大数定律
大数定律
对任意ε > 0 ,估计 µ n 偏离 p 不小于ε 的概率 P(| µ n − p |≥ ε )
P(| µ n − p |≥ ε ) = P(| Sn − np |≥ nε )
(k − np) 2 = ∑ P ( Sn = k ) ≤ ∑ P ( Sn = k ) 2 2 nε k :|k − np|≥ nε k :|k − np|≥ nε
1 0
述计算积分 A = ∫ f ( x) dx 的 Monte Carlo 法.
设 X1 , Y1 , X 2 , Y2 ,⋯ 是相互独立的随机变量序列, 且都服从[0,1] 上的均匀分布.设 1 若f ( X i ) ≥ Yi Zi = , 0 若f ( X i ) < Yi
则 Zi = 1当且仅当 ( X i , Yi ) 落在曲线 f ( x) 下面阴影中.因而
µ n = Sn / n
当 n 无限增大时,频率 µ n 在某一确定值附近趋于稳定，这一确 定值称为 A 的概率。
如果 µ n 有极限,自然会把这极限看作这确定值,即 A 的概率.
µ n 是随机变量,通常的数列的极限的定义不适用.
下面证明频率 µ n “依概率收敛”(定义见后)于 p ,因而
概率的统计定义与(以公理 1.1 和公理 1.2 为基础的建立 起来的)概率论理论是相容的.
P(| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
证 2 2) 分别用 ( X − EX ) 2 和ε 2 代替 1)中的 X 和ε 有. 1
P (( X − EX ) 2 |≥ ε 2 ) ≤ E ( X − EX ) 2 / ε 2 ，
由此得
P (| X − EX |≥ ε ) ≤ DX / ε 2 .
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
大数定律
k 1
定理二（李雅普诺夫(Lyapunov) (L )定理） 设随机变量 数学期望和方差 (k=1,2,…) 1,2,…) ，记 相互独立，它们具有 ，
若存在正数 使得当
时，
则随机变量之和
Zn
的标准化变量
X
k 1 n k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
16
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见。
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每 个别因素对这种综合 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大。 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布。 从或近似服从正态分布 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题。 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 无限增大时 这个和的极限分布是什么呢？
k 1
Bn
21
Zn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
X
k 1
n
k
n
D ( X k )
k 1
Bn
的分布函数
Fn ( x)
n X n i i 1 lim Fn ( x) lim P x n n n
由切比雪夫不等式
2 n 1 n P Xk 1 2 n k 1 上式中令 n 得 1 n lim P{| X i | } 1 n n i 1
4
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
第05章 大数定律
二、主要内容
大数定律
辛 钦 大 数 定 律 伯 努 利 大 数 定 律
中心极限定理
定 理 一 定 理 二 定 理 三
辛钦定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ), X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望
则对于任意正数
,
E(Xk)
n n
D X k k 1
n
.
的分布函数
F n ( x ) 对于任意
n
Байду номын сангаас
x 满足
X k n k 1 lim Fn ( x ) lim P x n n n
x
1 2π
t
2
e
2
d t ( x ).
近似
定理二(李雅普诺夫定理定理)
设随机变量 们具有数学期望 E(Xk) k , 记 Bn
2
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 和方差： D(X k )
n 2 k
,它
0 ( k 1 , 2 , ),
k 1
2 k
,
若存在正数 1 B
2 k 1 n
Yn a .
P
辛钦大数定理
设随机变量 服从同一分布 ( k 1 , 2 , ),
则
X 1 , X 2 , , X n , 相互独立 , 且具有数学期望 E(Xk)
,
X
X n
k 1
1
n
k
依概率收敛于 , 即X .
