波长、频率和波速

波长、频率和波速【学习目标】1．知道波长、频率的含义。

2．掌握波长、频率和波速的关系式，并能应用其解答有关问题。

3．知道波速由介质本身决定，频率由波源决定。

【要点梳理】要点一、波长、频率和波速1．波长、频率和波速（1）波长．两个相邻的运动状态总是相同的质点间的距离，或者说在振动过程中，对平衡位置的位移总是相等的两个相邻质点间的距离叫做波长．例如，在横波中两个相邻波峰（或波谷）之间的距离，在纵波中两个相邻密部（或疏部）之间的距离都等于波长．波长用λ表示．（2）频率．由实验观测可知：波源振动一个周期，其他被波源带动的质点也刚好完成一次全振动，且波在介质中往前传播一个波长．由此可知，波动的频率就是波源振动的频率．频率用f 表示．（3）波速．波速是指波在介质中传播的速度．要点诠释：①机械波的波速只与传播介质的性质有关．不同频率的机械波在相同的介质中传播速度相等；同频率的横波和纵波在相同介质中传播速度不相同．②波在同一均匀介质中匀速向前传播，波速”是不变的；而质点的振动是变加速运动，振动速度随时间变化．2．波长、频率和波速之间的关系在一个周期的时间内，振动在介质中传播的距离等于一个波长，因而可以得到波长λ、频率f （或周期T ）和波速v 三者的关系为：v T λ=． 根据1T f=，则有v f λ=。

3．波长λ、波速v 、频率f 的决定因素（1）周期或频率，只取决于波源，而与v λ、无直接关系．（2）速度v 取决于介质的物理性质，它与T λ、无直接关系．只要介质不变，v 就不变，而不取决于T λ、；反之如果介质变，v 也一定变．（3）波长λ则取决于v 和T 。

只要v T 、其中一个发生变化，其λ值必然发生变化，从而保持/v T λ=或v f λ=的关系．总之，尽管波速与频率或周期可以由公式/v T λ=或v f λ=进行计算，但不能认为波速与波长、周期或频率有关，也不能以为频率或周期会因波速、波长的不同而不同，因为它们都是确定的，分别取决于介质与波源．要点二、波长、频率和波速的求解方法1．根据两个时刻的波形图，判断可能出现的波动情况，从而求相应的物理量——波速、波长或周期。

分析方法：平移法、描点法此类题求解应首先依据两个时刻的波形图确定出这一段的传播距离s 与波长λ的关系，由此也就知道时间差t ∆与周期T 的关系，再去依题求解．但一定要注意多解问题，即波在传播方向的双向性和时间、空间上的周期性．（1）由于波传播的距离s 与波长λ的关系不确定，根据波动的周期性，必有一组系列解．若s 与λ有一定的约束条件，则应从系列解中找出符合题意的有限解或唯一解．（2）由于波形变化的时间t ∆与周期T 的关系不确定，根据波动的周期性，必有一组系列解．若t ∆与T 有一定的约束条件，则应从系列解中找出符合条件的有限解或唯一解．（3）由于波传播方向的不确定，则有两种可能对应上述（1）或（2），则必有两组系列解．这里更要注意约束条件，以求出符合题意的相应的有限解．2．波动图像与振动图像相联系问题的求解此类题重点考查波动与振动的联系与区别．解题时要注意审题，区别波动图像与振动图像，以及由于振动和波的周期性而引起的多解性．一般可以从图上获得T 及波长λ的信息．3．应用波动图像和关系式确定波长（1）波动图像．①在波动图像上，振动相位总是相同的两个相邻质点问的距离．②在波动图像上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离．③在波动图像上，运动状态总是相同的两个相邻质点间的距离．要点诠释：“总是”和“相邻”两个关键词，“总是”是指每时每刻．凡是平衡位置相隔波长整数倍，质点的位移、速度、加速度等物理量总是相同，振动同相． 凡是平衡位置相隔半个波长的奇数倍质点的位移、速度、加速度等物理量总是等大反向，振动反相．（2）关系式：由v T λ=得vT λ=。

