金属的Drude模型
Drude模型简介
Drude模型简介•最简单的金属模型–只考虑到电子的运动学特性•最成功的金属模型之一–为什么这么简单的模型会获得巨大的成功？•在量子力学与原子物理学诞生之前–1897年，J.J. Thomson发现电子–1900年，Drude提出金属的电导和热导理论,Annalen de Physik1, 566 (1900), ibid. 3, 369 (1900).电导率电子气模型虽然金属中至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假定参与导电作的仅是其中的一种。
传导电子的来源：价电子与芯电子。
Drude模型的基本假设忽略电子与电子之间的相互作用（独立电子近似），忽略电子与离子之间的相互作用（自由电子近似），电子只受到均匀外电场的作用；（Kinetic theory） 电子受到的碰撞是瞬时的，来自电子与杂质原子之间的散射；电子在单位时间内散射的几率是1/τ，τ是电子驰豫时间（relaxation time / life time）；电子在各种散射下达到热力学平衡，即，电子在碰撞之后的状态是随机的，由热力学平衡决定其分布。
=frequency) (cyclotron 为回旋频率令mceHc ω1nec仅依赖于载流子密度和电荷电导的实部和虚部？Drude模型的推广•经典力学→量子力学：Sommerfeld模型•自由电子近似→考虑电子-离子的相互作用：能带理论•独立电子近似→电子-电子相互作用：金属的Fermi-Liquid理论•电子气的局域热平衡（local thermal equilibrium）→小尺度、非平衡特性：介观物理（mesoscopic physics）。
Drude模型
aB 的比值
（提示：aB =0.529×10-10m）。
rs 1.1198 2.117 a0 0.529
§1.0.2 Drude电子模型的成就与失效
尽管在Drude电子模型中对电子的运动作了最大胆的 简化，但却在解释金属材料的导电性和导热性以及光学特 性等问题上取得了相当可观的成就。
然而，对于金属中的另外一些问题，如金属中电子的 平均自由程、比热以及顺磁磁化率等等问题上，Drude电 子模型却遇到了根本性的困难。
第一章 金属自由电子气体模型
固体是由很多原子组成的复杂体系。作为近似, 可以把原子分为离子实和价电子两部分。
离子实由原子核和内层结合能高的芯电子组成。 形成固体时,离子实的变化可以忽略。
价电子是原子外层结合能低的电子，在固体中, 其状况可能和在孤立原子中十分不同。
即使这样简化,我们面对的依然是一个强相互作 用的、粒子(离子实、价电子)数为10²²~10²³/cm³ 的多体问题，难以处理。
1. Drude电子模型的成就
下面，就以金属材料的导电性为例，来说明Drude电
子模型所取得的成就。
首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
无外电场时E平e 衡作态用于下热电子
：平均速度为
外电场中获得的反向 运动速度的平均值
运动速度的平均值
v vT ve
经典近似假设：热运动遵循Maxwell速度分布律，故有
r 解：设金属中每个传导电子平均占据体积的等效球体半径为 s
则有
rs
(3
4
1 ne
)1/ 3
=1.413×10-10 m
rs 1.41 2.67 a0 0.529
若给出的是 m
[解]若金属元素原子的原子量为A、价电子数为Z，其
不同电导率下金的介电常数实部和虚部与频率的关系
不同电导率下金的介电常数实部和虚部与频率的关系金是一种具有优异导电性能的金属，然而它仍然具有一定的介电性质。
介电常数是介质在电场作用下对电磁波传播的响应能力的一种度量。
而金的介电常数受到电导率的影响。
在不同的电导率下，金的介电常数实部和虚部与频率之间存在着一定的关系。
在频率较低的情况下，金属的电流是经典自由电流（Drude模型中的自由电子）的效应，电流的输运是由于载流子的受到电场的加速和碰撞所致。
在这种情况下，金的电导率很高，介电常数的实部也相对较大。
然而，随着频率的增加，金的电导率会逐渐下降。
这是因为在高频情况下，电子的碰撞作用变得很弱，而电场的作用会更强烈地加速电子。
根据Drude模型的描述，电子受到强电场的加速后，会向金属中的晶格离子散射，同时也会受到晶格振动散射的影响。
由于这些散射的存在，电子的运动速度受到阻碍，电导率减小。
在高频情况下，金的电导率变得相对较低，同时金的介电常数的实部也会随之减小。
这是因为在高频下，电子的运动速度非常快，它们通过与晶格振动相互作用进行散射的时间变得更短。
