5.1 一维插值方法
一维插值算法
一维插值算法
一维插值算法是一种数据插值方法，用于在已知的一组数据点的基础上估计或预测中间位置的数据点的值。
一维插值算法的目的是根据已有数据的变化趋势，在新的数据点位置上进行预测，以填补数据的缺失或不连续性。
常见的一维插值算法有线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等。
这些算法的基本原理都是利用已知数据点之间的关系，通过某种数学模型来计算未知数据点的值。
线性插值是最简单的一维插值算法，它假设数据点之间的变化是线性的，因此可以使用一条直线来连接相邻的数据点，从而计算未知数据点的值。
拉格朗日插值和牛顿插值则是更高阶的插值算法，它们利用多项式函数来拟合已知数据点，并通过插值公式来计算未知数据点的值。
一维插值算法可以用于很多领域的应用，比如地图绘制、数值分析、信号处理等。
在实际应用中，选择合适的插值算法和参数是非常重要的，因为不同的算法和参数可能会对插值结果产生不同的影响。
一维插值
Ln ( x) an x an1 x
n
n 1
a1 x a0 (1)
a n x 0n a n1 x 0n1 a1 x 0 a 0 y 0 a n x1n a n1 x1n1 a1 x1 a 0 y1 n n a n x n a n 1 x n 1 a 1 x n a 0 y n
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
已知三点（x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), 求过这三点的多项式。
L2 ( x ) a 2 x 2 a1 x a 0
则
2 a 2 x 0 a1 x 0 a 0 y 0 2 a 2 x 1 a1 x 1 a 0 y1 a x 2 a x a y 1 2 0 2 2 2
称为拉格朗日插值基函数。
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拉格朗日(Lagrange)多项式插值
例 将[0,/2] n等分，在g(x)=cos(x)上 取n+1个节点，作Pn(x)（取n=1,2) ,计算 Pn(/6),与 cos(/6)比较, 观察误差。 解: n=1, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0), x x0 x x1 L0 , L1 x 0 x1 x1 x 0 1 P1(x)=y0L0+y1L1=1-2x/, P1(/6)=0.6667
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三次样条插值
三次样条函数 S(x), x∈[a, b] , 满足: 1) S(x) 在每一个小区间[xi-1,xi]上是 一个三次多项式函数 ； 2) 在整个区间[a,b]上，其二阶导数存在 且连续。 y
一维理想插值计算公式
一维理想插值计算公式
一维理想插值通常指的是通过已知的一系列数据点来估算在这些点之间的未知值的过程。
插值方法有很多种，其中最简单和最常见的是线性插值。
但在这里，我将为你提供一个更一般的插值公式，即拉格朗日插值公式。
假设我们有一组已知的n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，我们希望找到一个n次多项式P(x) 使得P(xi) = yi 对于所有的i 都成立。
拉格朗日插值公式为：
\(P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x)\)
其中，\(l_i(x)\) 是拉格朗日基函数，定义为：
\(l_i(x) = \prod_{\substack{j=0 \\ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}\)
这个公式的意义是：对于每一个数据点(xi, yi)，我们构造一个函数\(l_i(x)\)，它在xi处取值为1，而在其他数据点的x坐标处取值为0。
这样，当我们把这些函数乘以对应的y值并加起来，得到的多项式P(x)就会经过所有的数据点。
如果你只需要线性插值（即两个点之间的插值），那么公式会简化很多。
对于两个点(x0, y0) 和(x1, y1)，线性插值公式为：\(y = y_0 + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x - x_0)\)
这个公式表示的是通过两点确定的一条直线，可以用来估算这两
点之间任意x值对应的y值。
【Matlab应用 – 数据插值】一维、二维与多维插值
插值就是已知一组离散的数据点集，在集合内部某两个点之间预测函数值的方法。
一、一维插值插值运算是根据数据的分布规律，找到一个函数表达式可以连接已知的各点，并用此函数表达式预测两点之间任意位置上的函数值。
插值运算在信号处理和图像处理领域应用十分广泛。
1．一维插值函数的使用若已知的数据集是平面上的一组离散点集(x,y)，则其相应的插值就是一维插值。
MATLAB中一维插值函数是interp1。
y=interp([x,]y,xi,[method],['extrap'],[extrapval])，[]代表可选。
method：'nearest'，'linear'，'spline'，'pchip'，'cubic'，'v5cubic'。
此m文件运行结果：放大π/2处：2．内插运算与外插运算（1）只对已知数据点集内部的点进行的插值运算称为内插，可比较准确的估测插值点上的函数值。
（2）当插值点落在已知数据集的外部时的插值称为外插，要估计外插函数值很难。
MATLAB对已知数据集外部点上函数值的预测都返回NaN，但可通过为interp1函数添加'extrap'参数指明也用于外插。
MATLAB的外插结果偏差较大。
二、二维插值已知点集在三维空间中的点的插值就二维插值问题，在图像处理中有广泛的应用。
二维插值函数是interp2，用法与一维插值函数interp1类似。
ZI=interp2(X, Y, Z, XI, YI, method, extrapval)：在已知的(X,Y,Z)三维栅格点数据上，在(XI, YI)这些点上用method指定的方法估计函数值，外插使用'extrapval'。
二维插值中已知数据点集(X, Y)必须是栅格格式，一般用meshgrid函数产生。
interp2要求(X, Y)必须是严格单调的并且是等间距的，如果(X, Y)不是等间距的，会将且变换为等间距形式，如果已知是等间距的，可在method参数前加星号，如果：'*cubic'。
数学方法插值
解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下
n
Pn (x) Li (x) yi i0
其中Li(x) 为n次多项式：
Li
(x)
(x x0 )(x x1)(x (xi x 0 )(xi x1 )(xi
xi1 )(x xi1 )(x xi1 )(x i xi1 )(x i
xn ) xn
)
称为拉格朗日插值基函数。 5
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地:
两点一次(线性)插值多项式:
L1x
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
三点二次(抛物)插值多项式:
L2
x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
700 850 950 1010 1070 1550 980
通过此例对最近邻点插值、双线性插值方法和双三次插值方法的插 值效果进行比较。
To MATLAB (moutain)
返回 29
用MATLAB作散点数据的插值计算
插值函数griddata格式为:
cz =griddata（x，y，z，cx，cy，‘method’）
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
y2
直接验证可知 , Ln x满足插值条件 .
