插值-matlab实验课件
第二章 插值法及其matlab实现 (1)-文档资料
y = a a x a x 0 0 1 0
y = a a x a x 1 0 1 1
y = a a x a x 2 0 1 2
2 20 2 21 2 22
方程组的解是否存在? 若存在解,是否唯一?!
当 x0 , x1 , x2互异时,方程组的解存在且唯一.
注：显然有, 求n 次插值时, 由n +1个点可有n +1个方程, 联立方程组即可求出插值多项式的n +1个系数.
然而,方程组的求解也并不是一件容易的事。
对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从中寻求 规律而得到启发,就有了所谓的拉格朗日插值法(公式)和牛 顿插值(公式).
我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式。
1.2.2 基函数法 首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次式 的一种线性组合. 1 x - x0 x - x1 y0 + y1 = l i ( x ) y i 两点式 P1 ( x ) =
x 0 - x1 x1 - x 0
i =0
l0(x) l1(x) 这里， l0(x)和l1(x)具有如下性质： l0(x0)=1, l0(x1)=0, l1(x0)=0, l1(x1)=1, 显然有l0(x)+ l1(x)≡1. ）即是满足函数表 实质上 l（ ）和 l（ 0 x 1 x
x
y
称为拉氏基函 数 ，满足 li(xj)=ij
x0
1
x1
x
y
x0
0
x1
0
1
的一次插值多项式 ,称l0(x)和l1(x)为以x0,x1为节点的基本插 值多项式，也称为线性插值的插值基函数 。 于是，线性插值即是用基函数的线性组合来构造的.
MATLAB数值实验一(数据的插值运算及其应用完整版)
佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法与数据拟合 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 10 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值 三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出 ｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。
5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。
（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。
7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。
四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。
MATLAB数据拟合与插值PPT课件
% linear interpolation » zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;
% cubic interpolation »plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)
spline ') • t =9.6734，30.0427，31.1755，25.3820
一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组 数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， » h=1:0.1:12;
% estimate temperature every 1/10 hour » t=interp1(hours, temps, h, ' spline ') ; »plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t)
p =-9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是
y = －9.8108x^2 ＋20.1293x－0.0317 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting » z=polyval(p, xi); » plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) » xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')
插值matlab计算方法
KeanL
数学模型外延广阔 潜在巨大意义
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL
KeanL
KeanL i KeanL
7 =?
KeanL KeanL KeanL KeanL KeanL
KeanL 4
KeanL
x
4
9 16
4
KeanL 3
KeanL
KeanL KeanL
p4 ( x3 ) = y0l0 ( x3 ) y1l1 ( x3 ) y2l2 ( x3 ) y3l3 ( x3 ) y4l4 ( x3 ) = y3 p4 ( x4 ) = y0l0 ( x4 ) y1l1 ( x4 ) y2l2 ( x4 ) y3l3 ( x4 ) y4l4 ( x4 )
(x x )
lk ( x ) =
(x
j =0 jk
j =0 jk n
j
k
xj )
解 计 算 方 法
x y
0 2
1 3
2 0
3 -1
试求拉格朗日插值多项式。并求出 x=1.5时的值
计 算 方 法
已知函数y=f(x)的观测数据为
x y
解
0 1
1 2
2 3
试求拉格朗日插值多项式。
p2 ( x ) = 1 ( x 1)( x 2) ( x 0)( x 2) 2 (0 1)(0 2) (1 0)(1 2) ( x 0)( x 1) 3 (2 0)(2 1)
=y
计 算 方 法
1 x = xi , k = i lk ( x) = else 0
Matlab插值法
Matlab插值法实验⽬的：1.Matlab中多项式的表⽰及多项式运算2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法3.⽤多项式插值法拟合数据实验要求：1.掌握多项式的表⽰和运算2.拉格朗⽇插值法的实现（参见吕同富版教材）3.⽜顿插值法的实现（参见吕同富版教材）实验内容：1.多项式的表达式和创建；多项式的四则运算、导数与积分。
2.⽤Matlab实现拉格朗⽇及⽜顿插值法。
3.⽤多项式插值法拟合数据。
实验步骤： 1.多项式的表达式，MATLAB中使⽤以为向量来表⽰多项式，将多项式的系数按照降幂次序存放在向量中。
多项式P(x)的具体表⽰⽅法：的系数构成向量为：。
