大数定律

P(144 X 160) P144 150 X 150 160 150
37.5
37.5
37.5
160 150 144 150 37.5 37.5
查表得
1.63 0.98
0.7849
第五章 大数定律与中心极限定理
本章要解决的问题
1. 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？
大数
定律
2.为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？
中心极 限定理
§大数定律-阐述大量随机现象平均结果的稳定性
切比雪夫不等式
设X 具期望 E(X ) 和方差 D(X ) 2 ，则对于
辛钦
分布，具有有限的数学期望E(Xi)=μ,
i=1,2,…， 则对任给ε >0 ，
lim P{|
n
1 n
n i 1
Xi

|
}1
大数定律以严格的数学形式表达了随 机现象最根本的性质之一：
平均结果的稳定性
它是随机现象统计规律的具体表现.
中心极限定理
为什么大量的随机变量都服从正态分布？
任意实数 > 0,
P(|
X


|

)


2 2
或
P(| X | ) 1 2
证
2
P( X

)
f (x)dx
x

(x )2
x
2
f (x)dx
1
2
(x )2 f (x)dx D( X )

2
依概率收敛
如果对于 F(x)的每一个连续点x，都有
lim
n
Fn
(
x)

F
(
x)
则并称记随为机变量序列{Xn}依分布收敛于X，
X n L X
定理（独立同分布下的中心极限定理）
设随机变量序列 X1, X 2,, X n , 独立且服从同一分布, 且有期望和方差：
E( X k ) , D( X k ) 2 0 , k 1,2,
则它可被看成为许多相互独立的起微小作
用的因素Xk的总和 Xk，而这个总和服从 k
或近似服从正态分布.
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Yn服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
lim P{ Yn np
x
x}
1
t2
e 2 dt
n np(1 p)
2
p)
p(1 n
p)
0
1
P
nA n

p



1
D nA n
2

1
p(1 p)
n 2
即:
lim
n
P
nA n

p



1
伯努利
定理（贝努里大数定律）
设 n A 是n重贝努里试验中
事件A发生的次数，p是事件A
Байду номын сангаас
发生的概率，则对任给的ε> 0，
则对于任意实数 x,

n

Xk

n

lim P k1
x
n
n

1
x t2
e 2 dt
2
(x)
它表明，当n充分大时 ，n个具有期望和方差
的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.
n
说明
记
X k n
Yn k1 n
n
则 Y n 为 X k 的标准化随机变量.
次试验中事件A发生的概率为p， 则 0
lim
n
P
nA n

p



1
即 nA P p n
证明（由切比雪夫不等式可直接证明）
nA ~ B(n, p)
D( nA n
)

1 n2
D(nA )
E(
nA n
)

1 n
E(nA
)
1 np p n

1 n2
np(1
k 1
lim
n
PYn

x
( x)
即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标 准正态随机变量的分布函数
近似
Yn ~ N (0,1)
例. 某人一次射击,命中环数X的分布为
X
6
7
8
9
10
P 0.05 0.05 0.10 0.30 0.50
求100次射击中命中总环数在900环到930环之间的概率.
g( X n ,Yn ) P g(a,b).
几个常见的大数定律
定理（切比雪夫大数定律）
设 X1, X2, …是相互独立的随 机变量序列，它们都有有限的方差， 切比雪夫 并且方差是一致有上界的，即
D(Xi) ≤C，i=1, 2, …， 则对任意的ε>0，
lim
n
P{|
1 n
n k 1
俄国数学家李亚普诺夫证明了在某些非常 一般的充分条件下，独立随机变量的和的分布， 当随机变量的个数无限增加时，是趋于正态分 布的。
在概率论中，把大量独立的随机变量和的 分布以正态分布为极限的这一类定理统称为
中心极限定理。
依分布收敛
设随机变量序列X, X1,X2,…,Xn…的分布 函数依次是F(x), F1(x), F2 (x),, Fn (x),
解:设X表示100次中命中的总环数, Xi表示第i次命中
的环数(i=1,…,100),
100
则 X1,X2,…,X100 相互独立同分布, 且 X X i i 1 E(X ) 100 E(Xi ) 915 D(X ) 100 D(Xi ) 123
P(900 X 930) F(930) F(900)
lim P{| nA p | } 1
n
n
贝努里
贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分
大时，事件A发生的频率与事件A的概率p有
较大偏差的概率很小.贝努里大数定律提供了
通过试验来确定事件概率的方法.
下面给出的独立同分布下的大数定 律，不要求随机变量的方差存在.
定理（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …独立同
(930 915) (900 915)
123
123
=0.8230
中心极限定理的意义
在第二章曾讲过有许多随机现象服从 正态分布 是由于许多彼次没有什么相依关 系、对随机现象谁也不能起突出影响，而 均匀地起到微小作用的随机因素共同作用
(即这些因素的叠加)的结果. 若联系于此随机现象的随机变量为X ，
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，2 i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi

| } 1
伯努利大数定律
设nA为n次独立重复试验中事件A发生的次数，每
Xk

1 n
n k 1
E(Xk
)
|
}
1
即：
1 n
n k 1
Xk
P 1 n
n
E(X k )
k 1
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列{Xn}，如果方差有共同的上界，则
1
n
n i 1
X
i
与其数学期望
1 n
n i1
E( Xi )偏差很小的
概率接近于1.
切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述
应用中心极限定理的求概率的方法
构造一串独立同分布的随机变量，将所求的 概率问题转化为这一串随机变量之和在某一 范围内的概率
中心极限定理是概率论中著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似 概率的简单方法，而且有助于解释为什么正 态分布最常见的这一值得注意的事实.
作业：教材习题五 1, 3， 6， 8，
由 独立同分布的中心极限定理可证
例 某车间有200台机床独立工作，设每台机器实 际工作时间占全部工作时间的75％，问任意时刻 有144至160台机器正在工作的概率
解 设X为200台机器中工作着的机器台数，
则 X ~ B(200,0.75)
E(X ) 200 0.75 150 D(X ) 200 0.75 0.25 37.5
设X1,X2,…,Xn是一个随机变量序列
a是一个常数，如果对于任意的正数 ，
有
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于
常数a，并记为
X n P a
依概率收敛的序列还有以下性质.
设X n P a,Yn Pb, 又设函数g(x, y)在点(a,b)连续,则
此定理说明二项分布的近似分布是正态分布
证 引入 随机变量序列{Xk}
1, 第k次试验A发生
Xk


0,
第k次 试 验A 发 生
设P(X k 1) p,
X1, X 2,, X n 相互独立，
n
Yn X k k 1
E(Yn ) np, D(Yn ) np(1 p)