重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)C卷精编
2019学年重庆市高二上期中理科数学试卷【含答案及解析】
2019学年重庆市高二上期中理科数学试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三总分得分、选择题2. 若直线 爲、….’•；〕 3与直线- 一平行，则实数 '的值为 A 、一- __________ B 、丄 __________ C 、1 _______ D 、—丄或 1 7 + ?3.命题二：1 ”的否定是A 、. 一 _ ..： -------- B 、_li …_ C 、I__________ D 、「■4. 双曲线 4 的焦点坐标为A 、丨：） _______________B 、（•匚] ________________C 、（I] __________________D 、（O +T J ）5.已知原命题：若-，则口仝，则它的否命题为A 、 若 ：， 一 ，贝V— __________B 、 存在 •「一 ，使 -—?C 、 若 sm x 1 ，贝V 工花一 ____________A 、1X B 、 -C141. 抛物线 十-二的准线方程为 DD 、若 二:r 三，则 6.过点j .的直线 与双曲线f■,-有且只有一个公共点，这样的直线共有A 、1 条 _________B 、2 条 _________C 、3 条 _________D 、4 条7. 过点I 丄一的直线 被圆（■, ］（' / -所截得的弦长最短时，直线 的斜率为A 、1 --------------B 、一 I ----------------C 、 「 ---------D 、8. 已知点…L 一 ，抛物线一 -一二:II 的焦点为「，直线 *与抛 物线：在第一象限交于 「点，：1， 为坐标原点，则 的面积为 9.已知曲线，：的方程分别为 —一--.■■丨一，则 “右（冷・飞）=£（吟旳）”是“点是曲线C^C,的交点”的 A 、充分不必要条件 _____________ B 、必要不充分条件C 、充要条件 _________________________________D 、既不充分也不必要条件10. 已知双曲线（一_一_—,.「.1 |的左、右焦点分别为 ：.j h~为其右支上一点，连接 交 轴于点：，若二m 为等边三角形，则双曲线:的离心率为A 、 ‘ ________B 、 、' ； _____C 、2 ________D 、11. 已知某椭圆经过点［:和点'：，且《 一. _「是它的一个焦点，则该椭圆 的另一焦点的轨迹是A 、 圆的一部分B 、 椭圆的一部分C 、 双曲线的一支C、B 、 D 、D、抛物线12. 已知点.•在以打为左焦点的双曲线上运动，点1满足，则点•到原点的最近距离为A、1 _______B、J _________C、厂___________D、2、填空题13. 抛物线■，- - ：-；i-上的点到其焦点的距离为1,则点•至9 轴的距离为14. 已知椭圆一一一一•的左、右焦点分别为.…、■…,.■为该椭圆上异于顶<? S点的一点，且乂耳E 是等腰三角形，则乂F、F、的面积为______________ .15. 已知双曲线『一_一■ :. - . |的左、右焦点分别为：、「，由护h~打向双曲线：的一条渐近线作垂线，垂足为■'，若.■- ；-.■■■的面积为一，则双曲线U 的渐近线方程为______________ •16. 已知椭圆一■ 左焦点为,，「、…、：是该椭圆上不同的三点,16 4若••是的重心，贝u…- ___________ •三、解答题17. 已知-'；:直线- _■ _ ■■ _的图象不经过第二象限，-:方程-—」 '表示焦点在•轴上的椭圆，若:为假命题，求实数•的取值1 —m范围.18. 已知…是椭圆—1--'上任意一点，」为点」在直线二' 上的射4 *D、若二:r 三，则影，. I ■,其中为坐标原点.(I)若直线 的方程为■：. = j.亠：，求 ；22. 如图所示，直线与双曲线；4及其渐近线依次交于(I)求动点 二 的轨迹 J 的方程；(□)过点订〕的直线.与(I)中曲线.■相切，求切线 的方程.19.已知产为抛物线 「…一仁；工的焦点，点”丨在抛物线：上，且 肿I ?-(I)求抛物线•：的方程；(n)过点，•.作斜率为2的直线交抛物线：于，：、.：两点，求弦汽：；的中点 坐标.20. 已知点一,点.•在双曲线f 一一 .1上 .(I)当二寸最小时，求点的坐标； (n)过 「点的直线 与双曲线：的左、右两支分别交于 …、「 两点，.为坐标原点，若 r,的面积为，求直线的方程.21. 已知椭圆.的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 j ，左顶点和上、下顶点连成的三角形为正三角形. (I)求椭圆；的方程；(n)若对于点…’ I I ,存在 轴上的另一点，，使得过..点的任意直线 ，当 与椭圆 『交于相异两点.T 、，：时，二'：'■为定值，求 的取值范围.,)四点，记（n）请根据（i）的计算结果猜想的关系，并证明之参考答案及解析第1题【答案】b I 【解析】试题分析；抛物线F T中三■所決苴准线方程为工"+、故选择艮也4第2题【答案】【解析】第4题【答案】试题分析：若直线麻匚卄2Q与賣加—1）兀一平行」需满足：厂（-1）“叮加—1）解得■a-^f故选择B ■第3题【答案】【解析】试题分析：根据特称命题的否走为全称命题'可得命题tff>0 -的否走是"fe<0.2r<0",故选择D .【解析】试题分析；艰曲绒的标淮方程为；--一—=1 J所以pTSUa- =15.A- =l2.（r =a2-^-b2=27』SP15 12z朋，所以焦点坐标为©士$JT）・故选择匚第5题【答案】C【解析】试题分析；原命题：若E=1 ,贝dx-y、它的否命题为：怜血21 ,贝,故选择C riia■第6题【答案】C【解折】试题分析：因河点（乜0）初双曲^的左顶点,所以可得直线过点（-工0）与蹦脱的两条渐近线平行时，与双曲线有一个交点，汉点（-2一0）为切点与双曲童妬目切的直线山・2 •鬲足与7X曲线有一个交点，所以共有三杀.故选痢.第7题【答案】第4题【答案】i【解析】试题分析；点（01）在（r-1/ + = 4圆内，晏使得过点.（0.1〉的直线F祕圆（工-1『卄’二4所哉得的^长最忌则该弦以（61）为中点，与圆心和（Z）连线垂直，而圆心和卩1）连线的斜率为—=■-!,所以所求直纟螂率为「故选择A.第8题【答案】【解析】试题分析:由已知可得抛物线焦点X冬0 J根抿牒二織可得IM），代入抛物线方程可<2 J灯 f ' 1 斤得p = —^― > 即M j 二一1 > 而5'认咖f = —y OJ x .v iVf = ——J SJSft®D .2 I £丿 2 4第9题【答案】B【解析】试题井析：设q方程为"G方程为2^2）1-0 ;当yxi时，满足1+1+1-2+2-1」但是点（L1）幷不是其交点，所決由“川耳小卜Z（耳耳）"推不出化点皿（％儿）是曲线uRq的交点帀,反之时成立的」所J（%片）片）称是“点杲曲线G与G的交点."的必要不充分条件，故选第10题【答案】B【解析】试题分析；；由双曲线的定义知|阳|-$理卜加、又因『Q卜|邛|」所崛何卜加・戈因対|西卜卜％；所以等边三角形WQ真边长为2样；可得|卩耳卜％,在三角形码场中』『耳卜#」舉卜加网则“匚上兀円—60°,前以由余9绽理解得3/ = K一宀由・故选择B第11题【答案】【解析】 试题分析：设桶圆的另一焦点的坐标为⑷“),由椭圆定义可得：J(-1F'+(Q P F + J(T + 1)'+(Q-2F = & -込 珂°_汀■+ J(l + 1『 4(Q-2『 整理可得： Jei- r)- -(O-y'y+(O-?y = 2^2- 2< 2满足双曲线的走义，所決是双曲线的一支,故选择C ・第12题【答案】【解析】试题分析；根据题意点/满足AP AF = O 可得，点M 在臥PF 为直径的圆匕 点川到原点的最近 距貳 即求以.PF 対直径的圓的圆心到原点锤萌减去半径得到，由團象可知为点尸在左顶点时，圆 的半径最小且此吋满足点』正好在左顶点如 所以点討到原点的聶近距當为b 故选择基第13题【答案】£ 2［解析】b 所汶到F 柚的距倉牡,故答案为g .第14题【答案】试题分析:拋物线V 2 = 2v 的准线方稈为.r = -l，点“其焦点【解析】试题分析：由已知可得：a= 2 j Et为F为该椭圆上异于顶点的一点』且丘吧咼是等腹三角執所以该三角m 2C対喊不妨i殳固耳卜|硝|・九・4 ,由椭圆定义可亀|j^|=2a-|PJj|=2 ,所以三角形底边高为W-l = ,面积磅畑皿二岛,故答案为JiaVis -第15题【答案】¥工±工【解析】试题分朴因为斥向戏曲线C的一条渐近线作垂^垂足为円,可得中见为直角三角枚且1留|"阿I"网I" 、所以三角形面积为护、又13为帖碑的面积为b2,所法可得⑷碑的面积为;澤,所以可得；品=少解得a=（? ?所以渐近纸方程为尸士「故答案为- 2 2 2y - tx .第16题【答案】3【解析】试题分析：由题育可得远叩=月,设丘三点的横坐标分别为：再”，因为打罡山恥的重心所決有逍+］+七=€命,即屮心"=-6命,根据楠圆的焦鞘跌系可第17题【答案】3 -聶” 1F卜［fl/7* <?F芒口中磁］+°牛刃^十口十配* =衍+总（工】十工，十工$）= 3 ,故答案为3 *擁皂一：0 U(L：J【解析】r试题分折：由题意可得：P为算=广"7弓=注20 < w < 1 、又.因为(-jp)v?为假』所以可得卩为真且§为假，即可求得+第18题【答案】弓为畀n 0 < 1 -J?J <]=试题解析：岸为算=2?«+1>0 w;-2<0Q为鼻=0 <] —w <1 = Q< /r/ <1由题資(¥)S为假，即卩対直且<?対假」0 UfUl5 Id(1)(x —3 P + v1=4 ；( II) r —1 菲口r = *■—A*+—.【解析】试题分析；(I ＞此题中有两个动点设主动点Mg讥)，所求点尸仗‘),因为N为点阳在直线龙二3上的射歟所汶可得九G V)根据凌二战■園可得“坷十3 耳,解得？(II)当斜率不存在时，满足题竄当切线斜率存在设f的方程3-4壬上0-1),利用ER剧直线距直为半径求的上值，即可得到亘线.试题解折：⑴ 设尸(口Mg ,V5),则JVG，v0),从而x = x fl+3 , $ = 2儿1y2=-v f又点薩椭圆一+ v: =1上】244 U丿即(l沪八4、(2)当切线斜瘁存在时，1£/的方程为二必&-1)即虹・)一去忖1=0 由相切得结合图形知另一条切线为^=\ , 故切的方程为zi和$二一L十学•4 4第19题【答案】（I ）= 8x ;（【I）（3.2）.【解析】试题分析；t I ＞由抽辆线的钗可得；3 +牛,,解得P-A 、万程为=8A5（II）可以採用点差法求得，由（I》可知巩ZQ）,设尸（珂,中点（心」丿,则片律时叽两式相誠得出工=」一=2」又中点在直线P0上…・』7=2联立•]】"■* x} - x2也+ Vr r0 -2上式可得- ^ ^试题解析；C I ＞由题知齢牛需5」・厂4 ,故C的方程为[—Sr』＜ II ） F@0），设户（入】J JQ（W J＞中点（v0.y0）,则=隔■两式相減得（丹+用＞2=^「“ = 2又中点在直线PQ上…十=2「7=3即中点坐标为（3.2）.第20题【答案】2 试题分析! ( I ) ® J )由两点间距翦公式以及取曲^C ?- F = 1可得；CII>由题知直线I^L.的斜率存在,故可设/的方程为$ =后+1 #芍咫曲钱方程联立,AQMV 的面积为■心=y l 卜［亠剧由弟达定理代入可求得-试题睥析：(I 》设P(y) J 则/M |=十G 1 -1卩二』2十2『+ 6-1爭二］［卩一+)十壬当尸t 吋，阴|最仏 故所求点p 的坐^；±~4 3 15 3< II)由题扣直线'的斜率存在,故可设F 的方程为-如1」与攻曲线方程麻立得^2A :)L-3-4Jtx-4 = 0 ,贝9氏工乙@■存卜 0肚二^r<0 即 1^2Ar- 2円LJ 冷疇匕佔解得；—护扌⑶；J 笳程为严±尹十1 •第21题【答案】【解析】< I ） —+v^=l ； （II ）用二迹或加《一还. 3 • 3 3【解析】试题分析：（I >根据左顶点和上、下顶点连成的三角形为正三角形可得a = — 2b ,又因为2c = JF ,用=L 十以可束得；（II ） i^Mn.O ） , P （x r yj , Q （呵乃），当/不与丫轴重合时 ,可设直线/ ： 2切+ » ,与椭圆E 的方程联立得g 十3卜十2切vi —3 = 0 ,整理 MP MO = (xj _ -m )+ 儿出=(-hj + ”一7"X 炽 + H J",y,即滋花为定值o ，bw沪十亠3为走值，即V 匕+ 3 :2网一斥-3=/-3=0①或一匚j — = 3②，由©式可得力=”，与题意矛盾;由②式可得2 - YT 一3hr 一 3〃〃7十3 = 0、存在点N （n.O ）即此关于“的方程有解，故△二一 24巴0即沁半或处-半，检验当人与x 重合时’访说=（朽一刀肪_耐）=,‘一3 '为同-常数titSS 解析：（I 〉宙题知 c = ^/T ，ci = ^~ 2b , ：. a = JJ ，b = 1，故E 的方程为二+ T 2 3< II ）设"（”.0）,卩仇，片）,C （Vy y 2）, 当/不与工轴重合时，可设直线/: ,与椭圆E 的方程联立得梓4 3）二4 2如4 - 3 = 0 Jw MQ = (.Vj - m\x 2 -7M )+ y\y 2 =(切十n -冊+ n - 川)+ y\y 2=炉 + l^jj'2 + Hn -力必']+ ) J+ (it-mJ=Q + l) ~~ -k(n-in )--^-+ (w - /n)2 w "2+ 3 P + 3疋+ 3fn )7~tr -312 +w :-3 , /------------ -------------------- + b? - AW F+3第22 题【答案】2“-4 _2A /7442>/7 + 4 ； "一2力-4〈II 〉“…证明略.【解析】丁双曲线方程和渐近线方程联立戸可求得ABCD 四点的纵坐标'即可求得'<11）由Q ）的计算 结果猜想初=】，证明：设，心旳2（仏小），根据相似三角形可得立二卫二匕=2 ,解得 x 2-x s y\ - » 苹竺 =屮出，同理可得心=斗厶.比=宁竺,又因为点BC.