安徽省铜陵市一中1314学年高二上学期期中考试数学试题(附答案)
2023-2024学年安徽省名校联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省名校联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．点P （﹣1，1）到直线l ：y =−34x 的距离为（ ）A ．15B ．45C ．75D ．12．已知椭圆C ：x 2a 2+y 28=1(a ＞0)的焦距为4，则a ＝（ ） A ．2√3B ．4C ．2√3或2D ．2√3或43．在空间直角坐标系中，已知点A （0，4，0），B （﹣2，2，1），若AB →与c →方向相反，且|c →|=9，则c →=（ ）A ．（﹣6，﹣6，3）B ．（6，6，﹣3）C ．（3，3，﹣6）D ．（﹣3，﹣3，6）4．已知椭圆C ：x 216+y 27=1的左焦点为F 1，若点P 在椭圆C 上，则|PF 1|的最大值为（ ） A ．1B ．5C ．7D ．1525．已知直线l ：2x ﹣y +a ＝0（a ＞﹣5）与圆C ：x 2+y 2﹣4x +6y ﹣12＝0交于M ，N 两点，若|MN|=4√5，则a ＝（ ） A ．4B ．2C ．﹣4D ．﹣26．在空间直角坐标系中，已知点A （1，2，﹣1），B （2，0，0），C （0，1，3），则cos〈CA →，CB →〉=（ ） A ．13√742B ．2√77C ．√73D ．13√7407．如图，已知某光线从点A （﹣2，0）射出，经过直线y ＝x 上的点B 后第一次反射，此反射光线经过直线x ＝4上的点C 后再次反射，该反射光线经过点D （2，10），则直线BC 的斜率为（ ）A ．32B ．52C ．85D ．28．已知M ，N ，P ，Q 四点均在椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)上，其中MN ∥y 轴，PQ ∥x 轴，且ND →=3DM →，QD →=5DP →，∠DMP ＝∠DPM ，若点D 在第一象限，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．√1010B ．√105C ．√55D ．2√55二、选择题：共4小题，每小题5分，共20分。
2023-2024学年安徽省皖中联考高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝13．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．24．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√27．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．11178．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62) D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝112．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 ．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为 ．16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1；（2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点．（1）求C 的方程；（2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F 的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．2023-2024学年安徽省皖中联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为（ ） A ．0°B ．90°C ．135°D ．不存在解：因为cos45°=−√22，所以直线y ＝﹣cos45°就是y =−√22，平行于x 轴，因此直线y ＝﹣cos45°的倾斜角为0°． 故选：A ．2．已知向量a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)，若a →∥b →，则（ ） A ．mn ＝1B ．mn ＝﹣1C ．m ﹣n ＝1D ．n ﹣m ＝1解：a →=(−3，m ，−1)，b →=(n ，−2，1)， 由a →∥b →，得−3n=m −2=−11，解得m ＝2，n ＝3，所以n ﹣m ＝1． 故选：D ．3．已知A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，则m ＝（ ） A ．√22B ．1C ．√2D ．2解：A ，B 分别为椭圆E ：x 26+y 2m 2=1(0＜m ＜√6)的左、右顶点，点C 在E 上，若△ABC 是一内角为120°的等腰三角形，由椭圆的对称性可知，C 为E 的上或下顶点，且∠ACB ＝120°， 如图所示．不妨设C 为E 的上顶点，所以√6m=tan60°=√3，则m =√2．故选：C ．4．关于圆x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0有四个命题：①点A （1，﹣3）在圆内；②点B （2，3）在圆上；③圆心为（﹣1，0）；④圆的半径为3．若只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④解：若②③正确，则圆的半径r =√(−1−2)2+(3−0)2=3√2，可知圆方程为（x +1）2+y 2＝18， 由（1+1）2+（﹣3）2＜18，可知点A （1，﹣3）在圆内，①正确，而④的结论错误，符合题意； 若③④正确，则圆的方程为（x +1）2+y 2＝9，此时点B （2，3）不在圆上且点A （1，﹣3）在圆外，①②都错误，不合题意；其他两个条件的组合无法确定圆的方程，不能对剩余命题判断真伪，所以只有④是假命题． 故选：D ．5．如图是元代数学家郭守敬主持建造的观星台，其可近似看作一个正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，若AB ＝2A 1B 1，点M 在BD 1上，且BM ＝3D 1M ，则CM →=（ ）A ．34AA 1→+38AB →−58AD →B ．34AA 1→+34AB →−58AD →C ．34AA 1→−34AB →−58AD →D ．34AA 1→−38AB →+58AD →解：BD 1→=AD 1→−AB →=AA 1→+12AD →−AB →， 又因为BM ＝3D 1M ，所以BM →=34BD 1→=34AA 1→+38AD →−34AB →，所以CM →=BM →−BC →=BM →−AD →=34AA 1→+38AD →−34AB →−AD →=34AA 1→−34AB →−58AD →．故选：C ．6．点P （﹣1，2）到直线l ：（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ）的最大距离为（ ） A ．2√2B ．√5C ．2D ．√2解：直线l 的方程（m +1）x +（m ﹣2）y +1﹣2m ＝0（m ∈R ） 可化为（x +y ﹣2）m +（x ﹣2y +1）＝0，由{x +y −2=0，x −2y +1=0，解得{x =1，y =1，则直线l 恒过定点Q （1，1），所以点P （﹣1，2）到直线l 的最大距离为√(−1−1)2+(2−1)2=√5． 故选：B ．7．在如图所示的结构对称的实验装置中，底面框架ABCD 是边长为2的正方形，两等腰三角形框架ADE ，BCF 的腰长均为√3，EF ∥框架ABCD 所在的平面，EF ＝1，活动弹子M ，N 分别在EF ，AC 上移动，M ，N 之间用有弹性的细线连接，且3MF =√2AN 始终成立，则当MN 的长度取得最小值时，MF ＝（ ）A ．12B ．1017C ．2134D ．1117解：取BC ，AD 的中点分别为H ，G ，连接GH ，与AC 交于点O ， 则GH ⊥BC ，连接FH ，EG ，则FH ⊥BC ，又GH ∩FH ＝H ，所以BC ⊥平面EFHG ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面EFHG ．以O 为坐标原点，过O 作平行于AD 的直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，在平面EFHG 内过O 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．设MF ＝m （0≤m ≤1），则AN =3√22m ，在等腰三角形BCF 中，FH =√3−1=√2， 易知梯形EFHG 为等腰梯形，过F 作FQ ⊥GH ， 则FQ =√(√2)2−(2−12)2=√72，则M(0，12−m ，√72)，N(1−32m ，32m −1，0)， 则MN →=(1−32m ，52m −32，−√72)，所以|MN →|=√(1−32m)2+(52m −32)2+74=√172m 2−212m +5=√172(m −2134)2+239136， 当m =2134时，|MN →|取得最小值． 故选：C ．8．若圆C 1：x 2+（y ﹣a ）2﹣4x ﹣5＝0与圆C 2：x 2+（y +b ）2﹣4x +3＝0相切，则√a 2+b 2的最小值为（ ）A ．√22B ．√2C ．2D ．2√2解：由题得圆C 1：(x −2)2+(y −a)2=9，圆C 2：（x ﹣2）2+（y +b ）2＝1． 当圆C 1与圆C 2外切时，√(2−2)2+(a +b)2=4，所以（a +b ）2＝16，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=8，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 所以√a 2+b 2≥2√2；当圆C 1与圆C 2内切时，√(2−2)2+(a +b)2=2，所以（a +b ）2＝4，又a 2+b 2≥2(a+b2)2=2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，所以√a 2+b 2≥√2． 故√a 2+b 2的最小值为√2． 故选：B ．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分） 9．已知A （0，1），B （﹣2，0），C （1，﹣1），则（ ） A ．直线AB 的方程为x ﹣2y +2＝0 B ．点A 到直线BC 的距离为√102C ．△ABC 为等腰直角三角形D ．△ABC 的面积为5解：对于A ：因为A （0，1），B （﹣2，0）， 所以，直线AB 的方程为x −2+y 1=1，整理得x ﹣2y +2＝0，A 项正确；对于B ：因为B （﹣2，0），C （1，﹣1），所以，直线BC 的斜率为k =−1−01−(−2)=−13，所以直线BC 的方程为y =−13(x +2)，即x +3y +2＝0， 则点A 到直线BC 的距离为d =√1+3=√102，B 项正确；对于C ：易知k AB =0−1−2−0=12，k AC =−1−11−0=−2， 则k AB •k AC ＝﹣1，即AB ⊥AC ，所以∠BAC ＝90°，又|AB|=√(0−1)2+(−2−0)2=√5，|AC|=√(−1−1)2+(1−0)2=√5，所以|AB |＝|AC |， 所以△ABC 为等腰直角三角形，C 项正确；对于D ：由上述可知，△ABC 的面积为12×√5×√5=52，D 项错误．故选：ABC ． 10．已知曲线C ：x 21−m+y 22+m=1为椭圆，则（ ）A ．﹣2＜m ＜1B ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的焦距为2√−2m −1C ．若C 的焦点在x 轴上，则C 的短轴长取值范围为(0，√62)D ．若C 的焦点在y 轴上，则C 的离心率为√2m+12+m解：对A 选项，由题意可知{1−m ＞02+m ＞01−m ≠2+m，解得−2＜m ＜−12或−12＜m ＜1，故A 选项错误；对B 选项，当C 的焦点在x 轴上时，c =√a 2−b 2=√1−m −(2+m)=√−2m −1，所以C 的焦距为2√−2m −1，故B 选项正确；对C 选项，当C 的焦点在x 轴上时，1﹣m ＞2+m ＞0，所以−2＜m ＜−12，则0＜m +2＜32， 所以0＜2√m +2＜√6，则C 的短轴长的取值范围是(0，√6)，故C 选项错误； 对D 选项，当C 的焦点在y 轴上时，c =√a 2−b 2=√2+m −(1−m)=√2m +1， 所以C 的离心率为e =√2m+1√2+m=√2m+12+m ，故D 选项正确．故选：BD ．11．已知圆O ：x 2+y 2＝4内有一点P(1，12)，过点P 的直线l 与圆O 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作圆O的切线l 1，l 2，且l 1，l 2相交于点Q ，则（ ）A ．当l 在两坐标轴上截距相等时，l 的方程为2x +2y ﹣3＝0或x ﹣2y ＝0B ．点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0C ．当|OQ |＝4时，点Q 的坐标为(125，165)或（4，0） D ．当|OQ |＝4时，直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0或x ＝1解：当l 过原点时，直线l 的方程为x ﹣2y ＝0，此时AB 为圆O 的一条直径， 过A ，B 分别作圆O 的切线l 1，l 2，则l 1∥l 2，不满足题意，当l 不过原点时，设直线l 的方程为xa+y a=1，将P(1，12)代入解得a =32，此时l 的方程为2x +2y ﹣3＝0，A 项错误； 设Q （x 0，y 0），连接OA ，OB ，则OA ⊥AQ ，OB ⊥BQ ， 所以以OQ 为直径的圆的方程为x （x ﹣x 0）+y （y ﹣y 0）＝0，即x 2+y 2﹣x 0x ﹣y 0y ＝0，与x 2+y 2＝4相减得直线l 的方程为x 0x +y 0y ﹣4＝0， 又P(1，12)在直线l 上，则x 0+12y 0−4=0，所以2x 0+y 0﹣8＝0， 因此点Q 的轨迹方程为2x +y ﹣8＝0，B 项正确； 当|OQ |＝4时，点Q 在圆x 2+y 2＝16上，联立{x 2+y 2=162x +y −8=0，解得x =125或x ＝4，所以点Q 的坐标为(125，165)或（4，0），C 项正确；设AB 与OQ 的交点为D ，由图可知△AOD ～△QOA ，所以|OA||OQ|=|OD||OA|，即|OA |2＝|OQ |•|OD |，所以|OD |＝1， 当直线l 的斜率不存在时，x ＝1满足题意， 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y −12=k(x −1)， 即kx −y +12−k =0，由|12−k|√k 2+1=1，得k =−34，所以直线l 的方程为3x +4y ﹣5＝0，D 项正确． 故选：BCD ．12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AA 1＝2，点P ，Q 分别满足A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，CQ →=m CC 1→，m ∈[0，1]．甲、乙、丙、丁四名同学利用《空间向量与立体几何》这一章的知识对其进行研究，各自得出一个结论： 甲：当m =12时，存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →；乙：当m =12时，存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3；丙：当m =78时，满足D 1P →⊥A 1Q →的λ，μ的关系为λ＝μ；丁：当m =116时，满足A 1P →⊥QP →的点P 围成区域的面积为π2．其中得出错误结论的同学有（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．由A 1P →=λAB →+μAD →−AA 1→=AP →−AA 1→，λ，μ∈[0，1]，得AP →=λAB →+μAD →，λ，μ∈[0，1]，所以点P 为底面ABCD 内一点（包含边界）， 则A 1（0，0，2），Q （1，1，2m ），D 1（0，1，2）， 设P （x ，y ，0）（0≤x ≤1，0≤y ≤1）．