⽰例如下： 将向量表⽰的多项式⽤字符串输出的通⽤函数⽰例： 例⼦运⾏⽰例： 多项式的加法： 结果是 多项式乘法： 结果是 多项式除法： 多项式导数： 2.⽤Matlab实现拉格朗⽇，拉格朗⽇代码：1 function yi=Lagrange(x,y,xi)2 m=length(x);n=length(y);p=length(xi);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 s=0;7for k=1:n8 t=ones(1,p);9for j=1:n10if j~=k11 t=t.*(xi-x(j))./(x(k)-x(j));12 end13 end14 s=s+t.*y(k);15 end16 yi=s;17 endLagrange 运⾏⽰例： ⽜顿插值法代码：1 function yi=newtonint(x,y,xi)2 m=length(x);n=length(y);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 A=zeros(n);7 A(:,1)=y;8for j=2:n%j为列标9for i=1:(n-j+1) %i为⾏标10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表11 end12 end13 %根据差商表,求对应的⽜顿插值多项式在x=xi处的值yi14 N(1)=A(1,1);15for j=2:n16 T=1;17for i=1:j-118 T=T*(xi-x(i));19 end20 N(j)=A(1,j)*T;21 end22 yi=sum(N); %将x=xi带⼊⽜顿插值多项式，得到的yi的值23 %A 输出差商表24 endnewtonint 运⾏实例： 等距节点的⽜顿向后插值代码：1 function yi=newtonint1(x,y,xi)2 h=x(2)-x(1);t=(xi-x(1))/h;3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';4for k=1:n-15 Y(:,k+1)=[diff(y',k);zeros(k,1)];6 end7 yi=Y(1,1);8for i=1:n-19 z=t;10for k=1:i-111 z=z*(t-k);12 end13 yi=yi+Y(1,i+1)*z/prod([1:i]);14 endnewtonint1 运⾏实例： 等距节点的⽜顿向前插值代码：1 function yi=newtonint2(x,y,xi)2 n=length(x);h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;3 n=length(y);Y=zeros(n);Y(:,1)=y';4for k=1:n-15 Y(:,k+1)=[zeros(k,1);diff(y',k)];6 end7 h=x(n)-x(n-1);t=(x(n)-xi)/h;yi=Y(n,1);8for i=1:n-19 z=t;10for k=1:i-111 z=z*(t-k);12 end13 yi=yi+Y(n,i+1)*(-1)^i*z/prod([1:i]);14 endnewtonint2 运⾏⽰例： 3.使⽤4次⽜顿插值多项式插值，并作图： 解：由4次⽜顿插值多项式， 求上述多项式的系数：（修改newtonint.m代码，得到差商表），代码如下：1 function B=newtonint4(x,y)2 m=length(x);n=length(y);3if m~=n4 error('向量x与y的长度必须⼀致');5 end6 A=zeros(n);7 A(:,1)=y;8for j=2:n%j为列标9for i=1:(n-j+1) %i为⾏标10 A(i,j)=(A(i+1,j-1)-A(i,j-1))/(x(i+j-1)-x(i));%计算差商表11 end12 end13 B=A;14 endnewtonint4 代⼊数据得到差商表：0.98-0.3-0.625-0.2083-0.52080.92-0.55-0.75-0.62500.81-0.85-1.125000.64-1.30000.380000 已知，第⼀⾏的便是插值多项式的系数，代⼊插值多项式： 并作出图像：1 x0=[0.20.40.60.81.0];2 y0=[0.980.920.810.640.38];3 plot(x0,y0,'b-o')4 hold on5 k=0:1:10;6 x=0.2+0.08*k;7for i=1:1:118 y(i)=0.98-0.3*(x(i)-0.2)-0.625*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)-0.2083333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)-0.520833333*(x(i)-0.2)*(x(i)-0.4)*(x(i)-0.6)*(x(i)-0.8);9 end10 plot(x,y,'r-o');11 legend('原图像','4次插值图像');plot3⼩结： 在编写⽜顿插值的代码时，我遇到了超出元组索引的问题。
第5讲MATLAB多项式及插值
第5讲MATLAB多项式及插值
5.1.2 求和与求积
数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方 法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格 式为：
sum(X)：返回向量X各元素的和。 prod(X)：返回向量X各元素的乘积。 sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。 prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。 sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时， 返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。 prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时， 返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
为解决Rung问题，引入分段插值。 第5讲MATLAB多项式及插值
算法分析：所谓分段插值就是通过插值点用折线或低次曲线 连接起来逼近原曲线。
MATLAB实现 可调用内部函数。 ➢ 命令 interp1
功能 ： 一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之 间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其 中函数f(x)由所给数据决定。
t = 1900:10:1990; p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669...
