材料力学(金忠谋)第六版答案第06章

弯曲应力
6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。

题 6-1图
解：（a ）m KN M m m ⋅=-5.2 m KN M ⋅=75.3max
488
44
108.49064
1010
64m d J x --⨯=⨯⨯==ππ
MPa A 37.20108.490104105.28
23=⨯⨯⨯⨯=--σ （压）
MPa 2.38108.4901051075.3823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （b ）m KN M m m ⋅=-60 m KN M ⋅=5.67max
488
3310583212
10181212m bh J x --⨯=⨯⨯== MPa A 73.6110583210610608
2
3=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.10410
5832109105.67823max =⨯⨯⨯⨯=--σ （c ）m KN M m m ⋅=-1 m KN M ⋅=1max
48106.25m J x -⨯=
36108.7m W x -⨯=
cm y A 99.053.052.1=-=
MPa A 67.38106.251099.01018
2
3=⨯⨯⨯⨯=--σ （压） MPa 2.12810
6.2510183max =⨯⨯=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。

解：)1(32431απ-=D W x
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⨯⨯⨯=-463)64(110326π 361002.17m -⨯=
346
33
21021.213210632m D W x --⨯=⨯⨯==ππ
MPa 88.5210
02.17109.063
1=⨯⨯=-σ MPa 26.551021.2110172.16
3
1=⨯⨯=-σ MPa 26.55max =σ
6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。

试求梁内最大拉应力与最大压应力。

已知I z =10170cm 4，h 1=，h 2=。

解：A 截面：
Mpa 95.371065.910
1017010402831max =⨯⨯⨯⨯=--σ （拉）
Mpa 37.501035.15101017010402831min -=⨯⨯⨯⨯-=--σ（压） E 截面
Mpa 19.301035.15101017010202832
max =⨯⨯⨯⨯=--σ （拉）
Mpa 98.181065.9101017010202832min -=⨯⨯⨯⨯-=--σ （压） 6-4 一根直径为d 的钢丝绕于直径为D 的圆轴上。

（1） 求钢丝由于弯曲而产生的最大弯曲正应力（设钢丝处于弹性状态）
（2） 若 d ＝lmm ，材料的屈服极限s σ=700MPa ，弹性模量E =210GPa ，求不使钢丝产生
残余变形的轴径D 。

解：EJ
M =ρ1
D
d E EJ M 324
πρ== D d E d M W M ⋅===
3max 32πσ cm m d
E D s 303.010
70010110210639==⨯⨯⨯⨯=⋅≥-σ
6-5 矩形悬臂梁如图示．已知l = 4 m ，32=h b ，q =10kN/m ，许用应力[σ]=10Mpa 。

试确定此梁横截面尺寸。

解：m KN ql M ⋅=⨯⨯==804102
12122max 9
63266322h h h h W =⨯== 9101010802
6
3h M W W M =⨯⨯==⇒=σσ cm m h 6.41416.0==
cm b 7.27=
6-6 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示。

若[σ]＝160MPa ，试求许用载荷P 。

解：3237cm W = P 32 m KN P M ⋅=
32max
[][]P W M 32102371016066=
⨯⨯⨯=⋅=-σ （M 图） P 32 []KN P 880.5623716023=⨯⨯=
6-7 压板的尺寸和载荷情况如图所示。

材料为 45钢，s σ＝380 MPa ，取安全系数5.1=n 。

试校核压板强度。

解：23
31568)121230122030(101mm W =⨯-⨯⨯= m N M ⋅=⨯⨯⨯=-3601020101833
[]σσ<=⨯==-MPa W M 6.22910
15683609
6-8 由两个槽钢组成的梁受力如图示。

已知材料的许用应力[σ]＝150 MPa ，试选择槽钢号码。

解：m KN M ⋅=60max
[]33363
m ax 400104.010
1501060cm m M W x =⨯=⨯⨯==-σ 查表：（22a ， 332006.217cm cm W x >=）
m KN ⋅60
（ M 图）
6-9 割刀在切割工件时，受到P ＝1kN 的切销力的作用。

割刀尺寸如图所示。

试求割刀内最大弯曲应力。

解：m N p M ⋅=⨯⨯=-I 81083
m N p M ⋅=⨯⨯=-∏3010303
32
42.706135.2mm W =⨯=I 32
1506
154mm W =⨯=∏
()MPa W M 114104.7089m ax =⨯==-I I I σ ()MPa W M 20010150309m ax =⨯==-∏
∏∏σ 6-10 图示圆木，直径为D ，需要从中切取一矩形截面梁。