因此，电子无法够完全跟随外电场的变化而移动，从而导致了电导率的减小。
此外，金的介电常数还具有虚部。
虚部与金的电导率有关，它描述了材料对电磁波的吸收和能量损耗的能力。
在低频情况下，金的电导率很高，因此其虚部相对较小。
而在高频情况下，电导率减小，金的虚部则变大，表明金对高频电磁波的吸收能力增强。
需要注意的是，以上讨论都是基于经典的Drude模型来描述的，而金的实际行为可能会受到一些其他因素的影响。
例如，量子效应和相对论性效应等。
因此，在具体研究金的介电性质时，可能需要使用更复杂的理论模型来描述金的行为。
综上所述，不同电导率下金的介电常数实部和虚部与频率之间存在一定的关系。
在低频情况下，金的电导率较高，介电常数的实部也相对较大；而在高频情况下，金的电导率减小，介电常数的实部也相对减小，同时虚部增大，显示出金对高频电磁波的吸收能力增强的特性。
Drude模型
D r u d e 模型一． Drude 模型的提出1897年在研究放电管辉光放电实验中的阴极射线时，Thomson 是通过将组成阴极射线的电子当作经典粒子而最先发现了电子的存在。
在发现电子后的最初一段时期内，对原子结构的研究尚处于探索之中，还没有认识到电子等微观粒子运动的独特本质。
因此，在当时还不具备解释金属中的这些传导电子是如何形成以及怎么运动这两个基本问题的理论基础。
1900年D.Drude 受气体分子运动论的启发提出了金属中经典的自由电子理论即Drude 模型，即认为金属中存在有自由电子气体，并用这一理论来解释金属材料的导电、导热等宏观性能。
二． Drude 模型的四个基本假设1.独立电子近似近似认为电子的运动是彼此独立的，就象孤立的单个电子一样，故又称为单电子近似。
2.自由电子近似用经典粒子的碰撞图象来简化电子与离子实之间复杂的相互作用近似认为单个电子在与离子实的相继两次碰撞之间作自由运动，故金属中的传导电子又常称为自由电子3.弛豫时间近似在dt 时间内电子与离子实之间碰撞的几率应为dt/τ。
电子在单位时间内碰撞一次的几率为1/τ，τ称为弛豫时间（即平均自由时间）。
每次碰撞时，电子失去它在电场作用下获得的能量，即电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过与原子实的碰撞实现的。
4.经典近似在与离子实的相继两次碰撞之间电子的运动遵循Newton 运动定律碰撞前后电子遵循Boltzmann 统计分布。
三．Drude 模型的成就自由电子气体+波尔兹曼统计?欧姆定律○虽然金属至少有两种带电粒子，离子与电子，Drude 假设参与导电作用的仅是其中一种。
○传导电子的来源：价电子与芯电子。
◎首先，来解释金属的导电现象并导出电导率。
电子：平均速度为经典近似假设：热运动遵循Maxwell 速度分布律，故有 ◎若与离子实相继两次碰撞之间的时间间隔为t ，则有 因此有 表明：在外电场作用下金属中的自由电子将形成与外电场方向相反的宏观定向运动，于是就形成了电流◎由此可得到金属材料电导率的微观表达式四．Drude 模型的不足以电子的平均自由程为例，来说明Drude 电子模型所遇到的根本性困难。
2.金属自由电子气的Drude模型
7
2、模型的基本假定及其合理性
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
8
当时的物理？
• 1897年Thomsom的电子论
* 电子的发现是固体物理学发展的一个转折点 * Drude（1863——1906）意识到金属的导电（热） 性质可能与电子有关，当然也可以质疑这种猜测 电子对导热有贡献有何根据？仅仅因为好的导体 也是良好的导热体？
上讲回顾
• 固体的微观定义
* 固体中的原子在其平衡位置附近作微小振动
• 贯穿课程的主线
* 周期性波在周期性结构中的运动
10.107.0.68/~jgche/
金属电子气的Drude模型
1
本讲内容：建模推演比较修正
• 如何用在1900年左右可以理解和接受的假设、 前提和经典理论，在微观层次上建立研究金属 宏观性质的模型，解释实验观察到的金属的良 好导电和导热现象
15
Drude(自由电子气)模型的基本假定
1. 独立电子近似：电子与电子无相互作用
* 既没有库仑作用，也不碰撞，与理想气体不同！
2. 自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离 子无相互作用
* 离子实完全摸平，均匀分布在整个空间，只起维 持系统的电中性。只有为防止电子被外电场无限 加速而设的碰撞作用
3. 弛豫时间近似：一给定电子在单位时间内受 一次碰撞的几率为1/τ