对于甲同学，当m =12时，Q(1，1，1)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−1)， 若A 1P →⊥QP →，故得(x −12)2+(y −12)2=−32，显然方程无解，则点P 不存在，所以不存在λ，μ，使得A 1P →⊥QP →，故甲说法错误；对于乙同学，当m =12时，Q （1，1，1），点A 1关于平面ABCD 的对称点为A '，则A '（0，0，﹣2），连接A 'Q ，A 'P ， 则A 'P ＝A 1P ，所以|A 1P →|+|PQ →|=A′P +PQ ≥|A′Q →|=√11，所以存在点P ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，所以存在λ，μ，使得|A 1P →|+|PQ →|=2√3，故乙说法正确；对于丙同学，当m =78时，Q(1，1，74)，D 1P →=(x ，y −1，−2)，A 1Q →=(1，1，−14)由D 1P →⊥A 1Q →，得x +y −1+(−2)×(−14)=0，即x +y =12(0≤x ≤1，0≤y ≤1)， 所以点P 的轨迹为△ABD 中平行于边BD 的中位线，当P 为该中位线的中点时，λ＝μ， 当P 不为该中位线的中点时，λ≠μ，故丙说法错误；对于丁同学，当m =116时，Q(1，1，18)，A 1P →=(x ，y ，−2)，QP →=(x −1，y −1，−18)，由A 1P →⊥QP →，整理得(x −12)2+(y −12)2=14，所以点P 的轨迹为正方形ABCD 的内切圆，其区域的面积为(12)2π=14π，故丁说法错误．故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．小明研究一张坐标纸中四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时，发现直线AB 与CD 的方向向量互相垂直，则mn ＝ ﹣5 ．解：由于四点A （﹣4，m ），B （1，0），C （3，0），D （2，n ）的关系时， 直线AB 与CD 的方向向量互相垂直， 由题意可知m−0−4−1⋅0−n3−2=−1，整理得mn ＝﹣5． 故答案为：﹣5．14．两平行直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0之间的距离为 √5 ． 解：由两直线3x ﹣ay +6＝0与x ﹣2y ﹣3＝0平行可知a ＝6， 所以直线3x ﹣6y +6＝0，即x ﹣2y +2＝0， 所以两直线之间的距离d =|2−(−3)|√1+(−2)=√5．故答案为：√5．15．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均相等，∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，E ，F 分别为B 1C 1，A 1C 1的中点，则异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156．解：设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为1，AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →， 由∠ACC 1＝2∠A 1AB ＝120°，得∠A 1AC ＝∠A 1AB ＝60°， ∴a →⋅b →=1×1×cos60°=12，b →⋅c →=12，a →⋅c →=12，又CF →=c →−12b →，BE →=BB 1→+B 1E →=BB 1→+12BC →=BB 1→+12(AC →−AB →)=c →+12(b →−a →)， ∴BE →⋅CF →=[c →+12(b →−a →)]•(c →−12b →)=c →2−12a →⋅c →−14b →2+14a →⋅b →=58，又|CF →|=√(c →−12b →)2=√32，|BE →|=√[c →+12(b →−a →)]2=√52，∴cos ＜BE →，CF →＞=BE →⋅CF→|BE →|⋅|CF →|=√156，故异面直线BE 与CF 所成角的余弦值为√156． 16．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过y 轴上的点A 与F 2的直线与C交于点B ，且B 不在线段AF 2上，∠AF 1B ＝90°，2|AF 2|＝3|BF 2|，则C 的离心率为 √55． 解：如图，设|BF 2|＝2m ， 则|AF 2|＝3m ．由椭圆的定义可知|BF 1|＝2a ﹣2m ，因为点A 在y 轴上，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点， 所以|AF 1|＝|AF 2|＝3m ， 由∠AF 1B ＝90°，得（2a ﹣2m ）2+（3m ）2＝（5m ）2， 则2a ﹣2m ＝4m ，所以a ＝3m ，由cos ∠AF 2F 1＝﹣cos ∠BF 2F 1， 得c 3m=−4c 2+4m 2−16m 22×2c×2m，整理得9m 2＝5c 2， 则m =√53c ，所以a =3m =√5c ， 故e =c a =√55． 故答案为：√55．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC 的边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0，角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0，E （0，﹣1）为边AC 的中点． （1）求边AB 所在的直线方程； （2）求点B 的坐标．解：（1）由{2x +y −3=0x +y −4=0，解得{x =−1y =5；所以点C 的坐标为（﹣1，5），又E （0，﹣1）为边AC 的中点，所以A （1，﹣7）， 又边AB 上的高所在的直线方程为2x +y ﹣3＝0， 其斜率为﹣2，所以直线AB 的斜率为12，所以边AB 所在的直线方程为y +7=12(x −1)， 即x ﹣2y ﹣15＝0．（2）设A （1，﹣7）关于直线方程x +y ﹣4＝0对称的点为A 1（a ，b ），则{b+7a−1⋅(−1)=−1a+12+b−72−4=0，解得a ＝11，b ＝3，则A 1（11，3），又角C 的平分线所在的直线方程为x +y ﹣4＝0， 所以点A 1在直线BC 上， 所以直线BC 的方程为y−35−3=x−11−1−11，即x +6y ﹣29＝0，联立{x −2y −15=0x +6y −29=0，解得{x =372y =74；故点B 的坐标为(372，74)． 18．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝2，P A ＝3，2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →．（1）证明：C ，M ，H ，N 四点共面； （2）求点P 到平面MNC 的距离．（1）证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以P A ⊥AD ，P A ⊥AB ，又四边形ABCD 为正方形，所以AB ⊥AD ．建立如图的空间直角坐标系A ﹣xyz ，可得A （0，0，0），C （2，2，0），P （0，0，3）， 由2PM →=MB →，PN →=ND →，PH →=14PA →， 得PM PB=13，PN PD =12，PH PA=14，则H （0，0，94），M （23，0，2），N （0，1，32），所以CH →=(−2，−2，94)，CM →=(−43，−2，2)，CN →=(−2，−1，32)，设CH →=λCM →+μCN →，则{ −2=−43λ−2μ−2=−2λ−μ94=2λ+32μ，解得λ=34，μ=12，所以CH →=34CM →+12CN →，故C ，M ，H ，N 四点共面．（2）解：设平面MNC 的法向量为m →=(a ，b ，c)， 由{CM →⋅m →=0CN →⋅n →=0，可得{−43a −2b +2c =0−2a −b +32c =0，取a ＝3，则m →=(3，6，8)，由H （0，0，94），P （0，0，3），可得HP →=(0，0，34)，所以点P 到平面MNC 的距离d =|HP →⋅m →||m →|=|8×34|√3+6+8=6√109109．19．（12分）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面为等边三角形，AB ＝2，M ，N 分别为BC ，AC 1的中点． （1）证明：MN ∥平面A 1BC 1； （2）若三棱锥A 1﹣ABC 1的体积为2√33，求平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值．解：（1）证明：连接AM ，则AM ⊥BC ，以M 为坐标原点，MA ，MB 所在直线分别为x ，y 轴，以过M 与BB 1平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝a ，则M(0，0，0)，B(0，1，0)，A 1(√3，0，a)，N(√32，−12，12a)，因为MN →=(√32，−12，12a)，BA 1→=(√3，−1，a)，所以MN →=12BA 1→，所以MN ∥A 1B ， 因为MN ⊄平面A 1BC 1，A 1B ⊂平面A 1BC 1， 所以MN ∥平面A 1BC 1．（2）过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，垂足为D ，易知C 1D =√3， 因为平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1A 1， 所以C 1D ⊥平面ABB 1A 1，由V 三棱锥A 1−ABC 1=V 三棱锥C 1−ABA 1，得13×12AA 1×AB ×C 1D =2√33， 即13×12AA 1×2×√3=2√33，所以AA 1＝2， 则C 1(0，−1，2)，A(√3，0，0)，AC 1→=(−√3，−1，2)，BC 1→=(0，−2，2)，A 1C 1→=(−√3，−1，0)．设平面ABC 1的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 由{AC 1→⋅m →=−√3x 1−y 1+2z 1=0BC 1→⋅m →=−2y 1+2z 1=0，令y 1＝1，得m →=(√33，1，1)，设平面A 1BC 1的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，由{A 1C 1→⋅n →=−√3x 2−y 2=0BC 1→⋅n →=−2y 2+2z 2=0，令y 2＝1，则n →=(−√33，1，1)，所以cos〈m →，n →〉=−13+1+173=57，故平面ABC 1与平面A 1BC 1夹角的余弦值为57．20．（12分）在一公园内有一如图所示的绿化空地，∠AOB ＝120°，OA ，OB 为两条甬路（宽度忽略不计，均视作直线），在点E 处建一个八角亭，点E 到直线OA 的距离为50√311m ，到直线OB 的距离为(10√3+25√311)m ，过E 再修一条直线型的甬路（宽度忽略不计），与直线OA ，OB 分别交于M ，N 两点，其中OM ＝30m ，现建立如图所示的平面直角坐标系，请解决下面问题： （1）求M ，N 之间两路的长；（2）在△OMN 内部选一点F ，建一个可自动旋转的喷头，喷洒区域是一个以喷头F 为圆心的圆形，喷洒的水不能喷到△OMN 的外面，求喷洒区域的最大面积，并求此时圆F 的方程．解：（1）因为∠AOB ＝120°，且直线OB 的斜率为tan120°=−√3， 所以直线OB 的方程为y =−√3x ， 由点E 到直线OA 的距离为50√311m ，设点E （a ，50√311），a ＞0， 由题意知|√3a+50√311|√3+1=√3a+50√3112=10√3+25√311，解得a ＝20，所以E(20，50√311)，又M （30，0），则直线ME 的斜率为k ME =−5√311， 所以MN 的方程为y =−5√311(x −30)， 由{y =−√3x y =−5√311(x −30)，解得{x =−25y =25√3； 所以点N(−25，25√3)，所以M ，N 之间甬路的长为|MN |=√(30+25)2+(0−25√3)2=70m ． （2）由（1）知，|ON|=√(−25)2+(25√3)2=50， 当喷洒区域面积最大时，圆F 与直线OA ，OB ，MN 均相切，易知△OMN 的内切圆F 的圆心在∠AOB 的平分线上， 即在直线y =√3x 上，设圆心F(a ，√3a)(a ＞0)，则半径r =√3a ， 由12|OM|×|ON|sin120°=12(|OM|+|ON|+|MN|)×√3a ，得12×30×50×√32=12×(30+50+70)×√3a ，解得a ＝5，因此喷洒区域的最大面积S ＝πr 2＝75πm 2． 所以圆心F(5，5√3)，半径r =5√3，所以圆F 的方程为(x −5)2+(y −5√3)2=75．21．（12分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将△MNC 沿MN 折起，使点C 到点P 的位置，AP =√6． （1）证明：平面APN ⊥平面PMN ；（2）若Q 为线段AB 上一点，求PQ 与平面APM 所成角的正弦值的最大值．（1）证明：连接AC ，BD ，AC 与MN 交于点O ，连接OP ， 则AC ⊥BD ，又M ，N 分别为BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ， 则AC ⊥MN ，因为MN ⊥OA ，MN ⊥OP ，OA ∩OP ＝O ， 所以MN ⊥平面APO ，又AP ⊂平面APO ，所以MN ⊥AP ， 在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠DAB ＝60°，则在△ADN 中，由余弦定理得AN =√AD 2+DN 2−2AD ⋅DNcos120°=√4+1−2×2×1×(−12)=√7，因为PN ＝CN ＝1，所以AP 2+PN 2＝AN 2， 则AP ⊥PN ，又PN ∩MN ＝N ，所以AP ⊥平面PMN ，因为AP ⊂平面APN ，所以平面APN ⊥平面PMN ．（2）解：以O 为原点，以OA ，OM 所在直线分别为x ，y 轴，过O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3√32，0，0)，B(√32，1，0)，M(0，12，0)． 由（1）可知，平面APO ⊥平面ABCD ，易知P(√36，0，√63) 所以AM →=(−3√32，12，0)，AP →=(−4√33，0，√63)，AB →=(−√3，1，0)． 设平面APM 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AM →⋅m →=0，AP →⋅m →=0，即{−3√32x +12y =0，−4√33x +√63z =0， 令x ＝1，则m →=(1，3√3，2√2)．设AQ →=λAB →=(−√3λ，λ，0)(0≤λ≤1)，则PQ →=AQ →−AP →=(4√33−√3λ，λ，−√63)， 设PQ 与平面APM 所成角为θ，显然当λ＝0时，sin θ＝0，不满足题意，所以0＜λ≤1，所以1λ≥1， 所以sin θ＝|cos ＜PQ →，m →＞|=2√3λ6√4λ−8λ+6=√33√6(1λ−23)2+43， 所以当1λ=1，即λ＝1时，sin θ取得最大值为√66． 22．（12分）已知椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点． （1）求C 的方程； （2）设A 为C 的上顶点，过点B （0，﹣4）且斜率为k 的直线与C 相交于E ，F 两点，且点E 在点F的下方，点M 在线段EF 上，若∠AMF ＝2∠ABM ，证明：|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |． 解：（1）因为椭圆C 经过P(3a ，a 2)，Q(−32，−1)两点，所以{14+9a 2b 2=11a 2+94b 2=1， 解得a 2＝4，b 2＝3或a 2=43，b 2=9（舍去），则C 的方程为y 24+x 23=1；（2）证明：由（1）知A （0，2），不妨设直线EF 的方程为y ＝kx ﹣4，E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），M （x 0，y 0），联立{y 24+x 23=1y =kx −4，消去y 并整理得（3k 2+4）x 2﹣24kx +36＝0，此时Δ＝（﹣24k ）2﹣4（3k 2+4）•36＝144（k 2﹣4）＞0，解得k 2＞4，由韦达定理得x 1+x 2=24k3k 2+4，x 1x 2=363k 2+4，因为∠AMF ＝2∠ABM ，所以2∠ABM ＝∠ABM +∠BAM ，即∠ABM ＝∠BAM ，则|AM |＝|BM |，所以点M 在线段AB 的垂直平分线y ＝﹣1上，此时y 0＝﹣1．易知|BE||BF|=x 1x 2， 不妨设EM →=λMF →，可得（x 0﹣x 1，y 0﹣y 1）＝λ（x 2﹣x 0，y 2﹣y 0），即x 0﹣x 1＝λ（x 2﹣x 0），①因为点M （x 0，y 0）在直线EF 上，所以y 0＝kx 0﹣4，则x 0=3k =7224k =2×363k 2+424k 3k 2+4=2x 1x2x 1+x 2，所以x 0（x 1+x 2）＝2x 1x 2， 即x 2x 0﹣x 1x 2＝x 1x 2﹣x 1x 0， 整理得x 0−x 1=x1x 2(x 2−x 0)，②联立①②，可得λ=x1x 2， 所以EM →=x1x 2MF →， 可得|EM||MF|=x 1x 2，则|BE||BF|=x 1x 2=|EM||MF|， 故|BE |•|MF |＝|BF |•|EM |．。