6
例
g(x)
1 1 x2
,
5 x 5
采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值 节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n 分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形.
5.1 一维插值方法
日型至多 n 次插值多项式. 按(5.1.5)式编写函数 M 文件 polyinterp.m，其中 x、y 分别为结点的横、纵坐标向量，长度相同；xi 为待插值点向量， 是求得的插值向量， 与 xi 同型. yi yi
5.1.2 多项式插值
function yi=polyinterp(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); for k=1:m, z=xi(k); s=0; for i=1:n, p=1; for j=1:n if j~=i p=p*(z-x(j))/(x(i)-x(j)); end end, s=p*y(i)+s; end, yi(k)=s; end
n
否成立. 实际上高次的插值多项式可能会发生严重的 振荡，尤其是在区间[a,b]的左右端点附近. 所以在实 际应用中，多项式插值一般仅适合于结点数目较少、 也就是多项式次数较低的情况.
5.1.2 多项式插值
20 世纪初，德国数学家龙格（Runge）曾给出一 个插值多项式振荡现象的例子： 例 5.1.2（龙格现象） 考虑函数 1 g ( x) , x [5,5] 2 1 x 对任意正整数 n，取划分 5 x0 x1 xn 5 将区 间[−5,5]n 等分，并记 Ln ( x) 是在 x0 , x1 , , xn 逼近 g(x) 而得到的 n 次插值多项式， 则随着 n 的增加，Ln ( x) 在
5.1.2 多项式插值
例 5.1.1 已知(0,3)、(1,1)、(3,2)、(6,0)、(8,2) 和(9,4)共 6 个结点， 利用函数 M 文件 polyinterp.m 绘 制 6 个拉格朗日型多项式插值基函数 l0 ( x) , l1 ( x ) ,…, l5 ( x ) 以及插值多项式
插值详解
插值在生产与科学实验中，我们往往只掌握有限的测试数据，例如y=f（x），在区间[a,b]上，其中i=1,2，。
N。
对于在区间上的其他数据，只能进行估计。
这种在已知数据中，用较简单的数值函数Φ（x）通过所有样点，并对临近数据进行估值计算成为插值。
一、一维插值调用格式：yi = interp1(x,Y,xi,method)对数据向量x和Y宜选用好的方法构造插值函数，并计算xi的函数值，返回给yi。
Method指定差值方法。
yi = interp1(x,Y,xi,method)插值中可以使用的方法:插值方说明法nearest 临近的两点插值linear 线性插值（默认）spline 三次样条插值分段三次Hermite插值多pchip项式插值cubic （作用于pchip相同）用matlab5版本中断三次v5cubic样条插值二、埃尔米特插值埃尔米特插值法满足在节点上等于给定函数值，而且在节点上的到数值也等于给定的导数值。
实际应用中，常常遇到的是函数值与一阶导数给定的情况。
在这种情况下。
Hermite函数源代码如下：function [f,f0] = Hermite(x,y,y_1,x0)%求已知数据点的埃尔米特插值多项式%已知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量：y%已知数据点的导数向量：y_1%插值点的x坐标：x0%求得的埃尔米特插值多项式：f%x0处的插值：f0syms t;f = 0.0;if(length(x) == length(y))if(length(y) == length(y_1))n = length(x);elsedisp('x和y导数的维数不相等');return;endelsedisp('x和y的维数不相等');return;endfor i=1:nh = 1.0;a = 0.0;for j=1:nif( j ~= i)h = h*(t-x(j))^2/((x(i)-x(j))^2);a = a + 1/(x(i)-x(j));endendf = f + h*((x(i)-t)*(2*a*y(i)-y_1(i))+y(i));endf0=subs(f,'t',x0);此函数的调用格式如下：[f,f0]=Hermite(x,y,y_1,x0)三、反插值如果一直插值的函数值，要求对应插值点的x值，则可用反插值法。
python一维拉格朗日插值法
python一维拉格朗日插值法一维拉格朗日插值法是一种基于给定离散数据点的多项式插值方法。
它的核心思想是，对于给定的n+1个数据点(x_i, y_i)，其中i从0到n，拉格朗日插值法会构造一个n次多项式L(x)，使得L(x_i) = y_i对所有i成立。
拉格朗日插值多项式可以表示为：L(x) = ∑_i=0^n y_i * l_i(x)其中l_i(x)是拉格朗日基函数，定义为：l_i(x) = ∏_j=0, j≠i^n (x - x_j) / (x_i - x_j)这个基函数在x_i处取值为1，而在其他x_j (j≠i)处取值为0。
下面是一个简单的Python实现：pythonimport numpy as npdef lagrange_interpolation(x_data, y_data, x):"""一维拉格朗日插值法:param x_data: 数据点的x坐标，一维数组:param y_data: 数据点的y坐标，一维数组:param x: 要插值的x坐标:return: 插值结果"""n = len(x_data) - 1# 多项式的次数result = 0for i in range(n+1):li = 1# 拉格朗日基函数for j in range(n+1):if i != j:li *= (x - x_data[j]) / (x_data[i] - x_data[j])result += y_data[i] * lireturn result# 示例x_data = np.array([0, 1, 2, 3])y_data = np.array([1, 2, 4, 7])x = 1.5print(lagrange_interpolation(x_data, y_data, x)) # 输出插值结果这个示例中，我们使用了4个数据点(0,1), (1,2), (2,4), (3,7) 进行拉格朗日插值，并计算了x=1.5处的插值结果。
