满分10分）求过两直线70x y +-=和310x y --=的交点且过(1,1)点的直线方程． 6．（本小题满分10分）某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？7. （本小题满分10分）已知二次函数265y x x =-+．(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x 轴，y 轴的交点坐标． 8．（本小题满分10分）一只船以20海里/小时的速度向正东航行，起初船在A 处看见一灯塔B 在船的北450东方向，一小时后船在C 处看见这个灯塔在船的北150东方向，求这时船和灯塔的距离CB ．9. （本小题满分10分）有一个圆内接三角形ABC ，∠A 的平分线交BC 于D ，交外接圆于E ，求证：AD AE AC AB ⋅=⋅.10. （本小题满分10分）当m 取哪些值时，直线y x m =+与椭圆191622=+y x 有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象.参考题1. （本小题满分10分）（1）求函数2sin(0),()0(0)x x f x xx π⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 的导数.(2)求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体体积.2. （本小题满分10分）(1)试用ε-δ语言叙述“函数()f x 在点0x x =处连续的定义.（2）试证明：若()f x 在点0x x =处连续，且0()0f x >,则存在一个0x 的00(,)x x δδ-+，在这个邻域内，处处有()0f x >.c b a A B C D 1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分120分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题，文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.分解因式：222444x xy y z -+-.2.已知正方形的边长为a ，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(x y +=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：1132123421(4)4(0.1)()ab a b ----⎛⎫⋅⎪⎝⎭.二、（本题满分14分）已知方程224kx y +=，其中k 为实数.对于不同范围的k 值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图. 三、（本题满分14分）（如图）AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，直线MN 切半圆于C 点，AM ⊥MN 于M 点，BN ⊥MN 于N 点，CD ⊥AB 于D 点，求证：1)CD =CM =CN . 2)CD 2=AM ·BN四、（本题满分12分）已知18log 9(2),185b a a =≠=.求36log 45.五.（本题满分20分）已知△ABC 的三内角的大小成等差数列，tan tan 23A C =+,,A B C 的大小，又已知顶点C 的对边c 上的高等于3求三角形各边,,a b c 的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin 2sin 1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m =+++- (m R ∈）.1）m 是什么数值时，y 的极值是0？ 2）求证：不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上.画出1,0,1m =-时抛物线的草图，来检验这个结论. 3）平行于1l 的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l 而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DCB A F aαN MEDCBA B /P /PlC BA O y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--(2)求25sin 30tan 0cot cos46ππ︒-︒+-的值（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积（5）计算1111222112510(2()30()()50093---+的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证：CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线， AB BC CA CD a ====，DM 与 ,AB AC 分别交于M 点和N 点，且BDM α∠=.求证：BM CN ==5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：1）如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. 2）如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()2P -而倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CB A βαPC B A VD C BA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 若2()4()()0z x x y y z ----=,求证：,,x y z 成等差数列． 二、（本题满分6分）化简：2111111csc x---．三、（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精甲有1v 公斤，乙有2v 公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满6分）叙述并证明勾股定理． 五、（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分10分）设三棱锥V ABC -中，∠AVB =∠BVC =∠CVA =直角． 求证：△ABC 是锐角三角形．七、（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3,ln10=2.3) 八、（本题满分12分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 求证：33AC BC AE BF =．九、（本题满分14分）试问数列lg100，lg(100sin )4π，2lg(100sin )4π，…，1lg(100sin )4n π-前多少项的和的值最大？并求这最大值lg2=0.301) 十、（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h ．1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为||,||,||PD PF PE ，并且满足关系2||||=||PD PF PE ．求P 点的轨迹．2．在上述轨迹中求出点P 的坐标，使得||+||=||PD PE PF ．332211O 3O 2O 1DC B A A (m ,0)lB A P N M1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 将多项式559x y xy -分别在下列范围内分解因式：1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围 二、（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.三、（本题满分10分）用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）证明对数换底公式：log log log a b a N N b=（,,a b N 是正数，且1,1a b ≠≠）. 五、（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）.直线PB 垂直于飞机窗玻璃所在的平面N （如图）.证明：平面N 必与平面M 相交，且交线垂直于AB .六、（本题满分12分）设三角函数()sin(),53k f x ππ=+其中0k ≠.1．写出()f x 极大值M ，极小值m 与最小正周期; 2．试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数()f x 至少有一个值是M 与一个值是m . 七、（本题满分14分）CD 为直角三角形ABC 中斜边AB 上的高，已知△ACD 、△BCD 、△ABC 的面积成等比数列，求∠B （用反三角函数表示）.八、（本题满分14分） 已知0απ<<，证明：2sin 2cot 2αα≤，并讨论α为何值时等号成立. 九、（本题满分18分）抛物线的方程是22y x =，有一个半径为1的圆，圆心在x 轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂注：设00(,)P x y 是抛物线22y px =上一点，则抛物线在P 点处的切线斜率是0y P）.附加题（成绩不计入总分，只作参考） 设直线l 的参数方程是⎩⎨⎧+==;,mt b y t x （t 是参数），椭圆E 的参数方程是⎩⎨⎧θ=≠θ+=sin )0(,cos 1y a a x （θ是参数） 问,a b 应满足什么条件，使得对于任意m 值来说，直线l 与椭圆E 总有公共点Q AB C a F E D P1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 三、（本题满分8分）下列各小题中，指出A 是B 的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.1.A: 四边形ABCD 为平行四边形, B ：四边形ABCD 为矩形.2.A: 3a =，B ：|a |=33.A: 150θ=︒，B ：1sin 2θ=. 4.A: 点(,)a b 在圆222x y r +=上B: 222a b r +=. 四、（本题满分10分）写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明. 五、（本题满分10分） 解不等式（x 为未知数）：.0>-----cx bac b x a c b a x六、（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式23sin cos cos cos cos 22222sin 2n n nx x x x xx ⋅⋅⋅⋅=对一切自然数n 都成立. 七、（本题满分15分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，八、（本题满分17分）在1200的二面角P a Q --的两个面P 和Q 内，分别有点A 和点B A 和点B 到棱a 的距离分别为2和4，且线段AB=10，1．求直线AB 和棱a 所成的角; 2．求直线AB 和平面Q 所成的角.九、（本题满分18分）给定双曲线.1222=-y x 1．过点(2,1)A 的直线l 与所给的双曲线交于两点12,P P ，求线段12P P 的中点P 的轨迹方程.2．过点(1,1)B 能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点12,Q Q ，且点B 是线段12Q Q 的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程;如果不存在，说明理由. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分） 已知以AB 为直径的半圆有一个内接正方形CDEF ，其边长为1（如图）设,AC a BC b ==，作数列1u a b =-，222u a ab b =-+，32233u a a b ab b =-+-，…………，122(1)k k k k k k u a a b a b b --=-+-+-.