三角形的四大模型培训课件
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三角形的四大模型
一、三角形的重要概念和性质
1、三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180°
2、三角形的外角和定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
3、三角形角平分线(角分线)中线(分面积等)高(直角三角形两锐角互余)
二、八字模型:
证明结论:∠A+∠B=∠C+∠D
三、飞镖模型:
证明结论:1.∠BOC=∠A+∠B+∠C
四、角分线模型:
如图,BD、CD分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,BD、CD相交于点D,
试探索∠A与∠D之间的数量关系,并证明你的结论.
如图,△ABC两个外角(∠CAD、∠ACE)的平分线相交于点P.
探索∠P与∠B有怎样的数量关系,并证明你的结论.
题型一、三角形性质等应用
1.如图,小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转15°,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,一共走了米数是()
A.120 B.150 C.240 D.360
2.如图所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2.
3.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影= cm2.
4.A、B、C是线段A1B,B1C,C1A的中点,S△ABC的面积是1,则S△A1B1C1的面积.
5.一个四边形截去一个角后,剩下的部分可能是什么图形?画出所有可能的图形,并分别说出内角和和外角和变化情况.
6.如图,直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P落在某个部分时,连接PA,PB,构成∠PAC,∠APB,∠PBD三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)
(1)当动点P落在第①部分时,求证:∠APB=∠PAC+∠PBD;
(2)当动点P落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立?(直接回答)
(3)当动点P在第③部分时,全面探究∠PAC,∠APB,∠PBD之间的关系,并写出动点P的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.
题型二、八字模型应用
7.(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;(2)如图2,AB∥CD,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,
①图2中共有个“8字形”;
②若∠ABC=80°,∠ADC=38°,求∠P的度数;
(提醒:解决此问题你可以利用图1的结论或用其他方法)
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由.8.(1)求五角星的五个角之和;(2)求这六个角之和
题型三、飞镖模型应用
9.如图,已知AB∥DE,BF,EF分别平分∠ABC与∠CED交于点F,探索∠BFE与∠BCE 之间的数量关系,并证明你的结论.
10.如图1,E是直线AB,CD内部一点,AB∥CD,连接EA,ED.
(1)探究猜想:①若∠A=30°,∠D=40°,则∠AED等于多少度?
②若∠A=20°,∠D=60°,则∠AED等于多少度?
③猜想图1中∠AED,∠EAB,∠EDC的关系并证明你的结论.(2)拓展应用:
如图2,射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E,与边CD交于点F,①②③④分
别是被射线FE隔开的4个区域(不含边界,其中区域③、④位于直线AB上方,P
是位于以上四个区域上的点,猜想:∠PEB,∠PFC,∠EPF的关系(不要求证明).
题型四、角分线模型应用
11.如图,∠A=65°,∠ABD=30°,∠ACB=72°,且CE平分∠ACB,求∠BEC的度数.
12.如图,在△ABC中,∠A=42°,∠ABC和∠ACB的三等分线分别交于点D,E,则∠BDC的度数是()A.67°B.84°C.88°D.110°
第11题第12题第13题
13.如图,若∠DBC=∠D,BD平分∠ABC,∠ABC=50°,则∠BCD的大小为()A.50°B.100°C.130°D.150°
14.如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n.设∠A=θ.则:(1)∠A1= ;(2)∠A2= ;(3)∠A n= .
题型五、其他应用
15.已知△ABC中,∠A=60°.
(1)如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC= °.
(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C= °.(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应于O1、O2…O n﹣1(内部有n﹣1个点),求∠BO n﹣1C(用n的代数式表示).
(4)如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线对应于O1、O2…O n﹣1,若∠BO n﹣1C=90°,求n的值.
16.我们知道,任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点,如图,若△ABC 的三条内角平分线相交于点I,过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E.
(1)请你通过画图、度量,填写右上表(图画在草稿纸上,并尽量画准确)
(2)从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系,写出并说明其中的道理.∠BAC的度数40°60°90°120°
∠BIC的度数
∠BDI的度数
(备用图)