罗素悖论-上海交通大学
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11
希望
掌握离散数学的各个分支的基本概念、基本理 论和基本方法 提高概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造 能力 培养严谨、完整、规范的科学态度
12
教材和辅导书
参考教材： 数理逻辑与集合论（第二版）：石纯一，清华大学出版社 图论与代数结构：戴一奇，清华大学出版社 辅导书： 1. 数理逻辑：莫绍揆，科学文献出版社 2. 数理逻辑教程：莫绍揆，华中工学院出版社 3. 集论与逻辑：沈恩绍，科学出版社 4. A Mathematical Introduction to Logic, 2nd. Ed, H.Enderton,
数理逻辑：推理、形式化方法 集合论：离散结构的表示、描述工具 图论：离散结构的关系模型 代数结构：离散结构的代数模型 组合数学：离散结构的存在性、计数、枚举、优化、设计 离散概率（概率统计课程）
10
课程内容
数理逻辑 图论
考核
平时成绩30%: 作业+点名+课堂练习 期末考试70%
Academic Press 5. Logic for Applications, 2nd ed., A. Nerode, Springer 6. 离散数学（第4版），Richard Johnsonbaugh，电子工业出版社
PPT下载地址
http://basics.sjtu.edu.cn/~xiaoju/dm/
离散数学
董笑菊
BASICS,计算机科学与工程系 上海交通大学 xjdong@sjtu.edu.cn 电院3-327 Tel:34205060 EXT 602 http://basics.sjtu.edu.cn/~xiaoju/dm
离散数学
离散数学是：
现代数学的一个重要分支 计算机科学与技术的理论基础 是计算机应用必不可少的工具，所以又称为计
离散数学
事实上，从计算机产生到其发展每一步都离不开数学 1936年，英国数学家图灵(A.M.Turing)发表了著名论文 “理想计算机”，从而给出了计算机的理论模型 1946年在著名数学家冯·诺依曼(J.Von Neumann)的领 导下，制造了世界上第一台现代意义的通用计算机EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) ．．．
第一部分 数理逻辑
逻辑学 研究人的思维形式和规律的科学．由于研究的对象 和方法各有侧重而又分为形式逻辑、辩证逻辑和数 理逻辑
数理逻辑 用数学方法研究推理，是研究推理中前题和结论之 间的形式关系的科学
所谓推理就是由一个或几个判断推出一个新判断的思维 形式
这里所说的数学方法就是建立一套表意符号体系，对具 体事物进行抽象的形式研究的方法. 因此, 数理逻辑又称 符号逻辑
这一时期是20世纪30十年代，主要工作体现为 哥德尔(Godel)的几项重大成果－完全性定理、 理、不完全性定理和连续统假设的一致性等
这一时期从20世纪40年代开始。主要内容是各 种非经典逻辑和四论－模型论、集合论、递归论 和证明论的突飞猛进的发展
数理逻辑
四论 两演算
集合论 模型论 递归论 证明论
算机数学
2
离散数学离我们很远吗？
数理逻辑
电灯开关 两个开关A、B同时控制一盏灯C,
(1)只要有一个开关处于开启状态灯就会亮 (2)只有两个开关之一处于开启状态灯才亮
请具体列出灯C在开关A和B处于什么情况下 会亮
集合
自然数集合 实数集合 集合的运算 幻方、数独问题(Magic Square、Sudoku)
8
离散数学与计算机科学的关系
数理逻辑：人工智能、程序正确性证明、 程序验证等
集合论： 关系数据库模型等
图论：
数据结构、数据库模型、 网络模型等
代数结构：软件规范、形式语义、编译系统、
编码理论、密码学、数据仓库等
组合数学：算法分析与设计、编码理论、容错等
9
离散数学Hale Waihona Puke Baidu程说明
研究对象----离散个体及其结构 研究思想----以集合和映射为工具、体现公理化和结构的思想 研究内容----包含不同的数学分支，模块化结构
15
数理逻辑的发展历程
数理逻辑前史时期－古典形式逻辑时期
这一时期主要工作有亚里士多德的 三段论，斯多阿学派的命题逻辑和中世纪形
式逻辑的形成与发展。
数理逻辑初创时期－逻辑代数时期
