高等数学课后习题答案第九章

合集下载

第九章习题答案高数下

作业 9—1一.填空:1.已知D 是长方形域：,10;≤≤≤≤y b x a 且⎰⎰=Dd x yf 1)(σ，则⋅=b adx x f )(2 .解：⎰⎰=Dd x yf σ)(⎰⎰⋅=baydy dx x f 1)(21⎰⋅badx x f )( 故⎰⋅=badx x f )( 22.若D 是由1=+y x 和两个坐标轴围成的三角形域,且⎰⎰⎰⋅=Ddx x dxdy x f 1)()(ϕ,那么.=)(x ϕ)()1(x f x -解：⎰⎰=Ddxdy x f )(⎰⎰-⋅=xdy x f xdx 1010)(⎰⋅-10)()1(dx x f x ⎰⋅=1)(dx x ϕ二、单项选择题：1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心在（-1，1）处，记1I =⎰⎰---12222D xy x y dxdy e;2I =⎰⎰---22222D xy x y dxdy e;3I =⎰⎰---32222D xy x y dxdy e.则1I ，2I ，3I 大小顺序为（ B ）。

A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤2I ≤1I D. 3I ≤1I ≤2I解：因为三个被积函数一样，均为正值，213D D D ⊃⊃，故2I ≤1I ≤3I 2. 设D 是第二象限的一个有界闭区域,且10<<y ，记1I =⎰⎰Dd yx σ3;2I =⎰⎰Dd x y σ32;3I =⎰⎰Dd x y σ321.1I ,2I ,3I 的大小顺序是( )。

A ．1I ≤2I ≤3I B.2I ≤1I ≤3I C. 3I ≤1I ≤2I D. 3I ≤2I ≤1I 解：因10<<y ，故212y y y <<，而03<x ，从而323321x y yx x y <<，选（C ）。

三．利用二重积分定义证明： 1．σσ=⎰⎰Dd （其中σ为D 的面积）解：ini iiDf d σηξσλ∑⎰⎰=→∆=⋅10),(lim 1i ni σλ∑=→∆⋅=11limσσσλλ==∆=→=→∑01lim limini故 σσ=⎰⎰Dd （其中λ是各iσ∆的最大直径）2．k d y x kf D=⎰⎰σ),(⎰⎰Dd y x f σ),( （其中k 为常数）解：=⎰⎰Dd y x kf σ),( ini iif σηξλ∑=→∆1),(lim i ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(limi ni i i f k σηξλ∑=→∆=1),(lim ⎰⎰=Dd y x f k σ),( （k 为常数）四．利用二重积分的性质估计下列积分的值： 1．}10,10|),{(,)(⎰⎰≤≤≤≤=+=Dy x y x d y x xy I 其中Ｄσ解： 10,10≤≤≤≤y x∴2)(0≤+≤y x xy∴⎰⎰⎰⎰≤≤+≤DDd d y x xy 22)(0σσ2．}4|),{(,)49(22⎰⎰≤+=++=Dy x d y x I ２２ｙｘ其中Ｄσ 解：中在D ,422ππσ=⋅=,()22222249499yx y x y x ++≤++≤++2549922≤++≤y x∴ σσσ25)49(922≤++≤⎰⎰⎰⎰DDd y x d即 ππ10036≤≤I五．根据二重积分的性质比较下列积分的大小： 1．⎰⎰⎰⎰++DDd y x d y x σσ32)()(与其中积分区域D 是由圆周2)1()2(22=-+-y x 所围成。

高等数学课后习题答案第九章

高等数学课后习题答案第九章-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN习题九1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ,,343αβγ===的方向导数。

解：(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)cos cos cos u u u uy l x z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππcoscos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=---2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB ==AB 的方向余弦为4312cos ,cos ,cos 131313αβγ=== (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105uyz x uxz yuxy z ∂==∂∂==∂∂==∂故4312982105.13131313u l∂=⨯+⨯+⨯=∂ 3.求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为2222220,x y b xy y a b a y ''+==-所以在点处切线斜率为2.b y a a'==-法线斜率为cos a b ϕ=. 于是tan sin ϕϕ== ∵2222,,z z x y x a y b ∂∂=-=-∂∂∴2222zl a b⎛∂=--=∂⎝4.研究下列函数的极值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2)22()e x y-+;(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程组22360360xyz x xz y y⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).z xx=6x－6, z xy=0, z yy=6y－6在点（0，0）处，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函数有极大值z(0,0)=0.在点（0，2）处，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)点不是极值点.在点（2，0）处，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)点不是极值点.在点（2，2）处，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函数有极小值z(2,2)=-8.(2)解方程组222e(2241)02e(1)0xxxyz x y yz y⎧=+++=⎪⎨=+=⎪⎩得驻点为1,12⎛⎫-⎪⎝⎭.22224e(21)4e(1)2exxxxxyxyyz x y yz yz=+++=+=在点1,12⎛⎫-⎪⎝⎭处,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函数有极小值e1,122z⎛⎫=--⎪⎝⎭. (3) 解方程组22(62)(4)0(6)(42)0xyz x y yz x x y⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Z xx=－2(4y-y2),Z xy=4(3－x)(2－y)Z yy=－2(6x－x2)在点（3，2）处，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函数有极大值z(3,2)=36. 在点（0，0）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)点不是极值点.在点（0，4）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是极值点.在点（6，0）处，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是极值点.在点（6，4）处，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是极值点.(4)解方程组2222()22()222e(1)02e(1)0x yx yx x yy x y-+-+⎧--=⎪⎨--=⎪⎩得驻点P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在点P0处有z=0，而当（x,y）≠(0,0)时，恒有z>0，故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=u e-u由de(1)duzuu-=-，令ddzu=得u=1,当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u >,由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有2222()1()e e x y z x y -+-=+≤.故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -1(5)解方程组(2)0(2)0x y z y a x y z x a y x =--=⎧⎨=--=⎪⎩得驻点为12(0,0),,33a a P P ⎛⎫⎪⎝⎭ z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .故z 的黑塞矩阵为222222ya x y H a x y x ---⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦ 于是122033(),().0233aa a H P H P a a a ⎡⎤--⎢⎥⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭,H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,2733a a a z ⎛⎫=⎪⎝⎭.5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。

中国人民大学出版社第四版高等数学一第9章课后习题详解

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第9章课后习题详解第9章课后习题详解重积分内容概要名称主要内容二重积分定义 =⎰⎰Dd y x f σ),(∑=→∆ni ii i f 1),(lim σηξλ性质①=⎰⎰Dd y x kf σ),(⎰⎰Dd y x f k σ),(②[]=±⎰⎰Dd y x g y x f σ),(),(⎰⎰⎰⎰±DDd y x g d y x f σσ),(),(③=⎰⎰Dd y x f σ),(+⎰⎰1),(D d y x f σ⎰⎰2),(D d y x f σ21D D D +=④σσ=⎰⎰Dd ⑤⇒≤),(),(y x g y x f ⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f σσ),(),(⑥⎰⎰⎰⎰≤DDd y x f d y x f σσ),(),(⑦σσσM d y x f m D≤≤⎰⎰),( ⑧σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰ D ∈),(ηξ计算法利用直角坐标计算把D 写成X 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x baDdyy x f dx d y x f ϕϕσ把D 写成Y 型区域⎰⎰⎰⎰=)()(21),(),(x x d cDdxy x f dy d y x f ψψσ利用极坐标计算⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos (),(θθβαθθθσr r Drdrr r f d d y x f三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==),(),(21),,(),,(y x z y x z D dz z y x f d dv z y x f σ截面法(切片法、先二后一法)⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==zD dcd z y x f dz dv z y x f σ),,(),,(利用柱面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dzrdrd z r r f dv z y x f θθθ),sin ,cos (),,(利用球面坐标计算 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=θϕϕϕθϕθϕd drd rr r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2应用求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}iσ∆，在第i 个小区域上任取一点),(iiηξ，由于),(y x μ在D上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。

高等数学(同济第七版)第九章课后答案

－．《高＂tt雪；＇）( ;r,乞履＞rm习IA全航44， ’ ’i，、、J·．，－一，rr－T令，，、－M－·．‘FEE－’‘．．．．l i··付守年，2－·’、fp····．，．．．、付’创刊令，－2、．四．，。

－H‘．，．JA、。

当”、句，‘－、，．-.----－号ri咱也k fi'l企：，i(r'J ;(,) f尔1’在.i!Iii i ra、2所l'..t全微分r.. l.主R F列的数的全做分：l I ) ：二X)... ...:.. ; (2):=··-:14)u＝‘.， .( 3): sτ兰＝＝：、f叶’.，.I·．·、－= .,ii: ”l' .‘Ez－－－虫”·飞”( I ) I晏为t;_＝（，－干）‘1曹寸、－于）r1r.ii·i i·dz =ι二，I x+ , _ •h，，店，问向f t:l曾il=,l: \－二－.....,..,.h’，：1 2 l I崎＇）.J...＋二二，I‘冉、,1: d‘。

‘1’fr l'..lt、，I‘．“i,)dε =－飞、··．．．．( l、牛＋‘.｝‘ii:_ -J '们飞！－+\1、厅可丁2( 3 > I叫11• , Iv飞＋，－－，－－咱自－－－，电·、，、句’‘‘. t I－－,l:,l 1、·＂l1．．t．．1．．．－F‘｛’. .,..,.,1: ·＝、·,1‘φ. • ,I,A‘.11．，MFa，．’｝iuyt吁《－Itl48 一、o，�舷学’｛第七版）"F筋习忍金’E8ε27.6 一二一一－二I.JO 号i S 2 127. 8 !:, · 12.钊JU 1: l校纷iaF I乎）：内政之佣的地（，j i克i:丁j宫。

高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式：（1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+．（4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式．解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图：（1）)ln(x y z -=；（2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=；（4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+；（2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→；（4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--；（6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+；（2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ；沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ．由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ．解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=，该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=．根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→；（2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→；（3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→；（4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ．（2）法1：令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221．法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ．（3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤，而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ．（4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性．解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =；（2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）；（6）z = （7）22y x xyz +=；（8）arctanx yz x y+=-；（9）yx z u =；（10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂．（2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂．（3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+．（4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++．（5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂．（6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂．（7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂，由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂．（8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-．（9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂，用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂；解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu，所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ．（2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=，当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性．解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂，有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂，由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=．习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+；（2）22z x y =+；（3）xyz e =；（4）yxz tanln =；（5）22y x z u +=；（6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++．（3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂，所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解：设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值．解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数：（1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ；（2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ；（3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ．解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂；（2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂．解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--，（2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，；（2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=；（4）(,,)u f x xy xyz =．解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+．（2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂．证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂，所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂．证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=，注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）：（1）),(y x xy f z +=；（2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂．（2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ：（1）1cos y x y =+；（2）yx y e 2+=；（3）xyy x arctan ln22=+；解（1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、，所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+．（2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=．（3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--，当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ．解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂．（1）21z y xz -=；（2）xyz z y x 2222=-+；（3）22)sin(xyz xyz =；（4）yz z x ln =．解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，．法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2，方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂，方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222，即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂．（4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=，方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解：令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ．证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ．解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2，方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解：令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z，即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---．法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数：（1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ．（2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ，得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂．方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ，与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=；（2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=；（3）)2(e ),(2y y x y x f x++=；（4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值．解：由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，，因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和使得z y x u 23=为最大. 解令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(，故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ．设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、，根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

高等数学课后习题答案--第九章

9. 设 x n ＞0，
10. 讨论下列级数的收敛性(包括条件收敛与绝对收敛)
182
⑴ ⑶ ⑸ ⑺ ⑼
x sin ; n n =1 ∞ n (−1) n −1 n −1 ; ∑ 3 n =1 n +1 ∞ (−1) ( x > 0 ); ∑ n =1 n + x
∑ (−1)
∞
n +1
⑵ ⑷ ⑹ ⑻ ⑽
180
(4) (6)
∑
∞
∞
n =1 ∞
∑
n =1
ln n ln n 1 ln n 1 n 1 , = = 3 . 收敛; < 2 2 n n n n n n n2 1 1 1 , < , 收敛; n ln (n + 2) ln(n + 2) 2
n
(5)
收敛;
(7) (8) (13) (14)
∑ (
n =1
n −1
)
n
发散
由于 lim (10
a −1
1 n
n →∞
= ln a , 而 n n − 1 > n a − 1 ;
(11)
发散;
∑
n =1
∞
∞
∑
n =1
( n + 1 − n − 1 ), ( n + 1 − (2n − n + 1 − n − 1) = (n −
2 2 2 2 2
(9) 收敛;
收敛;
5.利用级数收敛的必要条件，证明： nn (1) lim = 0， (2) n →∞ ( n !) 2
∞
n →∞
lim
( 2 n) ! = 0. 2 n ( n +1)

高等数学第九章习题解答

习题9.11. 计算曲线积分22(),LI x y ds =+⎰其中L 是中心在(,0)R 、半径为R 的上半圆周.解由于上半圆周的参数方程为(1cos )sin x R t y R t=+⎧⎨=⎩(0),t π≤≤ 所以 I 22()Lx y ds =+⎰22220[(1cos )sin ]R t R t π=++⎰32(1cos )Rt dt π=+⎰32[sin ]R t t π=+32.R π=2.计算半径为R , 中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度1ρ=).解取坐标系,则2.LI y ds =⎰为计算方便, 利用L 的参数方程cos ,x R t =sin y R t =().t αα-≤≤故 2LI y ds =⎰22sin R ααθ-=⎰32sin R tdt αα-=⎰3sin 222R t t αα-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 3(2sin 2)2R αα=-3(sin cos ).R ααα=- 3. 计算Lyds ⎰, 其中积分弧段L 是由折线OAB 组成, 而(1,0),A (1,2).B解在OA 上，0,y =,ds dx = 所以 0.OAyds =⎰在AB 上，1,x =,ds dy =所以AByds ⎰2ydy =⎰ 2.=从而OAByds ⎰yds yds =+⎰⎰02=+ 2.=4.LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解 L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是24cos I ππθ-=⎰24cos (1d ππθθ-==⎰． 5.(1)Lx y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 13(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA，而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ===．故xyoABC1(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则103(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰．综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ 6.2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤ds =2dt =，故12 000220x yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则 ,ds dt == 故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t ===+(01)t ≤≤，则ds =，故11222 0 012(2) (2)CD x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰所以 2222 L AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds =++=⎰⎰⎰⎰7. 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2LM x ds =⎰，其中:ln (0)L y x a x b =<≤≤．则L 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩ (0)a x b <≤≤，故ds ===，所以3221[(1)]3b aaM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．习题9.21 设L 为xOy 面内一直线=y b （b 为常数），证明(,)0=⎰LQ x y dy 。