在渐近线上1 + 4 1 + 4 1+“ 】+“；FffiA ）1 = 一2心」匕=2% 二 >1 + 必耳=一2（“ +Xx 2） y } + fty\ = 2（号 + J即2厲+片二■兄（2勺+儿）2丹二-“Q 工2 - v 2） 两式相乘得即可得到.y = x + 2_4 _ r ：_ 2^7-4 *-片_277+4,y = ±2x 4，八•厂777^ （II ）由（I ）的计算结果猜想久“ =1 ,证明如下:设血”2（"）则出弋同理可得x c 弓'\ J 一二' \ ~ 又= 一2心=2龙1 + “ 14■“ •■- y\ + A V2 = -2（X] + 加2）片 + 妙2 = 2（“ 十・@ J即 2可+N = 一久（2勺 + 匕）2旺-y, =-//（2X 2 -y 2）两式相乘得4x 12-.y 12=和p2?〕即4 = "4猜想得证.试题分析:CAB =九= BD >直线尸x 十2分别。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一下·江阴期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线x+（m+1）y=2﹣m与直线mx+2y=﹣8互相垂直，则实数m=________．2. （1分） (2016高二上·友谊开学考) 以点（2，﹣1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是________．3. （1分） (2017高一下·扶余期末) 过两点A ，B 的直线l的倾斜角为45°，则m＝________．4. （1分） (2015高一下·厦门期中) 过点P（，1）且与圆x2+y2=4相切的直线方程________5. （1分）(2016·陕西模拟) 不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为________．6. （2分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，l2：2x+（a﹣1）y+2=0，若l1∥l2 ，则a=________，l1与l2的距离为________．7. （1分） (2017高一下·启东期末) 已知直线l过点P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线l的方程为________．8. （1分）(2017·蚌埠模拟) 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率π=3），则该圆柱形容器能放米________斛．9. （1分） (2017高一下·定州期末) 直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．10. （1分） (2017高二上·定州期末) 如图，过椭圆上顶点和右顶点分别作圆的两条切线，两切线的斜率之积为，则椭圆的离心率的取值范围是________．11. （1分） (2016高一上·石家庄期中) 给出下列四种说法：①函数y=ax（a＞0且a≠1）与函数y=logaax（a＞0且a≠1）的定义域相同；②函数y=x3与y=3x的值域相同；③函数y= + 与y= 都是奇函数；④函数y=（x﹣1）2与y=2x﹣1在区间[0，+∞）上都是增函数．其中正确的序号是________（把你认为正确叙述的序号都填上）．12. （1分） (2016高二上·宝应期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为________．13. （1分）已知体积相等的正方体和球的表面积分别为S1 ， S2 ，则（）3的值是________．14. （1分） (2016高二下·市北期中) 圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为________．二、解答题 (共6题；共32分)15. （10分） (2017高二下·盘山开学考) 如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）是否存在这样的E点，使得平面A1BD⊥平面EBD？若存在，请找出这样的E点；若不存在，请说明理由．16. （5分） (2017高二下·雅安期末) 已知p：﹣x2+4x+12≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．（Ⅰ）若p是q充分不必要条件，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若“￢p”是“￢q”的充分条件，求实数m的取值范围．17. （5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC=60°，AA1=AC=BC=1，A1B=．（1）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；（2）如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD．18. （2分）填空题（1）圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣15=0的最大距离是________．（2）两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是________．19. （5分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心C在直线x+y﹣1=0上，且点C在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）斜率为2的直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|=2，求直线l方程．20. （5分） (2017高一下·河北期末) 若圆C1：x2+y2=m与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0外切．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若圆C1与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，P为第三象限内一点，且点P在圆C1上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共32分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
重庆市第十一中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、单选题1．直线l 过(,),(,)()P b c b Q a c a a b ++≠两点，则直线l 的斜率为（）A ．a b a b+-B ．a b a b-+C ．1D ．1-2．若平面α的法向量为()4,4,2n =--，方向向量为(),2,1x 的直线l 与平面α垂直，则实数x =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-3．圆心为(1,1)-且过原点的圆的一般方程是（）A ．22220x y x y ++-=B ．22220x y x y +-+=C ．22220x y x y +--=D ．222210x y x y ++-+=4．椭圆22221x y a b +=和2222(0,0,,0)x y k a b a b k a b+=>>≠>一定具有（）A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长轴长5．如图，三棱锥O ABC -中,,OA a OB b OC c === ，点N 为BC 中点，点M 满足2AM MO =，则MN =（）A ．111233a b c-- B ．111322a b c-++C ．211322a b c-++D ．121332a b c-+6．若圆221:4C x y +=与圆222:()()1C x a x a -++=有公切线，则实数a 的范围是（）A ．[,]22-B ．,⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．(,1][1,)-∞-+∞D ．[1,1]-7．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆E 上，若离心率e 满足12PF e PF =，则椭圆E 的离心率e 的取值范围为（）A ．(1⎤⎦B ．20,2⎛ ⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎣⎭D ．)1,18．已知22221122121216(,,,R)x y x y x x y y +=+=∈，且12120x x y y +=，则代数式221212()(x x y y +++-的最小值为（）A ．B ．18C ．12D ．8二、多选题9．已知直线1:10l ax y ++=，直线2:10l x ay +-=，则下列说法正确的是（）A ．若12l l //，则1a =或1a =-B ．若12l l ⊥，则0a =C ．直线1l 过定点()0,1-D ．若直线2l 与坐标轴围成的三角形的面积为12，则1a =10．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为22322()x y x y +=，则下列说法正确的是（）A ．四叶草曲线有四条对称轴B ．设P 为四叶草曲线上一点，且在第一象限内，过P 作两坐标轴的垂线，则两垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为18C ．四叶草曲线上的点到原点的最大距离为14D ．四叶草曲线的面积小于π411．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，动点M 满足()1,,AM xAB y AD z AA x y z =++∈R，则（）A ．当10,2x y z ===时，则三棱锥M ABD -的体积为112B ．当11,2x y z ===时，直线AM ⊥平面1A BD C ．当1,12x y z ===时，直线//AM 平面1C BD D ．当1x y z ++=且23AM =时，点M 的轨迹长度为2π3三、填空题12．已知直线：1:210l x y +-=与直线2:2430l x y ++=，则这两直线之间的距离为．13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且△PAD 是正三角形，E 是PC 的中点，则异面直线DE 与PB 所成角的余弦值是．14．已知P ，Q 为椭圆2212516x y+=上的动点，直线PQ 与圆22():21M x y -+=相切，切点A 恰为线段PQ 的中点，当直线PQ 斜率存在时点A 的横坐标为．四、解答题15．已知ABC V 的顶点坐标分别为(2,4)A -，(1,3)B -，(2,6)C ．(1)求边AB 的垂直平分线l 的方程；(2)求三角形ABC 的外接圆方程．16．在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，1,,2AB AC AB AC AA AB ⊥==，点M 在侧棱1CC 上，且满足114CM CC =．(1)求证：1BM A C ⊥；(2)求直线1BA 与平面ABM 所成的角的正弦值．17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴长为3M 在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y kx =E 相交于不同的两点P 和Q ，当PQ =时，求实数k 的值．18．如图1所示的图形中，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PAD △和BCQ △均为直角三角形，90PDA QCB ∠=∠=︒，22PD AD CQ ===，现沿AD 和BC 将PAD △和BCQ △进行翻折，使//PD QC （,PD QC 在平面ABCD 同侧），如图2（或图3）(1)证明：//BQ 平面PAD ；(2)如图2，若PD ⊥平面ABCD ，求点Q 到平面PBD 距离；(3)如图3，若二面角P AD B --为120︒时，判断平面PBQ 与平面PBD 是否垂直？19．已如椭圆222:1(0)2x y E b b +=>的焦点在x 轴，离心率22e =，点P 在直线2x =上．(1)求实数b 的值；(2)设F 是椭圆E 的右焦点，若Q 是椭圆E 上一点，且满足0PF QF ⋅=，设直线PQ 和直线OQ（O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，证明：1212k k ⋅=-；(3)若点P 的纵坐标为12，过P 作直线l 交椭圆E 于不同的两点M 和N ，在线段MN 上取点H （异于,M N 两点）满是PM HMPN HN=，证明：点H 在定直线上．。
重庆市巴蜀中学_学年高二数学上学期期中试卷理(含解析)【含答案】
