相交线与平行线章节典型辅助线题目

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七下平行线与相交线经典例题汇总(补)

第五章相交线与平行线【知识要点】1.两直线相交2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。

3.对顶角定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角(或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。

（1）对顶角的性质：对顶角相等。

4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。

5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与直线垂直；②垂线段最短。

6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行〞用符号“∥〞表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b〞7．平行公理及推论〔1〕平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与直线平行。

〔2〕推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

注：〔1〕平行公理中的“有且只有〞包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。

〔2〕平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，那么a∥c。

8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

9．平行线的性质：〔1〕两直线平行，同位角相等〔在同一平面内〕〔2〕两直线平行，内错角相等〔在同一平面内〕〔3〕两直线平行，同旁内角互补〔在同一平面内〕10．平行线的判定〔1〕同位角相等，两直线平行；〔在同一平面内〕〔2〕内错角相等，两直线平行；〔在同一平面内〕〔3〕同旁内角互补，两直线平行；〔在同一平面内〕〔4〕如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；补充：〔5〕平行的定义；〔在同一平面内〕〔6〕在同一平面内．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。

考点一：对相关概念的理解对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等例1：判断以下说法的正误。

（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；（5）同位角相等；（6）内错角相等；（7）同旁内角互补；（8）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；（9）过一点有且只有一条直线与直线垂直；（10）过一点有且只有一条直线与直线平行；（11）两直线不相交就平行；（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

初一数学相交线与平行线28道典型题(含答案和解析)

初一数学相交线与平行线28道典型题（含答案和解析及考点）1、若直线AB,CD相交于O，∠AOC与∠BOD的和为200°，则∠AOD的度数为．答案：80°.解析：∵∠AOC=∠BOD，∠AOC与∠BOD的和为200°.∴∠AOC=100°.∵∠AOD与∠AOC互补.∴∠AOD=80°.考点：几何初步——相交线与平行线——对顶角、邻补角.2、已知OA⊥OB，∠AOC∶∠AOB=2∶3，则∠BOC= ．答案：30°或150°.解析：当OC在∠AOB内部时，∠BOC=30°；当OC在∠AOB外部时，∠BOC=150°.考点：几何初步——相交线与平行线——对顶角、邻补角——垂线.3、若直线a与直线b相交于点A，则直线b上到直线a距离等于2cm的点的个数是（）．A.0B.1C.2D.3答案：C.解析: 直线b的交点两侧各有一点到直线a的距离等于2cm.考点：几何初步——相交线与平行线——点到直线的距离.4、如图所示，在平面内，两条直线l1、l2相交于点O，对于平面内任意一点M，若p、q分别是点M到直线l1、l2的距离，则称（p,q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2,1）的点共有个．答案：4.解析：因为两条直线相交有四个角，因此每一个角内就有一个到直线l1、l2的距离分别是2、1，的点，即距离坐标是（2,1）的点，因而共有4个．考点：几何初步——相交线与平行线——点到直线的距离.5、若∠1和∠2是同旁内角，若∠1=50°，则∠2的度数为（）． A.45° B.135° C.45°或135° D. 不能确定答案：D.解析：若∠1和∠2是同旁内角，若∠1=50°，则∠2的度数为不能确定．考点：几何初步——相交线与平行线——三线八角.6、平面上n 条直线最少能将平面分为__________部分，最多能将平面分为__________部分． A. 最少能将平面分成n+1部分；最多分为n2+n+22.B. 最少能将平面分成n+2部分；最多分为n2+n−22.C. 最少能将平面分成n+1部分；最多分为n2+n−22. D. 最少能将平面分成n+2部分；最多分为n2−n+22.答案：A.解析：1条直线将平面分成2部分.2条直线最少将平面分成3部分，最多将平面分成4部分，其中4=1+1+2. 3条直线最少将平面分成4部分，最多将平面分成7部分，其中7=1+1+2+3. 4条直线最少将平面分成5部分，最多将平面分成11部分，其中11=1+1+2+3+4. ……n 条直线最少将平面分成n+1部分，最多将平面分成n2+n+22部分，其中n2+n+22=1+1+2+3+…+n .综上，n 条直线最少能将平面分成n+1部分,对多能将平面分成n2+n+22部分．考点：几何初步——相交线与平行线——相交线.7、如图，已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，则需（）．A. ∠1=∠2B. ∠2=∠4C. ∠1=∠4D. AB ∥CD答案：D.解析：假设∠3=∠4，即∠BEF=∠CFE.由内错角相等，两直线平行，可得AB∥CD.故已知∠1=∠2，要使∠3=∠4，只要AB∥CD.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线公理及推论.8、如图①是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③．（1）若图①中的∠DEF=20°，则图②中的∠CFE度数是．（2）若图①中的∠DEF=α，则图③中的∠CFE度数是．（用含有α的式子表示）答案：（1）160°.（2）180°-3α.解析：（1）在图①中：∵AD∥BC.∴∠BFE=∠DEF=20°.∴∠CFE=160°.在图②中，根据折叠性质，∠CFE大小不变.∴∠CFE=160°.（2）在图①中，∠CFE=180°-∠BFE=180°-α.在图②中，∠CFB=∠CFE-∠BFE=180°-α.根据折叠性质，图③中∠CFB与图②中∠CFB相等.在图③中，∠CFE=∠CFB-∠BFE=180°-3α.∴图③中的∠CFE度数是180°-3α.考点：几何初步——角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的性质.几何变换——图形的对称——翻折变换（折叠问题）——轴对称基础——轴对称的性质.9、已知：如图，∠D=110°，∠EFD=70°，∠1=∠2.求证：∠3=∠B.证明：∵∠D=110°，∠EFD=70°，（已知）.∴∠D+∠EFD=180°.∴_____∥ _____．（）.又∵∠1=∠2，（已知）.∴_____∥ _____．（）.∴_____∥ _____．（）.∴∠3=∠B．（）.答案：答案见解析．解析：∵∠D=110°，∠EFD=70°，（已知）.∴∠D+∠EFD=180°.∴AD∥EF．（同旁内角互补，两直线平行）.又∵∠1=∠2，（已知）.∴AD∥BC．（内错角相等，两直线平行）.∴EF∥BC．（平行于同一直线的两直线平行）.∴∠3=∠B．（两直线平行，同位角相等）.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.10、车库的电动门栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD的大小是（）．A.150°B.180°C.270°D.360°答案：C.解析：过B作CD的平行线BF，则CD∥BF∥AE.∴∠DCB+∠CBF=180°，∠ABF=90°.∴∠ABC+∠BCD=∠DCB+∠CBD+∠ABF=180°+90°=270°.考点：几何初步——角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的性质.11、如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过；如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐角∠B是150°，第三次拐角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是．答案：150°.解析：如图，作BE∥AD.∴∠1=∠A=120°.∴∠2=∠ABC=∠1=150°-120°=30°.∵AD∥CF.∴BE∥CF.∴∠C+∠2=180°.∴∠C=180°-30°=150°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线公理及推论——平行线的性质.12、如图所示，若AB∥CD，则角α，β，γ的关系为（）．A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°答案：D.解析：过β角的顶点为E，作EF∥AB，α+β-γ=180°.考点：几何初步——相交线与平行线平行线的判定——平行线的性质——平行有关的几何模型.13、如图AB∥CD∥EF，CG平分∠ACE，∠A=140°，∠E=110°，则∠DCG=（）.A.13°B.14°C.15°D.16°答案：C.解析：∵EF∥CD，∴∠ECD=180°-∠E=70°.同理∠ACD=40°.∴∠ACE=110°.∵CG平分∠ACE.∴∠ECG=55°.∴∠DCG=∠ECD-∠ECG=70°-55°=15°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线——平行线的性质——平行有关的几何模型.14、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.A.15°B.20°C.25°D.30°答案：D.解析：由AB∥EF∥CD,可知∠BED=∠B+∠D.已知∠B+∠BED+∠D=192°．∴2∠B+2∠D=192°，∠B+∠D=96°.又∠B-∠D=24°，于是可得关于∠B、∠D的方程组：{∠B+∠D=96°∠B−∠D=24°.解得∠B=60°．由AB∥EF知∠BEF=∠B=60°.因为EG平分∠BEF，所以∠GEF=12∠BEF=30°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线——平行有关的几何模型.15、把命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式：.答案：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行”.解析：略.考点：命题与证明——命题与定理.16、下列命题中，假命题是（）．A. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.C. 两直线平行，内错角相等.D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.答案：B.解析：两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，只有两直线平行时，同旁内角互补．考点：命题与证明——命题与定理.17、已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+60°，∠CBD=70°.（1）求证：AB∥CD.（2）求∠C的度数．答案：（1）证明见解析．（2）∠C=25°.解析：（1）∵AE⊥BC,FG⊥BC.∴AE∥FG.∴∠2=∠A.∵∠1=∠2.∴∠1=∠A.∴AB∥CD.（2）∵AB∥CD.∴∠C=∠3.∵∠D=∠3+60°，∠CBD=70°，∠C+∠D+∠CBD=180°.∴∠C+∠C+60°+70°=180°.∴∠C=25°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.18、已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，E为BC上一点，过E点作EF⊥AC，垂足为F，过点D作DH∥BC交AB于点H．（1）请你补全图形．（2）求证：∠BDH=∠CEF.答案：（1）画图见解析．（2）证明见解析．解析：（1）补全图形.（2）∵BD⊥AC，EF⊥AC.∴BD∥EF.∴∠CEF=∠CBD.∵DH∥BC.∴∠BDH=∠CBD.∴∠BDH=∠CEF.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.尺规作图——过一点作已知直线的垂线——过一点作已知直线的平行线.19、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.答案：证明见解析．解析：过E点作EF∥AB，则∠B=∠3.又∵∠1=∠B.∴∠1=∠3.∵AB∥EF，AD∥CD.∴EF∥CD.∴∠A=∠D.又∵∠2=∠D.∴∠2=∠4.∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°.∴∠3+∠4=90°，即∠BED=90°.∴BE⊥ED.考点：几何初步——角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.20、如图，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC.求证：AB∥GF.答案：证明见解析．解析：延长CD、GF交于点H，∠1=∠H.故∠2+∠H=∠ABC.易得AB∥GF.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.21、如图，已知点A，E，B在同一条直线上，设∠CED=x，∠C+∠D=y.（1）若AB∥CD，试用含x的式子表示y，并写出x的取值范围．（2）若x=90°，且∠AEC与∠D互余，求证：AB∥CD.答案：（1）y=180°-x，其中x的取值范围是（0＜x＜180）.（2）证明见解析．解析：（1）∵AB∥CD.∴∠AEC=∠C，∠BED=∠D.∵∠C+∠D=y.∴∠AEC+∠BED=y.∵∠CED=x，∠AEC+∠CED+∠BED=180°.∴x+y=180°.∴y=180°-x，其中x的取值范围是（0＜x＜180）.（2）∵x=90°，即∠CED=90°.∴∠AEC+∠BED=90°.∵∠AEC与∠D互余.∴∠AEC+∠D=90°.∴∠BED=∠D.∴AB∥CD.考点：函数——函数基础知识——函数自变量的取值范围.几何初步——角——余角和补角——角的计算与证明.相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.22、阅读材料：材料1：如图（a）所示，科学实验证明：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和反射出的光线与平面镜所夹的角相等．即∠1=∠2.材料2：如图（b）所示，已知△ABC，过点A作AD∥BC，则∠DAC=∠C，又∵AD∥BC，∴∠DAC+∠BAC+∠B=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．即三角形内角和为180°.根据上述结论，解决下列问题：（1）如图（c）所示，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b反射出的光线n平行于m，且∠1=50°，则∠2= ，∠3= .（2）在（1）中，若∠1=40°，则∠3= ，若∠1=55°，则∠3= .（3）由（1）（2）请你猜想：当∠3= 时，任何射到平面镜a上的光线m经过平面镜a和b的两次反射后，入射光线m与反射光线n总是平行，请说明理由．答案：（1）1．100°.2．90°.（2）1．90°.2．90°.（3）90°.解析：（1）∵∠1=50°.∴∠4=∠1=50°.∴∠6=180°-50°-50°=80°.∵m∥n.∴∠2+∠6=180°.∴∠2=100°.∴∠5=∠7=40°.∴∠3=180°-50°-40°=90°.故答案为：100°，90°.（2）∵∠1=40°.∴∠4=∠1=40°.∴∠6=180°-40°-40°=100°.∵m∥n.∴∠2+∠6=180°.∴∠2=80°.∴∠5=∠7=50°.∴∠3=180°-50°-40°=90°.∵∠1=55°.∴∠4=∠1=55°.∴∠6=180°-55°-55°=70°.∵m∥n.∴∠2+∠6=180°.∴∠2=110°.∴∠5=∠7=35°.∴∠3=180°-55°-35°=90°.（3）当∠3=90°时，m∥n.理由是：∵∠3=90°.∴∠4+∠5=180°-90°=90°.∵∠4=∠1，∠7=∠5.∴∠1+∠7+∠4+∠5=2×90°=180°.∴∠2+∠6=180°-（∠1+∠4）+180°-（∠5+∠7）=180°.∴m∥n.故答案为：90°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质.23、如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC,BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA,PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）（1）如图1，当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD.，（2）如图2，当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（请画出图形并直接回答成立或不成立）（3）如图3，当动点P落在第③部分时，探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，请画出图形并直接写出相应的结论．答案：（1）证明见解析．（2）不成立．（3）证明见解析．解析：（1）过点P作直线AC的平行线，易知∠1=∠PAC，∠2=∠PBD.又∵∠APB=∠1+∠2，∴∠APB=∠PAC+∠PBD．（2）不成立．（3）①当动点P在射线BA的右侧时（如图4）.结论是∠PBD =∠PAC+∠APB.②当动点P在射线BA上（如图5）.结论是∠PBD =∠PAC+∠APB或∠PAC =∠PBD +∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD.③当动点P在射线BA的左侧时（如图6）.结论是∠PAC =∠PBD +∠APB.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定——平行线的性质——平行有关的几何模型.24、如图所示，在下列条件中：①∠1=∠2；②∠BAD=∠BCD；③∠3=∠4且∠ABC=∠ADC；④∠BAD+∠ABC=180°；⑤∠ABD=∠ACD；⑥∠ABC+∠BCD=180°．能判定AB∥CD的共有（）个．A.2B.3C.4D.5答案：A.解析：由平行的判定知③⑥可以判定AB∥CD.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的判定.25、有下列四个命题：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相垂直.④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.其中所有正确的命题是（）．A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④答案：B.解析：①④正确；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，需要两条直线平行；③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行．考点：几何初步——相交线与平行线——平行线公理及推论——平行线的判定——平行线的性质.26、如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ABD=60°，∠ACE=30°，AP 平分∠BAC ，求∠PAG 的度数.A.11°B.12°C.13°D.14°答案：B.解析：由DB ∥FG ∥EC.可得∠BAC=∠BAG+∠CAG=∠DBA+∠ACE=60°+36°=96°.由AP 平分∠BAC 得∠CAP=12∠BAC=12×96°=48°. 由FG ∥EC 得∠GAC=∠ACE=36°.∴∠PAG=48°-36°=12°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线——平行有关的几何模型.27、如图，AB ∥CD ，且∠BAP=60°-α，∠APC=45°+α，∠PCD=30°-α，则α=（）．A.10°B.15°C.20°D.30°答案：B.解析：得∠APC=∠BAP+∠DCP .∴45°+α=60°-α+30°-α.解得：α=15°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的性质.28、已知，如图，AB∥CD，直线α交AB、CD分别于点E、F，点M在线段EF点上，P是直线CD 上的一个动点，（点P不与F重合）.（1）当点P在射线FC上移动时，∠FMP、∠FPM和∠AEF之间的数量关系是：.（2）当点P在射线FD上移动时，∠FMP、∠FPM和∠AEF之间的数量关系是：. 答案：（1）∠FMP+∠FPM=∠AEF.（2）∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°.解析：（1）当点P在射线FC上移动时.∵AB∥CD.∴∠AEF+∠CFE=180°.又∵∠FMP+∠FPM+∠CFE=180°.∴∠FMP+∠FPM=∠AEF.（2）当点P在射线FD上移动时.∵AB∥CD.∴∠AEF=∠MFD.又∵∠FMP+∠FPM+∠CFE=180°.∴∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°.考点：几何初步——相交线与平行线——平行线的性质.。

人教版初中七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典题(含答案解析)(1)