150.697 179.323 203.212 226.505 249.633]; 对应于美国从1900年到1990年的每10年的人口数，求 1975年的人口。由此推断美国1900年到2000年每一年的 人口数，并画出图形。
k1
j1
xxj ) xk xj
jk
MATLAB中没有直接实现拉格朗日算法的函数，我们已经介 绍过该函数的书写：
matlab插值法
和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常
用的插值还有Hermite插值，分段插值和样条插值。
插值法的定义
设 f(x)为[a，b]上的函数，在互异点x0 , x1, ... , xn 处的
函数值分别为 f(x0) , f (x1) , … , f (xn) ,构造一个简单函数 (x) 作为函数 f(x) 的近似表达式y= f(x) (x),使
二次插值的误差 定理 设L2(x)为二次Lagrange插值函数, 若 f (x) ∈C3[a，b] ， 则任给x∈(a ,b),至少存在一点ζ=ζ(x) ∈(a,b),使
R 2 ( x ) f ( x ) L2 ( x ) f ( ) ( x x 0 )( x x1 )( x x 2 ) (1.5) 3!
(xi)＝f(xi) , i＝0, 1, 2, …,n
(1.0)
则称(x) 为关于节点x0 , x1, ... , xn的插值函数；称 x0 , x1, ... , xn 为插值节点；称(xi, f (xi)), i=1,2,… , n 为插值点；f(x)
称为被插值函数。
(1.0)式称为插值条件。这类问题称为插值问题。
提示：因为R2(x0)=R2(x1)=R2(x2)=0,可设
R2 ( x) k ( x)( x x0 )( x x1 )( x x2 ).
作辅助函数
(t ) f (t ) L2 (t ) k ( x)(t x0 )(t x1 )(t x2 ),
易知，x0, x1, x2, x为Ψ(t)的4个零点，在4个点两两组成的区
l1 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) , l 2 ( x) . ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
数值分析实验二(matlab)插值法
实验二插值法实验2.1（多项式插值的振荡现象） (3)实验要求1： (3)程序： .................................................................................................................................................. 3 主函数： .............................................................................................................................................. 3 实验结果： .......................................................................................................................................... 5 实验要求2： .. (6)（1）对：4()1xh x x=+ .................................................................................................................... 6 程序： .................................................................................................................................................. 6 主函数： .............................................................................................................................................. 6 实验结果： .......................................................................................................................................... 8 实验分析 .............................................................................................................................................. 8 （2）对g （x ）=arctan x .................................................................................................................... 8 程序： .................................................................................................................................................. 8 实验结果： ........................................................................................................................................ 