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．47．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y 轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【考点】棱柱的结构特征；球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积．【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选C【点评】本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的表面积的求法，考查计算能力．2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等 D．离心率相等【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．3．椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件直接求出方程推出离心率即可．【解答】解：椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，可得c=，解得e=．故选：D．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，基本知识的考查．4．若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选B．【点评】本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．5．已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得．【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选A．【点评】考查了学生的空间想象力及三视图的等量关系．6．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，求得A的坐标，即可得到AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，运用定义法解题是关键，考查运算能力，属于基础题．7．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选D．【点评】本题考查直线与平面成的角、直线与平面垂直的性质．8．已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】定义法；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再通过线面垂直的定义及线面垂直的判定定理进行判断，得出结论．【解答】解：∵l⊥α由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题能充分考查学生对线面垂直的定义及线面垂直定理的理解，并能对充分、必要条件的概念有个更深刻的理解．9．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①② B． ③④C． ③ D． ③②【考点】命题的真假判断与应用．【专题】运动思想；空间位置关系与距离；简易逻辑．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①、a与b相交或a与b异面，故①错误②或α与β相交，故②错误；③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；④或a⊂α，故④错误；故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】分类讨论；转化法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据椭圆的定义求出|PF2|=1，结合椭圆的焦半径公式，求出P的横坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求出切线斜率．【解答】解：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选：D．【点评】本题主要考查椭圆性质的应用，根据条件的定义结合焦半径公式求出P点的横坐标，利用导数的几何意义是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．11．已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断；基本不等式．【专题】计算题．【分析】由基本不等式可得mn的值，由分类讨论去掉绝对值可得曲线，作出两个图象可得答案．【解答】解：∵1=+≥2，∴≤，mn≥8，当且仅当，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，故曲线方程为，当x≥0，y≥0时，方程化为当x＜0，y＞0时，方程化为﹣，当x＞0，y＜0时，方程化为，当x＜0，y＜0时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线y=﹣+2与的图象，由图象可知，交点的个数为2，故选B【点评】本题考查根的存在性及判断，涉及基本不等式和圆锥曲线的知识，属中档题．12．已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+ C．e2+D．e+【考点】函数的零点．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；再设g（x）=﹣x2+2ex，从而求导得g′（x）=﹣2（x﹣e）；利用导数判断单调性求出极值，运用函数g（x）=﹣x2+2ex与直线y=k的图象的交点判断即可．【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选B．【点评】本题考查了函数的导数在求解函数最值，极值中的应用，函数零点转化为函数交点问题求解，属于中档题．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．14．设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．【解答】解：∵双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．15．圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】对应思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】画出圆锥的侧面展开图，根据展开图与圆锥的对应东西解出．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．【点评】本题考查了圆锥的侧面展开图，是一道基础题．16．抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．【考点】圆锥曲线与平面向量；直线与圆锥曲线的关系；圆锥曲线的最值问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的焦点，设直线l为x=my+1，代入抛物线方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故答案为：【点评】本题考查直线和抛物线的位置关系的综合应用，主要考查韦达定理和向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】导数的概念及应用．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）﹣9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．（2）f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈即a的取值范围【点评】本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．18．已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】（1）证明BC⊥AE．PB⊥AE，即可证明AE⊥平面PBC．（2）利用点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，求解BO即可．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC．又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．（2）∵E是AB中点，∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，又∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO．∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．∴BO为点B到平面PAC的距离．∵，∴BO=1．∴．【点评】本题考查空间点线面距离的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及距离投篮能力．19．已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）路椭圆的离心率以及焦点坐标，求出a，b，即可求解椭圆的标准方程．（2）设出A，B坐标，联立方程组，利用韦达定理以及表达式，求解弦长，通过二次函数的性质求解最值．【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．可得：；解得b=2，椭圆的方程为：．（2）设A（x1y1），B（x2y2），由∴，∴∴当．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）连接AC，CD1，推导出PQ∥CD1，由此能证明PQ∥平面D1DCC1．（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，推导出四边形FPDE是平行四边形，从而∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角，由此能求出异面直线CE和DP所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，CD1，∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，∵CD1⊂平面D1DCC1，PQ⊄平面D1DCC1，∴PQ∥平面D1DCC1．解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，设正方体棱长为a．∴FP，∴，∴．故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．在．∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y 轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设A（x1，y1），求出切线AD的方程，推出|PQ|，通过|FD|=2时，∠AFD=60°求出p=2，抛物线方程．（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为，联立直线椭圆方程组，求出P的坐标；法一：利用∠APB为锐角，数量积大于0，直线AB过（0，m），推出m的取值范围．法二：令y=kx+m，联立借助韦达定理，数量积的关系，推出【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线AD的方程为：y=，所以D（），Q（0，﹣y1）；|PQ|=，，所以|FQ|=|FA|，且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，∵|DF|=2，∠AFD=60°，∴，得p=2，抛物线方程为x2=4y（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为由，法一：，∵∠APB为锐角，∴直线AB：将（0，m）代入的，∴m的取值范围为（1，+∞）．法二：令y=kx+m，由得x2﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k，x1x2=﹣4m∴∴+（2km﹣2k）（x1+x2）+4k2+4m2=4（m﹣1）k2+4m2﹣4m＞0对任意k恒成立．∴【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，斜率的数量积的应用，考查转化思想与分析问题解决问题的能力．22．已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），从而令导数为0求极值点；（Ⅱ）求导f′（x）=ax﹣+1=，讨论a的取值以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，从而求导h′（x）=ae x﹣=，再令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），再求导p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，从而由导数的正负确定函数的单调性，从而求得h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），从而化恒成立问题为最值问题，再转化为+﹣2（a+1）≥0，从而可得0＜≤e，从而求解．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），∴a=2时，f′（x）=2x﹣+1===0，∴解得x=，x=﹣1（舍）；即f（x）的极值点为x0=．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣+1=，（1）a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；a≠0时，对二次方程ax2+x﹣1=0，△=1+4a，（2）若1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1＜0，而x＞0，故f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）若1+4a＞0，即a＞﹣时，ax2+x﹣1=0的根为x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则＞＞0，∴当x∈（，）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0，得f（x）是增函数；当x∈（0，），（，+∞）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f （x）是减函数．②若a＞0，＜0＜，∴当x∈（0，）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0得f（x）是增函数．