2019高考模拟试卷数学(理科)
2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03 导数及其应用 (含解析).docx
专题03导数及其应用1. [2019年高考全国III 卷理数】已知曲线y = ae x +xlnx 在点(1, ae)处的切线方程为y=2x+b,贝9 A. a = e, b = —1 B. a=e, b=l C. a — e _1, b = lD. a = e"1 > b = -\【答案】D【解析】T y' = ae* + lnx+l,切线的斜率 k = y' |Y=1= ae+1 = 2,a = e _1， 将(1,1)代入 y = 2x + b,得 2 + b = l,b = -l. 故选D.【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a, b 的等式，从而求解，属于常考题 型.了2 O XTTV 2d V* V 12. [2019年高考天津理数】已知tzeR ，设函数/(%)=' _ '若关于X 的不等式/(x)>0在R 上x-alnx, x>l.恒成立，则a 的取值范围为A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [l,e]【答案】C【解析】当兀=1时，/(1) = 1 —2a + 2a = l>0恒成立;当 x<l 时，/(%) = x 2-2ajc + 2a>0^ 2a>^-恒成立,x-1令g(x) =—7x-1(1 —兀―1)2_ (1—兀)2—2(1 —兀)+ 1 1 — X 1 — X当1 —兀=丄，即x = 0时取等号,1-X贝0g(x) = ——1-X2a= 0,则a>0.Y当 x 〉l 时，f(x) = x-a\nx>0,即a< ---------------- 11 成立,lnx当x>e 时,h'(x) >0,函数〃(x)单调递增, 当0<x<e 时，h'(x) <0,函数力(x)单调递减, 则x = e 时，〃(x)取得最小值A(e) = e,•■- a<h(x)nin =e,综上可知，a 的取值范围是［0,e ］. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成 立问题.x,x<03. (2019浙江)已知a,bwR ，函数/(%) = < 1 1 2.若函数f(x)-ax-b 恰有3个零点, —X ——(Q + 1)兀 + ax, X > 0 13 2A. a<-\, b<0 C. tz>—1, Z?<0D. a>—1, Z?>0【答案】C【解析】当 x<0 时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (1 - a) x - b=0,得 x= 丿丿 l-a则y=f (x) -ax-b 最多有一个零点；当 x>0 时，y=f (兀)-ax - b= -x 3—- (a+1) x^+ax - ax - b= -x 3—- (a+1) x 2 - b, —)J3 2 3 2y = x 2-(€l + l)x,当 a+lwo,即來-1 时，y>0, y=f (x) -ax-b 在［0, +oo)上单调递增， 则y =f -ax-b 最多有一个零点，不合题意；当a+l>0,即°>-1时，令y'>0得兀丘@+1, +oo),此时函数单调递增， 令WVO 得用［0, d+1),此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y=f (x) -ax-b 恰有3个零点o 函数y=f (x) - ax - b 在(-oo, 0)上有一个零点，在［0, +oo)令〃(x)=—, lnx则 h\x)=lnx-1(In x)2 B. a<-l, b>0上有2个零点,如图：b—b>01-a (a + l)3 - j (a + l)(a + l)2- b<0解得b<0, 1 - a>0, b> -- (a+1) 3,6则a>-l, b<0.故选C・【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当兀V0时，y=f (x) -ax - b=x - ax - b= (l-°) x~ b最多有一个零点；当空0时，y=/(x) -ax-b=^-\ (a+1) - b,利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解.4.[2019年高考全国I卷理数】曲线y = 3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为_________________ .【答案】3x-y-0【解析】y = 3(2x+l)e A + 3(x2 + x)e r = 3(x2 +3x+l)e r,所以切线的斜率k = y' |x=0=3,则曲线y = 3(x2 + x)^在点(0,0)处的切线方程为y = 3x,即3x — y = 0 .【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误•求导要“慢”, 计算要准，是解答此类问题的基本要求._ 45.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y = x + —(无>0)上的一个动点，则点P到直线x+ y = 0的距离的最小值是一▲•【答案】44 4【解析】由y = x （x〉0）,得丁' = 1 ——,X X4 4设斜率为一1的直线与曲线_y = x + -（x>0）切于（x0,x0+—）,x 勺由1一一 =一1得x0 = A/2（x0=-A/2舍去），x o曲线y = x + -（x>o）±,点P（V2,3A/2）到直线x+y = o的距离最小，最小值为故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到己知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6.[2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnr上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e, -l）（e 为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.【答案】（e, 1）【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点A（x0,y0）,则y Q =lnx0.又# =丄，X则曲线y = InX在点A处的切线为y - ％=丄（X —勺），即yin”。
2019年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)解析版
2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |x ＞0}，N ={x |x 2-4≥0}，则M ∪N =（ ）A. (−∞,−2]∪(0，+∞)B. (−∞,−2]∪[2,+∞)C. [3,+∞)D. (0,+∞) 2. 在复平面内，复数z =i(1+i)1−2i所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年．为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动．如图的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）A. 甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B. 甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C. 甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D. 甲组选手得分的方差大于乙组选手的方差4. 已知等比数列{a n }满足a 1=12，且a 2a 4=4（a 3-1），则a 5=（ ）A. 8B. 16C. 32D. 645. 已知函数f(x)=ax 2+(1−a)x +2x 是奇函数，则曲线y =f （x ）在x =1处的切线得倾斜角为（ ）A. π4B. 3π4C. π3D. 2π36. 在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为AE 的中点，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则FB⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A. −34a⃗ +12b ⃗ B. 12a⃗ +34b ⃗ C. 12a⃗ −34b ⃗ D. 34a⃗ −12b ⃗ 7. 如图所示，网格上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A. (8+4√2)π B. (9+4√2)π C. (8+8√2)π D. (9+8√2)π 8. 十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ）A. 15B. 14C. 13D. 129. 已知函数f(x)=ax +lnx −1有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A. (−∞,0]∪{1}B. [0,1]C. (−∞,0]∪{2}D. [0,2]10. 设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点A ，B 分别为椭圆C 的右顶点和下顶点，且点F 1关于直线AB 的对称点为M ．若MF 2⊥F 1F 2，则椭圆C 的离心率为（ ）A. √3−12 B. √3−13 C. √5−12D. √2211. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω＞0)在区间[−π4，π3]上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为（ ）A. [83,7)B. [83,4)C. [4,203)D. (203,7)12. 如图，在四面体ABCD 中，AB =CD =2，AC =BD =√3，AD =BC =√5，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A. √6B. √62C. 52D. 54二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设实数x ，y 满足{2≤x ≤3，1≤y ≤2，x +y ≤4，则yx−1的最大值为______．14. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，且圆E ：（x -2）2+y 2=1的圆心是双曲线C 的右焦点．若圆E 与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C 的方程为______．15. 精准扶贫是全国建成小康社会、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某单位拟组成4男3女共7人的扶贫工作队，派驻到3个扶贫地区A 、B 、C 进行精准扶贫工作．若每一个地区至少派驻1男1女两位工作人员，且男性甲必须派驻到A 地区，则不同的派驻方式有______种．16. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=3，当n ≥2时，有S n +S n -1-2S n S n -1=2na n ，则使得S 1S 2…S m ≥2019成立的正整数m 的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，AB =√2BC ，AC =2√5，点D 在边AC 上，且AD =2CD ，∠ABD =2∠CBD ．（1）求∠ABC 的大小； （2）求△ABC 的面积．18. 在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，以CE ，CF 为折痕将△DFG 和△BCE 折起，使点B 、D 重合于点P ，连结PA ，得到如图所示的四棱锥P -AEF ．（1）求证：EF ⊥PC ；（2）求直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值．19. 某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量y i 和月销售价x i （i =1，2，3，-..10）数据进行了统计分析，得到了下面的散点图（1）根据散点图判断，y =c +d ln x 与y =bx +a 哪一个更适宜作为月销量y 关于月销售价x 的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； （2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z （单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额=月销售量x 当月售价） 参考公式、参考数据及说明：①对一组数据（v 1，w 1），（v 2，w 2），…（v n ，w n ），其回归直线w =α+βv 的斜率和截距的最小二乘估计分别为=∑(n i=1w i −w −)(v i −v −)∑(n i=1v i −v −)2，=w−v −．②参考数据：x −y −u −∑10i=1（x i −x −）2 ∑10i=1（u i −u −）2∑10i=1（x i −x −）（y i −y −）∑10i=1（u i −u −）（y i −y −） 6.506.601.75 82.502.70-143.25-27.54表中u i =ln x i ，u −=110∑10i=1u i ．③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.0≈1.40．20. 己知抛物线C ：x 2=4y ，过点（2，3）的直线l 交C 于A 、B 两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线交于点P ．（l ）当点A 的横坐标为4时，求点P 的坐标；（2）若Q 是抛物线C 上的动点，当|PQ |取最小值时，求点Q 的坐标及直线l 的方程．21. 已知函数f （x ）=e x -ae -x -（a +1）x （a ∈R ）．（其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数）．（1）求函数f （x ）极值点；（2）若对于任意0＜a ＜1，关于x 的不等式[f （x ）]2＜λ（e a -1-a ）在区间（a -1，+∞）上存在实数解，求实数λ的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =sinαx=2cosα(α为参数）．圆C 2的方程为（x -2）2+y 2=4，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ=θ0（ρ≥0）．（l ）求曲线C 1和圆C 2的极坐标方程：（2）当0＜θ0＜π2时，射线l 与曲线C 1和圆C 2分别交于异于点O 的M 、N 两点，若|ON |=2|OM |，求△MC 2N 的面积．23. 已知函数f(x)=|x −m|+|x +1m |(m ＞1)．（Ⅰ）当m =2时，求不等式f （x ）＞3的解集； （Ⅱ）证明：f(x)+1m(m−1)≥3．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|x＞0}，N={x|x2-4≥0}={x|x≥2或x≤-2}，∴M∪N={x|x≤-2或x＞0}=（-∞，-2]∪（0，+∞）．故选：A．先分别求出集合M，N，再利用并集定义求解．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：在复平面内，复数==--i所对应的点（-，-）位于第三象限．故选：C．