P
伯努利大数定理
大 数 定 律
5
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 定理5.1.1 设 X1, X2, …, Xn…是相互独立的随机变量序列, 具有 数学期望 E( Xn ) , 且存在常数C, 使得方差 D(Xn)<C (n = 1, 2, …), 则随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 服从大数定律,
n
令Yn Xk , 即 k 1
概率论与数理统计
❖ 前言
➢ 在第一章学习概率的概念时，我们已经提出了在随机试 验的大量重复试验中，某一随机事件出现的频率总是稳 定于某一数值就是概率. 也就是说，大量的随机现象往 往呈现几乎必然的规律，其平均结果具有稳定性，这个 规律就是大数定律.
概率论与数理统计
2
❖ 1.基本概念 首先介绍两个常用概念.
❖ 2.大数定律 切比雪夫大数定理
➢ 推论5.1.1表明, 当n充分大时，独立同分布的随机变量序
列的算术平均值
1 n
n i 1
Xi
接近于数学期望 E(Xi) = , 也就
是说n个相互独立同分布随机变量的算术平均值, 当n无
限增大时, 几乎变成了一个常数. 这一结论从理论上说明
了大量观测值的算术平均具有稳定性, 为实际应用提供
概率论与数理统计
12
❖ 2.大数定律 辛钦大数定律
➢ 定理5.1.3 设随机变量序列 X1, X2, …, Xn… 独立同分布, 具有
有限的数学期 E(Xk) = , 则对任给 >0, 有
➢ 证明从略.
lim P n
1 n
n i 1
Xi
1.
➢ 辛钦大数定律表明, 当要测量一个物理量的精确值 时, 若在 相同条件下重复测量n次, 用其算术平均值作为精确值 的近
大数定律
应用案例3
例4.2.3
若设{Xn}为一同分布、方差存在的随机变量序 列,且Xn 仅与Xn-1和Xn+1相关,而与其他的Xi 不相关. 则 {Xn}服从大数定律.
辛钦大数定律
定理4.2.4
若随机变量序列{Xn}独立同分 布，且Xn的数学期望存在。 则 {Xn}服从大数定律.
辛钦
应用案例4
例4.2.4 (用平均值法计算定积分)
4.2.2
常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
1 lim P n n
n
Xi
1
i 1
n
n
i 1
E(X i) 1
则称{Xn} 服从大数定律.
lim P n n
1
n
Xi
i 1
n
n
E(X i)
1
i 1
1 若记 X i 0
第i次试验中事件A出现 第i次试验中事件A不出现
则 n X i
i 1
n
n
n
1
X n
i 1
n
i
p
1
P A n E X n
i i 1 i 1
n
1
n
1 n 1 n 定理1 的结论可写成lim P X i E X i 1 n i 1 n n i 1
§4.2 大数定律
一个随机变量X的取值随着试验结果的变 化而变化,但其取值的平均值大小E(X)是一个 确定的数.从概率论的角度,利用X的分布可求 得E(X).但若X的分布未知时,如何确定E(X)? 大数定律提供了此种情形下的确定E(X)的理 论依据.
13 大数定律
由契比晓夫不等式可以看出，若 2越
证： P{| X E ( X ) | }
| x E ( X )|
f ( x)dx
2
则
[ x E ( X )] f ( x)dx 2 2 D( X ) 2 2 P{| X E ( X ) | } 1 P{| X E ( X ) | }
切比雪夫
契比晓夫大数定律表明，独立随机变量序 列{Xn}，如果方差有共同的上界，则 契比晓夫大数定律给出了
1 n 1 平均值稳定性的科学描述 与其数学期望 E ( X i )偏差很小的 Xi n i 1 n i 1
n
概率接近于1.
1 n 即当n充分大时， X i 差不多不再是 n i 1 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于1.