• 延展性、可塑性？
* 与组成金属的原子之间的相互结合的方式有关 结合没有方向性，区别于共价键，金属键(?) † 金属键——形象地说，价电子形成负电背 景，正电荷镶嵌其中，库仑作用的结合 金属的结构几乎都有相对较高的配位数(?) † 配位数——形象地说，就是原子周围最靠近 该原子的原子的个数（晶体结构中将涉及） * 这些性质都说明，价电子活动空间很大
金属的电子论 6-1
经典理论的局限性
★金属中存在着电子，根据自由电子论，
金属的电导率电子密度n，
但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）? ★自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、Cd等）；
第六章
金属电子论
第一讲
费米统计和电子热容量；
功函数和接触电势。
1
金属(Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极 好的导电体和导热体(Electrical and heat conductors)， 有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的 解释极大地推动了现代固体物理的发展。 实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处 在固体研究的中心。对金属的研究导致了能带论的 提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半 导体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发 展出整个电子工业的理论基础.
11
2. T＝0 K 时电子的分布
T＝0 K 时，电子的分布函数为 f(E) =
EF
0
f(E) T＝0 1
{0
kF 2m
2 2
1
E EF0 E > EF0
0
—— 费米能
0
EF0
E
kF
2mEF
2
—— 费米半径
PF k F m V F —— 费米动量
12
vF
kF m
从量子力学的观点看，电子是费米子(fermion)应服 从Fermi-Dirac统计而不是经典的Maxwell统计。 Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的平均占据数为：
固体物理基础参考解答
当 T > 0 K 时，费米分布函数有
⎧
⎪1
f
(ε
)
=
⎪ ⎨0
⎪ ⎪
1
⎩2
ε << µ ε >> µ
ε =µ
下图给出了在基态 T=0K 和较低温度下 T > 0 K 时的费米分布函数。
基态和较低温度下的费米分布函数
从
− ∂f ∂ε
=
1 kBT
1 e(ε −µ ) kBT
1 + 1 e-(ε −µ ) kBT
三维自由电子体系，在低能态的能态密度趋于零，因而低温下所引起的热涨落极
小，体系可具有长程序。对一维自由电子体系来说，从图中可以看出，在低能态
的能态密度很大，而且随能量的降低而趋于无穷，因而低温下所引起的热涨落极
大，导致一维体系不具长程序。从图中可以看出，二维自由电子体系的能态密度
是常数，介于一维和三维中间，体系可具有准长程序，而且极易出现特殊相变，
费米分布函数可表示为：
f
(εi )
=
1 e(εi −µ ) kBT
+1
上 式 直 接 给 出 了 体 系 在 热 平 衡 态 (温 度 为 T)时 ，能 量 为 εi 的 单 电 子 本 征 态 被 一
个电子占据的概率。根据泡利原理，一个量子态只能容纳一个电子，所以费米分
布函数实际上给出了一个量子态的平均电子占据数。
∵εF =
2kF 2 2m
,
kF 3
=
3π
2n
2
2
( ) ∴εF
= 2m
3π 2n
3
( ) 1.0557 ×10−34 2
2
( ) ∴ε F = 2 × 9.11×10−31 × 3× 3.142 ×8.48×1028 3 = 1.13×10−18 J = 7.06eV
金属电子气的Drude模型
Drude模型在半导体物理中的应用
半导体载流子运动
Drude模型在半导体物理中用于描述半导体中载流子的运动行为。通过该模型， 可以研究半导体中电子和空穴的迁移率、扩散系数等性质，从而深入了解半导 体的光电、热电等效应。
半导体器件性能
Drude模型在半导体器件性能分析中也有重要应用，如晶体管、太阳能电池等。 通过该模型，可以研究器件中载流子的传输、注入、收集等过程，为优化器件 性能提供理论支持。ຫໍສະໝຸດ HANKS FOR WATCHING