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由茎叶图可知：①==84，==84，即=，故选项A错误，②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B正确，③由选项B可知，选项C错误，④因为S甲2=[（75-84）2+（82-84）2+（83-84）2+（87-84）2+（93-84）2]=，S乙2=[（77-84）2+（83-84）2+（84-84）2+（85-84）2+（91-84）2]=，即S甲2＞S乙2，即选项D 正确，故选：D．先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题4.【答案】A【解析】解：等比数列{a n}满足，且a2a4=4（a3-1），则×q××q3=4（×q2-1），解得q2=4，∴a5=a1q4=×42=8，故选：A．先由题意求出公比，再根据等比数列的通项公式公式即可求出a5的值本题考查了等比数列的通项公式，考查了运算求解能力，属于基础题5.【答案】B【解析】解：函数是奇函数，可得f（-x）=-f（x），可得a=0，f（x）=x+，f′（x）=1-，即有曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为k=1-2=-1，可得切线的倾斜角为，故选：B．由奇函数的定义可得a=0，求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由斜率公式可得倾斜角．本题考查函数的奇偶性和导数的运用：求切线斜率，考查化简运算能力和推理能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题可知，═=．故选：D．由题可知，∵，可求出．本题考查了平面向量的线性运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用7.【答案】A【解析】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：S==．故选：A．首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．8.【答案】C【解析】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）=，故选：C．由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．9.【答案】A【解析】解：∵函数，∴f′（x）=+=，x＞0，当a≤0时，f′（x）=＞0恒成立，f（x）是增函数，x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=a-1＜0，函数有且仅有一个零点；当a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故只需f（x）min=f（a）=lna=0，解得：a=1，综上：实数a的取值范围为（-∞，0]∪{1}．故选：A．求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定满足条件的a的范围即可．本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查利用导数研究函数极值点问题、利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题等基础知识，考查分类讨论思想、化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：F1、F2分别是椭圆C ：的左、右焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和下顶点，点F1关于直线AB：bx-ay=ab的对称点M，且MF2⊥F1F2，可得MF2的方程为x=c，MF1的方程y=，可得M（c，-），MF1的中点为（0，-），代入直线bx+ay=ab，可得：ac=b2=c2-a2，e=＞1，可得e2-e-1=0，解得e=．故选：C．画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解MF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：函数，=2sin（ωx+）．令：，所以：f（x）=2sint，在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则：函数y=2sint恰有一个最大值点和一个最小值点在区间[]，则：，解得：，即：．故选：B．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】B【解析】解：补成长，寛，高分别为，，1的长方体（如下图）由于EF⊥α，故截面为平行四边形MNKL，可得KL+KN=，设异面直线BC与AD所成的角为θ，则sinθ=sin∠HFB=sin∠LKN，算得sinθ=，∴S四边形MNKL=NK•KL•sin∠NKL≤（）2=，当且仅当NK=KL时取等号．故选：B．补成长，寛，高分别为，，1的长方体，在长方体中可解决．本题考查了平面的基本性质及推论，属中档题．13.【答案】2【解析】解：由实数x，y满足作出可行域如图，联立，得A（2，2），由z=，而k DA ==2．∴目标函数的最大值为2．故答案为：2．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义，即可行域内的点与定点D（1，0）连线的斜率求解．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．14.【答案】x23−y2=1【解析】解：根据题意得：圆E：（x-2）2+y2=1的圆心F（2，0），半径为1，双曲线渐近线方程为y=±x，即±bx-ay=0，∵以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C的渐近线相切，且4=a2+b2，∴圆心F到渐近线的距离d==b=1，可得a=，所以双曲线方程为：=1．故答案为：=1．根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为1的圆与双曲线C 的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=1，整理得到a，b，即可求解双曲线方程．此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．15.【答案】72【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：需要在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的3名男性工作人员分成2组，与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C32×A22×A22=36种派驻方法；②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地：需要在3名男性工作人员中任选1人，在3名女性工作人员中任选1人，与甲一起派到A地区，将剩下的2名男性工作人员与剩下的2名女性工作人员一起全排列，对应B、C两个地区，此时有C31×C31×A22×A22=36种派驻方法；则一共有36+36=72种派驻方法；故答案为：72．根据题意，分2种情况讨论：①，只有甲一名男性工作人员派到A地区：②，甲与另外一名男性工作人员一起派到A地，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】1009【解析】解：∵S n+S n-1-2S n S n-1=2na n，∴S n+S n-1-2S n S n-1=2n（S n-S n-1），∴2S n S n-1=（2n+1）S n-1-（2n-1）S n，∴．令，则b n-b n-1=2（n≥2）．∴数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列．∴b n=2n-1．即，得．∴S1S2…S m =．由2m+1≥2019，解得m≥1009．即正整数m的最小值为1009．故答案为：1009．把已知数列递推式变形，得到，令，则b n-b n-1=2（n≥2），可知数列{b n}是以为首项，以2为公差的等差数列，求其通项公式，得到S n，再由累积法求得S1S2…S m，求解不等式得答案．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用累积法求数列的通项公式，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵AD=2CD，设∠ABD=2∠CBD=2θ．∴S△BDCS△ABD=CDAD=12，∵S△BDC=12BC⋅BD⋅sinθ，S△BDA =12AB⋅BD⋅sin2θ，AB =√2BC，∴解得：cosθ=√22，可得：θ=π4，∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=3π4…8分（2）在△ABC中，由余弦定理，可得：AC2=AB2+AC2-2AB•BC•cos3θ，因为AC=2√5，AB=√2BC，可得（2√5）2=（√2BC）2+BC2-2√2BC•BC•cos3π4，解得BC=2，…10分可得S△ABC=12AB•BC•sin3θ=12×√2BC2×√22=2…12分【解析】（1）由已知设∠ABD=2∠CBD=2θ．利用三角形的面积公式可求==，结合S△BDC=，，AB=BC，可求cosθ=，解得，可求∠ABC=∠ABD+∠CBD=3θ=．（2）在△ABC中，由余弦定理可求得BC=2，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）连接AC ，BD ，EF ，设EF ∩AC =O ，连接OP ． ∵PC ⊥PE ，PC ⊥PF ，PE ∩PF =P ，∴PC ⊥平面PEF ，∴PC ⊥EF ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ， ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC ，又PC ∩AC =C ，∴EF ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ， ∴EF ⊥PC ．（2）由（1）可知EF ⊥平面PAC ，PC ⊥平面PEF ． ∵OC =34AC =3√2，PC =4，∴PO =√OC 2−PC 2=√2，∴sin ∠PCA =PO OC =13，cos ∠PCA =2√23，∴S △PAC =12×4×4√2×13=8√23．PA =√16+32−2×4×4√2×2√23=4√33， 又OE =12EF =√2，∴V E -PAC =13×8√23×√2=169，又S △PCE =12×2×4=4，设A 到平面PCE 的距离为h ， 则V A -PCE =13×4×h =169，解得h =43． ∴直线PA 与平面PEC 所成角的正弦值为ℎPA =√33．【解析】（1）连接AC ，BD ，EF ，通过证明PC ⊥平面PEF 得出PC ⊥EF ，根据中位线定理得出EF ⊥AC ，故而可得EF ⊥平面PAC ，于是EF ⊥PC ；（2）根据V E-PAC =V A-PCE 计算A 到平面PCE 的距离，再计算线面角的正弦值； 本题考查了线面垂直的判定与性质，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题． 19.【答案】解：（1）y =c +d ln x 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，令u =ln x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，=−27.542.70=-10.20，=6.6+10.20×1.75=24.45，∴y 关于u 的线性回归方程为， 因此y 关于x 的回归方程为．（2）由题意得z =xy =x （24.45-10.20ln x ），则z ′=[x （24.45-10.20ln x ）]′=14.25-10.20ln x ， 令z ′=0得14.25-10.20ln x =0，得ln x ≈1.40， 得x ≈4.06，当x ∈（0，4.06）时，z ′＞0，此时z 单调递增，当x ∈（4.06，+∞）时，z 单调递减， 故当x =4.06时，z 取得最大值，即月销售量y =10.17（千件）时，月销售额预报值最大． 【解析】（1）根据散点图得到y=c+dlnx 更适合销量y 关于月销售价格x 的回归方程类型，结合表格数据进行计算即可．（2）求出z 的表达式，求z 的导数，结合函数的单调性最值之间的关系进行判断即可． 本题主要考查回归方程的应用，结合数据进行计算，求出相应的系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．20.【答案】解：（1）∵点A 的横坐标为4，∴A （4，4），易知此时直线l 的方程为y =12x +2， 联立{x 2=4yy =12x +2，解得{y =1x=−2，或{y =4x=4，∴B （-2，1）．由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =2，直线PA 的方程为y =2x -4，同理可得直线PB 的方程为y =-x -1，联立；{y =−x −1y=2x−4，可得{y =−2x=1，故点P 的坐标为（1，-2）． （2）设A （x 1，x 14），B （x 2，x 24），由y =x 24得y ′=x2，所以k PA =x 12，所以直线PA 的方程为y -x 124=x 12（x -x 1），即y =x12x -x 124，同理PB 的方程为y =x 22x -x 224，联立解得P （x 1+x 22，x 1x 24），依题意直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y -3=k （x -2），由{y −2=k(x −2)x 2=4y得x 2-4kx +8k -12=0，易知△＞0，因此x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -12，∴P （2k ，2k -3），∴点P 在直线x -y -3=0上，当|PQ |取得最小值时，即抛物线C ：x 2=4y 上的点Q 到直线x -y -3=0的距离最小． 设Q （x 0，x 024），Q 到直线x -y -3=0的距离d =|x 0−x 024−3|√2=|(x 02−1)2+1|√2=√2+(x 02−1)2√2，所以当x 0=2时，d 取最小值√2，此时Q （2，1），易知过点Q 且垂直于x -y -3=0的直线方程为y =-x +3，由{x −y −3=0y=−x+3解得P （3，0），k =32，所以直线l 的方程为y =32x ， 综上，点Q 的坐标为（2，1），直线l 的方程为y =32x ． 【解析】（1）通过导数的几何意义求得PA，PB的斜率，再求得PA，PB的方程，再联立解得P的坐标：（2）设出A，B的坐标后利用导数的几何意义求得PA，PB的方程，联立解得P的坐标，得点P 在定直线x-y-3=0上，∴点P在直线x-y-3=0上，当|PQ|取得最小值时，即抛物线C：x2=4y上的点Q到直线x-y-3=0的距离最小．再利用点到直线距离公式求出Q到直线x-y-3=0 的距离及其最小值的条件，可得Q的坐标，从而可得直线l的方程．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21.【答案】解：（1）∵函数f（x）=e x-ae-x-（a+1）x（a∈R）．∴f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=(e x−1)(e x−a)e x，①当a≤0时，x（-∞，0） 0（0，+∞）f′（x）- 0+f（x）↓极小值↑∴函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．②当0＜a＜1时，x（-∞，ln a） ln a（ln a，0） 0（0，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2e x≥0，∴函数f（x）单调递增，即f（x）无极值点．④当a＞1时，x（-∞，0） 0（0，ln a） ln a（ln a，+∞）f′（x）+ 0- 0+f（x）↑极大值↓极小值↑∴函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．