安徽省铜陵市第一中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题答案
19.证明：(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.因为 E 为 AD 的中点,
AB=BC=12AD,AD∥BC, 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 所以 O 为 AC 的中点. 又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF⊂平面 BEF,AP⊄平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD,所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形,所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC⊂平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC.
当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),OC=
5,此时
C
到直线
y=-2x+4
的距离
d=
9 5
5.
圆 C 与直线 y=-2x+4 不相交,
因此,t=-2 不符合题意,舍去.
故圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
----------------------12 分
解得 x=3 2<2
2
2.
连接 MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面 BDM,BD⊂平面 BDM.
∴PC⊥平面 BDM.
∴满足条件的点 M 存在,此时 PM 的长为322.
----------------------12 分
22.(1)证明：∵圆 C 过原点 O, ∴OC2=t2+ 42.
----------------------6 分 ----------------------12 分
20.解：(1)设圆 C 的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
安徽省铜陵市数学高二上学期理数期中考试试卷
安徽省铜陵市数学高二上学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于（）A . －1B . －3C . 0D . 22. （2分） (2018高一下·临川期末) 如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A .B .C . 4D . 83. （2分） (2016高二上·自贡期中) 已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，则圆的方程是（）A . x2+y2﹣4x=0B . x2+y2+4x=0C . x2+y2﹣2x﹣3=0D . x2+y2+2x﹣3=04. （2分） (2016高一下·惠来期末) 过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是（）A . x﹣2y﹣1=0B . x﹣2y+1=0C . 2x+y﹣2=0D . x+2y﹣1=05. （2分）在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：①点P关于x轴的对称点的坐标是（x，－y，z）②点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，－y，－z）③点P关于y轴的对称点的坐标是（x，－y，z）④点P关于原点的对称点的坐标是（－x，－y，－z）其中正确的个数是A . 3B . 2C . 1D . 06. （2分）圆上的点到直线距离的最大值是（）A .B .C .D .7. （2分）一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M、N分别为A1B、B1C1的中点．下列结论中正确的个数有（）①直线MN与A1C 相交．②MN BC．③MN//平面ACC1A1 ．④三棱锥N-A1BC的体积为．A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个8. （2分）“”是“圆经过原点”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）(2017·成都模拟) 如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A . 27πB . 48πC . 64πD . 81π10. （2分）已知点A（1，0）和圆上一点P，动点Q满足，则点Q的轨迹方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)11. （1分） (2018高二上·苏州月考) 过点，且与直线垂直的直线方程为________．12. （1分）(2018·吉林模拟) 已知矩形ABCD的顶点都在半径R=4，球心为O的球面上，且AB = 6，BC = ，则棱锥的体积为________.13. （2分） (2019高二上·宁波期中) 直线的斜率为________；倾斜角的大小是________．14. （1分） (2018高一上·兰州期末) 如图，在长方体中， 3 cm， 2 cm，1 cm，则三棱锥的体积为________cm3 ．15. （1分） (2016高二上·湖北期中) 直线2x+y﹣2=0被圆x2+y2=5截得的弦长为________．三、解答题 (共5题；共40分)16. （5分） (2019高二上·伊春期末) 在直角坐标系中，以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系．己知圆的圆心的坐标为半径为 ,直线的参数方程为为参数) （Ⅰ）求圆C的极坐标方程；直线的普通方程;（Ⅱ）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.17. （10分） (2017高二上·广东月考) 如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点.（1）证明：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.18. （15分）(2017·衡水模拟) 已知两动圆F1：（x+ ）2+y2=r2和F2：（x﹣）2+y2=（4﹣r）2（0＜r＜4），把它们的公共点的轨迹记为曲线C，若曲线C与y轴的正半轴的交点为M，且曲线C上的相异两点A、B 满足：• =0．（1）求曲线C的方程；（2）证明直线AB恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求△ABM面积S的最大值．19. （5分） (2016高二上·黑龙江期中) 已知圆C1：（x+3）2+y2=1和圆C2：（x﹣3）2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．20. （5分）(2015·合肥模拟) 如图所示，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2．（Ⅰ）若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；（Ⅱ）求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6、答案：略7-1、8-1、9-1、10、答案：略二、填空题 (共5题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15、答案：略三、解答题 (共5题；共40分) 16-1、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、第11 页共11 页。
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·铜梁月考) 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A . 四面体B . 圆锥C . 圆柱D . 三棱柱2. （2分） (2017高三上·定州开学考) 三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（ +x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分）在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不能确定4. （2分）直线与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于１，那么的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·珠海期末) 空间二直线a，b和二平面α，β，下列一定成立的命题是（）A . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥βB . 若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b∥βC . 若α⊥β，a∥α，b∥β，则a⊥bD . 若α∥β，a⊥α，b⊂β，则a⊥b6. （2分）“”是“直线与平行”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分） (2017高二下·河北期末) 若圆（）上仅有个点到直线的距离为，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D所在直线所成的角等于（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分）(2018·凯里模拟) 直线和圆的位置是（）A . 相交且过圆心B . 相交但不过圆心C . 相离D . 相切10. （2分）已知a,b 满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·深圳模拟) 已知三棱锥S﹣ABC，△ABC是直角三角形，其斜边AB=8，SC⊥平面ABC，SC=6，则三棱锥的外接球的表面积为（）A . 64πB . 68πC . 72πD . 100π12. （2分） (2016高一下·抚顺期末) 已知圆心（a，b）（a＜0，b＜0）在直线y=2x+1上的圆，若其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为，则圆的方程为（）A . （x+2）2+（y+3）2=9B . （x+3）2+（y+5）2=25C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·扬州模拟) 已知正四棱锥的体积是48cm3 ，高为4cm，则该四棱锥的侧面积是________cm2 ．14. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是________．15. （1分）已知直线l经过点A（1，﹣2），B（﹣3，2），则直线l的方程是________16. （1分）(2017·广安模拟) 若直线与圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0和函数的图象相切于同一点，则a 的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分）(2018·汉中模拟) 如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，分别为中点，且， .（1）平面；（2）若为线段上一点，且平面，求的值；（3）求四棱锥的体积.18. （10分） (2016高二上·襄阳期中) 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．19. （5分） (2016高三上·成都期中) 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．20. （5分）(2017·西城模拟) 如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，AD⊥FC．点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N．（Ⅰ）求证：AD∥MN；（Ⅱ）求证：平面ADMN⊥平面CDEF；（Ⅲ）若CD⊥EA，EF=ED，CD=2EF，平面ADE∩平面BCF=l，求二面角A﹣l﹣B的大小．21. （10分）(2018·全国Ⅲ卷理) 在平面直角坐标系中，的参数方程为 (为参数)，过点且倾斜角为的直线与交于两点（1）求的取值范围（2）求中点的轨迹的参数方程22. （10分）如图在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC= ，PA=AD=CD=4，AB=2，E为侧棱PD中点.（1）设F为棱CD上的动点，试确定点F的位置，使得平面AEF∥平面PBC，并写出证明过程；（2）求点B到平面PCD的距离.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
安徽省铜陵市高二上学期数学期中考试试卷