一、选择题1．下列语句是命题的是（）A ．平分一条线段B ．直角都相等C ．在直线AB 上取一点D ．你喜欢数学吗？B解析：B【分析】根据命题的定义分别进行判断．【详解】A.平分一条线段，为描述性语言，不是命题；B.直角都相等，是命题；C.在直线AB 上取一点，为描述性语言，不是命题；D.你喜欢数学吗？是疑问句，不是命题．故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．2．如图，如果AB ∥EF ，EF ∥CD ，下列各式正确的是（）A ．∠1+∠2−∠3=90°B ．∠1−∠2+∠3=90°C ．∠1+∠2+∠3=90°D ．∠2+∠3−∠1=180°D 解析：D【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE ，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．【详解】∵EF ∥CD∴∠3=∠COE∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE∵AB ∥EF∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行：内错角相等；两直线平行：同旁内角互补． 3．如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（）A ．150°B ．180°C ．210°D ．240°C解析：C【分析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=245∠=∠+∠2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.4．如图，将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF 若5BC cm =，则EC 的长为（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm A解析：A【分析】由平移性质可得：BC=EF ，CF=3,cm 可得EC=EF-CF ．【详解】因为将三角形ABC 沿BC 方向平移3,cm 得到三角形,DEF所以EF=5BC cm ，CF=3,cm所以EC=5-3=2(cm)故选：A【点睛】考核知识点：平移性质．抓住平移性质：对应边相等，是解题关键．5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（）A ．②③B ．①②③C ．①②④D ．①④C解析：C【分析】根据同位角的定义逐一判断即得答案．【详解】图①中的∠1与∠2是同位角，图②中的∠1与∠2是同位角，图③中的∠1与∠2不是同位角，图④中的∠1与∠2是同位角，所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．故选：C ．【点睛】本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．6．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2：②∠3＝∠4：③AB ∥CE ，且∠ADC ＝∠B ：④AB ∥CE ，且∠BCD ＝∠BAD ．其中能推出BC ∥AD 的条件为（）A ．①②B ．②④C ．②③D ．②③④D解析：D【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【详解】解：①∵∠1＝∠2，∴AB ∥CD ，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC ∥AD ，符合题意；③∵AB ∥CD ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠ADC ＝∠B ，∴∠ADC+∠BCD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意； ④∵AB ∥CE ，∴∠B+∠BCD ＝180°，∵∠BCD ＝∠BAD ，∴∠B+∠BAD ＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC ∥AD ，故符合题意；故能推出BC ∥AD 的条件为②③④．故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．7．已知//AB CD ，∠EAF=13∠EAB ，∠ECF=13∠ECD ，若∠E=66°，则∠F 为（）A ．23°B ．33°C ．44°D ．46°C解析：C【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得66EAB EC C D AE ∠+∠=∠=︒，同样的方法可得F FAB FCD ∠=∠+∠，再根据角的倍分可得,2323FAB EAB FCD ECD ∠=∠∠=∠，由此即可得出答案．【详解】如图，过点E 作//EG AB ，则////EG AB CD ，,EAB CE C A D G G E E ∴∠=∠∠∠=，66AEG EAB ECD CE A C G E ∴∠+=∠+=∠=∠∠︒，同理可得：F FAB FCD ∠=∠+∠，11,33EAF EAB ECF ECD ∠=∠∠=∠， ,2323FAB EAB FCD ECD ∴∠=∠∠=∠， ()266443333222F FAB FCD EAB ECD EAB ECD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 8．如图，在Rt ABC △中，90,BAC ︒∠=3,AB cm =4AC cm =，把ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①//AC DF ；②//AD BE ；③ 2.5CF cm =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小可对①②③进行判断；根据∠BAC=90°及平移的性质可对④进行判断，综上即可得答案.【详解】∵△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5cm 后得到△DEF ，∴AB//DE ，AC//DF ，AD//CF ，CF=AD=2.5cm ，故①②③正确.∵∠BAC=90°，∴AB ⊥AC ，∵AB//DE DE AC ∴⊥，故④正确.综上所述：之前的结论有：①②③④，共4个，故选D.【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．9．如图，已知AB CD ∕∕，AF 交CD 于点E ，且,40BE AF BED ⊥∠=︒，则A ∠的度数是（）A ．40︒B ．50︒C ．80︒D ．90︒B【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．【详解】解：∵,40BE AF BED ⊥∠=︒，∴50FED ∠=︒，∵AB CD ∕∕，∴50A FED ∠=∠=︒．故选B ．【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，正确得出FED ∠的度数是解题关键． 10．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（）A ．AC=BPB ．△ABC 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积D解析：D【分析】根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案．【详解】解：∵A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ，根据平行线之间的距离相等可得：△ABC 与△PBC 是同底等高的三角形，故△ABC 的面积等于△PBC 的面积．故选D ．【点睛】本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．二、填空题11．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．【分析】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．【详解】分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，∴∠B=∠BEF ，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A=∠AEF ，∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，∴∠B+∠BEF=180︒，∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，∴EF ∥AC ，∴∠A+∠AEF=180︒，∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，∴∠A+∠B=270︒，∵227A B ∠-∠=︒，∴∠A=99︒；故答案为：39︒或99︒．．【点睛】此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．12．在平面内，若OA ⊥OC ，且∠AOC ∶∠AOB ＝2∶3，则∠BOC 的度数为_______________；45°或135°【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°再由∠AOC ：∠AOB=2：3可得∠AOB 然后再分两种情况进行计算即可【详解】解：如图∠AOC 的位置有两种：一种是∠AOC 在∠AOB 内一种是在解析：45°或135°根据垂直关系可得∠AOC=90°，再由∠AOC ：∠AOB=2：3，可得∠AOB ，然后再分两种情况进行计算即可．【详解】解：如图，∠AOC 的位置有两种：一种是∠AOC 在∠AOB 内，一种是在∠AOB 外．∵OA ⊥OC ，∴∠AOC=90°，①当∠AOC 在∠AOB 内，如图1，∵∠AOC ：∠AOB=2：3，∴∠BOC=12∠AOC=45°， ②当∠AOC 在∠AOB 外，如图2，∵∠AOC ：∠AOB=2：3，∴∠AOB=32∠AOC=135°， ∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=135°．故答案为：45°或135°．【点睛】此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．13．如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______．【分析】过作过作根据平行线的性质可知然后根据平行线的性质即可求解；【详解】如图过作过作∴∴∵∴∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质两直线平行同位角相等两直线平行内错角相等正确理解平行线的解析：90x y z +-=︒过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，根据平行线的性质可知//////AB CN DM EF ，然后根据平行线的性质即可求解；【详解】如图，过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，∴//////AB CN DM EF ，∴1x =∠，23∠∠=，4z ∠=，∵90BCD ∠=︒，∴1290∠+∠=︒，∴390x +∠=︒，∴3490x z +∠+∠=︒+，∴90x y z +=︒+，∴90x y z +-=︒．故答案为：90x y z +-=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；14．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___ 130cm2【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD 那么GH=CDBC=FG 观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD 再根据梯形的面积计算公式计算即可【解析：130cm 2．【分析】根据平移的性质可知梯形EFGH ≌梯形ABCD ，那么GH=CD ，BC=FG ，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD ，再根据梯形的面积计算公式计算即可．【详解】解：∵直角梯形EFGH 是由直角梯形ABCD 平移得到的，∴梯形EFGH ≌梯形ABCD ，∴GH=CD ，BC=FG ，∵梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，∴S 梯形ABCD -S 梯形EFMD =S 梯形EFGH -S 梯形EFMD ，∴S 阴影=S 梯形MGHD =12（DM+GH ）•GM=12（28-4+28）×5=130（cm 2）．故答案是130cm 2．【点睛】本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等． 15．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2即可求出α的度数【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角∠2=50°∴∠1=∠2∵∠2=50°∴α+10°=50°∴α=40°故答案为：40°【点睛】本题考解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．16．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.40【解析】根据平行线的性质先求出∠BEF 和∠CEF 的度数再求出它们的差就可以了解：∵AB ∥EF ∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF ∥CD ∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°解析：40【解析】根据平行线的性质，先求出∠BEF 和∠CEF 的度数，再求出它们的差就可以了．解：∵AB ∥EF ，∴∠BEF=∠ABE=70°；又∵EF∥CD，∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，∴∠BEC=∠BEF-∠CEF=40°；故应填40．“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．17．运动会上裁判员测量跳远成绩时，先在距离踏板最近的跳远落地点上插上作为标记的小旗，再以小旗的位置为赤字的零点，将尺子拉直，并与踏板边缘所在直线垂直，把尺子上垂足点表示的数作为跳远成绩．这实质上是数学知识____________在生活中的应用．垂线段最短【分析】根据题干跳远落点视为一个点直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线然后用数学语言描述出来即可【详解】根据题意可知答案为：垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用注意在书写答案解析：垂线段最短【分析】根据题干，跳远落点视为一个点，直尺垂直踏板边缘可理解为作垂线，然后用数学语言描述出来即可．【详解】根据题意，可知答案为：垂线段最短【点睛】本题考查点到直线距离在生活中的实际应用，注意在书写答案时，尽量用“数学化”的语言来描述．18．如图所示，AB∥CD，EC⊥CD．若∠BEC＝30°，则∠ABE的度数为_____．120°【分析】先根据平行线的性质得到∠GEC=90°再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可【详解】过点E作EG∥AB则EG∥CD由平行线的性质可得∠GEC=90°所以∠GEB=90°﹣30°解析：120°．【分析】先根据平行线的性质，得到∠GEC=90°，再根据垂线的定义以及平行线的性质进行计算即可．【详解】过点E作EG∥AB，则EG∥CD，由平行线的性质可得∠GEC=90°，所以∠GEB=90°﹣30°=60°，因为EG∥AB，所以∠ABE=180°﹣60°=120°．故答案为：120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和垂直的概念等，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．19．如图，a∥b，∠1＝80°，∠2＝45°，∠3＝_____．55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论【详解】解：∵a∥b∴∠1+∠3+∠4=180°∵∠2=∠4∠2＝45°∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°∴∠3=180°-45°-80°=5解析：55°【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论．【详解】解：∵a∥b，∴∠1+∠3+∠4=180°，∵∠2=∠4，∠2＝45°，∴∠4=∠2＝45°∵∠1＝80°，∴∠3=180°-45°-80°=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 20．观察下列图形：已知a b ，在第一个图中，可得∠1+∠2=180°，则按照以上规律：112n P P ∠+∠+∠++∠=…_________度．（n ﹣1）×180【分析】分别过P1P2P3作直线AB 的平行线P1EP2FP3G 由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°∠5+∠6=180°∠7+∠8=180°∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠ 解析：（n ﹣1）×180【分析】分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180°于是得到∠1+∠2=10°，∠1+∠P 1+∠2=2×180，∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，根据规律得到结果∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．【详解】解：如图，分别过P 1、P 2、P 3作直线AB 的平行线P 1E ，P 2F ，P 3G ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥P 1E ∥P 2F ∥P 3G ．由平行线的性质可得出：∠1+∠3=180°，∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠4+∠2=180° ∴（1）∠1+∠2=180°，（2）∠1+∠P 1+∠2=2×180，（3）∠1+∠P 1+∠P 2+∠2=3×180°，（4）∠1+∠P 1+∠P 2+∠P 3+∠2=4×180°，∴∠1+∠2+∠P 1+…+∠P n =（n+1）×180°．故答案为：（n+1）×180．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题的关键．三、解答题21．在ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，且与BC 平行．仅用圆规完成下列画图．（保留画图痕迹，不写作法）（1）如图①，在直线l 上画出一点P ，使得APC ACB ∠=∠；（2）如图②，在直线l 上画出所有的点Q ，使得12AQC ACB ∠=∠．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)以C 为圆心,以CA 为半径画弧,交点即为所求;(2)以A 为圆心,以AC 为半径画弧,交点即为所求.【详解】（1）如图所示，点P 即为所求，理由如下:CP CA =，//l BC ，则APC CAP ACB ∠=∠=∠．（2）如图所示，点12Q Q 、即为所求，理由如下：1AC AQ =，//l BC ，则11112AQ C ACQ BCQ ACB ∠=∠=∠=∠； 12CQ CQ =，则1221CQ Q CQ Q ∠=∠．【点睛】本题考查了基本作图,熟记等腰三角形的性质,平行线的性质是解题的关键.22．如图，已知在每个小正方形的网格图形中，ABC的顶点都在格点上，,,A B C为格点．（1）先将ABC先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，请在图中画出平移后DEF，（点A，B，C所对应的顶点分别是D，E，F）（2）求出DEF的面积；（3）连结AD，BE，直接说出AD与BE的关系（不需要理由）．解析：（1）见解析；（2）8；（3）AD=BE且AD∥BE【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F，再依次连接即可；（2）根据三角形的面积公式计算；（3）根据平移的性质回答．【详解】解：（1）如图，△DEF即为所作；（2）S△DEF=1442⨯⨯=8；（3）如图，由平移可知：AD=BE且AD∥BE．【点睛】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．23．如图，已知：AD BC ⊥于D,EG BC ⊥于G,AD 平分BAC ∠．求证：1E ∠∠=．下面是部分推理过程，请你填空或填写理由．证明：∵AD BC EG BC ⊥⊥，（已知），∴ADC EGC 90∠∠==︒（垂直的定义）,∴AD //EG （）∴21∠=∠（），3∠= （）．又∵AD 平分BAC ∠(已知)，∴23∠∠=（），∴1E ∠∠=（）解析：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠E ；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换．【分析】根据垂直的定义、平行线的判定与性质、角平分线的定义以及等量代换进行解答即可．【详解】证明：∵AD BC EG BC ⊥⊥，（已知），∴ADC EGC 90∠∠==︒（垂直的定义）,∴AD //EG （同位角相等，两直线平行）∴21∠=∠（两直线平行，内错角相等），3∠=∠E （两直线平行，同位角相等）．又∵AD 平分BAC ∠(已知)，∴23∠∠=（角平分线的定义），∴1E ∠∠=（等量代换）．【点睛】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定与性质和角平分线的定义等知识点，灵活应用平行线的判定与性质成为解答本题的关键．24．如图，DE 平分∠ADF ，DF ∥BC ，点E ，F 在线段AC 上，点A ，D ，B 在一直线上，连接BF ．（1）若∠ADF ＝70°，∠ABF ＝25°，求∠CBF 的度数；（2）若BF 平分∠ABC 时，求证：BF ∥DE ．解析：（1）∠CBF ＝45°；（2）见解析．【分析】（1）根据平行线的性质和已知条件即可求出∠CBF 的度数；（2）根据平行线的性质可得∠ABC ＝∠ADF ，再根据BF 平分∠ABC ，DE 平分∠ADF ，可得∠ADE ＝∠ABF ，再根据同位角相等，两直线平行即可证明BF ∥DE ．【详解】解：（1）∵DF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠ADF ＝70°，∵∠ABF ＝25°，∴∠CBF ＝70°﹣25°＝45°；（2）证明：∵DF ∥BC ，∴∠ABC ＝∠ADF ，∵BF 平分∠ABC ，DE 平分∠ADF ，∴∠ADE 12=∠ADF ，∠ABF 12=∠ABC ， ∴∠ADE ＝∠ABF ，∴BF ∥DE ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 25．如图，已知12∠=∠，C D ∠=∠，求证：A F ∠=∠．解析：证明见解析【分析】根据平行线的判定与性质即可得证．【详解】解：∵12∠=∠，∴//BD CE ，∴C ABD ∠=∠，∵C D∠=∠，∴D ABD∠=∠，∴//AC DF，∴A F∠=∠．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质定理是解题的关键．26．如图，已知，AB//CD，EF交AB，CD于G、H，GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD．试说明GM//HN．解析：证明见解析．【分析】首先根据平行线的性质可得∠BGF=∠DHE，再根据角平分线的性质可证明∠1=∠2，然后根据内错角相等，两直线平行可得HN∥GM．【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠AGF=∠DHE，∵GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD，∴∠1=12∠AGF，∠2=12∠DHE，∴∠1=∠2，∴GM∥HN．【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．27．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．例如：如果ab<0，那么a+b<0．反例：设a=4，b=-3，ab=4⨯（-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．（1）如果a+b>0，那么ab>0．（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如1±2，两数相加就是有理数．【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．（2）取a=1+2，b=1-2，a 、b 均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．28．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，FO ⊥CD 于点O ，若∠BOD ∶∠EOB=2∶3，求∠AOF 的度数．解析：45︒．【分析】设2BOD x ∠=，从而可得3EOB x ∠=，先根据角平分线的定义3EOC EOB x ∠=∠=，再根据平角的定义可得求出x 的值，然后根据垂直的定义可得90DOF ∠=︒，最后根据平角的定义即可得．【详解】设2BOD x ∠=，则3EOB x ∠=，∵OE 平分BOC ∠，∴3EOC EOB x ∠=∠=，180BOD EOB EOC ∠+∠+∠=︒，233180x x x ∴++=︒，解得22.5x =︒，45BOD ∴∠=︒，FO CD ⊥，90DOF ∴∠=︒，又180BOD DOF AOF ∠+∠+∠=︒，4590180AOF ∴︒+︒+∠=︒，解得45AOF ∠=︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平角的定义、垂直的定义等知识点，熟练掌握并理解各定义是解题关键．。

数学七年级下第五章相交线与平行线专题2 平行线的性质与判定中常用的辅助线

数学七年级下第五章相交线与平行线专题2 平行线的性质与判定中常用的辅助线姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题1 . 如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.2 . 如图，，且AE平分，，则________；3 . 已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF 交于点A．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为___________s4 . 如图，已知AB∥CD，，则_____．二、解答题5 . 已知，如图1，E为BC延长线上一点．（1）请你添加平行线证明：∠ACE＝∠ABC+∠A．（2）如图2，若点D是线段AC上一点，且DF∥BC，作DG平分∠BDF交AB于G，DH平分∠GDC交BC于H，且∠BDC 比∠ACB大20°，求∠GDH的度数．（3）如图3，已知E为BC延长线上一点，D是线段AC上一点，连接DE，若∠ABC的平分线与∠ADE的平分线相交于点P，请你判断∠P、∠A、∠E的数量关系并证明你的结论．6 . 已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，问CD与AB有什么关系？并说明理由7 . 完成以下证明，并在括号内填写理由．已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A＝∠3．求证：∠ABC＋∠4＋∠D＝180°．证明：∵∠1＝∠2∴∥（）∴∠A＝∠4（）∠ABC＋∠BCE＝180°（）即∠ABC＋∠ACB＋∠4＝180°∵∠A＝∠3∴∠3＝∴∥∴∠ACB＝∠D（）∴∠ABC＋∠4＋∠D＝180°。