试问（1）如要使所切矩形截面的抗弯强度最高，h 、b 分别为何值（2）如要使所切矩形截面的抗弯刚度最高，h 、b 又分别为何值
解：6)
(6222
b D b bh W -==
0=db dW
∴ 0632
2=-b D
∴ 32
2D b =
2
222323D D D h =-=
∴从强度讲：D b 57735.0=
∴ D h 8165.0=
12)(123222b D b bh
J -== 0=db
dJ 0)2()(2
3)(21222322=-⨯-⨯⨯+-b b D b b D ∴从刚度讲 D b 50.0=
D h 866.0=
6－11 T 字形截面的铸铁梁受纯弯曲如图示，欲使其最大压应力为最大拉应力的3倍，巳知h = 12cm ，t =3cm ，试确定其翼板宽度b 之值。

解：3max max ＝下上拉压y y =σσ 下上＝y y 3
12=h y y ＝＋下上
cm y 34
12＝＝下 05.4)39()2
33)(3(=⨯⨯--⨯=b S cm b 275
.135.439=⨯⨯⨯=
6-12 图示简支梁，由工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A 处梁底面的纵向正应变4100.3-⨯=ε，试计算梁的最大弯曲正应力σmax 。

已知钢的弹性模量E =200GPa, a =1m 。

解：MPa E A 6010
0.31020049=⨯⨯⨯==-εσ 28/34/3max max ===A A M M σσ MPa A 1206022max =⨯==σσ
243qa 28
3qa
24
qa （M 图）
6-13 试计算图示矩形截面简支梁的1-1面上a 点和b 点的正应力和剪应力。

解：1－1截面
KN Q 6364.3=
m KN M ⋅=6364.3
43
3375.210912155.712cm bh J =⨯==
283
105.310
375.2109106364.3--⨯⨯⨯⨯==y J M a σ MPa 03.6=
8
2
310375.2109105.7106364.3--⨯⨯⨯⨯=b σ MPa 93.12=
2
86
3105.710375.2109105.5)5.74(106364.3---⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==Jb QS a τ MPa 379.0=
6-14 计算在均布载荷 q ＝10 kN ／m 作用下，圆截面简支梁的最大正应力和最大剪应力，并指出它们发生在何处。

解：232max 110108
181⨯⨯⨯==ql M m N ⋅⨯=31025.1
110102
1213max ⨯⨯⨯==ql Q N 3105⨯=
6
33
m ax 10532
1025.1-⨯⨯⨯==πσW M
MPa 86.101= 在跨中点上、下边缘
34105410534423max
⨯⨯⨯⨯=⨯=-πτA Q MPa 46.25= 在梁端，中性轴上
6-15 试计算6-12题工字钢简支梁在图示载荷下梁内的最大剪应力。

解： MPa W
qa 60832
= qa 41 3185cm W =
KN q 6.29123810185106066=⨯⨯⨯⨯⨯=- qa 4
3 KN qa Q 2.2216.294343max =⨯⨯==
（Q 图） MPa Jt QS 12.2210
5.6104.15102.22323max =⨯⨯⨯⨯==--τ
6-16 矩形截面木梁所受载荷如图示，材料的许用应力[σ]=10Mpa 。

试选择该梁的截面尺寸，设1:2:=b h
KN 19 KN 8
KN
KN 1
（Q 图） （ M 图）
解：KN R A 19= KN R B 29=
12
613
2h bh W == []σσ≤⨯==12
101433m ax h
W M cm m h 6.25256.010
10121014363==⨯⨯⨯= cm b 8.12=
[]ττ<=⨯⨯⨯⨯==-MPa A Q 961.010
6.258.1210215.15.143max 6-17 试为图示外伸梁选择一工字形截面，材料的许用应力[σ]= 160MPa ，[τ]＝80Mpa 。

解：[]3612510
160100020cm M
W =⨯⨯==σ 取16I ， 3141cm W =
)(8.13:cm S J =
[]ττ<=⨯⨯⨯==-MPa Jt QS 181.01068.1310153
3
故 取No16工字钢
)(x Q KN 15 )(x M m KN ⋅20
KN 5 m KN ⋅10
KN 10
（Q 图） （M 图）
6-18 图示起重机安装在两根工字形钢梁上，试求起重机在移动时的最危险位置及所采用工字型钢的号码。

