北京市高考数学考试(理科)(附详细答案)
2022年北京市高考数学试题(含答案解析)
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
当 ， 时，因 ,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8.若 ，则 （）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（）
C.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
2024年北京高考数学试题+答案详解
2024年北京高考数学试题+答案详解（试题部分）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −−B ．1i −+C ．1i −D ．1i +3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ）AB ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6B ．6−C ．12D ．12−5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d 1S <D ．d =1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =−与双曲线2214xy −=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素； ②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素； ③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素； ④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．如图，在四棱锥P ABCD −中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率； (2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线． (1)当1k =−时，求()f x 的单调区间. (2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACOS与ABOS分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈=，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21sT T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学试题+答案详解（答案详解）一、单选题1．已知集合{|31}M x x =−<<，{|14}N x x =−≤<，则M N ⋃=（ ） A ．{}11x x −≤< B ．{}3x x >− C ．{}|34x x −<< D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=−<<. 故选C. 2．已知1i iz=−−，则z =（ ）． A ．1i −− B ．1i −+C ．1i −D ．1i +【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =−−=−. 故选C.3．圆22260x y x y +−+=的圆心到直线20x y −+=的距离为（ ） AB ．2C ．3D．【答案】D【详解】根据题意得22260x y x y +−+=，即()()221310x y −++=， 则其圆心坐标为()1,3−，则圆心到直线20x y −+==故选D.4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．6 B ．6− C ．12 D ．12−【答案】A【分析】写出二项展开式，令432r−=，解出r 然后回代入二项展开式系数即可得解.【详解】(4x 的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr r rr T x xr −−+==−=，令432r −=，解得2r =，即()224C 16−=. 故选A.5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +−=”是“a b =−或a b =”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为()()220a b a b a b +⋅−=−=，可得22a b =，即a b =，可知()()0a b a b +⋅−=等价于a b =，若a b =或a b =−，可得a b =，即()()0a b a b +⋅−=，可知必要性成立； 若()()0a b a b +⋅−=，即a b =，无法得出a b =或a b =−，例如()()1,0,0,1a b ==，满足a b =，但a b ≠且a b ≠−，可知充分性不成立； “()()0a b a b +⋅−=”是“a b ≠且a b ≠−”的必要不充分条件. 故选B.6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =−，()21f x =，且12x x −的最小值为π2，则ω=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【详解】根据题意可知：1x 为()f x 的最小值点，2x 为()f x 的最大值点， 则12min π22T x x −==，即πT =，且0ω>，所以2π2Tω==. 故选B.7．生物丰富度指数 1ln S d N−=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S 没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N = D ．3221N N = 【答案】D【分析】根据题意分析可得12112.1,3.15ln ln S S N N −−==，消去S 即可求解. 【详解】根据题意得12112.1, 3.15ln ln S S N N −−==，则122.1ln 3.15ln N N =，即122ln 3ln N N =，所以3221N N =. 故选D.8．如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB==，PC PD ==为（ ）.A ．1B ．2 CD 【答案】D【详解】底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ， 可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ， 所以PO ⊥平面ABCD ，根据题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PFPO EF⋅==当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，这样情况不存在. 故选D.9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ） A ．12122log 22y y x x ++< B ．12122log 22y y x x ++> C ．12212log 2y y x x +<+ D ．12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详解】根据题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，AB.可得121222222x xx x ++>=，即12122202x x y y ++>>， 根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，A 正确，B 错误；C.例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，C 错误；D.例如121,2x x =−=−，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==−∈−−，即12212log 32y y x x +>−=+，D 错误， 故选B. 10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+−≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M 中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S > C．d 1S < D．d =1S >【答案】C【分析】先以t 为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域212y x y x x ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩。