综上：当a≤0时，函数f（x）的极小值点为x=0，无极大值点．当0＜a＜1时，函数f（x）的极大值点为x=ln a，极小值点为x=0．当a=1时，函数f（x）无极值点．当a＞1时，函数f（x）的极大值点为x=0，极小值点为x=ln a．（2）e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，∵当0＜a＜1时，ln a＜a-1＜0，∴当0＜a＜1时，e a-1＞1+a-1=a，∴ln a＜a-1＜0，令g（a）=ln a-a+1，则g′(a)=1a−1，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，∴g（a）＜g（1）=0，即a-1＞ln a，∵a-1＜0，∴ln a＜a-1＜0，∴由（1）知0＜a＜1时，f（x）在区间（a-1，0）上递减，在（0，+∞）上递增，∴f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，∵关于x的不等式[f（x）]2＜λ（e a-1-a）在区间（a-1，+∞）上存在实数解，∴只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，∴当0＜a＜1时，e a-1-a＞0，∴只需当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F（x）=(1−x)2e x−1−x，0≤x＜1，则F′（x）=(1−x)2e x−1−x，∵0≤x＜1，∴F′（x）=(x−1)(3ex−1−x−1)(e x−1−x)2，令函数μ（x）=（3-x）e x-1在点T（1，2）处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1，如图所示，由题意得（3-x）e x-1≥x+1，当且仅当x=1时，取等号，∴当0＜x＜1时，G（x）＞0，∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，∴F（x）＜F（0）=e，即F（x）＜e，∴当0＜a＜1时，不等式λ＞(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e．综上，实数λ的取值范围是[e，+∞）．【解析】（1）求出f′（x）=e x+ae-x-（a+1）=，根据a≤0，0＜a＜1，a=1，a＞1，进行分类讨论，利用导数性质能求出函数f（x）的极值点．（2）令g（a）=lna-a+1，则，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，a-1＞lna，f（x）在区间（a-1，+∞）上的最小值为f（0）=1-a，只需当0＜a＜1时，关于a的不等式（1-a）2＜λ（e a-1-a）恒成立，只需当0＜a＜1时，不等式恒成立即可，令函数F（x）=，0≤x＜1，则F′（x）=，求出F′（x）=，利用导数性质能求出实数λ的取值范围．本题考查利用导数研究函数极值点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用分类讨论思想、数形结合思想求解，是难题．22.【答案】解：（1）由{y=sinαx=2cosα，得C1的普通方程为x24+y2=1，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得(ρcosθ)24+（ρsinθ）2=1，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=41+3sin2θ，所以C1的极坐标方程为ρ2=41+3sin2θ，由（x-2）2+y2=4，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得ρ=4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（2）把θ=θ0代入ρ2=41+3sin 2θ，得ρM 2=41+3sin 2θ0，把θ=θ0代入ρcosθ，得ρN 2=4cosθ0，则|ON |=2|OM |，得ρN =2ρM ，则ρN 2=4ρM 2，即（4cosθ0）2=161+3sin 2θ0，解得sin 2θ0=23，cos 2θ0=13，又0＜θ0＜π2，所以ρM =√41+3sin 2θ0=2√33，ρN =4cosθ0=4√33，所以△MC 2N 的面积S MC 2N =S △OC 2N -S△OC 2M =12|OC 2|（ρN -ρM ）sinθ0=12×2×2√33×√63=2√23．【解析】（1）由，得C 1的普通方程为+y 2=1；把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2=1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得． 本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题． 23.【答案】解：（Ⅰ）当m =2时，f （x ）=|x -2|+|x +12|；①当x ≤-12时，原不等式等价于（2-x ）-（x +12）＞3，解得x ＜−34； ②当-12＜x ＜2时，原不等式等价于52＞3，不等式无解； ③当x ≥2时，原不等式等价于（x -2）+（x +12）＞3，解得x ＞94， 综上，不等式f （x ）＞3的解集为（-∞，-34）∪（94，+∞）． （Ⅱ）证明：由题f （x ）=|x -m |+|x +1m |， ∵m ＞0，∴|m +1m |=m +1m ，所以f （x ）≥m +1m ，当且仅当x ∈[-1m ，m ]时等号成立， ∴f （x ）+1m(m−1)≥m +1m +1m(m−1)=m +1m−1=（m -1）+1m−1+1， ∵m ＞1，m -1＞0，∴（m -1）+1m−1+1≥2√(m −1)⋅1m−1+1=3，∴f （x ）+1m(m−1)≥3．当m =2，且x ∈[-12，2]时等号成立． 【解析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并； （Ⅱ）由题f （x ）=|x-m|+|x+|，∵m ＞0，∴|m+|=m+，所以f （x ）≥m+，当且仅当x ∈[-，m]时等号成立，再利用基本不等式可证． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷(理科)
2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．74．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥05．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣36．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170219．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．110．5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．9011．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x 轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D．f（2﹣x1）≤f（2﹣x2）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(),0a t =r ，()1,3b =-r，若4a b ⋅=r r ，则2a b -=r r ． 14．若()52132x a x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为80，则a = ．15．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且ABC ∆的外接圆半径为1，若6abc =，则ABC ∆的面积为 ．16．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，O 为坐标原点，点4,2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2p N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，射线,MO NO 分别交抛物线C 于异于点O 的点,A B ，若,,A B F 三点共线，则p = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知正项数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，且12,9,a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18． 2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =.已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14.假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示一名顺利进入最后一圈的运动员在滑行结束后，在最后一圈顺利通过的交接口数.（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率； （2）求X 的分布列及数学期望()E X .19． 如图，在三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上的任意一点，,,F G H 分别为所在棱的中点.（1）证明：BD ∥平面FGH ；（2）若CF ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2AB =，45BAC ∠=︒，当二面角C GF H --的平面角为3π时，求棱PC 的长.20． 已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的焦距为2c ，且b =，圆()222:0O x y r r +=>与x 轴交于点,,M N P 为椭圆E 上的动点，2PM PN a +=，PMN ∆（1）求圆O 与椭圆E 的方程；（2）设圆O 的切线l 交椭圆E 于点,A B ，求AB 的取值范围.21． 已知函数()()326,f x x x ax b a b =-++∈R 的图象在与x 轴的交点处的切线方程为918y x =-. （1）求()f x 的解析式； （2）若()()212910kx x f x x k -<<+对()2,5x ∈恒成立，求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为3cos ρθ=. （1）求圆C 的参数方程；（2）设P 为圆C 上一动点，()5,0A ，若点P 到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求ACP ∠的大小.23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()3121f x x x a =--++. （1）求不等式()f x a >的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，求a 的取值范围.2019年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题1．复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面上对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．集合P={x|x2﹣9＜0}，Q={x∈Z|﹣1≤x≤3}，则P∩Q=（）A．{x|﹣3＜x≤3}B．{x|﹣1≤x＜3}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合P中一元二次不等式的解集确定出集合P，取集合Q中解集的整数解确定出集合Q，然后找出既属于P又属于Q的元素即可确定出两集合的交集．【解答】解：由集合P中的不等式x2﹣9＜0，解得：﹣3＜x＜3，∴集合P={x|﹣3＜x＜3}；由集合Q中的解集﹣1≤x≤3，取整数为﹣1，0，1，2，3，∴集合Q={﹣1，0，1，2，3}，则P∩Q={﹣1，0，1，2}．故选D【点评】此题属于以不等式解集为平台，考查了交集的元素，是一道基础题，也是高考中常考的题型．3．已知cosα=﹣，且α∈（，π），则tan（α+）等于（）A．﹣B．﹣7 C．D．7【考点】两角和与差的正切函数；弦切互化．【分析】先根据cosα的值求出tanα的值，再由两角和与差的正切公式确定答案．【解答】解析：由cosα=﹣且α∈（）得tanα=﹣，∴tan（α+）==，故选C．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．若命题p：对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1＜0，则￢p为（）A．不存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0B．存在x∈R，使得x3﹣x2+1＜0C．对任意的x∈R，都有x3﹣x2+1≥0D．存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定￢p为：存在x∈R，使得x3﹣x2+1≥0故选：D【点评】本题主要考查全称命题的否定，要求掌握全称命题的否定是特称命题．5．在等比数列{a n}中，a1=4，公比为q，前n项和为S n，若数列{S n+2}也是等比数列，则q等于（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】等比关系的确定．【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列，即（s2+2）2=（S+2）（S3+2）1代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解方程即可求解【解答】解：由题意可得q≠1由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2，s2+2，s3+2成等比数列则（s2+2）2=（S1+2）（S3+2）代入等比数列的前n项和公式整理可得（6+4q）2=24（1+q+q2）+12解可得q=3故选C．【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择，解题时要注意对公比q=1，q≠1的分类讨论，体现了公式应用的全面性．6．已知向量=（1，1），2+=（4，2），则向量，的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的坐标运算求出；利用向量的数量积公式求出两个向量的数量积；利用向量模的坐标公式求出两个向量的模；利用向量的数量积公式求出两个向量的夹角余弦．【解答】解：∵∴∴∵∴两个向量的夹角余弦为故选C【点评】本题考查向量的数量积公式，利用向量的数量积公式求向量的夹角余弦、考查向量模的坐标公式．7．函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）的图象关于原点对称的充要条件是（）A．φ=2kπ﹣，k∈Z B．φ=kπ﹣，k∈Z C．φ=2kπ﹣，k∈Z D．φ=kπ﹣，k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先利用辅助角公式对函数化简可得，f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+），由函数的图象关于原点对称可知函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0代入可得sin（φ）=0，从而可求答案．