已知 l ＝10 m ，a ＝4 m ，d =2 m 。

起重机的重量 W ＝50 kN ，起重机的吊重P =10 kN ，钢梁材料的许用应力［σ］=160 MPa ，[τ]= 100Mpa 。

解：轻压：KN 10 ，KN 50
[]x x x R 658)8(10)10(5010
1-=-+-= x x Rx x M ⋅-==)658()(
0=dx
dM 01258=-x m x 833.4= m KN M ⋅=⨯⨯-=17.140833.4)833.4658(max
[]63
m ax 10
1601017.140⨯⨯==σM W 33387610876.0cm m =⨯=-
取 两个 a I 28 334382
15.508cm W cm W z =>
=
KN 10 KN 50
d
m 10
6-19 等腰梯形截面梁，其截面高度为h 。

用应变仪测得其上边的纵向线应变611042-⨯-=ε，下边的纵向线应变621014-⨯=ε。

试求此截面形心的位置。

解：11M εσ⋅=⋅E J y b
＝上 22M εσ⋅=⋅E J y b
＝下
314
422121==y y ＝εε h y y =+21
∴h y y =+223 ∴h y 412= h y 4
31= 6-20 简支梁承受均布载荷q ，截面为矩形h b ⨯，材料弹性模量E ，试求梁最底层纤维的总伸长。

解：2
2)(2
qx x ql x M -= 6
)()(2bh E x M x =ε 23
20022)22(6)(Ebh
ql dx x l Ebh q dx x l l l =⨯==∆⎰⎰ε 6-21 矩形截面悬臂梁受力如图（a ）所示，若假想沿中性层把梁分开为上下两部分：
（1）试求中性层截面上剪应力沿x 轴向的变化规律，参见图（b ）；
（2）试说明梁被截下的部分是怎样平衡的
解：（1）bh
qx A Q x 2323==τ （2）由τ产生的合力为T h
ql bdx bh qx bdx T l l x 4323200=⋅=⋅=⎰⎰τ 由弯曲产生的轴间力为N
bdy h b y ql dy b J M dy b N h h h ⎰⎰⎰=⋅=⋅⋅=2/02/02/032max 12
2σ（自证）
T h ql j =24 6-22
正方形截面边长为a ，设水平对角线为中性轴。

试求
（1）证明切去边长为9
a 的上下两棱角后，截面的抗弯模量最大； （2）若截面上的弯矩不变，新截面的最大正应力是原截面的几倍（提示：计算I z 时可按图中虚线分三块来处理）。

解：原来正方形：
12
40a J z = 2max 0a
y =
3301179.012
2a a W z == 削去x 后：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅-⋅⋅+-⋅+-=22)(2212)2)(2(212)(234x a x a x x a x x a J z
)3()(12
22
2max x a x a x a J y J W z z z +-=-== 0=dx
dW 010922=+-a ax x 9
a x = 3321397.081
28)912()98(122a a a a W x === )(844.01397
.01179.0W 0max max 倍＝原新==z z W σσ
6-23 悬臂梁AB 受均布载荷q 及集中力P 作用如图示。

横截面为正方形a a ⨯，中性轴即正方形的对角线。

试计算最大剪应力τmax 值及其所在位置。

解：)(Q ql P +=
b J QS z =τ 12
4a J z = )2
2(2y a b -= ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⨯-⨯-=)22(31)22()22(y a y y a y a S )3262()22(212
4
y a y a a ql P +⨯-⋅⨯+=τ )326261()(6224y ay a a
ql P -++= 0=dy
d τ a y 82=
2
4max 8)(9)823262()8222()8222()8222(212)(a ql P a a a a a a a a a ql P b J QS z +=⨯+⨯-⨯⨯-⨯-⋅⋅+==*τ
6-24 试绘出图中所示各截面的剪应力流方向，并指出弯曲中心的大致位置。

解：
6-25 确定开口薄壁圆环截面弯曲中心的位置。

设环的平均半径R 0，壁厚t ，设壁厚t 与半径0R 相比很小。

解：ϕϕsin 00⋅⋅⋅=R t d R dS
)cos 1(sin 2
0020θϕϕθ-==⎰tR d tR S
πϕϕπ⋅==⎰3
02000)sin (2tR R d tR J z 0
30000202)cos 1(2R tR d R R tR e =⋅-=⎰πθθπ
6-26 试导出图示不对称工字形截面的弯曲中心位置（当在垂直于对称轴的平面内弯曲时）。