10 实验分析 .............................................................................................................................................11 实验要求3： . (11)程序： .................................................................................................................................................11 实验结果： ........................................................................................................................................ 13 实验分析： . (14)实验2.2（样条插值的收敛性） (15)实验要求（一） (15)程序： ................................................................................................................................................ 15 数值实验结果 .................................................................................................................................... 15 实验分析 ............................................................................................................................................ 17 实验要求（二）： .. (17)程序： ................................................................................................................................................ 17 实验总结： . (19)实验2.3 (20)程序： ................................................................................................................................................ 20 运行结果： . (20)实验2.1（多项式插值的振荡现象）实验要求1：程序：M文件：lagrange.mtest1p1.mLagrange函数：%lagrange insertfunction y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end主函数：x1=[-1:1:1];y1=1./(1+25*x1.^2);x2=[-1:0.5:1];y2=1./(1+25*x2.^2);x3=[-1:0.4:1];y3=1./(1+25*x3.^2);x4=[-1:0.25:1];y4=1./(1+25*x4.^2); x5=[-1:0.2:1];y5=1./(1+25*x5.^2); x6=[-1:0.1:1];y6=1./(1+25*x6.^2); x0=[-1:0.01:1];subplot(4,2,1)y7=1./(1+25*x0.^2);plot(x0,y7,'-b')y0=lagrange(x1,y1,x0);y1=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,2)plot(x0,y0,'--b')y0=lagrange(x2,y2,x0);y2=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,3)plot(x0,y0,'-g')y0=lagrange(x3,y3,x0);y3=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,4)plot(x0,y0,'--g')y0=lagrange(x4,y4,x0);y4=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,5)plot(x0,y0,'-r')y0=lagrange(x5,y5,x0);y5=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,6)plot(x0,y0,'--r')y0=lagrange(x6,y6,x0);y6=1./(1+25*x0.^2);subplot(4,2,7)plot(x0,y0,'-y')数值实验结果及分析：图一为原函数曲线。
Matlab插值实验
Matlab插值实验一、实验目的1.熟悉MATLAB的运行环境.2.学会使用MATLAB作图.3.学会使用MATLAB编程.二、实验内容实验一：几何物理中的插值问题1. 轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：0.914, 5.060, 7.772, 8.717, 9.083, 9.144, 9.083, 8.992, 8.687, 7.376, 2.073，计算甲板的面积。
2. 物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如下表求 (1) 物体从位移为0到0.4所做的功；(2) 位移为0.4时的速度是多少？3．火车行驶的距离(路程)﹑速度数据如下，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。
4. 确定地球与金星之间的距离天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？实验二1.山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800） （0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表4.12所示，试作出该山区的地貌图和等高线图。
