概率论大数定律及其应用
概率论大数定律及其应用
概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
概率论中的大数定律的解读与应用
概率论中的大数定律的解读与应用概率论作为一门重要的数学分支，研究的是随机事件的规律性和不确定性。
在概率论中，大数定律是一条非常重要的定律，它描述了随机事件在重复试验中的长期平均行为。
本文将对大数定律进行解读，并探讨其在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下大数定律的基本概念。
大数定律是指在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率将趋于其概率。
换句话说，如果我们进行足够多次的试验，那么事件发生的频率将接近于事件发生的概率。
这个定律的重要性在于它揭示了随机事件的长期规律性，使我们能够对未知的随机事件进行预测和分析。
大数定律有两种主要形式，即辛钦大数定律和伯努利大数定律。
辛钦大数定律又称为弱大数定律，它指出当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率将收敛于其概率。
伯努利大数定律又称为强大数定律，它要求试验序列必须是独立同分布的，并且当试验次数趋于无穷大时，随机事件的频率几乎必定收敛于其概率。
大数定律在实际应用中有着广泛的意义和应用价值。
首先，大数定律提供了一种有效的方法来估计随机事件的概率。
通过进行足够多次的试验，我们可以计算事件发生的频率，并将其作为事件概率的估计值。
这种方法在统计学中被广泛应用，可以用来估计样本的均值、方差等参数。
其次，大数定律在风险管理和金融领域中也有着重要的应用。
在金融市场中，价格的波动和变动往往是随机的，无法准确预测。
然而，通过大数定律，我们可以根据历史数据和试验结果，对未来的价格走势进行一定程度的预测和分析。
这对于投资者和风险管理者来说，具有重要的参考价值。
此外，大数定律还可以用来解释一些看似随机的现象。
例如，赌场中的赌博游戏，尽管每一局都是随机的，但通过进行足够多的试验，我们可以发现赌场总是能够赚取利润。
这是因为赌场利用了大数定律，确保了长期的盈利。
类似地，大数定律也可以解释为什么在大规模的抽奖活动中，中奖者总是符合一定的概率分布。
总之，概率论中的大数定律是一条重要的定律，它揭示了随机事件的长期规律性。
四种大数定律
四种大数定律一、大数定律简介大数定律是概率论的基本定理之一，用于描述当随机试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于一个确定的数值。
大数定律在很多领域都有广泛的应用，如统计学、经济学、物理学等。
下面将介绍四种常见的大数定律。
二、辛钦定律辛钦定律是大数定律的一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的绝对值超过一个常数时，其频率趋于无穷时，事件发生的概率趋于零。
这个定律的应用非常广泛，例如在赌场中，当一个人连续多次下注时，他的输赢金额会趋向于一个常数。
三、伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在相互独立的重复试验中，当试验次数趋于无穷时，随机事件发生的频率会趋于其概率。
例如在抛硬币的实验中，当抛硬币次数足够多时，正面朝上和反面朝上的频率将接近0.5。
四、中心极限定理中心极限定理是大数定律的又一种形式，它指出当独立同分布的随机变量的和的标准化差异趋近于一个正态分布时，频率趋于无穷时，随机事件的分布将趋于正态分布。
这个定理在统计学中有广泛的应用，例如在抽样调查中，样本均值的分布将趋于正态分布。
五、泊松大数定律泊松大数定律是大数定律的另一种形式，它描述了在独立随机事件发生的频率固定的条件下，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率会趋于一个常数。
这个定律在队列论、信号处理等领域有广泛的应用，例如在电话交换系统中，电话呼叫的到达率和服务率满足一定条件时，系统中正在服务的电话数的平均值将趋于一个常数。
六、总结大数定律是概率论中的重要定理，用于描述随机事件发生的频率趋于一个确定值的现象。
本文介绍了四种常见的大数定律，包括辛钦定律、伯努利大数定律、中心极限定理和泊松大数定律。
这些定律在不同领域有广泛的应用，如赌场、统计学、经济学等。
了解和应用大数定律可以帮助我们更好地理解和分析随机事件的发生规律，对于决策和预测具有重要的参考价值。
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本而又重要的概念。
本文将详细探讨这两个定律，并阐述它们在概率论中的应用。
一、大数定律大数定律是概率论中最为基本的定律之一。
它描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋于稳定，即其概率的长期平均值会趋于事件的真实概率。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
弱大数定律是指在概率分布具有一定条件时，频率收敛到概率的几乎必然成立。