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+）的图象关于原点对称∴函数f（x）为奇函数，由奇函数的性质可得，f（0）=0∴sin（φ）=0∴φ=kπ∴φ=故选：D【点评】本题主要考查了利用辅助角公式把不同名的三角函数化为y=Asin（x+）的形式，进而研究函数的性质；还考查了奇函数的性质（若奇函数的定义域内有0，则f（0）=0）的应用，灵活应用性质可以简化运算，减少运算量．8．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．9．双曲线的离心率为2，则的最小值为（）A．B． C．2 D．1【考点】双曲线的简单性质；基本不等式．【分析】根据基本不等式，只要根据双曲线的离心率是2，求出的值即可．【解答】解：由于已知双曲线的离心率是2，故，解得，所以的最小值是．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质及其方程．双曲线的离心率e和渐近线的斜率之间有关系，从这个关系可以得出双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大．10．（x2+3x﹣y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．﹣90 B．﹣30 C．30 D．90【考点】二项式系数的性质．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，令5【分析】（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1﹣r=2，解得r=3．展开（x2+3x）3，进而得出．=（﹣y）5﹣r（x2+3x）r，【解答】解：（x2+3x﹣y）5的展开式中通项公式：T r+1令5﹣r=2，解得r=3．∴（x2+3x）3=x6+3（x2）2•3x+3（x2）×（3x）2+（3x）3，∴x5y2的系数=×9=90．故选：D．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知不等式组表示平面区域D，现在往抛物线y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域内随机地抛掷一小颗粒，则该颗粒落到区域D中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据积分的知识可得先求y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，的面积，然后根据线性规划的知识作出平面区域D，并求面积，最后代入几何概率的计算公式可求．【解答】解：根据积分的知识可得，y=﹣x2+x+2与x轴围成的封闭区域为曲面MEN，面积=等式组表示平面区域D即为△AOB，其面积为根据几何概率的计算公式可得P=故选：C【点评】本题主要考查了利用积分求解曲面的面积，还考查了几何概率的计算公式的应用，属于基础试题．12．定义在R上的函数f（x）满足（x﹣1）f′（x）≤0，且y=f（x+1）为偶函数，当|x1﹣1|＜|x2﹣1|时，有（）A．f（2﹣x1）≥f（2﹣x2）B．f（2﹣x1）=f（2﹣x2）C．f（2﹣x1）＜f（2﹣x2）D ．f （2﹣x 1）≤f （2﹣x 2）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】①若函数f （x ）为常数，可得当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，可得y=f （x ）关于x=1对称．当x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|可得f （x 1）＞f （x 2）．当x 1＜1，x 2＜1时，同理可得f （x 1）＞f （x 2）．综合①②得出结论．【解答】解：①若f （x ）=c ，则f'（x ）=0，此时（x ﹣1）f'（x ）≤0和y=f （x +1）为偶函数都成立，此时当|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|时，恒有f （2﹣x 1）=f （2﹣x 2）．②若f （x ）不是常数，因为函数y=f （x +1）为偶函数，所以y=f （x +1）=f （﹣x +1）， 即函数y=f （x ）关于x=1对称，所以f （2﹣x 1）=f （x 1），f （2﹣x 2）=f （x 2）． 当x ＞1时，f'（x ）≤0，此时函数y=f （x ）单调递减，当x ＜1时，f'（x ）≥0，此时函数y=f （x ）单调递增．若x 1≥1，x 2≥1，则由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得x 1﹣1＜x 2﹣1，即1≤x 1＜x 2，所以f （x 1）＞f （x 2）．同理若x 1＜1，x 2＜1，由|x 1﹣1|＜|x 2﹣1|，得﹣（x 1﹣1）＜﹣（x 2﹣1），即x 2＜x 1＜1，所以f （x 1）＞f （x 2）．若x 1，x 2中一个大于1，一个小于1，不妨设x 1＜1，x 2≥1，则﹣（x 1﹣1）＜x 2﹣1， 可得1＜2﹣x 1＜x 2，所以f （2﹣x 1）＞f （x 2），即f （x 1）＞f （x 2）． 综上有f （x 1）＞f （x 2），即f （2﹣x 1）＞f （2﹣x 2）， 故选A ．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题13．()2,6-- 14．-2 15．3216．2 三、解答题17．解：（1）因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为2的等差数列，所以212233a a -=， 则21318a a =+，又12,9,a a 成等比数列，所以()212113189a a a a =+=，解得13a =或19a =-，因为数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为正项数列，所以13a =.所以()3212133n n a n n =+-=-， 故()213n n a n =-⋅.（2）由（1）得()21333213n n S n =⨯+⨯++-⋅L ， 所以()23131333213n n S n +=⨯+⨯++-⋅L ，所以()231332333213n n n n S S n +⎡⎤-=+⨯+++--⋅⎣⎦L ，即()2133323221313n n n S n +-⨯-=+⨯--⋅-()1136123n n n ++=-+-⋅()12236n n +=-⋅-， 故()1133n n S n +=-⋅+.18．解：（1）由题意可知：3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.（2）X 的所有可能值为0,1,2,3,4.则()()31,2,3,44k P A k ==，且1234,,,A A A A 相互独立. 故()()1104P X P A ===，()()121P X P A A ==⋅=3134416⨯=，()()1232P X P A A A ==⋅⋅=23194464⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12343P X P A A A A ==⋅⋅⋅=3312744256⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，()()12344P X P A A A A ==⋅⋅⋅=43814256⎛⎫=⎪⎝⎭.从而X 的分布列为所以()139********E X =⨯+⨯+⨯+278152534256256256⨯+⨯=.19．（1）证明：因为,G H 分别为,AC BC 的中点， 所以AB GH ∥，且GH ⊂平面FGH ，AB ⊄平面FGH ，所以AB ∥平面FGH .又因为,F G 分别为,PC AC 的中点，所以有GF AP ∥，FG ⊂平面FGH ， 且AP ⊄平面FGH ，所以AP ∥平面FGH . 又因为AP AB A =I ，所以平面ABP ∥平面FGH . 因为BD ⊂平面ABP ，所以BD ∥平面FGH .（2）解：在平面ABC 内过点C 作CM AB ∥，如图所示，以C 为原点，,,CB CM CF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系C xyz -.由ABC ∆为等腰直角三角形知BG AC ⊥，又BG C F ⊥，AC CF C =I ，所以有BG ⊥平面PAC .设CF a =，则()2,0,0B ，()1,1,0G -，所以()1,1,0BG =--uuu r为平面PAC 的一个法向量.又()0,0,F a ，()1,0,0H ，所以()1,0,FH a =-uuu r ，()1,1,FG a =--uuu r，设(),,m x y z =u r 为平面FGH 的一个法向量，则有0m FH m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uu u r，即有0x az x y az -=⎧⎨--=⎩，所以可取(),0,1m a =u r .由1cos ,2m BG ==u r uu u r，得1a =，从而22a =. 所以棱PC 的长为2.20．解：（1）因为b =，所以2a c =.①因为2PM PN a +=，所以点,M N 为椭圆的焦点，所以，22214r c a ==. 设()00,P x y ，则0b x b -≤≤，所以0012PMN S r y a y ∆=⋅=， 当0y b =时，()max 12PMN S ab ∆== 由①，②解得2a =，所以b =1c =，所以圆O 的方程为221x y +=，椭圆E 的方程为22143x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨取直线l 的方程为1x =，解得31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3AB =.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x kx m +，()22,B x kx m +.因为直线l1=，即221m k =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 可得()2224384120k x kmx m +++-=， ()224843k m ∆=+-=()248320k +>，122843kmx x k +=-+，212241243m x x k -=+.AB ===24k+=令2134t k =+，则214034t k <=≤+，所以AB =，403t <≤，所以AB =33AB <≤.综上，AB 的取值范围是⎛ ⎝⎦.21．解：（1）由9180x -=得2x =，∴切点为()2,0. ∵()2312f x x x a '=-+，∴()2129f a '=-=，∴21a =，又()282420f a b =-++=，∴26b =-，()3262126f x x x x =-+-. （2）由()9f x x k <+得()9k f x x >-=3262126x x x -+-，设()3261226g x x x x =-+-，()()2344g x x x '=-+=()2320x ->对()2,5x ∈恒成立，∴()g x 在()2,5上单调递增，∴()59k g ≥=.∵()()32612892f x x x x x =-+-+-=()()3292x x -+-，∴由()()21210kx x f x -<对()2,5x ∈恒成立得()129102x k x x x -<+-213212x x x -=+-对()2,5x ∈恒成立，设()()21321252x h x x x x -=+<<-，()()22213132x x h x x x -+'=-， 当25x <<时，213130x x -+<，∴()0h x '<，∴()h x 单调递减，∴()165105k h ≤=，即12k ≤. 综上，k 的取值范围为[]9,12.22．解：（1）∵3cos ρθ=，∴23cos ρρθ=，∴223x y x +=，即223924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，∴圆C 的参数方程为33cos ,223sin 2x y αα⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（α为参数）.（2）由（1）可设333cos ,sin 222P θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，[)0,2θπ∈，sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭0y -+=， 则P到直线sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=3sin 23πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 03πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵[)0,2θπ∈，∴3πθ=或43π，故3ACP π∠=或23ACP π∠=. 23．解：（1）由()f x a >，得3121x x ->+， 不等式两边同时平方得，22961441x x x x -+>++， 即2510x x >，解得0x <或2x >.所以不等式()f x a >的解集为()(),02,-∞+∞U .（2）设()3121g x x x =--+=12,2115,2312,3x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，作出()g x 的图象，如图所示，因为()()020g g ==，()()()34213g g g <=<-=， 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n <，所以()()30,40,f f <⎧⎪⎨≥⎪⎩即1020a a +<⎧⎨+≥⎩，故a 的取值范围为[)2,1--.。
山东省威海市2019届高三二模考试理科数学试题(解析版)