三、实验环境Windows 操作系统; MATLAB 7.0.四、实验过程 实验一：1. 因为插值点越多，划分越细则，又因为等间距则，当0x ∆→时，我们视插值点的矩形面积为i y x ⨯∆，则总面积为1ni i S y x ==∆∑，8.534x n∆=，则 x=linspace(0,8.534,11);y=[0.914 5.060 7.772 8.717 9.083 9.144 9.083 8.992 8.687 7.376 2.073]; plot(x,y)123456789012345678910cx=linspace(0,8.534,100); s=0;cy=interp1(x,y,cx, 'spline'); for i=1:100s=s+8.534./100.*cy(i);endz =sz =64.74762.x=linspace(0,0.4,5);y=[20 21 21 20 19];plot(x,y)cx=linspace(0,0.4,20);s=0;for i=1:20cy(i)=interp1(x,y,cx(i));s=s+0.4.*cy(i)./20;endz=sz =8.1316(2)假设初始速度为0，则0.4时刻的速度为v=（2*z/m）.^(1./2)（其中m为物体的质量）。
Matlab插值 教学PPT课件
三、 n 次Newton插值公式
给定n+1个插值点(xi, f(xi)), i = 0, 1, 2,…, n, xi互异，
f (x) f (x0 ) (x x0 ) f [x, x0 ], 类似地，有二阶至 n 阶差商的定义得
f [x, x0 ]
f (x) f (x0) x x0
(x−x0)×
于是，
li
(
x)
(x x0) (xi x0 )
(x xi1)(x xi1) (xi xi1)(x xi1)
(x xn) (xi xn )
n
x x j , i 1, 2,
, n (6.1)
j1 xi x j
ji
所以我们得到 n 次Lagrange插值多项式：
.
(x0 x1)(x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
性质 2 各阶差商具有对称性, 即改变差商中节点的次序不会
改变差商的值。设i0, i1, …, ik为0, 1, …, k的任一排列, 则
f [x0 , x1, , xk ] f [xi0 , xi1 , , xik ].
f [x0, x1,
k
, xk ] i0 (xi x0 )
1 (xi xi1)(xi xi1)
(xi xk ) f (xi ).
例如，k = 2时，
(6.3)
f [x0 , x1, x2 ]
f [x0 , x1] f [x1, x2 ] x0 x2
f (x0)
f (x1)
f (x2)
f [x, x0 , x1,
, xn]
f (n1) ( ) , (a, b).
(n 1)!
用MATLAB进行数据插值资料PPT课件
三、插值与拟合的区别和联系
1、联系 都是根据实际中一组已知数据来构造一个能够 反映数据变化规律的近似函数的方法。 2、区别 插值问题不一定得到近似函数的表达形式，仅 通过插值方法找到未知点对应的值。数据拟合 要求得到一个具体的近似函数的表达式。
第7页/共107页
插值
当数据量不够，需要补充，且认定已有数据可信 时, 通常利用函数插值方法。
拉格朗日(Lagrange)插值
特别地:
两点一次(线性)插值多项式:
L1x
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
三点二次(抛物)插值多项式:
L2
x
x x0
x1 x1
x x2 x0 x2
y0
x x1
x0 x0
x x2 x1 x2
y1
x x2
x0 x0
x x1 x2 x1
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预测点和实测点的图形
插值后的图形
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喝两瓶酒的拟合曲线 喝1-5瓶酒的拟合曲线
第4页/共107页
二、基本概念
在实际中，常常要处理由实验或测量所 得到的一些离散数据。插值与拟合方法就是 要通过这些数据去确定某一类已知函数的参 数或寻求某个近似函数，使所得到的近似函 数与已知数据有较高的拟合精度。
h=1:0.1:12;
t=interp1(hours,temps,h,'spline'); (直接输出数据将是很多的)
plot(hours,temps,'+‘)
hold on
plot(h,t,hours,temps,'r:') %作图
matlab插值法
样条插值是一种分段插值方法，它在每个小区间上使用低 次多项式进行插值，同时保证整个插值函数的连续性和光 滑性。
MATLAB中实现插值法
MATLAB提供的插值函数
MATLAB提供了多种内置函数来实现不同类型的插值，如`interp1`、`interp2`、`interp3` 等，分别用于一维、二维和三维数据的插值。
03
二维数据插值方法
网格数据插值
线性插值
基于已知网格点上的数据，通过 线性插值方法计算未知点的值。 这种方法简单快速，但可能不够 精确。
双三次插值
使用周围的16个网格点上的数据 ，构建一个双三次多项式来逼近 未知点的值。这种方法比线性插 值更精确，但计算量较大。
散点数据插值
最近邻插值
将未知点的值设置为距离其最近的已知点的值。这种方法简 单快速，但可能导致不连续的结果。
信号调制与解调中应用
信号调制
在通信系统中，插值法可用于实现信号的调制处理，将基带信号 转换为适合在信道中传输的已调信号。
信号解调
接收端在接收到已调信号后，可以使用插值法对信号进行解调处理 ，还原出原始的基带信号。
符号同步与定时恢复
在数字通信系统中，插值法可用于实现符号同步和定时恢复，确保 接收端能够准确地提取出传输的符号信息。
07
总结与展望
回顾本次课程重点内容
插值法基本概念
插值法是一种通过已知数据点估算未知数据点的方法，广泛应用于 数据分析和科学计算领域。
MATLAB插值法实现