也就是说，如果一个事件发生的概率为p，那么当试验次数增加时，该事件发生的频率会趋于p。
这种定律的典型应用是频率稳定的硬币投掷问题。
当试验次数趋于无穷大时，正面朝上的频率会收敛于0.5，即硬币的正反面概率相等。
强大数定律是指在一般条件下，频率收敛到概率的几乎必然成立。
它比弱大数定律更为强大，可以涵盖更广泛的情况。
例如，当试验次数无限大时，独立同分布随机变量的均值收敛于其数学期望。
这种定律对于实际问题的应用更为广泛，可以用于解释一系列现象，如赌博、股票市场等。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中最为重要的定理之一。
它描述了当独立同分布随机变量的和的样本容量足够大时，这个和的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理包括三种形式：李雅普诺夫定理、林德贝格-列维定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。
李雅普诺夫定理是中心极限定理的一种形式，描述了独立随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
它要求随机变量具有有限的方差，并且样本容量足够大。
在实际应用中，李雅普诺夫定理可以用于描述大量相互独立事件的和的分布。
林德贝格-列维定理是中心极限定理的另一种形式，描述了独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
与李雅普诺夫定理相比，林德贝格-列维定理的条件更为宽松，不再要求有限的方差。
这使得林德贝格-列维定理在实际应用中更为通用。
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊情况，适用于二项分布。
概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用
概率与统计中的大数定律与中心极限定理的应用概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性，并通过数学模型来描述和分析这些现象。
在概率与统计的理论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有广泛的意义和重要性。
一、大数定律的应用大数定律是概率论中的一个重要定理，它描述了大样本下随机现象的平均值趋于期望值的稳定性。
具体而言，大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
在实际应用中，大数定律被广泛运用于统计学、经济学、生物学等领域。
以统计学为例，当我们对一个总体进行抽样调查时，根据大数定律可以知道，样本的平均值会趋于总体的平均值。
通过对样本数据的分析，可以推断和预测总体的特征。
另外，大数定律还可以用于对概率分布进行估计。
例如，在投掷硬币的实验中，我们可以统计投掷n次后正面朝上的频率，根据大数定律可以得到正面出现的概率接近0.5。
二、中心极限定理的应用中心极限定理是概率论中的另一个经典定理，它描述了独立随机变量和的和的分布在一定条件下逼近正态分布。
中心极限定理不仅在理论中有重要意义，而且在实际应用中也有着广泛的应用。
在实际应用中，中心极限定理可以用来估计总体的分布以及参数。
例如，在企业的市场调研中，我们可以通过对一定数量的样本进行调查，根据中心极限定理对总体的特征进行估计。
这对于制定营销策略、定价和产品开发等具有重要意义。
此外，中心极限定理还被广泛应用于信号处理、通信工程、金融学等领域。
以信号处理为例，当我们对信号进行采样和处理时，根据中心极限定理可以知道，经过处理后的信号近似服从正态分布，这对于信号的分析和处理具有指导意义。
总结起来，概率与统计中的大数定律和中心极限定理是两个基本定理，在实际应用中具有重要的意义和价值。
大数定律揭示了大样本下随机现象的规律性，可以用于参数估计和预测；中心极限定理描述了独立随机变量和的和的分布的特性，在总体分布的估计和分析中具有重要作用。
对于从事概率与统计相关工作的人员来说，熟练掌握大数定律和中心极限定理的应用，能够更好地理解和解决实际问题。
大数定律在概率论中的应用
大数定律在概率论中的应用概率论是数学的一个重要分支，它研究的是随机现象和概率规律。
在概率论的发展过程中，大数定律是一个十分重要的概念。
大数定律指出，当试验次数足够多时，随机事件的频率将接近于其概率。
本文将重点探讨大数定律在概率论中的应用，并展示它在实际问题中的重要性。
一、大数定律概述大数定律是概率论的核心内容之一，它主要研究随机试验次数足够多时，事件发生频率的稳定性。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律两类，其中弱大数定律是指事件发生频率的期望值可以逼近其概率值，而强大数定律则是指事件发生频率的几乎必然收敛于其概率值。
二、大数定律的应用1. 投资收益率大数定律在金融领域中有广泛的应用。
比如，当投资者进行大量投资时，根据大数定律，投资收益率的均值将逐渐接近投资组合的期望收益率。
这对于评估投资风险和预测未来收益具有重要意义。