2023-2024学年七年级数学下册相交线平行线压轴题(七大题型)(解析版)

专题02相交线平行线压轴题（七大题型）（1）如图①，求证：ABC BAM BCN ∠=∠+∠．阅读并将下列推理过程补齐完整：过点B 作//BG NC ，因为12l l //，所以//AM __________（）所以ABG BAM ∠=∠，CBG BCN ∠=∠（）所以ABC ABG CBG BAM BCN ∠=∠+∠=∠+∠．（2）如图②，点D ，E 在直线1l 上，且DBC BAM ∠=∠，BE 平分ABC ∠．求证：DEB DBE ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如果CBE ∠的平分线BF 与直线1l 平行，试确定BAM ∠与BCN ∠之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）BG ；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3）3BAM BCN ∠=∠，理由见解析【分析】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得//AM BG ，再根据平行线的性质即可得结论；（2）过点B 作//BG NC ，根据12l l //，可得//AM BG ，所以DEB EBG ∠=∠，CBG BCN ∠=∠，结合（1）即可进行证明；（3）根据DBC DBE EBF FBC ∠=∠+∠+∠，//BF AM ，可得EBF DEB ∠=∠，根据BF 平分CBE ∠，可得CBF EBF ∠=∠，结合（2）可得3DBC FBC ∠=∠，中根据平行线的性质即可得结论．【详解】（1）解：如图①，过点B 作//BG NC ，因为12l l //，所以//AM BG （平行于同一条直线的两条直线平行）．所以ABG BAM ∠=∠，CBG BCN ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．所以ABC ABG CBG BAM BCN ∠=∠+∠=∠+∠．故答案为：BG ，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；（2）证明：如图②，过点B 作//BG NC ，因为12l l //，所以//AM BG ，所以DEB EBG ∠=∠，CBG BCN ∠=∠，由（1）知：ABC BAM BCN ∠=∠+∠．又DBC BAM ∠=∠，所以ABC DBC BCN ∠=∠+∠．因为ABC ABD DBC ∠=∠+∠．所以ABD BCN ∠=∠，所以ABD CBG ∠=∠，因为BE 平分ABC ∠．所以ABE EBC ∠=∠，所以DBE EBG ∠=∠，所以DEB DBE ∠=∠；（3）解：3BAM BCN ∠=∠，理由如下：因为DBC DBE EBF FBC ∠=∠+∠+∠，//BF AM ，所以EBF DEB ∠=∠，因为BF 平分CBE ∠，所以CBF EBF ∠=∠，由（2）知：DEB DBE ∠=∠，所以3DBC FBC ∠=∠，因为1//CN l ，【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等＝∠A−∠C；∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下：如图2所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ，∴∠APC＝∠A−∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．6．问题情境：如图1，已知AB∥CD，108∠+∠的度数．∠=︒．求PAB PCDAPC经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠+∠=︒-∠=︒．PAB PCD APC360252∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+1n B-∠．故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+1n B-∠．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．题型3：“鸡翅”型7．已知，//AE BD ，A D ∠=∠．（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，作BAE ∠的平分线交CD 于点F ，点G 为AB 上一点，连接FG ，若CFG ∠的平分线交线段AG 于点H ，连接AC ，若ACE BAC BGM ∠=∠+∠，过点H 作HM FH ⊥交FG 的延长线于点M ，且3518E AFH ∠-∠=︒，求EAF GMH ∠+∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）72︒【分析】（1）根据平行线的性质得出180A B ∠+∠=︒，再根据等量代换可得180B D ∠+∠=︒，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E 作//EP CD ，延长DC 至Q ，过点M 作//MN AB ，根据平行线的性质及等量代换可得出ECQ BGM DFG ∠=∠=∠，再根据平角的含义得出ECF CFG ∠=∠，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出,BHF CFH CFA FAB ∠=∠∠=∠；设,FAB CFH αβ∠=∠=，根据角的和差可得出2AEC AFH ∠=∠，结合已知条件35180AEC AFH ∠-∠=︒可求得18AFH ∠=︒，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．【详解】（1）证明：//AE BD180A B ∴∠+∠=︒A D∠=∠ 180B D ∴∠+∠=︒//AB CD ∴；（2）过点E 作//EP CD ，延长DC 至Q ，过点M 作//MN AB222ECF AFH AEC EAB AFH AEC β∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+22ECF AFH E BHF∴∠+∠=∠+∠2AEC AFH∴∠=∠35180AEC AFH ∠-∠=︒18AFH ∴∠=︒FH HM⊥ 90FHM ∴∠=︒90GHM β∴∠=︒-180CFM NMF ∠+∠=︒90HMB HMN β∴∠=∠=︒-EAF FAB∠=∠ 18EAF CFA CFH AFH β∴∠=∠=∠-∠=-︒189072EAF GMH ββ∴∠+∠=-︒+︒-=︒72EAF GMH ∴∠+∠=︒．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．8．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ．①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．【答案】（1）∠A +∠C =90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，//,BG CN∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，(1)求证：180B C A ∠+∠-∠=︒：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、=DAC ACB CBE ∠∠∠：：．【答案】(1)见解析∵CF AD BE ∥∥，∴ACF A BCF ∠=∠∠，∴ACB B A ∠+∠-∠=∠（2）在图2中，过点Q ∵QM AD QM ∥，∥∴AQM NAD ∠=∠∠，∵AQ 平分CAD ∠，BQ ∴1,2NAD CAD ∠=∠∠AQB BQM ∠=∠-∠∴60120CAD CBE ∠=︒∠=︒，，∴180120()ACB CBE CAD ∠=︒-∠-∠=︒，∴60120120122DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=：：：：：：，故答案为：122：：．【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．题型4：“骨折”型10．为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC ，CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成50,75,25B C D ∠=︒∠=︒∠=︒，判别AB 是否平行于ED ，并说明理由；（2）如图3，若25C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD ，求出此时B ∠的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若85,25,//C D AB DE ∠=︒∠=︒，求出此时B ∠的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【答案】（1）AB ∥DE ，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110°【分析】（1）过点C 作CF ∥AB ，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B 的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B 的度数．【详解】解：（1）AB ∥DE ，理由是：如下图，过点C 作CF ∥AB ，∴∠B =∠BCF =50°，∵∠BCD =75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下图，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-25°=60°，∵AB∥CF，∴∠CFD=180°-85°-25°=70°∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°综上所述，∠B的度数为60°【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．11．已知，AB∥CD．点M（3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF ＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，【答案】（1）90A C ∠+∠=︒；（2）见解析；（3）105°【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系即可求解．（2）过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质即可求解．【详解】解：（1）如图1，设AM 与BC 交于点O ,∵AM ∥CN ，∴∠C ＝∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∴∠A ＋∠AOB ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°，故答案为：∠A ＋∠C ＝90°；（2）证明：如图2，过点B 作BG ∥DM ，∵BD ⊥AM ，∴DB ⊥BG ，∴∠DBG ＝90°，∴∠ABD ＋∠ABG ＝90°，∵AB ⊥BC ，∴∠CBG ＋∠ABG ＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查平行线性质，画辅助线，找到角的和差倍分关系是求解本题的关键．14．问题情境：（1）如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，119PCD ∠=︒．求APC ∠度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P 作//PE AB ，请你接着完成解答．问题迁移：（2）如图3，//AD BC ，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，ADP α∠=∠，PCE β∠=∠．试判断CPD ∠、α∠、∠β之间有何数量关系？（提示：过点P 作//PF AD ），请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合），请你猜想CPD ∠、α∠、∠β之间的数量关系并证明．【答案】（1）见解析；（2）180CPD αβ∠=∠+︒-∠，理由见解析；（3）①当P 在BA 延长线时（点P 不与点A 重合），180CPD βα∠=︒-∠-∠；②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合），180CPD αβ∠=∠-︒+∠．理由见解析【分析】（1）过P 作PE ∥AB ，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC =113°；（2）过过P 作//PF AD 交CD 于F ，，推出////AD PF BC ，根据平行线的性质得出180BCP b Ð=°-Ð，即可得出答案；（3）画出图形（分两种情况：①点P 在BA 的延长线上，②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合）），根据平行线的性质即可得出答案．【详解】解：（1）过P 作//PE AB ，//AB CD ，////PE AB CD ∴，=180APE PAB \�邪，180CPE PCD ∠+∠=︒，128PAB ∠=︒ ，119PCD ∠=︒52APE ∴∠=︒，61CPE ∠=︒，5261113APC ∴∠=︒+︒=︒；（2）180CPD αβ∠=∠+︒-∠，理由如下：如图3，过P 作//PF AD 交CD 于F ，AD //BC ，////AD PF BC ∴，ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，180BCP PCE ∠+∠=︒ ，PCE β∠=∠，180BCP β∴∠=︒-∠又ADP α∠=∠ =180CPD DPF CPF a b \��行+�；（3）①当P 在BA 延长线时（点P 不与点A 重合），180CPD βα∠=︒-∠-∠；理由：如图4，过P 作//PF AD 交CD 于F ，AD //BC ，////AD PF BC ∴，ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，180BCP PCE ∠+∠=︒ ，PCE β∠=∠，180BCP β∴∠=︒-∠，又ADP α∠=∠ ，180CPD CPF DPF αβ∴∠=∠-∠=︒-∠-∠；②当P 在BO 之间时（点P 不与点B ，O 重合），180CPD αβ∠=∠-︒+∠．理由：如图5，过P 作//PF AD 交CD 于F ，AD //BC ，////AD PF BC ∴，ADP DPF ∴∠=∠，BCP CPF ∠=∠，180BCP PCE ∠+∠=︒ ，PCE β∠=∠，180BCP β∴∠=︒-∠，又ADP α∠=∠ 180CPD DPF CPF αβ∴∠=∠-∠=∠+∠-︒．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．15．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．(1)导入：如图①，已知AB CD EF ∥∥，如果26A ∠=︒，C ∠=(2)发现：如图②，已知AB CD ∥，请判断AEC ∠与A ∠，C ∠之间的数量关系，并说明理由；(3)运用：(i)如图③，已知AB CD ∥，88AEC ∠=︒，点M 、N 分别在28︒，那么MND ∠=︒；()ii 如图④，已知AB CD ∥，点M 、N 分别在AB 、CD 上，果116E ∠=︒，那么F ∠=︒；()iii 如图⑤，已知AB CD ∥，点M 、N 分别在AB 、CD 上，∵AB CD EF∥∥∴,A AEF C ∠=∠∠=∵26A ∠=︒，34C ∠=AEC AEF ∠=∠+∠ EF AB ∥，∴A ∠=AEF ∠，EF AB AB CD ∥，∥∴EF CD ∥，（ii ）解：如图所示，∵由“猪蹄模型”，可得∵ME 、NE 分别平分1（iii ）解：如图所示，延长设ENG ∠β=，∵MF 、NG 分别平分∴12BMF ∠=∠【答案】（1）30°；（2）①30°或90°；②6秒或【分析】（1）通过延长PG作辅助线，根据平行线的性质，得到∠结果；（2）①当∠MEP=15°时，分两种情况，Ⅰ当ME在计算出EM的运动时间t，根据运动时间可计算出∠∵PF⊥CD，∴∠PFD=∠PGE=90°∵∠EPF=∠PGE+∠∴∠AEP=∠EPF-∠PGE （2）①Ⅰ如图2，∵∠AEP=30°，∠MEP=15°，∴∠AEM=15°，∴射线ME运动的时间t=15 15∴射线PN旋转的角度∠FPN又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF-∠EPN=120°-30°=90°∵∠AEP=30°，∠MEP=15°∴∠AEM=45°，∴射线ME运动的时间t=45 15∴射线PN旋转的角度∠FPN又∵∠EPF=120°，∴∠EPN=∠EPF-∠FPN=120°-90°=30∴∠EPN的度数为90°或30°根据题意可知，经过t秒，∠AEM=15t°，∠FPN=30t°∵EM∥PN，∴∠AEM=∠AHP=15t°，又∵∠FPN=∠EGP+∠AHP∴30t°=90°+15t°，解得t=6（秒）；根据题意可知，经过t秒，∠AEM=15t°，∵EM∥PN，∴∠GHP=15t°，∠GPH=90°-15t°，∴PN运动的度数可得，180°-∠GPH=30t°，解得t=6（秒）；Ⅲ当PN由PG运动如图6时，EM∥PN，根据题意可知，经过t秒，∠AEM=15t°，∠GPN=30（t-6）°，∵∠AEP=30°，∠EPG=60°，∴∠PEM=15t°-30°，∠EPN=30（t-6）°-60°，又∵EM∥PN，∴∠PEM+∠EPN=180°，∴15t°-30°+30（t-6）°-60°=180°，解得t=10（秒），当t的值为6秒或10秒时，EM∥PN．【点睛】本题主要考查平行线性质，一元一次方程的应用，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形是解决本题的关键．17．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB的直角顶点放在O 处，90AOB ∠=︒，30OAB ∠=︒，一条直角边OA 在射线OD 上，另一边OB 在直线DE 上方，将直角三角板绕着点O 按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t 秒，且40AOC ∠=︒．(1)若射线OC 的位置保持不变，则当旋转时间t =______秒时，边AB 所在直线与OC 平行；(2)如图2，在旋转的过程中，若射线OC 的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线OA ，OC 与OD 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t 的取值，若不存在，请说明理由；【答案】(1)7或25，(2)见详解．【分析】（1）利用平行线性质即可求得答案；（2）分三种情况：当OA 平分COD ∠时，当OC 平分AOD ∠时，当OD 平分AOC ∠时，分别求出t 的值即可；【详解】（1）解：如图3，10AOD t ∠=︒，30OAB ∠=︒，40COD ∠=︒，∵AB OC ∥，∴30OAB AOC ∠=∠=︒，∴304070AOD AOC COD ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∴1070t ︒=︒，7t =；如图4，10COD COE AOE t ∠+∠+∠=︒，30OAB ∠=︒，40COD ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴=60B ∠︒，∵AB OC ∥，∴60COB B ∠=∠=︒，【点睛】本题考查了旋转变换，角的运算，角平分线定义，平行线的性质，一元一次方程的应用等，解题关键是运用数形结合思想、分类讨论思想及方程思想解决问题．AB AM CM CD组成的图形像英文字母M，称为“M形BAMCD”．18．如图1，由线段,,,（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______；（2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A ∠与C ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．【答案】（1）50°；（2）∠A +∠C =30°+α，理由见解析；（3）∠A -∠DCM =30°+α或30°-α【分析】（1）过M 作MN ∥AB ，由平行线的性质即可求得∠M 的值．（2）延长BA ，DC 交于E ，应用四边形的内角和定理与平角的定义即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可；【详解】解：（1）过M 作MN ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥MN ∥CD ，∴∠1=∠A ，∠2=∠C ，∴∠AMC =∠1+∠2=∠A +∠C =50°；故答案为：50°；（2）∠A +∠C =30°+α，延长BA ，DC 交于E ，∵∠B+∠D=150°，∴∠E=30°，∵∠BAM+∠DCM=360°-（∠EAM+∠ECM）=360°-（360°-∠E-∠M）=30°+α；即∠A+∠C=30°+α；（3）①如下图所示：延长BA、DC使之相交于点E，延长MC与BA的延长线相交于点F，∵∠B+∠D=150°，∠AMC=α，∴∠E=30°由三角形的内外角之间的关系得：∠1=30°+∠2∠2=∠3+α∴∠1=30°+∠3+α∴∠1-∠3=30°+α即：∠A-∠C=30°+α．②如图所示，210-∠A=（180°-∠D CM）+α，即∠A-∠DCM=30°-α．【答案】（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2【分析】（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD∴∠FQM1=∠R，(1)如图1，若∠CBD =35°，则∠ABE =______︒；(2)如图1，若∠CBD ：∠ABE =2：7，求∠CBD 的度数；(3)如图2，若∠CBD =α，射线BM ，射线BN 分别是∠ABE 和∠CBE 的平分线，试判断当∠CBD 的度数改变时，∠MBN 的度数是否随之改变．若改变，请说明理由；若不改变，求它的度数；(4)如图1，若保持三角板ABC 不动，绕直角顶点B 顺时针转动三角板DBE ，当∠CBD 的度数为______时，BE ∥AC ．【答案】(1)145(2)∠CBD =40°(3)不变，45MBN ∠=︒(4)60°或120°【分析】（1）根据90ABC DBE ∠=∠=︒进行计算即可．（2）由比例关系设∠CBD =2x ，∠ABE =7x ，再利用90ABC DBE ∠=∠=︒计算即可．（3）用（1）的方法可得180ABE α∠=︒-，根据角平分线的性质求解即可．（4）旋转过程中BE AC ∥有两种情况，画出图分别进行求解即可．【详解】（1）解：∠ABE ＝∠ABC ＋∠DBE −∠CBD ＝90°＋90°−35°＝145°；故答案为：145．（2）∵∠CBD ∶∠ABE =2∶7，设∠CBD =2x ，则∠ABE =7x ，∵∠ABC +∠DBE =90°＋90°=180°，∴∠ABC +∠CBE +∠CBD =180°，∴∠ABE +∠CBD =180°，60CBD ∴∠=︒或者120CBD ∠=︒．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，余角定义和性质，角平分线性质，平行线性质；灵活运用角的和差关系进行计算是关键．22．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起（其中，60A ∠=︒，30D ∠=︒，45E B ∠=∠=︒）．(1)若35DCE ∠=︒，则ACB =∠________；(2)如图1，ACE ∠=∠________；若点E 在AC 的上方，设()90180ACB ββ∠=︒<<︒，则DCE ∠=________（用含β的式子表示）；(3)当180ACE ∠<︒且点E 在直线AC 的上方时，将三角尺ACD 固定不动，改变三角尺BCE 的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C 重合．①当BE AC ∥（如图2）时，直接写出ACE ∠=________﹔②当EC DA ∥时，直接写出ACE ∠=________；(4)在（3）的条件下，当180ACE ∠<︒且点E 在直线AC 的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时DCE ∠所有可能的角度数值为________，若不存在，请说明理由．【答案】(1)145︒(2)DCB ；180β︒-(3)①45︒；②120︒(4)60︒或45︒或75︒【分析】（1）根据两角互余，可得ACE ∠与DCE ∠的关系，根据角的和差，可得答案；（2）根据同角的余角相等可得ACE ∠与DCE ∠，可得ACE ∠与ACB ∠的关系，根据互余的两角的关系，可得DCE ∠与ACE ∠的关系；（3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；②根据两直线平行，内错角相等得30DCE D ∠=∠=︒，根据角的和差可得答案；（4）分情况进行解答．【详解】（1）∵35DCE ∠=︒，∴90903555ACE DCE ∠=︒-∠=︒-︒=︒9055145ACB ACE BCE ︒+︒=︒∴∠=∠+∠=（2）∵90ACE DCE ∠+∠=︒，90DCB DCE ∠+∠=︒，∴ACE DCB∠=∠∴90ACE ACB ECB β∠=∠-∠=-︒∴()909090180DCE ACE ββ∠=︒-∠=︒--︒=︒-，（3）①当BE AC ∥时，∵BE AC ∥，∴45ACE E ∠=∠=︒，②当EC DA 时，如图，。