求证：12(3)n n n u u u n --=+≥.N M P (ρ,θ)BA Ox K R Q P N M DC BA 数学（理科） 满分120分，120分钟一、（本题满分6分） 填表： 二、（本题满分8分）1．求20(1)i -+展开式中第15项的数值; 2．求3cos2xy =的导数. 三、（本题满分9分）在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形.1．2113230634x y -=.2．1cos ,2sin .x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩四、（本题满分12分）已知圆锥体的底面半径为R ，高为H . 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图）. 五、（本题满分15分）设01,0x a <<>，1a ≠，比较|log (1)|a x -与|log (1)|a x +的大小（要写出比较过程）.如图：已知锐角∠AOB =2α内有动点P ，,PM OA PN OB ⊥⊥，且四边形PMON 的面积等于常数2c .今以O 为极点， ∠AOB 的角平分线Ox 为极轴，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.七、（本题满分16分）已知空间四边形ABCD 中,AB BC CD AD ==，,,,M N P Q 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点（如图）求证MNPQ 是一个矩形.八、（本题满分18分） 抛物线22y px =的内接三角形有两边与抛物线22x qy =相切，证明这个三角形的第三边也与22x qy =相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）已知数列12,,,n a a a 和数列1b ,2b ,…,n b , …，其中111,,-===n n pa a q b p a ， 11(2)(,,n n n b qa rb n p q r --=+≥是已知常数，且0,0q p r ≠>>）. 1．用,,,p q r n 表示n b ，并用数学归纳法加以证明; 2．求22n n n na b +.函 数使函数有意义的 x 的实数范围1 2x y -=2 2)(x y -= 3arcsin(sin )y x =4 sin(arcsin )y x =5 x y lg 10= 6x y 10lg =αF 2F 1A 2A 1N M y xO S N AB C M D 理科数学试题 满分120分，120分钟 一、（本题满分10分）本题共有5小题，每小题2分 1．两条异面直线，指的是 A.在空间内不相交的两条直线. B.分别位于两个不同平面内的两条直线. C.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.D.不在同一平面内的两条直线.2．方程220x y -=表示的图形是A.两条相交直线B.两条平行直线C.两条重合直线D.一个点3．三个数,,a b c 不全为零的充要条件是 A.,,a b c 都不是零B.,,a b c 中最多有一个是零C.,,a b c 中只有一个是零D.,,a b c 中至少有一个不是零4．设,34π=α则)arccos(cos α的值是 A.34π B.32π- C.32π D.3π5．3.0222,3.0log,3.0这三个数之间的大小顺序是 A.3.0log 23.023.02<< B.3.02223.0log 3.0<< C.3.02223.03.0log <<D.23.023.023.0log << 二、（本题满分12分）1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程y =y x -=的图形，并写出它们交点的坐标.2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形. 三、（本题满分12分） 1.已知x e y x2sin -=，求微分dy .2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法.计算行列式（要求结果最简）：五、（本题满分15分） 1.证明：对于任意实数t ，复数 i t t z |sin ||cos |+=的模||z r =适合42≤r . 2.当实数t 取什么值时，复数 i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合40π≤θ≤？六、（本题满分15分） 如图，在三棱锥S ABC -中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上；M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB .七、（本题满分16分）如图，已知椭圆长轴12||6A A =，焦距12||F F =，过椭圆焦点1F 作一直线，交椭圆于两点,M N .设21F F M α∠= (0)απ≤<，当α取什么值时，|MN |等于椭圆短轴的长？ϕϕϕβϕ-ββαϕ+ααcos 2cos sin sin )sin(cos cos )cos(sin八、（本题满分16分）已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项的和12n n S a a a =+++(1)n ≥,并且123,,,S S S 是一个等比数列，其公比为(0p p ≠且|p |＜1）.1.证明：234,,,,,n a a a a (即{}n a 从第二项起）是一个等比数列.2.设1122n n n W a S a S a S =+++ (1)n ≥ ,求n n W ∞→lim （用,b p 表示）.九、（本题满分12分） 1.已知,a b 为实数，并且e a b <<，其中e 是自然对数的底，证明baa b >. 2.如果正实数,a b 满足baa b =.且1a <，证明a b =.1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案（这份试题共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分.1．数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是（ C ） A.X ⊂Y B.X ⊃Y C.X =Y D.X ≠Y2．如果圆220x y Gx Ey F ++++=与x轴相切于原点，那么 A.0,0,0F G E =≠≠ B.0,0,0E F G ==≠ C.0,0,0G F E ==≠ D.0,0,0G E F ==≠ 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[812---n n 的值 A.一定是零 B.一定是偶数 C.是整数但不一定是偶数 D.不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 A.]1,0(∈x B.)0,1(-∈x C.]1,0[∈x D.]2,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2θA.是第一象限角B.是第三象限角C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角D.是第二象限角二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？3．求方程21)cos (sin 2=+x x 的解集. 4．求3)2||1|(|-+x x 的展开式中的常数项.5．求1321lim +-∞→n nn 的值.6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.1．设0(0)()1(0)x H x x ≤⎧=⎨>⎩，画出函数(1)y H x =-的图象.2．画出极坐标方程)0(0)4)(2(>ρ=π-θ-ρ的曲线.四、（本题满分12分） 已知三个平面两两相交，有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平行.五、（本题满分14分） 设,,c d x 为实数，0c ≠，x 为未知数讨论方程1log)(-=+x xd cx 在什么情况下有解，有解时求出它的解. 六、（本题满分16分）1．设0≠p ，实系数一元二次方程022=+-q pz z 有两个虚数根12,z z .再设12,z z 在复平面内的对应点是1,Z Z 以12,Z Z 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.（7分）2．求经过定点(1,2)M ，以y 轴为准线，O /C P E yxO F DB AAC 离心率为21的椭圆的左顶点的轨迹方程.（9分）七、（本题满分15分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为,,a b c ，且c =10，34cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点.求点P 到顶点,,A B C 的距离的平方和的最大值与最小值.八、（本题满分12分）设2a >，给定数列{}n x ,其中1x a =,)2,1()1(221 =-=+n x x x n nn .求证：1．2n x >，且11(1,2)n nxn x +<=；2．如果3a ≤，那么112(1,2)2n n x n -≤+=；3．如果3a >，那么当lg34lg 3a n ≥ 时，必有13n x +<.九、（附加题，本题满分10分，不计入总分）如图，已知圆心为O ，半径为1的圆与直线l 相切于点A ，一动点P 自切点A 沿直 线l 向右移动时，取弧 的长为AP 32，直线PC 与直线AO 交于点M .又知当AP =43π时，点P 的速度为v .求这时点M 的速度.(A )a 2xO xO OxaO xa 1985年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题 满分120分，120分钟 一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1．如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是A .32aB .33aC .34aD .36a .2．tan 1x =是54x π=的A .必要条件B .充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3．在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？ A .).(2R x x y ∈= B .)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x ey x ∈= 4．极坐标方程)0(sin >θ=ρa a 的图象是A BC D5．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分.只要求直接写出结果） 1．求方程1)6sin(2=π+x 解集．2．设1||≤a ，求)arccos(arccos a a -+的值．3．求曲线64162+-=x y 的焦点． 4．设66565(31)x a x a x -=+++ 10a x a +,求6510a a a a ++++的值． 5．设函数()f x 的定义域是[]0,1，求函数2()f x 的定义域．三、（本题满分14分）1．解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++．2．解不等式.152+>+x x四、（本题满分15分）如图，设平面AC 和BD 相交于BC ，它们所成的一个二面角为450，P 为平面AC 内的一点，Q 为面BD 内的一点．已知直线MQ 是直线PQ 在平面BD 内的射影，并且M 在BC 上．又设PQ 与平面BD 所成的角为β，∠CMQ (090)θθ=︒<<︒，线段PM 的长为a ，求线段PQ 的长．