第九章前列腺液检查教学讲义课件
1 2 -5 3
35
l5、多项式的微积分
l 多项式的微分由函数polyder实现，积分 由函数polyint实现
>> b=[1 2 -5 3]; >> p=polyder(b) p=
3 4 -5 >> pr=polyint(p) pr =
27
2、求多项式的值 l求多项式的值有两种算法
l按数组运算规则计算，对应函数 polyval
l按矩阵运算规则计算，对应函数 polyvalm
28
l 函数polyval的调用格式为： y=polyval(p,x)：求多项式p在x点的值， x也可以是一数组，表示求多项式p在各点 的值。
>> p=[3 -6 7 0 -9]; >> polyval(p,[3 5 7]) ans =
1 0 0
>> a=[1 2 3;2 3 4]; >> b=[1;2]; >> x=pinv(a)*b x=
0.8333 0.3333 -0.1667
45
5.3 数据分析
l5.3.1 基本统计命令
函数 max(x) mean(x) median(x) min(x)
功能 求最大元素
求平均值 求中位元素 求最小元素
38
l5.2.1 方阵系统 l系数矩阵a为方阵，其中x和b的
尺寸相同
39
>> a=[14 7 6;3 13 0; 9 11 12];
>> b=[6;9;11]; >> x=a\b x=
一维插值总结
一维插值总结
插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均。
在已知数据点较少时，插值技术在工程实践和科学实验中有着广泛而又十分重要的应用。
例如在信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值补点，建筑工程的外观设计，化学工程试验数据与模型分析，天文观测数据、地理信息数据的处理，社会经济现象的统计分析等方面，插值技术的应用是不可或缺的。
插值技术（或方法）远不止这里所介绍的这些，但在解决实际问题时，对于一位插值问题而言，前面介绍的插值方法已经足够了。
剩下的问题关键在于什么情况下使用、怎样使用和使用何种插值方法的选择上。
拉格朗日插值函数在整个插值区间上有统一的解析表达式，其形式关于节点对称，光滑性好。
但缺点同样明显，这主要体现在高次插值收敛性差（龙格现象）；增加节点时前期计算作废，导致计算量大；一个节点函数值的微小变化（观测误差存在）将导致整个区间上插值函数都发生改变，因而稳定性差等几个方面。
因此拉格朗日插值法多用于理论分析，在采用拉格朗日插值方法进行插值计算时通常选取n < 7。
分段线性插值函数（仅连续）与三次样条插值函数（二阶导数连续）虽然光滑性差，但他们都克服了拉格朗日插值函数的缺点，不仅收敛性、稳定性强，而且方法简单实用，计算量小。
因而应用十分广泛。
labview一维数组插值的详细解释
LabVIEW 一维数组插值的详细解释一、一维数组插值的原理在 LabVIEW 中，一维数组插值是通过插值函数实现的。
插值函数是一种用于在数组中插入或删除元素的函数，它可以在数组中插入一个新的元素，或者删除一个现有的元素。
在 LabVIEW 中，一维数组插值的原理基于以下两点：1. 在 LabVIEW 中，数组是一种数据结构，它可以存储一系列的元素。
每个元素在数组中都有一个对应的索引，可以通过索引来访问数组中的元素。
2. 插值函数可以通过在数组中插入或删除元素来改变数组的内容。
在插入或删除元素时，插值函数会根据指定的索引来确定插入或删除的位置。
二、一维数组插值的使用方法在 LabVIEW 中，一维数组插值的使用方法如下：1. 打开 LabVIEW 软件，创建一个新的 VI(Virtual Instrument)。
2. 在 VI 中添加一个数组输入控件和一个插值函数控件。
3. 将数组输入控件连接到插值函数控件的输入端口。
4. 在插值函数控件的输出端口添加一个数组输出控件。
5. 在数组输出控件中选择一维数组，并将其连接到需要显示数据的控件上。
6. 在插值函数控件的输入端口添加一个索引输入控件，用于指定要插入或删除的元素的索引位置。
7. 根据需要，添加其他控件和线路，完成 VI 的构建。
8. 运行 VI，观察数组插值的效果。
三、一维数组插值的应用场景LabVIEW 中的一维数组插值可以用于以下应用场景：1. 数据采样：通过一维数组插值函数，可以在数组中插入新的元素，用于采样数据。
例如，可以从一个模拟信号中采样一定间隔的样本数据。
2. 数据分析：通过一维数组插值函数，可以在数组中插入新的元素，用于分析数据。
例如，可以在数组中插入一些统计数据，如均值、方差等。
3. 数据可视化：通过一维数组插值函数，可以在数组中插入新的元素，用于可视化数据。
例如，可以将一些数据点插入数组中，然后用图表控件将它们可视化。
总之，LabVIEW 中的一维数组插值是一种常用的数据处理方法，它可以用于数据采样、数据分析、数据可视化等领域。
插值和拟合
5.4.1 插值
一维插值有四种方法，分别是： （1）邻近点插值(method=‘nearest’) 将插值结果的值设置为最 近数据点的值
（2）线性插值(method=‘linear’) 在两个数据点之间连接直线， 根据给定的插值点计算出它们在直线上的值，作为插值结果。 缺省形式。
（3）三次样条插值(method=‘spline’) 通过数据点拟合出三次 样条曲线，根据给定的插值点计算出它们在曲线上的值，作为 插值结果。 （4）立方插值(method=‘pchip’/’cubic’) 通过三次多项式计算插 值结果。
5
5.4.1 插值
二维插值有四种插值方法： （1）邻近点插值(method=‘nearest’) （2）双线性插值(method=‘linear’) 该方法是 interp2的缺省插值形式。 （3）三次样条插值(method=‘spline’) （4）二重立方插值(method=’cubic’)
%拟合曲线
9
5.5 基本数学函数
