高中数学 常见函数：正比例函数、反比例函数与对勾函数(沐风教育)

常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数

1．正比例函数

如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数

一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线

一次函数的性质

当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。

2、反比例函数

(1) 反比例函数及其图象

如果)0,(≠=k k x

k

y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质

当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

3．对勾函数()b

f x ax x

=+的图象与性质

对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 （1） 对勾函数的图像

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。

当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：

当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）

a>0 b>0 a<0b<0

对勾函数的图像（ab 同号）

一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。

接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。（2）对勾函数的顶点

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。

利用均值不等式可以得到：

当x>0时，。

当x<0时，。

即对勾函数的定点坐标：

（3）对勾函数的定义域、值域

由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。

（4）对勾函数的单调性

（5）对勾函数的渐进线

由图像我们不难得到：

对勾函数的图像（ab异号）

y

X

O

y=ax

（6）对勾函数的奇偶性

对勾函数在定义域内是奇函数，