2019年山东省威海市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足z（1+i）=（3+i）2，则|z|=（）A. B. C. D. 82.已知集合，，，则A∩B=（）A. B. C. D.3.如图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为（）A. 6B. 7C. 8D. 94.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，M，为其终边上一点，则cos2α=（）A. B. C. D.5.若x，y满足约束条件，，，则z=3x-y的最大值为（）A. 2B. 1C. 0D.6.函数的图象可由y=2cos2x的图象如何变换得到（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位7.若P为△ABC所在的平面内一点，且，则△ABC的形状为（）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形8.已知函数f（x）=ln x+ln（a-x）的图象关于直线x=1对称，则函数f（x）的值域为（）A. B. C. D.9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（）A. 6B. 8C.D.10.在△ABC中，AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，则BC=（）A. 5B.C.D.11.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.12.设F1，F2为双曲线＞，＞的左右焦点，点P（x0，2a）为双曲线上的一点，若△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在的展开式中，x4的系数是______．14.已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，则p=______．15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AA1=2，设其外接球的球心为O，已知三棱锥O-ABC的体积为1，则球O表面积的最小值为______．16.“克拉茨猜想”又称“3n+1猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1．已知正整数m经过6次运算后得到1．则m的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，求数列{b n}的前n项和S n．18.如图，四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，△ABC为等边三角形，PA=2AB=2，AC⊥CD，PD与平面PAC所成角的正切值为C2．（Ⅰ）证明：BC∥平面PAD；（Ⅱ）若M是BP的中点，求二面角P-CD-M的余弦值．19.某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计甲、乙两市场以往100个销售周期该蔬菜的市场需求量的频数分布，如表：甲市场以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以X（单位：吨）表示下个销售周期两市场的需求量，T（单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．（Ⅰ）当n=19时，求T与X的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；（Ⅱ）以销售利润的期望为决策依据，判断n=17与n=18应选用哪一个．20.在直角坐标系xOy中，设椭圆：＞＞的左焦点为F1，短轴的两个端点分别为A，B，且∠AF1B=60°，点，在C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k＞0）与椭圆C和圆O分别相切于P，Q两点，当△OPQ 面积取得最大值时，求直线l的方程．21.已知函数＞．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当m∈[0，1）时，函数＞有最大值．设g（x）的最大值为h（m），求函数h（m）的值域．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，且曲线C1与C2恰有一个公共点．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程；（Ⅱ）已知曲C1上两点，A，B满足，求△AOB面积的最大值．23.已知正实数a，b满足a+b=2．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若对任意正实数a，b，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z（1+i）=（3+i）2，得z=，∴|z|=||=．故选：C．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵集合，∴A={y|-1≤y≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0，2]．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查集合的运算及关系，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据茎叶图中数据，计算平均数为×（86+80+x+90+91+91）=89，解得x=7．故选：B．根据茎叶图中数据计算平均数即可．本题考查了利用茎叶图中数据计算平均数的应用问题，是基础题．4.【答案】D【解析】解：∵M，∴OM==．∴sinα==．∴cos2α=1-2sin2α=1-2×（）2=．故选：D．易得OM的长度，利用二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义即可求解．本题主要考查了二倍角的三角函数，任意角的三角函数的定义，考查了转化思想，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图：z=3x-y，得y=3x-z，平移直线y=3x-z，由图象可知当直线y=3x-z经过点B（1，1）时，直线y=3x-z的截距最大，此时z最大，z max=3×1-1=2．即z的最大值是2．故选：A．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：函数=2，把函数的图象向左平移个单位，得到：y=2sin（2x+）=2cos2x的图象，故：要得到y=2sin（）的图象，只需将y=2cos2x的图象向右平移个单位即可．故选：B．直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】C【解析】，解：∵，∴||=||∴y根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等即ABCD为矩形，C=则△ABC的形状为直角三角形故选：C．由已知可得||=||，根据向量加法及减法的平行四边形法则可知，以为邻边所作的平行四边形的对角线相等，可判断本题主要考查了向量加法及减法的平行四边形法则的简单应用，属于基础试题8.【答案】D【解析】解：根据题意，对于函数f（x）=lnx+ln（a-x），有f（a-x）=ln（a-x）+ln[a-（a-x）]=lnx+ln（a-x）=f（x），则函数f（x）的图象关于直线x=对称，若函数f （x ）=lnx+ln （a-x ）的图象关于直线x=1对称，则有=1，则a=2， 则f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），其定义域为（0，2）， 设t=2x-x 2，则y=lnt ，又由t=-（x-1）2+1，0＜x ＜2，则有0＜t≤1，则y=lnt≤0，即函数f （x ）的值域为（-∞，0]； 故选：D ．根据题意，分析可得f （a-x ）=f （x ），即可得函数f （x ）的图象关于直线x=对称，据此可得a 的值，进而可得f （x ）=lnx+ln （2-x ）=ln （2x-x 2），设t=2x-x 2，则y=lnt ，由换元法分析可得答案．本题考查函数的对称性，涉及换元法求函数的值域，关键是求出a 的值，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：根据三视图知，该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥P-ABCD ， 且长方体的长、宽、高分别为4、2、3，如图所示；结合图中数据，计算该四棱锥的体积为：V 四棱锥P-ABCD =V 三棱锥C-BDP +V 三棱锥D-ABP =××4×2×3+××4×3×2=8． 故选：B ．根据三视图知该几何体是镶嵌在长方体中的四棱锥，结合图中数据求出该四棱锥的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：AC=3，向量在向量的投影的数量为-2，S△ABC=3，可得|AB|cosA=-2，|AB|•|AC|•sinA=3，即|AB|sinA=2，即tanA==-1，内角A=135°，|AB|==2，|BC|2=|AB|2+|AC|2-2|AB|•|AC|•cosA=8+9-2•2•3•（-）=29，即|BC|=，故选：C．由向量的投影和三角形的面积公式，可得A，|AB|，再由余弦定理可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查向量的投影的定义，以及化简运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了导数与函数单调性的关系，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与PF1，PF2，F1F2分别切与点E，F，G，根据圆的切线的性质得：PE=PF，F1E=F1G，F2F=F2G，根据双曲线的定义知：PF1-PF2=2a，即（PE+F1E）-（PF-F2F）=2a，∴F1G-F2G=2a，①又F1G+F2G=2c，②，联立①②解得F1G=a+c，F2G=c-a，∴G（a，0），∴内心I的横坐标为a，∵△PF1F2的重心和内心的连线与x轴垂直，∴△PF1F2的重心的横坐标为a，由三角形的重心坐标公式可得a=，解得x0=3a，∴P（3a.2a），将P的坐标代入双曲线可得：-=1，即9-=1，化简得3a2=2c2，所以离心率e==．故选：A．根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得x0=3a，再将P的坐标代入双曲线可得．本题考查了双曲线的性质，属难题．13.【答案】80【解析】解：在的展开式的通项公式为T r+1=•25-r•，令5-=4，可得r=2，可得x4的系数是•23=80，故答案为：80．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.【答案】2或8【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M到x轴的距离为4，到焦点的距离为5，如图：可得|FQ|=3，所以p=5±|FQ|，所以P=2或8．故答案为：2或8．画出图形，利用抛物线的性质转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.【答案】16π【解析】解：如图，因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，又因为三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，所以r==≥=2，当且仅当a=b时等号成立，所以球O表面积的最小值为S=4πr2=16π．故填：16π．设AB=a，BC=b，球的半径为r．连接AC1∩A1C=O，取AC的中点D，连接BD，则O到三棱柱六个顶点的距离相等，即O为三棱柱外接球的球心．OD=，三棱锥O-ABC的体积为1，即，即，表示出r，根据基本不等式可得r的最小值，从而得到球的表面积的最小值．本题借助直三棱柱的外接球，考查了基本不等式、球的表面积等．属于中档题．16.【答案】64、10、1、8．【解析】解：根据题意，正整数m经过6次运算后得到1，则正整数m经过5次运算后得到2，经过4次运算后得到4，经过3次运算后得到8或者1，分2种情况讨论：①，当经过3次运算后得到8时，经过2次运算后得到16，则经过1次运算后得到32或5，则m的值为64或10，②，当经过3次运算后得到1时，经过2次运算后得到2，则经过1次运算后得到4，则m的值为1或8；综合可得：m的值可能为64、10、1、8．故答案为：64、10、1、8．根据题意，利用正整数m经过6次运算后得到1，结合变化的规则，进行逐项逆推即可得答案．本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键．17.【答案】解：（Ⅰ）设首项为a1，公比为q的递增的等比数列，a5=48，4a2，3a3，2a4成等差数列．故：，解得：q=2或1（舍去），整理得：a1=3，所以：，（Ⅱ）数列{b n}满足b1=a2，b n+1=b n+a n，所以：b1=6．则：b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n-1+a n-2+…+a2+a1+b1，=，=3•2n-1+3所以：S n=b1+b2+…+b n=．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用叠加法求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在数列通项公式的求法中的应用，数列的求和的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCVD，∴PA⊥CD，又AC⊥CD，CA∩PA=A，∴CD⊥平面PAC，∴∠DPC为PD与平面PAC所成角，在Rt△PAC中，tan∠DPC==，在Rt△PAC中，PC=，∴CD=，在Rt△ACD中，AD=2，∠CAD=60°，∵∠BCA=60°，∴在底面ABCD中，BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，∴BC∥平面PAD．解：（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，由（Ⅰ）知BC∥AD，∴AN⊥AD，分别以AN，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（，，0），D（0，2，0），M（，-，1），则=（-，，0），=（0，2，-2），=（，，），设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，=（，，），设平面CDM的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，，），设二面角P-CD-M的平面角为θ，则cosθ===．故二面角P-CD-M的余弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出PA⊥CD，CD⊥平面PAC，∠DPC为PD与平面PAC所成角，由此能证明BC∥平面PAD．（Ⅱ）设BC的中点为N，连结AN，则AN⊥BC，分别以AN，AD，AP为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向时法能求出二面角P-CD-M的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，当X≥19，T=500×19=9500；当X＜19，T=500×X-（19-X）×100=600X-1900，所以T与X的函数解析式为T=，，＜，由题意可知，一个销售周期内甲市场需求量为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3；乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3，设销售的利润不少于8900元的事件记为A，当X≥19，T=500×19=9500＞8900，当X＜19，600X-1900≥8900，解得X≥18，由题意可知，P（X=16）=0.3×0.2=0.06；P（X=17）=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23；所以P（A）=P（X≥18）=1-0.06-0.23=0.71．（Ⅱ）当n=17时，E（T）=（500×16-1×100）×0.06+500×17×0.94=8464；当n=18时，E（T）=（500×16-2×100）×0.06+（500×17-1×100）×0.23+18×500×0.71=8790；因为8464＜8790，所以应选n=18．【解析】（Ⅰ）先分2段求出T与X的函数关系式，再利用函数的解析式求得概率；（Ⅱ）计算两个期望比较大小，作出决策．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点，在C上，可得+=1，∴b2=1，a2=4，∴椭圆C的方程为+y2=1，（Ⅱ）联立，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，∵直线l与椭圆相切，∴△=16（4k2+1-m2）=0，即4k2+1=m2，设P（x1，y1），可得x1==-，则y1==，∴|OP|2=+===4-又直线l与圆O相切，可得|OQ|=，则|OQ|2===4-∴|PQ|===，∴S△OPQ=|PQ|•|OP|=•=•=•≤，当且仅当k=1时取等号，此时m2=1+4=5，则m=±，故直线l的方程为y=x+或y=x-．【解析】（Ⅰ）由∠AF1B=60°，可得a=2b，由点在C上，可得+=1，解得b2=1，a2=4，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）联立，根据判别式求出4k2+1=m2，即可求出点P的坐标，可得|OP|，再求出|OQ|，表示出三角形的面积，根据基本不等式即可求出．