-θθZ 2Z 1O x y五、（本题满分15分）设O 为复平面的原点，1Z 和2Z 为复平面内的两动点，并且满足：（1）1Z 和2Z 所对应的复数的辐角分别为定值θ和θ-)20(π<θ<； （2）△12OZ Z 的面积为定值S ．求△12OZ Z 的重心Z 所对应的复数的模的最小值.六、（本题满分15分）已知两点(2,2),(0,2)P Q -以及一条直线l ：y x =．设长为2的线段AB 在直线l 上移动，如图求直线PA 和QB 的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）． 七、（本题满分14分）设(n a n n =++（1,2n =）．（1）证明不等式2)1(2)1(2+<<+n a n n n 对所有的正整数n 都成立．（2）设),2,1()1( =+=n n n a b nn 用定义证明1lim 2n n b →∞=．八、（本题满分12分） 设,a b 是两个实数，{(,),,A x y x n y na b n ===+是整数}，2{(,),315,B x y x m y m m ===+是整数}，22{(,)144}C x y x y =+≤是平面xOy 内的点集合，讨论是否存在a 和b 使得：（1）A ∩B ≠φ（φ表空集），（2）(,)a bC ∈同时成立. 九、（附加题，本题满分10分） 已知曲线326116y x x x =-+-.在它对应于]2,0[∈x 的弧段上求一点P ，使得曲线在该点的切线在y 轴上的截距为最小，并求出这个最小值．G 3G 2G 1S F E-θθεD1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A ．)4sin 4(cos2π-πi B ．)4sin 4(cos 2π+πiC ．)4cos 4(sin 2π-πiD ．)4cos 4(sin 2π-π-i2．函数1)2.0(+=-x y 的反函数是A ．1log 5+=x yB ．15log +=x yC ．)1(log 5-=x yD ．1log 5-=x y 3．极坐标方程34cos =θρ表示 A ．一条平行于x 轴的直线 B ．一条垂直于x 轴的直线 C ．一个圆 D ．一条抛物线4．函数x x y 2cos 2sin 2=是 A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数 C ．周期为4π的奇函数D ．周期为4π的偶函数5．给出20个数： 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．它们的和是A ．1789B ．1799C ．1879D ．1899 6．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件7．如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A ．D E = B ．D F = C ．E F = D ．D E F ==8．在正方形123SG G G 中，,E F 分别是12G G 及23G G 的中点，D 是EF 的中点，现在沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使123,,G G G 三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S EFG-中必有 A ．SG ⊥△EFG 所在平面 B ．SD ⊥△EFG所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．DG ⊥△SEF 所在平面 9．在下列各图中，2y ax bx =+与(0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A ．B ．C ．D ．10．当]0,1[-∈x 时，在下面关系式中正确的是A ．21arcsin )arccos(x x -=--πB ．21arccos )arcsin(x x -=--πC ．21arcsin arccos x x -=-πD ．21arccos arcsin x x -=-π 二、（本题满分24分） 1．求方程4)5.0(5252=-+x x 的解．2．已知1,2312+ω+ω--=ω求i 的值．3．在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0)，(1,0)，(2,1)，(0,3)．求这个四边形绕x 轴旋转一周所得O P y x P 2P 1M (-1,0)l 2l 1F (1,0)O C B A yx 到的几何体的体积．4．求11)2(3)2(3lim ++∞→-+-+n n nn n ．5．求523)12(xx -展开式中的常数项．6．已知1sin cos 2θθ-=，求33sin cos θθ-的值．三、（本题满分10分） 如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ． 四、（本题满分12分）当sin 20x >时,求不等式)13(log )152(log 5.025.0+>--x x x 的解集．五、（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点,A B ．试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值．六、（本题满分10分）已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数：（1）C A B ⊂且C 中含有3个元素，（2）C A φ≠（φ表示空集）． 七、（本题满分12分） 过点(1,0)M -的直线1l 与抛物线24y x =交于12,P P 两点．记：线段12P P 的中点为P ；过点P 和这个抛物线的焦点F 的直线为2l ；1l 的斜率为k ．试把直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数．八、（本题满分12分） 已知110,1x x >≠，且212(3)(1,2,)31n n n n x x x n x ++==+．试证：数列{}n x 或者对任意自然数n 都满足1n n x x +<,或者对任意自然数n 都满足1n n x x +>．九、（附加题，本题满分10分） 1．求2arctan y x x =的导数． 2．求过点(1,0)-并与曲线21++=x x y 相切的直线方程．1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分）1．设S，T是两个非空集合，且S T，T S，令X S T=，那么S X=A．X B．T C．φ D．S2．设椭圆方程为22221x ya b+=(0)a b>>，令22bac-=，那么它的准线方程为A．cay2±= B．cby2±=C．cax2±= D．cbx2±=3．设,a b是满足0ab<的实数，那么A．|a b+|>|a b-|B．|a b+|<|a b-|C．|a b-|<||a|-|b||D．|a b-|<|a|+|b|4．已知,,,E F G H为空间中的四个点，设命题甲：点,,,E F G H不共面，命题乙：直线EF和GH不相交．那么A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条件5．在区间)0,(-∞上为增函数的是A．)(log21xy--= B．xxy-=1C．2)1(+-=xy D．21xy+=6．要得到函数)32sin(π-=xy的图象，只需将函数xy2sin=的图象（图略）A．向左平行移动3πB．向右平行移动3πC．向左平行移动6πD．向右平行移动6π7．极坐标方程θ+θ=ρcos2sin所表示的曲线是A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线8．函数])2,2[)(arccos(cosππ-∈=xxy的图象是A．B．C．D．二、（本题满分28分）本题共7小题，每一个小题满分4分只要求写出结果1．求函数3x2tgy=的周期2．已知方程22121x yλλ-=++表示双曲线，求λ的范围.3．若(1)nx+的展开式中，3x的系数等于x的系数的7倍，求n.4．求极限222122lim111nnn n n→∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.5．在抛物线24y x=上求一点，使该点到直线45y x=-的距离为最短.6．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数.7．一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之差，求斜高.三、（本题满分10分）求︒︒︒︒70sin50sin30sin10sin的值.⊆⊆AB C E D P四、（本题满分12分） 如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.五、（本题满分12分） 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.六、（本题满分12分，共2个小题） 设复数12z z 和满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 为不等于0的复数.证明：（1）212||||||z A z A A ++=；（2）1122z A z Az A z A++=++. 七、（本题满分12分，共3个小题） 设数列 ,,,,21n a a a 的前n 项的和nS 与n a 的关系是,)1(11nn n b ba S +-+-=其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-. （1）求1-n n a a 和的关系式;（2）写出用n 和b 表示n a 的表达式; （3）当10<<b 时，求极限n n S ∞→lim .八、（本题满分10分）定长为3的线段AB 的两端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标.九、（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）（1）求极限1lim 12xn x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）设y ),x 1ln(x y 2'+=求.。
注重能力考查 重视素养导向--对2020年数学新高考卷Ⅰ的试题赏析
#7考频道zh o n g sh u ca n .co m注重能力考查重视素养导向—对2020年数学新高考卷I 的试题赏析郭允军（山东省枣庄市第八中学）摘要：2020年数学新高考卷I 创设了新题型，增加了阅读量，强化了应用性，诠释了多样解，注重能力考查，重视素养导向，为今后的高中数学教学指明了方向。
关键词：能力；素养；新高考文章编号：1〇〇2-2171 (2020) 11-0064-03《普通高中数学课程标准（2017年版）》颁布后，全国各地陆续开始实行教育综合改革。
2020年是山 东新高考的第一年，使用的是新高考卷I ,数学不分 文理科。
过渡时期的高考内容改革除了要体现高校 对人才的选拔功能，还要特别关注新高考不分文理科 的特点，把握好试题的难度和区分度。
因此，为表12019年高考数学全国卷I (理科）2020年新高考卷I题型题号考查内容题号考查内容1集合的交集1集合的并集2复数的运算2复数的运算3对数、指数大小比较3分步计数原理、组合数计算4黄金分割4球、平面平行、线面垂直5三角函数的图像与性质5概率公式选择题6古典概型（排列组合）6指数函数应用7向量夹角7向量积定义式8程序框图8抽象函数不等式9等差数列通项公式、前〃项和9(多选）曲线方程的特征10椭圆标准方程10(多选）三角函数图像及性质11三角函数的性质11(多选）基本不等式12三棱锥与球的综合12(多选)新定义（对数、不等式）13曲线的切线方程（求导）13抛物线（焦点弦长）填空题14等比数列前《项和14等差数列前n 项和15概率15三角函数的实际应用16双曲线离心率(平面向量）16直棱柱（线面垂直、弧长公式）17解三角形17解三角形18立体几何（线面平行、二面角）18等比数列通项公式、前《项和19抛物线（平面向量、弦长）19分布列、独立性检验解答题20复合函数（导数、零点）20四棱锥（线面平行、垂直，线面角）21分布列、等比数列21复合函数（导数、不等式恒成立）22(选做)坐标系与参数方程22椭圆（标准方程、定值）23(选做）不等式选讲了更好地服务教学，我们对2020年数学新高考卷I 进行赏析、研究是非常有必要的。