《高等数学》同济第六版第9章答案

1 得C = 0 ， 9 1 1 故所求的特解为: y = x ln x − x 3 9
代入初始条件 y (1) = − 11．求下列微分方程的通解（1） y′′ − 4 y′ + 3 y = 0 （3） y′′ − 4 y′ + 4 y = 0 解：（1）特征方程为（2） y′′ − 4 y′ = 0 （4） y′′ − 4 y′ + 5 y = 0
x )dy = 0 y
解：（1）原方程可化为: 3
dy x 2 y = + , 这是齐次方程. dx y 2 x
设u
=
y dy du ,由 y = xu 得 =u + x⋅ dx dx x
3u 2 1 du = dx 代入原方程并分离变量得： 3 x 1 − 2u
两边积分得： −
3
1 ln 1 − 2u 3 = ln x + ln C1 2 1 C 3 ，即 1 − 2u = 2 ， 2 2 C1 x x
3 3 ⎤ ∫ y dy ⎡ y − ∫ y dy x=e dy + C ⎥ ⎢∫ − e ⎢ ⎥ ⎣ 2 ⎦
y 1 1 y2 = y 3 ( ∫ − ⋅ 3 dy + C ) = y 3 ( + C ) = Cy 3 + 2 2 y 2y
10．求微分方程 xy′ + 2 y = x ln x 满足 y (1) = − 解：原方程化为将 P ( x) =
有⎨
⎧ C1 = 0 解得 C1 = 0, C2 = 1 . C + 2 C = 1 ⎩ 2 1
写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程．
4
（1）曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标的 5 倍. (2) 曲线在点 ( x, y ) 处的切线斜率等于该点横坐标与纵坐标乘积的倒数. 答案．(1) y ′ = 5 x (2) y ′ =

