概率论 大数定律
概率论中的大数定律分析
概率论中的大数定律分析在概率论中，大数定律是一组重要的数学定理，描述了随机变量序列的极限行为。
它们告诉我们，随着样本容量的增大，随机事件的平均结果趋向于确定的常数。
本文将对大数定律进行分析，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、初识大数定律大数定律最早可以追溯到十七世纪的赌博问题。
法国数学家帕斯卡和费马独立地思考了在赌博中连续成功的概率，并提出了类似的解决方法。
可以说，大数定律的研究源远流长。
二、大数定律的基本原理大数定律的基本原理可以归结为以下两种形式：辛钦定律（辛钦大数定律）和伯努利定律（伯努利大数定律）。
1. 辛钦定律辛钦定律是较早被证明的一种大数定律，其内容是：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列的期望值存在有限，即 E(Xᵢ) = μ，其中i = 1,2,...,n，那么对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - μ| < ε) = 1这意味着样本均值的极限等于总体均值，当n趋近于无穷大时。
辛钦定律的一个重要应用是该定律能够反映频率与概率的关系。
2. 伯努利定律伯努利定律是概率论中另一种重要的大数定律，描述了在独立重复试验中，事件发生的频率接近其概率。
该定律可以表示为：对于一个随机变量序列X₁，X₂，...，Xₙ，如果这个序列是独立同分布的，并且序列中事件A发生的概率为p，则对于任意ε > 0，有lim(n→∞) P(|(X₁+X₂+...+Xₙ)/n - p| < ε) = 1这意味着在重复独立的试验中，事件A发生的频率将趋近于其概率p，当n趋近于无穷大时。
伯努利定律是大数定律中最为经典的定律之一。
三、大数定律在实际应用中的重要性大数定律在许多领域中都有着广泛的应用，例如金融、统计学、物理学和工程学等。
在金融领域中，大数定律被应用于风险管理和投资决策。
通过对金融市场中的样本序列进行分析，可以推断出未来市场走势，帮助投资者做出较为准确的决策。
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本定理，它们对于理解和应用概率论具有重要意义。
一、大数定律大数定律是概率论中的一项重要成果，它研究的是随机事件重复进行时，随着试验次数的增加，事件的频率趋于稳定的现象。
大数定律的核心思想是：随机事件的频率会趋于其概率。
大数定律有多种形式，其中最著名的是弱大数定律和强大数定律。
弱大数定律指出，当随机事件重复进行时，事件的频率会接近其概率，但不一定完全相等。
而强大数定律则更加严格，它指出，当随机事件重复进行时，事件的频率几乎必定会趋于其概率。
大数定律的应用非常广泛。
例如，在赌场中，赌徒们常常利用大数定律来制定自己的投注策略。
他们相信，通过多次下注，最终能够获得稳定的胜率。
另外，在统计学中，大数定律也是重要的理论基础。
通过对大量样本的观察，我们可以得出对总体的推断。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象。
中心极限定理的核心思想是：随机变量的和趋于正态分布的程度与随机变量的分布无关，只与样本容量有关。
中心极限定理有多种形式，其中最著名的是中心极限定理的拉普拉斯形式和莫尔根-拉普拉斯形式。
中心极限定理的拉普拉斯形式适用于二项分布和泊松分布，而莫尔根-拉普拉斯形式适用于任意分布。
中心极限定理的应用广泛而深入。
在实际生活中，我们常常遇到一些随机现象，如测量误差、人口统计等。
通过应用中心极限定理，我们可以对这些随机现象进行更准确的分析和预测。
三、大数定律与中心极限定理的关系大数定律和中心极限定理是概率论中两个相互关联的定理。
它们都是研究随机现象的规律性，但侧重点不同。
大数定律研究的是随机事件的频率趋于稳定的现象，它关注的是事件本身的概率。
而中心极限定理研究的是随机变量的和的分布趋于正态分布的现象，它关注的是随机变量的分布。
大数定律和中心极限定理的关系可以从两个方面来理解。
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
四种大数定律
四种大数定律导语：大数定律是概率论中的重要概念，它描述了在重复进行某个实验的过程中，随着实验次数的增加，实验结果会趋近于某个稳定值的现象。
本文将介绍四种常见的大数定律。