∴综上所述，a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上是增函数，在（0，），（，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，于是h′（x）=ae x﹣=．令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），则p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，即p（x）在（0，+∞）上是增函数．∵p（x）=﹣（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，∴∃x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，此时，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，此时，h（x）单调递增，∴h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），①由p（x0）=0可得ae x0•﹣（a+1）=0，整理得ae x0=，②代入①中，得h（x0）=+﹣2（a+1），由∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x），转化为+﹣2（a+1）≥0，③因为a＞0，③式可化为+﹣2≥0，整理得﹣x0﹣1≤0，解得﹣≤x0≤1；再由x0＞0，于是0＜x0≤1；由②可得e x0•=；令m（x0）=e x0•，则根据p（x）的单调性易得m（x0）在（0，1]是增函数，∴m（0）＜m（x0）≤m（1），即0＜≤e，解得a≥，即a的最小值为．【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）以下正确命题的个数为（）①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③ 函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A .B .C .D .2. （2分）下列结论中，正确的是（）①命题“如果p2+q2=2，则”的逆否命题是“如果p+q>2，则”；②已知a,b,c为非零的平面向量．甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③p:y=ax(a>0)且是周期函数，q:y=sinx是周期函数，则是真命题；④命题p:的否定是：．A . ①②B . ①④C . ①②④D . ①③④3. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 以上均有可能4. （2分） (2019高二上·德惠期中) “k＞9”是“方程表示双曲线”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高一下·赣州期中) 下列命题正确的是（）A . 单位向量都相等B . 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C . | + |=| ﹣ |，则• =0D . 若与是单位向量，则• =16. （2分）已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列命题，其中正确的是（）A . 若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥βB . 若m∥β，n∥β，m、n⊂α，则α∥βC . 若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD . 若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β7. （2分）给出下列命题，其中错误命题的个数为（）（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面．A . 1B . 2C . 3D . 48. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .9. （2分）截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A . 圆台B . 圆柱C . 圆锥D . 球10. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1 ， B1C1的中点，O是AC与BD的交点，面OEF与面BCC1B1相交于m，面OD1E与面BCC1B1相交于n，则直线m，n的夹角为（）A . 0B .C .D .11. （2分）若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小（）A . 相等B . 互补C . 相等或互补D . 无法确定12. （2分）(2017·番禺模拟) 三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且AB⊥BC，AB=BC=AA1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A . 48πB . 32πC . 12πD . 8π二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018高二下·邗江期中) 若向量，满足条件，则 ________.14. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ ，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．15. （1分）已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱柱D﹣ABC的体积________16. （1分）(2020·漳州模拟) 已知正方体的棱长为4，点P是的中点，点M在侧面内，若，则面积的最小值为________.三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）已知命题p：方程x2﹣mx+1=0有实数解，命题q：函数f（x）=log2（x2﹣2x+m）的定义域为R，若命题p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．18. （5分） (2015高二上·福建期末) 已知命题P：方程表示双曲线；命题q：1﹣m＜t＜1+m（m＞0），若￢p是￢q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．19. （10分） (2016高三上·上海模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（1）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（2）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．20. （10分）(2020·海安模拟) 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O 上一点，且D1E＝λEO.（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.21. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠DAB= ，PA=PD，点E为CD边的中点，BD⊥PE．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若∠APD= ，四棱锥P﹣ABCD的体积为2，求点A到平面PBE的距离．22. （10分） (2017高二下·大名期中) 如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE= ，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．（1）证明：AG∥平面BDE．（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)C卷(考试)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（）A . ∀x∈R，x2+x+1≤0B . ∃x∈R，x2+x+1≤0C . ∃x∈R，x2+x+1＜0D . ∃x∈R，x2+x+1＞02. （2分）不等式x2﹣x﹣2＜0的解集为（）A . {x|﹣2＜x＜1}B . {x|﹣1＜x＜2}C . {x|x＜﹣2或x＞1}D . {x|x＜﹣1或x＞2}3. （2分）若Sn是等差数列{an}的前n项和，a2＋a10＝4，则S11的值为（）A . 12B . 18C . 22D . 444. （2分） (2016高一下·安徽期中) 在△ABC中，若2cosAsinB=sinC，则△ABC的形状一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等边三角形5. （2分）在公比大于1的等比数列中，，则（）A . 96B . 64C . 72D . 486. （2分）己知实数满足,则“成立”是“成立”的（）.A . 充分非必要条件．B . 必要非充分条件．C . 充要条件．D . 既非充分又非必要条件．7. （2分） (2018高二上·会宁月考) 设数列满足，，且（且），则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·葫芦岛期中) 设x，y满足约束条件则的取值范围是（）A . [ ， ]B . [ ， ]C . [ ， ]D . [ ，+∞]9. （2分）若＜＜0，已知下列不等式：①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④ ，其中正确的不等式个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分）(2017·襄阳模拟) 已知数列{an}满足a1=2，（n∈N*），则a1•a2•a3…a2017=（）A . ﹣6B . 6C . ﹣2D . 211. （2分） (2016高一下·宁波期中) 在△ABC中，若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形12. （2分） (2016高一下·枣强期中) 已知数列{an}满足a1=0，an+1=an+2n，那么a2003的值是（）A . 20032B . 2002×2001C . 2003×2002D . 2003×2004二、填空题. (共4题；共5分)13. （2分）若变量x，y满足约束条件，目标函数z=2x+y的最大值为7，则目标函数取最小值时的最优解为________ ，实数m的值为________14. （1分） (2018高二下·驻马店期末) 已知，函数的图像经过点，则的最小值为________．15. （1分）若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC=BC，则点A在点B的________．16. （1分）(2017·浦东模拟) 若数列{an}满足a1=12，a1+2a2+3a3+…+nan=n2an ，则a2017=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二下·孝感期中) 已知命题函数在上是减函数，命题，．（1）若为假命题，求实数的取值范围；（2）若“ 或”为假命题，求实数的取值范围．18. （10分） (2016高二下·威海期末) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，公差d≠0，且S3+S5=50，a1 ，a4 ， a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足 + +…+ =an﹣1（n∈N*），求数列{nbn}的前n项和Tn．19. （5分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若向量 =（﹣cosB，sinC）， =（﹣cosC，﹣sinB），且．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=4，△ABC的面积，求a的值．20. （5分） (2016高一上·东营期中) 已知定义域为R的函数f（x）= 是奇函数．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．21. （10分）(2018·长春模拟) 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于 ,两点，求四边形面积的最大值.22. （15分） (2017高三上·盐城期中) 已知数列{an}满足a1=﹣1，a2=1，且．（1）求a5+a6的值；（2）设Sn为数列{an}的前n项的和，求Sn；（3）设bn=a2n﹣1+a2n，是否存正整数i，j，k（i＜j＜k），使得bi，bj，bk成等差数列？若存在，求出所有满足条件的i，j，k；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题. (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
重庆市2022-2023学年高二上学期期中数学试题含解析