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，三角形面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=e2x+2×e2x=e2x，x＞-1，令h（x）=-2x2+（2a-2）x+a-1，△=4（a2-1），当-1≤a≤1时，△≤0，则h（x）≤0，即f′（x）≤0，∴f（x）在（-1，+∞）上单调递增，当a＜-1或a＞1时，此时△＞0，设h（x）=0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则x1=，x2=，若a＜-1，可知x1＜-1＜x2，则x∈（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（-1，x2），f′（x）＞0，若a＞1，可知-1＜x1＜x2，则x∈（-1，x1），（x2，+∞），f′（x）＜0，x∈（x1，x2），f′（x）＞0，综上所述，当a＜-1时，f（x）在（，+∞）上单调递减，在（-1，）上单调递增，（，+∞）上单调递减，在（，）当a＞1时，f（x）在（-1，），上单调递增，证明：（Ⅱ）＞，∴g′（x）====，由（Ⅰ）可知当a=1时，f（x）=e2x在（0，+∞）单调递减，且f（0）=1，f（1）=0，∴对任意m∈[0，1），存在唯一x m∈（0，1]，使f（x m）=m，（反之对任意x m（0，1]存在唯一m∈[0，1），f（x m）=m），∴当x∈（0，x m）时，f（x）＞m，此时g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x m）上单调递增，当x∈（x m，+∞）时，f（x）＜m，此时g′（x）＜0，函数g（x）在（x m，+∞）上单调递减，∴当x=x m时，g（x）取得最大值，即最大值h（m）=g（x m）====令p（x）=e2x，p′（x）=-e2x≤0，（0＜x≤1），∴p（x）在（0，1]上单调递减，∴p（1）≤h（m）＜p（0），即-e2≤h（m）＜-2，∴h（m）的值域为[-e2，-2）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调的关系即可求出，（Ⅱ）先求导，g′（x）=，由（Ⅰ）可知当a=1时，构造函数，再根据导数和函数最值的关系即可证明．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，可得C2的直角坐标方程为：x+-6=0，即曲线C2为直线．曲线C1是圆心为（2，0），半径为|r|的圆．因为圆C1与直线C2恰有一个公共点，可得|r|==2，圆C1的普通方程为x2+y2-4x=0，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由题意可设A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+），（ρ1＞0，ρ2＞0），S△AOB=|OA||OB|sin=ρ1ρ2=4cosθcos（θ+）=4（cos2θ-sinθcosθ）=4（-）=2+2cos（2θ+），所以△AOB面积的最大值为2+2．【解析】（Ⅰ）消参可得C1的普通方程，再根据互化公式可得C1的极坐标方程．（Ⅱ）根据极径的几何意义和三角形面积公式可得面积，再根据三角函数的性质可得最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】（Ⅰ）证明：正实数a，b满足a+b=2，则=2（a+b）+2+2•≤6+2（a+b）+2=12，∴；（Ⅱ）解：对任意正实数a，b，有a+b≥2，所以2≤2，即ab≤1，当且仅当a=b 时取“=”；所以对任意a、b∈R+，不等式|x+1|-|x-3|≥ab恒成立，即|x+1|-|x-3|≥1恒成立；若x≤-1，则不等式化为-x-1-（3-x）≥1，即-4≥1，不等式无解；若-1＜x＜3，则不等式化为x+1-（3-x）≥1，解得≤x≤3；若x≥3，则不等式化为x+1-（x-3）≥1，即4≥1，不等式恒成立；综上，实数x的取值范围是[，+∞）．【解析】（Ⅰ）根据题意，利用完全平方公式和基本不等式，即可证明；（Ⅱ）利用基本不等式得出ab≤1，把问题转化为|x+1|-|x-3|≥1恒成立，再利用分段讨论法求出不等式的解集．本题考查了基本不等式应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析
广东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析绝密★启用前广东省2019年高考理科数学试卷注意事项：1.考生答卷前，必须在答题卡上填写姓名和准考证号。
2.回答选择题时，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|-4<x<2}，N={x|x^2-x-6<0}，则M∩N=（）A。
{x|-4<x<3}B。
{x|-4<x<-2}C。
{x|-2<x<2}D。
{x|2<x<3}2.设复数z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则（）A。
(x+1)^2+y^2=1B。
(x-1)^2+y^2=1C。
x^2+(y-1)^2=1D。
x^2+(y+1)^2=13.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（）A。
a<b<cB。
a<c<bC。
c<a<bD。
b<c<a4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比约为0.618，称为黄金分割比例。
某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A。
165cmB。
175cmC。
185cmD。
190cm5.函数f(x)=在[-π,π]的图像大致为（）A。
B。
C。
D。
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一重卦由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“ ”，如图为一重卦。
在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A。
B。
C。
D。
7.已知非零向量，满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（）A。
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(解析版)
2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|x≤﹣2}D．{x|x≥1}2．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示（均为直角三角形），则该三棱锥的体积为（）A．4B．8C．16D．244．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．1B．2C．3D．65．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．116．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，且2+a5＝a6+a3，则S7＝（）A．28B．14C．7D．27．（5分）下列判断正确的是（）A．“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”的逆否命题为真命题D．命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”8．（5分）已知函数f（x）＝3x+2cos x，若，b＝f（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a9．（5分）在各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为（）A．B．1C．D．10．（5分）齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x＝a（a＞0）对称，且当x≥a时，f（x）＝e x﹣2a．若A，B是函数f（x）图象上的两个动点，点P（a，0），则当的最小值为0时，函数f（x）的最小值为（）A．e B．e﹣1C．e D．e﹣212．（5分）设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点为A，B．P是椭圆上不同于A，B的一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则当（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）取得最小值时，椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．（5分）已知双曲线C：x2﹣y2＝1的右焦点为F，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为．14．（5分）（2x+）4展开式的常数项是．15．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，，则a5＝．16．（5分）已知G为△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q，若AP＝λAB，则当△ABC与△APQ的面积之比为时，实数λ的值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若b＝1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，P A ⊥平面ABCD，点M是棱PC的中点．（Ⅰ）证明：P A∥平面BMD；（Ⅱ）当P A＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19．（12分）在2018年俄罗斯世界杯期间，莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾，这些小龙虾标有等级代码．为得到小龙虾等级代码数值x与销售单价y之间的关系，经统计得到如下数据：（Ⅰ）已知销售单价y与等级代码数值x之间存在线性相关关系，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.1）；（Ⅱ）若莫斯科某个餐厅打算从上表的6种等级的中国小龙虾中随机选2种进行促销，记被选中的2种等级代码数值在60以下（不含60）的数量为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：对一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线＝x的斜率和截距最小二乘估计分别为：＝，＝．参考数据：x i y i＝8440，x＝25564．20．（12分）已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P 满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a＜0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝1时，若关于x的不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，求实数b的取值范围．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C的极坐标方程是．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）设点P（0，﹣1）．若直线l与曲线C相交于两点A，B，求|P A|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数|．（Ⅰ）求不等式f（x）﹣3＜0的解集；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，求实数m的取值范围．2019年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x|x＞﹣2}，B＝{x|x≥1}，则A∪B＝{x|x＞﹣2}．故选：A．2．【解答】解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限．故选：D．3．【解答】解：由三视图知几何体为三棱锥，且侧棱AO与底面OCB垂直，其直观图如图：∵其俯视图是直角三角形，直角边长为2；4；∴OA＝6，∴棱锥的体积V＝＝8．故选：B．4．【解答】解：作出实数x，y满足约束条件表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（0，1），由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以z＝1．故选：A．5．【解答】解：执行如图所示的程序框图如下，n＝1时，S＝＝，n＝3时，S＝+＝，n＝5时，S＝++＝，n＝7时，S＝+++＝，满足循环终止条件，此时n＝9，则输出的n值是9．故选：C．6．【解答】解：∵2+a5＝a6+a3，∴a4＝2，S7＝＝7a4＝14．故选：B．7．【解答】解：“x＜﹣2”推不出“ln（x+3）＜0”，反正成立，所以“x＜﹣2”是“ln（x+3）＜0”的充分不必要条件，所以A不正确；函数的最小值为3+；所以B不正确；当α，β∈R时，命题“若α＝β，则sinα＝sinβ”是真命题，所以它的逆否命题为真命题；所以C正确；命题“∀x＞0，2019x+2019＞0”的否定是“∃x0≤0，2019x+2019≤0”不满足命题的否定形式，所以D不正确；故选：C．8．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝3x+2cos x，其导数函数f′（x）＝3﹣2sin x，则有f′（x）＝3﹣2sin x＞0在R上恒成立，则f（x）在R上为增函数；又由2＝log24＜log27＜3＜，则b＜c＜a；故选：D．9．【解答】解：高各棱长均相等的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱长为2，以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，0，2），M（，1，1），B（，1，0），N（0，1，0），＝（，﹣1），＝（﹣，0，0），设异面直线A1M与BN所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴tanθ＝．∴异面直线A1M与BN所成角的正切值为．故选：C．10．【解答】解：设齐王上等，中等，下等马分别为A，B，C，田忌上等，中等，下等马分别为a，b，c，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：（A，a），（A，b），（A，c），（B，b），（B，c），（C，c），共6种，∴齐王的马获胜的概率为p＝＝．故选：C．11．【解答】解如图，显然的模不为0，故当最小值为0时，只能是图中的情况，此时，P A⊥PB，且P A，PB与函数图象相切，根据对称性，易得∠BPD＝45°，设B（x0，y0），当x≥a时，f′（x）＝e x﹣2a，∴∴x0＝2a∵P（a，0）∴PD＝a，∴BD＝a，即B（2a，a），∴e2a﹣2a＝a，∴a＝1，∴当x≥1时，f（x）＝e x﹣2，递增，故其最小值为：e﹣1，根据对称性可知，函数f（x）在R上最小值为e﹣1．故选：B．12．【解答】解：A（﹣a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则，则m＝，n＝，∴mn＝＝，∴（3﹣）+3（ln|m|+ln|n|）＝＝，令＝t＞1，则f（t）＝．f′（t）＝＝，∴当t＝2时，函数f（t）取得最小值f（2）．∴．∴e＝，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上. 13．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的a＝b＝1，c＝，则可设F（，0），设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则F到渐近线的距离为d＝＝1．故答案为：1．14．【解答】解：由通项公式得：T r+1＝C（2x）4﹣r（）r＝24﹣r C x4﹣2r，令r＝2，得展开式的常数项为：24﹣2C＝24，故答案为：2415．