Hale Waihona Puke 1 lim P{| X i | } 1 n n i 1
n
定理2（契比晓夫大数定律-推广）
设 X1,X2, …是相互独立的随机 变量序列，它们都有有限的方差， 并且方差有共同的上界，即 D(Xi) ≤K，i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
1 n 1 n lim P{| X i E ( X i ) | } 1 n n i 1 n i 1
下面给出的贝努里大数定律， 是定理1的一种特例. 设Sn是n重贝努里试验中事件A发 生的次数，p是事件A发生的概率，
1， 如第i次试验A发生 引入 X i 否则 0，
贝努里
i=1,2,…,n
n
则 EX i p, D( X i ) p(1 p), S n X i
大数定律
P
n n np pq npq
n pq
n 1 pq
n pq
n 2 pq
用这个关系式可解决许多计算问题。
第一类问题是 已知n, p, ，求概率
1 2
e
x
t2 2
dt ( x ).
证明：由二项分布和0－1分布的关系知 n
X
k 1
n
k
,
其中 X 1 , , X n 相互独立且都服从于0－1分布，且
EX k p，DX k pq
由定理1有结论成立。
lim P{
n
X
k 1
n
k
n x}
1 2
课本 例3
中心极限定理是概率论中最著名的结果 之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和 的近似概率的简单方法，而且有助于解释为 什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲 线这一值得注意的事实.
作业： P154 第8题
若对任意
n
0，有
lim P {| Yn a | } 1, 或 lim P{| Yn a | } 0, n
则称Y1 ,, Yn ,依概率收敛于 , 记为 a
Yn P a .
依概率收敛的性质
Yn P b. 若 Xn a，
P
函数g( x, y )在点(a, b)连续，
1 即 I N
g(r ) I
n n1
N
1 N 原理是什么呢？ I g (rn ) I N n1 设X~U(0, 1) 1, 0 x 1 X ~ f ( x) 0, 其它
大 数 定 律
则称随机变量序列 { X n }服从大数定律 .
二、基本定理
契比雪夫大数定理） 定理 （契比雪夫大数定理）
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D( X 1 ) ≤ C , D( X 2 ) ≤ C , ⋯ , D( X n ) ≤ C , ⋯ , 则对于任意正数 ε 有
n n
ε
i =1 2
C , ≤ 2 nε
在上式中令
n → ∞ ，则
[证毕 证毕] 证毕
1 n 1 n P ∑ X i − ∑ E( X i ) ≥ ε → 0. n i =1 n i =1
注:
当 n 很大时 , 随机变量 X1 , X 2 ,⋯ , X n 的算术平 1 n 均 ∑ X i 接近于它们的数学期望 的算术平均 n i =1 1 n 值 ∑ E( X i ) . n i =1 这个接近是概率意义下的接近） （这个接近是概率意义下的接近）
n →∞
则称序列 Y1 , Y2 ,⋯ , Yn依概率收敛于Y , 记为 Yn P Y →
定理的另一种叙述: 定理的另一种叙述
设随机变量 X 1 , X 2 ,⋯ , X n ,⋯ 两两不相关 , 且都具有有限的方差 , 并有公共的上界 D ( X 1 ) ≤ C , D ( X 2 ) ≤ C ,⋯ , D ( X n ) ≤ C ,⋯ , 则
证明
引入随机变量
, 0, 若在第k次试验中A不发生 Xk = , 1, 若在第k次试验中A发生 k = 1,2,⋯.