《相交线与平行线》常考题型训练(试题与答案)

《相交线与平行线》常考题型训练平行线＋角平分1．如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝36°，则∠BDF的度数为（）A．18°B．36°C．54°D．72°3．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°4．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠BAG的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°5．如图，AB∥CD，∠B＝60°，EF平分∠BED，则∠FED的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°6．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝5，AC＝4，则△ADF周长为（）A．7 B．8 C．9 D．107．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，EP⊥FP，则以下结论错误的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝90°C．∠1+∠3＝90°D．∠3＝∠4两直线平行求角的度数（直尺、三角板）8．如图所示，AB∥CD，DB⊥BC于点B，若∠2＝50°，则∠1＝（）A．40°B．50°C．45°D．60°9．如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°10．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADB＝62°，则∠CBF的度数是（）A．128°B．118°C．108°D．62°11．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2，（2）∠1＝∠3，（3）∠2+∠4＝90°，（4）∠4+∠5＝180°．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝16°，那么∠2的度数是（）A．16°B．44°C．45°D．60°13．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°14．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（）A．∠3＝42°B．∠4＝138°C．∠5＝42°D．∠2＝58°两直线平行与折叠综合求角的度数15．如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D'对应，若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为（）A．72°B．36°C．60°D．65°16．如图，将长方形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′＝40°，则∠BEA′的度数为（）A．45°B．65°C．50°D．25°17．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝126°，则∠2的度数为（）A．54°B．63°C．72°D．45°18．如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝30°，则∠EFC等于（）A．115°B．75°C．105°D．150°两直线平行与拐角综合求角的度数20．如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°21．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝180°B．∠β＝3∠αC．∠α+∠β＝90°D．∠β﹣∠α＝90°22．如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°23．如图，已知AB∥CD，∠AEG＝40°，∠CFG＝60°，则∠G等于（）A．20°B．40°C．60°D．100°24．如图所示，直线a∥b，∠1＝38°，∠2＝90°，则∠3的度数为（）A．125°B．138°C．148°D．128°25．如图，AB∥CD，∠BAP＝60°﹣α，∠APC＝50°+2α，∠PCD＝30°﹣α．则α为（）A．10°B．15°C．20°D．30°26．如图，直线m∥n，∠1＝60°，∠2＝25°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°27．如图所示，直线AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，则∠E的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．35°28．如图，已知AB∥CD．写出图形中∠P和∠A，∠C的关系（）A．∠C＝∠P﹣∠A B．∠P＝∠C﹣∠A C．∠P＝∠A+∠C D．∠C＝∠A﹣∠P29．如图，a∥b，则∠A的度数是（）度．A．28 B．31 C．39 D．40两直线平行填空题30．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，求证：a∥c．在下列解答中，填空（理由或数学式）；解：∵∠1＝∠2（已知），∴（）．∵（已知），∴b∥c（），∴（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．31．已知：如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．解：直线AD与BE平行，直线AB与DC．理由如下：∵∠DAE＝∠E，（已知）∴∥，（内错角相等，两条直线平行）∴∠D＝∠DCE．（两条直线平行，内错角相等）又∵∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝，（等量代换）∴∥．（同位角相等，两条直线平行）两直线平行的性质与判定综合证明题32．已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2．求证：DE⊥AC．33．如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD＝∠ACB，试说明∠1+∠2＝180°．34．如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．两直线平行拐点探究题35．（1）【感知】如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请完成下面的解题过程（填恰当的理由）．证明：如图①过点E作EF∥AB．∴∠A＝∠1 （）∵AB∥CD（已知）EF∥AB（辅助线作法）∴CD∥EF（）∴∠2＝∠DCE（）∵∠AEC＝∠1+∠2∴∠AEC＝∠A+∠DCE（）（2）【探究】当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°（3）【应用】如图③，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，则∠MEC的度数为．（请直接写出答案）36．感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D＝∠BED．阅读下面的解答过程，井填上适当的理由．解：过点E作直线EF∥CD∴∠2＝∠D（）∵AB∥CD（已知），EF∥CD，∴AB∥EF（）∴∠B＝∠1（）∵∠1+∠2＝∠BED，∴∠B+∠D＝∠BED（）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝22°，∠G＝35°，∠D＝25°，则∠E+∠F＝度．方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝80°，则∠D＝度．《相交线与平行线》常考题型训练参考答案与试题解析一．选择题（共31小题）1．如图，直线AB∥CD，CE平分∠ACD，交AB于点E，∠ACE＝20°，点F在AC的延长线上，则∠BAF的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可以求得∠BAF的值，本题得以解决．【解答】解：∵∠ACE＝20°，CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACE＝40°，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠ACD，∴∠BAF＝40°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．2．如图，AF是∠BAC的平分线，DF∥AC，若∠1＝36°，则∠BDF的度数为（）A．18°B．36°C．54°D．72°【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠F AC＝∠1，再根据角平分线的定义可得∠BAF＝∠F AC．【解答】解：∵DF∥AC，∴∠F AC＝∠1＝35°，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠BAF＝∠F AC＝36°，∴∠BAC＝72°，∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BAC＝72°故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．3．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠ABC＝70°，再根据角平分线的定义可得答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABC＝35°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．4．如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF＝70°，则∠BAG的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°【分析】首先，由平行线的性质得到∠BAC＝∠ECF＝70°；然后利用角平分线的定义来求∠BAG的度数．【解答】解：∵AB∥ED，∠ECF＝70°，∴∠BAC＝∠ECF＝70°，又∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝35°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC的度数是解题的难点．5．如图，AB∥CD，∠B＝60°，EF平分∠BED，则∠FED的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】利用平行线的性质以及角平分线的定义即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED＝60°∵EF平分∠BED，∴∠FED＝∠BED＝30°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．如图，在△ABC中，BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过点E作DF∥BC交AB于D，交AC于F，若AB＝5，AC＝4，则△ADF周长为（）A．7B．8C．9D．10【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义得出BD＝DE，EF＝FC，进而解答即可．【解答】解：∵DF∥BC，∴∠DEB＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，∵BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠DBE＝∠EBC，∠FCE＝∠ECB，∴∠DBE＝∠DEB，∠FEC＝∠FCE，∴BD＝DE，EF＝FC，∴△ADF周长＝AD+DF+AF＝AD+AF+DE+EF＝AD+AF+BD+FC＝AB+AC＝5+4＝9，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．7．如图，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，EP⊥FP，则以下结论错误的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝90°C．∠1+∠3＝90°D．∠3＝∠4【分析】过点P作PH∥AB，再根据平行线的性质及直角三角形的性质对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：过点P作PH∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1＝∠EPH，∠3＝∠HPF，∵EP⊥FP，∴∠2+∠4＝90°，∠HPF+∠EPH＝90°，∴∠3＝∠4，故B，D正确；∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，故C正确，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图所示，AB∥CD，DB⊥BC于点B，若∠2＝50°，则∠1＝（）A．40°B．50°C．45°D．60°【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵DB⊥BC，∴∠CBD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠2＝90°﹣50°＝40°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠BCD＝40°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．9．如图，直线a∥b，∠1＝32°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）A．77°B．97°C．103°D．113°【分析】由直线a∥b，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠4的度数，结合对顶角相等可得出∠5的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠3的度数．【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示．∵直线a∥b，∴∠4＝∠2＝45°，∴∠5＝45°．∵∠1+∠3+∠5＝180°，∴∠3＝180°﹣32°﹣45°＝103°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．10．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一条直线上，若∠ADB＝62°，则∠CBF的度数是（）A．128°B．118°C．108°D．62°【分析】利用平行线的性质可得∠DBC＝∠ADB，再由邻补角的定义，可求得∠CBF，可求得答案．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝62°，∵∠CBF+∠DBC＝180°，∴∠CBF＝180°﹣62°＝118°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．11．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：（1）∠1＝∠2，（2）∠1＝∠3，（3）∠2+∠4＝90°，（4）∠4+∠5＝180°．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补可判断（1）、（2）、（4），根据平角的定义可判断∠2与∠4的关系．【解答】解：（1）因为∠1和∠2是两平行线间的同位角，所以根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠2；（2）∠1和∠3不属于平行线间的同位角或内错角，所以∠1和∠3不一定相等；（3）∠2、∠4和直角三角板的直角组成一个平角180°，所以∠2+∠4＝90°；（4）∠4和∠5是两平行线间的同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠4+∠5＝180°．所以正确的个数是3个．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是体现角之间关系的重要依据．12．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝16°，那么∠2的度数是（）A．16°B．44°C．45°D．60°【分析】根据BE∥CD得到∠EBC＝16°，依据∠ABC＝60°，∠EBC＝16°，由角的和差关系可求∠2＝44°．【解答】解：如图，∵BE∥CD，∴∠EBC＝∠1＝16°，∵∠ABC＝60°，∴∠2＝44°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．13．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（）A．80°B．70°C．60°D．50°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠4的度数，由对顶角相等求出∠5的度数，根据平行线的性质即可得出结论．【解答】解：由已知知：∠3＝60°∵1＝50°，∠3＝60°，∴∠4＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠5＝∠4＝70°，∵a∥b，∴∠2＝∠5＝70°故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解决问题的前提．14．如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线b上，若∠1＝58°，则下列结论正确的是（）A．∠3＝42°B．∠4＝138°C．∠5＝42°D．∠2＝58°【分析】利用平行线的性质、直角的定义即可解决问题．【解答】解：∵a∥b，∠1＝58°，∴∠3＝∠1＝58°，∠2＝∠1＝58°，∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣58°＝122°，∵三角板为直角三角板，∴∠5＝90°﹣∠3＝90°﹣58°＝32°．∴选项D正确，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．15．如图是一张长条形纸片，其中AB∥CD，将纸片沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D'对应，若∠1＝∠2，则∠D′FC的度数为（）A．72°B．36°C．60°D．65°【分析】依据平行线的性质以及折叠的的性质，即可得到∠A'EF＝60°，∠1＝60°，再根据平行线的性质，即可得到∠D′FC的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠AEF，由折叠可得∠A'EF＝∠AEF，又∵∠1＝∠2，∴∠AEF＝∠A'EF＝∠2，∵∠AEB＝180°，∴∠A'EF＝60°，∠1＝60°，∵A'E∥D'F，∴∠A'EF+∠D'FE＝180°，∴∠D'FC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．16．如图，将长方形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′＝40°，则∠BEA′的度数为（）A．45°B．65°C．50°D．25°【分析】由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．【解答】解：根据题意，∠A′＝∠A＝90°，∠ABE＝∠A′BE，∵∠CBA′＝40°，∴∠EBA'′＝（180°﹣90°﹣40°）＝25°，∴∠BEA'＝90°﹣25°＝65°，故选：B．【点评】本题考查折叠的性质．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．17．如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知∠1＝126°，则∠2的度数为（）A．54°B．63°C．72°D．45°【分析】由CD∥EF，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠DCF的度数，再利用折叠的性质及邻补角互补，可求出∠2的度数．【解答】解：在图中标上各字母，如图所示．∵CD∥EF，∴∠1+∠DCF＝180°，∴∠DCF＝180°﹣126°＝54°．∵2∠2+∠DCF＝180°，∴∠2＝＝63°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．18．如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°【分析】根据翻折不变性以及平行线的性质解决问题即可【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∵∠ACD＝40°，∴∠BAC＝140°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAC＝70°，故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点H处，点D落在AB边上的点G处，若∠AEG＝30°，则∠EFC等于（）A．115°B．75°C．105°D．150°【分析】利用翻折变换的性质求出∠DEF，再利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵∠AEG＝30°，∴∠DEG＝150°，由翻折的性质可知：∠DEF＝∠FEG＝∠DEG＝75°，∵AD∥BC，∴∠DEF+∠EFC＝180°，∴∠EFC＝105°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20．如图，已知a∥b，∠1＝50°，∠2＝120°，则∠3等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2+∠4＝180°，∵∠2＝120°，∴∠4＝60°，∵∠3＝∠1+∠4，∠1＝50°，∴∠3＝50°+60°＝110°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝180°B．∠β＝3∠αC．∠α+∠β＝90°D．∠β﹣∠α＝90°【分析】延长BC交DE于F，如图，利用平行线的性质得到∠BFD＝∠ABF＝∠α，然后根据三角形外角性质可得到∠β＝∠α+90°．【解答】解：延长BC交DE于F，如图，∵AB∥DE，∴∠BFD＝∠ABF＝∠α，∴∠CDE＝∠CDF+∠DCF，即∠β＝∠α+90°．故选：D．【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．22．如图，∠BCD＝95°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A．∠α+∠β＝95°B．∠β﹣∠α＝95°C．∠α+∠β＝85°D．∠β﹣∠α＝85°【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，于是得到结论．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠1＝∠α，∠2＝180°﹣∠β，∵∠BCD＝95°，∴∠1+∠2＝∠α+180°﹣∠β＝95°，∴∠β﹣∠α＝85°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．23．如图，已知AB∥CD，∠AEG＝40°，∠CFG＝60°，则∠G等于（）A．20°B．40°C．60°D．100°【分析】过点G作GH∥AB，得出∠EGH＝∠AEG，证出GH∥CD，则∠FGH＝∠CFG，得出∠EGF＝∠AEG+∠CFG，即可得出结果．【解答】解：过点G作GH∥AB，如图所示：∴∠EGH＝∠AEG，∵AB∥CD，∴GH∥CD，∴∠FGH＝∠CFG，∴∠EGH+∠FGH＝∠AEG+∠CFG．即：∠EGF＝∠AEG+∠CFG＝40°+60°＝100°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．24．如图所示，直线a∥b，∠1＝38°，∠2＝90°，则∠3的度数为（）A．125°B．138°C．148°D．128°【分析】反向延长∠2的边与a交于一点，由三角形外角性质可得∠4＝∠2﹣∠1＝55°，再根据邻补角以及平行线的性质，即可得到∠3的度数．【解答】解：如图，反向延长∠2的边与a交于一点，由三角形外角性质，可得∠4＝∠2﹣∠1＝52°，∴∠5＝180°﹣∠4＝128°，∵a∥b，∴∠3＝∠5＝128°．故选：D．【点评】考查了平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25．如图，AB∥CD，∠BAP＝60°﹣α，∠APC＝50°+2α，∠PCD＝30°﹣α．则α为（）A．10°B．15°C．20°D．30°【分析】过点P作一条直线平行于AB，根据两直线平行内错角相等得：∠APC＝∠BAP+∠PCD，得到关于α的方程，解即可．【解答】解：过点P作PM∥AB，∴AB∥PM∥CD，∴∠BAP＝∠APM，∠DCP＝∠MPC，∴∠APC＝∠APM+∠CPM＝∠BAP+∠DCP，∴50°+2α＝60°﹣α+30°﹣α，解得α＝10°．故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，注意此类题要常作的辅助线，充分运用平行线的性质探求角之间的关系26．如图，直线m∥n，∠1＝60°，∠2＝25°，则∠A等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°【分析】首先根据平行线的性质求出∠3的度数，然后根据三角形的外角的知识求出∠A的度数．【解答】解：如图，∵直线m∥n，∴∠1＝∠3，∵∠1＝60°，∴∠3＝60°，∵∠3＝∠2+∠A，∠2＝25°，∴∠A＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出∠3的度数，此题难度不大．27．如图所示，直线AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝75°，则∠E的度数是（）A．25°B．20°C．30°D．35°【分析】先根据平行线的性质求出∠EFD的度数，再由三角形外角的性质得出结论即可．【解答】解：∵直线AB∥CD，∠A＝100°，∴∠EFD＝∠A＝100°，∵∠EFD是△CEF的外角，∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝100°﹣75°＝25°．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．28．如图，已知AB∥CD．写出图形中∠P和∠A，∠C的关系（）A．∠C＝∠P﹣∠A B．∠P＝∠C﹣∠A C．∠P＝∠A+∠C D．∠C＝∠A﹣∠P【分析】过P作PE∥AB，依据AB∥CD，即可得出PE∥CD，根据平行线的性质，即可得到∠APC＝∠CPE ﹣∠APE＝∠C﹣∠A，【解答】解：如图所示，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠C＝∠CPE，∠A＝∠APE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠C﹣∠A，故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质．解题时注意：两直线平行，内错角相等．29．如图，a∥b，则∠A的度数是（）度．A．28B．31C．39D．40【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵a∥b，∴∠ABE＝∠ACF＝70°，∵∠ABE＝∠A+∠ADB，∴∠A＝70°﹣31°＝39°，故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．30．如图，已知直线a，b，c，d，e，且∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，求证：a∥c．在下列解答中，填空（理由或数学式）；解：∵∠1＝∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．∵∠3+∠4＝180°（已知），∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．【点评】此题考查平行线的判定和性质，关键是根据平行线的判定解答．31.已知：如图，∠DAE＝∠E，∠B＝∠D．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？说明理由（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行．理由如下：∵∠DAE＝∠E，（已知）∴AD∥BE，（内错角相等，两条直线平行）∴∠D＝∠DCE．（两条直线平行，内错角相等）又∵∠B＝∠D，（已知）∴∠B＝∠DCE，（等量代换）∴AB∥DC．（同位角相等，两条直线平行）【分析】因为∠DAE＝∠E，所以根据内错角相等，两条直线平行，可以证明AD∥BE；根据平行线的性质，可得∠D＝∠DCE，结合已知条件，运用等量代换，可得∠B＝∠DCE，可证明AB∥DC．32．已知：如图，AC⊥BC，CD∥FG，∠1＝∠2．求证：DE⊥AC．【分析】由平行线的性质得∠2＝∠DCB，等量代换得∠DCB＝∠1，由平行线的判定定理可得DE∥BC，利用平行线的性质得出结论．【解答】证明：∵CD∥FG，∴∠2＝∠DCB，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCB，∴DE∥BC，∵AC⊥BC，∴DE⊥AC．【点评】本题主要考查平行线的性质及判定定理，综合运用平行线的性质和判定定理是解答此题的关键．33．如图，在△ABC中，点E、H在BC上，EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，点G在AC上，∠AGD ＝∠ACB，试说明∠1+∠2＝180°．【分析】由垂直的定义可得∠BFE＝∠BDC，再根据平行线的判定可证明EF∥HD，根据平行线的性质得出∠2+∠DHB＝180°；由∠AGD＝∠ACB可证明DG∥BC，得出∠1＝∠DHB，等量代换即可证明∠1+∠2＝180°．【解答】证明：∵EF⊥AB，HD⊥AB，垂足分别是F、D，∴∠BFE＝∠BDH＝90°，∴EF∥HD；∴∠2+∠DHB＝180°，∵∠AGD＝∠ACB，∴DG∥BC，∴∠1＝∠DHB，∴∠1+∠2＝180°．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．反之也成立．34．如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．【分析】根据同位角相等，两直线平行可得DE∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠4，然后求出∠3＝∠4，再根据同位角相等，两直线平行判断出CD∥FH，然后求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2＝∠4，∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠4，∴CD∥FH，∵FH⊥AB，∴CD⊥AB．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．35.【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∵EF∥AB（辅助线作法），∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），∵∠AEC＝∠1+∠2，∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；（2）证明：过点E作EF∥AB，如图②所示：∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°．36.【分析】感知与填空：过点E作直线EF∥CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2＝∠D，由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB∥EF，由两直线平行，内错角相等得出∠B＝∠1，由∠1+∠2＝∠BED，等量代换得出∠B+∠D＝∠BED．应用与拓展：过点G作GN∥AB，则GN∥CD，由感知与填空得∠E＝∠B+∠EGN，∠F＝∠D+∠FGN，即可得出结果．方法与实践：设AB交EF于M，∠AME＝∠FMB＝180°﹣∠F﹣∠B＝40°，由感知与填空得∠E＝∠D+∠AME，即可得出结果．【解答】解：感知与填空：过点E作直线EF∥CD，∴∠2＝∠D（两直线平行，内错角相等），·∵AB∥CD（已知），EF∥CD，∴AB∥EF（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等），∵∠1+∠2＝∠BED，∴∠B+∠D＝∠BED（等量代换），故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换．应用与拓展：过点G作GN∥AB，则GN∥CD，如图②所示：由感知与填空得：∠E＝∠B+∠EGN，∠F＝∠D+∠FGN，∴∠E+∠F＝∠B+∠EGN+∠D+∠FGN＝∠B+∠D+∠EGF＝22°+25°+35°＝82°，故答案为：82．方法与实践：设AB交EF于M，如图③所示：∠AME＝∠FMB＝180°﹣∠F﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，由感知与填空得：∠E＝∠D+∠AME，∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．。