我们以正弦函数sin与双曲正弦函数sinh为例说明常用三角 函数用法。调用格式如下： Y = sin(X) 计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是 复数）中每一个角度分量的正弦值Y，所有分量的角度单 位为弧度。 Y = sinh(X) 计算参量X的双曲正弦值Y 注意：sin(pi)并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量 eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已，同理 sec(pi/2)并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量 eps的倒数（其它三角函数类似）；对于复数Z= x+iy，函 数的定义为： e iz e iz sin(z ) sin(x+iy) = sin(x)*cos(y) + i*cos(x)*sin(y)，
matlab学习——05插值和拟合（一维二维插值,拟合）
matlab学习——05插值和拟合（⼀维⼆维插值,拟合）05插值和拟合1.⼀维插值(1) 机床加⼯零件，试⽤分段线性和三次样条两种插值⽅法计算。
并求x=0处的曲线斜率和13<=x<=15范围内y的最⼩值。
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15];y0=[0 1.2 1.7 2 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6];x=0:0.1:15;% interp1现有插值函数，要求x0单调，'method'有% nearest 最近项插值 linear 线性插值% spline ⽴⽅样条插值 cubic ⽴⽅插值y1=interp1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x,'spline');pp1=csape(x0,y0);y3=fnval(pp1,x);pp2=csape(x0,y0,'second');y4=fnval(pp2,x);[x',y1',y2',y3',y4']subplot(1,4,1)plot(x0,y0,'+',x,y1)title('Piecewise linear 分段线性')subplot(1,4,2)plot(x0,y0,'+',x,y2)title('spline1')subplot(1,4,3)plot(x0,y0,'+',x,y3)title('spline2')subplot(1,4,4)plot(x0,y0,'+',x,y4)title('second')dx=diff(x);dy=diff(y3);dy_dx=dy./dx;dy_dx0=dy_dx(1);ytemp=y3(131:151);ymin=min(ytemp);index=find(y3==ymin);xmin=x(index);[xmin,ymin](2) 已知速度的四个观测值,⽤三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分t 0.15 0.16 0.17 0.18vt 3.5 1.5 2.5 2.8format compact;% 已知速度的四个观测值,⽤三次样条求位移S=0.15到0.18上的vd(t)积分% t 0.15 0.16 0.17 0.18% vt 3.5 1.5 2.5 2.8clc,clearx0=0.15:0.01:0.18;y0=[3.5 1.5 2.5 2.8];% csape 三次样条插值,返回要求插值的的函数值pp=csape(x0,y0) % 默认的边界条件,Lagrange边界条件format long gxishu = pp.coefs % 显⽰每个区间上三次多项式的系数s=quadl(@(t)ppval(pp,t),0.15,0.18) % 求积分format % 恢复短⼩数的显⽰格式% 画图t=0.15:0.001:0.18;y=fnval(pp,t);plot(x0,y0,'+',t,y)pp =包含以下字段的 struct:form: 'pp'breaks: [0.1500 0.1600 0.1700 0.1800]coefs: [3×4 double]pieces: 3order: 4dim: 1xishu =1 ⾄2 列-616666.666666667 33500-616666.666666667 15000-616666.666666668 -3499.999999999993 ⾄4 列-473.333333333334 3.511.6666666666671 1.5126.666666666667 2.5s =0.0686252.⼆维插值(1) 丘陵测量⾼度。
一维搜索插值法
外
-
推
法
程
序
框
图
二、区间消去法原理
由外推法确定搜索区间[a,b]后，在区间 内插入两点a1和b1（a<a1<b1<b），计算 插入点的函数值，并比较其大小，确定消去 的区间，从而得到缩短的搜索区间，依次类 推，最后即可得到理论最小点的近似解。
•基本思想
取原函数极小点的一个近似点，在近似点附近用二次函数 （泰勒展开并保留到二次项）逼近原函数，以逼近函数的极 小点作为原极小点的新近似点，依此类推,直到近似点满足控 制误差为止，取最后的近似点作为原函数的极小点。
•迭代公式
•几何解释
特 点
收敛速度快 计算工作量大 对初始点的选择
黄 金 分 割 法 的 程 序 框 图
第四节 一维搜索的插值法
1、插值方法与试探方法的比较
2、函数逼近法
将搜索区间内的若干试验点的函数值构造的 低次多项式（二次多项式）作为函数的近似 表达式，用这个多项式的极值作为原函数的 极值点的近似点。 3、二次多项式逼近原函数的方法
牛顿法和抛物线法
一、牛顿法（切线法）
采用点距准则（前后两个插值点的距离不 超过误差限）：
初始搜索区间[2,8]，迭代精度ε=0.01, 收敛条件: |ap-a2|<ε。
1.计算初始点及其函数值 2.计算插值点
3.判断收敛条件
4.缩短搜索区间
5.重新计算插值点 6.判断收敛条件，得最优解
二 次 插 值 法 程 序 框 图
补充说明——区间端点换名方法：
2、运用区间消去法，求极小点 。
一、确定初始搜索区间的外推法（进退法） 正向搜索外推法
c语言插值算法
则插值多项式表示为： 其中， 为f(x)的k阶均差
埃尔米特插值（Hermite）
埃尔米特插值多项式不仅满足在插值节点 上函数值相等，还满足在节点上的导数值 相等。通过三点 (x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)) 的三次埃尔米特插值多项式为 :