1993年全国统一高考数学试卷(理科)
1993年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分） 1．（4分）函数f （x ）=sinx+cosx 的最小正周期是（ ） A ． 2π B ． C ． π D ．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 23．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x ﹣4y+5=0关于x 轴对称的直线的方程为（ ） A ． 3x+4y ﹣5=0 B ． 3x+4y+5=0 C ． ﹣3x+4y ﹣5=0D ． ﹣3x+4y+5=04．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 焦点到准线距离为的椭圆B ． 焦点到准线距离为的双曲线右支 C ． 焦点到准线距离为的椭圆 D ． 焦点到准线距离为的双曲线右支5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数 C ． 减函数且是奇函数 D ． 减函数且是偶函数 6．（4分）的值为（ ） A ．B ．C ．D ．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（ ）A ． M =NB ． M ⊂NC ． M ⊃ND ． M ∩N=Φ 8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（ ） A ． B ． C ． D ．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ） A ． a 2＞b 2 B ．C ． l g （a ﹣b ）＞0D ．11．（4分）一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（ ） A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 双曲线的一支 D ． 抛物线 12．（4分）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ． 13．（4分）（+1）4（x ﹣1）5展开式中x 4的系数为（ ） A ． ﹣40 B ． 10 C ． 40 D ． 4514．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（ ）A ． 2πB ．C ．D ．15．（4分）已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（ ） A ． a 1+a 8＞a 4+a 5 B ． a 1+a 8＜a 4+a 5 C ． a 1+a 8=a 4+a 5 D ． a 1+a 8和a 4+a 5的大小关系不能由已知条件确定 16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l 、m 都在平面α内，并且都不在平面β内； 乙：直线l 、m 中至少有一条与平面β相交； 丙：平面α与平面β相交． 当甲成立时（ ） A ． 乙是丙的充分而不必要条件 B ． 乙是丙的必要而不充分条件 C ． 乙是丙的充分且必要条件17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=_________．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为_________．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_________种取法（用数字作答）．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=_________．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为_________．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为_________度．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．1993年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共17小题，每小题4分，满分68分）1．（4分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：把三角函数式整理变形，变为f（x）=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期公式求出周期，变形时先提出，式子中就出现两角和的正弦公式，公式逆用，得到结论．解答：解：∵f（x）=sinx+cosx=（=，∴T=2π，故选A点评：本题关键是逆用公式，抓住公式的结构特征对提高记忆公式起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．2．（4分）如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，能求出a，c，从而得到该双曲线的离心率．解答：解：由题意知，∴a2=6，c=3，∴．故选C．点评：本题考查双曲线的离心率、准线方程、焦距，要求熟练掌握双曲线的性质．3．（4分）（2012•北京模拟）和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的方程为（）D．﹣3x+4y+5=0A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．﹣3x+4y﹣5=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．分析：求出和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线的斜率，再求出直线3x﹣4y+5=0和x轴的交点，可求答案．解答：解：和直线3x﹣4y+5=0关于x轴对称的直线，其斜率与直线3x﹣4y+5=0的斜率相反，设所求直线为3x+4y+b=0，两直线在x轴截距相等，所以所求直线是3x+4y+5=0．借助斜率，比较简单．4．（4分）极坐标方程所表示的曲线是（ ）A ． 焦点到准线距离为的椭圆B ． 焦点到准线距离为的双曲线右支 C ． 焦点到准线距离为的椭圆 D ． 焦点到准线距离为的双曲线右支考点： 简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题．分析：利用圆锥曲线统一的极坐标方程，求出圆锥曲线的离心率和焦点到准线距离，从而确定选项．解答：解：将原极坐标方程为，化成：极坐标方程为ρ=，对照圆锥曲线统一的极坐标方程得：e=＞1，表示双曲线，且焦点到准线距离为．故选B ．点评： 本题主要考查了圆锥曲线的极坐标方程，属于基础题．5．（4分）在[﹣1，1]上是（ ）A ． 增函数且是奇函数B ． 增函数且是偶函数 C ． 减函数且是奇函数 D ． 减函数且是偶函数考点： 幂函数的性质． 专题： 数形结合． 分析：做出幂函数的图象，根据幂函数的图象与性质：可得在[﹣1，1]上的单调性和奇偶性． 解答：解：考查幂函数．∵＞0，根据幂函数的图象与性质可得在[﹣1，1]上的单调增函数，是奇函数．点评：本题主要考查幂函数的图象与性质，幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质．6．（4分）的值为（）A．B．C．D．考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：分子分母都除以n2，原式简化为，由此可得到的值．解答：解：==．点评：本题考查数列的极限，解题时要注意正确选用公式．7．（4分）（2002•广东）设集合M=，N=，则（）A．M=N B．M⊂N C．M⊃N D．M∩N=Φ考点：集合的包含关系判断及应用．分析：从元素满足的公共属性的结构入手，首先对集合N中的k分奇数和偶数讨论，易得两集合的关系．解答：解：当k=2m（为偶数）时，N==当k=2m﹣1（为奇数）时，N===M∴M⊂N故选B点评：本题主要考查集合表示方法中的描述法．8．（4分）sin20°cos70°+sin10°sin50°的值是（）考点： 三角函数中的恒等变换应用．分析：从题目的结构形式来看，本题是要逆用两角和或差的正弦余弦公式，但是题目又不完全符合，因此有一个整理的过程，整理发现，刚才直观的认识不准确，要前后两项都用积化和差，再合并同类项． 解答：解：原式=]==，故选A点评： 在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点．本题开始考虑时差点出错，这是解题时好多同学要经历的过程．9．（4分）参数方程（0＜θ＜2π）表示（ ）A ． 双曲线的一支，这支过点B ． 抛物线的一部分，这部分过C ． 双曲线的一支，这支过点D ． 抛物线的一部分，这部分过考点： 参数方程化成普通方程． 专题： 计算题．分析： 将参数方程化为普通方程，然后再对A 、B 、C 、D 进行判断； 解答：解：∵x=|cos+sin|，∴x 2=1+sinθ，∵y=（1+sinθ）， ∴y=x 2，是抛物线； 当x=1时，y=；故选B ．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则（ ） A ． a 2＞b 2 B ． C ． l g （a ﹣b ）＞0 D ．分析：由题意可知a＞b，对于选项A、B、C举出反例判定即可．解答：解：a、b是任意实数，且a＞b，如果a=0，b=﹣2，显然A不正确；如果a=0，b=﹣2，显然B无意义，不正确；如果a=0，b=﹣，显然C，lg＞0，不正确；满足指数函数的性质，正确．故选D．点评：本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，是基础题．11．（4分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．解答：解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．点评：本题主要考查双曲线的定义．12．（4分）圆柱轴截面的周长l为定值，那么圆柱体积的最大值是（）A．B．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；综合题．分析：设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值．解答：解：圆柱底面半径R，高H，圆柱轴截面的周长L为定值：4R+2H=L，H=﹣2R，V=SH=πR2H=πR2（﹣2R）=πR2﹣2πR3求导：V'=πRL﹣6πR2令V'=0，πRL﹣6πR2=0，πR（L﹣6R）=0，L﹣6R=0，R=，V=πR2﹣2πR3=故选A．点评：本题考查旋转体的体积，导数的应用，是中档题．13．（4分）（+1）4（x﹣1）5展开式中x4的系数为（）A．﹣40 B．10 C．40 D．45考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：先将展开式的系数转化成几个二项展开式系数乘积的和，再利用二项展开式的通项公式求出各个二项式的系数．解答：解：展开式中x4的系数是下列几部分的和：的常数项与（x﹣1）5展开式的含x4的项的系数的乘积含x项的系数与（x﹣1）5展开式的含x3的项的系数的乘积含x2项的系数与（x﹣1）5展开式的含x2的项的系数的乘积∵展开式的通项为（x﹣1）5展开式的通项为T k+1=C5r x5﹣r（﹣1）r=（﹣1）r C5r x5﹣r∴展开式中x4的系数为C40（﹣C51）++C44（﹣C53）=45故选项为D点评：本题考查数学的等价转化的能力和二项展开式的通项公式的应用．14．（4分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为（5+）π，则旋转体的体积为（）A．