显然
µ A = X1 + X 2 + ⋯ + X n
是相互独立的， 因为 X 1 , X 2 ,⋯, X n ,⋯是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的 (0 − 1) 分布,
概率论中的大数定律推导
概率论中的大数定律推导概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象中事件发生的规律性。
其中，大数定律是概率论中的重要定理之一，它描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋向于其概率的收敛现象。
本文将详细介绍大数定律的推导过程。
一、大数定律的概念大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
不论是弱大数定律还是强大数定律，它们都是基于独立重复试验的条件下进行推导的。
在介绍弱大数定律和强大数定律之前，我们先来定义一些相关的概念。
1. 随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数上。
2. 事件事件是样本空间的一个子集，表示某些样本点的集合。
3. 概率概率是一种度量事件发生可能性的数值。
在引入随机变量和概率的概念之后，我们可以给出大数定律的定义。
弱大数定律：对于任意小正数ε，当随机变量X的次数足够大时，事件A的频率会以至少是1-ε的概率接近其概率。
即对于任意小正数ε，有Lim（n→∞）P(|A_n/n-p|>ε)=0.强大数定律：对于任意小正数ε，当随机变量X的次数足够大时，事件A的频率会以概率1接近其概率。
即对于任意小正数ε，有P(Lim （n→∞）A_n/n=p)=1.其中，A_n表示事件A发生的次数，n表示试验的次数，p表示事件A的概率。
二、大数定律推导的基本思路大数定律的推导过程可以通过概率的定义和数学推导来完成。
一般来说，大数定律的推导包括以下几个步骤：1. 利用概率定义和随机变量的性质，得到事件A发生的概率表达式。
2. 利用数学推导，将事件A的频率表示为随机变量的函数。
3. 利用极限的性质，得到事件A的频率的极限表达式。
4. 利用概率的性质，得到事件A的频率接近其概率的结论。
三、大数定律推导的具体方法大数定律的推导方法主要有切比雪夫不等式、辛钦大数定律等。
1. 切比雪夫不等式推导大数定律切比雪夫不等式是概率论中常用的一个不等式，它给出了随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
大数定律公式了解大数定律的数学表达式
大数定律公式了解大数定律的数学表达式大数定律是由概率论中的大数定理推导而来的数学定律。
它的核心思想是指当独立随机事件重复多次时，随着试验次数的增加，事件发生频率趋于某个常数的概率趋近于1。
大数定律的数学表达式有多种形式，下面将介绍其中两种常用表达式：大数定律之弱大数定律和大数定律之强大数定律。
1. 弱大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的弱大数定律表达式，对于任意正数ε，有：lim (n→∞) P(|(X1+X2+...+Xn)/n - μ| < ε) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ的差异小于任意给定的正数ε的概率趋近于1。
2. 强大数定律：设X1, X2, ..., Xn为n个独立同分布的随机变量，其数学期望为μ，方差为σ^2，根据大数定律的强大数定律表达式，有：P(lim (n→∞) (X1+X2+...+Xn)/n = μ) = 1这个表达式表示当n趋近于无穷大时，样本均值(X1+X2+...+Xn)/n与总体均值μ完全相等的概率趋近于1。
弱大数定律告诉我们，随着实验次数的增加，样本均值与总体均值的差异会越来越小，但并不能保证它们完全相等。
而强大数定律则告诉我们，当实验次数足够多时，样本均值将会无限接近于总体均值。
大数定律是概率论中的重要定理，广泛应用于统计学、金融学、经济学等领域。
它帮助我们理解了随机现象的规律性，为科学实验和统计分析提供了依据。
总结起来，大数定律的数学表达式包括弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律表达了样本均值与总体均值的差异在无限实验中趋近于0的概率趋近于1，而强大数定律表达了样本均值与总体均值完全相等的概率趋近于1。
这些公式的推导和证明都是基于概率论的数学推理，通过它们的应用，我们可以更好地理解随机过程中的规律性。
大数定律名词解释
大数定律名词解释1.引言1.1 概述大数定律是概率论中重要的理论之一，它描述了在独立随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率会逐渐趋向于事件的概率。
大数定律的研究起源于人们对随机现象的好奇和需求，它的提出为人们理解和应用概率论提供了重要的理论支持。
大数定律从数学上解释了随机现象中的一种规律性趋势，它告诉我们，当试验次数足够多时，事件的频率将接近事件的概率。
这意味着，通过多次重复试验，人们可以通过观察事件发生的频率来推断事件的概率。