两点三次埃尔米特插值多项式为 : 其中，
特点：简单直观，但图像质量不高，容易 出现锯齿边缘。
最邻近插值结果演示
源图像
放大6倍图像
双线性内插值
对于一个目的像素，设置坐标通过反向变 换得到的浮点坐标为 (i+u,j+v),其中i，j为非 负整数，u，v为[0,1]区间的浮点数,则这个像 素的值 f(i+u,j+v)可由原图像中的坐标为 (i,j),(i+1,j),(i,j+1),(i+1,j+1)所对应的周围四个 像素的值决定，即
埃尔米特插值结果
三次样条插值
三次样条插值结果
二维图像插值算法
最邻近插值 双线性插值 三次卷积插值
二维最邻近插值
对于通过反向变换得到的一个浮点坐标， 对其进行简单的取整，得到一个整数型坐 标，这个整数型坐标对应的像素值就是目 标像素的像素值。对于从上到下，从左到 右扫描的图像来说，取浮点坐标最邻近的 左上角点对应的像素值。
其中，
s(x)是对s(πx)/x的逼近。
特点：能够克服最邻近插值锯齿形状 和双线性线性插值边缘模糊的缺点。
三次卷积插值结果演示
源图像
放大6倍图像
THANKS!!
c语言插值算法
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Speaker：
插值算法
插值的定义 一维插值算法
Matlab原理与工程应用第二版第五章(函数)
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非线性方程数值求解
函数fzero()求一元函数的零点，其具体使用方法如下：
x = fzero(@fun,x0,options,p1,p2,…) ， 在 x0 点 附 x = fzero(@fun,[x0,x1]) ，在 [x0,x1] 区间内寻找函
近寻找函数的零点；
数的零点；
x = fzero(@fun,x0,options) ，用 options 指定寻找零
subplot(1,3,1); plot(x,y,'ro',xi,yi_nearest,'b-'); title(‘最邻近插值'); subplot(1,3,2); plot(x,y,'ro',xi,yi_linear,'b-'); title(‘线性插值'); subplot(1,3,3); plot(x,y,'ro',xi,yi_spline,'b-'); title(‘三次样条插值');
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8.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积 分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和 上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程， 取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分 值，n为被积函数的调用次数。
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将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确， 命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可见得到了较高精度的结果。
一位插值二维插值
t=[12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25;
20,25,30,33,32,20]
subplot(1,2,1)
mesh(x,y,t)
20,25,30,33,32,20 画出原始网格图和将网格细化为间隔为0.1后的插
1980
226.505 273.706 426.730
1990
249.633 370.281 598.243
试计算1975年时，15年工龄的工作人员平均工资。
解：程序如下： years=1950:10:1990; service=10:10:30; wage=[150.697 169.592 187.652 179.323 195.072 250.287
例3：设有数据x=1,2,3,4,5,6，y=1,2,3,4，在由x， y构成的网格上，数据为：
12,10,11,11,13,15
16,22,28,35,27,20
18,21,26,32,28,25
20,25,30,33,32,20
画出原始网格图和将网格细化为间隔为0.1后的插 值网格图。
yi=interp1(X,Y,xi,method)
该命令用指定的算法找出一个一元函数 y f (x) ，
然后以 f (x) 给出 x 处的值。
xi 可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时， 必须单调，method可以下列方法之一：
‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算； ‘spline’：三次样条函数插值； ‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算
{z1, z2, , zn} ，构造一个解析函数 z f (x, y) （其图形 为一曲面）通过这些点，并能够求出这些已知点以 外的点的函数值，这一过程称为二维插值。
一维插值
一维插值：已知离散点上的数据集，即已知在点集X上对应的函数值Y，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)一些个人经验说明:①关于拟合参数的,X必须是向量,行向量或列向量均可,不可以是复数②Y是向量或矩阵.但必须满足行数与length(X)相同即size(Y,1)==length (X)③针对以上说明的例子function tux=[5 1 2 20 14 21]'y=rand(6,2)%按列计算的xi=linspace(0,21,100);yi=interp1(x,y,xi,'cubic')plot(x,y,'o',xi,yi)size(x)size(y,1)length(x)结果size(x)6 1size(y,1)6length(x)6该命令用指定的算法找出一个一元函数，然后以给出处的值。