高数答案第9章

第9章（之1）（总第44次）*1．微分方程7359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．*2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了x C x C y 2sin 12cos 2++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．*3．在曲线族 xxec e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由xxe c e c y -+=21， xx ec e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(21x x e e y --=，即x y sinh =．*4．证明：函数y e x x =-2333212sin 是初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x yx y 的解．证明 '=-+--y e x e x x x 3332321212sin cos ，''=----y e x e x x x 3332321212sin cos ，代入方程得 ''+'+=y y y 0，此外，，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-2333212sin 是初始值问题的解．*5．验证y e e t Ce x t xx=+⎰20d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y ye x x 2的通解．证明 '=+⋅+⎰y ee t e e Ce xt xx x x 220d =++ye x x 2，即 2x x e y y +=-'，说明函数确实给定方程的解．另一方面函数y ee t Ce xt x x=+⎰2d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．**6．求以下列函数为通解的微分方程：（1）31+=Cx y ；解将等式31+=Cx y 改写为13+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='23，代入上式，即可得到所求之微分方程为1332-='y y xy ．（2）xC x C y 21+=．解因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得221x C C y -='，322xC y =''．从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为02=-'+''y y x y x ．**7．建立共焦抛物线族)(42C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．解在方程)(42C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．解任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dxdy ．所以过点),(y x 的法线斜率为y '-1，法线方程为y Y -=y '-1)(x X -，因为法线过原点，所以=-y 0y '-1)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．第9章（之2）（总第45次）教学容：§9.2 .1可分离变量的方程； §9.2 .2一阶线性方程**1．求下列微分方程的通解：（1）21)1(x y x y +-='；解：分离变量21d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x xx y y ，得C x y ln )1ln(21)1ln(2-+=--，即211xC y +-=．（2）222y x e yx y -='；解：分离变量x xe y ye x y d d 222=，两边积分就得到了通解)d (21222x e xe e x x y ⎰-=c e xe x x +-=)21(2122．（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．解： 12d 42d +-=-x xe y e y y ，C x e y ln 21)12ln(21)2ln(21++-=-，即 ()()e x C y-+=221．**2．试用两种不同的解法求微分方程xy y x y +--='1的通解．解法一（可分离变量方程的分离变量法）这是一个一阶可分离变量方程，同时也是一个一阶线性非齐次方程，这时一般作为可分离变量方程求解较为容易．分离变量，)1)(1(y x y --='，x x y y d )1(1d -=-，并积分 x x y yd )1(1d -=-⎰⎰ 得c x x y +-=--221)1ln(，所求通解为 x x ce y -+=2211．解法二（线性方程的常数变易法）将原方程改写为x y x y -=-+'1)1(，这是一个一阶线性非齐次方程．对应的齐次方程为0)1(=-+'y x y ，其通解为○1x x e C y -=221．代入原非齐次方程得x e C x x -='-1221，解得○2C eC x x +=-221，○2代入○1即可得原方程的通解xx Cey -+=2211．*3．求解下列初值问题：（1）21x yy -='，6)21(πe y -=．解：Θy '=21xy -，∴21d d xx y y -= (0≠y )， 21d d xx y y -=⎰⎰，∴C x y +=arcsin ln ， ∴ x Ce y arcsin =，Θπ6)21(e y -=，∴21arcsin 6Ce e =-π，∴1-=C ， ∴ x e y arcsin -=．（2）22x e xy y -=+'，1)0(=y ；解: Θ22x e xy y -=+'， x x p 2)(=∴，2)(x e x q -=，=∴)(x y ⎰-xx ed 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 222x e -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰-C dx e e x x x d 2222x x Ce xe --+=， Θ 1)0(=y ， 101=⇒+=∴c c ， 2)1(x e x y -+=∴．（3）xex y y cos cot =+'，1)2(=πy ；解： Θ xex y y cos cot =+'， ∴x x P cot )(=，xex Q cos )(=．∴ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x C y xx x x x d e e e d cot cos d cot )d e e (e sin ln cos sin ln ⎰+=-x C x x x)d sin e (csc cos ⎰+=x x C x x x C xcsc )e(cos -=，由1)2(=πy ，可确定 2=C ，所以x y x csc )e 2(cos -=．（4）0d )12(d 2=+-+x x xy y x ，01==x y ．解：方程变形为 2112xx y x y -=+'，是一阶线性非齐次方程，其通解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=⎰-dx ex x c e y dx x dx x 222)11( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰dx x x x c x 222)11(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=x x c x22211x xc 1212-+= 由 0)1(=y ，得 21=c ，所以特解为：x xy 121212-+=．**4．求微分方程 0d )ln (d ln =-+y y x x y y 的通解（提示将x 看作是y 的函数）．解：将x 看作是y 的函数，原方程可化为yx y y dy dx 1ln 1=+，这是一阶线性方程，将其中yy Q y y y P 1)( ,ln 1)(==代入一阶线性方程求解公式，得通解 1e 1)ln(ln )ln(ln ln 1ln 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰⎰--dy e y c dy ey c e x y y dy y y dy y y y y c dy y y c y ln 21ln ln ln 1+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰．**5．求满足关系式)(d )(22x y x u u uy x +=⎰的可导函数)(x y ．解：这是一个积分方程，在方程等式两边同对x 求导，可得微分方程xy x x y x()d d =+2，即d d yxxy x -=-2，分离变量得d d y y x x -=2，积分得y Ce x =+222，在原方程两边以2=x 代入，可得初试条件22-==x y．据此可得14--=e C ，所以原方程的解为 24122+-=-x e y ．**6．设降落伞自塔顶自由下落，已知阻力与速度成正比（比例系数为k ），求降落伞的下落速度与时间的函数关系．解：根据牛顿运动第二定理有kv mg tvm -=d d ．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得--=+1k mg kv tmC ln()．由初始条件0)0(=v ，得)ln(1mg k C -=，即得 v mg k e kmt =-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1．**7．求一曲线，已知曲线过点)1,0(，且其上任一点),(y x 的法线在x 轴上的截距为kx ．解：曲线在点(,)x y 处的法线斜率为y '-1，所以法线方程为Y y y X x -=-'-1()．只要令0=Y ，就可以得到法线在x 轴上的截距为 y y x X '+= ．据题意可得微分方程x yy kx +'=，即x k y y )1(-='．这是一个可分离变量方程，分离变量并积分得所求曲线C x k y =-+22)1(，由于曲线过点)1,0(，所以1=C ，所以所求曲线方程为 y k x 2211+-=()．***8．求与抛物线族2Cx y =（C 是常数）中任一抛物线都正交的曲线（族）的方程．解：在给定曲线2cx y =上任意一点),(y x 处切线斜率为cx y k 20='=，从上面两式中消去c 得x y y k 20='=，这样就得到了给定曲线族所满足的微分方程xyy 2='．设所求曲线方程为 )(x y y =，在同一点),(y x 处切线斜率为y k '=，则根据正交要求有10-=k k ，这样就得到了所求曲线族应该满足的微分方程yx y 2-='．这是一个可分离变量方程，分离变量xdx ydy -=2，积分得所求曲线族c x y +-=2221，即椭圆族c x y =+2221． ***9．作适当变换，求微分方程 1224+-='-x e y y的通解．解原方程可化为4122=++'y ye x y e ，在换元y e z =下方程可化为4122=++'x zz ，这是一个一阶线性方程，其通解为⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎰+⎰+-⎰x eC ez x xx xd 412d 212d 2}44{1212x x C x +++=．***10．作适当变换，求微分方程 d d tan y x y x y y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪2122的通解．解：令ux y =2，代入方程整理得 xxu u d tan d =，积分得 Cx u =sin ，以 x y u 2= 代入上式，即得原方程的通解： Cx xy =2sin ．第9章（之3）（总第46次）教学容：§9.2 .3齐次型方程；9.2.4伯努利方程．**1．求下列微分方程的通解：(1) )ln ln 1(d d x y xyx y -+=；解： Θ )ln ln 1(d d x y x y x y -+=， ∴ dx dy =x y (1+xyln )，这是一个一阶齐次型方程．令 xyu =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为u u u x ln ='．这是一个可分离变量方程．分离变量x dx u u du =ln ，并积分⎰⎰=xdxu u du ln ，得c x u ln ln ln ln +=，即cx e u =．以 xy u =代入，得所求的通解为cxxe y =．（2）()arctan xy y yxx '-=．解：方程可化为xy xy y arctan1+='，这是一个一阶齐次型方程．令 x y u =，则 ux y =，即u x u y '+='，于是原方程可化为ux u x arctan 1d d =，这是一个可分离变量方程．分离变量后积分得 x u Ce u u 12+=arctan ．以 xy u =代入上式得原方程的通解：x y Cey x yx 22+=arctan ． **2．求解下列初值问题：（1）0d )2(d 22=+-y y x x xy 满足初始条件 1)2(=y 的特解．解: Θ 0d )2(d 22=+-y y x x xy ，dy dx =x y y x +2，令 yxu = ，则 u u dy du yu 12+=+， u u du 1+=y dy ， ∴⎰+uu du 1=⎰y dy，c y u ln ln )1ln(212+=+∴， cy u =+∴12，即 2221y c u =+ ，代回即得22y x +1=22y c ， 1)2(=y Θ， ∴52=c ，因此 22y x +=54y ．（2）⎩⎨⎧==-++=.0,0d )(d )(0x y y y x x y x解：原方程可表为11d d -+=-+=x y x yx y y x x y ，令 x y u =，u x u y '+='，代入方程，有 11-+='+u uu x u ，即 121d d 2--+=u u u x u x ，分离变量x x u uu u d 1d 2112=-+-，积分得 C x u u ln ln )21ln(212-=-+- ⇒通解 C y xy x =-+222，令 0,0==y x ，得 0=C ．所以初值问题的解为 0222=-+y xy x ．***3．试证明：当1221b a b a ≠时，总能找到适当的常数h ，k ，使一阶微分方程)(222111c y b x a c y b x a f y ++++='在变换k y s -=，h x t -=之下，可化为一阶齐次型方程)(d d 2211sb t a s b t a f t s++=．并求方程 0d )32(d )12(=++++y y x x y x 的解．证明：令⎩⎨⎧+=+++=++s b t a c y b x a sb t ac y b x a 2222211111 1221b a b a ≠Θ，∴可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=1221122112212112b a b a c b c b x t b a b a c a c a y s 因此可取：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112212112b a b a c b c b h b a b a c a c a k解：0)32()12(=++++dy y x dx y x Θ，令⎩⎨⎧-=+=32x t y s ⎩⎨⎧==⇒x t ys d d d d[][]0)2(3)3(21)2(23=-++++-++∴ds s t dt s t ，()0)32(2=+++ds s t dt s t ，ts t sdt ds dtdst s t s 32210)32(21++-=⇒=+++⇒，令dt dutu dt ds t s u +=⇒=， 23)1)(13(3221+++-=⇒++-=+∴u u u dt du t u u dt du t u ， ⎰⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∴-=+++⇒t dtdu u u t dt du u u u )13(23)1(21,)1)(13()23(， c t u u ln ln )13)(1ln(21+-=++即，c tst s t ct u u =++⇒=⋅++∴)13)(1()13)(1(，c x xy x y c x y x y x 243)3631)(321()3(22=+++⇒=-++-++-∴．**4．求下列微分方程的通解（1）0ln 2=+-'x y y y x ；解： 0ln '2=+-x y y xy Θ xxy x y y ln 1'12-=-∴-- 令x x t x dx dt y t ln 11=+⇒=-， ,ln )Q( ,1)(xx x x x P ==∴ln 1 d ln )(d 1d 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=∴⎰⎰-xdx x x C x x e x x C e x t x x x x1ln C )ln (C 11-+=-+=---x x x x x x x x ， 111ln --+-=Cx x y ．（2）0d d )2(=+-y x x xy y ．解： Θ 0d d )2(=+-y x x xy y ， x y d d +y x 1=212y x， y y '-21+211y x =x 2， 21y u =，x u d d +x 21x u 1=， ∴x x P 21)(=，xx Q 1)(．∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+⎰=⎰-x e x C e x u x x x x d 1)(d 21d 2121-=x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰x x x C d 121[]x C x +=-21， ∴ []x C xy +=-2121， ∴xC x y +=．（3）'=-y y xy x 3222()解一：令u y =2，原方程化为： d d u x u x u x =⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪-21，解此方程得 u Ce u x =，以u y =2代入上式，原方程通解为 y Ce y x22=．解二：原方程写成d d x y y x yx -=-2232，令x z -=1，则方程化为：322d d yz y y z =+，则通解 z eC y e y yy y y =+⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥-⎰⎰⎰2322d d d ]ln 2[12y C y+= ，故原方程通解：1122x yC y =+[ln ]． **5．求下列伯努力方程满足初始条件的特解：yxy y 2-='，1)0(=y ．解：x y yy', xy y y 22'21-=-∴-=-Θ，令 x t dxdty t 42 2-=-⇒=， x x Q x P 4)( ,2)(-=-=∴， []12010211)0(1212 )]2[ d 4 d )4()(2022222222d 2d 2+=∴=⇒++⨯=∴=++=∴++=++=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-+⎰=∴----⎰⎰x y C Ce y Ce x y x Ce e xe C e xxe C e x e x C e x t xx x x x x x x x，Θ****6．作适当的变换求方程 12222212+⋅'=++x y y x y e x sin sin 的通解．解：原方程化为：12222212+=++x yxx y e x d sin d sin ，令z y =sin 2，得d d z x x x ze x x -+=++21122122，故 ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++=⎰⎰+-+⎰+x exeC ez xx x x x x x d 1d 12212d 12222)1ln(2121222x x eCex x +++=++原方程的通解为 sin ln()221212221y Ce e x x x x =+++++．***7．已知)(2d )(1)(2202x y x y y x+='+⎰ξξξ，求y x ()．解：两边关于x 求导得212yy y '-=-，解得 y Ce x 21=+，由yx ==00，求得C =-1，故原方程的解为：y e x21=-．***8．曲线过点(,)11，其上任一点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点的曲线的法线在x 轴上的截距乘积的两倍，求曲线方程．解：x y x x yy y 22211+=+'=(),(), 212yy xy x '-=- 令y z 2=，解得z y x C x ==-2()由y ()11=，得 C =2，曲线方程为： x y x 222+=．***9．根据托里斥利定律，液体从容器小孔中流出的速度为 gh A v 2α=，其中 g 为重力加速度，h 为液面与底部孔口之间的距离，A 为孔口面积，α为孔口收缩系数，实验确定其取值为 62.0=α．现有一直径为1m ，高为2m 的直立圆柱形容器，其中盛满的水从底部直径为1=d cm 的圆孔流出，要多长时间容器的水才会完全流尽？解：设在时刻t 时，容器中液面高度)(t h ，则经过t ∆后液面高度为)(t t h ∆+，于是有t t gh A t t h t h r ∆=∆+-)(2))()((2απ，即 22)()(rghA t t h t t h πα=∆-∆+-，令0→∆t ，得⎪⎩⎪⎨⎧==-200)0(2d d 2h gh r At h πα解得 200222+=t g rAh πα，代入0=h ， 980=g ， 50=r ， 4π=A ， 62.0=α，得10304=t （秒）．第9章（之4）（总第47次）教学容：§9.3可降阶的高阶微分方程**1．解下列问题：（1）．微分方程'+''=''y y xy 满足条件'==y y (),()2121的解是（）（A ）y x =-()12（B ）y x =+-()122142（C ）y x =-+121122() （D ）y x =--()12542解：（C ）（2）．微分方程''-'=y yy 203满足条件'=-=y y (),()0101的解是（）（A ）y x 3313=+（B ）x y 331=- （C ）y x 3313=-+（D ）x y 331=-+ 解：（C ）**2．求下列微分方程的通解．（1）0='+''y y x ；解： Θ 0='+''y y x 是一不显含因变量y 的二阶方程，令 y p '= ⇒ y ''x p d d =∴0=+'p p x ， ⇒p p d =xxd -，⇒⎰⎰-=x xp p d d ⇒ 1ln ln ln C x p +-= ⇒xC p 1=， ∴=xy d d x C 1， x x C y d d 1=， ⎰⎰=x x C y d d 1 ，21ln C x C y +=．（2）()1212+''+'=x y xy ；解：''++'=+y x x y x 211122， '=++y x x C 1121()， y x C x C =+++121212ln()arctan．