安徽省铜陵市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·大庆月考) 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知，则下列选项中错误的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·安徽模拟) 已知等差数列中，，前5项和，则数列的公差为（）A .B .C .D .4. （2分）设全集为R，集合，，则（）A .B .C .D .5. （2分）远望灯塔高七层，红光点点成倍增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？（）A . 64B . 128C . 63D . 1276. （2分） (2017高二上·浦东期中) 已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则（ + +…+ ）=（）A . 1B .C . 2D .7. （2分）中，若,则的面积为（）A .B .C . 或D . 或8. （2分） (2018高二上·湖南月考) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A .B .C .D .9. （2分）椭圆的左右焦点分别为、，点是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一上·哈尔滨期中) 若函数f（x）=x2+4x+6，则f（x）在[﹣3，0）上的值域为（）A . [2，6]B . [2，6）C . [2，3]D . [3，6]11. （2分） (2020高一下·吉林月考) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则的值为（）A . 4B .C .D .12. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．若4a2=b2+c2+2bc，sin2A=sinB•sinC，则△ABC的形状的形状为（）A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·浙江期中) 已知数列满足，且当时，，则 ________．14. （1分）已知角α，β的终边在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的________ 条件．15. （1分）(2020·江西模拟) 在平面四边形ABCD中，，，，则AB的取值范围是________．16. （1分）若函数y=的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的取值为________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高二上·宝安期中) 设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1．（1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若不等式f（x）+1＞0的解集为，求m的值．18. （10分） (2016高二上·灌云期中) 已知等差数列{an}中，a1=﹣3，11a5=5a8 ，前n项和为Sn ．（1）求an；（2）当n为何值时，Sn最小？并求Sn的最小值．19. （10分） (2018高一下·四川月考) 在中，内角所对的边分别为，向量，且 .（1）求角的大小；（2）求的取值范围.20. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知数列{an}的前n项和为，且，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，设数列{bn}的前n项和为，证明．21. （5分）(2018·吉林模拟) 在中，角所对边分别是，满足（1）求角；（2）若，求面积的最大值.22. （10分）综合题。
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷(理科)
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·漳州期末) 已知集合A={0，1，m}，B={x|0＜x＜2}，若A∩B={1，m}，则m的取值范围是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （0，1）∪（1，2）D . （0，2）2. （2分）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2分）正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（）A .B . A1C⊥平面AEFC . 三棱锥A-BEF的体积为定值D . 异面直线所成角为定值4. （2分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的n值是8，则S0值为下列各值中的（）A . 0B . 1C . 2D . 35. （2分）圆和的位置关系为（）A . 外切B . 内切C . 外离D . 内含6. （2分） (2016高二上·重庆期中) 一束光线从点A（﹣1，1）出发，经x轴反射到圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1上的最短路程是（）A . 3 ﹣1B . 2C . 4D . 57. （2分）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（）A .B .C .D .8. （2分）(2019高二下·温州月考) 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为A .B .C .D .9. （2分）圆在点处的切线方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·宁波期中) 一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A . 2B . 3C . 1D .11. （2分） (2017高一上·舒兰期末) 已知直线l：3x+4y+m=0（m＞0）被圆C：x2+y2+2x﹣2y﹣6=0所截的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=（）A . 6B . 8C . 9D . 1112. （2分）(2014·大纲卷理) 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A .B . 16πC . 9πD .二、二.填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知点P（0，﹣1），Q（0，1），若直线 l：y=mx﹣2 上至少存在三个点 M，使得△PQM 为直角三角形，则实数 m 的取值范围是________14. （2分） (2017高三上·嘉兴期中) 已知的方程为，直线与交于两点，当取最大值时________，面积最大时， ________．15. （1分） (2016高三上·连城期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为________．16. （1分） (2016高二上·桂林开学考) 曲线y=1+ 与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．三、三.解答题 (共6题；共46分)17. （10分） (2019高三上·柳州月考) 已知椭圆的左焦点，离心率为，点P为椭圆E上任一点，且的最大值为 .（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过椭圆的左焦点，与椭圆交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.18. （5分） (2017高二下·湖州期中) 如图，点B是以AC为直径的圆周上的一点，PA=AB=BC，AC=4，PA⊥平面ABC，点E为PB中点．（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PBC；（Ⅱ）求直线AE与平面PAC所成角的大小．19. （10分） (2016高一下·湖北期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，已知a1=1，an+1= Sn（n∈N*）．（1）证明：数列{ }是等比数列；（2）求数列{Sn}的前n项和Tn．20. （1分）(2018·宁德模拟) 设函数，若，，则对任意的实数，的最小值为________．21. （10分）(2017·大理模拟) 如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图（2）所示．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．22. （10分） (2016高二上·沭阳期中) 已知圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+4=0，点E（3，4）．（1）过点E的直线l与圆交与A，B两点，若AB=2 ，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点记为M，O为坐标原点，且满足PM=PO，求使得PM 取得最小值时点P的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、二.填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、三.解答题 (共6题；共46分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
安徽省铜陵市数学高二上学期文数期中考试试卷
安徽省铜陵市数学高二上学期文数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1. （1 分） 方程表示圆的充要条件是A.B.或C. D.2. （1 分） 若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 A . -2 B.2 C . -4 D.4的右焦点重合，则 p 的值为（ ）3. （1 分） (2017 高二下·怀仁期末) 已知双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）的一个焦点为,且双曲线A. B. C.D. 4. （1 分） 设 P 是双曲线＝1(a＞0 ,b＞0)上的点，F1、F2 是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2＝90°，第 1 页 共 13 页△F1PF2 面积是 9，则 a + b＝（ ）A.4B.5C.6D.75. （1 分） 正方体中，M 为侧面离是 M 到直线 BC 距离相等，则动点 M 的轨迹为（ ）A . 椭圆B . 双曲线C . 抛物线D.圆所在平面上的一个动点，且 M 到平面的距6. （1 分） (2020 高二上·吉林期末) 设 （）A . 长轴在 轴上的椭圆 B . 长轴在 轴上的椭圆 C . 实轴在 轴上的双曲线 D . 实轴在 轴上的双曲线，则关于 的方程所表示的曲线是7. （1 分） 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C.第 2 页 共 13 页D.8. （1 分） (2020 高二上·无锡期末) 已知椭圆的左右焦点分别为 ， ，离心率为 ，若椭圆上存在点 ，使得，则该离心率 的取值范围是（ ）A.B. C.D.9. （1 分） 已知抛物线 段 AB 的中点坐标是（ ）的焦点为 F，A,B 是该抛物线上的两点，弦 AB 过焦点 F，且A. B. C. D.， 则线10. （1 分） (2017·西宁模拟) 设 F1、F2 分别是椭圆 + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线 y=b 相切的⊙F2 交椭圆于 E，且 E 是直线 EF1 与⊙F2 的切点，则椭圆的离心率为（ ）A.B.C.第 3 页 共 13 页D. 11. （1 分） 若 m 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）A. 或 B.C. 或D. 或12. （1 分） (2018 高二下·河池月考) 已知抛物线和的公切线(是 与抛物线的切点，未必是 与双曲线的切点)，与抛物线的准线交于 , 为抛物线的焦点,若，则抛物线的方程是（ ）A.B. C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高二上·温州期末) 双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．14. （1 分） (2017 高三上·北京开学考) 抛物线 x2=ay 的准线方程是 y=2，则 a=________．第 4 页 共 13 页15. （1 分） (2019 高二上·东湖期中) 已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线和的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线 的距离之和的最小值为________．上的动点到直线16. （1 分） (2017 高二上·牡丹江月考) 动点分别到两定点连线的斜率之乘积为，设 点坐标为的轨迹为曲线 ， ，，;（2）若分别为曲线 的左右焦点，则下列命题中：（1）曲线 的焦，则;（3）当时，的内切圆圆心在直线 ________．上 ；（ 4 ） 设，则的最小值为.其中正确命题的序号是三、 解答题 (共 6 题；共 11 分)17. （2 分） (2017·东莞模拟) 已知 A（﹣1，0），B（1，0）， = + ，| |+| |=4（1） 求 P 的轨迹 E（2） 过轨迹 E 上任意一点 P 作圆 O：x2+y2=3 的切线 l1，l2，设直线 OP，l1，l2 的斜率分别是 k0，k1，k2，试问在三个斜率都存在且不为 0 的条件下， （ + ）是否是定值，请说明理由，并加以证明．18. （2 分） (2017 高二上·南京期末) 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：率为 ，两个顶点分别为 A（﹣a，0），B（a，0），点 M（﹣1，0），且 3=的直线交椭圆 E 于 C，D 两点，其中点 C 在 x 轴上方．=1（a＞b＞0）的离心 ，过点 M 斜率为 k（k≠0）（1） 求椭圆 E 的方程； （2） 若 BC⊥CD，求 k 的值；（3） 记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证： 为定值．第 5 页 共 13 页19. （1 分） (2018·衡水模拟) 已知椭圆 ：率，短轴长为．（1） 求椭圆 的标准方程；（2） 过 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， 求出这个最大值及直线 的方程；若不存在，请说明理由．，则的左右焦点分别为 ， ，离心 的面积是否存在最大值？若存在，20. （2 分） (2018 高二上·深圳期中) 已知椭圆 的标准方程为 ，且离心率为 ．（1） 求椭圆的标准方程；，该椭圆经过点（2） 过椭圆点分别为，证明：直线长轴上一点 恒过定点．作两条互相垂直的弦．若弦的中21. （2 分） 设椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2 ， 点 P 在椭圆上，△PF1F2 的周长为 16，直线 2x+y=4 经过椭圆上的顶点．（1） 求椭圆 C 的方程；（2） 直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，若以 AB 为直径的圆同时被直线 l1：10x﹣5y﹣21=0 与 l2：10x﹣15y﹣33=0 平分，求直线 l 的方程．22. （2 分） (2012·重庆理) 如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左右焦点分别为 F1 ， F2 ， 线段 OF1 ， OF2 的中点分别为 B1 ， B2 ， 且△AB1B2 是面积为 4 的直角三角形．（1） 求该椭圆的离心率和标准方程；（2） 过 B1 做直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2⊥QB2，求直线 l 的方程．第 6 页 共 13 页一、 单选题 (共 12 题；共 12 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)参考答案13-1、 14-1、第 7 页 共 13 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 11 分)17-1、17-2、 18-1、第 8 页 共 13 页18-2、18-3、 19-1、第 9 页 共 13 页19-2、20-1、20-2、第 10 页 共 13 页21-1、21-2、22-1、22-2、。
安徽省铜陵市第一中学高二数学上学期期中试题 文