2019年普通高等学校招生全国统考北京理科数学卷附答案解析
2019年普通高等学校招生全国统考北京理科数学卷本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A ）3 （B ）5（C ）3 （D ）5（2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（3）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+=+⎧⎨⎩（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ）15（B ）25（C ）45（D ）65（4）已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则 （A ）a 2=2b 2（B ）3a 2=4b 2（C ）a =2b（D ）3a =4b（5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（A ）−7（B ）1（C ）5（D ）7（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 （A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.1（7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y+=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是 （A ）①（B ）②（C ）①②（D ）①②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年高考理科数学北京卷理数(附参考答案和详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（2019北京卷·理）已知复数2iz=+，则z z⋅=（）A.3B.5C.3D.5【解析】因为2iz z⋅=+⋅-=.故选D.z=+，所以2iz=-，所以(2i)(2i)5【答案】D2.（2019北京卷·理）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A.1B.2C.3D.4【解析】1,1k s ==；第一次循环：2s =，判断3,2k k <=；第二次循环：2s =，判断3,3k k <=；第三次循环：2s =，判断3k =.故输出2，故选B. 【答案】B3.（2019北京卷·理）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【解析】由题意可知直线l 的普通方程为4320x y -+=，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离65d ==.故选D. 【答案】D4.（2019北京卷·理）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，则（ ）A.222a b =B.2234a b =C.2a b =D.34a b =【解析】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以224a c =.又222a b c =+，所以2234a b =.故选B. 【答案】B5.（2019北京卷·理）若x ，y 满足||1x y ≤-，且1y ≥-，则3x y +的最大值为（ ）A.7-B.1C.5D.7【解析】由||1x y ≤-，且1y ≥-，得10,10,1.x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3z x y =+，则3y x z =-+，作直线0:3l y x =-，并进行平移.显然当0l 经过点(2,1)A -时，z 取得最大值，max 3215z =⨯-=.故选C. 【答案】C6.（2019北京卷·理）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-【解析】由题意知，126.7m =-，2 1.45m =-，代入所给公式得1251.45(26.7)lg 2EE ---=，所以12lg10.1E E =，所以10.11210EE =.故选A. 【答案】A7.（2019北京卷·理）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】因为设点A ，B ，C 不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC AC AB =-，所以||||AB AC BC +>等价于||||AB AC AC AB +>-，因模为正，故不等号两边平方得22222||||cos 2||||cos AB AC AB AC AC AB AC AB θθ++⋅⋅>+-⋅⋅（θ为AB 与AC 的夹角），整理得4||||cos 0AB AC θ⋅⋅>，故cos 0θ>，即θ为锐角.又以上推理过程可逆，所以“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的充分必要条件.故选C. 【答案】C8.（2019北京卷·理）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（ ）A.①B.②C.①②D.①②③【解析】由221||x y x y +=+，当0x =时，1y =±；当0y =时，1x =±；当1y =时，01x =±，.故曲线C 恰好经过6个整点：(0,1)A ，(0,1)B -，(1,0)C ，(1,1)D ，(1,0)E -，(1,1)F -，所以①正确.由基本不等式，当0y >时，22221||1||12x y x y x y xy ++=+=+≤+，所以222x y +≤222x y +≤②正确.如图，由①知矩形CDFE 的面积为2，△BCE 的面积为1，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3，故③错误.故选C. 【答案】C第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2021年北京高考理科数学真题及答案
2021年北京高考理科数学真题及答案本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试完毕后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一局部〔选择题共40分〕一、选择题共8小题，每题5分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
〔1〕假设集合{}21A x x =-<<，{}13B x x x =<->或，那么AB =〔 〕。
〔A 〕{}21x x -<<- 〔B 〕{}23x x -<< 〔C 〕{}11x x -<< 〔D 〕{}13x x <<【答案】A【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第一章?集合?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔2〕假设复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是〔 〕。
〔A 〕(),1-∞i 〔B 〕(),1-∞-〔C 〕()1,+∞〔D 〕(1,)-+∞【答案】B 【难度】容易【点评】此题在高二数学〔理〕下学期课程讲座 第四章?复数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔3〕执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔 〕。
〔A〕2〔B〕3 2〔C〕5 3〔D〕8 5【答案】C【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座第十三章?算法与统计?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔4〕假设,x y满足3,2,,xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩那么2x y+的最大值为〔〕。
〔A〕1〔B〕3〔C〕5〔D〕9 【答案】D【难度】容易【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第二章?函数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
〔5〕函数()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么()f x 〔 〕。