大数定律的研究对于统计学、经济学、物理学等各个领域都具有重要的应用价值。
在统计学中，大数定律为统计推断提供了理论基础，使得我们可以通过对样本数据进行观察和分析，进而对总体的特征进行合理的推断。
在经济学中，大数定律被广泛应用于市场研究、风险评估等领域，帮助人们分析和预测经济现象的发展趋势。
在物理学中，大数定律对于描述微观粒子的运动规律以及热力学等方面有着重要的意义。
通过研究和应用大数定律，人们可以更好地理解和分析随机现象，从而提高决策的准确性和科学性。
然而，需要注意的是，在实际应用中，大数定律的有效性还需要考虑其他因素的影响，如样本的大小、样本的选取方式等。
因此，对于大数定律的研究和应用，我们需要持续不断地深入探索和总结经验，以提高其应用的可靠性和准确性。
1.2文章结构文章结构文章是由多个部分组成的，每个部分有其独特的功能和作用。
在本篇文章中，我们将遵循以下结构来组织内容：1. 引言：在引言部分，我们将对大数定律进行简要介绍和概述。
我们将说明本文的目的以及为什么大数定律是一个重要的主题。
2. 正文：正文部分将分为两个子部分。
2.1 大数定律的定义和背景：在这一部分，我们将详细介绍大数定律的定义以及相关的背景知识。
我们将探讨大数定律是如何描述随机现象中的规律性，并介绍大数定律的数学表达式和推导过程。
2.2 大数定律的应用和意义：在这一部分，我们将讨论大数定律在实际应用中的意义和重要性。
总结大数定律
总结大数定律什么是大数定律？大数定律（Law of large numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述了随机事件的频率趋于概率的稳定性。
在数学和统计学中，大数定律指出，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋近于其概率。
换句话说，大数定律说明了当样本容量变得很大时，样本均值会趋于总体均值。
大数定律是概率论和统计学的基础之一，它对于理解随机现象的规律性和稳定性有着重要意义。
大数定律常常被应用于统计推断、贝叶斯统计、概率模型等领域。
大数定律的类型1.大数定律的弱形式大数定律的弱形式有很多种，其中最常见的是切比雪夫大数定律和伯努利大数定律。
这些弱形式的大数定律是基于概率的，它们说明了在某些条件下，随着试验次数的增加，随机变量的样本均值将趋于总体均值。
2.大数定律的强形式大数定律的强形式是指在一些更加严格的条件下，随机变量的样本均值几乎必然趋于总体均值。
强形式的大数定律用更强的收敛方式描述了随机变量的收敛性。
大数定律的应用大数定律在实际中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1.投资理论大数定律在投资领域有重要的应用。
投资者可以借助大数定律来制定投资策略和决策。
例如，投资者可以通过大数定律来计算股票的预期收益率，评估风险水平，并根据这些指标进行投资决策。
2.保险精算在保险精算领域，大数定律被广泛应用于估计风险损失、确定保费、评估投保人的风险水平等。
保险公司可以通过大数定律来合理定价，确保保险公司的盈利和偿付能力。
3.品质控制大数定律在品质控制领域也有重要的应用。
生产过程中的随机变量可以通过大数定律来评估产品的质量。
通过对大量样本进行抽样和测试，可以得到生产过程的平均质量水平，并进行相应的调整和改进。
4.统计推断在统计学中，大数定律被广泛用于统计推断。
通过大数定律，我们可以使用样本数据来进行总体参数的估计。
例如，通过抽样一部分数据来估计总体的均值、方差等。
大数定律的局限性尽管大数定律在许多领域中有着重要的应用，但它也有一些局限性：1.样本容量限制大数定律要求样本容量足够大才能有效。
三个大数定律的区别与联系
大数定律是概率论中的一类重要定理，描述了随机变量序列的算术平均值在一定条件下向其数学期望收敛的性质。
通常提到的大数定律有三种主要类型：弱大数定律、强大数定律和伯努利大数定律。
这三种大数定律的区别与联系如下：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN）：-也称为“依概率收敛”(convergence in probability)。
-声明对于任意给定的正数ε，当样本数量趋于无穷时，随机变量序列的算术平均值与真实均值之间的差距小于ε的概率趋近于1。
-这意味着当我们取样足够多时，算术平均值几乎总是在真实均值附近。
2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）：-也称为“几乎确定收敛”(almost sure convergence)或“以概率为1收敛”、“几乎处处收敛”。
-强调的是随着样本数量趋于无穷，算术平均值等于真实均值的事件发生的概率为1。
-这比弱大数定律更强，因为它表明了在无限次重复试验下，算术平均值收敛到真实均值几乎是必然的。
3. 伯努利大数定律（Bernoulli's Law of Large Numbers）：-是最早的大数定律，由雅各布·伯努利提出。
-描述了一组独立同分布的伯努利实验在大量重复后，成功次数的比例接近于成功的先验概率。
三者的关系在于它们都涉及到随机变量序列的算术平均值与真实均值之间的关系，但强度不同。