2. 统计调查在统计调查中，大数定律可以保证样本的代表性和可信度。
通过采集足够多的样本，可以使样本统计量接近总体参数，从而得到对总体的准确推断。
这在社会调查、市场研究等领域中具有重要应用价值。
3. 数字模拟数字模拟是一种通过计算机模拟随机实验的方法，用于分析复杂系统的行为。
大数定律在数字模拟中扮演着重要的角色，通过大量的模拟实验，可以得到收敛准确的近似解。
这在工程设计、风险评估等领域中被广泛使用。
4. 股票市场分析大数定律在股票市场分析中有着重要的应用。
通过分析历史数据并进行足够多的交易，可以根据大数定律，得到股票价格的趋势和波动范围，从而指导投资决策。
5. 生物统计学在生物统计学中，大数定律可用于描述生物学实验结果的稳定性。
通过重复实验并取得足够多的样本，可以保证实验结果的可靠性，为疾病治疗、药品研发等提供科学依据。
三、大数定律的重要性大数定律在概率论中的应用广泛且重要。
它为我们理解和分析随机事件提供了可靠的数学基础，有助于我们从大量试验中总结规律，并为实际问题的解决提供准确的依据。
概率论大数定律
概率论大数定律一、引言概率论大数定律是概率论中的重要理论之一，它描述了在独立随机变量序列的情况下，随着样本数量的增加，样本均值趋向于总体均值的现象。
本文将对概率论大数定律进行深入探讨，并介绍其应用。
二、大数定律的历史背景大数定律最早可以追溯到17世纪的拉普拉斯和伯努利，他们通过模拟实验观察到了大数定律的现象。
之后，克拉美导数、切比雪夫和伯努利等数学家对大数定律进行了进一步的研究和证明。
三、大数定律的表述大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
3.1 弱大数定律弱大数定律又称为大数定律的矛盾形式，它表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值与总体均值之间的差异趋向于零。
数学表达式如下：P(|X n−μ|<ε)=1limn→∞其中，X n表示样本均值，μ表示总体均值，ε表示一个足够小的正数。
3.2 强大数定律强大数定律表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值几乎必然等于总体均值。
数学表达式如下：P(limX n=μ)=1n→∞四、大数定律的证明大数定律的证明可以通过数学推导和概率论方法进行。
4.1 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式是大数定律证明中常用的工具之一。
它将样本均值与总体均值之间的差异与样本数量的关系联系起来，从而得出大数定律的结论。
4.2 独立随机变量序列的性质大数定律的证明需要利用独立随机变量序列的性质。
独立性保证了样本观测之间的相互独立性，使得样本均值可以准确地逼近总体均值。
4.3 极限定理的应用极限定理是大数定律证明的另一个重要工具。
通过使用中心极限定理和大数定律的关系，可以推导出大数定律的结论。
五、大数定律的应用大数定律在概率论和统计学中有着广泛的应用，它能够帮助我们理解和解释实验结果的规律性。
5.1 抽样理论大数定律为抽样理论提供了坚实的理论基础。
它告诉我们，通过抽取足够数量的样本，可以准确地估计总体的特征。
5.2 统计推断大数定律在统计推断中扮演着重要的角色。
通过大数定律，我们可以通过样本均值来推断总体均值，从而做出关于总体的统计推断。
概率论大数定律及其应用
概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云 130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
概率论 大数定律
说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？
Xn2 P
(n)a2 1 2n2
0 1n12
(n)a2 1 2n2
E(Xn2)2(na)221n2 a2,
D(Xn)E (X n 2) [E (X n )]2 a2.
说明离散型随机变量有有限方差,
故满足契比雪夫定理的条件.
例2 设随机 X1,变 X2, 量 ,Xn, 独立同 , 分
且E(Xk)0, D(Xk)2,k1,2, ,证明对任
意正 有 数ln i m P n 1kn 1X k22 1.
解 因X 为 1,X 2, ,X n, 是相互独立
所X 以 12,X22, ,Xn2, 也是相互独立
由 E (X k)0, 得 E ( X k 2 ) D ( X k ) [ E ( X k ) ] 2 2,
启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性.
二、基本定理
定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 契比雪夫
设随机变X量1, X2,, Xn,相互独,立
且具有相同的数学和期方望差E：(Xk ) , D(Xk) 2 (k 1, 2,),作前n个随机变量
的
算
术
平
均X
1n nk1
Xk
,
则对于任意正
由辛钦定理知
对于任意正 , 有 数ln i m P n 1kn 1X k22 1.