（3）()02='+''y y y ；解：∵()02='+''y y y ，令 y p '=，则 yppy d d =''，代入方程有 0d d 2=+⋅⋅p ypp y ， 0)d d (=+⋅⇒p ypy p ，因为求通解，所以 p 满足 0d d =+⋅p ypy ．由⎰⎰-=⇒-=y yp p y y p p d d d d ， y C p C y p 11ln ln ln '=⇒+-=⇒， ⎰⎰'=⇒'=⇒'=⇒x C y y x C y y yC x y d d d d d d 111 212C x C y +=⇒． ∴ 通解：212C x C y +=．（4）()1222+''='y y yy解：令：'=''='y p y y pp (),，得()1222+⋅'=y p p p y ，即d d p p yy y =+212，得 p C y =+121()，所以 d d yyC x 121+=，通解为：arctan y C x C =+12．第9章（之5）（总第48次）教学容：§9 .4 .1二阶线性方程和解的存在性；§9 .4 .2二阶线性方程解的结构**1．若21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的两个解，试证12y y - 必是其对应齐次方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．证明：因为21,y y 是方程)()()(x R y x Q y x P y =+'+''的解．所以成立下式：)2()()()()1()()()(222111x R y x Q y x P y x R y x Q y x P y =+'+''=+'+''将 (1)、(2) 两式相减，得)3(0))(())(()(212121=-+'-'+''-''y y x Q y y x P y y(2) 式可写为0))(())(()(212121=-+'-+''-y y x Q y y x P y y ，所以 21y y - 是齐次方程 0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．***2．已知23211,1,1x y x y y +=+==是方程22222xy x y x y =+'-''的三个特解，问能否求出该方程得通解？若能则求出通解来．解：按（1）证明可知 21312,x y y x y y =-=- 分别是其对应齐次方程0222=+'-''y xy x y 的解，并且线性无关，所以221x C x C + 为齐次方程的通解．所以原方程的通解可以表示为：1221++=x C x C y ．*3．验证：22,t t e e -是微分方程''-'-=x tx t x 1402的两个线性无关特解，并求此方程的通解．证明：因为()()222241t t t e t e t e -'-"0421********=-⨯-+=t t t t e t te te t e ，()()2222"41t t t e t e t e ----'-=-+-⨯--=--241240222222e t e tte t e t t t t ()，故22,t t e e -是方程的解，且≠=-2222t t t e ee 常数．于是22,t t e e -是方程线性无关的解（构成基本解组），故方程的通解为2221t t e C e C x -+=，其中21,C C 为任意常数．*4．已知函数 x y e y x==21, 是方程 0)1(=-'+''-y y x y x 的两解，试求该方程满足初始条件 0)0(,1)0(='=y y 的特解．解：方程的通解为 x c e c y x21+=，将初始条件代入，有：，，0)0('1)0(21211=+=+===c c c e c y c y x解得21,c c 为： 1,121-==c c ，所以特解为：x e y x -=．**5．设x t 1()是非齐次线性方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1211的解．x t 2()是方程''+'+=x t a t x t a t x t f t ()()()()()()()1222的解．试证明 x x t x t =+12()()是方程''+'+=+x t a t x t a t x t f t f t ()()()()()()()()12123的解．解：因为)(2),(1t x t x 分别为方程（1）和方程（2）的解，所以)1()()()()()()(112111'≡+'+''t f t x t a t x t a t x''+'+≡'x t a t x t a t x t f t 2122222()()()()()()()()()12'+'得：()()())()()()()()()()()()(2121221121t f t f t x t x t a t x t x t a t x t x +='++'++"+即 x x t x t =+12()() 是方程（3）的解．第9章（之6）（总第49次）教学容：§9 .4 .3二阶线性常系数方程的解法**1．解下列问题：（1）方程08=+''y y 的通解为=y _______________．解：x c x c y 22sin 22cos 21+=．（2）方程025'6"=++y y y 的通解为=y _______________．解：)4sin 4cos (213x c x c e y x+=-．（3）方程0158=+'-''y y y 的通解为=y _______________．解：x xC C y 5231e e +=．（4）方程031525=+'+''y y y 的通解为=y _______________．解：)(21515C x C e y x +=-．（3）方程06=+'+''py y y 的通解为)2sin 2cos (e 21x C x C y kx+=，则=p ___，=k _____．解：11，3-．**2．求解下列初值问题：（1）0)1(,)1(,01684='==+'-''y e y y y y ；解：∵0)4(16822=-=+-λλλ， ∴421=，λ，通解为：xe x c c y 421)(+=．将初始条件代入，有 4421)()1(e e c c y =+=，04)(4)(4)1('4424214242142=+=++=++=e e c e c c e c e x c c e c y x x得到：4521-==c c ，所以特解为：x e x y 4)45(-=．（2）3)2(,1)2(,0294='==+'+''ππy y y y y ；解：02942=++λλ， i i5221042116164±-=±-=-±-=λ，通解为：)5sin 5cos (212x c x c ey x+=-．代入初始条件有： πππe c c ey =⇒=+=-221)0()2(，)5cos 55sin 5()5sin 5cos (2)2(212212x c x c e x c x c ey x x+-++-='--π，得：πe c -=1．特解为：)5sin 5cos (2x x e y x+-=-π．（3）10)0(,6)0(,034='==+'+''y y y y y ；解： 0342=++λλ， 0)3)(1(=++λλ，所以通解为 x xe c e c y 321--+=．代入初始条件有：6)0(21=+=c c y ，1033)0('21321=--=--=--c c e c e c y x x ，特解为：x xe ey 3814---=．**3．求解初值问题'++==⎧⎨⎪⎩⎪≥⎰y y y x y x x210100d ()解：将原方程对x 求导得 ''+'+=y y y 201()且有'=-=-y y ()()01201微分方程（1）的通解为：y e C x C x =+-()12，代入初始条件1)0(,1)0(-='=y y ，得1,021==C C ，故所求问题的解为：xe y -=．***4．设函数)(x ϕ二阶连续可微，且满足方程⎰-+=xu u u x x 0d )()(1)(ϕϕ，求函数ϕ()x ．解：原方程关于x 求导得⎰⎰=-+='xxu u x x x x u u x 0d )()()(d )()(ϕϕϕϕϕ,0)0(='ϕ，再求导得： )()(x x ϕϕ=''，且由原方程还有：1)0(=ϕ，微分方程的通解为： xxeC e C x -+=21)(ϕ，代入条件0)0(,1)0(='=ϕϕ，得2121==C C ，故所求函数为：x e e x x x ch )(21)(=+=-ϕ．***5．长为100cm 的链条从桌面上由静止状态开始无摩擦地沿桌子边缘下滑．设运动开始时，链条已有20cm 垂于桌面下，试求链条全部从桌子边缘滑下需多少时间．解：设链条单位长度的质量为ρ，则链条的质量为ρ100．再设当时刻 t 时，链条的下端距桌面的距离为)(t x ，则根据牛顿第二定律有：gx dt x d ρρ=22100，即 010022=-x gdtx d ．又据题意知：20)0(=x ， 0)0(='x ，所以 )(t x 满足下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==-0)0(20)0(010022x x x gdt x d ，解得方程的通解为：tg tgec ec x 102101-+=．又因为有初始条件： ()()⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==1010020021'c c x x 所以 tg t gee x 10101010-+=．又当链条全部从桌子边缘滑下时，100=x ，求解t ，得：tg tg e e 10101010100-+=，即： 510=t gch， 510arch gt =．***6．设弹簧的上端固定，下端挂一个质量为2千克的物体，使弹簧伸长2厘米达到平衡，现将物体稍下拉，然后放手使弹簧由静止开始运动，试求由此所产生的振动的周期．解：取物体的平衡位置为坐标原点，x 轴竖直向下，设t 时刻物体m 位于x t ()处，由牛顿第二定律：22222d d ()xtg g x gx =-+=- ，其中g =980厘米/秒2其解为：x C g t C g t =+1222cossin ，振动周期为 T g ==≈222490028ππ.．第9章（之7）（总第50次）教学容：§9.4.3二阶线性常系数方程的解法； §9.4.4高阶线性常系数微分方程 **1．微分方程x x y y sin =+''的一个特解应具有形式（）（A ）()sin Ax B x +（B ）x Ax B x x Cx D x ()sin ()cos +++ （C ）x Ax B x x ()(cos sin )++ （D ）x Ax B C x D x ()(sin cos )++ 解：（B ）**2．设A B C D ,,,是待定常数，则微分方程''+=+y y x x cos 的一个特解应具有形式（）（A ）Ax B C x ++cos（B ）Ax B C x D x +++cos sin（C ）Ax B x C x D x +++(cos sin ) （D ）Ax B Cx x ++cos 答：（C ）**3．求下列非齐次方程的一个解（1）122+=-'-''x y y y ；解：∵ 022=--λλ， ∴1,22,1-=λ， 0Θ不是特征根．设 01b x b y p +=，代入原方程，得：1222011+=---x b x b b ，有：1,010-=b b ，特解为：x y -=．（2）xey y y -=+'+''2．解： ∵ 1- 是二重特征根， ∴ 设 02b e x y xp -=， 0202b e x b xe y xxp ---='，02002022b e x b xe b e x b e y x x x x p----+--=''，代入 xe y y y -=++'2''，解得：210=b ，特解为：xe x y -=221．**4．求微分方程''-'+=y y y xe x32满足条件y y ()()000='=的特解．解：特征方程0232=+-r r 的根为2,121==r r ，相应齐次方程的通解为x x h e C e C y 221+=，设特解为x p e B Ax x y )(+=，代入方程得： 1,21-=-=B A ．故方程的通解为xxx e x x eC e C y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=22221，代入条件0)0()0(='=y y ，得1,121=-=C C ，因此所求特解为 x xe x x ey ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=1222．**5．求下列非齐次方程的通解：)(2x f y y ='+''x x f e x f x x f x cos )()3,)()2,14)()12==+=；解：特征方程：022=+λλ，特征根： 2,021-==λλ，所以方程0'2=+''y y 的通解为 xh e c c y 221-+=．1）对于方程14'2+=+''x y y ，由于0是特征方程的单根，故设其特解为：x b x b y p )(10+=，代入方程有：14242100+=++x b x b b ，解得 21110-==b b ，所以特解为：x x y p 212-=．所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h 212221-++=+=-．2）对于方程xe y y 2'2=+'''，由于2不是特征方程的根，故设其特解为：02b e y xp =，代入方程有：810=b ， xp e y 281=，所以方程的通解为：x xp h e ec c y y y 222181++=+=-．3）对于方程：x y y cos '2=+'''，由于i ±不是特征方程的根，故设其特解为： x b x b y p sin cos 10+=，代入方程有：x b x b y p cos sin '10+-=， x b x b y p sin cos "10--=，x x b x b x b x b cos cos sin 2sin cos 1010=+---，得：525120=-=b b ， x x y p sin 52cos 51+-=，所以方程的通解为：x x e c c y y y xp h sin 52cos 51221+-+=+=-．**6．求微分方程''-'+=y y y e x x6925sin 的通解．解：特征方程r r 2690-+=的根为r 123,=，相应齐次方程的通解为xh e x C C y 321)(+=设特解为y e A x B x p x=+(cos sin )，代入方程得：A B ==43,故方程的通解为 y C C x e e x x x x =+++()(cos sin )12343***7．已知曲线y y x x =≥()()0过原点，位于x 轴上方，且曲线上任一点),(00y x M =处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴，直线x x =0所围成的面积与该点横坐标的和，求此曲线方程．解：由已知y ()00=，且'=+'=⎰y y x x y xd ,()000，将此方程关于x 求导得''=+y y 1其通解为： y C e C exx=+--121 ，代入初始条件y y (),()0000='=，得 C C 1212==，故所求曲线方程为：y e e x xx =+-=--1211()ch ．***8．设一物体质量为m ，以初速v 0从一斜面滑下，若斜面与水平面成θ角，斜面摩擦系数为μμθ(tan )0<<，试求物体滑下的距离与时间的关系．解：设t 时刻物体滑过的距离为S ，由牛顿第二定律m Stmg mg d d sin cos 22=-θμθ 且 S S v (),()0000='=方程的通解为S gt C t C =-++12212(sin cos )θμθ 代入初始条件得C v C 1020==,，故物体滑下的距离与时间的关系为S gt v t =-+1220(sin cos )θμθ***9．设弹簧的上端固定，下端挂一质量为m 的物体，开始时用手托住重物，使弹簧既不伸长也不缩短，然后突然放手使物体开始运动，弹簧的弹性系数为k ，求物体的运动规律．解：取物体未发生运动时的位置为坐标原点，x 轴垂直向下，设t 时刻物体位于x t ()处，由牛顿第二定律： m xtkx mg d d 22+=，且 0)0(0)0(='=x x ，．方程的通解为： x C k m t C k m t m kg =++12cos sin ，代入初始条件得C mkg C 120=-=,，故物体的运动规律为x mg k k m t =-⎛⎝ ⎫⎭⎪1cos．***10．求下列方程的通解：（1）02)4(=''+'''-y y y；解： 02234=+-λλλ， 0)12(22=+-λλλ， 0)1(22=-λλ，所以通解为 x e x c c x c c y ）（4321+++=．（2）0365)4(=-''+y y y．解：036524=-+λλ， 0)9)(2)(2(2=++-λλλ，所以通解为 x c x c ec e c y xx 3sin 3cos 432221+++=-．****11* 试证明，当以 x t ln =为新的自变量时，变系数线性方程（其中a,b,c 为常数，这是欧拉方程）)('"2x f cy bxy y ax =++可化为常系数线性方程)()(22t e f cy dt dya b dty d a =+-+并求下列方程通解：（1）022=-''y y x ；（2）x x y y x y x ln 22=+'-''．证明：令 x t ln =， t e x =，dtdyx dx dt dt dy dx dy 1==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt dy dt y d x dt dy dx d x dt dy x dx y d 222222111，将y y ''',代入方程有：()()te f cy dt dy a b dt y d a cy dt dy b dt dy dt y d a cy y bx y ax =+-+=++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+'+''22222，得证．（1）令 x t ln =， te x =，原方程化为：0222=--y dt dydty d ．其通解为t t e c e c y -+=221．将x 代入，得：xc x c y 221+=．（2）令 x t ln =， te x =，原方程化为：tte y dt dy dty d =+-2222，上述方程的相应其次方程的通解为：()t c t c e y t h sin cos 21+=．令上述方程一个特解为：()10b t b e y t p +=，代入方程得：0,110==b b ，即：t e y t p =．原方程得通解为：()t t c t c e y t ++=sin cos 21，即：()()[]x x c x c x y ln ln sin ln cos 21++=．***12．一质量为m 的潜水艇在水面从静止状态开始下降，所受阻力与下降速度成正比（比例系数为k >0），浮力为常数B ，求潜水艇下降深度x 与时间t 之间的函数关系．解： ma B F F =--阻重， a 为加速度， ma B kv mg =--， v 为下降速度，因为 22,dt x d dt dv a dt dx v ===，所以 22dt xd m B dt dx k mg =--，即 m Bg dt dx m k dtx d -=+22 ，其特征方程为： 02=+λλmk ，解得特征根为 m k-==21,0λλ．所以对应的齐次方程的通解为：21c e c x t mkh +=-．由于0是特征方程的单根，故设其特解为：t b x 01=，代入方程有：m B g b m k -=0，得 kBmg b -=0．所以微分方程的通解为：t kBmg c e c x t mk-++=-21，因为初始位置为０，初始速度为０，所以有初始条件 ()()00,00'==x x ，代入微分方程有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=++000121k Bmg c mk c c 求得：222221,kgm Bm c k Bm g m c -=-=，所以x 与t 的关系可表示为： t k B mg e k g m Bm x t m k-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-122．***13．证明：若有方程'=-f x f x ()()1，则必有''+=f x f x ()()0，并求解此方程．证明：由于'=-f x f x ()()1，两边关于x 求导得''=-'-=---=-f x f x f x f x ()()[()]()111故得''+=f x f x ()()0（1）解方程（1）得通解为 f x C x C x ()cos sin =+12（2）'=-+f x C x C x ()sin cos 12 （3）'='=f f f f ()(),()()0110，将此代入(2),(3)得C C C C C C 1221211111cos sin sin cos +=-+=⎧⎨⎩ 解得：C C 21111=+sin cos所以原方程的解为： f x C x x ()cos sin cos sin =++⎛⎝⎫⎭⎪1111．第9章（之8）（总第51次）教学容：§9.6 微分方程应用举例 (机动)第9章（之9）（总第52次）教学容：§9.7 差分方程1. 已知t t e y 3=是二阶差分方程tt t e ay y =+-+11的一个特解，求a ．解： )31(3e ea -=．2. 求下列差分方程的一般解： (1) 0721=+-t t y y ；解：tt C y )27(-=(2) 431-=--t t y y ；解：23+=tt C y(3) 051021=-++t y y t t ；解：)61(125)5(-+-=t C y tt (4) tt t y y 2124=-+；解：144-+=t t t t C y (5) tt t t y y 21⋅=-+．解：tt t C y 2)2(-+=3. 写出下列差分方程的一个特解形式： (1) t y y t t sin 1=-+；解：t B t B Y t cos sin 21+=(2) t y y t t πcos 31-=++．解：)sin cos (21t B t B t Y t ππ+=4. 设t y 为第t 期国民收入，t C 为第t 期消费，I 为每期投资（I 为常数）．已知t y ，t C ，I 之间有关系 I C y t t +=，βα+=-1t t y C ，其中10<<α，0>β，试求t y ，t C ．解：t y 满足：βα+=--I y y t t 1，解得 αβα-++=1I C y tt ，从而 =-=I y C t t ααβα-++1I C t．5. 已知差分方程t t t cy y by a =++1)(，其中a ，b ，c 为正的常数．设初始条件0)0(0>=y y ，证明：(1) 对任意Λ,2,1=t ，有0>t y ；(2) 在变换tt y u 1=之下，原差分方程可化为有关t u 的线性差分方程，写出该线性差分方程并求其一般解；(3) 求方程t t t y y y =++1)21(的满足初始条件20=y 的解．解：（1）归纳法证明．（2）令 t t y u 1=，即t t u y 1=，111++=t t u y ，则原方程化为线性差分方程 b au cu t t =-+1，其一般解为 a c ≠时， ac bcaC u tt -+=)( ； a c =时， b C u t +=．（3）令 tt y u 1=，原方程化为 21=-+t t u u ，一般解为 2+=C u t ，所以原方程的一般解为 t t u y 1=21+=C ，代入 20=y ，得 23-=C ，所以特解为 2=t y ．。