xi可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method 可以下列方法之一：‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；‘spline’：三次样条函数插值；‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；‘cubic’：三次函数插值；对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB使用外推的方法计算数值。
%-- 09-4-1 下午8:38 --%%已知数据t=1900:10:1990;p=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,150.697,179.323,203.212,226.505,249.633];x=1900:0.01:1990;%使用不同的方法进行一维插值yi_linear=interp1(t,p,x); %线性插值yi_spline=interp1(t,p,x,'spline');%三次样条插值yi_cubic=interp1(t,p,x,'cubic');%三次多项式插值yi_v5cubic=interp1(t,p,x,'v5cubic');%matlab5中使用的三次多项式插值%绘制图像对比subplot(2,1,1);plot(t,p,'ko');hold on;plot(x,yi_linear,'g','LineWidth',1.5);grid on;plot(x,yi_spline,'y','LineWidth',1.5);title('Linear VS Spline ')subplot(2,1,2);plot(t,p,'ko');hold onplot(x,yi_cubic,'g','LineWidth',1.5);grid on;plot(x,yi_v5cubic,'y','LineWidth',1);title('Cubic VS V5cubic ');%创建新图形窗口figureyi_nearest=interp1(t,p,x,'nearest');%最邻近插值法plot(t,p,'ko');hold onplot(x,yi_nearest,'g','LineWidth',1.5);grid on;title('Nearest Method');%以下是根据拟合估计msg=' year Cubic Linear Nearest Spline'; for i=0:8n=10*i;year=1905+n;pop(i+1,1)=year;pop(i+1,2)=yi_cubic((year-1900)/0.01+1);pop(i+1,3)=yi_linear((year-1900)/0.01+1);pop(i+1,4)=yi_nearest((year-1900)/0.01+1);pop(i+1,5)=yi_spline((year-1900)/0.01+1);endP=round(pop);disp(msg)disp(P)结果如图:由此可见,各种插值的优劣,在速度上,Nearest最快,然后是Linear再到Cubic,最慢的是Spline.但是精度和曲线的平滑度恰好相反,Nearest 甚至不连续~~系统默认的是Linear当然也可以用图形界面更易理解附录： Matlab 样条工具箱(Spline ToolBox)【信息来源教师博客】Matlab样条工具箱中的函数提供了样条的建立，操作，绘制等功能；一. 样条函数的建立第一步是建立一个样条函数，曲线或者曲面。
一维插值实验
上取11个点，作三次样条插值, 观
察三次样条插值曲线与g(x)的误差.
2013-7-9
Gongqu
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用MATLAB作三次样条插值计算
x0=linspace(-5,5,11);
y0=1./(1+x0.^2); x=linspace(-5,5,100); y=interp1(x0,y0,x,'spline'); x1=linspace(-5,5,100); y1=1./(1+x1.^2); plot(x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r');
2013-7-9 Gongqu 上一页 下一页
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范例1：地图绘制问题
X Y X Y X Y X Y X Y
17 299 71 160 307 46 555 95 669 200 18 298 104 150 315 38 542 114 671 207 20 288 130 137 330 32 550 138 677 205 31 273 146 121 352 21 561 139 678 206 41 262 160 117 377 21 574 133 696 216 58 254 163 106 377 16 590 133 720 218 66 234 168 83 392 14 599 139 723 225 72 220 179 64 428 34 610 157 72 207 196 63 462 43 635 162 69 191 223 56 501 46 644 174 57 175 258 50 524 60 649 188 60 166 282 52 533 75 669 200
插值方法
一、插值思想简介
二、一维插值 三、二维插值 四、利用matlab进行插值计算 五、建模实例
一、插值思想简介
插值：最初来源于天体计算的需要，比如，人们得到了
若干观测值，即某个星球在若干已知时刻的位置，需要计 算星球在另一些时刻的位置。所谓插值，就是在若干已知 的函数值之间插入计算一些未知的函数值。
2、分段三次埃尔米特插值 除了要求在插值节点的函数值给定外，还要求在节点处的导数 值为给定值 ：
设函数f(x)在节点x0,x1,…,xn处的函数值为 , y1 ,, y n 。 y0,y1,…,yn，导数值为 y0 求一个分段( 共 n段)多项式函数q(x)，使其满足： q(xi)=yi, ，i=0,1,…,n.