四、小结
契比雪夫定理的特殊情况 三个大数定理 伯努利大数定理
辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
大数定律和中心极限定理的证明及应用
大数定律和中心极限定理的证明及应用大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们在实际应用中具有重要的作用。
随着21世纪的到来，计算机科学的发展和人工智能技术的不断突破，这些定理在数据分析、机器学习等领域中的应用也越来越广泛。
大数定律是概率论中的一条非常重要的定理，它描述了重复实验的结果会越来越接近于总体的平均值。
具体而言，如果我们对某个随机事件进行了N次实验，并对N个数据点求平均值，那么这个平均值在N变得越来越大时，会趋近于总体的期望值。
在实际中，大数定律可以用于各种数字数据的分析。
例如，我们可以在股市交易中使用大数定律，以预测股市的长期结果。
我们可以通过对每天的股票价格进行记录并验证大数定律是否成立，从而得到预测指数。
另外，在物理学中，大数定律也有重要的应用。
例如，我们可以使用大数定律来确定大量粒子的平均位置。
这种方法可以在许多物理领域中找到应用，如计算电磁场的平均值。
大数定律的证明比较复杂。
一种常用的证明方法是通过上极限和下极限来证明。
上极限和下极限分别代表了随着实验次数增加，平均值逐渐趋向于总体期望值的上限和下限。
根据大数定律的规定，这两个极限应该相等。
证明的核心是要建立一个独立的同分布序列，通过样本与总体一致性的性质，尽可能接近于总体。
中心极限定理是另一个与大数定律相关联的概率论定理。
它描述了当N次独立实验的结果之和趋近于一个标准正态分布时，经过N次标准化后的分布会趋向于一个正态分布。
中心极限定理在实际中的应用非常广泛。
例如，在医学研究中，我们可以使用中心极限定理来估计医疗样本的均值和标准偏差。
我们还可以使用该定理来评估航空公司的航班订购量。
通过使用中心极限定理来计算航班预订量的分布，我们就可以确定需要多少飞机来完成航班任务。
与大数定律的证明相比，中心极限定理的证明相对简单。
它使用了矩母函数和生成函数等概率论方法，通过对傅里叶变换的应用，将一些信息从时域转移到了频域，实现了由多个随机事件的组合到高斯分布的转化。
大数定律及其应用
大数定律及其应用
摘要：大数定律顾名思义就是指当样本数据量很大的时候，然后某一变量就会呈现出某种规律性这一呈现出规律性的变量就是我们经常说的平均值，即当样本数据量很大的时候，平均结果将稳定于某一稳定值。
大数定律在概率论中的重要性不言而喻。
本文介绍了几种常见大数定律：马尔科夫大数定律，切比雪夫大数定律，泊松大数定律，伯努利大数定律和辛欣大数定律及它们的比较与关系。
关键词：大数定律数据量应用
引言：大数定律(law of large numbers)，是一种描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律。
但是注意到，大数定律并不是经验规律，而是在一些附加条件上经严格证明了的定理，它是一种自然规律因而通常不叫定理而是大数“定律”。
而我们说的大数定理通常是经数学家证明并以数学家名字命名的大数定理，如伯努利大数定理。
正文：几种常见的大数定律
1.马尔科夫大数定律。
大数定律与中心极限定理的介绍与应用
大数定律与中心极限定理的介绍与应用大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的理论。
它们被广泛地应用于各个领域，如自然科学、社会科学、工程技术等。
本文将介绍这两个定理的基本概念、原理以及应用。
一、大数定律的介绍与应用大数定律，又称为大数法则，指的是在独立重复的随机试验中，随着试验次数的增加，样本均值将趋近于总体均值的概率性结果。
大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种。
1. 弱大数定律弱大数定律是指在一定条件下，随机变量的平均值会接近于其数学期望。
这一定律为我们提供了在实际问题中进行概率估计的理论依据。
例如，在投资领域中，通过对股票市场的历史数据进行分析，可以利用弱大数定律估计未来的收益率。
2. 强大数定律强大数定律是指随机变量的平均值几乎肯定收敛于其数学期望。
这个定律在实际问题中具有更强的适用性。
在制造业中，通过对生产过程中的采样数据进行分析，可以利用强大数定律对产品的质量进行评估和控制。
二、中心极限定理的介绍与应用中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布趋近于正态分布。
中心极限定理具有广泛的适用性和重要的理论意义。
1. 林德贝格-莱维中心极限定理林德贝格-莱维中心极限定理是最早被发现的中心极限定理之一。
它表明，当样本容量很大时，随机变量的和的分布近似于正态分布。
这一定理在统计学中被广泛应用，能够帮助我们进行统计推断和参数估计。
2. 中心极限定理在抽样调查中的应用在市场调研和民意调查中，通常会通过抽样调查的方式来获取数据。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
因此，我们可以通过样本均值的分布来进行推断总体均值的区间估计和假设检验。
三、大数定律与中心极限定理的联系与差异大数定律和中心极限定理都涉及随机变量的分布性质，但它们的应用场景和概念有所不同。
1. 联系大数定律和中心极限定理都属于概率论与数理统计的基本理论，都是描述随机变量的分布性质的定理。
概率论中的大数定律及其推广
概率论中的大数定律及其推广概述概率论是数学中一个重要的分支，研究随机事件的发生和概率的分布规律。
在概率论中，大数定律是一个重要的理论基础，它揭示了随机事件的大规模重复试验中，随机事件的频率会收敛到其概率的现象。
大数定律的基本思想大数定律的基本思想是对随机事件的大规模重复试验进行观察，通过频率收敛的方式来近似描述概率。
大数定律认为，随着试验次数的增加，频率会逐渐接近其概率。
具体来说，对于一个随机事件A，其发生的概率为P(A)，在进行n次试验后，事件A发生的频率为n(A)/n，其中n(A)表示事件A发生的次数，n表示试验次数。
大数定律的核心思想在于，随着试验次数的增加，n(A)/n会收敛到P(A)。
大数定律的推广在概率论中，大数定律有很多种形式，主要包括辛钦大数定律、伯努利大数定律和依概率收敛的大数定律。