假设厚度t 与其他尺寸相比很小。

解：z J t h b e 4)2(221
= z
J t h b e 42211= 12
4)3(23
2th h t b J z +⨯⨯= b h b h bt th t h b J t h b e e e z 189)43(21243432
232222111+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==-= 6-27 在均布载荷作用下的等强度悬臂梁，其横截面为矩形，并宽度b =常量，试求截面高度沿梁轴线的变化规律
解：20
22023621bh ql bh ql W M l ===σ
202223621)()(bh ql bh qx x W x M l x x ====σσ 20
2
2233bh ql bh qx x x ==σ 20222h h l x x =
l x h l x h h x 02
22
0== 6-28 图示变截面梁，自由端受铅垂载荷P 作用，梁的尺寸l 、b 、h 均为已知。

试计算梁内的最大弯曲正应力。

解：x P x M ⋅=)(
2
/)2()(l x l h x h += 6
2/)2()(2
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=l x l h b x W 222)2(46)()()(x l bh Px l x W x M x +==σ
0)(=dx x d σ l x 21= Pl M 2
1= 3
262/)22(22h b l l l h b W ⋅=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+= 22m ax 433
221bh
Pl bh Pl ==σ 6-29 当载荷P 直接作用在跨长为l ＝6m 的简支梁AB 的中点时，梁内最大正应力超过容许值30％。

为了消除此过载现象，配置如图所示的辅助梁CD ，试求此梁的最小跨长a 。

解：x P Pl 270.04=⨯ l x 35.0=
m l l l x l a 8.13.07.02==-=-=
6-30 图示外伸梁由25a 号工字钢制成，跨长l =6 rn ，在全梁上受集度为q 的均布载荷作用。

当支座截面A 、B 处及跨度中央截面C 的最大正应力σ均为140MPa 时，试问外伸部分的长度及载荷集度q 等于多少
解：l
qa qa ql R A 2832
++= 221qa M A =
)4
2()22(2)283(2l ql a l qa l l qa qa ql M C ⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-⨯++= 4
162
2qa ql -= a l M M C A ⋅=⇒=12
m l l a 7322.12887.012===
查表：
66210883.401101402
1-⨯⨯⨯=qa m KN q /503.377322.1883.40114022=⨯⨯=
C M
A M
B M
(M 图)
6-31 图示悬臂梁跨长L =40cm ，集中力P ＝250N ，作用在弯曲中心上，梁的截面为等肢角形，尺寸如图，试绘剪应力流分布图，并计算了m ax σ和m ax τ之值。

解：44
4999.3957112381240mm J z =-= m N Pl M ⋅=⨯==1004.0250max
N Q 250m ax =
MPa 46.7110
39572104022100123max =⨯⨯⨯
=--σ MPa Jt
QS 57.310210395721020222402503129
max =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==
---τ
6-32 圆锥形变截面悬臂梁其两端直径之比d b :d a ＝3:1，在自由端承受集中力P 作用，试求梁内的最大弯曲正应力，并将此应力与支承处的最大应力比较。

解：Px x M =)(
32)2(
)(3π⋅⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=l l x l da x W )
()()(x W x M x =σ 0=dx d σ 4
l x m =
3
3
max 2764328274da Pl da l P ππσ=⨯⨯⋅
= 3
3273232
)3(da Pl da Pl b ππσ==
∴ 2m ax =b
σσ 6-33 工字形截面的简支钢梁，跨度l ＝4m ，跨度中央受集中载荷P 作用。

如材料屈服点s σ=240MPa ，安全系数n =，试按极限载荷法计算此梁的许可载荷。

解：[]2550)300(5010025)50(5020011⨯--+⨯=⨯-+⨯y y
mm y 501=
35110252550200m S -⨯=⨯⨯=
352105.1621002002522550100m S -⨯=⨯⨯+⨯⨯=
m KN M ⋅=⨯+⨯⨯⨯=--450)105.1621025(10240556max
KN l M P jx 4504
45044max =⨯==
[]KN P P jx
25.2816.1==
6-34 矩形截面简支梁，在跨度中央承受集中力P 。

论确定塑性区域的长度和塑性区城边界方程式()x f a =。

解：261bh W z = 241bh W
jx = 故 5.1=s jx
M M Pl M jx 4
1= )2
1(2e l P M s -⨯= ∴ 5.1)2
1(241=-e l P Pl 故 l e 6
1= x P Pl M a 2
4-= 2bh
Pl W M s jx
s ==σ
⎰⎰⎰+=⋅=22220222h a s A a s a ydy b dy y a b ydA M σσ )446(222ba bh ba s -+=σ 将s σ及a M 代入上方程：
l
x h a 22231= ∴ l x h a 6=。