【解答】解：S n为数列{a n}的前n项和，且a1＝4，a n+1＝S n，①，则：当n≥2时，a n＝S n﹣1②①﹣②得：a n+1﹣a n＝a n，所以：（常数），所以：数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以：（首项不符合通项）．故：，当n＝5时，．故答案为：3216．【解答】解：∵设AQ＝μACG为△ABC的重心，∴＝＝．∵P，G，Q三点共线，∴．△ABC与△APQ的面积之比为时，．∴或，故答案为：或．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17．【解答】解：（1）由题意可得，，由余弦定理可得，cos A＝（2分）即＝，（4分）∴a＝（6分）（2）∵a＝，b＝1，由正弦定理可得，sin B＝＝＝（8分）∵a＞b，∴B＝，（9分）C＝π﹣A﹣B＝（10分）∴S△ABC＝＝＝（12分）18．【解答】证明：（Ⅰ）如图，连结AC，交BD于点O，连结MO，∵M，O分别为PC，AC的中点，∴P A∥MO∵P A⊄平面BMD，MO⊂平面BMD，∴P A∥平面BMD．解：（Ⅱ）如图，取线段BC的中点H，连结AH，∵ABCD为菱形，∠ABC＝，∴AH⊥AD，分别以AH，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，∴A（0，0，0），B（），C（），P（0，0，），M（），∴＝（，），＝（0，2，0），＝（），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，∴＝（1，0，1），设直线AM与平面PBC所成角为θ，∴sinθ＝|cos＜＞|＝＝＝．∴直线AM与平面PBC所成角的正弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：＝（38+48+58+68+78+88）＝63，＝（16.8+18.8+20.8+22.8+24+25.8）＝21.5，＝≈0.2，＝﹣＝8.9，故所求回归方程是：＝0.2x+8.9；（Ⅱ）由题意知X的所有可能为0，1，2，∵P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为：故E（X）＝0×+1×+2×＝1．20．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），∵，∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），即，∴，∵|AB|＝4，∴m2+n2＝16，∴，∴曲线C的方程为：；（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得，37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，可得﹣，又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，∴t≠±1，又，，∴k HM+k HN＝＝＝4﹣＝1，解得t＝3，故t的值为3．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f′（x）＝，∵当a＜0，x＞0时，有ax﹣e x＜0，∴当x＞1时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）由题意当a＝1时，不等式f（x）+（x+）e x﹣bx≥1恒成立，即xe x﹣lnx+（1﹣b）x≥1恒成立，即b﹣1≤e x﹣﹣恒成立，设g（x）＝e x﹣﹣，则g′（x）＝，设h（x）＝x2e x+lnx，则h′（x）＝（x2+2x）e x+，当x＞0时，有h′（x）＞0，故h（x）在（0，+∞）递增，且h（1）＝e＞0，h（）＝﹣ln2＜0，故函数h（x）有唯一零点x0，且＜x0＜1，故当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）递增，即g（x0）为g（x）在定义域内的最小值，故b﹣1≤﹣﹣，∵h（x0）＝0，得x0＝﹣，＜x0＜1，…（*）令k（x）＝xe x，＜x＜1，故方程（*）等价于k（x）＝k（﹣lnx），＜x＜1，而k（x）＝k（﹣lnx）等价于x＝﹣lnx，＜x＜1，设函数m（x）＝x+lnx，＜x＜1，易知m（x）单调递增，又m（）＝﹣ln2＜0，m（1）＝1＞0，故x0是函数的唯一零点，即lnx0＝﹣x0，＝，故g（x）的最小值g（x0）＝1，故实数b的取值范围是（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）已知直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．曲线C的极坐标方程是．转换为直角坐标方程为：x2+y2＝2x+2y，整理得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，（2）将直线l的参数方程为（t为参数），代入（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．得到：，化简得：，所以：（t 1和t2为A、B对应的参数）．故：．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当x≥，f（x）﹣3＝2x﹣1++1﹣3＜0，解得x＜，即有≤x ＜；当﹣2＜x＜时，f（x）﹣3＝1﹣2x++1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有﹣＜x＜；当x≤﹣2时，f（x）﹣3＝1﹣2x﹣﹣1﹣3＜0，解得x＞﹣，即有x∈∅．综上可得原不等式的解集为（﹣，）：（Ⅱ）由f（x）＝，可得f（x）的值域为[，+∞），关于x的方程f（x）﹣m2﹣2m﹣＝0无实数解，可得m2+2m+＜，即m2+2m＜0，解得﹣2＜m＜0，则m的范围是（﹣2，0）．。
新疆2019年高考理科数学模拟试题及答案
新疆2019年高考理科数学模拟试题及答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}{}23,,40xA y y x RB x x ==∈=-≤,则 A.AB R = B.}2|{->=x x B AC.}22|{≤≤-=x x B AD.}20|{≤<=x x B A2．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i - 3．已知1tan 2α=-，且(0,)απ∈，则sin 2α= A ．45 B ．45-C ．35D ．35-4. 已知,a b 为非零向量,则“0⋅>a b ”是“a 与b 夹角为锐角”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件5．直线40x y m ++=交椭圆2116x y +=于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为l ，则，m= A.－2B.－1C. 1D.26．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图2211A ．2B ．4C ．6D ．87．三棱锥P ABC PA -⊥中，面ABC ，1,3AC BC AC BC PA ⊥===，，则该三棱锥外接球的表面积为 A ．2πB ．72πC ．5πD ．20π8．如果执行如右图所示的程序框图，输入正整数N (N ≥2) 和实数 a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则 A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B. 12(A ＋B )为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数 C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最小数和最大数 D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中的最大数和最小数 9. 已知某8个数的期望为5，方差为3，现又加入一个新数据5， 此时这9个数的期望记为()E X ，方差记为()D X ，则A.()5,()3E X D X =>B. ()5,()3E X D X =<C.()5,()3E X D X <>D. ()5,()3E X D X <<10．已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一条渐近线与直线210x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率为 A ．2B. 2C ．3D ．511.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且 这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是A.甲B.乙C.丙D.丁12. 设曲线y＝sin x 上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x2g(x)的部分图像可以为二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 若向量,a b满足||||2a b==,且()2a a b⋅-=,则向量a与b的夹角为14．设双曲线()2222100x ya,ba b-=>>的左、右顶点分别为A,B，点P在双曲线上且异于A,B两点，O为坐标原点．若直线PA与PB的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________．15. 若变量,x y满足2,239,0,x yx yx+⎧⎪-⎨⎪⎩≤≤≥则22x y+的最大值是____________.16．函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x （π4≤x≤π2）的值域为 .三、解答题：本题共6小题，共70分。
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市高考数学一模试卷(理科)(解析版)2019年北京市高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8个小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=i（1+i），则|z|等于（）A。
2B。
√2C。
1D。
2√22.在方程r=2cosθ+3sinθ（θ为参数）所表示的曲线上的点是（）A。
(2.-7)B。
(3.1)C。
(1.5)D。
(2.1)3.设公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=2(a2+a3)，则Sn=（）A。
5anB。
6anC。
7anD。
14an4.将函数y=sin2x的图象向左平移π/4个单位后得到函数y=g(x)的图象。
则函数g(x)的一个增区间是（）A。
(π/4.3π/4)B。
(3π/4.5π/4)C。
(5π/4.7π/4)D。
(7π/4.9π/4)5.使“a>b”成立的一个充分不必要条件是（）A。
a>b+1B。
a>b-1C。
a^2>b^2D。
a^3>b^36.下列函数：①y=-|x|；②y=(x-1)^3；③y=log2(x-1)；④y=-6.在x中，在(1.+∞)上是增函数且不存在零点的函数的序号是（）A。
①④B。
②③C。
②④D。
①③④7.某三棱锥的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥的俯视图的面积为（）A。
6B。
8C。
10D。
128.远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A。
336B。
510C。
1326D。
3603二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.在(1-x)^5的展开式中，x^2的系数为______（用数字作答）。
答案：1010.已知向量a=(1.b)。
b=(-2.-1)，且向量a+b的模长为√10.则实数x=______。
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2019高考模拟试卷注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.答题前.考生务必将自己的姓名.准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案写在答题卡上.写在试卷上无效。
4.本试卷满分150分.测试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题.每小题5分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的。
(1) 负数i33+4i的实数与虚部之和为A.725B.-725C.125D.-125(2)已知集合A={x∈z}|x2-2x-3˂0},B={x|sinx˂x-12},则A∩B=A.{2}B.{1,2}C.{0，1，2}D.{2，3}(3).某高中在新学期开学初，用系统抽样法从1600名学生中抽取20名学生进行问卷调查，将1600名学生从1开始进行编号，然后按编号顺序平均分成20组（1-80号，81-160号，...，1521-1600号），若第4组与第5组抽出的号码之和为576，则第7组抽到的号码是A.248B.328C.488D.568(4).在平面直角坐标系x o y中，过双曲线c：x2-y23=1的右焦点F作x轴的垂线ｌ，则ｌ与双曲线c的渐近线所围成的三角形的面积为A.23B.43C.6D.63(5).袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球得2分，若摸出黑球得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率为A.13B.14C.34D.78（6）.已知数到{an}是等差数列，Ｓn为其前n项和，且a10=19，s10=100，记ｂn=ａn+1an，则数列{b n}的前100项之积为A.3100B.300C.201D.199(7).如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.16π3B.643C.16π+643D.16π+64（8）.执行如图所示的流程图，输出的结果为A.2B.1C.0D.-1(9).函数ｆ（x）=|x|+ax2（其中a∈Ｒ）的图像不可能是（10）.已知点Ｐ（x0,y0）是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆Ｃ：（x+2）2+（y-4）2=1上任意一点，则|PQ|+x0的最小值为A.5B.4C.3D.2(11).如图所示，AB是圆O的直径，P是圆弧AB上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且|AB|=6|AM|=6，则PM·PN=A.5B.6C.8D.9(11题图)结束(12).已知f（x）=exx，若方程ｆ2（x）+2a2=3a|f（x）|有且仅有4个不等实根，则实数a的取值范围为A.(0，e2)B.(e2 ,e)C.(0 ,e)D.(e ,+ ∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）.已知平面向量a=（1 ,2），b=（-2，m），且|a+b|=|a-b|，则则z=x2+y2+4x+2y的最小值为__________（15）.函数ｆ（x）=sinx（sin-2cos2x2+1）在[0，π2]上的值域为___________。
（16）.过双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦点向圆x2+y2=a2作一条切线，若该切线被双曲线的两条渐近线截得的线段的长为3a，则双曲线的离心率为____________。
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列｛a n｝中，Sn为其中n项和，a1=1，S1，S22，S44成等比数列。