辛钦大数定律（Chebyshev's law of large numbers）辛钦大数定律是对随机变量的大数定律的推广。
随机变量是指在随机试验中可能的数值结果。
辛钦大数定律指出，对于大多数分布类型而言，随机变量的均值会在大样本下趋近于其期望值。
伯努利大数定律（Bernoulli's law of large numbers）伯努利大数定律是对独立随机变量序列的大数定律的推广。
独立随机变量序列是指一系列相互独立的随机变量，它们的取值只能是0或1，分别表示事件的不发生和发生。
伯努利大数定律指出，当随机变量序列的个数增加时，其频率会趋近于该事件发生的概率。
依概率收敛的大数定律（Law of large numbers in probability）依概率收敛的大数定律是对事件发生概率的大数定律的推广。
它表述了当试验次数趋向于无限大时，事件发生的频率以概率1收敛于其概率。
概率论中的应用大数定律在概率论的应用非常广泛，其中一个典型的应用是抽样理论和统计推断。
在抽样理论中，我们可以通过大数定律来解释为什么用样本均值来估计总体均值是合理和可靠的。
三个大数定律之间的关系
三个大数定律之间的关系标题：三个大数定律之间的关系与应用概述：在概率论和统计学中，三个大数定律（大数定律、大数法则、大数定理）被广泛应用于分析和预测各种现象。
尽管它们各自描述了不同的现象，但在许多情况下，这些定律之间存在着密切的关系。
本文将深入探讨大数定律、弱大数定理和中心极限定理之间的联系，并通过实例展示它们在现实生活中的应用。
一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是概率论的基本定律之一，描述了在重复实验中，当试验次数无限增加时，样本的平均值趋近于真实概率的稳定值。
具体而言，根据大数定律，如果随机变量X的均值存在且有限，那么对于任意给定的正小数ε，有：P(|(X1+X2+...+Xn)/n - E(X)| ≤ ε) → 1 (n → ∞)大数定律说明在样本规模足够大的情况下，平均值的波动将逐渐减小，趋于一个确定的值，并且该值接近于总体的均值。
二、弱大数定理（Weak Law of Large Numbers）弱大数定理是大数定律的一种特殊情况，它给出了样本均值逐渐趋近于总体均值的概率上界。
弱大数定理指出，对于一个具有有限方差的独立同分布随机变量序列X1, X2, ..., Xn，样本均值X_bar与总体均值μ之间的差异可以用数学概率表示：lim(n → ∞) P(|X_bar - μ| > ε) = 0弱大数定理表明，样本均值与总体均值的差异随着样本规模的增加而逐渐减小，但它并未指明样本均值会无限逼近总体均值。
三、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是统计学中最重要和广泛应用的定理之一。
它指出，当独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn满足一定条件时，它们的和或平均值的分布将趋于一个正态分布，即使原始分布不是正态分布。
具体而言，中心极限定理表明：lim(n → ∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/sqrt(nσ^2) ≤ x) = Φ(x)其中，μ和σ分别为随机变量Xi的均值和标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。
概率论中的大数定理及应用
概率论中的大数定理及应用概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件发生的规律和概率分布。
大数定理是概率论中的基本理论之一，用来描述随机事件的长期平均性质。
本文将简要介绍大数定理的基本原理，并阐述其在实际应用中的重要性。
一、大数定理的基本原理大数定理是概率论中的一组定理，主要描述了当随机事件重复进行多次时，其平均结果逐渐逼近其期望值的现象。
大数定理可以分为弱大数定理和强大数定理两种形式。
1. 弱大数定理弱大数定理也叫伯努利大数定理，是大数定理的一种弱形式。
它指出，对于一系列相互独立的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，接近于其期望值。
简单来说，弱大数定理表明随着试验次数的增加，事件产生的频率将逐渐接近其概率。
2. 强大数定理强大数定理也叫辛钦大数定理，是大数定理的一种强形式。
它指出，对于一系列相互独立同分布的随机变量，它们的算术平均值当样本量趋近于无穷大时，几乎必然收敛于其期望值。
强大数定理更加严格，要求样本之间不仅是独立的，还要具有同分布的性质。
二、大数定理的应用大数定理在实际应用中具有广泛的意义，涉及到多个领域。
1. 统计学在统计学中，大数定理为我们提供了从有限样本中推断总体性质的理论基础。
通过采样和测量，我们可以利用大数定理来估计总体参数，并评估估计的准确性。
例如，在民意调查中，通过抽取一定数量的样本进行调查，利用大数定理可以推断出全体人口的某一属性的概率。
2. 金融学在金融学中，大数定理被广泛应用于风险管理和投资决策。
通过收集大量的历史数据，可以利用大数定理计算出某种金融工具的预期收益和风险。
基于大数定理，投资者可以对市场行为进行合理预期，从而更好地进行投资决策。
3. 信号处理在信号处理领域，大数定理用于解决噪声问题。
通过多次观测同一信号，并对观测结果进行平均处理，可以去除随机噪声的影响，提取出真实信号。
大数定理保证了平均处理的结果逐渐趋近于真实信号，从而提高了信号处理的准确性和稳定性。
大数定律举例说明
大数定律举例说明大数定律是概率论中的一个重要定律，它描述了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，相对频率会趋近于概率的现象。
下面将以不同领域的例子来说明大数定律的应用。
1. 股票市场假设某只股票的涨跌情况是独立的，每天都有50%的概率上涨，50%的概率下跌。
根据大数定律，当我们观察的时间足够长时，股票的涨跌幅度的相对频率会趋近于50%。
这意味着长期来看，股票市场是随机的，我们不能凭借短期的涨跌来预测未来的走势。
2. 投掷硬币假设我们用一个均匀的硬币投掷，每次投掷的结果是独立的，有50%的概率正面朝上，50%的概率反面朝上。
根据大数定律，当我们进行足够多次的投掷时，正面和反面出现的频率会趋近于50%。