引例1、函数查表问题
求标准正态分布函数值F(2.3456789) 由标准正态分布函数值表可以得到： F(2.34)=0.99036; F(2.35)=0.99061 2.3456789接近2.35，故F(2.3456789)约等于0.99061 在对精度要求较高时，这种处理方法受到质疑
问题：利用一个表格给出的函数值，计算未给出的函数值
参数个数与方程个数 参数：每个小段上4个，n个小段共计4n个。 方程：1) 每个小段上由给定函数值得到2个，n个小段共计2n个 2) 光滑性要求每一个内部节点的一阶二阶导数连续，得 出其左右导数相等，因此，每个节点产生2个方程，共 计2(n-1) 个 。
现在得到了4n-2个方程，还差两个。 为此，常用的方法是对边界节点除函数值外附加要求，这就是 所谓的边界条件。这里需要两个边界条件，正好左右两个端点 各一个。 m边界 条件 给定两个边界点的一阶导数值m0,mn 即 S (x0)=m0, S (xn)=mn。 M边界条件 给定两个边界点的二阶导数值M0,Mn 即 S (x0)=M0, S (xn)=Mn。
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满足 pn ( x j ) y j ( j 0,1, , n) ， 然后用 pn ( x) 计算插值
5.1.2 多项式插值
证明 设 pn ( x) 如(5.1.1)式的形式，记
n x0 n x1 X n x n n x0 1 x0 1 n 1 x1 x1 1 n 1 xn xn 1( n 1)( n 1)
n
否成立. 实际上高次的插值多项式可能会发生严重的 振荡，尤其是在区间[a,b]的左右端点附近. 所以在实 际应用中，多项式插值一般仅适合于结点数目较少、 也就是多项式次数较低的情况.
5.1.2 多项式插值
20 世纪初，德国数学家龙格（Runge）曾给出一 个插值多项式振荡现象的例子： 例 5.1.2（龙格现象） 考虑函数 1 g ( x) , x [5,5] 2 1 x 对任意正整数 n，取划分 5 x0 x1 xn 5 将区 间[−5,5]n 等分，并记 Ln ( x) 是在 x0 , x1 , , xn 逼近 g(x) 而得到的 n 次插值多项式， 则随着 n 的增加，Ln ( x) 在
5.1.2 多项式插值
由(5.1.4)式可见： li ( x ) 都是 n 次多项式，只依赖 于 x j ( j 0,1, , n) ，不依赖于 y j ( j 0,1, , n) ，并且 满足以下两个性质： （1）基性质：
1 , i j li ( x j ) ij 0 , i j
日型至多 n 次插值多项式. 按(5.1.5)式编写函数 M 文件 polyinterp.m，其中 x、y 分别为结点的横、纵坐标向量，长度相同；xi 为待插值点向量， 是求得的插值向量， 与 xi 同型. yi yi
5.1.2 多项式插值
function yi=polyinterp(x,y,xi) n=length(x); m=length(xi); for k=1:m, z=xi(k); s=0; for i=1:n, p=1; for j=1:n if j~=i p=p*(z-x(j))/(x(i)-x(j)); end end, s=p*y(i)+s; end, yi(k)=s; end
5.1.1 引言
在本节，我们将学习三种一维插值方法： （1）多项式插值（polynomial interpolation） ——f(x)为至多 n 次多项式； （ 2 ） 分 段 线 性 插 值 （ piecewise linear interpolation）——f(x)为分段线性函数； （3）三次样条插值（cubic spline interpolation） ——f(x)为二阶连续可导的分段三次多项式.
T T
a a1 , a2 ,, an , an 1 , y y0 , y1 , , yn
则 pn ( x j ) y j ( j 0,1, , n) 即线性方程组 Xa=y (5.1.2) (5.1.2)式恰好有 n+1 个未知数和 n+1 个方程.
5.1.2 多项式插值
由于(5.1.2)式的系数矩阵 X 是范德蒙矩阵，而且 x0 , x1 , , xn 是互异的实数，所以行列式 det(X)≠0，于 是对于任意的实数 y0 , y1 , , yn ，(5.1.2)式都有唯一解 （证毕） a X 1 y . 根 据 定 理 5.1.1 的 证 明 ， 在 理 论 上 只 要 计 算 a X 1 y 就可以得到 pn ( x) 的系数 a1 , , an 1 . 但是在 数值计算上，由于范德蒙矩阵是“病态”的，计算 a X 1 y 可能得不到精确值，而且计算量过大，不是 理想的途径.