铜陵市一中2015——2016年度第一学期高二年级期中考试数学(文科）试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、有下列命题（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； （2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； （4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是 （ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（1）（3）D ．（2）（4）2、如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的 ( )3、直三棱柱'''C B A ABC 各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点， 连结A ′B ，BD ，A ′D ，AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积 （ ）A ．361a B ．363aC ．3123aD ．3121a4、已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则 ( )A ．以上四个图形都是正确的B ．只有(2)(4)是正确的C ．只有(4)是错误的D ．只有(1)(2)是正确的5、如图一个封闭的立方体，它6个表面各标出1、2、3、4、5、6这6个数字，现放成下面3个不同的位置，则数字l 、2、3对面的数字是 （ ）A ．4、5、6B ．6、4、5C ．5、4、6D ．5、6、46、6、如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60þ角； ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） A ．①②③ B ．③④ C ．②④ D ．②③④7、如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于 ( )A.510 B.515 C.54 D.32 8、已知平面βα与所成的二面角为80°，P 为α、β外一定点，过点P 的一条直线与α、NDC EAB FMABCD1B 1C 1D OFEβ所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9、如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为 ( )A ．63B ．255C ．155D ．10510、已知平面//α平面β，直线α⊂m ，直线β⊂n ，点m A ∈，点n B ∈，记点A 、B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则 （ ）A ．c b a ≤≤B ．c a b ≤≤C ．a c b ≤≤D ．b c a ≤≤11、已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是 （ ） A 34k ≥B 324k ≤≤C 324kk ≥≤或 D 2k ≤ 12、已知直线3230x y +-=和610x my ++=互相平行，则它们之间的距离是（ ）A ．4B ．21313C ．51326D ．71326二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、、已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．14、如图所示，正方体的棱长为2，C D 、分别是两条棱的中点，A B M 、、是顶点，那么M 到截面ABCD 的距离是______________。
2018-2019学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题答案
GD 2 DE 2 3 ， GC 2 CF 2 4 ，所以 EF 5 ，
由 GC 4 2 ， CF 4 ，得 BF FG
在 △EFG 中 ，有 EF 2 GE 2 FG 2 ，所以 EG GF ， 又因为 CF EF ， CF FG ，得 CF 平面 EFG ，
19、 （12 分） 解：(1)散点图如下： 3＋4＋5＋6 2.5＋3＋4＋4.5 (2) x ＝ ＝4.5， y ＝ ＝3.5， 4 4
4
∑xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
i＝1 4 i＝1
2 2 2 2 ∑x2 i＝3 ＋4 ＋5 ＋6 ＝86，
^
∑xiyi－4 x
1 1 1 x 1 ，点 E 0， 所以 BE 1 2 k k k 4k 2 2k 4 2 1 k 2
2
k 1 又圆心 C 到 l2 的距离为 ，所以 PQ 2 5 2 1 k 2 1 k
故 S DEPQ
4 ，当 k 0 时，直线 l1 与 y 轴无交点，不合题意，舍去. 3
4 时直线 l2 的方程为 4 x 3 y 4 0 .（6 分） 3 x y 1 ，即 2 x ty 2t 0 . t 2
（2）设 M ( x, y ) ，由点 M 在线段 AD 上，得
2 2 由 AM 2 BM ，得 ( x ) ( y )
由余弦定理可得 BD 2 3 . AD 2 BD 2 AB 2 ， AD BD . 平面 PBD 平面 ABCD ，交线为 BD ， AD 平面 PBD ， AD PB . （6 分）
（2）解：作 EF ∥ BC ，交 PB 于点 F ，连接 AF ， 由 EF ∥ BC ∥ AD 可知 A ， D ， E ， F 四点共面， 连接 DF ，所以由（1）的结论可知， PB 平面 ADE ，当且仅当 PB DF . 在 △PBD 中，由 PB 4 ， BD 2 3 ， PD 2 5 ， 余弦定理求得 cos BPD
2019-2020学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题 (Word版)
铜陵市一中期中考试 第 1页,共 9 页铜陵市一中2019—2020学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷命题教师：聂鑫 审题教师：鲍光平考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若 a ,b 是异面直线,b ,c 是异面直线,则 a ,c 的位置关系为( )A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面2.已知直线 l 1:(k-3)x+(4-2k )y+1=0 与 l 2:2(k-3)x-2y+3=0 平行,则 k 的值是( )A.1 或 3B.1 或C.3 或D.1 或 23.圆锥的底面半径为 1，高为3 ，则圆锥的表面积为( )A .B .2C .3D .44.在直线 3x-4y-27=0 上到点 P (2,1)距离最近的点的坐标为()A .(5,-3)B .(9,0)C .(-3,5)D .(-5,3)5.若圆 C 1:x 2+y 2=1 与圆 C 2:x 2+y 2-6x-8y+m=0 外切,则 m=( )A.21B.19C.9D.-116.某几何体的三视图(单位:cm)如图,则该几何体的体积是( )A.72 cm 3B.90 cm 3C.108 cm 3D.138 cm 37.若圆 C :x 2+y 2+2x-4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a ,b )向圆所作的切线长的最小 值是()铜陵市一中期中考试 第 2页,共 9 页A.2B.3C.4D.68.正四面体 ABCD 中，E 、F 分别是棱 BC 、AD 的中点，则直线 DE 与平面 BCF 所成角的正弦值为（ ）9.垂直于直线 y=x+1 且与圆 x 2+y 2=4 相切于第三象限的直线方程是( A.x+y+22=0B.x+y+2=0C.x+y-2=0D.x+y-2 2=010.如图,在正四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=3,BB 1=4,长为 1 的线段 PQ 在棱 AA 1上移动,长为3 的线段 MN 在棱 CC 1上移动,点 R 在棱 BB 1上移动,则四棱锥 R-PQMN 的体积是 ( )A.12B.10C.6D.不确定11.已知 A (-2,0),B (0,2),实数 k 是常数,M ,N 是圆 x 2+y 2+kx=0 上两个不同点,P 是圆 x 2+y 2+kx=0上的动点,如果点 M ,N 关于直线 x-y-1=0 对称,则△P AB 面积的最大值是( )A.3-2B.4C.3+2D.612.设圆C : x 2 y 2 3，直线l : x 3y 6 0 ，点P x 0, y 0l ，若存在点Q C ，使得OPQ 60（O 为坐标原点），则 x 0的取值范围是( )填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上))铜陵市一中期中考试 第 3页,共 9 页二、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)已知直线l : y 3x 3.(1)求点P 4,5关于直线l 的对称点坐标；(2)求直线l 关于点P 4,5对称的直线方程.18.(本小题满分 12 分)如图,AA 1B 1B 是圆柱的轴截面,C 是底面圆周上异于 A ,B 的一点,AA 1=AB=2.(1)求证:平面 A 1AC ⊥平面 BA 1C ;(2)求 1-鏸 的最大值.铜陵市一中期中考试 第 4页,共 9 页19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AP ⊥平面 PCD ,AD ∥BC ,AB=BC= AD ,E ,F 分别为线段 AD ,PC 的中点.求证: (1)AP ∥平面 BEF ;(2)BE ⊥平面 P AC.20.(本小题满分 12 分)已知圆 C 过点 M (0,-2),N (3,1),且圆心 C 在直线 x+2y+1=0 上. (1)求圆 C 的方程;(2)设直线 ax-y+1=0 与圆 C 交于 A ,B 两点,是否存在实数 a ,使得过点 P (2,0)的直线 l 垂直平分弦 AB ?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明理由.21.(本小题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为菱形,∠ABC=60°,P A ⊥底面 ABCD ,P A=AB=2,E 为 P A 的中点. (1)求证:PC ∥平面 EBD ;(2)求三棱锥 C-P AD 的体积 V C-P AD ;(3)在侧棱 PC 上是否存在一点 M ,满足 PC ⊥平面 MBD ,若存在,求 PM 的长;若不存在,说明理由.22.(本小题满分 12 分)已知以点 C (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O 和点 A ,与 y轴交于点 O 和点 B ,其中 O 为原点. (1)求证:△OAB 的面积为定值;(2)设直线 y=-2x+4 与圆 C 交于点 M ,N ,若 OM=ON ,求圆 C 的方程.1 2铜陵市一中期中考试 第 5页,共 9 页数学答案13. 1 14.2=x 或01043=+-y x 15. 0412322=--++y x y x 16.π617. (1)()7,2- ----------------------5分 (2)173-=x y ----------------------10分18.(1)证明：∵C 是底面圆周上异于A ,B 的一点,且AB 为底面圆的直径,∴BC ⊥AC.又AA 1⊥底面ABC ,∴BC ⊥AA 1, 又AC ∩AA 1=A ,∴BC ⊥平面A 1AC. 又BC ⊂平面BA 1C ,∴平面A 1AC ⊥平面BA 1C. ----------------------6分(2)解：在Rt △ACB 中,设AC=x ,∴BC= - - (0<x<2),∴ -S △ABC ·AA 1=AC ·BC ·AA 1=-- )- - ) (0<x<2).∵0<x<2,∴0<x 2<4.∴当x2=2,即x=时,-的值最大,且-的最大值为. ----------------------12分19.证明：(1)设AC∩BE=O,连接OF,EC.因为E为AD的中点,AB=BC=AD,AD∥BC,所以AE∥BC,AE=AB=BC,所以O为AC的中点.又在△P AC中,F为PC的中点,所以AP∥OF.又OF⊂平面BEF,AP⊄平面BEF,所以AP∥平面BEF. ----------------------6分(2)由题意知,ED∥BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形,所以BE∥CD.又AP⊥平面PCD,所以AP⊥CD,所以AP⊥BE.因为四边形ABCE为菱形,所以BE⊥AC.又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面P AC,所以BE⊥平面P AC. ----------------------12分20.解：(1)设圆C的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有-故圆C的方程为x2+y2-6x+4y+4=0. ----------------------6分(2)设符合条件的实数a存在,因为l垂直平分弦AB,故圆心C(3,-2)必在l上,铜陵市一中期中考试第6页,共 9 页铜陵市一中期中考试 第 7页,共 9 页所以l 的斜率k PC =-2. k AB =a=-,所以a=. ----------------------8分 把直线ax-y+1=0即y=ax+1,代入圆C 的方程, 消去y ,整理得(a 2+1)x 2+6(a-1)x+9=0. 由于直线ax-y-1=0交圆C 于A ,B 两点, 则Δ=36(a-1)2-36(a 2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0.则实数a 的取值范围是(-∞,0). 由于∉(-∞,0),故不存在实数a ,使得过点P (2,0)的直线l 垂直平分弦AB. ----------------------12分21.(1)证明：设AC ,BD 相交于点F ,连接EF ,∵四棱锥P-ABCD 底面ABCD 为菱形, ∴F 为AC 的中点,又∵E 为P A 的中点,∴EF ∥PC. 又∵EF ⊂平面EBD ,PC ⊄平面EBD ,∴PC ∥平面EBD. ----------------------4分(2)解：∵底面ABCD 为菱形,∠ABC=60°,∴△ACD 是边长为2的正三角形,又∵P A ⊥底面ABCD,∴P A为三棱锥P-ACD的高,∴V C-P AD=V P-ACD=S△ACD·P A=×22×2=. ----------------------8分(3)解：在侧棱PC上存在一点M,满足PC⊥平面MBD,下面给出证明.∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∵P A⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴BD⊥P A.∵AC∩P A=A,∴BD⊥平面P AC,∴BD⊥PC.在△PBC内,可求PB=PC=2,BC=2,在平面PBC内,作BM⊥PC,垂足为M,设PM=x,则有8-x2=4-(2-x)2,解得x=<2.连接MD,∵PC⊥BD,BM⊥PC,BM∩BD=B,BM⊂平面BDM,BD⊂平面BDM.∴PC⊥平面BDM.∴满足条件的点M存在,此时PM的长为. ----------------------12分22.(1)证明：∵圆C过原点O,∴OC2=t2+.设圆C的方程是(x-t)2+-=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t,∴S△OAB=OA·OB=×|2t|=4,即△OAB的面积为定值. ----------------------6分铜陵市一中期中考试第8页,共 9 页(2)解：∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分线段MN.∵k MN=-2,∴k OC=.∴t,解得t=2或t=-2. ----------------------8分当t=2时,圆心C的坐标为(2,1),OC=,此时,C到直线y=-2x+4的距离d=,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意,此时,圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.当t=-2时,圆心C的坐标为(-2,-1),OC=,此时C到直线y=-2x+4的距离d=.圆C与直线y=-2x+4不相交,因此,t=-2不符合题意,舍去.故圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. ----------------------12分铜陵市一中期中考试第9页,共 9 页。
安徽省铜陵市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
故该几何体的表面积是 20＋3π，
故选A.