通过MATLAB提供的插值函数，如`interp1`、`interp2`、`interp3` 等，实现一维、二维和三维数据的插值计算。
插值法应用场景
图像修复与增强中应用
matlab数值分析第三章插值
• 一个多项式通常不用拉格朗日形式表示，它更 常见的写成类似
x 2x 5
3
• 的形式。其中简单的x的次方项称为单项式， 而多项式的这种形式称为使用幂形式的多项式。 • 插值多项式使用幂形式表示为
P( x) c1x c2 x ... cn1x cn
n1Βιβλιοθήκη n 2• 其中的系数，原则上可以通过求解下面的线性代 数方程组得到。
3.2 分段线性插值
• • • • 通过两步操作可以绘制出一个简单的图形： 第一步用圆圈在坐标系中标出个数据点plot(x,y,'o'); ， 第二步用直线段依次连接这些数据点plot(x,y'-'); 。 下面的语句执行这样的操作，生成图3-3.
• x = 1:6; • y = [16 18 21 17 15 12]; • plot(x,y,'o',x,y,'-');
3.4 保形分段三次插值
• pchip实际是“分段三次埃米特插值多项式”
（piecewise cubic Hermite interpolating polynominal）的
英文首字母缩写。有意思的是，根据这个名字并不能 确定它到底是哪一种分段三次埃米特插值多项式，因 为样条插值函数实际也是分段三次埃米特插值多项式， 只是对斜率的限制条件不同而已。 • 在这里，我们说的pchip实际上是一个最近才引入 MATLAB、保形的（shape-preserving）且看上去不 错的特定插值函数。它基于一个由Fritsch和Carlson 编写的旧的Fortran程序，在Kahaner、Moler和 Nash的书【33】中可以找到相关的介绍。
V=vander(x) 生成 V = 0 0 1 1 8 4 27 9 然后，输入命令 c=V\y' 计算出插值系数 c = 1.0000 0.0000 -2.0000 -5.0000
用MATLAB进行数据插值课件
目录
• Matlab数据插值简介 • 一维数据插值 • 二维数据插值 • 插值结果的评估与可视化 • 实际应用案例
01
Matlab数据插值简介
Chapter
插值的概念
插值是一种数学方法，通过已知的离散数据点，估算出 未知点的数值。 它基于已知数据点建立一个数学模型，然后利用这个模 型预测新的数据点。
用二维多项式插值处理地理信息数据
总结词
二维多项式插值适用于处理平面上的多变量 插值问题，如地理信息数据。
详细描述
二维多项式插值通过已知的离散数据点，使 用多项式函数进行插值，计算出平面内未知 点的值。在处理地理信息数据时，可以使用 二维多项式插值来预测某个地理位置的气候 、土壤类型等信息。
用样条插值处理股票价格数据
插值可用于数据平滑、预测、图像处理等领域。
插值的应用场景
01
02
03
数据平滑
在处理包含噪声的数据时 ，插值可以帮助消除噪声 ，使数据更平滑。
数据预测
在时间序列分析、金融建 模等领域，插值可用于预 测未来的数据点。
图像处理
在图像处理中，插值可用 于放大图像、修复图像等 任务。
Matlab中的插值函数
布和趋势。
折线图
将原始数据和插值结果绘制成折线 图，便于观察数据的连续性和变化 趋势。
误差图
将原始数据、插值结果和误差绘制 在同一图表中，便于比较和分析。
Matlab中的数据可视化工具箱介绍
01
Matlab自带的数据可视化工具箱提供了丰富的绘图函数和工具，如plot、 scatter、bar等，可用于绘制各种类型的图表。
Chapter
插值结果的评估方法
用MATLAB进行数据插值课件
线性插值
通过两点之间的直线进行插值， 计算简单但精度较低。
非线性插值
使用非直线函数进行插值，如 多项式、样条函数等，精度较
高但计算复杂度也较高。
02
Matlab插值函数
interp1函数
总结词
一维数据插值函数
详细描述
interp1函数用于在一维数据上进行插值。它接受两个参数：x和y，分别表示数 据点的x坐标和y坐标。通过指定新的x坐标，可以计算出对应的y坐标，从而实 现插值。
要点二
详细描述
多维线性插值的基本思想是通过已知点之间的线性关系来 估计未知点的值。在多维空间中，可以使用多个线性方程 来表示已知点之间的关系，然后解这些方程来得到未知点 的估计值。
多维多项式插值
总结词
多项式插值是一种常用的数据插值方法，适用于一维数 据的插值。在多维数据插值中，可以使用多维多项式插 值来估计未知点的值。
多重二次插值
在多个维度上进行二次插 值，适用于各维度间关系 较复杂的情况。
多重样条插值
在多个维度上进行样条插 值，适用于需要平滑估计 的情况。
实际应用中的插值案例
时间序列数据插值
在金融、经济等领域，时间序列数据经常需要进行插值以填补缺 失值。
图像处理中的插值
在图像缩放、旋转等操作中，需要进行插值以平滑图像。
线性插值
通过已知的点对，使用线性函数进行插值，适用 于数据点分布较均匀的情况。
二次插值
使用二次函数进行插值，适用于已知三个或更多 数据点的情况，能够提供更精确的估计。
三次样条插值
通过构建三次样条函数进行插值，适用于需要平 滑插值的情况。
多维数据插值的案例
多元线性插值
在多个维度上进行线性插 值，适用于各维度间关系 较简单的情况。
第二章 插值法及其matlab实现 (1)-文档资料
主讲教师：牛晓颖
河北大学质监学院
第二章 插值（Interpolati物之间的数量关系：函数。 有两种情况： 一是表格形式——一组离散的数据来表示函数关系；另 一种是函数虽然有明显的表达式，但很复杂，不便于研究和 使用。 从实际需要出发：对于计算结果允许有一定的误差，可 以把函数关系用一个简单的便于计算和处理的近似表达式来 代替，从而使问题得到简化。 插值法就是一种基本方法 一般地，构造某种简单函数代替原来函数。
(x - xj ) li (x) = (xi - xj ) ji
n j=0
L ) = li (x )y n(x i
i= 0
n
与 节点 有关，而与 f 无关
拉格朗日 多项式
定理
(唯一性) 满足 P 的 n 阶插值 ( x ) = y = 0 , ... , n i i,i
L ) = li (x )y n(x i
然而,方程组的求解也并不是一件容易的事。
对于线性插值的两种形式解进行适当的分析, 从中寻求 规律而得到启发,就有了所谓的拉格朗日插值法(公式)和牛 顿插值(公式).