一、大数定律之弱大数定律弱大数定律，也称为大数定律的弱收敛形式，是概率论中最早被发现和证明的大数定律之一。
它指出，对于独立随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|<ε)=1，即随着样本容量的增加，样本均值趋近于总体均值。
例如，我们进行了n次掷硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据弱大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率将逐渐收敛于p。
二、大数定律之强大数定律强大数定律是大数定律中的一种更为强大的形式，也称为大数定律的强收敛形式。
它指出，对于独立同分布的随机变量序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的数学期望存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-μ|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值。
以赌场为例，假设我们进行了n次抛硬币的实验，正面朝上的概率为p。
根据强大数定律，当n趋向于无穷大时，正面朝上的频率几乎以概率1收敛于p。
三、大数定律之伯努利大数定律伯努利大数定律是大数定律中的一种特殊形式，适用于二项分布的随机变量序列。
它指出，对于独立同分布的伯努利试验序列X1, X2, ..., Xn，如果这些随机变量的概率p存在且相等，那么对于任意给定的正数ε，有lim(n→∞)P(|(X1+X2+...+Xn)/n-p|≤ε)=1，即样本均值几乎以概率1收敛于总体均值p。
以制造业为例，假设我们对某个产品进行了n次质量检测，不合格的概率为p。
根据伯努利大数定律，当n趋向于无穷大时，不合格品的比例几乎以概率1收敛于p。
四、大数定律之中心极限定理中心极限定理是大数定律中的一种重要形式，它描述了随机变量序列的和在一定条件下服从近似正态分布的现象。
概率论中的大数定律与中心极限定理
概率论中的大数定律与中心极限定理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。
在概率论中，大数定律和中心极限定理是两个基本而又重要的概念。
本文将详细探讨这两个定律，并阐述它们在概率论中的应用。
一、大数定律大数定律是概率论中最为基本的定律之一。
它描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，随机事件的频率会趋于稳定，即其概率的长期平均值会趋于事件的真实概率。
大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
弱大数定律是指在概率分布具有一定条件时，频率收敛到概率的几乎必然成立。
也就是说，如果一个事件发生的概率为p，那么当试验次数增加时，该事件发生的频率会趋于p。
这种定律的典型应用是频率稳定的硬币投掷问题。
当试验次数趋于无穷大时，正面朝上的频率会收敛于0.5，即硬币的正反面概率相等。
强大数定律是指在一般条件下，频率收敛到概率的几乎必然成立。
它比弱大数定律更为强大，可以涵盖更广泛的情况。
例如，当试验次数无限大时，独立同分布随机变量的均值收敛于其数学期望。
这种定律对于实际问题的应用更为广泛，可以用于解释一系列现象，如赌博、股票市场等。
二、中心极限定理中心极限定理是概率论中最为重要的定理之一。
它描述了当独立同分布随机变量的和的样本容量足够大时，这个和的分布会趋近于正态分布。
中心极限定理包括三种形式：李雅普诺夫定理、林德贝格-列维定理和棣莫弗-拉普拉斯定理。
李雅普诺夫定理是中心极限定理的一种形式，描述了独立随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
它要求随机变量具有有限的方差，并且样本容量足够大。
在实际应用中，李雅普诺夫定理可以用于描述大量相互独立事件的和的分布。
林德贝格-列维定理是中心极限定理的另一种形式，描述了独立同分布随机变量和的分布趋近于正态分布的条件。
与李雅普诺夫定理相比，林德贝格-列维定理的条件更为宽松，不再要求有限的方差。
这使得林德贝格-列维定理在实际应用中更为通用。
棣莫弗-拉普拉斯定理是中心极限定理的一种特殊情况，适用于二项分布。
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是什么？