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04
Drude模型的局限性
Drude模型的近似性
Drude模型假设电子在金属中以无相 互作用的粒子形式运动，忽略了电子 间的相互作用。
在实际金属中，电子间存在相互作用， 这会导致电子的运动受到散射，使得 电子的运动不满足Drude模型的假设。
Drude模型在高场下的不适用性
Drude模型在高电场下不适用，因为 高电场下电子的运动速度接近光速， 需要考虑相对论效应。
02
当电子气受到外部扰动时，阻尼系数决定了电子气 的响应速度和振幅衰减。
03
阻尼系数的大小与金属的微观结构和温度有关，是 金属导电性能的重要参数。
电子气的弛豫时间
01 弛豫时间表示电子气达到热平衡状态所需的时间。 02 在Drude模型中，弛豫时间反映了电子气内部相
互作用的过程。
03 弛豫时间的长短决定了金属的电导和热导等物理 性质随时间的变化规律。
述这些效应。
发展Drude模型的量子版本
引入量子力学效应
在量子版本的Drude模型中，考 虑量子力学效应对金属电子气行 为的影响，如能级量子化、波函 数等。
考虑量子相干性
在低温下，金属电子气可能表现 出量子相干性，需要发展量子版 本的Drude模型来描述这种行为。
固体物理复习题(已解答)
1 简述Drude 模型的基本思想把金属中的电子看做气体，金属由可以自由运动的电子和固定不动的离子实两部分组成，这些可以自由运动的电子使金属导电的成分。
将自由电子看做带电的小硬球，它们的运动遵循牛顿第二定律。
应用独立自由电子气假设：在忽略电子-电子和电子-离子间电磁相互作用（内场）的情况下，它们在金属中运动或并发生碰撞。
2 简述Drude 模型的三个基本假设并解释 独立电子近似：电子与电子无相互作用自由电子近似：除碰撞的瞬间外，电子与离子无相互作用弛豫时间近似：一给定的电子在单位时间内受一次碰撞的几率为1/τ 3在Drude 模型下，固体如何建立热平衡 碰撞前后速度无关联 碰撞后获得的速度方向随机 速率与碰撞后的温度相适应4 Drude 模型中对金属导电率的表达式为：mnq τσ2=5 在自由电子气模型中，由能量均分定理知在特定温度T 下电子的动能为： 1.5K B T6 在Drude 模型当中，按照理想气体理论，自由电子气的密度为n ·cm -3，比Cv= 1.5 nK B7 1853年维德曼和弗兰兹在研究金属性质时发现一个定律，即在给定温度下金属的 导热率 和 电导率 的比值为常数。
8 简述Drude 模型的不足之处？电子对比热的贡献与温度无关，被严重高估（210） 对电子速度 2v 低估（210）误认磁化率与温度成反比，而实际无关 什么决定传到电子的数目？价电子？ 导体？绝缘体？半导体？他之所以解释 维德曼-弗兰兹 成功，是因为对比热的高估正好抵消对速度的低估 9 对于自由电子气体，系统的化学势随温度的增大而 降低 。
10 请给出Fermi-Dirac 统计分布中，温度T 下电子的能量分布函数，并进一步解释电子能量分布的特点。
11)(/)('+=-TK E E FD B F eE f在温度T 下，能量为E 的状态被占据的几率。
式中EF 是电子的化学势，是温度的函数。
当温度为零时，电子最高占据状态能量，称为费米能级。
固体物理学 自由电子论
§1. 金属自由电子论的物理模型 1.Drude的金属自由电子论
Drude的经典理论将自由电子看 作是经典离子气体，服从波尔兹曼分 布(速度分布)，与中性稀薄气体一样 去处理，认为电子之间无相互作用， 同时也不考虑原子实势场的作用，这 样一个简单的物理模型处理金属的许 多动力学问题是很成功的。
f ( T )D( )d N
0
当T《 TF时:
u
F
[1
2
12
(
kBT
F
)2
]
0(kB
T
F
)4
与处理点阵振动的热能相仿，由
电子气的轨道密度D(ε)可求出电子气
的内能，轨道密度定义为：
在能量ε附近，单位能量间隔中
的轨道数定义为轨道密度度，在dε能
量间隔中的轨道数为D(ε)dε，色散
关系为：
2 k 2
k2
2 2m
(k2x
k
2 y
kz2 )
这就是色散关系，能量随波矢的变化是抛物
线函数。
对于一个三维晶体，需要的量子数为：
(1)波矢k（三个分量kx、ky、kz）
(2)自旋量子数
ms
1 2
给定了 k 就确定了能级，k 代表同能级上
自旋相反的一对电子轨道。
在波矢空间自由电子的等能面是一个球面
εk
2 2m
此时 k(r) eikr （省去了归一化常数）， 波矢 Kx.K y.KZ 取一系列分立值：
kx
2π L
nx
ky
2π L
ny
0. 1. 2......