〔A 〕是奇函数，且在R 上是增函数 〔B 〕是偶函数，且在R 上是增函数 〔C 〕是奇函数，且在R 上是减函数 〔D 〕是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A 【难度】中等【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第三章?函数的性质及其应用?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
高考数学试卷(理科)
交付金额（元）
支付方式
（0,1000]
（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（Ⅱ）已知数列{an}的长度为p的递增子列的末项的最小值为 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为 .若p<q，求证： < ；
（Ⅲ）设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若{an}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s–1，且长度为s末项为2s–1的递增子列恰有2s-1个（s=1，2，…），求数列{an}的通项公式．
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A ①B. ②C. ①②D. ①②③
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
数f(x)=sin22x的最小正周期是__________．
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为__________．
普通高等学校招生全国统一考试
数 学（理）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知复数z=2+i，则
普通高等学校招生全国统一考试理科数学(北京卷)精校版(含答案)
号位封座密号场不考订装号证考准只卷名姓此级班2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理科数学考前须知：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题 5 分，共 40 分．1．集合 A x x2， B–2,0,1,2 ，那么A IB 〔〕A ． 0,1B ．–1,0,1C．–2,0,1,2 D ．–1,0,1,22．在复平面内，复数1的共轭复数对应的点位于〔〕1iA ．第一象限B ．第二象限C．第三象限 D ．第四象限3．执行如下图的程序框图，输出的s 值为〔〕A ．1B ．5C．7D ．7266124．“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要奉献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ．假八个单音频率为〔〕A ．3 2 f312B． 22 f C． 25 f D5．某四棱锥的三视图如下图，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为〔A ． 1B． 2C．3D6．设a，b均为单位向量，那么“a3b 3a b 〞是“〞的〔〕a bA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系中，记 d 为点 P cos,sin到直线 x my 20的最大值为〔〕A ． 1B． 2C．3D8．设集合 A x, y x y 1,ax y4, x ay2，那么〔〕A ．对任意实数 a ，2,1AB ．对任意实数a， 2,1AC．当且仅当 a 0 时， 2,1AD．当且仅当 a3 时，2,1A2第II 卷二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．设 a n是等差数列，且 a1 3 ， a2a536，那么a n的通项公式为 _10．在极坐标系中，直线cos sin a a0与圆2cos 相切，11．设函数 f x cos xπ0，假设f x fπ对任意的实数64_________．12．假设x， y 满足 x1y 2 x ，那么 2y x 的最小值是 __________ ．13．能说明“假设 f x f0对任意的 x0,2 都成立，那么 f x在 0,2 上是增函数〞为假命题的一个函数是 __________．2222x y x y1 ．假设双曲线 N 的两条渐近线与椭圆M14．椭圆 M ：a2b2 1 a b 0 ，双曲线 N：m2n2的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，那么椭圆M 的离心率为__________；双曲线 N 的离心率为 __________．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．〔本小题 13 分〕在△ ABC 中， a7 ， b8 ， cosB 1 ．7〔 1〕求 A ；〔 2〕求AC 边上的高．16．〔本小题 14 分〕如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， CC1平面 ABC ， D ，E ，F ，AC BB的中点，AB BC5，AC AA2．AC ， 1 1，11〔 1〕求证： AC平面 BEF ；（2〕求二面角 B CD C1的余弦值；（3〕证明：直线 FG 与平面 BCD 相交．17．〔本小题12 分〕电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0．40．2015．0．250．201．好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．〔 1〕从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；〔 2〕从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率；18．〔本小题 13 分〕设函数f x ax24a 1 x 4a 3 e x．〔 1〕假设曲线 y f x 在点 1, f 1处的切线与 x 轴平行，求 a ；〔 2〕假设 f x 在 x 2 处取得极小值，求a的取值范围．〔 3〕假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ k 1 〞表示第 k 类电影得到人们喜欢，“k0 〞表示第 k 类电影没有得到人们喜欢〔k1， 2， 3， 4， 5， 6〕．写出方差D 1， D 2， D 3， D 4， D 5， D 6的大小关系．19．〔本小题 14 分〕抛物线 C : y 22 px 经过点 P 1,2 ．过点 Q 0,1 的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A ， B ，且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于 N ．〔 1〕求直线 l 的斜率的取值范围；uuuruuur uuur uuur1为定值．〔 2〕设 O 为原点， QMQO ， QNQO ，求证：120．〔本小题 14分〕设 n 为正整数，集合 A=t 1，t 2，L ， t n ， t n 0,1 , k 1,2,对于集合 A 中的任意元素x 1 , x 2 ,L , x n 和y 1 , y 2 ,L , y n ，记 M, 1 x 1 y 1x 2y 2x 2y 2Lx n y nx n y n．x 1 y 12〔 1〕当 n 3 时，假设 1,1,0 ， 0,1,1 ，求 M , 和 M, 的值；〔 2〕当 n 4 时，设 B 是 A 的子集， 且满足： 对于 B 中的任意元素 , ，当 ,相同奇数；当,不同时， M,是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；〔 3〕给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元M, 0 ．写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由．2021 年普通高等学校招生全国统一考试( 北京卷 )理 科 数学 答 案第 I卷一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的，每题5 分，共 40 分． 题号 1 2 3 4 5678 答案ADBDCCCD第 II 卷二、填空题：本大题共6 小题，每题 5 分，共 30 分．9． 【答案】 a n 6n 3 10． 【答案】 1211． 【答案】2312． 【答案】 313． 【答案】 y sin x 〔答案不唯一〕 14． 【答案】 3 1 ； 2三、解答题共 6 小题，共 80 分。
2024年北京市高考数学卷含答案 .