概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
大数定律揭示了随机变量行为的规律性，为概率论的应用提供了基础。
大数定律有两种主要形式：弱大数定律和强大数定律。
1. 弱大数定律
弱大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，其样本均值接近于期望值的概率趋近于1。
换句话说，样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零。
弱大数定律包括切比雪夫大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于满足一定条件的随机变量，如独立同分布的随机变量。
2. 强大数定律
强大数定律是指当随机变量的实验次数趋近于无穷大时，样本均值几乎确定地收敛于期望值。
也就是说，样本均值与期望值之间的差值几乎为零，而不仅仅是在概率意义下趋近于零。
强大数定律包括辛钦大数定律和伯努利大数定律等。
这些定律适用于更一般的随机变量，包括不满足独立同分布条件的情况。
大数定律在概率论和统计学中有广泛的应用。
它提供了实验结果稳定性的保证，使我们能够对随机事件进行准确的估计和推断。
无论是在金融领域、生物领域还是工程领域，大数定律都扮演着重要角色。
总结起来，概率论中的大数定律是指随着随机变量的实验次数增加，其平均值逐渐稳定地接近于其期望值的现象。
弱大数定律和强大数定律分别描述了样本均值与期望值之间的差值在概率意义下趋近于零和几乎为零的情况。
希望本文对您理解概率论中的大数定律有所帮助。
概率论大数定律
概率论大数定律一、引言概率论大数定律是概率论中的重要理论之一，它描述了在独立随机变量序列的情况下，随着样本数量的增加，样本均值趋向于总体均值的现象。
本文将对概率论大数定律进行深入探讨，并介绍其应用。
二、大数定律的历史背景大数定律最早可以追溯到17世纪的拉普拉斯和伯努利，他们通过模拟实验观察到了大数定律的现象。
之后，克拉美导数、切比雪夫和伯努利等数学家对大数定律进行了进一步的研究和证明。
三、大数定律的表述大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
3.1 弱大数定律弱大数定律又称为大数定律的矛盾形式，它表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值与总体均值之间的差异趋向于零。
数学表达式如下：P(|X n−μ|<ε)=1limn→∞其中，X n表示样本均值，μ表示总体均值，ε表示一个足够小的正数。
3.2 强大数定律强大数定律表述了当样本数量趋向于无穷大时，样本均值几乎必然等于总体均值。
数学表达式如下：P(limX n=μ)=1n→∞四、大数定律的证明大数定律的证明可以通过数学推导和概率论方法进行。
4.1 切比雪夫不等式的应用切比雪夫不等式是大数定律证明中常用的工具之一。
它将样本均值与总体均值之间的差异与样本数量的关系联系起来，从而得出大数定律的结论。
4.2 独立随机变量序列的性质大数定律的证明需要利用独立随机变量序列的性质。
独立性保证了样本观测之间的相互独立性，使得样本均值可以准确地逼近总体均值。
4.3 极限定理的应用极限定理是大数定律证明的另一个重要工具。
通过使用中心极限定理和大数定律的关系，可以推导出大数定律的结论。
五、大数定律的应用大数定律在概率论和统计学中有着广泛的应用，它能够帮助我们理解和解释实验结果的规律性。
5.1 抽样理论大数定律为抽样理论提供了坚实的理论基础。
它告诉我们，通过抽取足够数量的样本，可以准确地估计总体的特征。
5.2 统计推断大数定律在统计推断中扮演着重要的角色。
通过大数定律，我们可以通过样本均值来推断总体均值，从而做出关于总体的统计推断。
概率论与数理统计 6.1 大数定律
EXi , i 1,2, , 则序列X1, , Xn , 服从大数定律，
即对 0,
lim
n
P
1 n
n i 1
Xi
1,
亦即
1
n
n i
Xi
P .
辛钦
辛钦大数定律去掉了方差存在的条件，但增加了iid这一前提， 此定律就是日常生活中经常使用的算术平均值法则的理论依据。
例1：设X1, , Xn , 是i.i.d.r.v.序列，其共同 分布列为
它的一个特例。下面是大数定律的一般形式：
定义：设X1, , Xn , 是一个r.v.序列，若对 0,
均有
lim
n
P
1 n
n i 1
1n X i n i1 EX i
1.