kz
2π L
nz
将 (r) eikr ei(k xxk y yk zz) k 代回薛定锷方程可求出能级：
hfss损耗电介质设计设置
HFSS损耗电介质设计设置导言高频结构的设计与分析需要考虑电介质的损耗特性，而HFSS（高频结构模拟软件）被广泛应用于此类应用中。
本文将深入探讨HFSS中损耗电介质的设计设置，包括损耗模型、材料参数设置和仿真结果分析等。
损耗模型HFSS提供了多种损耗模型，以描述电介质的能量损耗特性。
常见的损耗模型有：1.Debye模型：适用于描述介质中分子极化的损耗行为。
通过指定材料的电导率和介电常数，可以模拟多种电介质的热耗散。
2.Drude模型：适用于金属材料的损耗行为。
通过指定金属的电导率和介电常数，可以模拟金属的电磁波吸收和散射。
posite模型：适用于复合材料的损耗行为。
通过组合多个Debye模型和Drude模型，可以模拟复合材料中不同组分的损耗行为。
针对不同的电介质材料，选择合适的损耗模型非常重要。
此外，还需要根据实际情况，对材料的损耗参数进行调整和优化，以提高模拟结果的准确性。
材料参数设置在HFSS中，可以通过多种方式设置材料的损耗参数。
以下是一些常见的设置方法：1.直接指定：可根据实际要求，直接指定材料的电导率和介电常数。
这种设置方法简单直接，适用于已知材料参数的情况。
2.通过模型：通过选择已有的损耗模型，设置模型中的参数，来模拟材料的损耗特性。
这种设置方法适用于常见的电介质材料。
3.仿真优化：可以通过在HFSS中进行参数优化，对材料的损耗参数进行调整，以获得更精确的仿真结果。
这种设置方法适用于需要进行材料优化设计的情况。
除了上述方法外，还可以通过导入实测数据或基于理论计算的结果来设置材料的损耗参数。
这种方法能更准确地反映真实材料的特性，但需要较高的实验或计算成本。
仿真结果分析在HFSS中进行损耗电介质的设计设置后，可以进行仿真分析来评估设计的性能。
以下是一些常见的仿真结果分析方法：1.损耗分布分析：可以通过仿真结果中的损耗分布图，检查电介质中的能量损耗情况。
通过观察损耗的分布情况，可以确定电介质中存在的热点或不均匀性。
11金属自由自由电子气体模型及基态性质
N ( )
dZ
1
C 2
d
其中
C
4πV
2m h2
3
2
法3. 在k空间自由电子的等能面是半径 k 2mE 的球面，
在半径为k的球体积内电子的状态数为：
Z 2V 4 πk 3 (2π)3 3
V 3π2
2m
2
3
2
自由电子气的能态密度：
N ( ) dZ d
4πV
2m h2
3
2
0 x, y, z L x, y, z 0,以及x, y, z L
因而薛定谔方程变为：
2
2 (r ) (r )
2m
---电子的本征能量
----电子的波函数(是电子位矢 r的函数)
这和电子在自由空间运动的方程一样，方程有平面波解：
(r ) Ceikr k
C 为归一化常数，
由正交归一化条件：
2 y
k
2 z
)
2. 电子的动量
将动量算符 pˆ i 作用于电子的波函数得
i k (r ) i
( 1 eik •r ) r V
k k (r )
所以也是动量算符的本征态
电子处在
k
(r )
1 eik r V
时，电子有确定的动量
p k
3. 电子的速度 相应的能量
v p k mm