2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（ ）。
A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（ ）。
A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（ ）。
A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（ ）。
A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（ ）条件。
A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。
若S 不变 且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（ ）。
A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。
四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。
则该四棱锥的高为（ ）。
A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）。
2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2022北京高考真题解析版-数学(理)(纯word)
2022北京高考真题解析版-数学（理）（纯word ）数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B =（ ）A ．()1-∞-，B ．213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭， C ．233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()3+∞，【解析】和往年一样，依旧的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ，利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得：}3|{>=x x B A ．故选D ． 【答案】D2．设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．π4B ．π22-C ．π6D ．4π4-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D 能够存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ，故选D 。
【答案】D3．设a b ∈R ，．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】当a ＝0时，假如b 也等于0，则i a b +是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而假如i a b +为纯虚数，则一定有a ＝0，因此是必要条件，选B 。
【答案】B4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】0=k ，11=⇒=k s ，21=⇒=k s ，22=⇒=k s ，8=s ，循环终止，输出的s 为8，故选C 。
2019年北京市高考数学试卷(理科)(解析版)
3 5绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知复数 z =2+i ，则 z ⋅z =A. B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】【分析】题先求得 z ，然后根据复数的乘法运算法则即得.【详解】∵ z = 2 + i, z ⋅ z = (2 + i)(2 - i) = 5故选 D.【点睛】本容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.2. 执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为42 + 32A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.2 ⨯12【详解】运行第一次， k=1 s == 2， 3⨯1- 2，运行第二次， k = 2运行第三次， k = 3 2 ⨯ 22 s == 2，3⨯ 2 - 2 ，2 ⨯ 22s == 2，3⨯ 2 - 2，结束循环，输出 s =2，故选 B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.⎧x = 1+ 3t , ⎨3. 已知直线 l 的参数方程为⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线 l 的距离是1 A. 52 B. 54 C. 56 D. 5【答案】D【解析】【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线l 的普通方程为4 (x -1)- 3(y - 2)= 0,即4x - 3y + 2 = 0 ,点(1, 0)到直线l 的距离d ==65 ,故选 D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算 能力的考查.y = 2 + 4t【详解】由题意⎩x 2 + y 2 =1a 2 b2 1 24. 已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为 ，则A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和 a , b , c 的关系可得满足题意的等式.e = c = 1, c 2 = a 2 - b 2【详解】椭圆的离心率 a 2,化简得3a 2 = 4b 2,故选 B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5. 若 x ，y 满足| x |≤ 1- y ，且 y ≥−1，则 3x+y 的最大值为A. −7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.⎧-1 ≤ y⎨y -1 ≤ x ≤ 1- y ,作出可行域如图阴影部分所示.(设 z = 3x + y , y = z - 3x ,当直线 0经过点时, z 取最大值 5.故选 C.【点睛】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画､移､解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识､基本技能的考查.m – m = 5 lg E1 2 16. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足E 2 ，其中星等为 m 1 的星的亮度为 E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1【答案】D【解析】【分析】lgE 1E 1 E 1先求出E 2 ，然后将对数式换为指数式求 E 2 ，再求 E 2 .m - m = 5 lg E1 2 1【详解】两颗星的星等与亮度满足E 2 ,令m 2 = -1.45 ， m 1 = -26.7 ，2 22 11g E 1 = 2 (m - m )= 2(-1.45 + 26.7) = 10.1E 2 5 5 ，E 1 = 1010.1 ⋅ E2 = 10-10.1 E 2 E 1，故选 D.【点睛】考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.7. 设点 A ，B ，C 不共线，则“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>| BC | ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴| AB + AC |>|BC | ⇔ | AB + AC |>| AB - AC |⇔ | AB + AC |2>| AB - AC |2 ⇔ AB • AC >0 ⇔ AB 与 AC的夹角为锐角.故“ AB 与 AC 的夹角为锐角”是“| AB + AC |>|BC |”的充分必要条件,故选 C.【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C ：x 2 + y 2 = 1+ | x | y 就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：2 2x ( ) ( ) ( ) () ①曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 ；③曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3.