七年级下册相交线与平行线练习题及答案

七年级下册相交线与平行线练习题及答案第五章相交线与平行线一、典型例题例1.如图1，直线a与b平行，∠1=(3x+70)°，∠2=(5x+22)°，求∠3的度数。

图1例2.已知：如图2，AB∥EF∥CD，EG平分∠XXX，∠B+∠BED+∠D=192°，求∠EGD的度数。

图2例3.如图3，已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。

图3例4.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？例5.6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？例6.10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？例7.两条直线相交于一点，所形成的角中有2对对顶角，4对邻补角，那么，三条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？四条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？n条直线相交于一点时，有多少对对顶角，多少对邻补角？二、巩固练1.平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（）条。

A。

6B。

7C。

8D。

92.平面上三条直线相互间的交点个数是（）。

A。

3B。

1或3C。

1或2或3D。

不一定是1，2，33.平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（）。

A。

36条B。

33条C。

24条D。

21条4.已知平面中有n个点，A、B、C三个点在一条直线上，A、D、F、E四个点也在一条直线上，除这些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作一条直线，一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（）。

A。

9B。

10C。

11D。

125.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图所示的图形，则共得同旁内角（）。

A。

4对B。

8对C。

12对D。

16对6.如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=()。

图4A。

90°B。

135°C。

第五章相交线与平行线练习题2022-2023学年人教版七年级数学下册+

人教版七年级下册第五章相交线与平行线练习题一．垂线（共3小题）1．如图，直线AB⊥CD于点O，EF为过点O的一条直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．25°D．130°2．如图，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°．（1）求证：FH⊥DE；（2）若∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DFH的度数．3．已知直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，∠DOF＝2∠AOF，若∠BOE＝42°，求∠DOF的度数．二．同位角、内错角、同旁内角（共1小题）4．如图，直线l1、l2、l3两两相交于点A、B、C，生成如图所示的∠1～∠12的12个小于平角的角中，互为同位角、内错角、同旁内角的对数分别记为a、b、c，则a+b+c的值为（）A．18B．24C．30D．36三．平行线的性质（共15小题）5．如图，a∥b，将一块直角三角板的30°角的顶点放在直线b上，若∠1＝46°，则∠2的度数是（）A．76°B．104°C．106°D．114°6．一块含30°角的直角三角板和直尺如图放置，若∠1＝146°，则∠2的度数为（）A．56°B．116°C．64°D．74°7．如图，直线AB∥ED，且∠1＝70°，则∠2的度数为（）A．95°B．100°C．110°D．120°8．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣a，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（）A．②③B．①④C．①③④D．①②③④9．如图，AB∥CD，则下列各式子计算结果等于180度的是（）A．∠1+∠2+∠3B．∠1+∠2﹣∠3C．∠1﹣∠2+∠3D．∠2﹣∠1+∠3 10．直角三角板ABC与直角三角板DEF如图摆放，其中∠BAC＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠C＝30°，AC与DE相交于点M．若BC∥EF，则∠CME的大小为（）A．75°B．80°C．85°D．90°11．如图，AB∥CD，CE交AB于点F，若∠C＝60°，则∠AFE的度数为（）A．120°B．125°C．130°D．135°12．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，点F是CD上一点，FG平分∠EFD，且∠BEF＝116°，则∠EGF的度数是（）A．25°B．30°C．32°D．42°13．如图，l1⊥l3，l2∥l4，l3，l4，l1交于一点，若∠1＝37°，则∠2的度数为（）A．37°B．53°C．60°D．63°14．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D在AB上，点G在BC上，△BDG沿直线DG翻折到△FDG位置，DF与BC交于点E，如果DF∥AC，那么∠B与∠BDG的数量关系是．15．如图，AB∥CD，AE∥CF，若∠A＝40°，则∠C的度数为．16．如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF＝120°，∠BCD＝110°，则∠CDE的度数为°．17．如图，若AB∥ED，∠ABC＝30°，∠BCD＝55°，那么∠D＝．18．如图，点D在三角形ABC的边BC上，DE∥AC交AB于点F，若∠E＝∠C，试说明∠B＝∠EAB．19．把一块长方形木板与一块含30°的直角三角板如图放置，若∠DEG＝34°，求∠BFE 的度数．四．平行线的判定与性质（共1小题）20．完成下面的证明过程：已知：如图，∠D＝123°，∠EFD＝57°，∠1＝∠2．求证：∠3＝∠B证明：∵∠D＝123°，∠EFD＝57°（已知）∴∠D+∠EFD＝180°∴∥（）又∵∠1＝∠2（已知）∴∥（内错角相等，两直线平行）∴∥（）∴∠3＝∠B．（两直线平行，同位角相等）五．平移的性质（共1小题）21．如图，Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知AB＝14．图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则平移距离为．六．作图-平移变换（共1小题）22．如图是10×8的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．请按要求在图中画出格点三角形（顶点均在格点上）．（1）平移格点三角形ABC，画出平移后的格点三角形EFG（点A，B，C的对应点分别为点E，F，G），使点D落在线段EF上；（2）三角形EFG的面积为．。

相交线与平行线典型考题(附答案及解析)

A BDC第5题图平行线相交线常见题型过关练习一、选择题一、如图，l 1∥l 2，∠1=120°，那么∠2= . （第1题图）二、如图，AB ∥CD ，∠DCE=80°，那么∠BEF=3、如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E 的大小为（第2题图）（第3题图）（第4题图）4、如图，AB ∥CD ，AD 和BC 相交于点O ，∠A ＝40°，∠AOB ＝75°．那么∠C 等于五、如图，AB ∥CD ，∠C ＝80°，∠CAD ＝60°，那么∠BAD 等于六、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝46°，∠CEF ＝154°，那么∠BCE 等于（第6题图）（第7题图）（第8题图）（第9题图）7、如图，AB∥CD，AC 与BD 相交于点O ，∠A=30°，∠COD=105°．那么∠D 的大小是八、如图，直线l 1∥l 2，∠1=40°，∠2=75°，那么∠3等于九、如图，己知AB∥CD，BE 平分∠ABC，∠CDE=150°，那么∠C 的度数是 10、如图，已知AB ∥CD ，那么图中与∠1互补的角有个。

1一、如图，CD ∥AB ，∠1＝120°，∠2＝80°，那么∠E 的度数是（第10题图）（第11题图）（第12题图）（第13题图）1二、如图，已知直线a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°．那么∠3等于13、如图，已知AB∥CD，∠E＝︒28，∠C＝︒52，那么∠EAB 的度数是 14、如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC = 46，∠CEF = 154，那么∠BCE 等于 1五、如下图，AB ∥CD ，∠E ＝37°，∠C ＝20°，那么∠EAB 的度数为1六、如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝60°，∠C ＝25°，那么∠E 等于（第15题图）B AD CEF 15446 （第14题图）（第16题图）（第17题图）（第18题图）17、如下图，直线a∥b．直线c与直线a，b别离相交于点A、点B，AM b⊥，垂足为点M，假设158∠=︒，那么2∠＝_________1八、如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1=30°，那么∠2=度．1九、如图，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．（辅助线已画）（第19题图）答案及解析一、分析：由邻补角的概念，即可求得∠3的度数，又由l1∥l2，依照两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．解答：∵∠1=120°，∴∠3=180°﹣∠1=60°，∵l1∥l2，∴∠2=∠3=60°．点评：此题考查了平行线的性质与邻补角的概念．注意两直线平行，同位角相等．二、分析：依照平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°，代入求出即可．解答：∵AB∥CD，∴∠DCE+∠BEF=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BEF=180°﹣80°=100°．点评：此题要紧考查对平行线的性质，邻补角的概念等知识点的明白得和把握，依照平行线的性质推出∠DCE+∠BEF=180°是解此题的关键．3、分析：依照两直线平行，同位角相等，求得∠EFA=55°，再利用三角形内角和定理即可求得∠E的度数．解答：∵AB∥CD，∠C=125°，∴∠EFB=125°，∴∠EFA=180﹣125=55°，∵∠A=45°，∴∠E=180°﹣∠A﹣∠EFA=180°﹣45°﹣55°=80°．4、分析：由∠A＝40°，∠AOB＝75°，依照三角形内角和定理，即可求得∠B的度数，又由AB∥CD，依照两直线平行，内错角相等，即可求得∠C的值．解答：∵∠A＝40°，∠AOB＝75°．∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB＝180°﹣40°﹣75°＝65°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠B＝65°．五、分析：依照三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再依照两直线平行，内错角相等即可明白∠BAD的度数．解答：∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°。

相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)

相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直 D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对B．8对C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3= ．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB 和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？112．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED 的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．试卷第2页，总6页20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF= ．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE ∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+=180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．3（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2= °．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN 交CD于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）试卷第4页，总6页34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF 的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3= ．5∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC= ．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC= ．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？试卷第6页，总6页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

七年级数学下册平行线与相交线的基础训练与常见辅助线

一、延长例1：如图：AB ∥CD ，∠1+∠2=180°，试说明：∠EFM=∠NFM二、作平行线例1：“U”型图中的辅助线如图，AB ∥CD ，求∠B ＋∠BED ＋∠D 的度数。

变式训练1、如图，已知AB ∥CD ，求∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD 的度数。

例2、“Z”型图中的辅助线如图，AB ∥ED ，∠B ＝48°，∠D ＝42°。

求证：BC ⊥CD 。

方法一方法二：方法三：方法四：变式训练1、如图，AB∥CD，∠ABF＝∠DCE，求证：∠BFE＝∠FEC。

【课堂练习】1、如图，能使AB∥CD的条件是（）A．∠B＝∠D B．∠D＋∠B＝90°C．∠B＋∠D＋∠E＝180°D．∠B＋∠D＝∠E（第1题）（第2题）（第3题）2、如图，AB∥EF，则下列关系中正确的是（）A．∠C＝∠B＋∠D B．∠D＋∠E＝180°＋∠BC．∠B＋∠D＋∠E＝180°＋∠C D．∠E＋∠B＝∠C＋∠D3、如图，直线a∥b，一块含60°角的直角三角板ABC（∠A＝60°），按如图所示防置．若∠1＝55°，则∠2的度数为。

4、如图，AB∥CD，∠B=138°，∠C=18°，求∠BEC5、如图，直线a ∥b ，求∠A 的度数【例题精讲二】角度综合计算 1、如图，若AB ∥CD ，∠CDF ＝32∠CDE ，∠ABF ＝32∠ABE ，则∠E ：∠F ＝（） A 、2：1B 、3：1C 、4：3D 、3：22、已知AB ∥CD ，AM 平分∠BAP(1) 如图1，CM 平分∠PCD ，若∠P ＝110°，直接写出∠M ＝___________ (2) 如图2，CM 平分∠PCD ，写出∠P 与∠M 的数量关系，并证明 (3) 如图3，∠PCM ＝2∠MCD ，若2∠M －∠P ＝10°，求∠PCD【课堂练习】 1、已知直线AB ∥CD.（1）如图1，直接写出∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为；（2）如图2，∠BME 与∠CNE 的角平分线所在的直线相交于点P ，试探究∠P 与∠E 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=n 1∠MBE ，∠CDN=n1∠NDE ，直线MB 、ND 交于点F ，则E F ∠∠=1、交换下列命题的题设和结论，得到的新命题是假命题的是（）A.两直线平行，同位角相等；B.相等的角是对顶角；C.所有的直角都是相等的；D.若a=b,则a -3=b -3.2、如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝2∠BOE．若∠AOC＝120°，则∠DOE等于（）A．135°B．140°C．145°D．150°（第2题）（第3题）3、如图，若m∥n，∠1 = 105°，则∠2 =（）A．55° B．60° C．65° D．75°4、把命题”对顶角相等”写成“如果……那么……”的形式.___________________________________________________________________________5、把命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式__________________________6、一汽车行驶在一条公路上，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同．若第一次向左拐了30°，那么第二次向右拐__________度（0°~180°）7、如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（第7题）（第8题）（第9题）8、如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD= ．9、如图，直线，∠α=∠β，∠1=38°，则∠2=_______。