荣昌高24级高二上期半期考试数学试题（答案在最后）试题总分：150分考试时间：120分钟一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线0x =的倾斜角为（）A.0°B.90°C.180°D.不存在【答案】B 【解析】【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.【详解】因为直线0x =与x 轴垂直，所以直线0x =的倾斜角为90°.故选：B2.已知O 为原点，点()2,2A -，以OA 为直径的圆的方程为()A.()()22112x y -++= B.()()22118x y -++=C.()()22112x y ++-= D.()()22118x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为()11-，，半径12r OA ＝，∴圆的方程为22(1)(1)2x y -＋＋＝﹒故选：A ﹒3.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美如图．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是（）A.30°B.45°C.60°D.120°【答案】C 【解析】【分析】将多面体放置于正方体中，借助正方体分析多面体的结构，由此求解出异面直线AB 与CD 所成角的大小.【详解】如图所示：将多面体放置于正方体中，以点O 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2则()()()()1,0,2,0,1,2,0,2,1,1,2,0A B C D ()1,1,0AB =- ，()1,0,1CD =-，设异面直线AB 与CD 所成角为θ所以11cos 222AB CD AB CDθ⋅===⋅⋅，故60θ= 故选：C4.求空间中点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '与()1,1,5B -的长度为A.6 B.26C.3D.214【答案】D 【解析】【分析】先求出点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '的坐标，再利用空间两点的距离公式可得结果.【详解】点()3,3,1A 关于平面XOY 的对称点A '的坐标为()3,3,1-，所以，A '与()1,1,5B -的长度为()()()222'31311514A B =++-+--=，故选D.【点睛】本题主要考查空间两点的距离公式的应用，属于基础题.5.已知直线l 1，l 2分别过点P (－1，3)，Q (2，－1)，若它们分别绕点P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离d 的取值范围为（）A.(0，5]B.(0，5)C.(0，+∞)D.(0]【答案】A 【解析】【分析】先判断当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.【详解】当两直线l 1，l 2与直线PQ 垂直时，两平行直线l 1，l 2间的距离最大，最大距离为5PQ ==所以l 1，l 2之间的距离的取值范围是(]0,5.故选：A6.三棱锥S ABC -中，SA ⊥底面ABC ，4SA =，3AB =，D 为AB 的中点，90ABC ∠=︒，则点D 到面SBC 的距离等于（）A.125 B.95C.65D.35【答案】C 【解析】【分析】在三角形SAB 内作AE ⊥SB 交SB 于E ，进而根据条件证明AE ⊥面SBC ，算出AE 的长度，再根据D 为AB 的中点得到答案.【详解】如图，在三角形SAB 中，过A 作AE ⊥SB 交SB 于E ，因为SA ⊥面ABC ，所以SA BC ⊥，又AB BC ⊥，SA AB A ⋂=，所以BC ⊥面SAB ，因为AE ⊂面SAB ，所以BC AE ⊥，而AE ⊥SB ，且BC SB B = ，所以AE ⊥面SBC .在三角形SAB 中，由勾股定理易得5SB =，则由等面积法可得：125AE =，因为D 为AB 的中点，所以D 到平面SBC 的距离为：65.故选：C.7.已知点(2,0)A -，点(4,0)B ，点P 在圆22(3)(4)20x y -+-=上，则使得PA PB ⊥的点P 的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】利用PA PB ⊥求出点P 的轨迹方程为22(1)9x y -+=，再根据圆心距与两圆的半径的和的大小关系可得两圆相交，从而可得结果.【详解】因为点(2,0)A -，点(4,0)B ，且PA PB ⊥，所以点P 的轨迹是以AB 为直径的圆，圆心(1,0)C ，半径为3，其方程为22(1)9x y -+=，==，两圆的半径和为3+，因为3+>，所以两圆相交，所以满足条件的点P 的个数为2，故选：C8.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,,,E F G M N 分别是111,,,,AB BC BB AA CC 的中点，过,M N 的平面α与平面EFG 平行，以平面α截该正方体得到的截面为底面，1D 为顶点的棱锥记为棱锥Ω，则棱锥Ω的外接球的表面积为（）A.25π12B.25π3C.π D.25π9【答案】B【解析】【分析】求出平面α与正方体的截面，利用棱锥外接球的性质求出球半径，即可得出球表面积.【详解】分别取1111,,,AD DC A B B C 的中点,,,P Q S R ，依次连接,,,,,M P Q N R S 得到正六边形,如图，由//,EF PQ EF ⊄平面MPQNRS ，PQ ⊂平面MPQNRS ，可知//EF 平面MPQNRS ，同理//EG 平面MPQNRS ，又EF EG G = ，,EF EG ⊂平面EFG ，所以平面MPQNRS 与平面EFG 平行，所以该正六边形就是平面α与正方体的截面，设该棱锥的外接球球心为O ，半径为R '，如图，连接,,MN SQ PR 相交于点K ，连接1D K ，则球心O 在线段1D K 上，连接RO ，因为12KR MK PQ AC ====，1D M ==，所以1D K ==，所以在Rt ORK △中可得)222'R R =+'-，解得6R '=，所以外接球的表面积为225π4π3S R '==,故选：B二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l 的方程为3260x y -+=，则（）A.直线l 在x 轴上的截距为2B.直线l 在y 轴上的截距为3C.直线l 的倾斜角为锐角D.过原点O 且与l 垂直的直线方程为230x y +=【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线方程，分别令0,0x y ==即可判断AB ，由直线斜率可判断C ，求出原点O 且与l 垂直的直线方程即可判断D.【详解】在3260x y -+=中，令0y =，得2x =-，所以A 不正确；令0x =，得3y =，所以B 正确；因为直线l 的斜率为302k =>，所以直线l 的倾斜角为锐角，故C 正确；因为与l 垂直的直线方程可设为230x y m ++=，又直线过原点，所以0m =，故D 正确.故选：BCD10.已知直线1:230l ax y a ++=和直线()2:3170l x a y a +-+-=，下列说法正确的是（）A.当3a =时，12l l //B.当2a =-时，12l l //C.当25a =时，12l l ⊥ D.直线1l 过定点()3,0-，直线2l 过定点()2,1-【答案】ACD 【解析】【分析】根据两直线垂直和平行的判定，以及将直线一般式换成斜截式、点斜式判断过定点问题，上述过程中注意区分a 等于1和不等于1的情况.【详解】对A 和B ，如果12l l //，则1l 和2l 的斜率相等，1a ≠时321a a -=--，26a a -=，解得3a =或2a =-.当1a =时，1:230l x y ++=，2:2l x =-，两直线既不平行也不垂直.当3a =时，1:3290l x y ++=，2:3240l x y ++=，，A 对.当2a =-时，1:30l x y -+-=，2:30l x y -+-=，，B 错.对C ，当25a =时，121525k =-=-，235215k =-=-，221k k ⋅=-，所以12l l ⊥，C 对.对D ，1:230l ax y a ++=转化为斜截式为()32a y x =--，即()032ay x -=--，所以1l 过定点()3,0-.同理，()2:3170l x a y a +-+-=，1a ≠时转化为斜截式为()3211y x a =--+-，即()3121y x a -=---，2l 过定点()2,1-；1a =时，2l 为2x =-，也过定点()2,1-，D 对.故选：ACD.11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B .点P 满足12PA PB=，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（）A.C 的方程为()22416x y ++= B.在C 上存在点D ，使得D 到点（1，1）的距离为10C.在C 上存在点M ，使得2MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最大距离为9【答案】AD 【解析】【分析】由题意可设点(),P x y ，由两点的距离公式代入化简可判断A 选项；由两点的距离公式和圆的圆心得出点（1，1）到圆上的点的最大距离，由此可判断B 选项.设00(,)M x y，由已知得=C 选项；由点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此可判断D 选项.【详解】解：由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，12PA PB=12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，故A 正确；点（1，1410<，故不存在点D 符合题意，故B 错误.设00(,)M x y ，由2MO MA ==，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，故C 错误；C 的圆心（-4，0）到直线34130x y --=的距离为()341355d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最大距离549d r +=+=，故D 正确；故选：AD.12.若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且1AP mAD nAA =+，其中[0,1],[0,1]m n ∈∈，则下列结论正确的是（）A.当12m =时，三棱锥1P BDB -的体积为定值B.当12n =时，三棱锥1P BDB -的体积为定值C.当1m n +=时，PA PB +的最小值为2+D.若111PD B B D B ∠∠=，点P 的轨迹为一段圆弧【答案】AC 【解析】【分析】当12m =时，可得点P 的轨迹，根据线面平行的判定定理及性质，可得P 到平面1BDB 的距离不变，即可判断A 的正误；当12n =时，可得点P 的轨迹，利用反证法可证，P 到平面1BDB 的距离在变化，即可判断B 的正误；当1m n +=时，可得1A P D 、、三点共线，利用翻折法，可判断C 的正误；如图建系，求得各点坐标，分别求得1PD B ∠和11B D B ∠的余弦值，列出方程，计算分析，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】因为1AP mAD nAA =+，其中[0,1],[0,1]m n ∈∈，所以点P 在平面11ADD A 内运动，对于A ：取AD 中点E 、11A D 中点F ，连接EF ，所以11EF AA BB ∕∕∕∕，因为EF ⊄平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，所以EF ∕∕平面1BDB ，当12m =时，则112AP AD nAA =+ ，所以点P 在线段EF 上运动，因为EF ∕∕平面1BDB ，所以无论点P 在EF 任何位置，P 到平面1BDB 的距离不变，即高不变，所以三棱锥1P BDB -的体积为定值，故A 正确；对于B ：取1AA 中点G ，1DD 中点H ，连接GH ，当12n =时，112AP mAD AA =+ ，所以点P 在GH 上运动，假设GH ∕∕平面1BDB ，又1GA BB ∕∕，GA ⊄平面1BDB ，1BB ⊂平面1BDB ，所以GA ∕∕平面1BDB ，因为,,GA GH G GH GA ⋂=⊂平面GHDA ，所以平面GHDA ∕∕平面1BDB ，与已知矛盾，故假设不成立，所以GH 不平行平面1BDB ，所以P 在GH 上运动时，P 到平面1BDB 的距离在变化，所以三棱锥1P BDB -的体积不是定值，故B 错误；对于C ：连接1A D ，1A B ，BD ，当1m n +=时，可得1A P D 、、三点共线，将11AA D 沿1A D 翻折至与平面1A BD 共面，如下图所示连接AB ，当P 为AB 与1A D 交点时，PA PB +最小，即为AB ，因为11,,A B A D BD 均为面对角线，所以112A B A D BD ==，即1A BD 为等边三角形，又1=90A AD ∠︒，1=1A A AD =，所以1105ADB AA B ∠=∠=︒，1ADB AA B ≌，所以30ABD ∠=︒在ADB 中，由正弦定理得sin sin AB ADADB ABD=∠∠，所以()126sin1052sin 45cos 60cos 45sin 60sin 302AB =⨯︒=︒︒+︒︒=︒，故C 正确；对于D ：分别以DA 、DC 、1DD 为x ，y ，z 轴正方向建系，如图所示，则1(1,1,0),(0,0,1)B D ，设(,0,)P x z ，所以11(,0,1),(1,1,1)D P x z D B =-=- ，所以1112211cos (1)3D P D B PD B D P D B x z ⋅∠==+-⋅ 因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111BB B D ⊥，又111=2,3B D BD =，所以111116cos 3B D B D B BD ∠==，2263(1)3x z =+-⋅，整理得2222210x xz z x z ++--+=，所以2(1)0x z +-=，即10x z +-=，[0,1],[0,1]x z ∈∈所以P 点轨迹为线段，故D错误故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握线面平行判定与性质，向量共线、数量积求夹角等知识，综合性较强，难度较大，考查学生分析理解，计算求值的能力，属难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设直线12,l l 的方向向量分别为()()1,2,2,2,3,a b m =-=- ，若12l l ⊥，则实数m 等于___________.