其中，所有正确结论的序号是A. ①B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C【解析】【分析】将所给方程进行等价变形确定 x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.x 2 + y 2 = 1+ x yy 2 - x y = 1- x 2 ⎛ y - | x | ⎫2⎪ = 1- 3x 2 ,1- 3x 2 0, x 24【详解】由 得, ,⎝ 2 ⎭ 4 4 3 ,C : x 2 + y 2 = 1+ x y所以 可为的整数有 0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.2 2x 2 + y 2x 2 + y 2 = 1+ x yx + y1+ 2 x 2 + y 2 ≤ 2C由得,,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 . 结论②正确.A 0, -1 ,B 1, 0 ,C 1,1, ,D 0,1 如图所示,易知,S= 1 ⨯1⨯1+1⨯1 = 3四边形 ABCD 的面积ABCD2 2 ,很明显“心形”区域的面积大于2S ABCD ,即“心形”区域的面积大于 3,说法③错误.故选 C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
北京市高考数学试卷理科答案与解析
年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题分，共分） ．（分）（•北京）复数（﹣）（ ） ．． ﹣ ． ﹣ ． ﹣﹣考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：数系的扩充与复数． 分析：利用复数的运算法则解答． 解答： 解：原式﹣﹣（﹣）； 故选：．点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意﹣． ．（分）（•北京）若，满足，则的最大值为（ ） ．．．．考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用．分析： 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数对应的直线进行平移，即可求出取得最大值． 解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得（，），目标函数，将直线进行平移， 当经过点时，目标函数达到最大值 ∴最大值故选：．点评： 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域与简单的线性规划等知识，属于基础题．．（分）（•北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）． （﹣，）． （﹣，） ． （﹣，﹣） ． （，﹣）考点：程序框图．专题：图表型；算法与程序框图． 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，，的值，当时满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 ，，， ，，不满足条件≥，﹣，，﹣，， 不满足条件≥，﹣，，﹣，，满足条件≥，退出循环，输出（﹣，）， 故选：．点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的，，的值是解题的关键，属于基础题．．（分）（•北京）设α，β是两个不同的平面，是直线且⊂α，“∥β“是“α∥β”的（ ）． 充分而不必要条件 ． 必要而不充分条件． 充分不要条件． 既不充分也不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析： ∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且⊂α，显然能得到∥β，这样即可找出正确选项． 解答： 解：⊂α，∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要与α，β的交线平行即可得到∥β；α∥β，⊂α，∴与β没有公共点，∴∥β，即α∥β能得到∥β； ∴“∥β”是“α∥β”的必要不充分条件． 故选． 点评： 考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．．（分）（•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）．．．．考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析： 根据三视图可判断直观图为：⊥面，，为中点，，，，：⊥面，，判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积． 解答： 解：根据三视图可判断直观图为： ⊥面，，为中点，，，，∴可得⊥，⊥，运用直线平面的垂直得出：⊥面，，∴△×，△△×．△×．故该三棱锥的表面积是，故选：．点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．．（分）（•北京）设{}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）． 若＞，则＞ ． 若＜，则若＜，． 若若＜＜，则． 若＜，则（﹣）（﹣）＞考点： 等差数列的性质．专题： 计算题；等差数列与等比数列．分对选项分别进行判断，即可得出结论．析： 解答： 解：若＞，则＞，＞，＞时，结论成立，即不正确；若＜，则＜，＜，＜时，结论成立，即不正确；{}是等差数列，＜＜，＞，∴＞，即正确；若＜，则（﹣）（﹣）﹣＜，即不正确． 故选：． 点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）如图，函数（）的图象为折线，则不等式（）≥（）的解集是（ ）． {﹣＜≤}． {﹣≤≤} ． {﹣＜≤} ． {﹣＜≤}考点：指、对数不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用． 分析： 在已知坐标系内作出（）的图象，利用数形结合得到不等式的解集．解答：解：由已知（）的图象，在此坐标系内作出（）的图象，如图满足不等式（）≥（）的范围是﹣＜≤；所以不等式（）≥（）的解集是{﹣＜≤}；故选．本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．点评：．（分）（•北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）．消耗升汽油，乙车最多可行驶千米．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多．甲车以千米小时的速度行驶小时，消耗升汽油．某城市机动车最高限速千米小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考函数的图象与图象变化．点：专创新题型；函数的性质及应用．题：分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．解答：解：对于选项，消耗升汽油，乙车行驶的距离比小的很多，故错误；对于选项，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故错误，对于选项，甲车以千米小时的速度行驶小时，里程为千米，燃油效率为，故消耗升汽油，故错误，对于选项，因为在速度低于千米小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故正确．点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．二、填空题（每小题分，共分）．（分）（•北京）在（）的展开式中，的系数为（用数字作答）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用的指数为，求出，然后求解所求数值．解解：（）的展开式的通项公式为：﹣，答：所求的系数为：．故答案为：．点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．．（分）（•北京）已知双曲线﹣（＞）的一条渐近线为，则．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的渐近线方程为±，结合条件可得，即可得到的值．解答：解：双曲线﹣的渐近线方程为±，由题意可得，解得．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．．（分）（•北京）在极坐标系中，点（，）到直线ρ（θθ）的距离为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系与参数方程．分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．解答：解：点（，）化为．直线ρ（θθ）化为．∴点到直线的距离．