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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：
方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221
4()2
ab b a c ⨯+-=，化简可证．
方法二：
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221
422
S ab c ab c =⨯+=+
大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222
a b c +=
方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证
17.2 勾股定理的逆定理
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是
直角三角形. 3、互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。

常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；
5、12、13；7、24、25等 例1、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解：由勾股定理，得
诊断：这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．
当∠B 为直角时，
例2、已知Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，
，
c= b.
错解：由勾股定理，得
诊断：这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2才能成立，而当∠B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为a 2＋c 2=b 2． 正确解答：∵∠B=Rt ∠，
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b c
b
a H
G F E
D
C
B
A
a b
c c b
a
E
D C
B
A
由勾股定理知a 2＋c 2=b 2．
∴b=22
c a +=22(22)(2)+=10
例3、若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长为________． 错解：设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．
x=22
68+=3664+=10
即第三边长为10cm ．
诊断：这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边． 正确解法：设第三边长为xcm ．
若第三边长为斜边，由勾股定理，得
x=22
68+=3664+=10(cm)
若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得
x=22
86-=28=27(cm)
因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.
例4、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=
12
BC=23AD.又RT △ABC 的
周长是(6+23)cm.求AD ．
正确解法∵AM=
23
3
AD ∴MD=222(
3)3AD AD -=33
AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ． ∴∠B=30°，AC=
1
2
BC ，AB=32BC
∴AC+AB+BC=1
2
BC+
3
2
BC+BC=6+23.
∴BC=4．
∵1
2
BC=
23
3
AD，∴AD=
1
2
2
3
3
BC
=3(cm)
例5、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．
正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．
∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．
b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．
∴△ABC是直角三角形．
例6、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE
例7、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=
2
4
n
-1，c=
24
4
n
(n
是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.。