2πB．C．D．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：由题意可知，这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积．再根据题目中的条件求解即可．解答：解：这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积，圆的面积，直角腰为半径，长方形的面积，圆的周长为长，上底为宽，扇形的面积，圆的周长为弧长，另一腰则为扇形的半径．设上底为x，则下底为，直角腰为，另一腰为整个面积式子为，解得x=±2，因为x＞0，所以x=﹣2舍去，x=2．而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱体积=Sh=h=π×12×2=2π，圆锥体积=π所以整个几何体的体积为．故选D．点评：本题考查学生的空间想象能力，和逻辑思维能力，等量之间的转换，是中档题．15．（4分）已知a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列，公式q≠1，则（）A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8=a4+a5D．a1+a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定考点：等比数列．分析：用作差法比较即可．解答：解：a1+a8﹣（a4+a5）=a1（1+q7﹣q3﹣q4）=a1（1+q）（q2+q+1）（q﹣1）2（1+q2）又∵a1＞0，a1，a2，…，a8为各项都大于零的等比数列∴q＞0∴a1+a8﹣（a4+a5）＞0故选A点评：本题考查比较法和等比数列通项公式的应用．16．（4分）（2014•黄山一模）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件考点：空间中直线与平面之间的位置关系；充要条件．专题：证明题；压轴题．分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．解答：解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选C．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．（4分）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有（）A．6种B．9种C．11种D．23种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；压轴题．分析：首先计算4个数字填入4个空格的所有情况，进而分析计算四个数字全部相同，有1个数字相同的情况，有2个数字相同情况，有3个数字相同的情况数目，由事件间的相互关系，计算可得答案．解答：解：根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共A44=24种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24﹣1﹣8﹣6=9种，故选B．点评：本题考查排列、组合的运用，注意此类题目的操作性很强，必须实际画图操作，认真分析．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）18．（4分）=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用两角和正玹公式展开，利用反三角函数值的求法，即可求出答案解答：解：sin（arccos+arccos）=sin（arccos）cos（arccos）+cos（arccos）sin（arccos）==故答案为；点评：本题考查三角函数求值，不过学生对反三角函数不是很理解，希望学生能抓住实质，加大训练量．19．（4分）若双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，则实数k的取值范围为{k|或}．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点知圆半径的长小于双曲线的实半轴的长，由此可以求出实数k的取值范围．解答：解：∵双曲线=1与圆x2+y2=1没有公共点，∴|3k|＞1，∴．解得或．实数k的取值范围为{k|或}．答案为{k|或}．点评：熟练掌握圆和双曲线的图象和性质即可顺利求解．20．（4分）从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有100种取法（用数字作答）．考点：组合及组合数公式；排列、组合的实际应用．分析：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；分析可得，若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；分别求出两种情况下的取法情况数，相加可得答案．解答：解：根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数；若有1个奇数时，有C51•C53=50种取法，若有3个奇数时，有C51•C53=50种取法，故符合题意的取法共50+50=100种取法；故答案为100．点评：本题考查利用组合解决常见计数问题的方法，解本题时，注意先分组，进而由组合的方法，结合乘法计数原理进行计算．21．（4分）设f （x）=4x﹣2x+1，则f﹣1（0）=1．考点：反函数．专题：计算题．分析：欲求f﹣1（0），根据反函数的定义知，只要求出使等式4x﹣2x+1=0，成立的x的值即可．解答：解：∵4x﹣2x+1=0，2x（2x﹣2）=0，∴2x﹣2=0得：x=1．∴f﹣1（0）=1．故答案为1．点评：本题主要考查了反函数的概念，属于基础题之列．22．（4分）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为1760．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：欲求水池的最低造价，先设长x，则宽，列出总造价，是一个关于x的函数式，最后利用基本不等式求出此函数式的最小值即可．解答：解：设长x，则宽，造价y=4×120+4x×80+×80≥1760，当且仅当：4x×80=×80，即x=2时取等号．故答案为：1760．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．23．（4分）如图，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，记A与B重合后的点为P，则面PCD与面ECD所成的二面角为30度．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；压轴题．分析：二面角的度量关键在于作出它的平面角，取CD的中点M，连接PM、EM，因为PD=PC，所以PM⊥CD；同理因为ED=EC，所以EM⊥CD，故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．解答：解：设正方形的边长为2，取CD的中点M，连接PM、EM，∵PD=PC，∴PM⊥CD∵ED=EC，∴EM⊥CD故∠PME即为面PCD与面ECD所成二面角的平面角．在△PME中：PE=1，PM=，EM=2，∴cos∠PME=∴∠PME=30°故答案为：30．点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．三、解答题（共5小题，满分58分）24．（10分）已知f（x）=log a（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）求使f（x）＞0的x取值范围．考点：对数函数的定义域；函数奇偶性的判断．分析：（1）求对数函数的定义域，只要真数大于0即可，转化为解分式不等式．（2）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到．（3）有对数函数的图象可知，要使f （x）＞0，需分a＞0和a＜0两种境况讨论．解答：解：（1）由对数函数的定义知．如果，则﹣1＜x＜1；如果，则不等式组无解．故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）∵，∴f（x）为奇函数．（3）（ⅰ）对a＞1，log a等价于，①而从（1）知1﹣x＞0，故①等价于1+x＞1﹣x，又等价于x＞0．故对a＞1，当x∈（0，1）时有f（x）＞0．（ⅱ）对0＜a＜1，log a等价于0＜．②而从（1）知1﹣x＞0，故②等价于﹣1＜x＜0．故对0＜a＜1，当x∈（﹣1，0）时有f（x）＞0．点评：本题考查对数函数的性质：定义域、奇偶性、单调性等知识，难度一般．25．（12分）已知数列S n为其前n项和．计算得观察上述结果，推测出计算S n的公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数列递推式；数学归纳法．专题：证明题．分析：观察分析题设条件可知．然后再用数学归纳法进行证明．解答：解：观察分析题设条件可知证明如下：（1）当n=1时，，等式成立．（Ⅱ）设当n=k时等式成立，即则======由此可知，当n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）可知，等式对任何n∈N都成立点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要注意数学归纳法的证明步骤，注意培养计算能力．26．（12分）已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．求证：（1）a⊥γ；（2）b⊥γ．考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；压轴题．分析：（1）在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC，由面面垂直的性质得PM⊥α，PM⊥a；同理证明PN⊥a，这样a垂直于面γ内的2条相交直线，从而a⊥γ．（2）通过α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b，利用线面平行的性质定理证明，b∥a，由（1）知a⊥γ，从而证得b⊥γ．解答：证明：（1）设α∩γ=AB，β∩γ=AC．在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC．∵γ⊥α，∴PM⊥α．而a⊂α，∴PM⊥a．同理PN⊥a．又PM⊂γ，PN⊂γ，∴a⊥γ．（2）于a上任取点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2．∵b∥α，∴b∥a1．同理b∥a2．∵a1，a2同过Q且平行于b，∵a1，a2重合．又a1⊂α，a2⊂β，∴a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a．∵b∥a1，∴b∥a．而a⊥γ，∴b⊥γ．点评：本题考查证明线面垂直的证明方法．27．（12分）在面积为1的△PMN中，tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2．建立适当的坐标系，求以M，N为焦点且过点P的椭圆方程．考点：椭圆的标准方程．专题：计算题；压轴题．分析：以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程和焦点坐标，根据tanM=，tanα=tg（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和PN的直线方程，将此二方程联立解得x和y，可知点P的坐标，根据，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，根据三角形面积公式表示出出△MNP的面积求得c，则点P的坐标可得．由两点间的距离公式求得|PM|和|PN|，进而根据椭圆的定义求得a，进而求得b，则椭圆方程可得．解答：解：如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为，焦点为M（﹣c，0），N（c，0）．由tan∠PMN=，tan∠MNP=﹣2，tanα=tan（π﹣∠MNP）=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=（x+c）和y=2（x﹣c）．将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为（c，c）．在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故．由题设条件S△MNP=1，∴c=，即P点坐标为．由两点间的距离公式，．得．又b2=a2﹣c2=，故所求椭圆方程为．点评：本题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．28．（12分）设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），，并且，，求θ．考点：复数代数形式的混合运算．专题：压轴题．分析：化简ω，利用，求出θ的三角函数值，再用，来验证ω，从而求出θ的值．解答：解法一===tg2θ（sin4θ+icos4θ）．，．因0＜θ＜π，故有（ⅰ）当时，得或，这时都有，得，适合题意．（ⅱ）当时，得或，这时都有，得，不适合题意，舍去．综合（ⅰ）、（ⅱ）知或．解法二z4=cos4θ+isin4θ．记φ=4θ，得．．==．∵，，①②③∴当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ），或（ⅱ），解（ⅰ）得或．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）或．点评：本题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力；注意分类讨论思想的应用，难度较大．。