(5.1.7)
5.1.2 多项式插值
证明 首先证明(5.1.6)式. 任取一点 x [a, b] . 当 x x j ( j 0,1, , n) 时， (5.1.6)式是自然满足的. 当 x x j ( j 0,1, , n) 时，作辅助函数
n Rn ( x) (t ) g (t ) Ln (t ) n (t ) , n ( x) ( x x j ) n ( x) j 0
5.1.2 多项式插值
已知结点 ( x j , y j ) ( j 0,1, , n) ，并且 x0 , x1 , , xn 是互异的实数，构造至多 n 次插值多项式 pn ( x) a1 x n a2 x n 1 an x an 1 点 x 处的插值 y pn ( x ) . 定理 5.1.1 如果 x0 , x1 , , xn 是互异的实数， 那么 对于任意的实数 y0 , y1 , , yn ，都存在唯一的至多 n 次 多项式 pn ( x) ，使得 pn ( x j ) y j ( j 0,1, , n) . 定理 5.1.1 保证了插值多项式的存在性和唯一性. (5.1.1)
5.1.2 多项式插值
MATLAB 没有提供专门用于多项式插值的函 数，但是函数 polyfit 和 polyval 合用能够实现多项式 插值：n=length(x)-1; yi=polyval(polyfit(x,y,n),xi) 其中 x、y 分别为已知结点的横、纵坐标向量， 长度都是 n+1；xi 为待插值点的数组，yi 是求得的插 值的数组，yi 与 xi 是同型数组. 在例 5.1.1 的脚本中，命令 wi=polyinterp(x,w,xi) 替换成 wi=polyval(polyfit(x,w,5),xi)， 也能计算出相同 结果，而且不需要预先准备 M 文件 polyinterp.m .
5.1.2 多项式插值
注 5.1.1 定理 5.1.2 给出的多项式插值的误差估 计在理论上很有用，例如 5.2 节关于复化梯形求积公 式、数值微分三点公式等的误差估计. 但是，由定理 5.1.2 并不能立即得到多项式插值的收敛性的结论， 即 对给定的某一点 x [a, b] ，不能断言 lim Rn ( x) 0 是
5.1.2 多项式插值
定理 5.1.2 设 g(x)在[a,b]上 n+1 阶连续可导， a x0 x1 xn b ， n ( x) 是在 x0 , x1 , , xn 逼近 g(x) L 而得到的至多 n 次插值多项式. 那么对任意 x [a, b] ， 都存在 (a, b) ，使得逼近的误差
5.1.2 多项式插值
例 5.1.1 已知(0,3)、(1,1)、(3,2)、(6,0)、(8,2) 和(9,4)共 6 个结点， 利用函数 M 文件 polyinterp.m 绘 制 6 个拉格朗日型多项式插值基函数 l0 ( x) , l1 ( x ) ,…, l5 ( x ) 以及插值多项式
其中基函数 li ( x ) 是经过 n+1 个特殊结点 ( x0 , 0) ,…,
( xi 1 , 0) , ( xi ,1) , ( xi 1 , 0) ,…, ( xn , 0) 的 n 次插值多项式. n x xj 可以证明： li ( x) (5.1.4) (i 0,1, , n) j 0, j i xi x j
g ( n 1) ( ) n Rn ( x) g ( x) Ln ( x) (x x j ) (n 1)! j 0
(5.1.6)
记 M n1 sup g ( n1) ( x) ，则
a x b
M n 1 n Rn ( x) x xj (n 1)! j 0
图5.1 拉格朗日多项式插值的基函数
Lagrange插 值 多 项 式 L5=3*l0+1*l1+2*l2+2*l4+4*l5 12
10
8
6
4
2
0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
图5.2
5.1.2 多项式插值
例 5.1.1 解答 绘图的 MATLAB 脚本： x=[0,1,3,6,8,9]; y=[3,1,2,0,2,4]; xi=-1:.01:10; yi=zeros(size(xi)); figure(1) for k=1:6 w=zeros(1,6); w(k)=w(k)+1; wi=polyinterp(x,w,xi); yi=yi+y(k).*wi; subplot(3,2,k) plot(x,w,'ko',xi,wi,'k'), axis([-1,10,-1,2]) end figure(2), plot(x,y,'ko',xi,yi,'k'), axis([-1,10,-1,12]) title('Lagrange 插值多项式 L_5=3*l_0+1*l_1+2*l_2+2*l_4+4*l_5')
第5章
数值逼近模型
5.1节
一维插值方法
5.1.1 引言
常用的数值逼近方法有拟合、插值、数值积分和 数值微分. 插值，通俗的说，就是在若干已知的函数值插入 计算一些未知的函数值. 插值在工程技术和数据处理 等领域有直接的应用，插值还是数值积分、数值微分 等数值计算方法的基础.
5.1.1 引言
一维插值问题： 已知 n+1 个结点 ( x j , y j ) ， 其中 x j 互不相同 ( j 0,1, , n) ， 求任意插值点 x 处的插值 y . 求解一维插值问题的思想：假设结点是由未知的 连续函数 g(x)产生，即 g ( x j ) y j ( j 0,1, , n) ，构造 相对简单的函数 f(x)来逼近 g(x)， 使得 f(x)经过这 n+1 个结点，即满足 f ( x j ) y j ( j 0,1, , n) ，然后用 f(x) 计算插值点 x 处的插值，即 y f ( x ) .
显然 (t ) 在[a,b]上 n+1 次可导，并且有 n+2 个零点 （ x0 , x1 , , xn 以及 x） ，由罗尔（Rolle）定理， ( n 1) (t ) 在(a,b)内至少有一个零点 ξ，从而(5.1.6)式得证. 由 (5.1.6)式，立即得到(5.1.7)式. （证毕）