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式：（Ⅱ）记bn=an·2an，求数列{bn}的前几项和Tn。
（18）.如图所示，几何体A1B1D1-ABCD中，四边形A A1B1B,AD D1A1均为边长为6的正方形，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=120°，点E 在棱B1D1上，且B1E=2E D1，过A1、D、E的平面交C D1于F。
（Ⅰ）.作出过A1、D、E的平面被该几何体A1B1D1-ABCD截得的截面，并说明理由;（Ⅱ）求直线BF与平面E A1D所成角的正弦值。
19为了解公众对“延迟退休”的态度，某课外学习小组从某社区年龄在[15,75]的居民中随机抽取50人进行调查，他们的年龄的频率分布直方图如下年龄在[15,25)、[25,35)、[35,45)、[45,55)、[55,65)、[65,75]的被调查者中赞成人数分别为a，b，12, 5，2和1,其中a˂b，若前三组赞成的人数的平均数为8，方差为328。
（Ⅰ）根据以上数据，填写下面2ｘ2列联表，并回答是否有99%的把握认为年龄以55岁为分界点对“延迟退休”的态度有差异？年龄低于55岁的人数年龄不低于55岁的人数合计赞成不赞成合计（Ⅱ）若分别从年龄在[15,25）、[25,35）的被调查对象中各随机选取两人进行调查，记选中的4个人中不赞成“延迟退休”的人数为x，求随机变量x的分布列和数学期望。
参考数值：K2=n（ad-bc）2(a+b)(c+d）（a+c）（b+d）其中n=a+b+c+d20.已知直线x-2y+2=0经过椭圆c：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线ｌ：x=103分别交于M , N两点（Ⅰ）求椭圆的方程。
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值。
21.已知函数f（x）=ｌｎxx+a（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直（Ⅰ）试比较20162017与20172016的大小，并说明理由（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-ｋ有两个不同的零点x1，x2，证明：x1·x2>e2请考生从22.23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分：多涂，多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。
（22）.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2sin（π2-θ）。
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；设p（1，1），直线ｌ与曲线C相交于A,B两点，求1|PA|+1|PB|的值. （23）.（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x|+|2x-3|（Ⅰ）求不等式f（x）≤9的解集；（Ⅱ）若函数y=f（x）-a的图像与x轴围成的四边形的面积不小于212，求实数a的取值范围.理科数学（答案）1. B[解析]因为i33+4ｉ=-ｉ（3-4ｉ）（3+4ｉ）（3-4ｉ）=-4-3ｉ25，所以复数i33+4i的实部为4-25，虚部为-325，实部与虚部之和为7-25，故选B。
2. A[解析]因为A={x∈z1x2-2x-3˂0}={x∈z1-1˂x˂3}={0,1,2}由sino=o>-12，sin1>sinπ6=12，sin2˂32，可得O∉B,1∉B,2∈B，所以A∩B={2}，故选A。
3. C[解析]各组抽到的编号按照从小到大的顺序排成一列，恰好构成公差为80的等差数列，设第4组与第5组抽出的号码分别为x，x+80，则x+x+80=576，x=248，所以第7组抽到的号码是248+（7-4）ｘ80=488，故选C4. B[解析]双曲线C:=x2-y23=1的右焦点F=（2,0），则ｌ：x=2，所以ｌ与双曲线c的渐近线y=±3x的交点分别为（2，±23），所以直线ｌ与双曲线c的两条渐近线所围成的面积为12ｘ43ｘ2=43，故选B。
5. D[解析]3次摸球所得总分少于4分的情况只有1种，即3次摸到的球都是黑球，所以P=1-（12）3=78，故选D。
T n=b1b2...bn=31·53· ... ·2n-12n-3·2n+12n-1=2n+1，∴T100=2017. C[解析]该几何体可以看成由一个四棱锥和一个四分之一圆锥组成，四棱锥的底面面积为16，高为4，故其体积为643：四分之一圆锥的体积为14ｘ13ｘ4ｘπｘ16=163π，所以整个几何体的体积为16π+643，故选C8. C[解析]cos2π2=-1，cos-π2=0，coso=1，cosπ2=0，coso=1，....可见循环20次后，n=0 故选C 9. C[解析]当a=0时，图像可以是B；当a>0时，图像可以是A；当a˂0时，图像可以是D，故答案为C10.C[解析]抛物线y2=4x的焦点F(1，0),准线ｌ：x=-1，圆C：（x+2）2+（y-4）2=1的圆心C（-2,4）半径r=1，由抛物线定义知，点P到抛物线的准线x=-1的距离d=|PF|，点P到y轴的距离为x0=d-1，所以当C,P,F三点共线时，|PQ|+d取最小值，所以（|PQ|+x0）min=|FC|-r-1=5-1-1=3，故选C。
11.A法一：[解析]连接AP,BP,则PM=PA+AM,PN=PB+PN=PB-AM,所以PM·PN=(PA+AM)·(PB-AM)=PA·PB-PA·AM+AM·PB-AM2=-PA·AM+AM·PB-AM2=AM·AB-AB2=1ｘ6-1=5故选A法二：以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，可设P（3c0Sθ，3sｉnθ）由题意M（-2,0），N（2,0），则PM=(-2-3c0Sθ,-3Sｉnθ)，PN=(2-3COSθ,-3Sｉnθ)，PM·PN=9cos2θ-22+9sｉn2θ=5法三：取特殊点P取A点，则PM·PN=512.B[解析]ｆ'（x）=（x-1）exx2，则ｆ（x）在（-∞，0）和（0,1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递增，又x→-∞时ｆ（x）→0，从y轴左边趋近于0时ｆ（x）→-∞，从y轴右边趋向于0时，ｆ（x）→+∞。
ｆ（1）=e，所以可以作出ｆ（x）的大致图像，从而得到|ｆ（x）|的图像（如图所示）。
原方程可化为（|f（x）|-a）（|f（x）|-2a）=0由直线y=a，y=2a，与|f（x）|的图像有4个交点，可得o˂a˂e=>e2˂a˂e2a>e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.答案5[解析]因为|a+b|=|a-b|，所以a⊥b，所以m=1，所以a+2b=（-3,4），所以|a+2b|=514.答案3[解析]不等式组2x-3y+6≥0X+y-1≥03x+y-3≥0表示的平面区域如图△ABC（包括边界），解方程组A（-35，85）因为x2+y2+4x+2y=（x+2）2+（y+1）2-5表示点（-2，-1）到区域内的点P（x，y）的距离的平方减去5，又点（-2，-1）到x+y-1=0的距离为|-2-1-1|1+1=22，因为（-2，-1）到A点的距离为2185>22，点（-2，-1）到B点的距离为10>22，由图知点（-2，-1）到区域内的点P（x，y）的最小值为22，所以z的最小值为8-5=315答案[1-22，1][解析]f（x）=sinx（sinx-2cos2x2+1）=sinx（sinx-cosx）=sin2-sinxcosx=1-cos2x2-12sin2x=12-22sin（2x+π4）因为o≤x≤π2，所以π4≤2x+π4≤5π4，-22≤sin（2x+π4）≤1所以1-22≤12-22sin(2x+π4)≤1即+（x）在[0，,π2]上的值域为[1-22，1]16.答案2或233[解析]情况一：切线与两条渐近线的交点位于第一、二象限，左焦点和切点之间的距离为c2-a2=b，因此切线斜率为tanθ =ab，而斜率为负的渐近线的斜率为-ba,它们互为负倒数，所以这两条直线垂直，两条渐近线和切线围成一个直角三角形，在三角形AOB中，易求得∠ AOB=60°，因此ba=tan60°=3，易知ca=2.情况二：切线与两渐近线的交点位于第二、三象限，同理可得ca=233三、解答题17.[解析]（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则s1=a1，s22=a1+d2，s44=a1+32d 、、、2分因为s1s22，s44成正比数列，所以（a1+d2）2=a1（a1+32d），化简得d=2a1=2、、、5分所以数列{a n}的通项公式为a n=1+（n-1）ｘ2=2n-1、、、、、、、、6分（Ⅱ）bn=（2n-1）·22n-1所以Tn=1·21+3·23+5·25+、、、+（2n-3）·22n-3+（2n-1）·22n-1①①式两端乘以4，得4Tn=1·23+3·25+5·27+、、、+（2n-3）·22n-1+（2n-1）·22n+1②、、8分②①-②得：-3Tn=1·21+2·23+2·25+、、、+2·22n-1-（2n-1）·22n+1=-2+2x2（1-22n）1-4-（2n-1）·22n+1=-103+13·22n+2-（2n-1）·22n+1、、、、、10分所以Tn=3·2n-1·22n+1-22n+2+109=6n-5·22n+1+109、、、、、12分18.[解析]（Ⅰ）在平B1C D1内过点E作EF∥B1C交C D1于F，则CF=2F D1则四边形A1EFD 就是过A1、D、E的平面被该几何体A1B1D1-ABCD截得的截面证明如下：由正方形及菱形的性质可知A1B1//AB//DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C //A1D所以A1D //EF,因此A1、E、F、D四点共面、、、、、、、4分（Ⅱ）因为四边形A A1B1B , AD D1A1均为正方形，所以A A1⊥平面ABCD , A A1⊥AD，且A A1=AB=AD=6，以A为原点，直线AD为y轴，平面ABCD内过点A与AD垂直的直线为x轴，直线A A1为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，、6分-可得A（0,0,0），B(33，-3，0),C(33，3，0),D(0，6，0),A1(0，0，6_),B1(33，-3，6),D1(0，6，6),A1D=(0，6，-6)因为|B1E|=2|ED1|,所以点E的坐标为（3，5,4），所以BF=(-23,8，4)设平面E A1D的一个法向量n=（x，y，z），由n·A1D=0 得by-6z=0 取z=1n·A1E=0 3x+3y=0可得n=（-3，1,1）设直线BF与平面E A1D所成的角为θ，则sinθ =|n·BF||n||BF|=|-3-23+1ｘ8+1ｘ4|（-3）2+12+12（-23）2+82+42=9115115, 所以BF与平面E A1D所成的角正弦值为9115115，、、、、、12分19.[解析]（1）由频率分布直方图可知各组人数依次为5,10,15,10,5,5由题意得a+b+123=813[a-82+(b-8)2+16]=323解得a=4，b=8，所以各组赞成人数依次为4,8,12,5,2,1.2ｘ2列表如下：年龄低于55岁的人数年龄不低于55岁的人数合计赞成29 3 32不赞成11 7 18合计40 10 50k2=50ｘ（29ｘ7-3ｘ11）2（29+3）（11+7）（29+11）（3+7）≈6.272＜6.635∴没有99%的把握认为年龄以55岁为分界点对“延迟退休”的态度有差异、、、、、、6分（Ⅱ）随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3，P（x=0）=c42c52ｘc82c102=610ｘ2845=84225P（x=1）=c41c52ｘc82c102+c42c52ｘc81ｘc21c102=104225P（x=2）=c41c52ｘc81ｘc21c102+c42c52ｘc22c102=35225P（x=3）=c41c52ｘc22c102=2225∴随机变量x的分布列为X 0 1 2 384225104225352252225 P（x）∴E（x）=0ｘ84225+1ｘ104225+2ｘ35225+3ｘ2225=45、、、、、、、、、12分20.[解析]（Ⅰ）由题知A(-2，0),D(0，1) 故a=2，b=1、、、、、、2分所以椭圆c的方程为x24+y2=1、、、、、、、、、、、、、、4分（Ⅱ）设直线AS的方程为y=k（x+2）（k>0），从而可知M点的坐标为（103，16k3）、、、、、、、、6分由y=k（x+2）x24+y2=1 得s（2-8k21+4k2，4k1+4k2）、、、、、、、、8分所以可得BS的方程为y=-14k（x-2），从而可知N点的坐标（103，-13k）、、、、、、、、11分∴|MN|=16k3+13k≧83，当且仅当k=14时等号成立，故当k=14时，线段MN的长度取得最小值83、、、、、、、12分21.[解析]（Ⅰ）解：依题意得f'（x）=x+ax-1nx（x+a）2，所以f1（1）=1+a(1+a)2=11+a，又由切线方程可得f1(1)=1即11+a=1,解得a=0，此时f(x)=1nxx，f1（x）=1-1nxx2令f1(x)>0，即1-1nx>0，得0<x<e；令f1(x)<0，即1-1nx<0，得x>e，所以f(x)的增区间为（o，e），减区间为（e，+∞）、、、、、、、、、、、、4分所以f（2016）>f(2017)即1n20162016>1n2017201720171n2016>20161n2017，,20162017>20172016、、、、、、、6分（Ⅱ）证明：不妨设x1>x2>0，因为g(x1)=g(x2)=0所以化简得1n x1-k x1=0 , 1n x2-k x2=0可得1n x1+1n x2=k（x1+x2）, 1n x1-1n x2=k（x1-x2）要证明x1x2>e2，即证明1n x1+1nx2>2，也就是k（x1+x2）>2、、、、、、、、8分因为k=1nx1-1nx2x1-x2，所以即证1nx1-1nx2x1-x2>2x1+x2，即1n x1x2>x1-x2x1+x2，令x1x2=t，则t>1即证1nt>2（t-1）t+1令h（t）=1nt- 2（t-1）t+1（t>1）由h1（t）=1t-4（t+1）2=（t-1）2t（t+1）2>0故函数h（t）在（1，+∞）是增函数所以h（t）>h（1）|=0，即1nt>2（t-1）t+1得证所以x1x2>e2、、、、、、、、、、12分22.[解析]（Ⅰ）由曲线c的极坐标方程可得ρsin2θ=2cosθ即ρ2sin2θ=2ρcosθ化成直角坐标方程为y2=2x、、、、、、、、4分（Ⅱ）联立直线1的参数方程与曲线c方程可得（1+35t）2=2（1+45t）整理得9t2-10t-25=0、、、、、、、、、、、、7分t1+t2=109，t1·t2=-259∵t1·t2=-259<0，于是点P在AB之间∴1|PA|+1|PB|=PA+|PB||PA|·|PB|=|t1-t2t1·t2|=（t1+t2）2-4t1t2|t1·t2| =10109ｘ925=2105、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、10分-3x+3，x ≦ 023.[解析]（Ⅰ）f(x) = -x+3 , 0<x ≦323x-3，x>32当x ≦ 0时，由-3x+3 ≦ 9，解得-2 ≦ x ≦ 0；当0<x ≦32时，由-x+3 ≦ 9，解得0<x ≦32当x>32时，由3x-3 ≦ 9，解得32<x ≦ 4所以不等式f（x）≦ 9的解集为{x1-2 ≦ x ≦ 4}、、、、、、、、、、、5分（Ⅱ）函数y=f（x）-a的图像与x轴围成的四边形是如图所示的四边形ABCD，由于该图形的面积不小于212，f（0）=3，故a>3此时A（32，32-a），B（3+a3，0）,C(3-a3，0)，D（0,3-a），E（2,3-a）△ADE的面积为12ｘ（2-0）ｘ[（3-a）-（32-a）]=32梯形BCDE的面积为2+2932ｘ（a-3）所以32+2+2932ｘ（a-3）≥212所以2+2932ｘ（a-3）≥9即a2≥36，解得a ≥6，即实数a的取值范围是[6，+∞)、、、、、、、、、10分P。