1989年高考数学试题(文理科)
一九八九年（理科）考生注意：这份试题共三道大题（24个小题），满分120分. 一．选择题（本题满分36分，共12个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内。
每一个小题选对得3分，不选或选错一律得0分。
）1．如果I={a,b,c,d,e},M={a,c,d},N={b,d,e},其中I 是全集，那么N M ⋂等于 （ A ）（A ）φ （B ）{d} （C ）{a,c} （D ）{b,e} 2．与函数y=x 有相同图象的一个函数是 （ D ）（A ）2x y = （B ）xx y 2=（C ）.1a ,0a .a y x a log ≠>=其中 （D ）.1a ,0a .a log y x a ≠>=其中3．如果圆锥的底面半径为2，高为2，那么它的侧面积是（ C ）（A ）π34 （B ）π22 （C ）π32 （D ）π24 4．)]53arccos()54(cos[arcsin ---的值等于 （ A ）（A ）-1 （B ）257-（C ）257（D ）510-5．已知}a {n 是等比数列，如果,9a a a ,18a a a 432321-=++=++且n n n 21n S lim ,a a a S ∞→+++=那么 的值等于（ B ）（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）48 6．如果2sin ,325,51|cos |θπ<θ<π=θ那么的值等于 （ C ）（A ）510-（B ）510 （C ）515- （D ）5157．设复数z 满足关系式i 2|z |z +=+，那么z 等于（ D ）（A ）i 43+- （B ）i 43- （C ）i 43-- （D ）i 43+ 8．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且相距为1，那么这个球的半径是 （ B ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）5 9．已知椭圆的极坐标方程是,cos 235θ-=ρ那么它的短轴长是（C ）（A ）310（B ）5 （C ）52 （D ）32 10．如果双曲线136y 64x 22=-上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准线的距离是 （ D ）（A ）10 （B ）7732 （C ）72 （D ）53211．已知,x x 28)x (f 2-+=如果),x 2(f )x (g 2-=那么)x (g（ A ）（A ）在区间（-1，0）上是减函数 （B ）在区间（0，1）上是减函数 （C ）在区间（-2，0）上是增函数 （D ）在区间（0，2）上是增函数12．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 （ C ）（A ）60个 （B ）48个 （C ）36个 （D ）24个 二．填空题（本题满分24分，共6个小题，每一个小题满分4分。
历年高考真题合集及答案解析
历年高考真题合集及答案解析自1977年恢复高考以来，高考一直是中国教育界的重大事件，也是千千万万学生拼搏的舞台。
为了更好地备考，了解历年高考真题及其答案解析是非常重要的。
本文将为大家提供一份历年高考真题合集及其答案解析，希望能对大家的备考有所帮助。
第一部分：文理科分别回顾（一）文科真题及答案解析1. 语文高考语文是文科考生的必考科目，多年来，语文试题风格多变，注重对学生的综合分析能力和理解能力的考察。
备考时，要注重积累词汇，提升理解能力和阅读速度。
2. 历史历史是文科生必考科目之一，历年高考历史考题注重考查对历史事件的理解和分析能力。
备考时，要重点掌握各个时期的重大事件和历史人物，并了解其背后的社会背景和影响。
3. 英语英语是文科生必考科目之一，英语试题注重考查对英语知识的掌握和应用能力，备考时，要通过大量的阅读和听力训练，提高语言表达和理解能力。
（二）理科真题及答案解析1. 数学高考数学是理科考生的必考科目，多年来，数学试题风格多变，注重对学生的逻辑思维和解题能力的考察。
备考时，要注重理论知识的学习和基本题型的巩固，同时要多做题，多思考，提高解题的能力。
2. 物理物理是理科生必考科目之一，历年高考物理考题注重考查对物理概念和规律的理解和应用能力。
备考时，要重点掌握物理规律和公式，并注重对实际问题的应用。
3. 化学化学是理科生必考科目之一，历年高考化学考题注重考查对化学概念和反应过程的理解和分析能力。
备考时，要注意细化知识点，掌握反应过程中的关键步骤和条件，同时也要了解常见的化学实验和实际应用。
第二部分：历年高考真题案例分析（一）高考真题案例解析1. 语文（题目和解析）2. 历史（题目和解析）3. 英语（题目和解析）（二）真题答案解析的重要性历年高考真题解析不仅可以让学生了解高考题目的类型和风格，也可以帮助学生深入理解题目的解题思路和方法。
通过对历年真题的解析，学生可以更好地了解自己的知识盲点，并针对性地进行备考。
1978-1982年高考数学试题全国卷
1978年试题高考数学试题全国卷注意事项:1.理工科考生要求除作（一）--（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一）--（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.2.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.（二）已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数量特征的草图. （三）（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AM⊥MN 于M点,BN⊥MN于N点,CD⊥AB于D点.求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AM·BN.（四）已知log189=a(a≠2),18b=5.求log3645.（五）（本题和第（六）题选作一题）已知△ABC的三内角的大小成（六）已知α、β为锐角,且3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.(1)m是什么数值时,y的极值是0?(2)求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草图,来检验这个结论.(3)平行于l1的直线中,哪些与抛物线相交,哪些不相交?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线,被各抛物线截出的线段都相等. 1978年试题答案（一）1.解:原式=(x2-4xy+4y2)-4z2=(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2πr=a.3.解:∵lg(2+x)≥0,∴2+x≥1.x≥-1为所求的定义域.（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA 、CB,则∠ACB=90°.∠ACM=∠ABC （弦切角等于同弧上的圆周角）, ∠ACD=∠ABC （同角的余角相等）, ∴ ∠ACM=∠ACD. ∴ △ACM ≌△ADC. ∴ CM=CD.同理 CN=CD.∴ CD=CM=CN. 2)∵ CD ⊥AB,∠ACB=90°,∴ CD 2=AD ·DB （比例中项定理）. 由1),可知 AM=AD,BN=BD, ∴ CD 2=AM ·BN.（四）解法一:∵log 189=a,∴18a =9. 又 18b =5,∴ 45=9×5=18a ·18b =18a+b , 设 log 3645=x,则36x =45=18a+b , ∴ log 1836x =log 1818a+b但 36=2×18=4×9,∴ log 18(2×18)=log 18(22×9).即 1+log 182=2log 182+log 189=2log 182+a. ∴ log 182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180°,又2B=A+C.∴3B=180°,B=60°,A+C=120°.以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得此即各抛物线顶点坐标所满足的方程.它的图形是一条直线,方程中不当m=-1、0、1时,x,y 之间的函数关系为分别作出它们的图象P 1、P 2、P 3. 它们的顶点都在直线l 1上.(3)设l:x-y=a 为任一条平行于l 1的直线. 与抛物线y=x 2+(2m-1)x+m 2-1方程联立求解. 消去y,得x 2+2mx+m 2-1+a=0. ∴ (x+m)2=1-a.因而当1-a ≥0即a ≤1时,直线l 与抛物线相交,而1-a<0即a>1时,直线l 与抛物线不相交.即直线l 与抛物线两交点横坐标为因直线l 的斜率为1,它的倾斜角为45°. ∵ 直线l 被抛物线截出的线段等于而这与m 无关.因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等. _1979年试题高考数学试题全国卷理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列.2.化简:3.甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤υ1公斤，乙有υ2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?4.叙述并且证明勾股定理.5.外国般只,除特许者外,不得进入离我海岸线D以内的区城.设A及B是我们的观测站,A及B间的距离为S,海岸线是过A,B的直线.一外国船在P点.在A站测得∠BAP=α,同时在B站测得∠ABP=β.问α及β满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角.求证:△ABC是锐角三角形.7.美国的物价从1939年的100增加到四十年后1979年的500.如果每年物价增长率相同,问每年增长百分之几?(注意:自然对数1nx是以e=2.718…为底的对数.本题中增长率x<0.1,可用自然对数的近似公式:ln(1+x)≈x.取lg2=0.3,ln10=2.3来计算).8.设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰△OAB的顶角为2θ,高为h.