我们先来看看如何得到二次拉格朗日插值公式。
1.2.2 基函数法 首先, 线性插值的两点式可看作是两个特殊的一次式 的一种线性组合. 1 x - x0 x - x1 y0 + y1 = l i ( x ) y i 两点式 P1 ( x ) =
1 l0(x)＝ 0(x －x1)(x －x2), 0＝ (x0－x1)(x0－x2) 同理可得 1 l1(x)＝ 1(x －x0)(x －x2), 1＝ (x1－x0)(x1－x2) 1 l2(x)＝ 2(x －x0)(x －x1), 2＝ (x2－x0)(x2－x1) (x -x0)(x -x1) (x -x0)(x -x2) P2(x)= y0 + y1 + y2 (x0-x1)(x0-x2) (x2-x0)(x2-x1) (x1-x0)(x1-x2) 此即二次拉格朗日插值公式, 其中, l0(x), l1(x), l2(x)是满足 (2.1)的特殊(基本)二次插值多项式;称为二次插值基函数. (x -x1)(x -x2)
插值MATLAB
y2
x0 x1 x2 xn
5.2 插值基本原理
分段线性插值 设函数g(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值已知， 为y0,y1,…,yn。求一个分段（共n段）函数q(x)。使 其满足： q(xj)=yj, j=0,1,…,n 这n+1个点（xj,yj） （j=0,1,2,…,n）为 插值节点，q(x)称 为插值函数
4 Y=0 1.2 1.7 2 2.1 2 2 0 0
5
10
15
5.2 插值基本原理
求解插值问题的基本思路 构造一个（相对简单的）函数y=f(x)通过全部节点， 即f(xj)=yj（j=0,1,…,n） f(x)的不同选择构成各种不同的插值方法计算插值， 比如选为多项式函数，就有拉格朗日插值
y* y1
5.2 插值基本原理
2 n=2 n=4 n=6 n=8 n=10 y=1/(1+x 2) 0.5 1.5
1
0
lim Ln ( x) g ( x), 5 x 5
n
-0.5
-1
-1.5 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
lim Ln ( x) g ( x), 3.63 x 3.63
5.2 插值基本原理
问题：给定n+1个节点(x0,y0), (x1,y1),…,(xn, yn)，求 一个三次样条函数S(x)，使其满足： S(xi)=yi, i=0,1,…,n。
如何确定三次样条函数在每一 个小区间上的三次多项式函数 的系数？
5.2 插值基本原理
S(x)={Si(x), x∈[xi-1,xi], i=1,…,n} 应满足的条件： ① Si(x)=aix3+bix2+cix+di (i=1,…,n) ② S(xi)=yi (i=0,1,..,n) ③ S(x) ∈C2[x0,xn] （具有连续的二阶导函数） ④ S’’(x0)=S’’(xn)=0 （自然边界条件）
matlab 插值法
y ( x) l j ( x) y j
j 0
n
20
2.3 插值余项与误差估计
定义: 若在[a,b]上用Ln (x)近似f(x)，则其截断误差 Rn (x)＝f(x)- Ln (x) 称插值多项式的余项。 定理: 设 f(x)在[a,b]上具有n阶连续导数, 且 f (n+1)(x) 存在,节点a ≤ x0 <x1<…<xn≤b，
得关于a0,a1,…,an的n+1阶线性方程组
n a0 a1 x0 an x0 y0 n a0 a1 x1 an x1 y1 a a x a x n y n n n 0 1 n
2014-8-26
10
其系数行列式是Vandermonde行列式
1 lk ( x j ) 0
2014-8-26
j k (j,k=0,1,…,n) jk
19
则称这n+1个n次多项式l0(x), l1(x),…, ln(x)为节点 x0 ,x1,…,xn上的n次插值基函数。
由n=1,2时的讨论可得
( x x0 ) ( x xk 1 )(x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )(xk xk 1 ) ( xk xn )
2014-8-26 11
2、Lagrange插值
2.1 线性插值与抛物插值 1.线性插值：n=1情形 给定插值节点 x0,x1， y0=f(x0)，y1=f(x1). 求线性插值多项式L1 (x)=a0+ a1x，使满足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1. y= L1 (x)的几何意义就是过点(x0, y0)，(x1, y1)的直线。
MATLAB第十一讲插值讲解
定义若1 次多n项式
L j (x)在( j 0个,1,节点, n) n 1
x0 x1 xn 上满足条件
1, l j (xk ) 0,
k j; k j.
( j, k 0,1,, n)
就称这 n 个1 次n多项式 l0 (x), l1(为x),节点, ln (x) x0 , x1,, xn 上的 n次插值基函数.
定理1 在次数不超过 n 的多项式集合 Hn 中，满足条 件的
插值多项式 L (x) H是存在唯一的.
n
n
10
2.2 多项式插值 设在 [a,b]上给定n+1个点
a x0 x1 ... xn b
上的函数值yi=f(xi)(i=0,…n),求次数不超过n 的多项式P(x)，满足P(xi)=yi, (i=0,…n),
x0 ,称x1为,插, xn
值节点，包含节点的区间 [a,称b]为插值区间，求插值函数
P(x) 的方法称为插值法.
7
若 P是(x次) 数不超过 的代n数多项式， 即
P(x) a0 a1x an xn ,
其中 a为i 实数，就称 P为( x插) 值多项式，相应的插值法 称为多项式插值.
若 P为( x分)段的多项式，就称为分段插值. 若 P为( x三)角多项式 ，就称为三角插值.
R1 ( x)
1 2
f
( )2 (x)
1 2
f
( )(x
x0 )( x
x1 ),
(x0 , x1).
当 n 时2，抛物插值余项为
R2 (x)
1 6
f
( )(x
x0 )(x
x1)(x
x2 ),
(x0 , x2 ).