2k2 1 m 2m 2
金属中自由电子波矢：
kx
2πnx L
,ky
2πny L
,kz
2πnz L
nx, ny, nz取值为整数
所以，每个代表点（单电子态）在k空间是均匀分布的。 由此：
(1)在波矢空间每个(波矢)状态代表点占有的体积为：
Drude模型
Drude模型Drude模型是一种用于描述电子在固体材料中运动的经典模型，由德国物理学家Paul Drude于1900年提出。
虽然这个模型是近一个世纪前的理论，但它仍然在固体物理和电子工程领域有着广泛的应用。
Drude模型的基本假设是，电子在固体材料中被视为经典粒子，其运动受到经典的牛顿第二定律的支配。
电子在受到外部扰动（例如电场）的作用下会偏离其平衡位置并开始振动，这种振动被视为简谐振动。
根据这个假设，电子的响应可以表示为电阻和电导率的形式。
在具体的应用中，Drude模型可以用来描述电子在固体材料中的电导率和电阻率。
在低频情况下（即外部扰动的频率远小于电子振动的频率），电子的响应是即时响应的，即电子的运动与外部扰动同步。
在这种情况下，电子的电阻率可以表示为：σ=ne^2τ/m其中，n是电子密度（即单位体积内的电子数），e是电子的电荷量，m是电子的质量，τ是电子的平均自由时间（即电子在受到外部扰动作用下的平均运动时间）。
在高频率情况下（即外部扰动的频率远大于电子振动的频率），电子的响应是过时的，即电子的运动与外部扰动不同步。
在这种情况下，电子的电导率可以表示为：σ=ne^2/m因此，Drude模型可以用来描述电子在固体材料中的电导率和电阻率的频率依赖性。
除了描述电子在固体材料中的电导率和电阻率，Drude模型还可以用来解释许多实验现象，例如金属的欧姆定律和电阻温度系数等。
此外，Drude模型还可以扩展到其他领域，例如光学和声学等。
然而，Drude模型也存在一些局限性。
首先，这个模型忽略了电子之间的相互作用，这可能导致它在某些情况下的预测结果出现偏差。
其次，这个模型假设电子的运动是简谐振动，但实际上电子的运动是复杂的，可能涉及到更高阶的振动模式。
此外，Drude模型还忽略了热力学效应，这可能导致它在高温情况下的预测结果不准确。
尽管存在这些局限性，但Drude模型仍然是一种有用的理论工具，可以帮助我们理解电子在固体材料中的运动行为。
1金属电子论1-Drude理论
在足够低温度下精心制备的样品中平均自由程可以达到厘米量级，大约是10^8倍的原子间距。 这表明 Drude所猜测的碰撞发生在电子和离子实之间是（很）不准确的，即电子散射机制是复杂的。
因此对于Drude理论的应用，我们主要关注不依赖于弛豫时间的物理量。
(x) (T (x))
x 处单个电子的能 量，取决于温度
计算 Lorenz number
1 3
v
2cv
ne2
m
κ σ
mv 2cv 3ne2
cv
3 2
nkB
1 2
mv2
3 2
kBT
κ σT
3 2
k
2 B
e2
1.1110 8W / K 2
这样，证明了 Wiedemann-Franz 定律，并得到了 Lorenz number。但计算得到的 Lorenz number 只有实验值的一半。但在Drude的原始文献中，他得到的电导率是 这里数值的一半，因此他得到了与实验一致的Lorenz number.