数理逻辑创建于17世纪末，创始人是德国 哲学家和数学家莱布尼茨。这一时期的主要成 就有莱布尼茨的数理逻辑的伟大思想的形成， 逻辑代数和关系逻辑的建立和发展。
数理逻辑的奠定时期
这一时期从1879年弗雷格G. Frege《概念语言》 的出版到希尔伯特的元数学纲领的提出，主要工 作有逻辑演算的建立，朴素集合论、公理集合论 以及第三次数学危机。为解决第三次数学危机所 取得的结果：逻辑类型论，直觉主义数学基础和 逻辑，形式公理学和证明论。
数理逻辑发展初期 数理逻辑现代发展时期
816 357 492
图论
人狼羊菜过河
有一个人带着一只狼，一只羊，一筐菜过河， 当这个人在狼和羊身边时，狼不敢吃羊，羊 也不敢吃菜，但是当人不在它们身边时，羊 就可能把羊吃掉，羊也可能把菜吃掉，现在， 渡船时只有一只船，能承载一个人及一件东 西或物品，问怎样渡才能使人.狼.羊.菜安全 过河？
离散数学就在我们身边！
为什么离散数学对计算机科学来说如此重要？ 数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散 化了的数量关系 无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关 的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的 数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型 离散化，从而可由计算机加以处理
谓词演算 命题演算
17
第一章 命题逻辑的基本概念
命题逻辑(Logic)
研究命题的推理演算 命题逻辑的应用
数学上定理的推导 在计算机科学上，验证程序的正确性
主要内容
命题的基本概念 命题联结词 命题合式公式、重言式 自然语句的形式化
18
命题逻辑应用实例
在举重比赛中，有一名主裁判，两名副裁判。 当两名以上裁判（必须包括主裁判在内）认为 运动员举杠铃合格，按电钮，才裁决合格。试 用与非门设计该电路
希望
掌握离散数学的各个分支的基本概念、基本理 论和基本方法 提高概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造 能力 培养严谨、完整、规范的科学态度
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教材和辅导书
参考教材： 数理逻辑与集合论（第二版）：石纯一，清华大学出版社 图论与代数结构：戴一奇，清华大学出版社 辅导书： 1. 数理逻辑：莫绍揆，科学文献出版社 2. 数理逻辑教程：莫绍揆，华中工学院出版社 3. 集论与逻辑：沈恩绍，科学出版社 4. A Mathematical Introduction to Logic, 2nd. Ed, H.Enderton,
数理逻辑：推理、形式化方法 集合论：离散结构的表示、描述工具 图论：离散结构的关系模型 代数结构：离散结构的代数模型 组合数学：离散结构的存在性、计数、枚举、优化、设计 离散概率（概率统计课程）
10
课程内容
数理逻辑 图论
考核
平时成绩30%: 作业+点名+课堂练习 期末考试70%
Academic Press 5. Logic for Applications, 2nd ed., A. Nerode, Springer 6. 离散数学（第4版），Richard Johnsonbaugh，电子工业出版社
PPT下载地址
http://basics.sjtu.edu.cn/~xiaoju/dm/
离散数学
董笑菊
BASICS,计算机科学与工程系 上海交通大学 xjdong@sjtu.edu.cn 电院3-327 Tel:34205060 EXT 602 http://basics.sjtu.edu.cn/~xiaoju/dm
离散数学
离散数学是：
现代数学的一个重要分支 计算机科学与技术的理论基础 是计算机应用必不可少的工具，所以又称为计
离散数学
事实上，从计算机产生到其发展每一步都离不开数学 1936年，英国数学家图灵(A.M.Turing)发表了著名论文 “理想计算机”，从而给出了计算机的理论模型 1946年在著名数学家冯·诺依曼(J.Von Neumann)的领 导下，制造了世界上第一台现代意义的通用计算机EDVAC (Electronic Discrete Variable Automatic Computer) ．．．
