(完整版)人教版初中数学第十七章勾股定理知识点,推荐文档

第十七章 勾股定理

17.1 勾股定理

1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证．

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422

S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222

a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211

2S 222

ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证

17.2 勾股定理的逆定理

2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是

直角三角形. 3、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.

4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数。常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；

5、12、13；7、24、25等 例1、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ． 错解：由勾股定理，得

诊断：这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．

当∠B 为直角时，

例2、已知Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，

，

c= b.

错解：由勾股定理，得

诊断：这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2才能成立，而当∠B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为a 2＋c 2=b 2． 正确解答：∵∠B=Rt ∠，

b

a

c

b

a

c c

a

b

c

a

b c

b

a H

G F E

D

C

B

A

a b

c c b

a

E

D C

B

A

由勾股定理知a 2＋c 2=b 2．

∴b=22

c a +=22(22)(2)+=10

例3、若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长为________． 错解：设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．

x=22

68+=3664+=10

即第三边长为10cm ．

诊断：这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边． 正确解法：设第三边长为xcm ．

若第三边长为斜边，由勾股定理，得

x=22

68+=3664+=10(cm)

若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得

x=22

86-=28=27(cm)

因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.

例4、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=

12

BC=23AD.又RT △ABC 的

周长是(6+23)cm.求AD ．

正确解法∵AM=

23

3

AD ∴MD=222(

3)3AD AD -=33

AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ． ∴∠B=30°，AC=

1

2

BC ，AB=32BC

∴AC+AB+BC=1

2

BC+

3

2

BC+BC=6+23.

∴BC=4．

∵1

2

BC=

23

3

AD，∴AD=

1

2

2

3

3

BC

=3(cm)

例5、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．

正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．

∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．

b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．

∴△ABC是直角三角形．

例6、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE

例7、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=

2

4

n

-1，c=

24

4

n

(n

是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.