故答案为：．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．（分）（•北京）在△中，，，，则．考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理求出，，即可得出结论．解答：解：∵△中，，，，∴，∴，，∴．故答案为：．点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．．（分）（•北京）在△中，点，满足，，若，则，﹣．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到，值．解答：解：由已知得到；由平面向量基本定理，得到，；故答案为：．点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（，）使，向量等式成立．．（分）（•北京）设函数（），①若，则（）的最小值为﹣；②若（）恰有个零点，则实数的取值范围是≤＜或≥．考点：函数的零点；分段函数的应用．专题：创新题型；函数的性质及应用．分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设（）﹣，（）（﹣）（﹣），分两种情况讨论，即可求出的范围．解答：解：①当时，（），当＜时，（）﹣为增函数，（）＞﹣，当＞时，（）（﹣）（﹣）（﹣）（﹣）﹣，当＜＜时，函数单调递减，当＞时，函数单调递增，故当时，（）（）﹣，②设（）﹣，（）（﹣）（﹣）若在＜时，（）与轴有一个交点，所以＞，并且当时，（）﹣＞，所以＜＜，而函数（）（﹣）（﹣）有一个交点，所以≥，且＜，所以≤＜，若函数（）﹣在＜时，与轴没有交点，则函数（）（﹣）（﹣）有两个交点，当≤时，（）与轴无交点，（）无交点，所以不满足题意（舍去），当（）﹣≤时，即≥时，（）的两个交点为，，都是满足题意的，综上所述的取值范围是≤＜，或≥．点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力与运算能力以及分类能力，属于中档题．三、解答题（共小题，共分）．（分）（•北京）已知函数（）﹣．（Ⅰ）求（）的最小正周期；（Ⅱ）求（）在区间[﹣π，]上的最小值．考点：两角与与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）运用二倍角公式与两角与的正弦公式，化简（），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（Ⅱ）由的范围，可得的范围，再由正弦函数的图象与性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）（）﹣﹣（﹣）﹣（）﹣，则（）的最小正周期为π；（Ⅱ）由﹣π≤≤，可得﹣≤≤，即有﹣，则当﹣时，（）取得最小值﹣，则有（）在区间[﹣π，]上的最小值为﹣﹣．点评：本题考查二倍角公式与两角与的正弦公式，同时考查正弦函数的周期与值域，考查运算能力，属于中档题．．（分）（•北京），两组各有位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：，，，，，，组；，，，，，，假设所有病人的康复时间相互独立，从，两组随机各选人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙．（Ⅰ）求甲的康复时间不少于天的概率；（Ⅱ）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（Ⅲ）当为何值时，，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件等价于“甲是组的第或第或第个人”，由概率公式可得；（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”∪∪∪∪∪∪∪∪∪，易得（）（），易得答案；（Ⅲ）由方差的公式可得．解答：解：设事件为“甲是组的第个人”，事件为“乙是组的第个人”，由题意可知（）（），，，••，（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于天”等价于“甲是组的第或第或第个人”∴甲的康复时间不少于天的概率（∪∪）（）（）（）；（Ⅱ）设事件为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则∪∪∪∪∪∪∪∪∪，∴（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（Ⅲ）当为或时，，两组病人康复时间的方差相等．点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式与方差，属基础题．．（分）（•北京）如图，在四棱锥﹣中，△为等边三角形，平面⊥平面，∥，，，∠∠°，为的中点．（Ⅰ）求证：⊥．（Ⅱ）求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）若⊥平面，求的值．考二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂点：直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明⊥．（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角﹣﹣的余弦值；（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求的值解答：证明：（Ⅰ）∵△为等边三角形，为的中点，∴⊥，∵平面⊥平面，⊂平面，∴⊥平面∴⊥．（Ⅱ）取的中点，连接，∵是等腰梯形，∴⊥，由（Ⅰ）知⊥平面，∵⊂平面，∴⊥，建立如图的空间坐标系，则，，，﹣，°，则（，，），（，，），（，，），（﹣，，），（﹣，﹣，），设平面的法向量为（，，），则，即，令，则，﹣，即（，﹣，），平面的法向量为，则＜＞即二面角﹣﹣的余弦值为；（Ⅲ）若⊥平面，则⊥，即，∵（﹣，﹣，），（﹣，，），∴﹣（﹣）﹣（﹣），解得．点评：本题主要考查空间直线与平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．．（分）（•北京）已知函数（），（Ⅰ）求曲线（）在点（，（））处的切线方程；（Ⅱ）求证，当∈（，）时，（）；（Ⅲ）设实数使得（）对∈（，）恒成立，求的最大值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．（）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．（）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围．解答：解答：（）因为（）（）﹣（﹣）所以又因为（），所以曲线（）在点（，（））处的切线方程为．（）证明：令（）（）﹣（），则'（）'（）﹣（），因为'（）＞（＜＜），所以（）在区间（，）上单调递增．所以（）＞（），∈（，），即当∈（，）时，（）＞（）．（）由（）知，当≤时，（）＞对∈（，）恒成立．当＞时，令（）（）﹣，则'（）'（）﹣（），所以当时，'（）＜，因此（）在区间（，）上单调递减．当时，（）＜（），即（）＜．所以当＞时，（）＞并非对∈（，）恒成立．综上所知，的最大值为．点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．．（分）（•北京）已知椭圆：（＞＞）的离心率为，点（，）与点（，）（≠）都在椭圆上，直线交轴于点．（Ⅰ）求椭圆的方程，并求点的坐标（用，表示）；（Ⅱ）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点，问：轴上是否存在点，使得∠∠？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（）根据椭圆的几何性质得出求解即可．（）求解得出（，），（，），运用图形得出∠∠，，求解即可得出即•，，根据，的关系整体求解．解答：解：（Ⅰ）由题意得出解得：，，∴，∵（，）与点（，），﹣＜＜∴的方程为：﹣，时，∴（，）（）∵点与点关于轴对称，点（，）（≠）∴点（，﹣）（≠）∵直线交轴于点，∴（，），∵存在点，使得∠∠，（，），∴∠∠，∴，即•，，∴，故轴上存在点，使得∠∠，（，）或（，﹣）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．．（分）（•北京）已知数列{}满足：∈*，≤，且（，，…），记集合{∈*}．（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；（Ⅱ）如集合存在一个元素是的倍数，证明：的所有元素都是的倍数；（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．考点：数列递推式．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ），利用可求得集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数；（Ⅲ）分是的倍数与不是的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值．解答：解：（Ⅰ）若，由于（，，…），{∈*}．故集合的所有元素为，，；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是的倍数，所以不妨设是的倍数，由（，，…），可归纳证明对任意≥，是的倍数．如果，的所有元素都是的倍数；如果＞，因为﹣，或﹣﹣，所以﹣是的倍数；于是﹣是的倍数；类似可得，﹣，…，都是的倍数；从而对任意≥，是的倍数；综上，若集合存在一个元素是的倍数，则集合的所有元素都是的倍数（Ⅲ）对≤，（，，…），可归纳证明对任意≥，＜（，，…）因为是正整数，，所以是的倍数．从而当≥时，是的倍数．如果是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，是的倍数．因此当≥时，∈{，，}，这时的元素个数不超过．如果不是的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数，不是的倍数．因此当≥时，∈{，，，，，}，这时的元素个数不超过．当时，{，，，，，，，}，有个元素．综上可知，集合的元素个数的最大值为．点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．。