称r.v.序列X1, , Xn , 服从大数定律。
定理3(Khinchin大数定律): 设X1, , Xn , 是i.i.d.r.v.序列，
试验下的客观规律，也为用频率来近似概率提供了理论依据。
注1：如果事件A发生的概率很小，则由贝努利定律，事件A 发生的频率也很小，即事件A很少发生，也就是说，概率很小
的事件在一次试验中几乎是不会发生的，此 即 小概率原理。
注2：这里 X 与p之间任意接近不同于微积分中的极限概念， n
是一种新的收敛概念。
定义：设Y1, ,Yn , ,是r.v.序列，a为常数，若对 0,
lim
n
P ( Yn
a
)
1,
称Yn依概率收敛于a, 记作Yn P a.
贝努利大数定律也可以记为：
X P p. n
定理2 (Chebyshev大数定律) : 设X1, , Xn , 是两两不相关 的r.v.序列，且方差是一致有界的，即存在常数C, 使得
概率论 大数定律
当 n 很大时, 随机变量 X1, X2 , , Xn 的算术平
均
1 n
n k 1
X
k
接近于数学期望
E(X1) E(X2) E(Xk ) ,
（这个接近是概率意义下的接近）
即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
某某公司安全监查处
某某公司
定理一的另一种叙述:
某某公司安全监查处
某某公司
定理二（伯努利大数定理）
伯努利
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件A 发生 的次数, p 是事件 A 在每次试验中发生的概率,
则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
nA n
p
1
或
lim
n
P
nA n
p
0.
证明 引入随机变量
0, 若在第k 次试验中 A 不发生,
Xk
某某公司
二、基本定理
定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 契比雪夫
设随机变量 X1, X2 , , Xn , 相互独立,
且具有相同的数学期望和方差：E( Xk ) ,
D( Xk ) 2 (k 1, 2, ), 作前 n 个随机变量
的算术平均
X
1 n
n k 1
Xk,
则对于任意正
数 有
lim P{|
lim
n
P
1 n
(
X1
X2
Xn)
p
1,
即
lim
n
P
nA n
p
1.
某某公司安全监查处
某某公司
关于伯努利定理的说明: 伯努利定理表明事件发生的频率 nA 依概 n
概率论中的大数定律推导
概率论中的大数定律推导概率论是数学的一个重要分支，研究随机现象中事件发生的规律性。
其中，大数定律是概率论中的重要定理之一，它描述了在独立重复试验的条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会趋向于其概率的收敛现象。
本文将详细介绍大数定律的推导过程。
一、大数定律的概念大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它分为弱大数定律和强大数定律两种形式。
不论是弱大数定律还是强大数定律，它们都是基于独立重复试验的条件下进行推导的。
在介绍弱大数定律和强大数定律之前，我们先来定义一些相关的概念。
1. 随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它将样本空间中的每个样本点映射到一个实数上。
2. 事件事件是样本空间的一个子集，表示某些样本点的集合。
3. 概率概率是一种度量事件发生可能性的数值。
在引入随机变量和概率的概念之后，我们可以给出大数定律的定义。
弱大数定律：对于任意小正数ε，当随机变量X的次数足够大时，事件A的频率会以至少是1-ε的概率接近其概率。
即对于任意小正数ε，有Lim（n→∞）P(|A_n/n-p|>ε)=0.强大数定律：对于任意小正数ε，当随机变量X的次数足够大时，事件A的频率会以概率1接近其概率。
即对于任意小正数ε，有P(Lim （n→∞）A_n/n=p)=1.其中，A_n表示事件A发生的次数，n表示试验的次数，p表示事件A的概率。
二、大数定律推导的基本思路大数定律的推导过程可以通过概率的定义和数学推导来完成。
一般来说，大数定律的推导包括以下几个步骤：1. 利用概率定义和随机变量的性质，得到事件A发生的概率表达式。
2. 利用数学推导，将事件A的频率表示为随机变量的函数。
3. 利用极限的性质，得到事件A的频率的极限表达式。
4. 利用概率的性质，得到事件A的频率接近其概率的结论。
三、大数定律推导的具体方法大数定律的推导方法主要有切比雪夫不等式、辛钦大数定律等。
1. 切比雪夫不等式推导大数定律切比雪夫不等式是概率论中常用的一个不等式，它给出了随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
概率论第五章大数定律与中心极限定理讲解
1 P
1200
Xk
k 1
10
0
2
1[
2
2
]
2 22 2 0.0228 0.0456
例2 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均 值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的 寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于 1920小时的概率.