高等数学习题九课后答案

习题九1. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程：(1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4t =;(2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===- 曲线在点π4t =的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''==-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭当π4t =时， ,,222a b c x y z === 切线方程为2220a b c x y z a c---==-. 法平面方程为0()0.222a b c a c x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 22022a c ax cz --+=.（2）联立方程组2226x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩ 它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得d d 2220d d d d 10d d y z x y z x xy z x x⎧+⋅+⋅=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 解得d d ,,d d y z x z x yx y z x y z--==--在点M 0（1，-2，1）处，00d d 0,1d d M M y zx x ==- 所以切向量为{1，0，-1}.故切线方程为121101x y z -+-==- 法平面方程为1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0即x -z =0.(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得d d 22,21d d y zy m z x x ==- 于是d d 1,d d 2y m z x y x z==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0011,,2my z ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭,故切线方程为00000,112x x y y z z m y z ---==-法平面方程为000001()()()02m x x y y z z y z -+---=. 2. t (0 < t < 2π)为何值时，曲线L ：x = t -sin t , y =1-cos t , z = 4sin 2t在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

高等数学第9章参考答案

第八章多元函数的微分法及其应用§ 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ϕϕ求-=+=.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、xyz arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x三、求下列极限：1、222)0,0(),(sin lim y x yx y x +→ （0） 2、x y x x y3)2,(),()1(lim+∞→ (6e )四、证明极限 242)0,0(),(lim yx yx y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2x y =趋于（0，0）时，极限为21, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x yx xy y x f 在整个xoy 面上连续。

证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。

当)0,0(),(=y x 时，)0,0(01sin lim 22)0,0(),(f yx xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。

所以函数在整个xoy 面上连续。

六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数1、设z=x yx e x y + ,验证 z xy +=∂∂+∂∂yzyx z x 证明：x yx yx ye x ,e x y e y +=∂∂-+=∂∂y z x z ，∴z xy xe xy xy x y+=++=∂∂+∂∂yzy x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=ϕ答案：2、求空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ21:22y y x z 在点（1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设yx y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1)4、设yz x u =, 求x u ∂∂ ，y u ∂∂ ，zu ∂∂ 解：1-=∂∂y zx y z x u ，x x yz y u y zln 2-=∂∂ x x y z u y zln 1=∂∂ 5、设222z y x u ++=，证明 : u zu y u x u 2222222=∂∂+∂∂+∂∂6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由⎪⎩⎪⎨⎧≠+≠++=0,00,1sin ),(222222y x y x yx x y x f )0,0(0),(lim 00f y x f y x ==→→ 连续； 201sin lim )0,0(xf x x →= 不存在， 0000lim )0,0(0=--=→y f y y7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 xb x a f b x a f x ),(),(lim--+→（2f x (a,b)） § 3 全微分 1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________(A) 必要条件而非充分条件（B ）充分条件而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A) 偏导数不连续，则全微分必不存在（B ）偏导数连续，则全微分必存在（C ）全微分存在，则偏导数必连续（D ）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分：1）x y e z = )1(2dy x dx xy e dz x y+-=2）)sin(2xy z = 解：)2()cos(22xydy dx y xy dz +=3）zyx u = 解：xdz x zyxdy x z dx x z y du z yz yz yln ln 121-+=-3、设)2cos(y x y z -=，求)4,0(πdz解：dy y x y y x dx y x y dz ))2sin(2)2(cos()2sin(-+-+--= ∴)4,0(|πdz =dy dx 24ππ-4、设22),,(yx z z y x f += 求：)1,2,1(df )542(251dz dy dx +--5、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(),(2222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin )(lim 2222)0,0(),(f y x y x y x ==++→ 所以),(y x f 在（0，0）点处连续。