(1)在△OAB内有一动点P,到三边OA,OB,AB的距离分别为│PD│,│PF│,│PE│并且满足关系│PD│·│PF│=│PE│2.求P点的轨迹.(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得│PD│+│PE│=│PF│. 1979年试题(理工农医类)答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-2·2y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0,∴z+x-2y=0即z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0.∴a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.3.解:甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为〔m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1)〕:〔n1v1(m2+n2)+n2v2(m1+n1)〕.4.解:略.(参考一般教科书)5.解:自P向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=d·ctgα.在直角三角形PBC中,BC=d·ctgβ.∴S=AC+BC=d(ctgα+ctgβ).当d≤D,即时,应向外国船发出警告.6.证法一:设V A=a,VB=b,VC=c,AB=p,BC=q,CA=r.于是p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2.由余弦定理,所以∠CAB为锐角.同理,∠ABC,∠BCA也是锐角.证法二:作VD⊥BC,D为垂足,因V A垂直于平面VBC,所以V A⊥BC又BC⊥VD,所以BC垂直于平面V AD,从而BC⊥AD即在△ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间,因此,∠B和∠C都是锐角.同理可证∠A也是锐角.7.解:年增长率x应满足100(1+x)40=500,即(1+x)40=5,取自然对数有40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四.8.证法一:连结CD.因∠CFD=90°,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D,∴CD⊥AB.又在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∴AC2=AD·AB,BC2=BD·BA.证法二:由△BDF∽△ABC,得9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负数.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得k≤14.2由(2)得k>13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大.取k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.9565>0,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数.所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x>0.直线OA的方程为y=xtgθ,直线OB的方程为y=-xtgθ,直线AB的方程为x=h.又因为P点在∠AOB内,于是由条件│PD│·│PF│=│PE│2得x2sin2θ-y2cos2θ=(h-x)2,(1)即x2cos2θ-2hx+y2cos2θ+h2=0. 除以cos2θ(0≠)得(2)由条件│PD│+│PE│=│PF│得xsinθ-ycosθ+h-x=xsinθ+ycosθ,即x+2ycosθ=h. (Ⅱ)由(1),(Ⅱ)得x2sin2θ-y2cos2θ=4y2cos2θ∴5y2cos2θ=x2sin2θ,由│PD│+│PE││PF│可知y>0,所以这里右端取正号.代入(Ⅱ)得解法二:设OP与正x轴的夹角为α,则│PD│=│OP│sin(θ-α)=│OP│(sinθcosαθ-cosθsinα) =xsinθ-ycosθ,│PF│=│OP│sin(θ+α)=│OP│sinθcosαθ+cosθsinα=xsinθ+ycosθ.以下与上面的解法一相同。
1979年高考数学天下卷(理科)及其参考答案
V1
1 1
csc2 x
公斤，乙有
,乙中纯酒精与水之比为
1
2.社会主义本质理论对探索怎样建设3.社19会57主年义2月具，有毛重在要《的关实于践正意确义处。理社人会民主内义2.社部本科会矛质学主盾理的义的论1本本问的.邓质质题提小是的》出平创科讲，提新学话为出，内中我“创涵提们社邓新。出寻始会小的邓（找终主平关小1一代义）坚键平种表的我2持在对能.1中本国把科人社9够国质社5发学才会从4先，会展社年，主更进是主作会，人义深生解义为主毛才本层产放制执义在的质次1力生度政理《成所.认社1的产还兴论论长作.识会 发发力刚国和十靠的社主 展展，刚的实大教概会义 才要发建第践关坚育括主本 是求展立一的系2持。，义质 硬、，生，要基》以人一，理 道发大产还务本重发才方从论 理展力力没是成要展资面而把 ，才促，有由果讲社的源强为我 把是进消完中，话会办是调中四们 发（硬先灭全国抓中主法第必国、对 展2道进剥建共住提三义解一）须的科社 生理生削立产“出、经决资采解社学会 产，产，党什（代济前源取放会技主 力是力消还的么1表基进。从和主术义 作）对的除不执是中础科低发义是1的 为吧社3发两完政社9国基的学级展.建第发认 社二国5会展极全地会先本问技到6生设一展识 会、内主，年分巩位主进建题术高产在生才提 主发外义是底化固所义生立，实级力改产是高 义1展一时中我，的决邓产的是力9，革力硬到 建是切间5国最思定怎小力同实和国另3开道了 设党积经共对终想年的样平的时行国家一放理一 的执极验产农达。1，建一发，改民资方中2，个 根政因教党业到（是设月再展我革教本面探是新 本兴素训站、共2对社，强要国开育主指索）适的 任国都的在手一同执会毛调求的放水义出出第创应科 务在的调深时工、富1政主泽，政以平的4了一三造.时学 ，社第动刻坚代.业发裕规义东中一治来，过2解条节性代水 符会一起总持前.和展。律”关社 国个领我始度放发、地主平 合阶要来结社列资才”认这于会 社公域们终形和展社提题。 马级务为。会，本是1识个总主 会有也党是式发更会9出变社 克二关中主保硬的根8路义 主制发的衡。展快主了化会 思6、系国义持道3深本线基 义占生一年量所生、义社.的主社发解用工现理化问的本 基主了条，综谓产人的会需义会生决和业金商，题1完制 本体重主邓合国力民根主要本 基.主变事所平化向业1也，整度 制，大要小国家的享本9义。质 本义化业有方建的是深5的度一变经平力资手受社任理 原6本的服问法设根社对刻表确 的个化验年提和本段到会 1务论 理第质同务题进与本会一党揭.述立 确共，。出社主社和社主基的 ，二理时的行社体主、实示：， 立同确苏“会义会目会3义本提 是节论，基关改会现义社现了.从为 ，富立共社文，社主的主一改矛出 巩、的我本键造主和改会其社中当 使裕了二会明就会义。义、造盾， 固对重国方是。义根造之所会华代 占，中十主程是主基建中的和为 和第社要针这改本基一承主人中 世这国大义度在义本设国基两进 发一会意。靠不造要本本担义民国 界是共以财的国基制内成特本类一 展节主义的（自仅同求完质的本共一 人我产后富重家本度涵果色完矛步 社、义主2己保时。成理历质和切 口们党毛属要直）制的包最伴社成盾推 会中本要的证并，论史，国发 四必领泽于标接正度确括大随会，的进 主国质矛发了举标第的这成展 分须导东人志控确的立（，着主是学改 义特理盾展2社。志五提需是立进 之坚的提民。制处确是1.能社义我说采革 制色论也。会实着章）出要对，步 一持人出，和理立中够会建国，取开 度社的发的践中把。马到奠 的民要社支经，国社充经设强积放 的会提生稳证国解克社定 东民“会配济是历会分济道调极和 必主出了定明历放思会了 方主以下建4广史主体制路要引社 然义变，.史和主主把制 大专苏义的设大上义现度初严导会 要二建化而党上发义义对度 国政为的资和劳最的出和步经格、主 求设。且坚长展的改企基 进党的鉴致本社动深本对社探济区逐义 。确道人极持达生重造业础 入在根社”富主会人刻质资会索结分步现立路民大社数产大基的。 了过本会，是义发民最和本经的构过代社的对的会千力逐发本改社渡原主探全经展真伟根主济理发正渡化会初于促主年概步展完造会时则义索民济中正大本义结论生确的建新主步经进义的括实，成和主期。基自共的成任优构成了处方设中义探济了改阶为现对，对义总本己同国一为社务越的果根理式提国基索文社造级国于这人制 社路政的致家系国会性根本两。供的本化会与剥家建是的度 会线治道富资列家变的一本变类中了成制迅主社削的设一改的 ，第制路。本重的革道、变化不国强立度速义会制社中个造建 这三主度。社大主，路社化，同这大，的发事主度的会国过结立 是节要。会义关人也，1会社性场的标重展业义的本主特.渡合极 世、内人主有系解和是奠主我会质巨思志大的的工结（质义色时起大 界社容民义初。决社2定义国主的大想着意需发业束30。工社期来地 社（会被民原级了会）世了基社义矛而武我义要展化，（业会。，提 会2主概则和3在生把纪理本会经盾深器国同），同实2化主党把高 主对义括专，高一产资中）论制的济，刻。新经遵改总时现新是义在对了 义手制为政第级个资本国强基度阶成在特的通民济循革之并了民党具这资工 运二七度“实一形以料主又调础的级分新别社过主文自4过，举由主在有个本人 动、届 业在一质是式农的.（义一消，初关已民是它会（没主化愿于和的新主过重过主阶 史新社二 的中化上发之民主1工次灭开步系占主要是变4收义不互集平方民（）义渡大渡义级 上民会中 社国三已展）分为人商划剥阔确也绝主正中革官能利中改针主3用社时的时工和 又主全 会的改成生坚。主）业时削了立发对义确国，僚命满、的造，主和会期理期商广 一主义会确”为产持初题正者代，广2生优革处革不资阶足典计解对义平的论.的业大 个义改提立。无，积级资的确改的消阔了势命理命仅√本段人型划决于向赎五总和总搞劳 历革造出 改“产第极形本、分造历除前根，理人的没中而民示体了在社3买种路实路糟动 史命的使 造一阶二领式主落（.析成史两景本社论民具有国形基需党范制诸深会的经线践线成人 性理历中 ，化级是导的义后1农为巨极。√的会内体对革成本要的和如刻主）方济的意和为民 的论史国 党”专共、工的村自变分邓中主指部实生命的结建国初实的义积法成主义总自的 伟是经“ 和即政同稳家商半的食。化小国义导矛际产在走社束状设家步现社的极改分体。任食积 大以验稳 政社；致步资业殖阶其们平社革。公下盾出力一农会和况。帮构社会转引造—。务其极 胜一毛步 府会人富前本的民级力吐对1会命有，。发的个村主社之加助想会变导资—要.，力性 利、泽地 采主民。进农社地和的出社第必制中（，发以包义会间强的，变革农本社从是的和 。适东由 取义代”的业会半阶社了会二须已国3不展农围的主党原要革中社民主会根）要社创合为农 了工表这方是、主封层会最主节级走成共拘造民城国义矛的则求与保会组义主本从在会造中主业 积大段针国手义建状主终义、构农为产泥成为市营改盾建，2中经持主织工义上全一主性国要极化会话，家工改的.况义达本社成村我党武于破主、经造，设以央济社义起商性改体个义。特代转 领，制成采对业造东，劳到质会主包国领装已坏体武济阶成，互向发会基来业中质变人相劳点表变 导“度为取私的方制动共所主要围社导斗有，的装段为（助地展稳本，。国的中民当动的为 ，三、社循营社大定者同作义有城会中争的而半夺掌我1合方，定制走共国出长者社中工 稳改会序）会国正。富的改工市国。现且殖取握开国作分和，度互产营贫发的。会国业 步”主渐商必主里逐确裕理造人、经武成促民政了始社的权平促在助3党经穷，时主共国 前即义进业须义步的这论二道阶武济民.装结进半权主。会优和新过进我合领济落“期义产， 进对本的实把改行形阶一概、路级装基取斗论了封的要从越扩民渡生国作导、后统内改党由 的个质步行思造革成级社括党和、�
1980年(高考数学试题文理科)
一九八0年（理科）一．（本题满分6分）将多项式x 5y-9xy 5分别在下列范围内分解因式： 1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围。