这意味着长期来看，投掷硬币的结果是随机的，无法通过短期的观察来预测未来的结果。
3. 人口统计在一座城市中，某种疾病的发病率是1%，每个人是否患病是独立的。
根据大数定律，当我们观察的人口数量足够大时，患病的人数与总人口的比例会趋近于1%。
这意味着长期来看，我们可以通过大量观察来估计整个城市的疾病发病率。
4. 调查统计在进行民意调查时，要保证样本的代表性和随机性，以确保结果的准确性。
根据大数定律，当我们的样本足够大时，调查结果与整个群体的比例会趋近于相同。
这意味着我们可以通过对足够多的人进行调查来推断整个群体的态度或看法。
5. 游戏概率在一款赌博游戏中，每次玩家有50%的概率赢得游戏，50%的概率输掉游戏。
根据大数定律，当玩家进行足够多次游戏时，赢得游戏的频率会趋近于50%。
这意味着长期来看，玩家不能通过短期的结果来预测游戏的胜负。
6. 网络广告点击率在互联网广告中，点击率是衡量广告效果的重要指标。
假设某个广告的点击率是1%，每次点击是独立的。
根据大数定律，当广告被展示的次数足够多时，点击率会趋近于1%。
这意味着我们可以通过大量的广告展示来估计广告的点击率。
7. 随机抽样在进行统计调查时，为了保证结果的准确性，需要进行随机抽样。
概率论中的大数定律与中心极限定理的应用
概率论中的大数定律与中心极限定理的应用概率论是一门研究随机事件发生规律的学问，其定理与应用广泛应用于统计学、金融学、生产管理、人工智能等领域。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是最为基础和重要的定理之一，它们有着广泛的应用和深远的影响。
一、大数定律大数定律是指在某一条件下，重复试验的结果越多，这些结果统计平均后越趋近于一个确定的值。
大数定律可以帮助我们理解并预测某些随机事件的出现概率，从而制定更好的决策。
例如，翻硬币的结果是正面朝上还是反面朝上，这是一个具有随机性的试验。
用大数定律来解释，如果连续翻硬币1000次，正面朝上的次数大约为500次。
但是，如果连续翻硬币10000次，正面朝上的次数就会非常接近5000次。
这是因为随着试验次数的增加，正反两面朝上的出现概率逐渐趋近于50%，从而平均值逐渐稳定。
大数定律还可以应用于金融和经济领域。
在股票市场中，如果一个股票在长期内表现良好，那么其价值也会随着时间的增加而逐步稳定。
这就可以用大数定律来解释：由于牛市和熊市等因素的干扰，每日的股票价格可能会有波动，但随着时间的增加，这些波动相互抵消，从而使得该股票的总体价格与预期价值趋向于一致。
二、中心极限定理中心极限定理是指，如果连续进行多次随机试验，独立的结果会呈现出一种特殊的分布规律——正态分布。
正态分布有着明确的数学规律，可以通过概率计算和模型预测来描述和解释随机事件的统计特征。
例如，某一工厂每天生产的零件数量是不确定的，但是我们可以假设每种零件的生产概率分布相同，并应用中心极限定理来描述其总体分布规律。
在经过大量试验之后，我们可以发现，当零件数量充分大时，每天的生产总量的分布大致呈现出正态分布的特征，其中大部分零件的生产数量集中在平均值周围。
我们可以用这种分布规律来制定生产管理策略，从而提高生产效率和质量。
中心极限定理还可以应用于汇率和金融市场的预测。
在汇率市场中，每日的汇率涨跌幅度往往是不确定的，但是我们可以通过历史交易数据来计算总体波动率，并利用中心极限定理来预测未来一段时间内的汇率波动规律。
大数定律及其在生活中的应用
大数定律及其在生活中的应用
“大数定律”是概率论和统计学所普遍采用的重要定理，也是贝叶斯统计学的定理。
大数定律指的是如果把若干个大样本重复实验，得到的结果接近理论概率。
也就是说，当样本量很大时，统计结果逐渐收敛于理论概率。
由它可以推出统计结果一旦收敛到特定的理论概率，将不受抽样误差的影响，也就是说，样本的抽取次数越多，结果的准确度越好。
在高校及高等教育领域中，大数定律发挥着重要作用。
例如，开展教学目标设置、教学计划制定、教学过程管理、学生知识结构分析、课程设计、习题设计等，都要借助大数定律进行分析。
在学术研究方面，有关学术贡献、学术交流、学术发表、学术得失分析等，都可以依靠大数定律加以研究分析。
此外，大数定律也经常用来进行企业及经济以及社会等方面的研究或改进。
例如，大数定律作为企业的决策依据，可以帮助企业预测及决策：通过分析用户的消费数据，可以发现市场新的趋势；通过大数定律分析市场的定价，可以给出合理的价格调整；在投资领域，可以利用统计分析来预测资本市场，提高投资者的风险意识。
同样，如果应用大数定律来分析社会和经济现象，那么就可以根据大数定律，改善社会及经济的健康状况。
本文讲述了“大数定律”在高校及高等教育领域、学术研究以及企业及社会等方面的重要作用。
该定理的应用为社会及经济带来巨大的好处：有效地管理教学标准、提高企业的决策能力、知晓投资的风险、改进社会健康状况等等。
可见，大数定律虽间接，但却无处不在，可以说是影响着我们现实生活的重要定理。
大数定律和中心极限定理的证明及应用
大数定律和中心极限定理的证明及应用大数定律和中心极限定理是概率论的两个基础定理，它们是理解概率论的重要桥梁，也是进行统计分析的基础。
本文将针对这两个定理进行证明和应用的探讨。
一、大数定律大数定律是概率论的重要定理，它指出在独立、同分布的随机变量序列t1、t2、…、tn中，随着n的增大，它们的算术平均值趋近于它们的数学期望。
设t1、t2、…、tn是n个独立同分布的随机变量，它们的数学期望为μ，方差为σ^2，则对于任意ε>0，有：P(|(t1+t2+…+tn)/n - μ| ≥ ε) → 0(n → ∞)即随着n的无限增大，随机变量序列的样本平均值与总体平均值之间的差值会趋近于0。
大数定律的证明有多种方法，这里介绍一种重要的方式——切比雪夫不等式证明法：对于随机变量序列t1、t2、…、tn，根据切比雪夫不等式有：P(|(t1+t2+…+tn)/n - μ| ≥ ε) ≤ σ^2/nε^2由于随机变量t1、t2、…、tn是独立同分布的，因此其样本方差为：sn^2 = (t1-μ)^2 + (t2-μ)^2 + … + (tn-μ)^2按此可得到：σ^2 = sn^2/n因此有：P(|(t1+t2+…+tn)/n - μ| ≥ ε) ≤ sn^2/nε^2从而有：P(|(t1+t2+…+tn)/n - μ| ≥ ε) ≤ σ^2/nε^2由此，对于任意ε>0，当n很大时，都有：P(|(t1+t2+…+tn)/n - μ| ≥ ε) → 0 (n → ∞)即可证明大数定律成立。