2024年北京高考数学真题(详解版)
2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。
2019年北京市高考数学试卷(理科)含答案
2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数2z i =+，则(z z = ) A ．3B ．5C ．3D ．52．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( )A ．15B ．25C ．45D ．654．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( )A ．222a b =B ．2234a b =C ．2a b =D ．34a b =5．若x ，y 满足||1x y -，且1y -，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．76．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252Em m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A ．10.110B ．10.1C ．10.1lgD ．10.110-7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3． 其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 理科数学试题及解析 精编精校版
122 普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共 5 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则 A B =（ ）（A ）{0，1} （B ）{–1，0，1} （C ）{–2，0，1，2} （D ）{–1，0，1，2} 1．【答案】A【解析】Q x < 2 ，∴ - 2 < x < 2 ，因此 A I B = {-2, 0,1, 2} I (-2, 2 ) = {0,1}，故选 A ．（2）在复平面内，复数 11 - i的共轭复数对应的点位于（）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．【答案】D 【解析】 1 =1 + i = 1 + 1 i 的共轭复数为 1 - 1 i ，对应点为⎛ 1 , - 1 ⎫ ，在第四象限，1 - i故选 D ．(1 - i )(1 + i ) 22⎪ 2 2⎝ ⎭（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（ ）（A ） 123．【答案】B（B ） 56（C ） 76（D ） 712【解析】初始化数值 k = 1 ， s = 1循环结果执行如下：235 1 81 第一次： s = 1 + (-1)1 ⋅ 1 = 1， k = 2 ， k = 2 ≥ 3 不成立；2 2第二次： s = 1 + (-1)2 ⋅ 1= 5 ，k = 3 ， k = 3 ≥ 3 成立， 2 3 6循环结束，输出 s = 5，故选 B ．6（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于1 2 2 ．若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为（ ）（A ） 3 2 f（B ） 3 22 f （C ） 12 25f（D ） 12 27 f4．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为1 2 2 ，∴a = 12 2a(n ≥ 2，n ∈N )，nn -1+又 a = f ，则 a = a q 7= f (122)7= 12 27 f ，故选 D ．（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥 P - A B C D ，在四棱锥 P - A B C D 中， P D = 2 ， A D = 2 ， C D = 2 ， AB = 1 ， 由勾股定理可知， PA = 2 ， PC = 2 ， P B = 3 ，BC = ， 则在四棱锥中，直角三角形有， △ P A D ， △ P C D ， △PAB 共三个，故选 C ．（6）设 a ，b均为单位向量，则“ a - 3 b = 3a + b ”是“a ⊥b ”的（）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6．【答案】C2 242 2 【解析】 a - 3b = 3a + b ⇔ a - 3b 2 = 3a + b 2⇔ a 2 - 6a ⋅ b + 9b 2 = 9a 2 +6a ⋅ b + b 2，因为 a ， b 均为单位向量，所以 a 2 - 6a ⋅ b + 9b 2 = 9a 2 +6a ⋅ b + b 2 ⇔ a ⋅ b =0 ⇔ a ⊥ b ， 即“ a - 3b = 3a + b ”是“ a ⊥ b ”的充分必要条件．故选 C ．（7）在平面直角坐标系中，记 d 为点 P （cos θ，sin θ）到直线x - my - 2 = 0的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7．【答案】C【解析】Q cos 2 θ+ sin 2 θ= 1，∴ P 为单位圆上一点，而直线 x - my - 2 = 0过点 A (2, 0 ) ，所以d 的最大值为O A + 1 = 2 + 1 = 3 ，故选 C ．（8）设集合 A = {(x , y ) | x - y ≥ 1, ax + y > 4, x - ay ≤ 2}, 则（ ）（A ）对任意实数 a ， (2,1) ∈ A （C ）当且仅当 a <0 时，（2，1）∉ A8．【答案】D（B ）对任意实数 a ，（2，1）∉ A（D ）当且仅当 a ≤ 3时，（2，1）∉ A2 【解析】若(2,1) ∈ A ，则a >3 且 a ≥ 0 ，即若(2,1) ∈ A ，则 a > 3 ，此命题的逆否命题为，22若 a ≤ 3 ，则有(2,1) ∉ A ，故选 D ．2第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.(５分)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )
Ａ.3 ﻩB.２ ﻩC．2 ﻩD.2
８.(5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3３６1，而可观测宇宙中普通物质的原子总数Ｎ约为10８0，则下列各数中与 最接近的是(）
(1)从服药的５0名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于6０的概率;
（2)从图中A，Ｂ，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1．7的人数,求ξ的分布列和数学期望E（ξ）;
（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
18．(１4分）已知抛物线Ｃ：ｙ2＝2ｐx过点P（1,１).过点(0, ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点Ａ,B,其中O为原点．
Ａ.{ｘ|﹣2＜x＜﹣１}B.{x|﹣2<ｘ＜3}C.{x|﹣１＜x＜１}D．{x|1<ｘ＜３｝
【分析】根据已知中集合Ａ和Ｂ，结合集合交集的定义,可得答案．
【解答】解：∵集合A={ｘ|﹣２＜x<1}，B=｛x|x＜﹣1或x>3},
∴A∩B={x|﹣2<x＜﹣1}
故选：A．
【点评】本题考查的知识点集合的交集运算,难度不大，属于基础题.