可知，当 n 时，有 1nn 源自1XiP E( X1)
a
因此我们可取 n 次测量值 x1, x2, , xn 的算术平均值
作为a
得近似值，即
a
1 n
n i1
xi ,当n充分大时误差很小。
例4 如何估计一大批产品的次品率 p ？ 由伯努利大数定律可知，当 n 很大时，可取频率
则对任意的 x ，有
n ~ N(np, np(1 p)) n , 近似地
即 n np ~ N (0,1)
np(1 p)
或 lim P{ n np
x
x}
1
t2
e 2 dt x
n np(1 p)
2
证 因为 n ~ b(n, p)
n
所以 n X k k 1
i 1
1200
1200
心极限定理可得 X k ~ N (n,n 2),即 X k ~ N (0,100)
k 1
k 1
则所求概率为
1200
1200
P k1 X k
20
P
Xk 0
k 1
概率论中的大数定律
概率论中的大数定律是指在一系列独立重复试验中，随着试验次数的增加，所得到的结果趋近于某个确定值的规律。
在概率论的发展过程中，大数定律是一项重要的理论成果，对于统计学和应用数学等领域有着深远的影响。
大数定律的核心思想是，虽然单次试验的结果是随机的，但当试验次数足够多时，随机性的影响将逐渐减小，最终会趋于一个固定的数值。
这个固定值被称为随机变量或概率的数学期望。
大数定律不仅能够解释频率的概念，还可以用来估计事件发生的可能性。
最著名的大数定律有大数定律（弱大数定律）和中心极限定理。
在概率论的早期研究中，人们发现了很多有关大数定律的理论结果，但直到18世纪才取得了突破性的进展。
1733年，瑞士数学家马可夫尼(Marquis de Laplace)发表了一篇名为《Probalite des Causes》的论文，其中提出了频率的概念，并且证明了大数定律的一个特例。
弱大数定律表明，对于任意小的正数ε，当试验次数足够多时，随机变量X与其数学期望的差值小于ε的概率趋于1。
这意味着在长时间的观察中，试验结果将趋于某个确定的值。
然而，弱大数定律并不能给出统计平均值的具体值，只能给出其取值接近真实数值的概率。
中心极限定理则更加深入地研究了大数定律。
它指出，当试验次数足够多时，大量独立试验的和会近似服从正态分布。
这一定理的发现，不仅解决了大数定律无法给出具体数值的问题，还为统计学的发展提供了理论依据。
中心极限定理的应用广泛，例如在抽样调查中，通过对样本进行观察和测量，可以推断出总体的特征。
概率论中的大数定律不仅在理论研究中具有重要意义，还在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在金融领域中，大数定律可以用来解释投资风险和收益的关系，以及对未来市场趋势的预测。
在工程设计中，大数定律可以用来评估系统的可靠性和稳定性。
在医学研究中，大数定律可以用来解释疾病的发病率和治疗效果的统计规律。
总之，概率论中的大数定律是一项重要的理论成果，揭示了随机试验结果的规律性。
概率论-第5章 大数定律及中心极限定理
§1 大数定律
一、问题的引入
生产过程中的 字母使用频率 废品率 启示:从实践中人们发现大量测量值的算术平均值 有稳定性.
大量抛掷硬币 正面出现频率
§1 大数定律
一、问题的引入
大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number)
§2 中心极限定理
即考虑随机变量X k (k 1, n)的和 X k的标准化变量
k 1 n
Yn
X
k 1
n
k
E ( X k )
k 1 n
n
D ( X k )
2
说明每一个随机变量都有相同的数学期望。
§1 大数定律
检验是否具有相同的有限方差？
Xn P
2
( na ) 1 2 2n
2 n
2
0 1 1 2 n
2
( na ) 1 2 2n
2
1 2 a , E ( X ) 2( na ) 2 2n 2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
使得当 x a y b 时,
g( x , y ) g(a , b)பைடு நூலகம் ,
§1 大数定律
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) }
{ X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2
§2 中心极限定理
自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人 们发现，正态分布在自然界中极为常见.