【答案】2【解析】【分析】根据向量垂直与数量积的等价关系，120l l a b ⊥⇔⋅=r r，计算即可.【详解】因为12l l ⊥，则其方向向量a b ⊥ ，1(2)23(2)0a b m ⋅=⨯-+⨯+-=r r ，解得2m =.故答案为：2.14.若直线1l 的倾斜角为30°，直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为______.【答案】120°【解析】【分析】由直线垂直及直线倾斜角的定义确定直线2l 的倾斜角大小.【详解】由21l l ⊥，即直线21,l l 夹角为90°，又直线倾斜角θ范围为0θ︒≤<180°，而直线1l 的倾斜角为30°，所以直线2l 的倾斜角为120°.故答案为：120°15.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为144π，则圆台的体积为___________.【答案】【解析】【分析】设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h ，进而并根据轴截面中的几何关系得h =，再计算体积即可得答案.【详解】解：设半球半径为R ，圆台上底面圆半径为3r =，圆台的高为h .所以，作出轴截面，如图，因为半球的体积为144π，所以312π144π23V R ==球，解得6R =，由题意知222R r h =+，代入解得33h =，所以，圆台体积11(33(9π36π9π36π)633π33V h S S S S =++=⨯+⨯=下下圆台上上.故答案为：633π16.已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点，且直线1:30l mx ny m n --+=与直线222:30(,R,0)l nx my m n m n m n +--=∈+≠相交于点P ，则PM 的取值范围是______________.【答案】[21,321]-【解析】【分析】根据直线系求出定点，再由垂直确定动点轨迹为圆，根据圆心距离判断圆的位置关系，利用圆的几何性质求出PM 取值范围即可.【详解】依题意，直线1:(3)(1)0l m x n y ---=恒过定点(3,1)A ，直线2:(1)(3)0l n x m y -+-=恒过定点()1,3B ，因为()0mn n m +-=，所以直线12l l ⊥，因此，直线1l 与2l 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为：22(2)(2)2x y -+-=，圆心(2,2)N ，半径22r =而圆C 的圆心(0,0)C ，半径11r =，如图：12||2NC r r =>+，两圆外离，由圆的几何性质得：min 12||||21PM NC r r =--=，max 12||||21PM NC r r =++=，所以PM 的取值范围是：[21,321]-+.故答案为：[21,321]-四、解答题：本题共有6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知直线l 经过点(4,3)P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）若OAB 面积为24，求直线l 的方程．【答案】（1）7241000x y +-=（2）34240x y +-=【解析】【分析】（1）设直线方程，利用点到直线的距离求出斜率即可得解；（2）设出直线方程，求出截距，利用面积求出斜率即可得解.【小问1详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即430kx y k --+=，则点O 到直线l 的距离241d k ==+，解得724k =-.故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=.【小问2详解】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即430kx y k --+=，令0x =，可得43y k =-+，令0y =，可得34x k=-，所以13(34)(4)242ABC S k k =⨯--=△，即2162490k k ++=，解得34k =-，故所求直线方程为34240x y +-=.18.如图，已知圆锥的底面半径2r =，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，点Q 为半圆弧»AB的中点，点P 为母线SA 的中点．（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ 与SO 所成角的余弦值．【答案】（1）12π（2）4【解析】【分析】（1）根据圆锥轴截面及表面积公式计算即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线夹角的余弦即可.【小问1详解】∵圆锥的底面半径2r =，经过旋转轴SO 的截面是等边三角形SAB ，可得4SA =，∴圆锥的表面积21π24π412π2S =⨯+⨯⨯=．【小问2详解】以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，由题意可得23SO =(()()()0,0,3,0,0,0,0,2,0,2,0,0S O A Q ，(3P ，则((3,,,2,01,032SO PQ =-=-- ，设异面直线PQ 与SO 所成角的大小为θ，则||66cos 4||||46SO PO SO PQ θ⋅=== ，故异面直线PQ 与SO 所成角的余弦值为64.19.已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心()0,15，l 与圆相交；（217﹒【解析】【分析】（1）将圆的方程化为标准方程即可求其圆心C 和半径r ，求出直线l 经过的定点，判断定点与圆的位置关系即可判断l 与圆的位置关系；（2）求出圆心到直线的距离d ，根据222AB r d =-【小问1详解】由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 5又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．【小问2详解】由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m=tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l10y +=的距离2d ==，∴||AB ===．20.如图，已知在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 折起到1A DE △（1A ∉平面ABCD ）的位置，M 为线段1AC 的中点.（1）求证：BM ∥平面1A DE ；（2）已知2AB AD ==1A DE ⊥平面ABCD 时，求直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ，根据中位线证明1BM A P ，得到证明.（2）证明1A O ON ⊥，以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，计算平面1A DC 的一个法向量为()1,1,1m = ，根据夹角公式计算得到答案.【详解】（1）延长CB 与DE 相交于点P ,连接1A P ,∵E 为AB 边的中点，四边形ABCD 为矩形，∴BE CD ∥,12BE CD =,∴BE 为PCD 的中位线，∴B 为线段CP 的中点，∵M 为线段1AC 的中点，∴1BM A P ∵BM ⊄平面1A DE ，1A P ⊆平面1A DE ,∴BM ∥平面1A DE.（2）∵2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴AD AE =,即11A D A E =,取线段DE 的中点O ,连接1AO ,ON ,则由平面几何知识可得1AODE ⊥,ON CE ,又∵四边形ABCD 为矩形，2AB AD =,E 为边AB 的中点，∴DE CE ⊥,DE ON ⊥,∵平面1A DE ⊥平面ABCD ，平面1A DE 平面ABCD DE =,1AO DE ⊥,∴1A O ⊥平面ABCD ，∵ON ⊆平面ABCD ，∴1A O ON ⊥,∴以O 为原点，1,,ON OD OA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()1,2,0B -,()2,1,0C -,1(0,0,1)A ,111,,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(0,1,0)D ,310,,22BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1(2,1,1)A C =-- ,()2,2,0DC =- ,设平面1A DC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，则100m A C m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x y z x y --=⎧⎨-=⎩，不妨取1x =，则1y =，1z =，即()1,1,1m = ，设直线BM 与平面1A DC 所成角为θ，则sin |cos ,|15||||m BM m BM m BM θ⋅===⋅ ，∴直线BM 与平面1A DC 所成角的正弦值为15.【点睛】本题考查了线面平行和线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.21.已知圆22:20C x y y +-=，点(4,2)G .（1）求过点G 并与圆C 相切的直线方程；（2）设P 为圆C 上任意一点，线段AB 在x 轴上运动（A 在B 左边），且1=AB ，求+PA BG 的最小值.【答案】（1）81520x y --=或2y =（2）1【解析】【分析】（1）设切线方程为()24-=-y k x ，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案；（2）AP 的最小值可转化为A 到圆心C 的距离减去半径的最小值，所求+PA BG 的最小值即求1+-AC BG的最小值，设(),0A a ，则()1,0+B a ，由11+-=AC BG ，转化为(),0D a 到()0,1N 和()3,2M 的距离的最小值减去1，结合图象可得答案.【小问1详解】圆()22:11+-=C x y ，由已知过点(4,2)G 的切线的斜率存在，设其切线方程为()24-=-y k x ，1=，解得815k =或0k =，所以切线方程为()82415-=-y x 或20y -=，即81520x y --=或2y =.【小问2详解】AP 的最小值可转化为A 到圆心C 的距离减去半径的最小值，所以求+PA BG 即求1+-AC BG 的最小值，设(),0A a ，则()1,0+B a ，所以11+-=AC BG1=+，可看作(),0D a 到()0,1N 和()3,2M 的距离的最小值减去1，取点N 关于原点对称的点()0,1E -，连接ME ，此时ME 的长度最小即+ACBG最小，且==ME 所以1+-AC BG 的最小值为1-，此时直线ME 的方程为1y x =-，即1a =.22.如图，三棱锥-P ABC 中，点P 在底面的射影O 在ABC 的高CD 上，Q 是侧棱PC 上一点，截面QAB与底面ABC 所成的二面角的大小等于OPC ∠的大小.（1）求证：PC ⊥平面QAB ；（2）若4,2DQ PQ DA DB ====，求平面ABP 与平面BPC 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）15【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量处理面面夹角问题.【小问1详解】连接DQ∵PO ⊥平面ABC ，,CD AB ⊂平面ABC ，则,PO AB PO CD⊥⊥又∵CD AB ⊥，PO CD O = ，,PO CD ⊂平面PCD∴AB ⊥平面PCD,PC DQ ⊂平面PCD ，则,AB PC AB DQ⊥⊥∴截面QAB 与底面ABC 所成二面角的平面角为CDQ ∠，则CDQ OPC∠∠=∴90DQC POC ∠∠==︒，即DQ PC⊥AB DQ D = ，,AB DQ ⊂平面QAB∴PC ⊥平面QAB【小问2详解】如图，以Q 为坐标原点，,,QD DB QP所在的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有：()()()()0,0,0,0,0,2,4,2,0,4,2,0Q P A B -()()0,0,2,4,2,0QP QB == 设平面BPC 的法向量为(),,n x y z = ，则20420n QP z n QB x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 令1x =，则2,0y z =-=∴()1,2,0n =- 同理可得：平面ABP 的法向量为()1,0,2m = ∵1cos ,5n m n m n m ⋅== ∴平面ABP 与平面BPC 所成夹角的余弦值为15.。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
重庆市高二上学期期中数学试卷(理科)