高数课后习题九详细答案

第9章课后习题详解重积分课后习题全解习题9-1★1.设有一平面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布着面密度为),(y x μμ=的电荷，且),(y x μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q .解：将D 任意分割成n 个小区域{}i σ∆，在第i 个小区域上任取一点),(i i ηξ，由于),(y x μ在D 上连续和i σ∆很小，所以用),(i i ηξμ作为i σ∆上各点函数值的近似值，则i σ∆上的电荷i i i i Q σηξμ∆≈∆),(从而该板上的全部电荷⎰⎰∑=∆==→Dni i i i d y x Q σμσηξμλ),(),(lim 1其中λ是各i σ∆中的最大直径。

★★2.利用二重积分定义证明：（1）σσ=⎰⎰Dd （σ为区域D 的面积）；（2）⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf σσ),(),(（其中k 为常数）；（3）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(D D Dd y x f d y x f d y x f σσσ，其中21D D D=, 21,D D 为两个无公共内点的闭区域。

证明：（1）这里，被积函数1),(≡y x f ，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，=∙⎰⎰Dd σ1∑∑=→=→∆∙=∆n i i ni iiif 111lim ),(lim σσηξλλ∑=→∆=ni i 1lim σλσσλ==→0lim ，∴σσ=⎰⎰Dd ，其中λ是各iσ∆中的最大直径。

（2）=⎰⎰Dd y x kf σ),(∑∑=→=→∆=∆ni i i i ni iiif k kf 101),(lim ),(lim σηξσηξλλ∑=→∆=ni i i i f k 1),(lim σηξλ⎰⎰=Dd y x f k σ),(（3）将1D 任意分割成1n 个小区域{}1i σ∆，1λ是其各小区域的最大直径，将2D 任意分割成2n 个小区域{}2i σ∆，2λ有类似的意义。

(完整word版)大一下册高数习题册答案第9章

(A)偏导数不连续，则全微分必不存在
(C)全微分存在，则偏导数必连续
2、求下列函数的全微分：
(B)偏导数连续，则全微分必存在
(D)全微分存在，而偏导数不一定存在
1)z
y
dz ex
2)z
3)u
sin (xy2)
y_
xz解:
解：dz
y
du x
z
*
x
2 2cos(xy ) (y dx
「•1
xdy)
2xydy)
答案：极小值f(1,3)10 18l n3
3.函数f (x, y) 2x2ax xy22y在点(1,1)处取得极值，求常数a (-5)
4、求函数z
解：
x2y21在条件x y 30下的条件极值
F(x, y, ) x2y21 (x y 3)
Fx0“22、+11
(,)，极小值为-
Fy03 32
5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/
\2x
y)
3yl n(x
z
2y-
y
y),
nz
2
y ,2xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求
2yf2
2xf2
2
—2x( fn ( 2y) f122x) x y
4(x2y2)f124xyf22
2
z
2
X
2
z
2
y
2f22y(f21(
2y) f222x)
5、
解:
6、
解:
7、设Z
其中
证明:
2
z
2
y
得:
2fi
4x f118xyf12

高数下第九章的答案

解：直线的方向向量；设过点到直线的垂足为；则有
，即；又在直线上，
联立方程解得
从而点到直线的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
解：（1）在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2；在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足，证明 .
（4）设向量，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知，右乘b得，即；同理；
所以 .
（4）因为；
所以设向量，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点且与直线垂直相交的直线方程为
；则；联立
解得
所以，过点且与直线垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为；在直线
上任取一点，则解得
所以，点向式方程为；参数方程为
3.求直线与平面之间的夹角.
解：因为

高等数学习题详解-第9章无穷级数

习题9-11. 判定下列级数的收敛性：(1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞=+∑; (3)1ln 1n n n ∞=+∑; (4) 1(1)2nn ∞=-∑;(5) 11n n n ∞=+∑; (6) 0(1)21n n nn ∞=-⋅+∑．解：（1）11n n k S ===∑，则lim lim(11)nnnS n ，级数发散。

（2）由于14113n n nn，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。

（3）11ln[ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1nnnk k n S n n n n n ，则lim lim[ln(1)]nnnS n ，级数发散。

（4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2nn k S k nk因而lim n nS 不存在，级数发散。

（5）级数通项为1nn u n ，由于1lim10nn n，不满足级数收敛的必要条件，原级数发散。

（6）级数通项为(1)21n nnu n ，而lim n n S 不存在，级数发散。

2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 11123n nn ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑; (3) 1πsin 2n n n ∞=⋅∑; (4)πcos 2n n ∞=∑．解：（1）因为111111111131111(1).23232232223nn n nk kkk n n n nk k k S 所以该级数的和为31113lim lim(),22232nn nnnSS 即1113.232nnk（2）由于1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n nn n n n，则111111111[][](1)(2)2(1)(1)(2)22(1)(2)nnnk kS k k kk kk kn n所以该级数的和为 1111limlim [],22(1)(2)4nnn SS n n即111.(1)(2)4n n n n（3）级数的通项为sin2nu n n，由于sin2lim sinlim()02222nnnn nn，不满足级数收敛的必要条件，所以原级数发散。

上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)

《高等数学教程》第九章向量代数与空间解析几何习题参考答案9－1（A ） 4．;342,324m n CD m n BC -=-= 5．;}116,117,116{}116,117,116{---或 6．－2 ;7．13, 7 j ;8．(1) 垂直于 x 轴，平行于 yoz 坐标面;(2) 与 y 轴共线，方向与 y 轴的正向相反，垂直于 zox 坐标面;(3) 平行于 z 轴，垂直于 xoy 坐标面。

9．模：2; 方向余弦：21,22,21--; 10．434ππγ或=; 11．31cos ,31cos ,31cos =-=-=γβα; 12．m = 4 , n = 0 .9－1（B ）1． ;0,22,221,0,0或- 3． }5,4,6{-B , }10,6,9{-C , }7,1,7{--=CA4．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;6． 2 .9－2（A ）1．(1) 28 , (2) 52 ;3．15 , 593;4．}4,2,4{--=b ;5．m = 4 , n = 0 ;6．;}2,2,3{171}2,2,3{171-----或 7．12 ,219; 8．5 ;9．,1548)^,(sin =b a ,7753)^,(cos =b a (1) }2,0,1{-, (2) }2,10,16{-, (3) 0 , (4) }24,8,0{--;10．(1) 24, (2) 60 ;11．(1) －3, (2) 3, (3) 0 ;13．是14．20 ,619; 9－2（B ）1．(1) 在一直线上, (2) 不在一直线上;2．(1) 至 (8) 全错;5．1328-; 6．;,,,,,共线与c b d c d b d a c a b a ⊥⊥⊥⊥⊥ 7．;共线必须与b a8．3π; 9．)68(51)68(51k j k j ---或; 10．(1) 2-=λ, (2) 1002,99821=-=λλ;11．23-. 9－3（A ）2．04573=-+-z y x ;3．0473=+--z y x ;4．012634=+-+z y x ;5．023=--z y x ;6．049263=-+-z y x ;7．010377=--+z y x ;8．029)3(,5)2(,043)1(=---==+z y y y x ;9．1 ;10．32,32,31; 11．270)3(,1)2(,2)1(±===k k k ; 12．(1) 18,32=-=l m , (2) 6=l ; 9－3（B ）1．12=++z y x ;2．02=--z y x ;3．1522=-+z y x ;4．03326=-+±z y x ;5．)54,0,0(,)2,0,0(; 6．032=-+-z y x ;7．312228±=++z y x ;9－4（A ）1．112243--=-+=-z y x ; 2．0270112520255612523=+--=++-z y x z y x 及;3．311121-=-=--z y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 31121 ; 4．13422z y x =-=--; 5．0592298=---z y x ;7．341111; 8．4273; 9．D = －6 ;9－4（B ）1．(1) 平行, (2) 垂直, (3) 直线在平面上（题目中平面方程应为 3=++z y x ）;2．0=ϕ;3．)32,32,35(-; 5．⎩⎨⎧=-+-=--+0140117373117z y x z y x ; 6．012=++y x ; 7．2849161-==+z y x ; 8．,1=λ ⎩⎨⎧=-=-+-0027z x z y x ; 10．012720=-++z y x ; 11．564922-=-=-z y x ; 12．0163401022=-+=-++z x z y x 或;13．03=---z y x ;14．332; 15．⎩⎨⎧=++-=-++0893012572z y x z y x ; 16．不相交, 29311=d ;9－5（A ）1．9116)34()1()32(222=+++++z y x , 它表示以)34,1,32(---为球心, 2932为半径的球面。

高数第九章解答_khdaw

孑毖 ?、阜
9,t9’ o厶
Ⅱ 【秃
留饪 ∵私19`铞
g℃ 1亠 -孓 c关
∠
q亻△ˇ留'仉 ~幻 f丬丿o吖'饫 ′+留吖 ′-q'皈 -叨绽 ′
`=留
〃-留〃 =ˉ Tru丿 9?g△ 十
,恭喉厶拶句″ `V午钉 ,,勹切
`J扌颐
`为 Gqt以 9干 C,刁巳f∝ 丿
宀耐饪 J、'廷
亻⑷ 辶泓以吧
以十6)s以》伽大十 2扬呒从 $丿 +CI△ 丈干 r,s义
△ G宀大 fC,⒐
⊥
#孛
一
ˉ ct铴众十 r冫
歹、 X)矽 ″-4爿
9'洋
^一
6u。
口
天·et
/ 贾
sF乡亻
G9f=r匕匕~匕/)去
)舞砝 %Ξ {∶I讠{l丨
E-彳一繁
课后答案网幻r~吆 .′ -4勹 /十 ‘ °f‘ 0o
冫l
◇σ 干 ε,乙圹叶C、 ⒐跷十兽
1细 (‰ 9· 9十 O。 str‰
f
'冫巩轻甲tJ
www.khd课后a答w案.网com
U孔 , , r。 f丿
亻 ′-⒊ V′ 十冫
(3,灼孓‘叼'彳 ?V=o
占沟 △亻子刀 Ⅱ
入△ ;入 f亠 =。 .^=(、 λ ⒓ . C‘ g丬千 C亠 e2x
递乙甲‘2 课后答案网
C /Ⅱ f∫
°/U二万锈丐 .告监亻l+圹卜 rl劳一席轩 ,。f丬 =荔 ″卜些厶Cl+犭勹十
`斋 y~lr.疒丿-荔犭L茂 ‘rf9·丿千C讠

高等数学第九章练习题答案

第九章练习题一、填空第一节1、 22222)1ln(),(y x y x y x f --+-+=的定义域是2122≤+<y x ．2、 2222911),(y x y x y x f --+-+=的定义域是9122≤+<y x ．3、 2222001sin)(lim yx y x y x ++→→＝ 0 ． 4、=+-→→xyxy y x 93lim0 16- ．5、、函数y x z -=的定义域是 (){}y x y x y x ≥≥≥2,0,0/,6、函数()12ln 2+-=x y z 的定义域是 0122>+-x y7、()()=+-→11lim0,0,xy xy y x 2-. 19. ()()=-+→xyxy y x 24lim0,0,41. 8、求极限()()()yxy y x tan lim0,2,→= 29、 2210ln()lim y x y x e x y →→++= ln 2 . 第二节1、设z =zx ∂∂2、设z arctan(xy )=，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂ ．22,1()1()y x xy xy ++ 3、设223z x xy y =++，则(1,2)zx ∂∂= 8 ，(1,2)z y ∂∂= 7 .4、设y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则=dtdz()22sin 6cos 3t t e t t -- 5、设y x z =，而te x =，12-=t e y ，则=dt dz ()2231-+-t t t e e e6、设(1)y z xy =+，则zx∂∂= 21(1)y y xy -+ 7、设(1)xy z x =+，则zy∂∂=(1)ln(1)xy x x x ++ 8、设y x z y3⋅=，求=∂∂∂y x z 2 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y 13ln 3 。

9、函数222234x y z x ++=，则z x ∂=∂ 23z x x z∂-=∂，z y ∂=∂ 。

高等数学课后习题答案第九章1

第九章习题解答（2）习题9.31、求上半球面222y x a z含在柱面ax y x 22内部的曲面面积解：被积函数为222y x a z 22222)(y x a x z x 22222)(yx a y z y --= 所以 dxdy yx a a dS 222--=积分区域为：:D ax y x =+22，化成极坐标：设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 0,22a r ≤≤≤≤-⎰⎰-=-θππθcos 02222a ra ardr d S cos 0222222)(2a r a r a d d a ⎰---=22cos 022ππθθd r a a a)2(222)sin (222220-=⋅+-=--=⎰ππθθπa a a d a a a2、求圆锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截下的曲面面积解：被积函数为22y x z += 2222)(y x x z x += ， 2222)(yx y z y += 所以 dxdy dS 2=积分区域为：:D x y x 222=+，设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 20,22≤≤≤≤-r⎰⎰-=θππθcos 20222rdr d S ππθθππ222124cos 22222=⋅⋅==⎰-d3、求抛物柱面221x z =含在由平面x y y x ===,0,1所围的柱体内的面积解：被积函数为221x z = 22)(x z x = ， 0)(2=y z所以 dxdy x dS 21+=积分区域为：:D x y y x ===,0,1，0=z 围成的闭区域=+=⎰⎰x xdy x dx S 021⎰+xdx x x 0213122)1(3121)1(1211232022-=+⋅=++=⎰x x d x x 。