x
可见简谐振荡的频率等于 plasma frequency
4. 热输运
热传导的傅里叶定律
jq T
温度变化不剧烈时成立
Wiedemann-Franz Law
实验发现很多金属具有满足：热导率与电导率的比值正比于 温度，且比例系数对不同的金属近似相等。
jq T
T
热流 温度梯度的负值 热导率
Lorenz number
p
称为 plasma frequency
2 p
ne2
0m
金属自由电子气模型
求（1）电子态密度（考虑自旋）； （2）该系统的费米能（只考虑温度为绝对 零度
北京工业大学 固体物理学
第二节 自由电子气的热性质
费米-狄拉克分布函数 T≠0K时，电子在本征态上的分布服从费 米-狄拉克分布
fi
1 e
( i )/ k BT
vF/108cm/s TF/104K
1.29 1.07 0.86 0.81 0.75 1.57 1.39 1.40 2.25 1.58 1.28 1.83 2.03 1.74 1.90 1.83 1.87 5.51 3.77 2.46 2.15 1.84 8.16 6.38 6.42 16.6 8.23 5.44 11.0 13.6 10.0 11.8 11.0 11.5
T=0 T1
北京工业大学 固体物理学
1、化学势随温度的变化 ① T≠0K，自由电子气单位体积的内能
2 u ( k ) f g( ) f ( )d k 0 V k
② T≠0K，分布函数中的化学势可由电子数 密度算出
2 n V
k
fk g( ) f ( )d 0
北京工业大学 固体物理学
代入
f f I Q( ) ( )d Q( ) ( )( )d 1 f 2 Q( ) ( ) ( )d 2
(**)
(**)第一项积分项等于1 (**)第二项
1 ik (r ) e r V
电子的本征能量：
将波函数代入薛定谔方程，得
k (k ) 2m
2
2
金属的Drude模型
这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。
(1.2.2)式在一级近似下为
dt p(t dt ) p(t ) F (t )dt P(t )
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t ) P(td ( t ) d (t ) m F (t ) m dt
3
(1.2.10)
其中，为金属电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径， a0为玻尔半径。 金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，
3) Drude模型的假设
（1）自由电子近似（Free electron approximation）： 忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 忽略电子——电子之间的相互作用
（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1 s 2 s2 p 3 s 2 8 1
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm
Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1 s 2 s2 p 3 s 2 8 1
芯电子(core electrons)
1 1 CV CV 2 3 3
(1.5.2)
其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子 平均自由程，是电子弛豫时间。
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(1.2.10)
其中，为金属电阻率，rs为一个所占据体积的等效球半径， a0为玻尔半径。 金属Cu的室温电阻率ρ=1.56∙10-6Ohm-cm, τ=2.7 ∙10-14 sec
3）金属中电子的平均自由程
l = v0τ ; 而 mv02/2 =3kBT/2
在室温下，电子平均速度 v0 的典型值为107 cm/s，
§1 金属的Drude模型
• 金属在固体特性的研究中占据重要位置：元素单质材 料中最为常见的是金属；金属具有良好的电导率、热 导率等。尝试对金属特性的理解也是现代固体理论的 发端。 • 在J.J.Thomson于1897年发现电子3年之后，Drude根据 气体运动论建立了金属自由电子气模型，把金属中的 电子看到由电子组成的理想气体。 • 作为研究金属特性的Drude模型在1900年提出，现在仍 然被用来迅速了解金属及其它一些材料的特性。这个 模型后来经过稍许修改就取得了巨大成功。
上式中F(t)是电子所受的外力。
(1.2.2)
对于受到碰撞的电子对平均动量的贡献： 这部分电子的比率为dt/，它们受到碰撞后无规取向（动量 无规取向对平均动量无贡献）。这部分电子对平均动量的贡 献在于受到碰撞前从外场获得的动量，由于碰撞发生在t+dt 时刻或之前，因此对平均动量的总贡献小于
(dt / ) F (t ) dt