弱大数定律是最弱的形式，它只保证了算术平均值以某种概率接近真实均值；强大数定律则更强，它保证了在几乎所有可能的实验结果中，算术平均值会收敛到真实均值；而伯努利大数定律是一个特例，针对的是特定类型的随机变量序列。
大数定律
因为
2 Xn
0 1 1 2 n
na 2
检验是否 有有限方 差
1 P n2 2 na 2 1 a 2 所以 E X n n2
2 D X n E X n E X n 2 a 2
因此, 随机变量 X n n 1, 2,有有限的方差, 且有 公共上界.
P
三、常用的四种大数定理
定义4.5 设X 1 , X 2 ,, X n , 是随机变量序列 ,
1 n Yn X i n i 1
令
如果存在这样一个常数序列 a1 , a2 ,, an ,,
对任意的ε 0, 恒有
lim P Yn an 1
n
P 即Yn an
则称随机变量序列 {Yn } 依分布收敛于随机变量Y， 简记为
Yn Y
L
依分布收敛表示：当n充分大时，Yn 的分布函数
Fn ( x ) 收敛于Y 的分布函数 F ( x ), 它是概率论中
较弱的一种收敛性. 定义4.2 设随机变量序列 {Yn } 和随机变量Y，若对 任意实数 0, 有
。
简记为
Yn Y
a .e
下面定理揭示了三种收敛之间的关系。 定理 4.2 设随机变量序列 { X n } 和随机变量 X
X ; (1)若 X n X ，则 X n
(2) 若 X n X ，则
。
a .e
P
r
Xn X ;
Xn X .
L
P
X ，则 (3) 若 X n
因此定理 4.3 得证
注1 当 n 很大时, 随机变量 X 1 , X 2 ,, X n 的 1 n 算术 平均值 X i 接近于它们的数学期望的 n i 1
大数定律公式
大数定律公式
大数定律公式为g=log*vn。
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
大数定律概述
大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。
可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。
大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。
但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。
伯努利大数定律公式：
伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。
基本内容
设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。
（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，有成立。
即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由 独立同分布的中心极限定理可证
例 某车间有200台机床独立工作，设每台机器实 际工作时间占全部工作时间的75％，问任意时刻 有144至160台机器正在工作的概率
解 设X为200台机器中工作着的机器台数，
则 X ~ B(200,0.75)
E(X ) 200 0.75 150 D(X ) 200 0.75 0.25 37.5
俄国数学家李亚普诺夫证明了在某些非常 一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布， 当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分 布的。
在概率论中，把大量独立的随机变量和的 分布以正态分布为极限的这一类定理统称为
中心极限定理。
依分布收敛
设随机变量序列X, X1,X2,…,Xn…的分布 函数依次是F(x), F1(x), F2 (x),, Fn (x),
第五章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？
大数
定律
2.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？
中心极 限定理
§大数定律-阐述大量随机现象平均结果的稳定性
切比雪夫不等式
设X 具期望 E(X ) 和方差 D(X ) 2 ，则对于
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，2 i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
| } 1
伯努利大数定律
设nA为n次独立重复试验中事件A发生的次数，每
则对于任意实数 x,
n
Xk
n
lim P k1
x
n
n
1
x t2
e 2 dt
2
(x)
它表明，当n充分大时 ，n个具有期望和方差
的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.
n
说明
记
X k n
Yn k1 n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
用的因素Xk的总和 Xk，而这个总和服从 k
或近似服从正态分布.