4、求下列图形的形心（1）、:D 1,0,2===x y x y ，围成的闭区域解：将密度看成1；⎰⎰⎰⎰=xDdy dx dxdy 201032221==⎰dx x 522210232010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x dy xdx xdxdy xD2112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x ydy dx ydxdy xD于是得形心坐标为：53322522~==x 82332221~==y 形心为)82353( （2）、:D θρco s 1+=，围成的闭区域解：将密度看成1；πθ23=⎰⎰Ddr rd （前面求出的结果） dr r d rdrd r xdxdy D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+'==θπθθθθcos 10220cos cos⎰+=πθθθ203)cos 1(cos 31d +⎰πθθ20cos 31d +⎰πθθ202cos d +⎰πθθ203cos d ⎰πθθ204cos 31d +=0++⎰πθθ20)2cos 1(21d +0⎰++πθθθ20242cos 2cos 2131d=π1215242122πππ=++65231215~==ππx 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)065(（3）、:D 0,12222≥=+x by a x ，围成的闭区域解：面积ab 2π=⎰⎰⎰⎰---=2222110a xb a x b a Dxdy dx xdxdy ⎰-=adx ax x b 0221232)1(32)2(22123222ba a x ab =--= ππ34232~2a ab ba x == 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)034(πa5、圆盘)0(222>≤+a ax y x 内各点处的密度=),(y x μ22y x +，求此圆盘的质心解：=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x 22⎰⎰-θππθcos 20222a dr r d3203332316cos 316a d a ⋅==⎰πθθ3932a ==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x 22⎰⎰-θππθθcos 20322cos a dr r d15641588cos 1641442254a a d a =⋅==⎰-ππθθ 56~a M M x y ==，由对称性得0~=y 所求质心为)056(a6、设有一个等腰直角三角形薄片，各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方，求此圆薄片质心解：设等腰直角三角形的顶点为),0(),0,(),0,0(a a 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰D dxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x )(22⎰⎰-+xa a dy y x dx 0220)( ⎰-+-=a dx x a x a x 032])(31)([⎰-+-=a dx x a x a ax 03322]31312[ 62132444a a a =-= =y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy xy x)(23⎰⎰-+xa a dy xy x dx 0230)(⎰-+-=adx x a x x a x 033])(31)([⎰-+-=a dx x x a x a ax 043223]34312[ 5555515115463121a a a a a =-+-= 由对称性得=x M =⎰⎰Ddxdy y x y ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y y x)(32⎰⎰-+ya a dx y y x dy 032)(155a = 52~a M M x y ==，52~a M M x x == 所求质心为)5252(aa 7、设有顶角为α2，半径为R 的扇形薄片，各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平方，求此薄片质心解：设扇形顶点为)0,0(关于x 轴对称则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x)(22⎰⎰-Rdr r d 03ααθ24R α==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x )(22⎰⎰-Rdr r d 04cos θθαα5sin 2αR =5sin 4~αR M M x y == 由对称性得0~=y ，所求质心为)05sin 4(αR8、设均匀薄片（面密度为常数)ρ，战局的区域如下，求指定的转动惯量（1）、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D 求y I ，l I ，其中是过原点切倾斜角为α的直线解：ab M ρπ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰123203cos dr r d b a θθπ ===⎰4cos 43202ba d abρθθρπ42Ma由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为αα2tan 1tan +-=y x dl I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰++Ddxdy xy y x )tan 2tan (tan12222αααρ⎰⎰+=Ddxdyx 222tan 1tan ααρ⎰⎰++Ddxdy y 22tan 1αρ⎰⎰+-Dxydxdy ααρ2tan 1tan 24tan 1tan 222Ma ⋅+=ααρdr r d ab ⎰⎰++1322023sin tan 1ϑθαρπdr r d b a θθθαρπ⎰⎰+-1320222sin cos tan 14tan 1tan 222Ma ⋅+=αα2tan 123παρ⋅++ab 4tan 1tan 222Ma ⋅+=αα4tan 1122Mb ⋅++ααα2222tan 1tan 4++⋅=a b M （2）、{}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0),(求y I ，l I ，其中是过原点与点),(b a 的对角线ab M ρ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰bady dx x 023323Ma ba ==ρx I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x y ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy y2⎰⎰bady y dx 0232Mb =由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为22ba ay bx d +-=l I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰-++Ddxdy abxy y a x b b a )2(222222ρ=⎰⎰+Ddxdy x ba b 2222ρ⎰⎰++Ddxdy y ba a 2222ρ⎰⎰+-Dxydxdy ba ab222ρ22223b a b Ma +=22223b a a Mb ++22222b a b a M +-)(62222b a b Ma += 习题9.41、化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x F ),,(为三次积分（只须先,z 次对,y 后对x 一种次序）（1）、由三个坐标面与平面06236=-++z y x 围成解：23230yx z --≤≤，,220x y -≤≤10≤≤x ⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰---=yx x dz z y x f dy dx 32302201),,(（2）、由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成解：122≤≤+z y x ，,1122x y x -≤≤--11≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰+-+---=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx（3）、由圆锥面22y x z +=与上半球面222y x z --=围成解：22222y x z y x --≤≤+，,2222x y x -≤≤--22≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰--+-+---=22222222222),,(y x y x x x dz z y x f dy dx（4）、由双曲抛物面xy z =与平面0,1==+z y x 围成解：xy z ≤≤0，,10x y -≤≤10≤≤x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx 01010),,(2、设有一物体，点据空间闭区域{}10,10,10),,(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x 密度函数为z y x z y x ++=),,(μ，求该物体的质量解：=++=⎰⎰⎰Ωdv z y x M )(=⎰⎰⎰Ωxdv ++⎰⎰⎰Ωydv =⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰Ωzdv 32331011==⎰⎰⎰zdz dy dx 3、计算三重积分（1）、⎰Ωx y d v⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++====Ω132,0,0,0),,(z y x z y x z y x ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰---=)21(30)1(2010yx x xydz dy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x ⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x 101512215105]12303010[10432=-+-=-+-=⎰dx x x x x （2）、⎰⎰⎰Ωzdv y x 22 {}x z z x y x y x z y x ==-====Ω.0,,,1),,( ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-=xxx zdz y x dy dx 02210⎰⎰-=x x dy y x dx 24102124131107==⎰dx x （3）、⎰Ωx y z d v{}0,1,,),,(=====Ωz x x y xy z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰=xyxxyzdz dy dx 01264181107==⎰dx x （4）、⎰Ωdv z 2 {}0,1),,(22=--==Ωz y x z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰------=22221021111y x x x dz z dy dx ⎰⎰--=x dy y x dx 0232210)1(311525132)1(311023220ππθπ=⋅=-=⎰⎰rdr r d （5）、⎰Ωdv z 2 {}z x y z z y x 2),,(222≤++=Ω解；积分区域是1)1(222=-++z y x ，22221111y x z y x --+≤≤---2211x y x -≤≤--111≤≤-x这样计算很繁琐，改为下面的方法（是很高的技巧）任意取一点,z 则截口面积为)2(2z z dxdy -=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDdxdy dz z dv z2022dz z z )2(243⎰-=π58)542(2054ππ=-=z z4、利用柱坐标计算（1）⎰⎰⎰Ωzdv 其中Ω是由上半球面222y x z --=与旋转抛物面22y x z +=围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，222r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=222120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=104220]2[21dr r r r d πθ 127)61411(]2[21105320ππθπ=--=--=⎰⎰dr r r r d （2）⎰⎰⎰Ω+dv y x z22 其中Ω是由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧+==221yx z z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，12≤≤z r 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰=112202rzdz dr r d πθ⎰⎰-=104220]1[21dr r r d πθ 214)7131(][21106220ππθπ=-=-=⎰⎰dr r r d5、设密度为常量μ的均匀物体占据由223y x z --=与0,1,1=±=±=z y x 围成的闭区域，求（1）、物体的质量（2）、物体的重心（3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域就是{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D （1）、=M ⎰Ωdv μ ⎰⎰⎰----=22301111y x dz dy dx μ⎰⎰--=-12211)3(2dy y x dx μμμμ328)3138(4)38(4102=-=-=⎰dx x（2）、由对称性得0~,0~==y x=z M =⎰⎰⎰Ωzdv μ⎰⎰⎰----22301111y x zdz dy dx μ⎰⎰--=-122211)3(dy y x dx μμμ45506)316536(2142=+-=⎰dx x x ==MM z z ~210253，所以物体的重心是)210253,0,0( （3）=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22μ⎰⎰⎰----+=2230112211)(y x dz dy y x dx μ⎰⎰--+=122221)3)((4dy y x y x dx μ⎰⎰---+=14422221)233(4dy y x y x y x dx μM dx x x 1056245248)519754(4)3754(41042==-+=-+=⎰μμμ6、设密度为常量1的均匀物体占据由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭区域，求（1）、物体的质量（2）、物体的重心（3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ，于是（1）、=M ⎰⎰⎰Ωdv ⎰⎰⎰-=22120r rdz rdr d πθ⎰⎰--=1220]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰102220]2[dr r r r d πθ)12(34)12(3220-=-=⎰πθπd （2）、由对称性得0~,0~==y x =z M ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=22120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=102220]2[21dr r r r d πθ=-=⎰⎰10320][dr r r d πθ24120πθπ==⎰d==MM z z ~)12(83+，所以物体的重心是))12(83,0,0(+（3）、=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22 ⎰⎰⎰-=221320r rdz dr r d πθ⎰⎰--=12320]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰1042320]2[dr r r r d πθ)51(2-A π =A dt t t dr r r)(cos sin 242223123⎰⎰=-πdt t t )sin (sin 245203-=⎰π1528)15832(24=-= 所以=z I )328(152)511528(2-=-=ππ （B ）的习题 1、⎰⎰⎰Ω+dv z x y )cos( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+====Ω0.2,,0,2),,(z z x x y y x z y x ππ ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-+=xxdz z x y dy dx 202)cos(ππ=⎰⎰-xdy x y dx 020)sin 1(π⎰-=20)sin 1(21πdx x x 202]cos [sin 2116ππx x x --=21162-=π2、⎰⎰⎰Ωzdv {}z z y x z y xz y x 2,1),,(222222=++=++=Ω皆7：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧=++=++z z y x z y x 21222222为⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x 就是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=43),(22y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22111r z r -≤≤-- 230,20≤≤≤≤r πθ，于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰---=221112320r r zdz rdr d πθ=⎰⎰--230220)112(21dr r r d πθ245]21)1(32[2302232ππ=---=r r习题9.51、计算下列对弧长曲线积分（1）、ds y x nl⎰+)(22，其中l 为圆周222a y x =+解：设t a y t a x sin ,cos ==，adt ds =ds y xn l⎰+)(22⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）、⎰l yds x sin 其中l 是连接点)0,0(，),3(ππ的直线段解：l 的方程为x y 31=π30≤≤x dx dx ds 310911=+=⎰lyds x sin dx xx ⎰=π303sin 310dt t t ⎰=π0sin 103π103= （3）、⎰l y ds 其中l 是连接点x y 42=上点)0,0(，)2,1(的一段弧解：l 的方程为x y 42= 10≤≤x dx xds 11+= ⎰lyds )122(34)1(34121231-=+=+=⎰x dx x （4）、⎰+l ds y x )( 其中l 是连接点)0,1(，)1,0(的直线段解：l 的方程为x y -=1 ， 10≤≤x ， dx ds 2=⎰+lds y x )(dx ⎰=122=（5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （6）、ds y l⎰，其中l 为圆周122=+y x解：设t y t x sin ,cos ==，dtds =ds y l⎰⎰=πsin tdt ⎰-ππ2sin tdt πππ20cos cos x x +-=422=+= （7）、ds el y x ⎰+22，其中l 为圆周0,,422===+y x y y x 在第一象限的区域的边界解：在直线0=y 上 20≤≤x dx ds =ds ely x ⎰+122122-==⎰e dx e x在弧422=+y x 上设t y t x sin 2,cos 2==，dt ds 2=40π≤≤tds el y x ⎰+222222402ππ⋅==⎰e dt e在直线x y =上 20≤≤x dx ds 2=ds el y x ⎰+32212220222-===⎰e edx exxds ely x ⎰+22+-=)1(2e +⋅22πe )1(2-e )22(2+=πe 2-（8）、⎰l x y ds 其中l 是2,4,0,0====y x y x 围成的矩形的边界解：4321l l l l l +++=1l 的方程为0=y =⎰1l x y d s 001=⎰dx l ，4l 的方程为0=x=⎰4l xyds 004=⎰dy l2l 的方程为4=x=⎰2l x y d s 842==⎰y d y， 3l 的方程为2=y=⎰3l x y d s1624=⎰xdx24=⎰lxyds（9）、⎰l ds y 2其中l 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱解：dt t a t a ds 2222sin )cos 1(+-=dt ta 2sin 22= ⎰l ds y 232022282sin 2)cos 1(a dt t a t a =-=⎰π=⎰π2052sin dt t ⎰π053sin 16udu a1525615832sin 32332053aa udu a =⋅==⎰π（10）、⎰+lds y x 22 其中l 是上半圆周x y x 222=+与x 轴围域的边界解：21l l l +=，1l ：x y x 222=+化为1)1(22=+-y x 设t y t x sin ,cos 1==-，dt ds =⎰+122l ds y x =++=⎰π22sin )cos 1(dt t t =⎰π2cos dt t4cos 420=⎰πudu2l ：0=y ，dx ds =⎰+222l ds y x 22==⎰xdx62422=+=+⎰lds y x2、求半径为,R 中心角为α2的扇形圆弧的质心（密度均匀)1=μ解：选择与书上168页图9-34一样的坐标系，于是根据对x 轴的对称性得0~=y 设1=μ，t R y t R x sin ,.cos ==Rdt ds =R M α2=⎰=lyds M x 1~==⎰-ααtdt R M cos 12==⎰α2cos 2tdt R Mαααsin sin 22R M R ==所求质心为)0sin (ααR3、计算下列关于坐标的曲线积分（1）、⎰+ldx y x )(22，L 是抛物线2x y =上)0,0(O 到)4,2(A 一段弧解：⎰+l dx y x )(221556]53[)(20532042-=+=+=⎰x x dx x x（2）、⎰l y dx ，L 是 2,4,0,0====y x y x 矩形的边界按照逆时针方向解：A O ：0=y ，4:=x B A0=dx ，2:=y C A ，0:=x O C0=dx ，⎰lydx ⎰⎰⋅+=ABOAy dx 00⎰⎰⋅++COBCy dx 028204-==⎰dx（3）、⎰+l x d y y dx ，L 是 20,sin ,cos π≤≤==t t R y t R x 一段针方向的弧解：⎰+l xdy ydx dt x x dt t tR R t R t R )(]cos cos )sin (sin [242⎰++-=π02sin 22cos 202202===⎰ππtR dt t R（4）、⎰+-++lyx dyx y dx y x 22)()(，L 是圆周 222a y x =+沿逆时针方向解：t a y t a x sin ,cos ==，⎰+-++l y x dy x y dx y x 22)()(⎰-+-+=π2022]cos )sin (cos )sin )(sin [(cos a dt t t t t t t a ππ2120-=-=⎰dt（5）、⎰++l x dy dx y x )(，L 是折线 x y --=11从)0,0(到)0,2(一段解：⎩⎨⎧>-≤=121x x x xy ，弧dx dy x y A O ==,: ，dx dy x y B A -=-=,2:⎰++lxydy dx y x )(⎰⎰+=OAAB383732311)22()2(212102=+-++=+-++=⎰⎰dx x x dx x x （6）、⎰---l dy y a dx y a )()2(，L 是 )cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=摆线的一拱，从)0,0(到)0,2(a π解：⎰---ldy y a dx y a )()2(dt t a t a a ⎰---=π20)cos 1()]cos 1(2[dt t a t a a ⎰---π20sin )]cos 1([dt t t t a ⎰+=π2022)cos sin (sin220222sin 2cos 1(a dt tt a ππ=+-=⎰4、计算⎰-++l dy x y dx y x )()(，其中L 分别是（1）、x y =2上点)1,1(到)2,4( （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段解：（1）、在x y =2上点)1,1(到)2,4(，dx xdy 21=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x xx x )](21[41-++=⎰3342153723)2121(41=++=++=⎰dx x x （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段，3231+=x y ，dx dy 31=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x x x )]3231(313231[41-++++=⎰ 11398215910)98910(41=⋅+⋅=+=⎰dx x 5、计算⎰+++l dy y x dx y x )2()2(，其中L 分别是（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(的一段弧（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线解：（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(，xdx dy 2=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x x x xx ])2(22[122⎰+++=3111)432(132=++=++=⎰dx x x x（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧，dx x dy 23=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x xx ])642[153⎰++=3111=++=（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线⎰+++ldy y x dx y x )2()2(+=⎰dx x 102⎰+1)21(dy y 3=6、一力场由沿x 轴正向的常力→F 构成，求将一个质量为m 的质点沿222R y x =+按逆时针方向移动过第一象限那段弧所做的功解：→F →=i F dx F W l⎰=F R tdt R F -=-=⎰2sin π节9.6习题处理1、计算下列关于坐标的曲线积分，并验证格林公式的正确性（1）dy y x dx y x l )()(22--+⎰，L 是椭圆12222=+by a x 沿逆时针方向解：设t b dy t b y t a dx t a x cos ,sin ,sin ,cos ==-==dy y x dx y xl)()(22--+⎰⎰⎰⎰-+-=πππ2023202320sin cos cos sin tdt t atdt t bdt abab π2-=用格林公式y x y x P +=2),( 2),(y x y x Q +-=1),(-=y x Q x 1),(=y x P ydy y x dx y x l)()(22--+⎰ab dxdy Dπ22-=-=⎰⎰ （2）、dy y x dx y x l )()(222+-+⎰)0,0()1,0()0,1()0,0(:→→→L 直线段围成的闭路解：0),0,1()0,0(:1=→y L ； x y L -=→1),1,0()0,1:2；0),0,0()1,0(:3=→x Ldy y x dx y x l)()(222+-+⎰1])1([012012210-=--+-=⎰⎰⎰dy y dx x x xdx 用格林公式2)(),(y x y x P += 22),(y x y x Q --=x y x Q x 2),(-= )(2),(y x y x P y +=dy y x dx y x l)()(222+-+⎰=+-=⎰⎰Ddxdy y x )2(2⎰⎰-+-xdy y x dx 1010)2(21)2321(210-=-+-=⎰dx x x2、求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围的面积解：dt t t a ydx xdy A l ⎰⎰=-=π20222sin cos 232183)4cos 1(1632202a dt t t a ππ=-=⎰3、用格林公式计算（1）、dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰)0,0()2,3()0,3()0,0(:→→→L 直线段围成的三角形边界解：653),(-+=y x y x Q 42),(+-=y x y x P3),(=y x Q x y y x P y -=),(dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰12212344=⨯⨯⨯==⎰⎰Ddxdy ⎰⎰-+-x dy y x dx 1010)2(2（2）、dy y y x dx xe xy l x)cos ()32(2-++⎰1:2222=+by a x L 逆时针方向解：x xe xy y x P 32),(+= y y x y x Q c o s ),(2-=x y x Q x 2),(= x y x P y 2),(=dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰00==⎰⎰Ddxdy（3）、⎰+++l y ydy e x dx xey )1()(22224:x x y l -=由)0,4()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly xe y y x P 2),(+= 1),(22+=y e x y x Qy x xe y x Q 22),(= y y xe y x P 221),(+=⎰+++L y y dy e x dx xe y )1()(222ππ2)2(212-=-=-=⎰⎰Ddxdy 于是⎰+++ly ydy e x dx xey )1()(222-+++=⎰dy e x dx xe y y OA y )1()(22(2⎰+++Ly ydy e x dx xey )1()(222ππ2824+=+=⎰xdx（4）、⎰---l dy y y x dx y )sin ()cos 1(x y l s i n:=上由)0,()0,0(π→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly y x P cos 1),(-= )s i n (),(y y x y x Q --=y y y x Q x sin ),(+-= y y x P y s i n ),(=⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y ⎰⎰⎰⎰-=-=xDydy dxydxdy sin 0π4)12((cos 41sin 21002πππ-=-=-=⎰⎰x xdx于是⎰---ldy y y x dx y )sin ()cos 1(----=⎰dy y y x dx y OA )sin ()cos 1((⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y4400πππ=+=⎰dx（5）、⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(2222:x x y l -=上由)1,1()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-++=l AB OA Ly x y x P -=2),( )s i n ),(2y x y x Q --=-=),(y x Q x 1),(-=y x P y⎰-+++--1)sin ()(22lAB OA dy y x x dx y x 0=于是⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(22+--=⎰dy y x dx y x OA)sin ()(22dy y x dx y x AB)sin ()(22--=⎰+=⎰102dx x ⎰--12)sin 1(dy y⎰---=10)2cos 1(21131dy y 672sin 41-= （6）、⎰+++l xxdy e x dx ye )()1( 1:2222=+by a x L 上由)0,()0,(a a →-的上半椭圆解：先补足成闭路1),(-++-=l a a Lx ye y x P +=1),( x e x y x Q +=),(x x e y x Q +=1),( x y e y x P =),(ab dxdy dy e x dx ye Dl a a x x π21)()1(1),(==+++⎰⎰⎰-++- 于是⎰+++lxx dy e x dx ye )()1(ab dy e x dx ye a a x x π21)()1(),(-+++=⎰+- ab dx a a π21-=⎰-ab a π212-= 4、证明下列曲线积分在xoy 面内与路径无关，并计算积分值（1）、⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y xy x y x P +=),( y x y x Q -=),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数1),(=y x Q x 1),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x ⎰+=21)1(dx x ⎰-+31)2(dy y=--+-+=)19(214)14(21125 （2）、⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy32),(4+-=y xy y x P 324),(xy x y x Q -= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数342),(y x y x Q x -= 342),(y x y x P y -= 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ⎰+=21)22(dx x ⎰-+13)164(dy y544)14(2=-+-+=25（3）、⎰-++),()0,0()c o s ()s i n (ππdy y xe dx x e y yx e y x P y sin ),(+= y xe y x Q y cos ),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( yy e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++),()0,0()cos ()sin (ππdy y xe dx x e yy⎰+=π0)sin 1(dx x ⎰-+ππ0)cos (dy y e y=--++=0)1(2πππe 252+=ππe 5、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某一个函数),(y x u 的全微分，并且求这样的函数),(y x u（1）、dy y x dx y x )2()2(+++解答：y x y x P 2),(+= y x y x Q +=2),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数2),(=y x Q x 2),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使dy y x dx y x y x du )2()2(),(+++=⎰+++=),()0,0()2()2(),(y x dy y x dx y x y x u ⎰=x xdx 0⎰++ydy y x 0)2(2221221y xy x ++=（2）、dy y xe dx e x y y )2()2(-++解答：y e x y x P +=2),( y xe y x Q y 2),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( y y e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y xe dx e x y y )2()2(-++⎰-++=),()0,0()2()2(),(y x yydy y xe dx e x y x u ⎰+=x dx x 0)12(⎰-+yy dy y xe 0)2(=-+-+=x xe y x x y 22y xe y x +-22（3）、y d y x y d x x 3c o s 2c o s 33s i n 2s i n2-解答：y x y x P 3sin 2sin 2),(= y x y x Q 3c o s 2c o s 3),(-= 都是初等函数，因此在xoy面内有连续的偏导数y x y x Q x 3c o s 2s i n 6),(= y x y x P y 3c o s 2s i n 6),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰-=),()0,0(3cos 2cos 33sin 2sin 2),(y x ydy x ydx x y x uy x ydy x y 3sin 2cos 3cos 2cos 30-=-=⎰（4）、dy ye y x y x dx xy y x y)122()3(223322++++解答：32283),(xy y x y x P += yye y x y x y x Q ++=223122),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数22246),(xy y x y x Q x += =),(y x P y 22246xy y x + 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰++++=),()0,0(223322)122()83(),(y x y dy ye y x y x dx xy y x y x u31 ⎰++=yy dy ye y x y x y x u 0223)122(),(y y e ye y x y x -++=322346、设→→→-++=j xy i y x F )12()(2试证：在在xoy 面内，→F 作的功与路径无关证明：⎰-++=l dy xy dx y x W )12()(22),(y x y x P += 12),(-=xy y x Q 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数 y y x Q x 2),(= y y x P y 2),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内积分与路径无关，所以在在xoy 面内， →F 作的功与路径无关。