4．对于给定的波形，质点振动方向与波的传播方向密切相关，质点的振动方向有如下规律（1）质点的起振方向跟振源的起振方向一定相同．（2）处于最大位移的质点一定将向平衡位置运动．（3）处于最大位移两侧半波长范围内的质点振动方向一定相反．（4）对于横波最大位移点两侧，哪侧l/4波长上的质点正向最大位移运动，波就向哪侧方向传播．【典型例题】类型一、波长的概念例1．关于波长的下列说法中正确的是（ ）．A ．机械振动在一个周期内传播的距离就是一个波长B ．在波形图上位移相同的相邻两质点之间的距离等于一个波长C ．在波形图上速度最大且相同的相邻两质点间的距离等于一个波长D ．在波形图上振动情况总是相同的两点间的距离等于一个波长【思路点拨】波长，从以下几个方面加以理解：（1）从波的传播上；（2）从各质点的相互联系上；（3）从波形图上．【答案】A 、C【解析】机械振动的质点在一个周期内向远处传播一个完整的波形，故A 项正确；由波形图可见，在一个完整波形上，位移相同的相邻质点之间的距离不一定等于一个波长，故B 项错误；速度最大且相同的质点，在波形图上是在平衡位置上，如果相邻，那么正好是一个完整波形的两个端点，所以C 项正确；振动情况总是相同的两点间的距离是波长A 的整数倍，故D 项不正确．【总结升华】波长是描述波的一个重要物理量，要从以下几个方面加以理解：（1）从波的传播上；（2）从各质点的相互联系上；（3）从波形图上．举一反三:【变式】一列简谐横波沿x 轴正方向传播，频率为5Hz ，某时刻的波形如图所示，介质中质元A 在距原点O 为8cm 处，质元B 在距原点16cm 处，从图象对应时刻算起，质元A 的状态与图示时刻质元B 的运动状态相同所需的最短时间为（ ）．A ．0.08sB ．0.12sC ．0.14sD ．0.16s【答案】B例2．一列简谐波在两时刻的波形如图中实线和虚线所示，由图可确定这列波的（ ）．A ．周期B ．波速C ．波长D ．频率【答案】C【解析】本题通过波的图像考查周期、波速、波长、频率等基本概念．由于题申图像是波动图像，横轴表示的是不同质点在平衡位置之间的间距，不能够得出周期，A 项错误；由图可知该波的波长，但无法求出时间，所以不知波速，B 项错误，C 项正确：由于不知周期，所以无法求出频率，D 项错误．类型二、波长、波速和频率的关系例3．从甲地向乙地发出频率为50 Hz 的声波，看当波速为330 m/s 时，在甲、乙两地间有若干个完整波形的波，当波速为340 m/s 时，甲、乙两地间完整波形的波数减少了一个，则甲、乙两地相距多少米？【思路点拨】波传播的频率只由波源决定．【答案】见解析【解析】由波长、频率、波速三者之间的关系及题意得两次波长分别为：设波速为330 m/s 时，甲、乙两地间有n 个完整波形，据题意有：所以所以甲、乙两地间距离为【总结升华】解此题时要注意波速虽有变化，但是频率不变，因为波传播的频率只由波源决定．公式v f T λλ==只反映了各物理量的数值关系．举一反三:【变式】一列横波在x 轴线上传播，在10t =和20.005s t =时，波形曲线分别如图中实线和虚线所示：（1）由图中读出波的振幅和波长（2）设周期大于21t t -（），波向右传播，波速多大？ 若波向左传播，波速多大？（3）设周期小于21t t -（），且波速为6000m/s ，求波的传播方向。

【答案】见解析【解析】（1）振幅为0.2cm ，波长为8m（2）因为周期大于21t t -（），波只向右传播了四分之一波长，波速（3）若周期小于21t t -（），则在这段时间内例4．一简谐横波以4 m/s 的波速沿x 轴正方向传播．已知0t =时的波形如图所示，则（ ）．A ．波的周期为1 sB ．0x =处的质点在0t =时向y 轴负方向运动C ．0x =处的质点在1s 4t =时速度为0 D ．0x =处的质点在1s 4t =时速度值最大 【答案】A 、B【解析】本题通过波动图像，考查周期、波速、波长、质点的振动方向．由波动图像可知波长为4 m ，波速为4 m/s ，所以周期为1s T v λ==，A 项正确；波的传播方向向右，可知0x =处的质点在0t =时向y 轴负方向运动，B 项正确；由图像可知经过14t =s ，即4T t =，0x =处的质点不可能在平衡位置或波谷位置，C 、D 两项错误．【变式】一简谐波某时刻的波形如图所示，已知波的传播速度为1m/s ,经过时间t 后，波形变为图中虚线所示，则t 的可能值为（ ）．A ．1sB ．2sC ．3sD ．4s【答案】AC类型三、根据质点振动求描述波的物理量例5．如图所示，一列波长大于3 m 的横波沿着x 轴正方向传播，处在11.5 m x =和2 4.5 m x =的两质点A B 、，当B 点的位移为正的最大值时，A 点位移恰为零，且向上运动，从此时开始计时，经1.00 s 后A 点的位移处于正的最大值，由此可知（ ）． A ．2 s 末A 点的振动速度大于B 点的振动速度B ．1 s 末A B 、两质点的位移相同C ．波长为12 mD ．波速一定为1 m/s【思路点拨】根据题意列出时间或距离的关系式子。