第一部分 数理逻辑
逻辑学 研究人的思维形式和规律的科学．由于研究的对象 和方法各有侧重而又分为形式逻辑、辩证逻辑和数 理逻辑
数理逻辑 用数学方法研究推理，是研究推理中前题和结论之 间的形式关系的科学
所谓推理就是由一个或几个判断推出一个新判断的思维 形式
这里所说的数学方法就是建立一套表意符号体系，对具 体事物进行抽象的形式研究的方法. 因此, 数理逻辑又称 符号逻辑
这一时期是20世纪30十年代，主要工作体现为 哥德尔(Godel)的几项重大成果－完全性定理、 理、不完全性定理和连续统假设的一致性等
这一时期从20世纪40年代开始。主要内容是各 种非经典逻辑和四论－模型论、集合论、递归论 和证明论的突飞猛进的发展
数理逻辑
四论 两演算
集合论 模型论 递归论 证明论
算机数学
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离散数学离我们很远吗？
数理逻辑
电灯开关 两个开关A、B同时控制一盏灯C,
(1)只要有一个开关处于开启状态灯就会亮 (2)只有两个开关之一处于开启状态灯才亮
请具体列出灯C在开关A和B处于什么情况下 会亮
集合
自然数集合 实数集合 集合的运算 幻方、数独问题(Magic Square、Sudoku)
8
离散数学与计算机科学的关系
数理逻辑：人工智能、程序正确性证明、 程序验证等
集合论： 关系数据库模型等
图论：
数据结构、数据库模型、 网络模型等
代数结构：软件规范、形式语义、编译系统、
编码理论、密码学、数据仓库等
组合数学：算法分析与设计、编码理论、容错等
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离散数学Hale Waihona Puke Baidu程说明
研究对象----离散个体及其结构 研究思想----以集合和映射为工具、体现公理化和结构的思想 研究内容----包含不同的数学分支，模块化结构
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数理逻辑的发展历程
数理逻辑前史时期－古典形式逻辑时期
这一时期主要工作有亚里士多德的 三段论，斯多阿学派的命题逻辑和中世纪形
式逻辑的形成与发展。
数理逻辑初创时期－逻辑代数时期
数理逻辑创建于17世纪末，创始人是德国 哲学家和数学家莱布尼茨。这一时期的主要成 就有莱布尼茨的数理逻辑的伟大思想的形成， 逻辑代数和关系逻辑的建立和发展。
数理逻辑的奠定时期
这一时期从1879年弗雷格G. Frege《概念语言》 的出版到希尔伯特的元数学纲领的提出，主要工 作有逻辑演算的建立，朴素集合论、公理集合论 以及第三次数学危机。为解决第三次数学危机所 取得的结果：逻辑类型论，直觉主义数学基础和 逻辑，形式公理学和证明论。
数理逻辑发展初期 数理逻辑现代发展时期
816 357 492
图论
人狼羊菜过河
有一个人带着一只狼，一只羊，一筐菜过河， 当这个人在狼和羊身边时，狼不敢吃羊，羊 也不敢吃菜，但是当人不在它们身边时，羊 就可能把羊吃掉，羊也可能把菜吃掉，现在， 渡船时只有一只船，能承载一个人及一件东 西或物品，问怎样渡才能使人.狼.羊.菜安全 过河？
离散数学就在我们身边！
为什么离散数学对计算机科学来说如此重要？ 数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散 化了的数量关系 无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关 的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的 数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型 离散化，从而可由计算机加以处理
谓词演算 命题演算
17
第一章 命题逻辑的基本概念
命题逻辑(Logic)
研究命题的推理演算 命题逻辑的应用
数学上定理的推导 在计算机科学上，验证程序的正确性
主要内容
命题的基本概念 命题联结词 命题合式公式、重言式 自然语句的形式化
18
命题逻辑应用实例
在举重比赛中，有一名主裁判，两名副裁判。 当两名以上裁判（必须包括主裁判在内）认为 运动员举杠铃合格，按电钮，才裁决合格。试 用与非门设计该电路