解：1.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x 2-3y 2).2.x 5y-9xy 5=xy(x 2+3y 2)(x+3y)(x-3y).3.x 5y-9xy 5=xy(x+3yi)(x-3yi)(x+3y)(x-3y). 二．（本题满6分）半径为1、2、3的三个圆两两外切。
证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形。
证：设⊙O 1⊙O 2⊙O 3的半径为1、2、3。
因这三个圆两两外切，故有 O 1O 2=1+2=3， O 2O 3=2+3=5，O 1O 3=1+3=4， 则有O 1O 22 + O 1O 32=32+42=52= O 2O 32。
根据勾股定理的逆定理，△O 1O 2O 3为直角三角形。
三．（本题满分10分）证：取△ABC 最长一边BC 所在的直线为X Y 轴，设A 、B 、C 的坐标分别为A （0，a ）、B （b ，0）、C （c ，0），根据所选坐标系，如图，有a >0,b<0,c>0AB 的方程为1=+a yb x ，其斜率为a b - AC 的方程为1=+a y cx，其斜率为ca - 高线CE 的方程为(1))(c x a by -= 高线BD 的方程为(2))(b x acy -= 解（1）、（2），得：（b-c)x=0∵b-c ≠0∴x=0即高线CE 、BD 的交点的横坐标为0因此，三条高线交于一点。
O 3Y A(0,a ) E D X四．（本题满分10分） 证明对数换底公式：)1,1,(log log log ``≠≠=b a N b a bNN a a b 都是正数 解：见课本。
五．（本题满分10分）直升飞机上一点P 在地面M 上的正射影是A ，从P 看地面上一物体B （不同于A ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一九七九年（理科）一．（本题满分6分）若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证：x,y,z 成等差数列。
证：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=（x+z)2-2·2y(z+x)+4y 2=(z+x-2y)2=0∴2y=x+z,所以，x,y,z 成等差数列。
二．（本题满分6分）x xx x tg xctg x222222csc sin 1csc 111111111111:.csc 111111:==-=+-=---=---原式解化简三．（本题满分6分）甲，乙二容器内都盛有酒精。
甲有V 1公斤，乙有V 2公斤。
甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2。
问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四．（本题满6分） 叙述并证明勾股定理。
证：略。
五．（本题满10分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域。
设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β。
问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ， 在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β ∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）。
当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告。
六．（本题满分10分）设三棱锥V-ABC 中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角。
PA B纯酒精与水之比为混合后公斤甲乙共含水公斤甲乙共含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲中含纯酒精解,))(()()())(()()()(),(),(),(:22111122221122221111221111222211222211112222222211111111n m n m n m v n n m v n n m v n n m v n n m n m n m v m n m v m n m v m n m v m n m vn n m v m n m vn n m v m +++++=++++++++=+++++++)]()([:)]()([1122221111222211n m v n n m v n n m v m n m v m ++++++求证：△ABC 是锐角三角形。
证一：设VA=a ，VB=b ，VC=c ，AB=p ，BC=q ，CA=r 。
于是p 2=a 2+b 2, q 2=b 2+c 2, r 2=c 2+a 2。
由余弦定理：同理，∠ABC ，∠BCA 也是锐角。
证二：作VD ⊥BC ，D 为垂足。
因VA 垂直于平面VAC ，所以 VA ⊥BC 又BC ⊥VD ，所以BC 垂直于平面VAD ，从而BC ⊥AD 及在△ABC 中，A 在BC 边上的垂足D 介于B 和C 之间。
因此， ∠B 和∠C 都是锐角，同理可证∠A 也是锐角。
七．（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5. 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4% 答：每年约增长百分之四。
八．（本题满分12分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B 。
求证：33ACBC AE BF =证：连接CD 。
因∠CFD=900，所以CD 为圆O 的直径，BCE F B.2)(cos 222222222222222为锐角CAB ac b a a ac b a c b a c b a CAB ∠∴>+⋅+=+⋅++-+++=∠又AB 切圆O 于D ，∴CD ⊥AB 。
又在直角三角形ABC 中，∠ACB=900， ∴AC 2=AD ·AB ，BC 2=BD ·BA 。
(1) .22AC BC AD BD =∴ 又因 BD 2=BC ·BF ，AD 2=AC ·AE 。
(2) 22AE AC BF BC ADBD ⋅⋅=∴由（1）与（2）得3344ACBC AE BF AC BC AE AC BF BC =∴=⋅⋅ 九．（本题满分14分）试问数列)4sin 100lg(,),4sin 100lg(),4sin 100lg(,100lg 12πππ-n 前多少项的和的值最大？并求这最大值。
（lg2=0.301) 解：该数列的第k 项为：2lg )1(212)4sin 100lg(1--==-k a n k π所以这个数列是递减等差数列，且其首项为2。
要使前k 项的和最大，必须前k 项都是正数或0，而从第k+1项起以后都是负数。
因此，k 应适合下列条件： 十．（本题满分18分）设等腰△OAB 的顶点为2θ，高为h 。
.30.143010.02912814214,1414,2.13)2(2.14)1(:(2),02lg ]1)1[(212(1) ,02lg )1(212141≈⨯-=⨯+===∴∈>≤⎪⎩⎪⎨⎧<---≥--a a S k k N k k k k k 项的和前取又得由得由解此不等式组1．在△OAB 内有一动点P ，到三边OA ，OB ，AB 的距离分别为|PD|，|PF|，|PE|，并且满足关系|PD|·|PF|=|PE|2。
求P 点的轨迹。
2．在上述轨迹中定出点P 的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|。
解：设OP 与正X 轴的夹角为α，则Y Axtg y x y y y x h y x y x x h y x PF PE PD OA A A h E A E h E O OA E A A h h h y h x h y x h x h y hx x x h y x PE PF PD y x OP OP PF y x OP OP PD y x OP ⋅θ=θ=θ∴θ=θ-θθ=θ+θ+θ=-+θ-θ=+θθ=''θ='⊥'θθθθθ=+θ-=θ++θ-≠θ=+θ+-θ-=θ-θ=⋅θ+θ=αθ+αθ=α+θ=θ-θ=αθ-αθ=α-θ=+=51,sin cos 5cos 4cos sin )2(),1()2cos h(0,(h,0)(2) .cos 2cos sin cos sin .2.,,.cos sin .cos .:.cos sin ,)0,cos ()cos sin ()cos (0cos cos 20cos 0cos 2cos (1) ,)(cos sin cos sin )sin cos cos (sin )sin(cos sin )sin cos cos (sin )sin(.22222222222222222222222222222222222222得由点点及此直线通过即得由条件的切线是而且圆在是圆上一点的半径是圆是圆的中心则作直线在注意等腰三角形内的一部分所求轨迹是此圆在所给为半径的圆以为中心这是以即得除以即得由条件一九七九年（文科）一．（本题满分9分）求函数y=2x 2-2x+1的极小值。
解略：x=21时，y 取最小值21.二．（本题满分9分）化简[（1+sin 2θ)2-cos 4θ][(1+cos 2θ)2-sin 4θ]。
解：原式=(1+sin 2θ+cos 2θ)(1+sin 2θ-cos 2θ)·(1+cos 2θ+sin 2θ)(1+cos 2θ-sin 2θ) =4(1-cos2θ)(1+cos2θ)=4sin 2 2θ三．（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精。
甲有V 1公斤，乙有V 2公斤。
甲中纯酒精与水（重量）之比为m 1:n 1 ,乙中纯酒精与水之比为m 2:n 2。
问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？)sin 25,sin 255(sin 25sin 25551sin 255sin 521)sin 521()2(.,0θ+θθ+θ+θ=θθ+⋅=θ+=θ+=∴=θ+>=+htg h P htg tg h y h hx h x y PF PE PD 的坐标为所求点得代入所以这里右端取正号可知由公斤甲乙共含纯酒精公斤含水公斤乙中含纯酒精公斤含水公斤甲中含纯酒精解))(()()()(),(),(),(:221111222211222211112222222211111111n m n m n m v m n m v m n m v m n m v m n m vn n m v m n m vn n m v m +++++=+++++++四．（本题满分9分） 叙述并且证明勾股定理。
解：略。
五．（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域。
设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP=α同时在B 站测得∠BAP=β。
问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？ 解：作PC ⊥AB 于C ，设PC=d ，在直角三角形PAC 中，AC=d ·ctg α在直角三角形PC 中，BC=d ·ctg β∴S=AC+BC=d （ctg α+ctg β）。
当d ≤D ，即ctg α+ctg β≥DS时，应向外国船发出警告。
六．（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x<0.1,可用：ln(1+x)≈x ，取lg2=0.3,ln10=2.3) 解：年增长率x 应满足100（1+X)40=500,即（1+X)40=5.取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.又lg5=1-0.3=0.7 ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61 利用ln(1+x)≈x,则有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%答：每年约增长百分之四。