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题.
概率公式大数定律
概率公式大数定律概率论是数学的一个重要分支，研究的是随机事件的发生概率以及相关的数学模型。
在概率论中存在着一条重要的定律，即概率公式的大数定律。
本文将就概率公式大数定律进行详细的介绍和解释。
一、概率公式的定义概率公式，也称概率分布函数，是概率论中用来描述随机事件发生概率的一种数学工具。
概率公式以概率密度函数或累积分布函数的形式呈现，可以用于计算任一事件发生的概率。
概率公式在统计学、金融学等许多领域有着广泛的应用。
二、大数定律大数定律是概率论中一个重要的理论结果，它揭示了在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本平均值逐渐收敛于总体期望值的现象。
也就是说，如果我们进行足够多次的试验，样本的平均值将趋近于总体的期望值。
大数定律的核心思想是概率公式的稳定性。
通过多次试验，我们可以得到一系列样本，计算这些样本的平均值，然后比较平均值与总体期望值的接近程度。
当试验次数足够大时，样本平均值会逐渐靠近总体期望值，这就是大数定律的基本原理。
三、大数定律的证明大数定律有多种证明方法，其中比较常用的方法是切比雪夫不等式及辛钦大数定律。
切比雪夫不等式是概率论中一个重要的不等式，它可以用来估计随机变量与其期望值之间的偏离程度。
辛钦大数定律则是通过对样本平均值进行数学分析，证明了样本平均值的收敛性。
四、应用举例大数定律在实际生活中有着广泛的应用。
以赌博为例，假设一个赌场中的某个游戏是公平的，那么根据大数定律，玩家在足够多的游戏次数中，赢的次数将趋近于赔率。
这就解释了为何在长期的赌博中，赌场往往能够稳定盈利。
此外，在金融领域，大数定律也有重要的应用。
通过对股票市场的分析，可以利用大数定律来预测市场的走向。
通过分析历史数据并计算平均值，可以得到市场的平均涨跌幅度，从而指导投资决策。
五、总结概率公式的大数定律是概率论中的重要理论，它揭示了随机事件的规律性，并且在实际生活中有着广泛的应用。
通过对概率公式的稳定性进行分析，我们可以预测事件发生的概率及其影响。
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
大数定律公式
大数定律公式
大数定律公式为g=log*vn。
概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。
概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。
大数定律概述
大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。
可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。
大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。
与“大数定律”对应的，就是“小数定律”，小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。
但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。
伯努利大数定律公式：
伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。
基本内容
设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律。
（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，有成立。
即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。
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( na )2 0 ( na )2 1 1 1 P 1 2 2 2n n 2n 2 1 2 2 E ( X n ) 2( na ) 2 a 2 , 2n Xn
2 ) [ E ( X n )]2 a 2 . D( X n ) E ( X n
2
说明离散型随机变量有有限方差, 故满足契比雪夫定理的条件.
依概率收敛于a , 记为
P Yn a
依概率收敛序列的性质:
设 Xn a , Yn b,
P P
又设函数 g( x , y ) 在点 (a , b) 连续,
P 则 g ( X n , Yn ) g (a , b ).
证明
因为 g( x , y ) 在 (a , b) 连续,
根据定理一有
1 lim P ( X 1 X 2 X n ) p 1, n n nA 即 lim P p 1. n n
关于伯努利定理的说明:
nA 伯努利定理表明事件发 生的频率 依概 n 率收敛于事件的概率p, 它以严格的数学形式 表达了频率的稳定性 .
n 0, P X n a P Yn b 2 2
故 lim P{ g( X n , Yn ) g(a, b) } 1.
n
[证毕]
定理二（伯努利大数定理）
伯努利
设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数 , p 是事件 A 在每次试验中发生的概 率, 则对于任意正数 0, 有 nA nA lim P p 1 或 lim P p 0. n n n n
关于定理一的说明:
当 n 很大时, 随机变量 X 1 , X 2 ,, X n 的算术平 1 n 均 X k 接近于数学期望 n k 1 E ( X1 ) E( X 2 ) E ( X k ) ,
（这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数.