（1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程;
(2）求证:Ａ为线段BM的中点.
19.（1３分）已知函数ｆ（ｘ）=excｏsx﹣x.
(1）求曲线y=f(x）在点（0,f(０））处的切线方程;
（2）求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
２0.（１3分）设｛ａn}和{bn}是两个等差数列，记cｎ=max{ｂ１﹣a1ｎ,b2﹣a2n，…，bn﹣ａｎｎ}（n=1，2，3,…),其中mａx{x1,x2，…,xs}表示ｘ１，x2，…,xs这s个数中最大的数．
∴ ,解得ａ<﹣1．
则实数a的取值范是（﹣∞,﹣１）．
A.２ﻩB． C. D.
4．(5分)若x，ｙ满足 ,则x+2ｙ的最大值为(）
A.1B．３ﻩＣ．5D．９
５．(5分)已知函数ｆ（x)＝3x﹣（ ）ｘ，则f（x）()
A．是奇函数，且在R上是增函数ﻩB.是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数,且在R上是减函数
6.(5分）设 , 为非零向量，则“存在负数λ,使得 =λ ”是“ • ＜０”的（)
(1）若aｎ＝n，bn=2n﹣1,求ｃ1，c2，ｃ3的值，并证明｛cｎ}是等差数列；
（2)证明:或者对任意正数M，存在正整数m，当ｎ≥ｍ时， ＞Ｍ；或者存在正整数m，使得cm,cm＋1,cｍ+２，…是等差数列．
ﻬ
2017年北京市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题.(每小题5分)
1．(5分)若集合Ａ={x|﹣2<ｘ<１}，B＝{ｘ｜x<﹣1或x>３},则A∩B=(）
（参考数据:lｇ3≈0.48)
A.10３３B．１05３ﻩＣ.１07３ﻩD.１093
二、填空题(每小题5分)
9.（５分)若双曲线x２﹣ =1的离心率为 ，则实数m=.
10.(5分)若等差数列｛an}和等比数列{bn}满足ａ1＝b1=﹣１,a4=b４=8，则 =.
１1.(5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρｓinθ+４＝0上,点Ｐ的坐标为（１,0），则|AP|的最小值为．
北京市高考数学考试(理科)(附详细答案)
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
２０17年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题.(每小题５分）
１.(５分)若集合A＝{x|﹣2<ｘ＜１}，Ｂ={x｜ｘ＜﹣1或x>3}，则A∩Ｂ=()
A．｛x|﹣２＜x<﹣1}ﻩB.｛x｜﹣２<x＜3}ﻩC.{ｘ|﹣1<x＜1}ﻩD．{x|1<x<3｝
2．（5分）若复数（1﹣ｉ)(a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数ａ的取值范围是（)
Ａ．(﹣∞,1）Ｂ.(﹣∞，﹣1）ﻩＣ.(1，＋∞）D.（﹣1,+∞）
3．(5分）执行如图所示的程序框图,输出的S值为(）
(1）求证：M为PＢ的中点；
(2）求二面角Ｂ﹣PD﹣A的大小；
(３）求直线ＭC与平面BＤＰ所成角的正弦值．
１７．（13分)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各５0名,一组服药，另一组不服药．一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成如图，其中“*”表示服药者,“＋”表示未服药者．
2.(5分)若复数(1﹣i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(）
Ａ．（﹣∞，1）ﻩB.（﹣∞，﹣１）Ｃ．(1，+∞)D．(﹣1，+∞）
【分析】复数(1﹣ｉ）(ａ+ｉ)=a+1＋（1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限,可得 ,解得a范围.
【解答】解：复数(1﹣ｉ)（a＋i)=a＋1+(1﹣a）i在复平面内对应的点在第二象限，
12.(５分)在平面直角坐标系ｘOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于ｙ轴对称，若sinα= ，则cｏs（α﹣β)=.
1３.（5分)能够说明“设a,b，ｃ是任意实数.若ａ＞ｂ＞c，则ａ+b＞ｃ”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为.
1４．(5分)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示,其中Aｉ的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bｉ的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1，2，３.
(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Ｑ１,Ｑ2,Ｑ3中最大的是.
(2)记ｐi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1,p2，p３中最大的是．
三、解答题
15．(13分）在△ABC中,∠A=60°，c= a.
（1）求sinC的值；
（2）若ａ=７，求△ABC的面积．
1６.（14分)如图,在四棱锥P﹣AＢCＤ中，底面ＡBCD为正方形,平面PＡＤ⊥平面AＢCD,点M在线段PB上，PD∥平面MＡＣ,PA=PD= ，AB=4.