Z是每个原子贡献的价电子（传导电子）数目
对于金属，n的典型值为1022-1023/cm3。这个值要比理想 气体的密度高上千倍 将每个电子平均占据的体积等效成球体，则：
1 V 4 3 rs n N 3
定义电子占据体积的等效球半径：
3 rs 4n
1/ 3
rs的典型值Å。
（4）电子通过碰撞处于热平衡状态。电子热平衡的获得被假 定通过一个简单的途径达到，即碰撞前后的速度没有关联 （电子对自己的速度历史没有记忆）。 电子热平衡分布满足Bolzmann统计 （经典统计）
Drude模型所描述的受到离子散射的电子运动轨迹。
2. 金属的直流电导
1) 电导率
欧姆定律（Ohm’s law）： V I R 欧姆定律更一般的形式（微分形式）：
我们有： (1.5.4) (1.5.5)
3 kB T 2 e
2
(1.5.6)
传导电子 conduction electron
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm
Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型和凝胶模型 1）传导电子和芯电子 凝胶模型 （Jellium model）
金属就是正离子浸没于传导电子气中的集合 体。正离子和传导电子气之间的相互作用就是金 属中原子的结合力。金属表面存在着一种把传导 电子限制在金属范围内的势垒，而在金属内部， 势能是均匀的，好像传导电子在一个均匀的势场 中运动，相对势能为零。
这里涉及dt的二次项，是个二阶小量，可以略去。
(1.2.2)式在一级近似下为
dt p(t dt ) p(t ) F (t )dt P(t )
(1.2.3)
更简练的形式为
dp(t ) P(t ) F (t ) dt
d d ( t ) d (t ) m F (t ) m dt
则 l =1 nm
Drude 模型是自洽的。
3. 金属热导率
当温度梯度存在时，在金属中就会有热流产生：
J Q T
(1.5.1)
此即Fourier’s Law。其中JQ是热流，是热导率，T是温度梯 度。金属的热导率一般大于绝缘体的，因此金属的热导率可 以归结为自由电子的贡献。按照Drude模型，我们可以套用 理想气体热导率公式得：
（3）电子在dt时间所受碰撞的几率正比于 dt/ 通常被成为弛豫时间（Relaxation time），相应的近似被 成为弛豫时间近似（Relaxation time approximation）。 这个图像所描述的碰撞过程为：电子在某时刻受到碰撞， 电子的速度瞬时被改变，然后电子的运动为自由运动， （如果存在外场，会受到外场力的作用），电子平均自 由运动时间后再一次受到碰撞。
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1 s 2 s2 p 3 s 2 8 1
Na 蒸汽 3s 轨道半径 0.19 nm
Na 固体 最近邻原子间距 0.365 nm
1. Drude模型
1）传导电子和芯电子
Na: K L M 1 s 2 s2 p 3 s 2 8 1
芯电子(core electrons)
1 1 CV CV 2 3 3
(1.5.2)
其中CV是电子气热容，v是电子运动的平均速度，是电子 平均自由程，是电子弛豫时间。
计算比值：
1 cV m 2 3 ne2
(1.5.3)
应用经典统计的结果：
3 cV nkB 2 1 3 2 m k BT 2 2
J E
(1.2.1)
这是最早从实验上确定的，但是为什么会如此？ 按照Drude模型分析： 假定t时刻电子的平均动量为p(t)，经过dt时间，电子没有受 到碰撞的几率为 1-dt/，那么这部分电子对平均动量的贡献 为
dt p(t dt) 1 [ p(t ) F (t )dt]
3) Drude模型的假设
（1）自由电子近似（Free electron approximation）： 忽略电子——离子的相互作用 独立电子近似（Independent electron approximation）： 忽略电子——电子之间的相互作用
（2）电子之间的碰撞是瞬时的，经过碰撞，电子速度的改 变也是突然的。
2) 传导电子密度 （电子密度） 传导电子密度 n：单位体积的传导电子数 原子数/mole: N0 = 6.022 ∙ 1023，Avogadro常数 mole数/cm3: ρm/A, 其中 m是金属的质量密度（g/cm3），A 是元素的原子量
Z m Z m 23 n N0 6.022 10 A A
(1.2.4)
引入外场作用下电子的漂移速度（Drift velocity）d (1.2.5)
碰撞的作用，相当于一个阻尼项
d d (t ) 对于恒定外电场的稳态情况， 0, F eE dt (1.2.5)式为： eE d (1.2.6) m
相应地：
ne2 J ne d E m J E ne2 m
(1.2.7)
(1.2.8)
2）金属中电子的弛豫时间
m m 2 ne ne2
(1.2.9)
在室温下，金属典型的电阻值为10-6Ohm-cm， 如果电阻 值用Ohm-cm为单位，弛豫时间的大小为：
0.22 rs ห้องสมุดไป่ตู้14 10 sec . a 0