重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二上·长沙月考) 过点的直线与椭圆交于，两点，且点平分，则直线的方程为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高三上·云南期末) 程序框图如图所示，若输入a的值是虚数单位i ，则输出的结果是（）A .B .C . 0D .3. （2分）已知10b1(2)=a02(3),则a+b的值为（）A . 0B . 1C . 2D . 34. （2分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）已知P为椭圆上的一点，，分别为椭圆的上、下顶点，若△的面积为6，则满足条件的点P的个数为（）A . 1B . 2C . 4D . 66. （2分） (2018高一下·河南月考) 用系统抽样（等距）的方法从含有120个个体的总体中抽取容量为10的样本，将总体编号为1-120，若编号为114的个体被抽到，则以下编号未被抽到的是（）A . 30B . 40C . 66D . 907. （2分）椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O是椭圆中心，则|ON|的值是（）A . 2B . 4C . 8D .8. （2分） (2017高二下·黄山期末) 下列命题正确的是（）A . 命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0B . 命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0C . “ ”是“ ”的必要而不充分条件D . 命题“cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题9. （2分） (2018高一下·枣庄期末) 某人在打靶中，连续射击次，至多有一次中靶的对立事件是（）A . 至少有一次中靶B . 两次都中靶C . 两次都不中靶D . 恰有一次中靶10. （2分）椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1,PF2的中点分别为M,N,O为坐标原点，四边形OMPN的周长为，则△PF1F2的周长是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·上高模拟) 已知过抛物线G：y2=2px（p＞0）焦点F的直线l与抛物线G交于M、N两点（M在x轴上方），满足，，则以M为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A .B .C .D .12. （2分） (2020高二下·大庆月考) 圆上到直线的距离为的点共有（）A . 个B . 个C . 个D . 个二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是________ ．14. （1分）(2019·黄山模拟) 已知椭圆C （a>1）的焦点为F1、F2 ，以原点为圆心、椭圆的焦距为直径的⊙O与椭圆C交于点P，则△PF1F2=________.15. （1分） (2016高一上·太原期中) 集合{﹣1，1}共有________个子集．16. （1分） (2019高二上·龙潭期中) 已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ， B两点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是________．三、解答题 (共6题；共70分)17. （15分） (2019高二下·上海期末) 若集合具有以下性质：（1）且；（2）若，，则，且当时，，则称集合A为“闭集”.（1）试判断集合是否为“闭集”，请说明理由；（2）设集合是“闭集”，求证：若x，，则；（3）若集合是一个“闭集”，试判断命题“若，，则”的真假，并说明理由.18. （15分） (2016高一上·德州期中) 某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28）50.5第2组[28，38）18a第3组[38，48）270.9第4组[48，58）x0.36第5组[58，68）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. （10分） (2016高二上·六合期中) 已知椭圆的右焦点F（m，0），左、右准线分别为l1：x=﹣m﹣1，l2：x=m+1，且l1 ， l2分别与直线y=x相交于A，B两点．（1）若离心率为，求椭圆的方程；（2）当• ＜7时，求椭圆离心率的取值范围．20. （10分） (2020高三上·湛江月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为：，P为椭圆E上除长轴端点外任意一点，周长为12．（1）求椭圆E的方程；（2）作的角平分线，与x轴交于点，求实数m的取值范围．21. （10分） (2019高二下·吉林月考) 某数学兴趣小组有男女生各5名．以下茎叶图记录了该小组同学在一次数学测试中的成绩(单位：分)．已知男生数据的中位数为125，女生数据的平均数为126.8.（1）求的值；（2）现从成绩高于125分的同学中随机抽取两名同学，求抽取的两名同学恰好为一男一女的概率．22. （10分） (2019高三上·天津期末) 已知椭圆的焦距为8，其短轴的两个端点与长轴的个端点构成正三角形.（1）求的方程；（2）设为的左焦点，为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点 .（ⅰ）证明: 平分线段 (其中为坐标原点)；（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
重庆七中高二(上)期中数学试卷含答案
本题考查了直线与圆相交问题、向量的坐标运算，考查了推理能力和计算能力，属于中
档题．
9.【答案】B
【解析】解：如图，
设圆(푥
+ 3)2 +(푦−2)2 = 1的圆心为 C，则퐶(−3,2)，半径 푟
= 1．
点퐵(1,1)关于 x 轴的对称点퐵′(1,−1)，连接퐵′퐶，交圆 C 与 A，交 x 轴于 P，
∵ 훼 ∈ [0,휋),훼 ≠ 2, ∴ 훼 = 60°
∴ 直线 AB 的倾斜角훼 = 60°．
故选：C． 由直线经过퐴(0,1)，퐵(3,4)两点，能求出直线 AB 的斜率，从而能求出直线 AB 的倾斜
角．
本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地
进行等价转化．
2.【答案】D
【分析】
本题考查圆锥的体积、侧面积，以及轴截面问题，属于中档题． 设底面半径为 r，母线为 l，由轴截面是等腰直角三角形得푙 = 2푟，代入푆侧 = 휋푟푙求出 r 和 l，再求出圆锥的高，代入体积公式计算．
【解答】
解：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， ∵ 圆锥的轴截面是等腰直角三角形， ∴ 2푟 = 푙2 + 푙2，即푙 = 2푟， 由题意得，侧面积푆侧 = 휋푟푙 = 2휋푟2 = 16 2휋， 解得푟 = 4， ∴ 푙 = 4 2，圆锥的高ℎ = 푙2−푟2 = 4，
1中， 1与平面
所成的角为___，퐴퐷//퐵퐶，∠퐴퐵퐶 = 90°，
图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表
面积和体积分别是______和______．
16. 已知圆 C：(푥−4)2 +(푦−3)2 = 4和两点퐴(−푚,0)，퐵(푚,0)(푚 > 0).若圆 C 上存在点 M，使得퐴푀 ⊥ 푀퐵，则 m 的最小值为______
数学-高二-重庆七中高二(上)期中数学试卷(理科)
2016-2017学年重庆七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每题5分，共60分）1．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．异面或相交B．相交 C．异面 D．平行2．设A（1，﹣1，1），B（3，1，5），则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是（）A．在y轴上 B．在xOy面内C．在xOz面内D．在yOz面内3．在四面体O﹣ABC中，点P为棱BC的中点．设，，，那么向量用基底{，， }可表示为（）A．B．C．D．4．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的体积为12π，则该几何体的侧面积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m⊥β的是（）A．α⊥β，m⊂αB．m⊥α，α⊥βC．m⊥n，n⊂βD．m∥n，n⊥β6．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的（）A．B．C．D．7．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（）A．90°B．45°C．60°D．30°8．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6，O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）A．48 B．64 C．96 D．1289．半径为2cm的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（）A．B．C．2cm D．4cm10．如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（）A．点P到平面QEF的距离B．三棱锥P﹣QEF的体积C．直线PQ与平面PEF所成的角D．二面角P﹣EF﹣Q的大小11．已知四面体ABCD的侧面展开图如图所示，则其体积为（）A．2 B．C．D．12．已知正三棱锥P﹣ABC底面边长为6，底边BC在平面α内，绕BC旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是（）A．（0，∪hslx3y3h，3 D．（0，3，B．（0，，3 D．（0，3，hslx3y3h【考点】棱锥的结构特征．【分析】利用选择题的特点，借助题中答案的端点值判断，当△PBC在平面α内时，它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，再求出P不在平面α内时的部分范围，结合选项得答案．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的高为h，在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE=×，当h=时，PE=，PB==，△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合，P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=3⇒PE=＞3，又PE==＞3，∴h2＞6，∴h＞．由选项可知B符合，故选：B．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C和平面ABCD所成的角的度数为45°．【考点】直线与平面所成的角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出B1C和平面ABCD所成的角的度数．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，B1（1，1，1），C（0，1，0），=（﹣1，0，﹣1），面ABCD的法向量=（0，0，1），设B1C和平面ABCD所成的角为θ，则sinθ===．∴θ=45°．∴B1C和平面ABCD所成的角的度数为45°．故答案为：45°．14．若一个圆台的正视图如图所示，则其体积等于．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据已知，求出圆台的上下底面面积，及高，代入圆台体积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：圆台的上底面直径为2，半径为1，面积为：π，圆台的下底面直径为4，半径为2，面积为：4π，圆台的高为2，故圆台的体积V==，故答案为：．15．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60°，且A1C=，则A1A=3．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设=x＞0．由=+，可得：=+++++=5，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：设=x＞0．∵=+，∴=+++++=x2+1+1+2（﹣xcos60°﹣xcos60°+0）=5，∴x2﹣2x﹣3=0，解得x=3．故答案为：3．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题：17．如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为（，0），点D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．（1）求向量的坐标（2）求向量的夹角的余弦值大小．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量运算的坐标表示．【分析】（1）由∠BDC=90°，∠DCB=30°，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，可得D的坐标，从而可得的坐标；（2）求出的坐标，利用向量的夹角公式，即可求的夹角的大小．【解答】解：（1）由∠BDC=90°，∠DCB=30°，在平面yOz上，过点D作y轴的垂线，垂足为E，得DO=OB=OC=1，所以，即的坐标为（2）∵，，B（0，﹣1，0），C（0，1，0）∴，，∴18．已知长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，E为D1C1的中点，如图所示．（Ⅰ）在所给图中画出平面ABD1与平面B1EC的交线（不必说明理由）；（Ⅱ）证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接BC1交B1C于M即可得到平面ABD1与平面B1EC的交线；（Ⅱ）根据线面平行的判定定理即可证明：BD1∥平面B1EC；（Ⅲ）方法1，根据几何法作出二面角的平面角即可求平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小．方法2，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解．