1 n 则对于任意正数 , 有 lim P X k 1. n n k 1
关于辛钦定理的说明: (1) 与定理一相比, 不要求方差存在; (2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况.
三、典型例题
例1 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立,
第一节、典型例题 四、小结
一、问题的引入
实例 频率的稳定性
随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数. 单击图形播放/暂停 ESC键退出
启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性.
二、基本定理
定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 契比雪夫 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立,
定理一的另一种叙述:
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n , 相互独立, 设Y1 ,Y2 ,,Yn是一个随 且具有相同的数学期望 和方差： E ( X k ) , 机变量序列, a是一个常 n 1 D( X k ) 2 ( k 1, 2,), 则序列 X Xk 数, 若对于任意正数 n k 1 有 P lim P {| Yn a | } 1, n 依概率收敛于 , 即 X . 则称序列 Y1 ,Y2 ,,Yn
所以 X 1 , X 2 ,, X n ,也是相互独立的，
2 2 得 E ( X ) D ( X ) [ E ( X ) ] , 由 E ( X k ) 0, k k k 2 2
由辛钦定理知
1 n 2 2 对于任意正数 , 有 lim P X k 1. n n k 1
na 0 具有如下分布律： 1 1 P 1 2 2 2n n 问是否满足契比雪夫定 理? Xn na 1 2n 2
解 独立性依题意可知, 检验是否具有数学期望？
E ( X n ) na 2
1 1 1 2 0 (1 2 ) na 2 0, 2 2n n 2n
说明每一个随机变量都有数学期望, 检验是否具有有限方差？
例2 设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,独立同分布,
且 E ( X k ) 0, D( X k ) 2 , k 1,2,, 证明对任 意正数 有
1 n 2 2 lim P X k 1. n n k 1
2 2
解 因为 X1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的，
且具有相同的数学期望 和方差：E ( X k ) , D( X k ) 2 ( k 1, 2,), 作前 n 个随机变量 的算术平均 数 有 1 n X Xk , n k 1 则对于任意正
1 n lim P{| X | } lim P X k 1. n n n k 1
2 1 n 1 n 1 2 D X k 2 D( X k ) 2 n , n n n k 1 n k 1
由契比雪夫不等式可得
1 n 2 P Xk 1 2 , n n k 1 并注意到概率不能大于1, 则 在上式中令n ， 1 n P X k 1. n k 1
故而当 n 很大时, 事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中, 当试 验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来代 替事件的概率.
定理三（辛钦定理）
辛钦资料
设随机变量 X 1 , X 2 ,, X n ,相互独立, 服从同一分布, 且具有数学期望 E ( X k ) ( k 1,2,),
四、小结
契比雪夫定理的特殊情况 三个大数定理 伯努利大数定理 辛钦定理
频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而伯 努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳 定性.
二、基本定理
定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 表达式的意义 设随机变量 1 , X 2 , , X n , 相互独立 {| X | }X 是一个随机事件 , 等式表 ,
且具有相同的数学期望 和方差：E ( X k ) 1, , 明, 当n 时这个事件的概率趋于 D( X k即对于任意正数 ) 2 ( k 1, 2, 作前 n 个随机变量 ), ,当 n充分大时 ,不
证明
引入随机变量
0, 若在第 k 次试验中 A 不发生, Xk 1, 若在第 k 次试验中 A 发生, k 1, 2,.
显然
nA X 1 X 2 X n ,
因为 X1 , X 2 ,, X n ,是相互独立的， 且X k 服从以 p 为参数的(0 1) 分布, 所以 E ( X k ) p, D( X k ) p(1 p), k 1, 2,.
0, 0,
使得当 x a y b 时, g( x , y ) g(a , b) ,
于是 { g( X n , Yn ) g(a, b) } { X n a Yn b }
X n a Yn b , 2 2 因此 P{ g( X n , Yn ) g(a, b) }
1 n 等式 | X | 成立的概率很大. 的算术平均 X X k , 则对于任意正 n k 1
1 n lim P{| X | } lim P X k 1. n n n k 1
数 有
证明
1 1 n 1 n E X k E ( X k ) n , n n k 1 n k 1