大数定理有广泛的应用。
以森林面积估计为例，若要估算某森林面积，可以随机抽取森林中若干个点，计算这些点所在的小区域内的树木密度，通过求平均值来估算森林的总面积。
根据大数定律，随着抽样点数增加，估算结果会趋近于真实面积。
二、中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论的又一个基础定理，它指出在独立、同分布的随机变量序列t1、t2、…、tn中，随着n的增大，这些随机变量的和的分布趋近于正态分布。
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概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用作者：信计1301班王彩云130350119摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。
概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。
大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。
本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。
关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。
在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。
比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。
偶然之中包含着必然。
从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。
这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。
深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。
然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。
这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。
大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。
那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。
即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。
一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。
正文：发展历史：概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学, 而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来. 从概率的统计定义中可以看出: 一个事件发生的频率具有稳定性, 即随着试验次数的增多, 事件的频率逐渐稳定在某个常数附近. 人们在实践中观察其他一些随机现象时, 也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性. 这就是说, 无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何, 大量随机个体的平均效果与每一个体的特征无关, 且不再是随机的. 深入考虑后, 人们会提出这样的问题: 稳定性的确切含义是什么? 在什么条件下具有稳定性? 这就是大数定律要研究的问题.1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。
拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。
1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。
这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。
20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。
伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。
因此概率论历史上第一个极限定理属于伯努利。
它是概率论与数理统计学的基本定律之一，属于弱大数定律之一，当然也称为伯努利大数定律。
它可以通俗的理解，有些随机事件无规律可循，但不少却是有规律的，这些“有规律的随机事件”中在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。
通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。
例如：在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷n次硬币中出现正面的次数。
不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于21。
频率靠近概率的一种客观存在的，可以直接观察到的现象。
而伯努利给这种现象给予了一种确切的含义。
随着数学的发展，随机变量序列服从大数定律的证明，出现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，伯努利大数定律就是切比雪夫大数定律的一个特例。
再到后面，出现独立同分布的辛钦大数定律等常用的大数定律。
相关数学家：拉普拉斯拉普拉斯,1749年3月23日生于法国西北部卡尔瓦多斯的博蒙昂诺日，曾任巴黎军事学院数学教授，1795年任巴黎综合工科学校教授，后又在高等师范学校任教授。
1799年他还担任过法国经度局局长，并在拿破仑政府中任过6个星期的内政部长，1816年被选为法兰西学院院士，1817年任该院院长，1827年3月5日卒于巴黎。