【答案】A【解析】 3 m λ＞，故2133m 4x x λ=-=， 4 m λ=，C 项错误；由11s 4T nT +=得441T n =+，由v T λ=知D 项错误；1 s 末A 在正向最大位移处，B 在平衡位置，位移不相等，B 项错误；2 s 末A 在平衡位置，B 在最低点，A 项正确．【总结升华】在波的传播中，振动状态总是相同的两点，是同相点，这两点间的距离座为波长的整数倍，即时间为周期的整数倍123t kT k ∆==L （，，，）；振动状态总是相反的两点，是反相点，这两点的距离应为半波长的奇数倍，即1k 0122t k T ⎛⎫∆=+= ⎪⎝⎭L （，，，）；根据题意14t n T ⎛⎫∆=+ ⎪⎝⎭等，总之根据题意列出时间或距离的关系式子是解题的基础．举一反三:【变式】a b 、两点间相距3m ，两点间有两个波谷，某时刻，a b 、均在平衡位置，求波长的可能值。

若再经过1s t =，a 质点第一次到达波峰位置，并已知波沿x 轴正方向传播。

求：波传播的速度大小。

【答案】见解析【解析】根据题意，波长的可能值有如下图四种情况：波传播的速度大小，对于（1）图：（2）（3）（4）图同理，略。

类型四、已知质点振动图像和波动图像求波的传播方向例6．如图所示，图（a ）为某一列波在1.0 s t =时的图像，图（b ）为参与该波的质点P 的振动图像．（1）求该列波的波速；（2）求再经过3.5 s 时P 质点的路程；（3）波的传播方向．【答案】见解析【解析】（1）根据两图像得 4 m λ=，1.0 s T =，所以4m / s v T λ==．（2）3.5 s 内的路程为3.543.50.8 m 2.8 m s A =⨯=⨯=．（3）由（b ）图知P 质点在1.0 s 时沿y 轴负方向振动，故（a ）图中波向左传播．举一反三:【变式】如图为一列横波某时刻的波形图，已知波源的振动频率为2Hz ，此时刻a 点向下运动，bc 两点相距10cm ，则（ ）． A ．波向右传播B ．波长是20cmC ．波速是0.4m/sD ．c 点此时具有最小的加速度【答案】ABC类型五、已知质点坐标求波长例7．如图所示，A B 、是一列简谐横波中的两点．某时刻，A 正处于正向最大位移处，另一点B 恰好通过平衡位置向y -方向振动．已知A B 、的横坐标分别为070 m A B x x ==、，并且波长λ符合不等式：20 m 80 m λ＜＜，求波长λ．【思路点拨】已知波上的两个特殊质点，求解波长；如果题目已知条件无任何限制，求出的波长应为两组解；如果题目已知条件中对波长加了限制，则从两组解中分别求出有限个解；如果题目中已知条件加了波的传播方向的限制，则只有一组通解．【答案】见解析【解析】该题考查波传播的双向性和空间的周期性，若无限制，则A B 、之间平衡位置的距离70 m n x λ=+∆，其中x ∆是小于λ的距离．由某时刻A B 、的位置及振动方向可以判断，x ∆应为4λ或34λ． （1）若4x λ∆=，则可写出通式14B A x x n λ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得41704n λ+=，所以波长通式为47041n λ⨯=+，其中0123n =L ，，，，，将0123n =L ，，，，依次代入通式解得17280m 56m 31m 21m 913λ=L ，，，，，由已知20 m 80 m λ＜＜的限制条件得波长应为721m 13或131m 9或56 m ，且该波向x -方向传播。