七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典测试(1)

一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A ．在同一平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直B ．两直线相交，对顶角互补C ．垂线段最短D ．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离C解析：C【分析】依据垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，即可得出结论．【详解】解：A ．在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误； B ．两直线相交，对顶角相等，故本选项错误；C ．垂线段最短，故本选项正确；D ．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线的性质、对顶角的性质、垂线段的性质以及点到直线的距离的概念，熟练掌握概念是解题的关键．2．如图，两个直角三角形重叠在一起，将ABC 沿AB 方向平移2cm 得到DEF ，2cm CH =，4cm EF =，下列结论：①//BH EF ；②AD BE =；③BD CH =：④C BHD ∠=∠；⑤阴影部分的面积为26cm ．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②③④⑤C ．①②③⑤D ．①②④⑤D解析：D【分析】根据平移的性质可直接判断①②③，根据平行线的性质可判断④，阴影部分的面积=S 梯形BEFH ，于是可判断⑤，进而可得答案．【详解】解：因为将ABC 沿AB 方向平移2cm 得到DEF ，所以//BH EF ，AD BE =，DF ∥AC ，故①②正确；所以C BHD ∠=∠，故④正确；而BD 与CH 不一定相等，故③不正确；因为2cm CH =，4cm EF BC ==，所以BH=2cm ，又因为BE=2cm ，所以阴影部分的面积=S △ABC －S △DBH = S △DEF －S △DBH =S 梯形BEFH =()12422⨯+⨯=26cm ，故⑤正确；综上，正确的结论是①②④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了平移的性质，属于基础题目，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键．3．下列命题中是真命题的有（）①两个角的和等于平角时，这两个角互为邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行；④图形B 由图形A 平移得到，则图形B 与图形A 中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B 解析：B【分析】根据补角和邻补角的定义可判断①，根据平行公理可判断②，根据平行线的性质和判定可判断③，根据平移的性质可判断④，进而可得答案．【详解】解：两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，故命题①是假命题；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故命题②是假命题；两条平行线被第三条直线所截，所得的一对内错角的角平分线互相平行，故命题③是真命题；图形B 由图形A 平移得到，则图形B 与图形A 中的对应点所连线段平行（或在同一条直线上）且相等，故命题④是真命题．综上，真命题有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了真假命题、平行线的判定和性质以及平移的性质等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．4．下列说法正确的是（）A ．命题一定是正确的B ．定理都是真命题C ．不正确的判断就不是命题D ．基本事实不一定是真命题B 解析：B根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得．【详解】A 、命题有真命题和假命题，此项说法错误；B 、定理都是经过推论、论证的真命题，此项说法正确；C 、不正确的判断是假命题，此项说法错误；D 、基本事实是真命题，此项说法错误；故选：B ．【点睛】本题考查了命题、真命题与假命题，熟练掌握理解各概念是解题关键．5．如图a 是长方形纸带，26DEF ∠=︒，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的CFE ∠的度数是（）A ．102°B ．112°C ．120°D ．128°A解析：A【分析】根据两条直线平行，内错角相等，则∠BFE=∠DEF=26°，根据平角定义，则∠EFC=154°（图a ），进一步求得∠BFC=154°-26°=128°（图b ），进而求得∠CFE=128°-26°=102°（图c ）．【详解】解：∵AD ∥BC ，∠DEF=26°，∴∠BFE=∠DEF=26°，∴∠EFC=154°（图a ），∴∠BFC=154°-26°=128°（图b ），∴∠CFE=128°-26°=102°（图c ）．故选：A ．【点睛】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键．6．已知//DE FG ，三角尺ABC 按如图所示摆放，90C ∠=︒，若137∠=︒，则2∠的度数为（）A ．57°B ．53°C ．51°D ．37°B【分析】作GH ∥FG ，推出GH ∥FG ∥DE ，得到∠1=∠3，∠2=∠4，由90C ∠=︒， 137∠=︒，即可求解．【详解】作GH ∥FG ，∵DE ∥FG ，∴GH ∥FG ∥DE ，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵90C ∠=︒， 137∠=︒，∴∠3+∠4=90︒，即37︒+∠2=90︒，∴∠2=53︒，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键． 7．下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C解析：C【分析】根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．【详解】解：①两点之间，线段最短，正确．②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．故选C ．【点睛】本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．如图所示，已知 AB ∥CD ，下列结论正确的是（）A ．∠1=∠2B ．∠2=∠3C ．∠1=∠4D ．∠3=∠4C解析：C【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】∵AB ∥CD ，∴∠1=∠4，故选 C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．9．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置，∠B ＝90°，AB ＝8，DH ＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A ．20B ．24C ．25D ．26D 解析：D【解析】由平移的性质知，BE=4，DE=AB=8，可得HE=DE-DH=8-3=5，所以S 四边形HDFC =S 梯形ABEH=12（AB+EH ）×BE=12（8+5）×4=26．故选D. 10．如图是一块长方形ABCD 的场地，长102AB m =，宽51AD m =，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（）A ．5050m 2B ．5000m 2C ．4900m 2D ．4998m 2B解析：B【详解】解：由图可知：矩形ABCD中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米．所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）．故选B．二、填空题11．如图，点A在直线m上，点B在直线l上，点A到直线l的距离为a，点B到直线m 的距离为b，线段AB的长度为c，通过测量等方法可以判断在a，b，c三个数据中，最大的是_____________．【分析】过点A作AD垂直于垂足为D过点B作BH垂直于垂足为H连接AB根据点到直线垂线段最短可知AB ＞ADAB＞BH可得最大【详解】过点A作AD垂直于垂足为D过点B作BH垂直于垂足为H连接AB由题意得解析：c【分析】过点A作AD垂直于l垂足为D，过点B作BH垂直于m垂足为H,连接AB，根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH，可得c最大．【详解】过点A作AD垂直于l垂足为D，过点B作BH垂直于m垂足为H,连接AB，由题意得：AD=a， BH=b，AB=c；根据点到直线垂线段最短，可知AB＞AD，AB＞BH∴c ＞a ，c ＞b ；∴c 最大故答案：c【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．12．在同一平面内，A ∠与B 的两边分别平行，若50A ∠=︒，则B 的度数为__________︒．50或130【分析】由∠A 与∠B 的两边分别平行可得∠A=∠B 或∠A+∠B=180°继而求得答案【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行∴∠A=∠B 或∠A+∠B=180°∵∠A=50°∴∠B=50°或∠解析：50或130【分析】由∠A 与∠B 的两边分别平行，可得∠A=∠B 或∠A+∠B=180°，继而求得答案．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A=∠B 或∠A+∠B=180°，∵∠A=50°，∴∠B=50°，或∠B=180°-∠A=180°-50°=130°．故答案为：50或130．【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意由∠A 与∠B 的两边分别平行，可得∠A 与∠B 相等或互补．13．若∠A 与∠B 的两边分别平行，且∠A 比∠B 的3倍少40°，则∠B ＝_____度．55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B ＝180°①∠A ＝∠B②求出∠A ＝3∠B ﹣40°③把③分别代入①②求出即可【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行∴∠A+∠B ＝180°①∠A ＝∠B②∵∠解析：55或20【分析】根据平行线性质得出∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，求出∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③分别代入①②求出即可．【详解】解：∵∠A 与∠B 的两边分别平行，∴∠A+∠B ＝180°①，∠A ＝∠B②，∵∠A 比∠B 的3倍少40°，∴∠A ＝3∠B ﹣40°③，把③代入①得：3∠B ﹣40°+∠B ＝180°，∠B ＝55°，把③代入②得：3∠B ﹣40°＝∠B ，∠B ＝20°，故答案为：55或20．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握由∠A 和∠B 的两边分别平行，即可得∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝180° ，注意分类讨论思想的应用．14．如图，1∠与2∠是对顶角，110α∠=+︒，250∠=︒，则α=______．40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2即可求出α的度数【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角∠2=50°∴∠1=∠2∵∠2=50°∴α+10°=50°∴α=40°故答案为：40°【点睛】本题考解析：40°【分析】先根据对顶角相等的性质得出∠1=∠2，即可求出α的度数．【详解】解：∵∠1与∠2是对顶角，110α∠=+︒，∠2=50°，∴∠1=∠2，∵110α∠=+︒，∠2=50°，∴α+10°=50°，∴α=40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查了对顶角相等的性质以及角度的计算．15．一副直角三角板叠放如图①所示，现将含30角的三角板固定不动，把含45角的三角板CDE 由图①所示位置开始绕点C 逆时针旋转(a DCF α=∠且018)0a <<，使两块三角板至少有一组边平行．如图,30a =︒②时，//AB CD ．请你在图③、图④、图⑤内，各画一种符合要求的图形，标出a ，并完成各项填空：图③中α=_______________时，___________//___________﹔图④中α=_____________时，___________//___________﹔图⑤中α=_______________时，___________//___________﹔；（答案不唯一)【分析】画出图形再由平行线的判定与性质求出旋转角度【详解】图中当时DE//AC ；图中当时CE//AB 图中当时DE//BC 故答案为：；（答案不唯一）【点睛】考查了平行线的判定和性质解题解析：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一)【分析】画出图形，再由平行线的判定与性质求出旋转角度．【详解】图③中，当45DCF D α=∠=∠=时，DE//AC ；图④中，当9090120DCF DCB BCF B α=∠=∠+∠=︒-∠+︒=︒ 时，CE//AB ，图⑤中，当90135a DCF DCB BCF D =∠=∠+∠=∠+=︒ 时，DE//BC ．故答案为：45,//DE AC ︒；120,//;135,//CE AB DE BC ︒︒（答案不唯一）．【点睛】考查了平行线的判定和性质，解题关键是理解平行线的判定与性质，并且利用了数形结合．16．如图，ABC ∆沿着由点B 到点E 的方向，平移到DEF ∆．若10BC =，6EC =，则平移的距离为__________．4【分析】观察图象发现平移前后BE对应CF对应根据平移的性质易得平移的距离为BE=BC-EC=4进而可得答案【详解】由题意平移的距离为BE=BC-EC=10-6=4故答案为：4【点睛】本题考查了平移解析：4【分析】观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离为BE=BC-EC=4，进而可得答案．【详解】由题意平移的距离为BE=BC-EC=10-6=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．17．如图所示，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路（图中阴影部分），宽均为1米，其他部分均种植花草，则道路的面积是________平方米．79【分析】可以根据平移的性质此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路道路的面积=横纵小路的面积-小路交叉处的面积计算即可【详解】由题意可得道路的面积为：(30+50)×1−1=79解析：79【分析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为50米与一条纵向长为30米的小路，道路的面积=横纵小路的面积-小路交叉处的面积，计算即可．【详解】由题意可得，道路的面积为：(30+50)×1−1=79(m2).故答案为79.【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题关键在于掌握运算公式.18．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为__°．46【分析】过点C作CF∥AB根据平行线的传递性得到CF∥DE根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF∠CDE+∠DCF＝180°根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°由等式性质得到∠DCF＝30°解析：46【分析】过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．【详解】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．19．如图，CB∥OA，∠B＝∠A＝100°，E、F在CB上，且满足∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，若平行移动AC，当∠OCA的度数为_____时，可以使∠OEB＝∠OCA．60°【分析】设∠OCA=a∠AOC=x利用三角形外角内角和定理平行线定理即可解答【详解】解：设∠OCA=a∠AOC=x已知CB∥OA∠B=∠A=100°即a+x=80°又因为∠OEB=∠EOC+∠解析：60°【分析】设∠OCA=a,∠AOC=x,利用三角形外角，内角和定理，平行线定理即可解答.【详解】解：设∠OCA=a,∠AOC=x,已知CB∥OA，∠B=∠A=100°，即a+x=80°，又因为∠OEB=∠EOC+∠ECO=40°+x.当∠OEB=∠OCA，a=80°-x,40°+x=a,解得∠OCA=60°.【点睛】本题考查角度变换和平行线定理的综合运用，熟悉掌握是解题关键.20．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，DH=4，平移距离为8，则阴影部分的面积是_______________．64【分析】根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得出两个三角形大小一样阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB根据线段的和差关系可求出HE的长度再根据梯形的面积公式即可得答案【详解】解析：64【分析】根据平移变化只改变图形的位置，不改变图形的形状，可得出两个三角形大小一样，阴影部分面积等于梯形ABEH的面积；DE=AB，根据线段的和差关系可求出HE的长度，再根据梯形的面积公式即可得答案．【详解】∵两个三角形大小一样，∴S△ABC=S△DEF，∴S△ABC-S△HEC=S△DEF-S△HEC，∴S阴影=S梯形ABEH，∵其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=10，∴DE=AB=10，∵DH=4，∴HE=DE-DH=6，∵平移距离是8，∴BE=8，∴S 阴影=S 梯形ABEH =12（HE+AB ）·BE=12×（10+6）×8=64，故答案为：64【点睛】本题主要考查了平移的性质，通过观察图形把阴影部分的面积转化为熟知图形的面积是关键的一步．三、解答题21．如图，AD 平分∠BAC ，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，且∠BFE ＝∠DAC ，延长EF ，CA 交于点G ，求证：∠G ＝∠AFG ．解析：见解析【分析】先利用角平分线的定义得到∠BAD ＝∠DAC ，结合已知条件∠BFE ＝∠DAC ，可得∠BFE ＝∠BAD ，根据平行线的判定可证EG ∥AD ，再由平行线的性质得∠G ＝∠DAC ，∠AFG ＝∠BAD ，则利用等量代换即可证得结论．【详解】证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ，∵∠BFE ＝∠DAC ，∴∠BFE ＝∠BAD ，∴EG ∥AD ，∴∠G ＝∠DAC ，∠AFG ＝∠BAD ，∴∠G ＝∠AFG ．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定的方法及利用性质证明角相等是解答此题的关键．22．完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．如图，已知：//AB EF ,EP EQ ⊥，90EQC APE ∠+∠=︒，求证：//AB CD证明：//AB EFAPE ∴∠=__________（__________）EP EQ ⊥ PEQ ∴∠=_________（___________）即90QEF PEF ∠+∠=︒90APE QEF ∴∠+∠=︒90EQC APE ∠+∠=︒EQC ∠=________//EF ∴_______（__________________）//AB CD ∴（________________）解析：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．【分析】根据平行线的性质得到∠APE=∠PEF ，根据余角的性质得到∠EQC=∠QEF 根据平行线的判定定理即可得到结论．【详解】证明：∵AB ∥EF∴∠APE=∠PEF （两直线平行，内错角相等）∵EP ⊥EQ∴∠PEQ=90°（垂直的定义）即∠QEF+∠PEF=90°∴∠APE+∠QEF=90°∵∠EQC+∠APE=90°∴∠EQC=∠QEF∴EF ∥CD （内错角相等，两直线平行）∴AB ∥CD （同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行），故答案为：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．23．三角形ABC 中，D 是AB 上一点，//DE BC 交AC 于点E ，点F 是线段DE 延长线上一点，连接FC ，180BCF ADE ∠+∠=︒．（1）如图1，求证：//CF AB ；（2）如图2，连接BE ，若40ABE ∠=︒，60ACF ∠=︒，求BEC ∠的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 是线段FC 延长线上一点，若:7:13EBC ECB ∠∠=，BE 平分ABG ∠，求CBG ∠的度数．解析：（1）证明见解析；（2）100°；（3）12°．【分析】（1）根据平行线的判定及其性质即可求证结论；（2）过E 作//EK AB 可得//CF AB ∥EK ，再根据平行线的性质即可求解；（3）根据题意设7EBC x ∠=︒，则13ECB x ∠=︒，根据∠AED ＋∠DEB ＋BEC ＝180°，可得关于x 的方程，解方程即可求解．【详解】（1）证明：∵DE ∥BC ，∴ADE B ∠=∠，又∵∠BCF ＋∠ADE ＝180°，∴180BCF B ∠+∠=︒，∴//CF AB ，（2）解：过E 作//EK AB ，∵//CF AB ，∴//CF EK ，∵//EK AB ，40ABE ∠=︒，∴40BEK ABE ∠=∠=︒，∵//CF EK ，60ACF ∠=︒，∴60CEK ACF ∠=∠=︒，又∵BEC BEK CEK ∠=∠+∠，∴4060100BEC ∠=︒+︒=︒，答：BEC ∠的度数是100°，（3）解：∵BE 平分ABG ∠， 40ABE ∠=︒，∴40EBG ABE ∠=∠=︒，∴:7:13EBC ECB ∠∠=，∴设7EBC x ∠=︒，则13ECB x ∠=︒，∵DE ∥BC ，∴7DEB EBC x ∠=∠=︒，13AED ECB x ∠=∠=︒，∵180AED DEB BEC ∠+∠+∠=︒，∴137100180x x ++=，∴4x =，∴728EBC x ∠=︒=︒，又∵EBG EBC CBG ∠=∠+∠，∴CBG EBG EBC ∠=∠-∠，∴402812CBG ∠=-=︒，答：CBG ∠的度数是12°．【点睛】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定及其性质的有关知识．24．如图，AE //CF ，∠A =∠C ．（1）若∠1=35°，求∠2的度数；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．解析：（1）∠2=145°；（2）BC∥AD，理由见解析．【分析】（1）由平行线的性质求得∠BDC=∠1=35°，再根据邻补角的定义即可求得∠2；（2）由平行线的性质可知：∠A+∠ADC=180°，然后根据∠A=∠C，可证得∠C+∠ADC=180°，从而可证得BC∥AD．【详解】解：（1）∵AE∥CF，∴∠BDC=∠1=35°，又∵∠2+∠BDC=180°，∴∠2=180°-∠BDC=180°-35°=145°；（2）BC∥AD．理由：∵AE∥CF，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，∴BC∥AD．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．在本题中能正确识图找出同位角和同旁内角是解题关键．25．如图，已知∠1＝∠2，∠A＝29°，求∠C的度数．解析：∠C的度数是151°．【分析】根据对顶角相等，等量代换得∠1=∠3，根据同位角相等判断两直线平行，再由两直线平行得同旁内角互补则可解答．【详解】解：如图，∵∠1＝∠2又∵∠2＝∠3∴∠1＝∠3∴AB∥CD∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝29°∴∠C＝151°答：∠C的度数是151°．【点睛】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．26．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠DEF，求证：DE∥BC．请将下面的推理过程补充完整．证明：∵∠1+∠2＝180（已知）∠2＝∠3（对顶角相等）∴∠1+∠3＝180°∴AB∥EF（），∴∠B＝∠EFC（）∵∠B＝∠DEF（），∴∠DEF＝（）∴DE∥BC（）解析：见解析【分析】根据平行的性质和判定定理填空．【详解】解：证明：∵∠1+∠2＝180（已知），∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1+∠3＝180°，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠EFC（两直线平行，同位角相等），∵∠B＝∠DEF（已知），∴∠DEF＝∠EFC（等量代换），∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查平行的性质和判定，解题的关键是掌握平行的性质和判定定理．27．已知：如图，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD与EF平行吗？为什么？解析：平行，见解析．【分析】先判定GD//CB,然后根据平行的性质得到∠1=∠BCD,然后利用同位角相等、两直线平行即可证明．【详解】解：平行. 理由如下：∵∠AGD =∠ACB，（已知）∴ GD∥BC（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠BCD（两直线平行,内错角相等）∵∠1=∠2，（已知）∴∠2=∠BCD（等量代换）∴ CD∥EF（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，灵活运用同位角相等、两直线平行是解答本题的关键．28．试用举反例的方法说明下列命题是假命题．例如：如果ab<0，那么a+b<0．反例：设a=4，b=-3，ab=4⨯（-3）=-12<0，而a+b=4+（-3）=1>0，所以这个命题是假命题．（1）如果a+b>0，那么ab>0．（2）如果a是无理数，b也是无理数，那么a+b也是无理数．解析：（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可．如果a+b＞0，那么ab＞0；所举的反例就是，a、b一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数．（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如【详解】解：（1）取a=2，b=-1，则a+b=1＞0，但ab=-2＜0．所以此命题是假命题．（2）取，，a、b均为无理数．但a+b=2是有理数，所以此命题是假命题．【点睛】本题主要锻炼了学生的逆向思维．在证明几何题的过程中，有时需从反例上先去判断，然后再证明．。