【解答】解：（Ⅰ）连接BC1交B1C于M，则直线ME即为平面ABD1与平面B1EC的交线，如图所示；…（Ⅱ）由（Ⅰ）因为在长方体AC1中，所以M为BC1的中点，又E为D1C1的中点所以在△D1C1B中EM是中位线，所以EM∥BD1，…又EM⊂平面B1EC，BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC；…（Ⅲ）因为在长方体AC1中，所以AD1∥BC1，平面ABD1即是平面ABC1D1，过平面B1EC上点B1作BC1的垂线于F，如平面图①，因为在长方体AC1中，AB⊥平面B1BCC1，B1F⊂平面B1BCC1，所以B1F⊥AB，BC1∩AB=B，所以B1F⊥平面ABD1于F．过点F作直线EM的垂线于N，如平面图②，连接B1N，由三垂线定理可知，B1N⊥EM．由二面角的平面角定义可知，在Rt△B1FN中，∠B1NF即是平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的平面角．因长方体AC1中，AD=AB=2，AA1=1，在平面图①中，，…，，C1E=1，在平面图②中，由△EMC1相似△FMN1可知==，所以tan∠B1NF==，所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为arctan2．…空间向量解法：（Ⅰ）见上述．…（Ⅱ）因为在长方体AC1中，所以DA，DC，DD1两两垂直，于是以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AD=AB=2，AA1=1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（2，2，0），B1（2，2，1），C（0，2，0），E（0，1，1）．所以，，，…令平面B1EC的一个法向量为所以，，从而有，，即，不妨令x=﹣1，得到平面B1EC的一个法向量为，而，所以，又因为BD1⊄平面B1EC，所以BD1∥平面B1EC．…（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，令平面ABD1的一个法向量为，所以，，从而有，，即，不妨令x=1，得到平面ABD1的一个法向量为，…因为=．…所以平面ABD1与平面B1EC所成锐二面角的大小为．…19．如图，在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为边长为的正方形，PA⊥BD．（1）求证：PB=PD；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连结PO，则AC⊥BD，结合PA⊥BD得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PO，又O为BD的中点，得出OP为BD的中垂线，得出结论；（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，证明四边形AQEF是平行四边形，于是AQ⊥平面PCD，通过证明CD⊥平面PAD得出CD⊥PA，结合PA⊥BD得出PA⊥平面ABCD，以A为原点建立空间直角坐标系，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值等于|cos＜＞|，从而得出线面角的大小．【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连结PO．∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB=OD．又PA⊥BD，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO．又OB=OD，∴PB=PD．（2）设PD的中点为Q，连接AQ，EQ，则EQ∥CD，EQ=CD，又AF∥CD，AF==，∴EQ∥AF，EQ=AF，∴四边形AQEF为平行四边形，∴EF∥AQ，∵EF⊥平面PCD，∴AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥PD，∵Q是PD的中点，∴AP=AD=．∵AQ⊥平面PCD，∴AQ⊥CD，又AD⊥CD，AQ∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA．又BD⊥PA，BD∩CD=D，∴PA⊥平面ABCD．以A为坐标原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（，0，0），P（0，0，），A（0，0，0），Q（0，，）．∴=（0，，），=（，0，﹣）．∵AQ⊥平面PCD，∴为平面PCD的一个法向量．∴cos＜＞==﹣．设直线PB与平面PCD所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线PB与平面PCD所成角为．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解答】证明：（1）由题意知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．21．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD 与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．22．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F，G，H分别是BC，PB，PC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PH∥平面GED；（Ⅱ）过点F作平面α，使ED∥平面α，当平面α⊥平面EDG时，设PA与平面α交于点Q，求PQ的长．【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】（I）连接HC，交ED于点N，连接GN．由平行四边形的性质和三角形的中位线定理即可得到GN∥PH，再利用线面平行的判定定理即可证明；（II）方法一：通过建立空间直角坐标系，利用平面GED⊥平面α⇔两个平面的法向量，求得Q的坐标，进而取得|PQ|的长．方法二：连接BH，则BH∥ED，及PB∥GE，可得平面PBH∥平面GED；利用三角形懂得中位线定理可得FM∥BK；利用菱形的性质可得AE⊥BK，再利用线面垂直的判定和性质定理可得BK⊥平面PAK，FM⊥平面PAK；过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM 所确定的平面为α，可得ED∥BH∥FM，ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，可得平面α⊥平面EDG．得平面α满足条件．利用已知可得PA、AK、PK，再利用，即可得到PQ．【解答】（Ⅰ）证明：连接HC，交ED于点N，连接GN，∵DHEC是平行四边形，∴N是线段HC的中点，又G是PC的中点，∴GN∥PH，又∵GN⊂平面GED，PH⊄平面GED，∴PH∥平面GED．（Ⅱ）方法1：连接AE，∵∠BAD=120°，∴△ABE是等边三角形，设BE的中点为M，以AM、AD、AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（，，0），C（，，0），D（0，2，0），P（0，0，），则E（，，0），F（，，），G（，，）．设Q（0，0，t），，．设是平面GED的一个法向量，则，得，令y1=1∴．设是平面α的一个法向量，则，得，令y2=1，得，当平面GED⊥平面α时，，得，则PQ的长为．方法2：连接BH，则BH∥ED，又∵PB∥GE，∴平面PBH∥平面GED，设BH与AE交于点K，PK的中点为M，∵F是PB的中点，∴FM∥BK，∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK，∴BK⊥平面PAK．∴FM⊥平面PAK，过M作MQ⊥PK，交PA于Q，设MQ与FM所确定的平面为α，∵ED∥BH∥FM，∴ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，∴平面α⊥平面EDG．得平面α满足条件．∵，，∴，由，得．2016年12月10日。
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重庆市高二上学期期中数学试卷（理科）C卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）(2018·孝义模拟) “ ”是“ ”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
2. （2分）样本数据：2，4，6，8，10的标准差为（）
A . 40
B . 8
C . 2
D . 2
3. （2分）(2017·江西模拟) 已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为（）
A . ∀x∈（1，+∞），x3+16≤8x
B . ∀x∈（1，+∞），x3+16＜8x
C . ∃x∈（1，+∞），x3+16≤8x
D . ∃x∈（1，+∞），x3+16＜8x
4. （2分）(2018·大新模拟) 为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（）
A . 0.3
B . 0.4
C . 0.6
D . 0.7
5. （2分）平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是（）
A . 2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B . 2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C . 2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D . 2x－y＋＝0或2x－y－＝0
6. （2分） (2018高二下·普宁月考) 在正方体中，分别是的中点，则（）
A .
B .
C . 平面
D . 平面
7. （2分）已知向量=（λ+1，0，2），=（6，2μ﹣1，），若∥，则λ+μ=（）
A . -
B .
C . -7
D . 7
8. （2分） (2017高一上·长沙月考) 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分） P是△ABC所在平面内一点，若=，其中λ∈R，则P点一定在（）
A . △ABC内部
B . AC边所在直线上
C . AB边所在直线上
D . BC边所在直线上
10. （2分） (2016高二上·山东开学考) 程序框图如图所示，当A=0.96时，输出的k的值为（）
A . 20
B . 22
C . 24
D . 25
11. （2分） (2017高二上·湖北期末) 从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2018高二下·吴忠期中) 给出下列四个命题：
①命题“若，则”的逆否命题为假命题；②命题．则，使
；③“ ”是“函数为偶函数”的充要条件；④命题“ ，使”；命题“若，则”，那么为真命题．其中正确的个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高二上·湖州期末) 已知直线2x+ay+2=0与直线（a+1）x+y﹣1=0（a∈R），当a=________时，两直线垂直．
14. （1分）(2017·江苏) 记函数f（x）= 定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是________．
15. （1分） (2017高一上·深圳期末) 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是________岁．
16. （1分） (2016高二上·集宁期中) ￢A是命题A的否定，如果B是￢A的必要不充分条件，那么￢B是A 的________．
三、解答题 (共6题；共45分)
17. （10分） (2019高二上·四川期中) 命题方程表示焦点在轴上的双曲线;命题若存在，使得成立.
（1）如果命题是真命题，求实数的取值范围;
（2）如果“ ”为假命题，“ ”为真命题，求实数的取值范围.
18. （5分） (2017高二上·石家庄期末) 现有6道题，其中3道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：
（Ⅰ）所取的2道题都是甲类题的概率；
（Ⅱ）所取的2道题不是同一类题的概率．
19. （10分）已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，sin2B=2sinAsinC.
（1）
（I）若a=b，求cosB,
（2）
（II）若B=90°，且a=求△ABC的面积.
20. （5分） (2016高二上·中江期中) 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．
（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；
（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．
21. （5分）已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A ， B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长．
22. （10分）(2013·山东理) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且S4=4S2 ， a2n=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Tn且（λ为常数）．令cn=b2n（n∈N*）求数列{cn}的前n项和Rn．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、
17-2、
18-1、19-1、19-2、
21-1、
22-1、
22-2、
第11 页共11 页。