考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.
6．D
【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
15．如图，在直四棱柱 中，点 分别在 上，且 ， ，点 到 的距离之比为 ，则三棱锥 和 的体积比 .
16．已知正四面体 的棱长为9，点 是 内（含边界）的一个动点，满足 到平面 、平面 、平面 的距离成等差数列，则点 到平面 的距离的最大值为________．
三、解答题
17．已知两直线 ： 和 ： 的交点为P.
A．0.27，78B．54，0.78C．27，0.78D．54，78
8．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）
A． ห้องสมุดไป่ตู้． C． D．
9．已知平面 平面 ，直线 ，直线 ，点 ,点 ，记点A、B之间的距离为 ,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若 是使 恒成立的最小正整数
①求 的值； ②求三角形 的面积的最小值．
参考答案
1．C
【详解】
若 由线面垂直的判定定理知,只有当和为相交线时,才有 错误；
若 此时由线面平行的判定定理可知,只有当在平面外时,才有 错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若 ， ， ，则 为真命题,正确；
安徽省重点高中2023-2024学年高二上学期期中考试 数学[含答案]
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心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB 是正三角形，则此椭圆的离心率为（ ）
A. 3
3 B. 2
C. 2 1
D. 3 1
【答案】D
【解析】
【分析】由题意有
A,
B
坐标为
(
1 2
c,
3 c)
2 ，代入椭圆方程结合参数关系求离心率.
( 1 c, 3 c) B( 1 c, 3 c)
B. 34
C. 5
D. 37
【答案】D
【解析】
【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值.
【详解】作出图形知 A, B 在直线的同侧，点 A 关于直线 x y 0 的对称点 A1 1, 1 ，
则
PA
PB
min
A1B
2 12 5 12
37
.
故选：D.
5. 已知直线 l ： x ay 1 0(a R) 是圆 C : x2 y2 4x 2 y 1 0 的对称轴.过点 A(4, a) 作圆 C 的一 条切线，切点为 B ，则| AB |
25
A. 25
B. 2
C. 12
D. 24
【答案】A
【解析】
【分析】计算得到 BC 2c 24 ， AB AC 2a 26 ，根据正弦定理得到答案.
x2 【详解】由椭圆 169
y2 25
1 ，可得 a
13， b
5
，所以
c
a2 b2 12 ，
所以 BC 2c 24 ， AB AC 2a 26 ．
拉图多面体 EABCDF ， P,Q, M , N 分别为 DE, AB, AD, BF 的中点，则 PQ MN （ ）
2020-2021学年安徽省铜陵市第一中学高二上学期期中考试数学试题Word版含解析
2020-2021学年安徽省铜陵市第一中学上学期期中考试高二数学试题一、单选题1．若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系为( )A ．相交、平行或异面B ．相交或平行C ．异面D ．平行或异面【答案】A【解析】根据异面直线的定义可得直线a ，c 的位置关系可能相交，可能平行，可能是异面直线．【详解】因为a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 的位置关系可能相交，可能平行，也可能是异面直线．如下图所示，满足题意的条件，图①中a ，c 相交，图②中a ，c 平行，图③中a ，c 是异面直线.故选：A ．【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，属于基础题．2．已知直线1l :()()34210k x k y -+-+=与2l ：()23230k x y --+=平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或52C ．3或52D ．1或2【答案】C【解析】当30k -=时，求出两直线的方程，检验是否平行；当30k -≠时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k 的值．【详解】当30k -=，即3k =时，两直线的方程分别为12y =和32y =，显然两直线平行． 当30k -≠时，由()43123232k k k --=≠--，可得52k = 综上，k 的值是 3或52， 故答案为：3 或52. 【点睛】 本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．3．圆锥的底面半径为1 ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【答案】C【解析】先得出母线的长，再根据圆锥表面积公式计算．【详解】圆锥的底面半径为1l ==2圆锥的表面积S ＝S 底面+S 侧面＝πr 2+πrl ＝π+2π＝3π故选：C ．【点睛】本题考查了圆锥表面积的计算．属于基础题．4．在直线34270x y --=上到点()2,1P 距离最近的点的坐标是（ ）A ．()5,3-B ．()9,0C ．()3,5-D ．()5,3-【答案】A【解析】根据题意可知，当过点P 的直线与已知直线垂直时，两直线的交点到点P 的距离最短，所以根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，求出过点P 直线的斜率，又根据点P 的坐标和求出的斜率写出该直线的方程，然后联立两直线的方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到点B 的坐标．【详解】根据题意可知：所求点即为过P 点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，因为已知直线3x ﹣4y ﹣27=0的斜率为34，所以过P 点垂直于已知直线的斜率为43-， 又P （2，1），则该直线的方程为：y ﹣1=43-（x ﹣2）即4x+3y ﹣11=0， 与已知直线联立得：4311034270x y x y +-=⎧⎨--=⎩①② ①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，把x=5代入①解得y=﹣3，所以53x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线3x ﹣4y ﹣27=0上到点P （2，1）距离最近的点的坐标是（5，﹣3）．故选：A ．【点睛】本题的考点是两直线的交点坐标，考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标．解本题的关键是过点P 垂直于已知直线的直线，垂足即为已知直线上到点P 的最短距离的点．5．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21B ．19C ．9D ．-11【答案】C【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得()()223040125m -+-=-9m ⇒=,故选C. 【考点】圆与圆之间的外切关系与判断6．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．372cmB ．390cmC ．3108cmD ．3138cm【答案】B 【解析】由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，长方体的长宽高分别为：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是：4，3，高是3. 其几何体的体积：31V 34634390?2cm =⨯⨯+⨯⨯⨯=． 故选B.7．若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．3D ．6【答案】B【解析】试题分析：222430x y x y ++-+=即22(1)(2)2x y ++-=，由已知，直线260ax by ++=过圆心(1,2)C -，即2260,3a b b a -++==-，由平面几何知识知，为使由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小，只需圆心(1,2)C -与直线30x y --=上的2123()242----=，故选B .【考点】圆的几何性质，点到直线距离公式.8．正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，则直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值为( )A ．223B ．33C ．63D ．22【答案】B 【解析】连接EF ，由BF CF =，我们易得FED ∠是线面所成角，设棱长为a ，求出三角形FED 的各边长，代入余弦定理，求出FED ∠的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE 与平面BCF 所成角的正弦值．【详解】 连接EF ，由题意得BF CF =，BD CD =，则FE BC ⊥，DE BC ⊥，∴BC ⊥面DEF ，∴DF BC ⊥， 又DF CF ⊥，∴DF ⊥面CFB ，FED ∴∠是线面所成角设棱长a ，CD a =，3ED BF CF ===三角形BCF 是等腰三角形，则22EF a =由余弦定理得，6cos FED ∠=则3sin FED ∠=故选：B ．【点睛】 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出FED ∠即为直线DE 与平面BCF 所成角的平面角．9．垂直于直线1y x =+且与圆224x y +=相切于第三象限的直线方程是( )A ．0x y ++=B ．20x y ++=C ．20x y +-=D ．0x y +-=【答案】A 【解析】根据两直线垂直求出所求切线的斜率，由此设出切线方程，利用圆心到直线的距离d r =，即可求出切线的方程，再验证是否满足条件即可．【详解】设所求的直线为l ，直线l 垂直于直线1y x =+，可得直线l 的斜率为1k =-，∴设直线l 方程为y x b =-+，即0x y b +-=，又直线l 与圆224x y +=相切， ∴圆心(0,0)O 到直线l 的距离2d ==，解得b =±当b =-时，可得切点坐标(，切点在第三象限；当b =，切点在第一象限； 直线l 与圆221x y +=的切点在第三象限，∴取b =-，此时的直线方程为0x y ++=．故选：A ．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．10．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，3AB =，14BB =，长为1的线段PQ 在棱1AA 上移动，长为3的线段MN 在棱1CC 上移动，点R 在棱1BB 上移动，则四棱锥R PQMN -的体积是( )A ．12B ．10C ．6D ．不确定【答案】C 【解析】先求出底面PQMN 的面积，再求R 到底面PQMN 的距离，然后求四棱锥R PQMN -的体积．【详解】由题意可知，底面PQMN 的面积是1332622+⨯=R 到PQMN 的距离为322∴四棱锥R PQMN -的体积是：13262632⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查计算能力，是基础题．11．已知(2,0)A -，(0,2)B ，实数k 是常数，M ，N 是圆220x y kx ++=上两个不同点，P 是圆220x y kx ++=上的动点，如果M ，N 关于直线10x y --=对称，则PAB ∆面积的最大值是（ ）A ．32B ．4C ．6D ．32 【答案】D【解析】根据圆上两点,M N 关于直线10x y --=对称，可知圆心在该直线上，从而求出圆心坐标与半径，要使得PAB ∆面积最大，则要使得圆上点P 到直线AB 321，PAB S ∆最大值为32.【详解】由题意，圆x 2+y 2+kx=0的圆心（-2k ，0）在直线x-y-1=0上， ∴-2k -1=0，∴k=-2,∴圆x 2+y 2+kx=0的圆心坐标为（1，0），半径为1∵A （-2，0），B （0，2），∴直线AB 的方程为2x -+2y =1，即x-y+2=0∴圆心到直线AB .∴△PAB 面积的最大值是11||1)22AB +=⨯= 故选D ．【点睛】 主要考查了与圆有关的最值问题，属于中档题.该题涉及到圆上动点到定直线（圆与直线相离）的最大距离.而圆上动点到定直线的最小距离为圆心到直线距离减去半径，最大距离为圆心到直线距离加上半径.12．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO ∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO ，即满足2PO ，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO故22220000103634PO x y y y ==+-+解得0825y ，0605x 即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO ，从而得到不等式求出参数的取值范围．二、填空题13．若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦长为a =________. 【答案】1【解析】将两个方程两边相减可得220ay -=，即1y a =代入224x y +=可得x =长为=2143a -=，解之得1a =，应填1． 14．过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程为__________．【答案】234100x x y =-+=或【解析】若斜率不存在，直线2x =与圆224x y +=相切，符合题意；若斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，32,4k ==，∴切线方程为2x =或34100x y -+=，故答案为2x =或34100x y -+=.15．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______. 【答案】2231240x y x y ++--=【解析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程.【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： ()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0∴70λ-+=解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=. 故答案为：2231240x y x y ++--=.【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.16．在四面体S ABC -中，,2,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-，则该四面体的外接球的表面积是__________．【答案】6π． 【解析】取AC 中点D ，连接,,2,SD BD AB BC BD AC ==⊥，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC ∆中，,2,2AB BC AB BC AC ⊥==∴=，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是362cos EDO OD ∴∠==，6,BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的外接664=64πππ⨯，故答案为6π.三、解答题 17．己知直线l ：33y x =+.（1）求点()4,5P 关于直线l 的对称点坐标；（2）求直线l 关于点()4,5P 对称的直线方程.【答案】（1）()2,7-；（2）317y x =-.【解析】（1）设点(4,5)P 关于直线l ：33y x =+的对称点的坐标为(,)a b ，则有题意可得5314543322b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯+⎪⎩，求得a 、b 的值，即可得到点(4,5)P 关于直线l 的对称点坐标． （2）在直线l ：33y x =+上任意取出两个点(0,3)C 、(1,0)D -，求出这两个点关于点()4,5P 对称点分别为C '、D '的坐标，由题意可得C '、D '是所求直线上的两个点，由两点式求得所求直线的方程．【详解】（1）设点(4,5)P 关于直线l ：33y x =+的对称点的坐标为(,)a b ， 则由题意可得5314543322b a b a -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪=⨯+⎪⎩，解得27a b =-⎧⎨=⎩， 故点(4,5)P 关于直线l 的对称点的坐标为(2,7)-．（2）在直线l ：33y x =+上任意取出两个点(0,3)C 、(1,0)D -，由中点坐标公式，可求得这两个点关于点()4,5P 对称点分别为(8,7)C '、(9,10)D '，由题意可得(8,7)C '、(9,10)D '是所求直线上的两个点， 由两点式求得所求直线的方程为9878107y x --=--，即317y x =-． 【点睛】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，用两点式求直线的方程，属于中档题．18．如图，已知面11AA B B 垂直于圆柱底面，AB 为底面直径，C 是底面圆周上异于,A B 的一点，12AA AB ==.求证:（1）平面1AAC ⊥平面1BA C ； （2）求几何体1A ABC -的最大体积V .【答案】（1）见解析；（2）23. 【解析】试题分析：（1）证明两个平面垂直，应用两面垂直的判定定理，在其中一个面内找一条直线与另一个面垂直。
安徽省铜陵市第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题(1)
A． B． C． D．
7．若圆C: 关于直线 对称，则由点 向圆所作的切线长的最小值是（）
A．2B．4C．3D．6
8．正四面体 中，E、F分别是棱 、 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
9．垂直于直线 且与圆 相切于第三象限的直线方程是( )
21．如图，四棱锥 的底面 为菱形， ， 底面 ， ，E为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积 ；
（3）在侧棱 上是否存在一点M，满足 平面 ，若存在，求 的长；若不存在，说明理由.