相交线与平行线辅助线的做法(精编)

相交线与平行线辅助线的做法转角问题当两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。

因此，在求解有关平行线中角的问题时，我们可以在转折点处添加辅助线------平行线。

基本图形1、已知：如图,AB∥ED，求证：∠B+∠BCD+∠D=360°。

证法一:证法二：证法三：2.如图，己知AB//DE,︒=∠︒=∠140,80CDE ABC ,求=∠BCD3、已知：AB//CD ，AEC C A ∠∠∠与、又有什么样的关系呢？C D拓展(1)如图，AB∥DE ，找到∠1,∠2和∠3,∠4之间的关系A BD231 43 14 6 25 7 A BD E(2)如图，AB ∥DE ，你能找到∠1.∠2. ∠3 ∠4. ∠5.∠6 ∠7之间的关系吗？4、再次改变点E的位置试说当AB//CD时，∠与、有什么关系∠A∠AECCCE5、已知：如图，AB//CD ，︒=∠120A ，︒=∠75AED 。

求D ∠D C6、已知：图中EB//CD ，︒=∠1501，︒=∠1102，求BAC ∠的度数E AB7.AB//ED ，21∠=∠,43∠=∠.BF 、DF 交于点F ，︒=∠44ABC ,︒=∠56CDE 求F ∠的度数E D折叠问题1、如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于？2、如图1，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=______________．3、如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF= 度.4.将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处.若∠C1BA=50°，则∠ABE= 度.5、如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c 中的∠CFE的度数是图aC FDB C。

相交线与平行线常考题目及答案(绝对经典)

相交线与平行线一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个3．如图所示，同位角共有（）A．6对 B．8对 C．10对D．12对二．填空题（共4小题）4．一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．5．如图，P点坐标为（3，3），l1⊥l2，l1、l2分别交x轴和y轴于A点和B点，则四边形OAPB的面积为．6．如图，直线l1∥l2，∠1=20°，则∠2+∠3=．7．将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE∥BC，则∠AFD的度数是．三．解答题（共43小题）8．已知：直线EF分别与直线AB，CD相交于点F，E，EM平∠FED，AB∥CD，H，P分别为直线AB和线段EF上的点．（1）如图1，HM平分∠BHP，若HP⊥EF，求∠M的度数．（2）如图2，EN平分∠HEF交AB于点N，NQ⊥EM于点Q，当H在直线AB上运动（不与点F重合）时，探究∠FHE与∠ENQ的关系，并证明你的结论．9．我们知道，两条直线相交，有且只有一个交点，三条直线相交，最多只有三个交点，那么，四条直线相交，最多有多少个交点？一般地，n条直线最多有多少个交点？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠EOC=70°，求∠BOD的度数．（2）若∠EOC：∠EOD=4：5，求∠BOD的度数．11．如图，直线EF，CD相交于点0，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，（1）若∠AOE=40°，求∠BOD的度数；（2）若∠AOE=α，求∠BOD的度数；（用含α的代数式表示）（3）从（1）（2）的结果中能看出∠AOE和∠BOD有何关系？12．如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN=100°．（1）若∠ADQ=130°，求∠BED的度数；（2）将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，若∠ADQ=n°，求∠BED的度数（用含n的代数式表示）．13．如图，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=26°（1）求∠2的度数（2）若∠3=19°，试判断直线n和m的位置关系，并说明理由．14．如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P 在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明．15．如图，已知AB∥PN∥CD．（1）试探索∠ABC，∠BCP和∠CPN之间的数量关系，并说明理由；（2）若∠ABC=42°，∠CPN=155°，求∠BCP的度数．16．如图，AD∥BC，∠EAD=∠C，∠FEC=∠BAE，∠EFC=50°（1）求证：AE∥CD；（2）求∠B的度数．17．探究题：（1）如图1，若AB∥CD，则∠B+∠D=∠E，你能说明理由吗？（2）反之，若∠B+∠D=∠E，直线AB与直线CD有什么位置关系？简要说明理由．（3）若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（4）若将点E移至图3的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？直接写出结论．（5）在图4中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D之间有何关系？直接写出结论．18．如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF．（1）求证：∠AEP+∠CFP=∠EPF．（2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，试探索∠EPF与∠EQF之间的关系．（3）如图3，已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，说明理由．（4）已知∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，有∠P与∠Q的关系为．（直接写结论）19．如图所示，L1，L2，L3交于点O，∠1=∠2，∠3：∠1=8：1，求∠4的度数．20．如图，一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由．21．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=70°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数；（2）若OF平分∠COE，∠BOF=15°，若设∠AOE=x°．①则∠EOF=．（用含x的代数式表示）②求∠AOC的度数．22．如图，直线AB、CD相交于点O，已知∠AOC=75°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3．（1）求∠EOB的度数；（2）若OF平分∠AOE，问：OA是∠COF的角平分线吗？试说明理由．23．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=72°，射线OE在∠BOD的内部，∠DOE=2∠BOE．（1）求∠BOE和∠AOE的度数；（2）若射线OF与OE互相垂直，请直接写出∠DOF的度数．24．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，且∠EOC：∠EOD=2：3．（1）求∠BOD的度数；（2）如图2，点F在OC上，直线GH经过点F，FM平分∠OFG，且∠MFH﹣∠BOD=90°，求证：OE∥GH．25．如图，直线AB．CD相交于点O，OE平分∠BOC，∠COF=90°．（1）若∠BOE=70°，求∠AOF的度数；（2）若∠BOD：∠BOE=1：2，求∠AOF的度数．26．几何推理，看图填空：（1）∵∠3=∠4（已知）∴∥（）（2）∵∠DBE=∠CAB（已知）∴∥（）（3）∵∠ADF+ =180°（已知）∴AD∥BF（）27．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD．（1）若∠AOC=68°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．（2）若OF平分∠COE，∠BOF=30°，求∠AOC的度数．28．将一副三角板拼成如图所示的图形，∠DCE的平分线CF交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．29．看图填空，并在括号内注明说理依据．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1=35°，∠2=35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？解：因为∠1=35°，∠2=35°（已知），所以∠1=∠2．所以∥（）．又因为AC⊥AE（已知），所以∠EAC=90°．（）所以∠EAB=∠EAC+∠1=125°．同理可得，∠FBG=∠FBD+∠2=°．所以∠EAB=∠FBG（）．所以∥（同位角相等，两直线平行）．30．已知如图所示，∠B=∠C，点B、A、E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，试说明AD∥BC的理由．31．如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分；（1）直接写出图中∠AOC的对顶角为，∠BOE的邻补角为；（2）若∠AOC=70°，且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．32．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F（1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．33．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2=180°，∠2+∠4=180°（已知）所以∠1=∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3=180°（已知）∠3=∠6（）所以∠2+∠6=180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）34．已知：如图，AB∥CD，FG∥HD，∠B=100°，FE为∠CEB的平分线，求∠EDH的度数．35．已知：如图，AB∥CD，FE⊥AB于G，∠EMD=134°，求∠GEM的度数．36．如图，∠B和∠D的两边分别平行．（1）在图1 中，∠B和∠D的数量关系是，在图2中，∠B和∠D的数量关系是；（2）用一句话归纳的命题为：；并请选择图1或图2中一种情况说明理由；（3）应用：若两个角的两边分别互相平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的度数．37．已知AD∥BC，AB∥CD，E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°．①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数．38．如图，已知a∥b，ABCDE是夹在直线a，b之间的一条折线，试研究∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的大小之间有怎样的等量关系？请说明理由．39．如图，AB∥DC，增加折线条数，相应角的个数也会增多，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？40．已知直线AB∥CD，（1）如图1，点E在直线BD上的左侧，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，直接写出∠BFD和∠BED的数量关系是．（3）如图3，点E在直线BD的右侧BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．41．（1）如图，直线a，b，c两两相交，∠3=2∠1，∠2=155°，求∠4的度数．（2）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE=4：1，求∠AOF 的度数．42．如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把解答过程补充完整．解：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=90°，∠DAB=90°．（）∴∠CDA=∠DAB．（等量代换）又∠1=∠2，从而∠CDA﹣∠1=∠DAB﹣．（等式的性质）即∠3=．∴DF∥AE．（）．43．如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC会满足怎样的关系，证明你的结论．（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折n次，又会得到怎样的结论？请写出你的结论．44．如图，已知∠1=60°，∠2=60°，∠MAE=45°，∠FEG=15°，EG平分∠AEC，∠NCE=75°．求证：（1）AB∥EF．（2）AB∥ND．45．如图，∠E=∠1，∠3+∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB．46．已知，直线AB∥CD，E为AB、CD间的一点，连结EA、EC．（1）如图①，若∠A=30°，∠C=40°，则∠AEC=．（2）如图②，若∠A=100°，∠C=120°，则∠AEC=．（3）如图③，请直接写出∠A，∠C与∠AEC之间关系是．47．如图，已知AB∥CD，EF⊥AB于点G，若∠1=30°，试求∠F的度数．48．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．49．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF对折，延长DE交BF于点G，若∠EFG=50°，求∠1，∠2的度数．50．如图所示，在长方体中．（1）图中和AB平行的线段有哪些？（2）图中和AB垂直的直线有哪些？参考答案及解析一．选择题（共3小题）1．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”，可知L1与L8的位置关系是平行．【解答】解：∵l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5，l5⊥l6，l6∥l7，l7⊥l8，∴l2⊥l4，l4⊥l6，l6⊥l8，∴l2⊥l8．∵l1⊥l2，∴l1∥l8．故选A【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．2．如图，直线AB、CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD，则与∠1互为余角的有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【分析】由OE⊥AB，OF⊥CD可知：∠AOE=∠DOF=90°，而∠1、∠AOF都与∠EOF互余，可知∠1=∠AOF，因而可以转化为求∠1和∠AOF的余角共有多少个．【解答】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠AOE=∠DOF=90°，即∠AOF+∠EOF=∠EOF+∠1，∴∠1=∠AOF，∴∠COA+∠1=∠1+∠EOF=∠1+∠BOD=90°．∴与∠1互为余角的有∠COA、∠EOF、∠BOD三个．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

初一数学第五章相交线与平行线章节复习卷(A卷)(原卷版)