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一维插值实例-1 (II)
例1：interp101.m
x = 0:1:4*pi; y = sin(x).*exp(-x/5); xi = 0:0.1:4*pi; y1 = interp1(x, y, xi, 'nearest'); y2 = interp1(x, y, xi, 'linear'); y3 = interp1(x, y, xi, 'spline'); y4 = interp1(x, y, xi, 'cubic'); plot(x, y , 'o', xi ,y1 ,'g-' ,xi ,y2 ,'r:' ,xi ,y3 ,'k-.', xi, y4, 'b--'); legend('Original', 'Nearest', 'Linear', 'Spline', 'Cubic');
在上述图形窗口中，拖放每个插值点，就可以 看到插值曲线的变化，也同时知道各种插值方 法的特性。
一维插值实例-2 (I)
Interpft命令，可进行基于 FFT（Fast Fourier Transform，快速傅立叶变换）的插 值法
先计算给定插值数据的傅立叶变换，再用 更密集的插值点来进行反傅立叶变换
使用语法为 y = interpft(yi, n)
向量 yi 是一个等距取点的函数值 n 则是等距插值的节点个数
一维插值实例-2 (II)
例2：interpft01.m
x = linspace(0, 2*pi, 11); y = sin(x).*exp(-x/5); xi = linspace(0, 2*pi, 21); yi = interpft(y, 21); plot(x, y, 'o', xi, yi); legend('Original', 'Curve by interpft')
X坐标对其指标（Index）的插值 Y坐标对其指标（Index）的插值
一维插值实例-3 (II)
七个插值点，散布在二维空间，我们可以 用interp1 的 spline 方法，来画出连续光滑 的图形
例3：interp102.m
x = [0 2 4 3 1 2 1]; y = [4 1 1 4 5 2 0]; index = 1:length(x); index2 = linspace(1, length(x), 101); x2 = interp1(index, x, index2, 'spline'); y2 = interp1(index, y, index2, 'spline'); plot(x, y, 'o', x2, y2, '-'); legend('Origianl data', 'Interpolated data');
一维插值实例-3 (III)
原有的7个插值点，插 值产生光滑连续的曲线
在计算机图形学 （Computer Graphics） 中最常见的做法
以少数控制点（Control Points）来代表一个物 体，然后在用插值得到 物体的细节
6 Origianl data Interpolated data
化）的插值法
一维插值实例-1 (I)
Interp1命令，其原理是利用多项式来进行插值 运算
使用语法为 yi = interp1(x, y, xi, method)
向量 x 是插值数据 x 坐标（输入值） 向量 y 是插值数据 y 坐标（输出值） xi 是插值点（输入值，对应输出值值位置） 字串 method 指定使用的方法
一维插值实例-1 (III)
由图可看出， Spline 和 Cubic 所产生的曲线较 光滑，但它们的 计算量比较大
1
Original
Nearest
0.8
Linear
Spline
0.6
Cubic
0.40.20Fra bibliotek-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
四种插值方法比较
计算时间
Nearest
1（短）
Linear
2
曲线光滑度 1（差）
2
所用内存
1（少）
2
Cubic
3
Cubic Spline
4（长）
3
4（好）
4（多）
3
注记
使用 interp1命令
向量 x 必须是严格递增或者递减 元素之间不必等距 xi 的范围必须落在 x 的范围内
如果xi 的范围在 x 范围外， 可用yi = interp1(x, y, xi, method, ‘extrap’) 的方式来 进行外插（Extrapolation），来得到范围外的xi 元 素对应的 yi 值
一维插值实例-1 (IV)
可以拖放插值点，插值曲线会跟着变化
实例 interpAnim01.m Animation of various methods for interpolation 11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Click and drag a sample point to change the curves.
插值法
一维插值
一维插值（1-D Interpolation）
根据一组已知的数据点（包含输入与输出，其中输 入是一维数据，输出也是一维数据）
构造一个连续的函数 算出任意节点的函数值
一维插值的方法很多，MATLAB 提供了两种基 本的方法：
基于多项式的插值方法 基于FFT（Fast Fourier Transform，快速傅立叶变
一维插值实例-2 (III)
插值曲线必须经 过每一个已知的 插值节点
回归曲线则不需 要通过插值节点
插值法适用于噪 音很小的数据
1 Original Curve by interpft
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
6
7
一维插值实例-3 (I)
根据平面上的有限的数据，来描绘出一个 物体的外形，可用一维插值，此时插值数 据会分成两组
5
4
3
2
1
0
-1
0
0.5
1
1.5
2