22．已知以点C （t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
【详解】
根据题意可知：所求点即为过P点垂直于已知直线的直线与已知直线的交点，
因为已知直线3x﹣4y﹣27=0的斜率为 ，所以过P点垂直于已知直线的斜率为 ，
又P（2，1），
则该直线的方程为：y﹣1= （x﹣2）即4x+3y﹣11=0，
与已知直线联立得：
①×4+②×3得：25x=125，解得x=5，
把x=5代入①解得y=﹣3，
【解析】
试题分析：因为 ,所以 且圆 的圆心为 ,半径为 ,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得
,故选C.
考点：圆与圆之间的外切关系与判断
6．B
【解析】
由三视图可知：原几何体是由长方体与一个三棱柱组成，
长方体的长宽高分别为：6，4，3；三棱柱的底面直角三角形的直角边长是：4，3，高是3.
其几何体的体积： ．
（2）求几何体 的最大体积 .
数学-高二-安徽省铜陵一中高二(上)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°2．直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．4．若直线过点P（11，1）且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．以上都有可能5．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）6．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个7．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A．1：（﹣1）B．1：2 C．1：D．1：48．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．9．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=010．不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤2 B．0≤a≤2 C．﹣1≤a≤3 D．1≤a≤311．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB ⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．14．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为．15．直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M 为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是．（填序号）①MB∥平面A1DE；②|BM|是定值；③A1C⊥DE．三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．18．已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x 轴正半轴于点B，（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．20．已知圆C经过原点O，与x轴另一交点的横坐标为4，与y轴另一交点的纵坐标为2，（1）求圆C的方程；（2）已知点B的坐标为（0，2），设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．21．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E 为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．22．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．2016-2017学年安徽省铜陵一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．直线的倾斜角是（）A．30°B．120°C．60°D．150°【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系．【分析】设直线的倾斜角是θ，则有tanθ=，再由θ∈0，π），∴θ=150°，故选：D．2．直线2x+y+1=0与圆（x+1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【解答】解：由于圆心（﹣1，1）到直线2x+y+1=0的距离为d==0，小于半径，故直线和圆相交，故选：A．3．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【考点】平面图形的直观图．【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．4．若直线过点P（11，1）且在两坐标轴上的截距相等，则这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．以上都有可能【考点】直线的截距式方程．【分析】分类讨论①当此直线经过原点时，直接求出②当此直线不经过原点时，设直线方程为x+y=a，把点代入即可．【解答】解：①当此直线经过原点时，k=，此时直线方程为y=x；②当此直线不经过原点时，设直线方程为x+y=a，把点（11，1）代入得a=12，∴直线方程为x+y=12．综上可知：满足条件的方程有且仅有两条．故选B．5．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），则x=1，y=﹣3，z=﹣6，所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．故选：C．6．已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，以下有三种说法：①若α∥β，β∥γ，则γ∥α；②若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③若m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β．其中正确命题的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由平行的传递性知①正确，两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，知②正确，当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，线面之间的关系是平行或在平面上，知③正确【解答】解：由平行的传递性知若α∥β，β∥γ，则γ∥α，故①正确，两个平行平面有一个和第三个平面垂直，则另一个也与第三个平面垂直，即若α⊥γ，β∥γ，则α⊥β，故②正确，当一条直线同时和一条直线和一个平面垂直时，线面之间的关系是平行或在平面上即m⊥β，m⊥n，n⊊β，则n∥β，故③正确，总上可知有3个命题正确，故选：A7．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为（）A．1：（﹣1）B．1：2 C．1：D．1：4【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据题意，由相似边的比与面积比的关系，先求出截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比值，再求出所求的比值．【解答】解：根据面积比是对应边之比的平方得，此截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比是1：，∴此截面分圆锥的高为上、下两段的比为1：（﹣1）．故选A．8．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正方体的结构特征，我们取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，可证得∠OEF 即为异面直线OE与AD1所成角，解△OEF即可得到答案．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF，BC1，如图所示：∵E为CC1的中点，EF∥BC1∥AD1，故∠OEF即为异面直线OE与AD1所成角设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则在△OEF中，EF=，OE=故cos∠OEF==故选D9．设入射光线沿直线y=2x+1射向直线y=x，则被y=x反射后，反射光线所在的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．3x﹣2y+1=0 D．x+2y+3=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】由可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），根据点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程．【解答】解：由可得反射点A（﹣1，﹣1），在入射光线y=2x+1上任取一点B（0，1），则点B（0，1）关于y=x 的对称点C（1，0）在反射光线所在的直线上．根据点A（﹣1，﹣1）和点C（1，0）的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是，化简可得x﹣2y﹣1=0．故选：A．10．不论m为何实数，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与圆x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有公共点，则实数a的取值范围是（）A．﹣2≤a≤2 B．0≤a≤2 C．﹣1≤a≤3 D．1≤a≤3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，说明直线系过的定点必在圆上或圆内．【解答】解：直线（2m+1）x+（m+1）y﹣m﹣1=0过（0，1）点的直线系，曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0表示圆圆心（a，0），半径为：，直线与曲线x2+y2﹣2ax+a2﹣2a﹣4=0恒有交点，必须定点在圆上或圆内，即：，所以，﹣1≤a≤3故选：C．11．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，平面PAB ⊥平面ABC，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为（）A．4 B．3 C．4D．3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】运用题意判断出三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，几何体的性质，在求解体积的值．【解答】解：根据题意：半径为2的球面上，且AB=BC=CA=2，△ABC为截面为大圆上三角形，设圆形为O，AB的中点为N，ON═=1∵平面PAB⊥平面ABC，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值时，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PN==，∴三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为×（2）2×=3，故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．14．过点P（1，0），且圆心为直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0交点，则该圆标准方程为x2+（y﹣1）2=2．【考点】圆的标准方程．【分析】联立两直线方程求得其交点坐标，求得圆的圆心，进而利用两点间的距离公式求得远的半径，则圆的方程可得．【解答】解：联立直线x+y﹣1=0与直线x﹣y+1=0，解得x=0，y=1∴圆的圆心为（0，1），∴圆的半径为∴圆的标准方程为x2+（y﹣1）2=2．故答案为：x2+（y﹣1）2=2．15．直线l1：x+y+1=0与l2：2x+2y+3=0的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用两条平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：把l2：2x+2y+3=0化为．∵l1∥l2，∴l1与l2的距离d==．故答案为：．16．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M 为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法正确的是①②．（填序号）①MB∥平面A1DE；②|BM|是定值；③A1C⊥DE．【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】取CD中点F，连接MF，BF，则平面MBF∥平面A1DE，可得①正确；由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，可得②正确，A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，可得③不正确．【解答】解：取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故①正确．由∠A1DE=∠MNB，MN=A1D=定值，NB=DE=定值，由余弦定理可得MB2=MN2+NB2﹣2MN•NB•cos∠MNB，所以MB是定值，故②正确．∵A1C在平面ABCD中的射影为AC，AC与DE不垂直，∴故③不正确．故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17题10分，18，19，20，21，22每题12分）17．如图所示，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=6，异面直线BC1与AA1所成角的大小为30°，求该三棱柱的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知找出异面直线BC1与AA1所成角，求解直角三角形得正三棱柱底面边长，再由棱柱体积公式求解．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1∥AA1．∴∠BC1C为异面直线BC1与AA1所成的角，即∠BC1C=30°．在Rt△BCC1中，BC=CC1•tan∠BC1C=6×=2，=BC2•sin60°=3，从而S△ABC•AA1=3×6=18．因此该三棱柱的体积V=S△ABC18．已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x 轴正半轴于点B，（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由垂直关系可得k AB=，由AB过点P（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，可得△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0，由判别式△=S2﹣40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此时的方程可得B坐标．【解答】解：（1）∵点P（6，4），∴k OP=，∵OP⊥AB，∴k AB=，∵AB过点P（6，4），∴AB的方程为y﹣4=（x﹣6）化为一般式可得：3x+2y﹣26=0（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，则直线PA的斜率为=，解得b=，故B的坐标为（，0），故△OAB面积为S=××4a=，即10a2﹣Sa+S=0．由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判别式△=S2﹣40S≥0，S≥40，故S的最小值等于40，此时方程为a2﹣4a=4=0，解得a=2．综上可得，△OAB面积的最小值为40，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．19．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面V AB⊥平面ABC，△V AB为等边三角形，AC⊥BC 且AC=BC=，O，M分别为AB，V A的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面V AB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）利用三角形的中位线得出OM ∥VB ，利用线面平行的判定定理证明VB ∥平面MOC ；（2）证明：OC ⊥平面V AB ，即可证明平面MOC ⊥平面V AB（3）利用等体积法求三棱锥V ﹣ABC 的体积．【解答】（1）证明：∵O ，M 分别为AB ，V A 的中点，∴OM ∥VB ，∵VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，∴VB ∥平面MOC ；（2）∵AC=BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，∵平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥平面VAB ，∵OC ⊂平面MOC ，∴平面MOC ⊥平面V AB（3）在等腰直角三角形ACB 中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴S △V AB =，∵OC ⊥平面VAB ，∴V C ﹣V AB =•S △V AB =， ∴V V ﹣ABC =V C ﹣V AB =．20．