第五章相交线与平行线章节复习检测卷（A 卷）时间：90分钟满分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、单选题(共10小题，每小题3分，共30分) 1．下列图案可以看作某一部分平移后得到的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图所示，下列说法中，错误的是（）A ．A ∠与1∠是同位角B ．1∠与3∠是同位角C ．2∠与3∠是内错角D ．A ∠与C ∠是同旁内角3．如图，有三条公路，其中AC 与AB 垂直，小明和小亮分别沿AC 、BC 同时从A 、B 出发骑车到C 城，若他们同时到达，则下列判断中正确的是（）A ．小明骑车的速度快B ．小亮骑车的速度快C ．两人一样快D ．因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢4．如图所示，直线AB ，CD 相交于点O ，OE AB ⊥于点O ，OF 平分AOE ∠，11530'∠=︒，则下列结论中不正确的是（）A ．245∠=︒B ．13∠=∠C ．AOD ∠与1∠互为补角 D ．1∠的余角等于7530'︒5．已知命题A ：任何偶数都是8的整数倍．在下列选项中，可以作为“命题A 是假命题”的反例的是（）A ．2kB ．15C ．24D ．426．如图，直线AB ∥CD ，OG 是∥EOB 的平分线，∥EFD ＝70°，则∥BOG 的度数是( )A ．70°B ．20°C ．35°D ．40°7．一把直尺和一块三角板ABC （含30°、60°角）摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D 、点E ，另一边与三角板的两直角边分别交于点F 、点A ，且∥CDE=40°，那么∥BAF 的大小为（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．10°8．如图，在△ABC 中，BC=5，∥A=70°，∥B=75°，把△ABC 沿直线BC 的方向平移到△DEF 的位置，若CF=3，则下列结论中错误的是（）A ．BE=3B ．∥F=35°C ．DF=5D ．AB∥DE9．如图，小明从A 处出发沿北偏东60︒方向行走至B 处，又沿北偏西20︒方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A ．右转80︒B ．左转80︒C ．右转100︒D ．左转100︒10．如图，AB ∥CD ，100BED ∠=︒，BF 、DF 分别为ABE ∠、CDE ∠的角平分线，则BFD ∠=（）A ．100︒B ．120︒C ．130︒D ．135︒评卷人得分二、填空题(共10小题，每小题3分，共30分，其中20题第一空1分，第二空2分)11．如图，////AB CD EF ，//AC DF ，若120BAC ∠=，则CDF ∠=__________．12．把命题“两个正数的和仍为正数”写成“如果……那么……”的形式为________________．13．如图，计划把河水引到水池A 中，先作AB CD ⊥，垂足为B ，然后沿AB 开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______．14．如图，长方形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a与b平行，∥2＝58°，则∥1的度数为______．15．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∥ECB，FG∥CD，若∥E CA的度数为40°，则∥GFB的度数为___________度．16．如图所示，直线PQ∥MN，C是MN上一点，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∥ECF＝90°，如果∥FBQ＝50°，则∥ECM的度数为__________；17．如图，已知12363∠=___________．∠=∠=∠=︒，418．两块平面镜OM和ON如图摆设，从OM上的点A处向平面镜ON射出一束光线AB，其反射光线BC恰与OM 平行（入射光线与平面镜的夹角始终与反射光线与平面镜的夹角相等），若126ABC ∠=︒，则两平面镜的夹角MON ∠的度数为_____________．19．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OD 平分BOF ∠，OE ⊥CD 于O ，若AOF α∠=，下列说法①AOC 90∠=︒-α2；②BOE ∠=2α3；αEOF 1802∠=︒-③，其中正确的是_______（填序号）20．如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么(1)第4个图案中有白色六边形地面砖________块，第n 个图案中有白色地面砖________ 块．评卷人得分三、解答题(共60分) 21．（6分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC 的三个顶点的位置如图所示，将ABC 先向右平移4个单位得111A B C △，再向上平移2个单位得222A B C △．(1)画出平移后的111A B C △及222A B C △．(2)在整个平移过程中，线段AC 扫过的面积是______．22．（6分）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分EOC ∠．(1)若70EOC ∠=︒，求BOD ∠的度数； (2)若:2:3EOC EOD ∠∠=，求BOD ∠的度数．23．（9分）把下面的说理过程补充完整．已知：如图，12180∠+∠=︒，3B ∠=∠，试判断AED ∠与4∠的关系，并说明理由．结论：4AED ∠=∠．理由：∥1180BDF ∠+∠=︒（），12180∠+∠=︒，（已知）∥2BDF ∠=∠，（）∥EF AB ∥，（）∥3ADE ∠=∠，（）∥3B ∠=∠，（已知）∥B ∠=（）∥DE BC ∥，（）∥AED ACB ∠=∠，（）又∥4ACB ∠=∠，（）∥4AED ∠=∠．（）24．（8分）如图，四边形ABCD 中，ABCD ，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，连接AC 交EF 于G ，1BAC ∠=∠．(1)求证：EF CD ．(2)已知15CAF ∠=︒，245∠=︒，320∠=︒，求B ∠和ACD ∠的度数．25．（9分）如图，点B ，C 在线段AD 的异侧，点E ，F 分别是线段AB ，CD 上的点，已知12∠=∠，3C ∠=∠．(1)求证：AB CD ；(2)若24180∠+∠=︒，求证：180BPC C ∠+∠=︒；(3)在（2）的条件下，若3021BFC ∠-︒=∠，求B ∠的度数．26．（10分）课题学习：平行线问题中的“转化思想”[阅读理解]“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，所有的与平行线有关的角都存在于这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁，当发现题目的图形“不完整”时，要通过适当的辅助线将其补完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”．在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：例题如图①，已知AB CD ∥，若120ABE ∠=︒，140DCE ∠=︒，则有BEC ∠=_____________°．分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB 与CD ，所以无法直接运用平行线的相关性质，这就需要构造出“两条平行线被第三条直线所截"基本图形后，才可以运用平行线的条件或性质．过E 点作EF AB ∥，根据平行于第三条直线的两直线平行，可得EF CD ∥，这样可将图形转化，进而可以求出100BEC ∠=︒．[方法应用]已知AB CD ∥，（1）如图②，若36ABE ∠=︒，48DCE ∠=︒，求BEC ∠的度数；（2）如图②，直接写出ABE ∠、BEC ∠、DCE ∠之间的数量关系；（3）如图③，BE 平分ABF ∠，CE 平分DCF ∠，132BEC ︒∠=，则BFC ∠的度数为______________．27．（12分）如图，直线//CB OA ，100C OAB ∠=∠=︒，E 、F 在CB 上，且满足FOB AOB ∠=∠，OE 平分COF ∠（1）求EOB ∠的度数；（2）若平行移动AB ，那么:OBC OFC ∠∠的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．（3）在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使OEC OBA ∠=∠？若存在，求出OEC ∠度数；若不存在，说明理由．。

人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线第3节与角有关的辅助线部分含答案

第3节与角有关的辅助线1.已知：如图，AB∥CD，∠1=135°，∠3=75°，则∠2的度数为（）A．45°B．75°C．30°D．105°第1题图第2题图2.已知：如图，∠BAC+∠C=180°，点E是CD上一点，且∠1=32°，∠AFE=110°，则∠FED的度数为（）A．78°B．64°C．55°D．60°3.如图，AB∥EF，∠BCD=90°，则∠α，∠β，∠γ的关系是（）A．∠β=∠α+∠γB．∠α+∠β+∠γ=180°C．∠α+∠β-∠γ=90°D．∠β+∠γ-∠α=90°4.已知：如图，AB∥CD，∠B=40°，∠D=20°，求∠BED的度数．5.已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3-∠2=180°．6.（1）①如图1所示，已知AB∥CD，∠ABC=60°，根据_____________________________，可得∠BCD=____________；②如图2所示，在①的条件下，若CM平分∠BCD，则∠BCM=_______；③如图3所示，在①②的条件下，若CN⊥CM，则∠BCN=__________．（2）尝试解决下面的问题：如图4所示，AB∥CD，∠B=40°，CN是∠BCE的平分线，CN⊥CM，求∠BCM的度数．7．如图（1），已知直线l1∥l2，且l3与l1、l2分别交于A、B两点，l4与l1、l2分别交于C、D两点，记∠ACP ＝∠1，∠BDP＝∠2，∠CPD＝∠3，点P在线段AB上．（1）若∠1＝25°，∠2＝33°，则∠3＝；（2）猜想∠1，∠2，∠3之间的相等关系，并说明理由；（3）如图（2），点A在点B的南偏东23°方向，在点C的西南方向，利用（2）的结论，可知∠BAC＝；（4）点P在直线l3上且在A、B两点外侧运动时，其它条件不变，请直接写出∠1，∠2，∠3之间的相等关系．8．如图，已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在AB，CD之间．（1）如图1，点B在点A的左侧，若∠ABC＝60°，求∠BED的度数？（2）如图2，点B在点A的右侧，若∠ABC＝100°，直接写出∠BED的大小．9．小明同学在完成第10章的学习后，遇到了一些问题，请你帮助他．（1）图1中，当AB∥CD，试说明∠AEC＝∠BAE+∠DCE．（2）图2中，若∠AEC＝∠BAE+∠DCE，则AB∥CD吗？请说明理由．（3）图3中，AB∥CD，若∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，则m＝．（直接写出结果，用含x，y，z的式子表示）10．如图，∠BED＝∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．11．直线AB∥CD，点P在其所在平面上，且不在直线AB，CD，AC上，设∠PAB＝α，∠PCD＝β，∠APC ＝γ（α，β，γ，均不大于180°，且不小于0°）（1）如图1，当点P在两条平行直线AB，CD之间、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；（2）如图2，当点P在直线AB的上面、直线AC的右边时试确定α，β，γ的数量关系；（3）α，β，γ的数量关系除了上面的两种关系之外，还有其他的数量关系，请直接写出这些．12．（1）读读做做：平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．请根据上述思想解决教材中的问题：如图①，AB∥CD，则∠B+∠D∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；（2）倒过来想：写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．（3）灵活应用如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．13．小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．14．已知AB∥CD，点E、F分别为两条平行线AB、CD上的一点，GE⊥GF于G．（1）如图1，直接写出∠AEG和∠CFG之间的数量关系；（2）如图2，连接GF，过点G分别作∠BGF和∠BGE的角平分线交AB于点K、H．GH⊥AB．①求∠HGK的度数；②探究∠CFG和∠BGF的数量关系并加以证明．15．已知射线AB平行于射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上（1）如图1，若点P在线段EF上，若∠A＝25°，∠APC＝70°时，则∠C＝；（2）如图1，若点P在线段EF上运动（不包含E、F两点），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；（3）①如图2，若点P在线段FE的延长线上运动，则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；②如图3，若点P在线段EF的延长线上运动，则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是；（4）请说明图2中所得结论的理由．16．如图，已知l1∥l2，线段MA分别与直线l1，l2交于点A，B，线段MC分别与直线l1，l2交于点C，D，点P在线段AM上运动（P点与A，B，M三点不重合），设∠PDB＝α，∠PCA＝β，∠CPD＝γ．（1）若点P在A，B两点之间运动时，若a＝25°，B＝40°，那么γ＝．（2）若点P在A，B两点之间运动时，探究α，β，γ之间的数量关系，请说明理由；（3）若点P在B，M两点之间运动时，α，β，γ之间有何数量关系？（只需直接写出结论）部分参考答案7．【解答】解：（1）∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠3＝∠1+∠2＝58°，故答案为：58°；（2）∠1+∠2＝∠3，∵l1∥l2，∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2＝180°，在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC＝180°，∴∠1+∠2＝∠3；（3）过A点作AF∥BE，如图1，则AF∥BE∥CD，则∠BAC＝∠ABE+∠ACD＝23°+45°＝68°；故答案为：68°；（4）当P点在A的外侧时，如图2，过P作PF∥l1，交l4于F，∴∠1＝∠FPC．∵l1∥l4，∴PF∥l2，∴∠2＝∠FPD∵∠CPD＝∠FPD﹣∠FPC∴∠3＝∠2﹣∠1．当P点在B的外侧时，如图3，过P作PG∥l2，交l4于G，∴∠2＝∠GPD∵l1∥l2，∴PG∥l1，∴∠1＝∠CPG∵∠CPD＝∠CPG﹣∠GPD∴∠3＝∠1﹣∠2．8．【解答】解：（1）如图1，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝60°，∠ADC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∠CDE＝∠ADC＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝30°+35°＝65°；（2）如图2，过点E作EF∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝70°∴∠ABE＝∠ABC＝50°，∠CDE＝∠ADC＝35°∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣50°＝130°，∠CDE＝∠DEF＝35°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝180°﹣50°+35°＝165°．9．【解答】解：（1）过E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠BAE＝∠AEM，∠DCE＝∠CEM，∴∠AEC＝∠AEM+∠CEM＝∠BAE+∠DCE；（2）过E作EM∥AB，∵EM∥AB，∴∠BAE＝∠AEM，∵∠AEC＝∠BAE+∠DCE，∴∠DCE＝∠CEM，∴EM∥CD，∵AB∥EM，∴AB∥CD；（3）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EM∥FN，∴∠BAE＝∠AEM，∠FEM＝∠EFN，∠DFN＝∠CDF，∴∠BAE+∠EFN+∠DFN＝∠AEM+∠FEM+∠CDF，∴∠BAE+∠EFD＝∠AEF+∠CDF，∵∠BAE＝x°，∠AEF＝y°，∠EFD＝z°，∠FDC＝m°，∴x+z＝y+m，∴m＝x+z﹣y，故答案为：x+z﹣y．10．【解答】解：延长BE交CD于F．∵∠BED＝∠B+∠D，∠BED＝∠EFD+∠D，∴∠B＝∠EFD，∴AB∥CD．11．【解答】解：（1）如图1中，结论：γ＝α+β．理由：作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠PCD，∴γ＝α+β．（2）如图2中，结论：γ＝β﹣α．理由：作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠BAP＝∠APE，∠PCD＝∠CPE，∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE，∴γ＝β﹣α．（3）如图3中，有γ＝α﹣β．如图4中，有γ＝β﹣α．如图5中，有γ＝360°＝β﹣α．如图6中，有γ＝α﹣β．综上所述，γ＝α﹣β，γ＝β﹣α，γ＝360°﹣β﹣α．12．【解答】（1）解：过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；故答案为：＝；（2）解：逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∵EF∥AB，∴AB∥CD；（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．13．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．14．【解答】解：（1）如图1中，结论：∠AEG+∠CFG＝90°．理由：作GH∥AB．∵AB∥CD，∴GH∥CD，∴∠AEG＝∠EGH，∠CFG＝∠HGF，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∴∠AEG+∠CFG＝∠EGH+∠HGF＝∠EGF＝90°．（2）①如图2中，∵GH平分∠BGE，∴∠EGH＝∠BGH，∵GH⊥BE，∴∠GHB＝∠GHE＝90°，∴∠EGH+∠GEB＝90°，∠B+∠BGH＝90°，∴∠GEB＝∠B，∵GE⊥GF，∴∠EGF＝90°，∴∠EGH+∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠GEB＝∠B，∵∠HKG＝∠B+∠KGB，∠HGK＝∠HGL+∠KGL，∠KGB＝∠KGL，∴∠HKG＝∠HGK＝45°．②结论：∠CFG＝45°+∠BGF．理由：∵AB∥CD，∴∠ALG＝∠CFG，∵∠ALG＝∠LKG+∠KGL＝45°+∠BGF，∴∠CFG＝45°+∠BGF．15．【解答】解：（1）过P作PH∥CD，∴∠HPC＝∠C，∵AB∥CD，∴AB∥PH，∴∠A＝∠APH＝25°，∴∠HPC＝∠APC﹣∠APH＝70°﹣25°＝45°；∴∠C＝45°；（2）∠APC＝∠A+∠C；理由如下：过P作PH∥CD，∴∠HPC＝∠C，∵AB∥CD，∴AB∥PH，∴∠A＝∠APH，∴∠APC＝∠HPC+∠APH＝∠A+∠C；（3）①∠APC＝∠C﹣∠A，理由如下：过点P作PQ∥AB（如图2），∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠C﹣∠A；②∠APC＝∠A﹣∠C．理由如下：过点P作PQ∥AB（如图3），∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ＝∠A﹣∠C，∴∠APC＝∠A﹣∠C．（4）过点P作PQ∥AB（如图2），∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠C﹣∠A．故答案为：45°，∠APC＝∠A+∠C，∠APC＝∠C﹣∠A，∠APC＝∠A﹣∠C．16．【解答】解：（1）∵AC∥BD，∴β+∠PCD+∠PDC+α＝180°，∵γ+∠PCD+∠PDC＝180°，∴γ＝α+β＝65°．故答案为：65°．（2）∵AC∥BD，∴β+∠PCD+∠PDC+α＝180°，∵γ+∠PCD+∠PDC＝180°，∴γ＝α+β＝（3）如图，当P在B，M之间时，∵AC∥BD，∴∠1＝β，∵∠1＝α+γ，∴β＝α+γ．。

冀教版七年级下册数学第7章相交线与平行线阶段核心类型平行线中作辅助线的九种常见类型

(2) 如果将折一次改为折两次，如图 ② ，则 ∠ BEO ， ∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？说明理由．
解：∠EOP＋∠PFC＝∠BEO＋∠OPF. 理由：过点 O 向左侧作 OM ∥ AB ，过 P 向右侧作 PN∥CD，如图②所示．
(3) 如图 ② ， AB ∥ EF ，根据 (2) 中的猜想，直接写出 ∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数．
解：∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ 540°.
5．(1)如图，AB∥CD，若∠B＝130°，∠C＝30°，求 ∠BEC的度数；
解：过E点向左侧作EF∥AB，∴∠B＋∠BEF＝180°. ∵∠B＝130°，∴∠BEF＝180°－∠B＝50°. 又∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD. ∵∠C＝30°，∴∠FEC＝∠C＝30°， ∴∠BEC＝∠BEF＋∠FEC＝50°＋30°＝80°.
6．如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何数量关系？为什么？
解：∠BCD＝∠B－∠D. 理由如下：如图，过点C作CF∥AB， ∴∠B＝∠BCF.
∵AB∥DE，CF∥AB， ∴CF∥DE. ∴∠DCF＝∠D. ∴∠B－∠D＝∠BCF－∠DCF. ∵∠BCD＝∠BCF－∠DCF， ∴∠BCD＝∠B－∠D.
解：如图，过点F作FG∥AB. ∴∠BFG＝∠ABF. ∵AB∥CD，∴FG∥CD. ∴∠CDF＝∠DFG. ∴∠ABF＋∠CDF＝ ∠BFG＋∠DFG＝∠BFD＝120°.
∵BE 平分∠ABF，DE 平分∠CDF， ∴∠ABE＝12∠ABF，∠CDE＝12∠CDF. ∴∠ABE＋∠CDE＝12(∠ABF＋∠CDF) ＝12×120°＝60°.

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黑马教育2013年暑期清水河校区学习资料
相交线与平行线章节典型辅助线题目
利用平行线的判定定理和性质定理进行计算或证明，必须具备相应的图形，即三线八角，如果图形不齐全, 则应将其补齐，这个补齐”过程，就是添置辅助线，通常有两种情况；
1.缺角补角
在图形中虽然具备了三线”但八角”没有完全显露出来，为了使解题思路流畅自然，应利用延长线段的方法，将八角”补齐。

2.缺线补线
如果在图形中三线”尚不齐全，则首要的任务是添线，通常是做平行线进行添线，添置平行线有一定难度，应结合已知条件，对图形全面进行考查，并辅以必要的练习，才能领会其中要领。

1、如图，若AB// CD则/ B- / C+Z E=?
2、若Z O=Z A+Z C,AB和CD平行吗？说明理由。

3、如图，FG// HI，Z GEK=120，Z B=30°，Z C=48°，Z CDI=30°，Z A=?
4、如图a// b, Z 1=105°，Z 2=140°，则Z 3=?
已知/ B=25°,Z BCD=45°,/ CDE=30，/ E=10°。

求证：AB// EF
AB / ED,a =Z A+Z E,3 =Z B+Z C+Z D.证明：B =2 a
MN //I, Z ABC=130°,Z 1=40°,求证：AB 丄MN
BY
已知AB/ CD,直线EF分别交AB,CD于E,F, Z BEF的角平分线
与Z DFE的角平分
5、如图,
6、如图,
7、已知
&如图，
线相交于点P,求证/ P=90°o
F。

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