《材料科学基础》潘金生第九章课后答案

9-1 证明临界晶核的形核功与临界晶核体积的关系为：

∆G=VV∗.∆GG VV2

并证明非均匀形核有同样的关系。

均匀形核：

∆G=−43ππrr3∆GG VV+4ππrr2γγSSSS

其中，∆GG VV=∆GG VV SS−∆GG VV SS=SS VV.∆TT TT mm,∆TT=TT mm−TT,γγSSSS表示固-液相的界面能，LL VV表示单位体积的熔化潜热，数值为正

利用dd∆GG ddrr=0求出临界形核半径

rr∗=2γγSSSS∆GG VV

所以，

∆G∗=−43ππrr∗3∆GG VV+4ππrr∗2γγSSSS

=−VV∗∆GG VV+VV∗.3rr∗.γγSSSS

=−VV∗∆GG VV+VV∗.3.∆GG VV2γγSSSSγγSSSS

=VV∗.∆GG VV2

非均匀形核同理可得：

∆G=VV∗.∆GG VV2ff(θθ)

9-2 写出临界晶核中原子数目的表达式，假设为面心立方晶体。

→临界晶核中原子数目=晶胞数×4（每个面心立方晶胞有4个原思路：晶胞数=临界晶核体积

单个晶胞体积

子）

解：单个晶胞的体积=a3，其中a表示晶格常数，其与原子半径的关系为：α=2√2rr

所以，

单个晶胞的体积=�2√2rr�3=16√2rr3=12√2VVππ(因为单个原子体积V=43ππrr3)

临界晶核的体积=43ππrr∗3=43ππ（2γγ∆GG BB）3

临界晶核中原子数目=晶胞数×4

=临界晶核体积

单个晶胞体积×4

=43ππ�2γγ∆GG BB�3×ππ12√2VV×4

=16√2γγ3ππ2

9VV∆GG BB3

9-3 设想液体在凝固时形成的临界核心是边长为a的立方体，

（1）导出均匀形核时临界晶核边长和临界形核功。

（2）证明在同样过冷度下均匀形核时，球形晶核较立方晶核更易形成。

(1)

∆G=−aa3∆GG VV+6aa2γγSSSS

利用dd∆GG ddaa=0求出临界晶核边长，

aa∗=4γγSSSS∆GG VV

所以，

∆G∗=−aa∗3∆GG VV+6aa∗2γγSSSS

=32γγSSSS3∆GG VV2

(2)因为

∆GG VV=∆GG VV SS−∆GG VV SS=LL VV.∆TT TT mm

所以在相同过冷度下，∆GG VV相同

又因为对球形晶核有

∆G∗==16ππγγSSSS33∆GG VV2

所以，∆GG

球∗<∆GG立∗，故在同样过冷度下均匀形核时，球形晶核较立方晶核更易形成。9-4 假设△H、△S与温度无关，试证明金属在熔点以上不可能发生凝固。

∆H=HH SS−HH SS

∆S=SS SS−SS SS

∆G=∆H−T∆S

当温度为熔点T m时，∆G=∆H−TT mm∆S=0

∆S=∆H TT mm=SS TT mm(LL表示凝固潜热，数值为负值)

∆G=∆H−T∆S

=L−T LL TT mm

=L TT mm−TT TT mm

当温度T高于熔点T m时，∆G>0,故金属在熔点以上不可能发生凝固

9-5 分析下面两图，哪个正确，图中T3>T2>T1,根据结晶理论说明原因，见下图。

因为

∆G=−43ππrr3∆GG VV+4ππrr2γγSSSS

∆GG VV=∆GG VV SS−∆GG VV SS=SS VV.∆TT TT mm,∆TT=TT mm−TT

所以，晶核半径r为定值时，温度T升高→∆GG VV减小→∆G升高，故（b）图正确

9-6 假定镍的最大结晶过冷度为319℃，求在这个温度均匀形核的临界半径和形核功，已知Tm=1453℃，Lm=-18079J/mol，γ=2.25×10-5 J/cm2，摩尔体积为6.6cm3.

∆GG VV=∆GG VV SS−∆GG VV SS=LL VV.∆TT TT mm

LL VV表示单位体积的熔化潜热，数值为正Lm表示凝固潜热，数值为负。所以，

∆GG VV=−LL mm.∆TT VV nn TT mm=−−18079×319

6.6×(1453+273.15)JJ/cccc3=506.11JJ/cccc3

均匀形核临界半径

rr∗=2γγSSSS∆GG VV=8.89×10−8

均匀形核临界形核功

∆G∗=16ππγγSSSS33∆GG VV2=7.45×10−19J

9-7 如下图所示，40%B的合金在细长的熔舟中进行定向凝固，固液相界面保持平直，液相中可以充分混合，凝固中始终保持均匀成分，固相中的扩散可以忽略。试求：

（1）合金的K0值及本实验条件下的K e值，

（2）凝固后金属棒中共晶体所占比例，

（3）合金“平衡”凝固后共晶体所占比例，

（4）若共晶含5%B，解（2）（3）小题。

（1）KK0=CC SS CC LL=3060=0.5,实验条件中液相充分混合，凝固中保持成分均匀，故KK0=KK ee= 0.5（2）共晶时，CC

SS=CC0ff SS KK0−1,ff SS=49,所以共晶占比49

（3）杠杆原理，40−3060−30=13

（4）①CC SS=CC0′ff SS KK0−1,ff SS=1144, 所以共晶占比1144

②无共晶

9-8 上图中含20%的合金在细长的熔舟中进行定向凝固，若凝固速率为1cm/h，D=2×105cm2/s，若要使固液界面保持平直，求液相中的温度梯度。

固液面保持平直，即不能出现成分过冷

G≥R×ccCC0DD×1−KK0KK0=527KK/cccc