已知圆C 经过原点O ，与x 轴另一交点的横坐标为4，与y 轴另一交点的纵坐标为2， （1）求圆C 的方程；（2）已知点B 的坐标为（0，2），设P ，Q 分别是直线l ：x +y +2=0和圆C 上的动点，求|PB |+|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）结合条件即可求圆C 的方程；（2）求出点B 关于直线l ：x +y +2=0的对称点，根据对称性的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵圆C 经过原点O ，与x 轴另一交点的横坐标为4，与y 轴另一交点的纵坐标为2，即点A （4，0），B （0，2）是圆的一条直径，则圆心坐标为（2，1）．半径r=，则圆的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣1）2=5．（2）点B 关于直线l ：x +y +2=0的对称点为B ′（﹣4，﹣2），则|PB |+|PQ |=|PB ′|+|PQ |≥|B ′Q |，又B′到圆上的点的最短距离为|B′C|﹣r，∴|PB|+|PQ|的最小值为，直线B′C的方程为y=，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标满足，解得，即P（﹣，﹣）．21．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E 为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，（1）求证：AC⊥平面DEF；（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取AC的中点H，推导出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能证明AC⊥平面DEF．（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．∵AF=3FC，∴F为CH的中点．而E为BC的中点，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∵AC⊂平面ABC，∴DE⊥AC．而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．解：（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，设AB=BC=2，则E（0，0，0），C（1，0，0），A（﹣1，2，0），F（，，0），B（﹣1，0，0），D（0，0，），=（，0），=（0，0，），设平面EFP的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面ABD的法向量=（a，b，c），=（0，﹣2，0），=（1，﹣2，），，取c=1，得=（），设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ，则cosθ===．∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为．22．已知圆O的方程为x2+y2=1，直线l1过点A（3，0），且与圆O相切．（1）求直线l1的方程；（2）设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，过点A且与x 轴垂直的直线为l2，直线PM交直线l2于点P′，直线QM交直线l2于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）由已知中直线l1过点A（3，0），我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k值，进而得到直线l1的方程；（2）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．【解答】解：（1）由题意，可设直线l1的方程为y=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k=0…又点O（0，0）到直线l1的距离为，解得，所以直线l1的方程为，即或…（2）对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．又直线l2方程为x=3，设M（s，t），则直线PM方程为．解方程组，得，同理可得：．…所以圆C的圆心C的坐标为，半径长为，又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为，半径长．所以圆C的方程为，…即=0即，又s2+t2=1故圆C的方程为，令y=0，则（x﹣3）2=8，所以圆C经过定点，y=0，则x=，所以圆C经过定点且定点坐标为2016年12月22日。
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷(理科)
安徽省铜陵市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知实数a，b，c，d满足==1，其中e是自然对数的底数，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为（）A . 4B . 8C . 12D . 182. （2分） (2016高二上·自贡期中) 已知直线l经过两个点A（0，4），B（3，0），则直线l的方程为（）A . 4x+3y﹣12=0B . 3x+4y﹣12=0C . 4x+3y+12=0D . 3x+4y+12=03. （2分）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A . 4B . 8C . 16D . 324. （2分）圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程为（）A . x+y﹣2=0B . x+y﹣4=0C . x﹣y+4=0D . x﹣y+2=05. （2分）直线l过点（-1，0）且与圆相切,若切点在第四象限,则直线l的方程为（）A .B .C .D .6. （2分）当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是（）A . (2，3)B . (－2，3)C .D . (－2，0)7. （2分）(2017·温州模拟) 若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围是（）A . [﹣1，1]B . [0，1]C . [0， ]D . [﹣， ]8. （2分）已知直线l：y=x+1平分圆C：（x﹣1）2+（y﹣b）2=4，则直线x=3同圆C的位置关系是（）A . 相交B . 相切C . 相离D . 不能确定9. （2分）已知双曲线(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .10. （2分）已知抛物线y2=4x，其焦点坐标是（）A . (1,0)B . (0,1)C . (-1,0)D . (0,-1)11. （2分）过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线l有（）A . 1条B . 2条C . 3条D . 4条12. （2分）过椭圆的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若则椭圆离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一上·福建期末) 若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+ =0所截得的线段的长为2 ，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是________．（写出所有正确答案的序号）14. （1分）已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB 的面积均为5，则r的取值范围是________15. （1分）(2018·景县模拟) 如图所示，是椭圆的短轴端点，点在椭圆上运动，且点不与重合，点满足，则＝________。
高二数学上学期期中试题_00009
主视图 侧视图俯视图铜陵市一中2013-2014学年度第一学期高二年级学段（期中）考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（ ）A ． πB ． 4πC ．23πD ．34π2、下列说法不正确的是（ ）A.空间中一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.3、直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ）A ．3210x y +-= B.3370x y ++= C. 2350x y -+= D. 2380x y -+= 4、设有直线,m n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m α//,n α//,则m n //；B.若m α⊂,n α⊂,m β//,n β//,则αβ//；C.若αβ⊥，m α⊂,则m β⊥；D.若αβ⊥，m β⊥，m α⊄,则m α//. 5、已知点(),2(0)a a >到直线30x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）A ．2 B.22- C ．21- D.21+ 6、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数是（ ）A ．2B .3C .4D .57、经过平面直角坐标系内两个不同的点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)的直线l 的方程一定可以化为（ ）的形式A. y-y 1=k(x-x 1). B ． (y-y 1)(x 2-x 1)= (x-x 1)(y 2-y 1)C. 1=+bya x D. y=kx+b8、A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =,若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（ ）A ．210x y --= B.50x y +-= C. 270x y +-= D. 240y x --=9、甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a ，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ）A.a 34B.a 362 C.a 27 D.a 938 10、在△ABC 中，a, b, c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则下列两条直线L 1：sin 2A ·x+sinA ·y －a=0与L 2：sin 2B ·x+sinC ·y －c=0的位置关系是：（ ） A 、相交（不垂直） B 、重合 C 、垂直D 、平行二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题纸上）11．若某三棱锥的三个侧面两两垂直，且其侧棱长均为 ，则这个三棱锥的外接球的体积为___________.12.如果直线l 与直线2x-y-1=0关于（1,0）对称，那么l 的一般式方程为_____________.13．直线xcos α＋y ＋1=0的倾斜角范围是______________.14.若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为α,则cos α=______． 15.若方程(0)a x x a a =+>有两个不同的交点，则a 的取值范围是_____________.三、解答题（解答题共6小题共75分.要求写出必要的文字说明、推理过程、演算步骤；答题过程写在答题卷相应题号位置，否则不予给分！） 16. （本小题满分12 分）在xoy 平面中，将两坐标轴，线段)0,0(21≥≥=+y x y x ，和单位圆在第一象限的圆弧的所围成的几何图形（如图阴影部分）绕y 轴旋转一周，求此图形在空间中所形成旋转体的全面积。
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铜陵市一中2013-2014学年度第一学期
高二年级学段（期中）考试数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为（ ）
A ．
π B ． 4π C ．23π D ．34π 2、下列说法不正确的．．．．
是（ ） A.空间中一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；
B ．同一平面的两条垂线一定共面；
C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；
D. 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直.
3、直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程为（ ）
A ．3210x y +-= B.3370x y ++= C. 2350x y -+= D. 2380x y -+=
4、设有直线,m n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m α//,n α//,则m n //；
B.若m α⊂,n α⊂,m β//,n β//,则αβ//；
C.若αβ⊥，m α⊂,则m β⊥；
D.若αβ⊥，m β⊥，m α⊄,则m α//.
5、已知点(),2(0)a a >到直线30x y -+=的距离为1，则a 等于（ ）
A
B.2 C
1
1
6、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数是（ ）
A ．2
B .3
C .4
D .5
7、经过平面直角坐标系内两个不同的点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)的直线l 的方程一定可以化为（ ）的形式
A. y-y 1=k(x-x 1). B ． (y-y 1)(x 2-x 1)= (x-x 1)(y 2-y 1)
C. 1=+b
y a x D. y=kx+b 8、A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且P A P B
=,若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程为（ ）
A ．210x y --= B.50x y +-= C. 270x y +-= D. 240y x --=
9、甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一个各条棱都相等的四面体，四个氢原子分别位于该四面体的四个顶点上，碳原子位于该四面体的中心，它与每个氢原子的距离都是a ，若将碳原子和氢原子均视为一个点，则任意两个氢原子之间的距离为（ ） A.a 34 B.a 362 C.a 27 D.a 9
38 10、在△ABC 中，a, b, c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsinA 、lgsinB 、lgsinC 成等差数列，则下列两条直线L 1：sin 2A ·x+sinA ·y －a=0与L 2：sin 2B ·x+sinC ·y －c=0的位置关系是：（ ）
A 、相交（不垂直）
B 、重合
C 、垂直
D 、平行
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题纸上）
11．若某三棱锥的三个侧面两两垂直，且其侧棱长均为 ，则这个三棱锥的外接球的体
积为___________.
12.如果直线l 与直线2x-y-1=0关于（1,0）对称，那么l 的一般式方程为_____________.
13．直线xcos α＋y ＋1=0的倾斜角范围是______________.
14.若空间某条直线与某长方体的十二条棱所在直线成角均为α,则cos α=______．
15.若方程(0)a x x a a =+>有两个不同的交点，则a 的取值范围是_____________.
三、解答题（解答题共6小题共75分.要求写出必要的文字说明、推理过程、演算步骤；答题过程写在答题卷相应题号位置，否则不予给分！）
16. （本小题满分12 分）
在xoy 平面中，将两坐标轴，线段)0,0(2
1≥≥=+y x y x ，和单位圆在第一象限的圆弧的所围成的几何图形（如图阴影部分）绕y
32
轴旋转一周，求此图形在空间中所形成旋转体的全面积。
17．（本小题满分12 分）
在直角坐标系中，已知射线OA：x-y=0 (x≥0)，OB：x+3y=0(x≥0)，
过点P(1,0)作直线分别交射线OA，OB于A，B点．
(1)当AB中点为P时，求直线AB的方程；
(2)在(1)的条件下，若A、B两点到直线l：y=mx+2的距离相等，求实
数m的值．
18．（本小题满分12 分）
如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）证明MN ⊥AB ；（2）设平面PDC 和平面ABCD 所成的二面角为θ，试求当θ为何
值时，MN ⊥面PCD
19.（本题满分13分）
已知ABC ∆的顶点(5,1)A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y --=.求：
（1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程.
20．（本小题满分13分）
如图，ABC ∆与BCD ∆是一副三角板，它们所在的两个平面互相垂直，
且AB AC =，90BAC BCD ∠=∠=，30CBD ∠=．
（Ⅰ）求证：ACD ∆和BAD ∆都是直角三角形；
（Ⅱ）求直线BD 与平面ACD 所成角的正弦值.
21．（本小题满分13 分）
已知三条直线123:20(0),:4210,:10l x y a a l x y l x y -+=>--=+-=，且12l l 与的距离
（1）求a 的值；
（2）能否找到一点P ，使P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点；②P 点到1l 的距离是P 点到2l 的距离的一半；③P 点到1l 的距离与P
点到3l 若能，求出P 点坐标；若不能，说明理由.。