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
k 1
lim
n
PYn
x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数
近似
Yn ~ N (0,1)
例. 某人一次射击,命中环数X的分布为
X
6
7
8
9
10
P 0.05 0.05 0.10 0.30 0.50
求100次射击中命中总环数在900环到930环之间的概率.
g( X n ,Yn ) P g(a,b).
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律）
设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差是一致有上界的，即
D(Xi) ≤C，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
lim
n
P{|
1 n
n k 1
P(144 X 160) P144 150 X 150 160 150
37.5
37.5
37.5
160 150 144 150 37.5 37.5
查表得
1.63 0.98
0.7849
应用中心极限定理的求概率的方法
构造一串独立同分布的随机变量，将所求的 概率问题转化为这一串随机变量之和在某一 范围内的概率
中心极限定理是概率论中著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似 概率的简单方法，而且有助于解释为什么正 态分布最常见的这一值得注意的事实.
作业：教材习题五 1, 3， 6， 8，
解:设X表示100次中命中的总环数, Xi表示第i次命中
的环数(i=1,…,100),
100
则 X1,X2,…,X100 相互独立同分布, 且 X X i i 1 E(X ) 100 E(Xi ) 915 D(X ) 100 D(Xi ) 123
P(900 X 930) F(930) F(900)
Xk
1 n
n k 1
E(Xk
)
|
}
1
即：
1 n
n k 1
Xk
P 1 n
n
E(X k )
k 1
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1
n
n i 1
X
i
与其数学期望
1 n
n i1
E( Xi )偏差很小的
概率接近于1.
切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
p)
p(1 n
p)
0
1
P
nA n
p
1
D nA n
2
1
p(1 p)
n 2
即:
lim
n
P
nA n
p
1
伯努利
定理（贝努里大数定律）
设 n A 是n重贝努里试验中
事件A发生的次数，p是事件A
发生的概率，则对任给的ε> 0，
辛钦
分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi
|
}1
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
它是随机现象统计规律的具体表现.
中心极限定理
为什么大量的随机变量都服从正态分布？
如果对于 F(x)的每一个连续点x，都有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
则并称记随为机变量序列{Xn}依分布收敛于X，
X n L X
定理（独立同分布下的中心极限定理）
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立且服从同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
次试验中事件A发生的概率为p， 则 0
lim
n
P
nA n
p
1
即 nA P p n
证明（由切比雪夫不等式可直接证明）
nA ~ B(n, p)
D( nA n
)
1 n2
D(nA )
E(
nA n
)
1 n
E(nA
)
1 np p n
1 n2
np(1
(930 915) (900 915)
123
123
=0.8230
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
(即这些因素的叠加)的结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，
任意实数 > 0,
P(|
X
|
)
2 2
或
P(| X | ) 1 2
证
2
P( X
)
f (x)dx
x
(x )2
x
2
f (x)dx
1
2
(x )2 f (x)dx D( X )
2
依概率收敛
此定理说明二项分布的近似分布是正态分布
证 引入 随机变量序列{Xk}
1, 第k次试验A发生
Xk
0,
第k次 试 验A 发 生
设P(X k 1) p,
X1, X 2,, X n 相互独立，
n
Yn X k k 1
E(Yn ) np, D(Yn ) np(1 p)
lim P{| nA p | } 1
n
n
贝努里
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分
大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有
较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了
通过试验来确定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
设X1,X2,…,Xn是一个随机变量序列
a是一个常数，如果对于任意的正数 ，
有
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于
常数a，并记为
X n P a
依概率收敛的序列还有以下性质.
设X n P a,Yn Pb, 又设函数g(x, y)在点(a,b)连续,则