拉普拉斯在研究天体问题的过程中，创造和发展了许多数学的方法，以他的名字命名的拉普拉斯变换、拉普拉斯定理和拉普拉斯方程，在科学技术的各个领域有着广泛的应用。
德莫佛德莫佛，法文原名 Abraham de Moivre，（1667.05.26法国-1754.11.27英国伦敦），法国数学家。
德莫佛对数学最著名的贡献是德莫佛公式（de Moivre Formula）和德莫佛-拉普拉斯中心极限定理，以及他对正态分布和概率理论的研究。
德莫佛还写了一本概率理论的教科书，The Doctrine of Chances ，据说这本书被投机主义者（gambler ）高度赞扬。
德莫佛是解析几何和概率理论的先驱之一；他还最早发现了一个二项分布的近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。
大数定理的意义：在一个随机事件中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；同时，在对物理量的测量实践中，大量测定值的算术平均也具有稳定性。
在数理统计中，一般有三个定理，贝努利定理和辛钦定理，如：反映算术平均值和频率的稳定性。
当n 很大时，算术平均值接近数学期望；频率以概率收敛于事件的概率。
大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p ，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
就是说当n 很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。
由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
大数定律的表现形式：由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率1收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。
定义1 设有一列随机变量1,2,ηηη ，如果对于任意的0ε>，有()lim 1n n P ηηε→∞-<=则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，记作(),p n n ηη−−→→∞。
定义2 设有随机变量η和一列随机变量{}n η ，1,2ηη…..，若(){}lim 1n n P ηωη→∞==成立，则称{}n η几乎处处收敛于η，记作().,a e n n ηη−−→→∞ 定义3 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列,如果存在常数列1,2,a a ⋅⋅⋅,使得对任意的0ε>,有11lim 1n i n n i P a n ξε→∞=⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑ （8） 成立，则称随机变量序列{}i ξ满足大数定律。
定义4 设有随机变量η和随机变量序列{}n η的r 阶原点矩rE η、r n E η（n=1,2……）存在，其中r>0，若lim 0rn n E ηη→∞-=则称n ηr 次平均收敛到η。
记作 rL n ηη−−→。
此时必有r r n E E ηη=。
当r=2时是常用的二阶矩，2L n ηη−−→称为均方收敛。
定义5 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有 11lim 1n nk k n i i E n n ξξε→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑ 则称随机变量序列12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从弱大数定律。
定义6 若12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是随机变量序列，它们的数学期望(1,2,.....)i E i ξ=存在，0ε∀>有()1l i m 01nk k n i P E n ξξ→∞⎧⎫-==⎨⎬⎩⎭∑或等价地.110n n a e k k i i E n n ξξ-−−→∑∑， 则称12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅服从强大数定律。
上述两个大数定律要注意，强大数定律和弱大数定律区别不仅仅是一个法则的不同，不能简单的把极限符号lim n →∞从概率号P （）中移出来，弱大数定律描述的是一列概率的收敛性，而强大数定律说的是一列随机变量收敛到一个常数，也正是这点，保证了用事件出现的频率来作为事件概率的估计的正确性。
定理1 对任意的随机变量ξ，若E a ξ=，又D ξ存在，则对任意的正常数ε，有()2D P a ξζεε-≥≤， 则称此式子为切比雪夫不等式。
粗糙地说，如果D ξ越大，那么()P a ζε-≥也会大一些。
大数定律形式有很多种，我们仅介绍几种最常用的大数定律。
定理2 （伯努利大数定律）设n μ是n 重伯努利实验中事件A 出现的次数，且A在每次试验中出现的概率为p （0<p<1）,则0ε∀>，有l i m 1n n P p n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭（5） 此定理表明：当n 很大时，n 重伯努利试验中事件A 发生的频率几乎等于事件A 在每次试验中发生的概率，这个定律以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
定理3 （切比雪夫大数定律） 设12,,n ξξξ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是一列两两不相关的随机变量,又设它们的方差有界,即存在常数0C >,使有,1,2,3i D C i ξ≤=⋅⋅⋅，则对于任意的0ε>,有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑∑ （9） 在上述的定理中，因为用到切比雪夫不等式，都有对方差的要求，其实方差这个条件并不是必要的。
例如独立同分布时的辛钦大数定律。