高等数学(本科)第九章课后习题解答

习题9.11.二元函数()y x f ,在有界闭区域D 可积的充分与必要条件是什么？它的几何意义和物理意义是什么？【答】几何意义表曲顶柱体的体积的代数和；物理意义表平面薄片的质量. 2.设()(){}11|,22≤+-=y x y x D ，则二重积分⎰⎰=Ddxdy π.【解】根据二重积分的性质，⎰⎰Ddxdy 等于积分区域D 的面积.而此处积分区域D 是半径为1的圆域，因此其面积为π. 3.求⎰⎰Ddxdy 4，其中(){}1|,≤+=y x y x D .【解】⎰⎰Ddxdy 4()()824442=⨯===⎰⎰D S dxdy D.4.如果闭区域D 被分成区域1D 、2D 且()5,1⎰⎰=D dxdy y x f ，()1,2⎰⎰=D dxdy y x f ，求()⎰⎰Ddxdy y x f ,.【解】根据二重积分的性质()⎰⎰Ddxdy y x f ,()⎰⎰+=1,D dxdy y x f ()615,2=+=⎰⎰D dxdy y x f .5.设()⎰⎰+=13221D d y x I σ， (){}22,11|,1≤≤-≤≤-=y x y x D ；()⎰⎰+=23222D d y x I σ，其中(){}20,10|,2≤≤≤≤=y x y x D .试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.【解】因为积分区域2D 关于x 轴及y 轴均对称，且被积函数()()322,y x y x f +=为偶函数，故根据二重积分的对称性知214I I =. 6.估计下列积分的值. （1）⎰⎰+=Dy xd e I σ22，其中(){}41|,22≤+≤=y x y x D ；【解】积分区域D 的面积πσ3=.显然被积函数()32,y x e y x f +=在积分区域D 内有最小值e e m ==1及最大值4e M =，因此由估值定理知 433e I e ππ≤≤.（2）⎰⎰=Dyd x I σ22sin sin ，其中(){}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0|,.【解】积分区域D 的面积2πσ=.显然被积函数()x x y x f 22sin sin ,=在积分区域D 内有最小值()00,0==f m 及最大值12,2=⎪⎭⎫⎝⎛=ππf M ，因此由估值定理知20π≤≤I .7.设函数()y x f ,在点()b a ,的某个邻域内连续，D 表示以点()b a ,为圆心且完全含在上述邻域内的圆域（半径为R ）.求极限 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20.【解】积分区域D 的面积2R πσ=.由积分中值定理知 ()⎰⎰Dd y x f σ,()()ηξπσηξ,.,2f R f ==.显然当0→R 时，()()b a ,,→ηξ，所以 ()⎰⎰→DR d y x f R σπ,1lim20()()b a f f R ,,lim 0==→ηξ.8.设区域(){}1|,22≤+=y x y x D ，()y x f ,为区域D 上的连续函数，且 ()()dxdy y x f y x y x f D⎰⎰---=,11,22π. ① 求()y x f ,.【解】记 ()dxdy y x f a D⎰⎰=,. ②则①成为()πay x y x f ---=221,. ③由③得()⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=DDDdxdy adxdy y x dxdy y x f π221,. ④其中，根据几何意义及性质可知32134211322ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=--⎰⎰dxdy y x D.π=⎰⎰Ddxdy .所以由④式得到 3.32ππππ=⇒-=a a a . 将3π=a 代入③即得到()311,22---=y x y x f .习题9.21.在化二重积分时，选择坐标系的原则是什么？【解】选择坐标系的原则主要是根据积分区域的形状，具体地讲，积分区域的边界曲线是用直角坐标方程表示方便还是用极坐标方程表示简洁.当然，被积函数的特征也要考虑，如形如()22y xf+的积分就首选极坐标系来计算.2.先画出积分区域，再计算二重积分.（1）()⎰⎰+Dd y x σ22，其中D 是矩形区域：1,1≤≤y x ；【解】记(){}10,10|,1≤≤≤≤=y x y x D .由对称性知()⎰⎰+Dd y xσ22()⎰⎰+=1224D d y x σ()dy y x dx ⎰⎰+=101224⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=101032|314dx y y x 3831314314101032|=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰x x dx x .（2）()⎰⎰++Dd y y x x σ3233，其中D 是矩形区域：10,10≤≤≤≤y x ；【解】()⎰⎰+Dd y xσ22()dy y y x x dx ⎰⎰++=10103233⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=10104223|4123dx y y x y x1412141412310103423|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰x x x dx x x .（3）()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的区域；【解】()⎰⎰+Dd y x σ23()dy y x dx x⎰⎰-+=202023()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-20202|3dx y xy x()()[]()3204324222232020232022|=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++-=-+-=⎰⎰x x x dx x x dx x x x .（4）()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π，()ππ,的三角形区域；【解】()⎰⎰+Dd y x x σcos ()dy y x x dx x ⎰⎰+=π00cos ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π00|sin dx y x x x()⎰⎰⎰-=-=πππ0sin 2sin sin 2sin xdx x xdx x dx x x x()()⎰⎰+-=ππ00cos 2cos 21x xd x xd 【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰ππππ0000cos cos 22cos 212cos 21||xdx x x x xd x xπππππππ2321sin 2sin 2121||00-=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=x x .（5）⎰⎰Dxy dxdy ye ，其中D 是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域；【解】⎰⎰Dxydxdy ye dy ye dx x xy⎰⎰=22121()x d e yd x x xy ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221211x d dy e ye x x xy x xy ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2212121|1x d e x x e e x x xy x⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=221212|1121 x d e x e x x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22122212x d e x x⎰=221212x d e xx ⎰-221221其中=⎰x d e x x 221221⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰x d e x 12212【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰2212221211|x x e d x e x ++-=e e 2214x d e xx ⎰221212.所以⎰⎰Dxydxdy ye -=⎰x d e x x 221212e e dx e x e e x22112221422214-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-⎰. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x sin ，其中D 是矩形区域：ππ20,0≤≤≤≤y x .【解】以直线π=+y x 及π2=+y x 将区域D 分成三个子区域：321D D D D ⋃⋃=.其中，⎩⎨⎧≤≤-≤≤,0,0:1ππx x y D ， ⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0,2:2πππx x y x D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤-,0,22:3πππx y x D ()dy y x dx I x⎰⎰-+=ππ0sin ()dy y x dx x x ⎰⎰--+-+πππ02sin ()dy y x dx x⎰⎰-++πππ022sin其中()dy y x dx x⎰⎰-+ππ0sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-ππ00|cos ()()πππ=+=+=⎰|0sin cos 1x x dx x ；()dy y x dx xx⎰⎰--+-πππ02sin ()dx y x xx ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--πππ02|cosππ220==⎰dx ；()dy y x dx x ⎰⎰-+πππ022sin ()dx y x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-πππ022|cos ()()πππ=-=-=⎰|0sin cos 1x x dx x .所以 .42ππππ=++=I3.化二重积分()⎰⎰Dd y x f σ,为二次积分，且二次积分的两个变量的积分次序不同，其中积分区域D 为：（1）由直线x y =及抛物线x y 42=所围成的区域；【解】联立⎩⎨⎧==,4,2x y x y 解得⎩⎨⎧==,0,0y x 或⎩⎨⎧==.4,4y x 所以直线x y =及抛物线x y 42=的交点为()0,0及()4,4.（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤.40,2:x x y x D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=402,xxdy y x f dx .（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.40,41:2y y x y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰=40412,y y dx y x f dy .（2）半圆形区域222r y x ≤+，0≥y .（i ）若视区域D 为-X 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤.,0:22r x r x r y D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰--=rrx r dy y x f dx 320,.（ii ）若视区域D 为-Y 型区域，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤--.0,:3222r y y r x y r D()⎰⎰Dd y x f σ,()⎰⎰---=ry r y r dx y x f dy 03222,.4．交换下列积分次序（1）()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ；【解】D 是由圆周曲线()1122=+-y x ，2=+y x 【两曲线交于点()1,1】所围成的区域.故()⎰⎰--21222,x x xdy y x f dx ().,11122⎰⎰-+-=y ydy y x f dy（2）()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,；【解】积分区域D 由曲线x y ln =，及x 轴和直线e x =所围成. 若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则⎩⎨⎧≤≤≤≤,10:1y ex e D y ，所以()⎰⎰e xdy y x f dx 1ln 0,().,10⎰⎰=eey dx y x f dy（3）()⎰⎰102,x xdy y x f dx ；【解】积分区域D 由抛物线x y 42=及两直线x y =和直线1=x 所围成.若改变积分次序，即将区域D 视为-Y 型区域，则需要将D 分块： 21D D D ⋃=.其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,1041:21y yx y D ，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤,21141:22y x y D .所以 ()⎰⎰102,xxdy y x f dx()⎰⎰=10412,y y dx y x f dy ()⎰⎰+211412,y dx y x f dy .（4）()⎰⎰--0121,ydx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy .【解】积分区域21D D D ⋃=.其中⎩⎨⎧≤≤-≤≤-,0121:1y x y D ，⎩⎨⎧≤≤≤≤+,1021:2y x y D 因此积分区域D 是由三直线1,1=-=+y x y x 及2=x 所围成的三角形区域.若改变积分次序，即将区域D 视为-X 型区域，则⎩⎨⎧≤≤-≤≤-21,11:x x y x D所以 ()⎰⎰--0121,y dx y x f dy ()⎰⎰++1021,ydx y x f dy ()⎰⎰--=2111,x x dy y x f dx .5.计算⎰⎰-10122xy dy e dx x .【解】积分区域D 是由直线x y =、1=y 及y 轴所围成的三角形区域. 改变积分次序得⎰⎰-10122x y dy e dx x ⎰⎰-=10022y y dx x dy e ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1003|312dy x e y y⎰-=103231dy e y y ()⎰--=102261y ed y 【分部】 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--10210222|61y d e e y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--|101261y e e 6131+-=e .6.求由平面0,0==y x 及1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+622截得的立体的体积.【解】根据二重积分的几何意义知()⎰⎰--=Ddxdy y x V 226.其中积分区域D 是xoy 面内由直线1=+y x 及x 轴、y 轴所围成的平面区域.V ()dy y x dx x⎰⎰---=1010226⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-101032|316dx y y x y x()()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----=101023323175234131116dx x x x dx x x x x .617317253231|10234=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x . 7.利用极坐标计算下列各题. （1）⎰⎰+Dy xd e σ22，其中D 是圆形区域：422≤+y x ；【解】⎰⎰+Dy xd e σ22⎰⎰+=1224D y xd e σ【极坐标】()121244202020|22-=⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰e e rdr e d r r ππθπ.（2）()⎰⎰++Dd y x σ221ln ，其中D 是圆周122=+y x 及坐标轴在第一象限内所围成的区域；【解】()⎰⎰++Dd y x σ221ln 【极坐标】()=+=⎰⎰rdr r d 20121ln πθ【令t r =2】()dt t ⎰+=11ln 4π【分部】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⎰dt t t t t 101011ln 4|π()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=⎰dt t t 101112ln 4π []()12ln 241ln 42ln 4|10-=+--=πππt t .（3）σd x yD⎰⎰arctan ，其中D 是由圆周122=+y x ，422=+y x 及直线xy y ==,0在第一象限内所围成的区域；【解】rdr r r d dxdy x y I D.cos sin arctan arctan 4021⎰⎰⎰⎰==πθθθ==⎰⎰rdr d .421πθθ .64321.21.22124024021||πθθθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰r dr r d（4）⎰⎰Dxdxdy ，(){}x y x y x D 22|,22≤+≤=；【解】⎰⎰Dxdxdy ⎰⎰=12D xdxdy 【极坐标】⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰24cos 204020.cos .cos 2ππθπθθθθrdr r d rdr r d⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰⎰24cos 20340202|31cos .cos 2ππθπθθθθd r dr r d ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰24420340cos 3831sin 2||πππθθθd r θθππd ⎰+=244cos 3163424132331634ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=.【其中θθππd ⎰244cos θθππd 22422cos 1⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()θθθππd ⎰++=2422cos 2cos 2141⎰=2441ππθd ()⎰+2422cos 41ππθθd ＋⎰+2424cos 141ππθθd 413234sin 3214812sin 41441||2424-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯++⨯=πθπθπππππ】. 【注意：此题书中答案有误】.（5）⎰⎰-Ddxdy y x ，(){}0,0,1|,22≥≥≤+=y x y x y x D ；【解】以直线x y =将积分区域D 分块：21D D D ⋃=其中1D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及x 轴和直线x y =所围成；其中2D 由圆周()0,0122≥≥=+y x y x 及y 轴和直线x y =所围成.⎰⎰-Ddxdy y x ()+-=⎰⎰1D dxdy y x ()⎰⎰-2D dxdy x y 【极坐标】()rdr r r d ⎰⎰-=14sin cos θθθπ()rdr r r d ⎰⎰-+124cos sin θθθππ()dr r d ⎰⎰-=1240sin cos πθθθ()dr r d ⎰⎰-+1224cos sin ππθθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=||1034031.cos sin r πθθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+||1032431.sin cos r ππθθ ()()12311231-+-=()1232-=. （6）()⎰⎰+Ddxdy y x y 23，(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D .【解】()⎰⎰+Ddxdy y x y 23⎰⎰=Dydxdy ⎰⎰+Ddxdy y x 230+=⎰⎰Dydxdy【极坐标】rdr r d ⎰⎰=20.sin θθπdr r d ⎰⎰=220sin πθθ31631cos ||2030=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r πθ. 8.把()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22化为单重积分，其中(){}1|,22≤+=y x y x D .【解】()⎰⎰+=Ddxdy y xfI 22【极坐标】()⎰⎰=1204rdr r f d πθ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰1020.4rdr r f d πθ()⎰=102rdr r f π.9.把下列积分化为极坐标形式，并计算其积分值. （1）()⎰⎰-+ay a dx y xdy 002222；【解】()⎰⎰-+ay a dx y xdy 02222【极坐标】404228412|a r rdr r d aaππθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰. （2）()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222；【解】()⎰⎰-+ax ax dy y xdx 2020222【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 20cos 202πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛20cos 204|41πθθd r a . 44244432.!!4!!34cos 4a a d a ππθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰.（3）⎰⎰+axdy y x dx 022；【解】⎰⎰+axdy y x dx 022【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec 0.πθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40sec 03|31πθθd r a ⎰=4033sec 31πθθd a []|403tan sec ln tan .sec 61πθθθθ++=a()[]21ln 2613++=a【其中，()⎰⎰==θθθθtan sec sec 3d d I 【分部】()⎰-=θθθθsec tan tan .sec d⎰-=θθθθθd 2tan sec tan .sec ()⎰--=θθθθθd 1sec sec tan .sec 2 I d d -++=+-=⎰⎰θθθθθθθθθθtan sec ln tan .sec sec sec tan .sec 3所以，[]C I +++=θθθθtan sec ln tan .sec 21.】（4）⎰⎰+1222xxdx y x dx .【解】⎰⎰+10222xxdx y x dx 【极坐标】==⎰⎰rdr r d a 40sec tan 0.πθθθ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛40tan sec 03|31πθθθd r a ⎰=40333tan sec 31πθθθd a ()()⎰-=40223sec 1sec sec 31πθθθd a()12452sec 31sec 5131|40353+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πθθa .10.设()x f 为连续函数，且()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22，其中(){}222|,t y x y x D ≤+=，求极限()tt F t '→0lim.【解】()()⎰⎰+=Ddxdy y x f t F 22【极坐标】()rdr r f d t⎰⎰=πθ202()r dr r f t⎰=022π.故 ()()22t tf t F π='. ① 所以()t t F t '→0lim【代入 ①】()()022lim 0f t t tf t ππ==→. 【注意：怀疑此题本身有问题，故对题目本身作了合理修正】11*.设()x f 在[]1,0上连续，并设()A dx x f =⎰10，求()()⎰⎰101xdy y f x f dx .【解】记⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,1:1x y x D ⎩⎨⎧≤≤≤≤,10,0:2x x y D ，21D D D ⋃=.则 ()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==1111. ①()()()()dxdy y f x f dy y f x f dx I D x⎰⎰⎰⎰==2102. ②又交换积分次序后()()==⎰⎰111x dy y f x f dx I ()()⎰⎰10y dx y f x f dy ()()⎰⎰=10xdy y f x f dx ，即21I I =.所以有 ()()()dxdy y f x f I I I D⎰⎰=+=2121211 ()()210102121A dy y f dx x f ==⎰⎰. 12*.设()x ϕ为[]1,0上的正值连续函数，证明：()()()()()b a dxdy x y x b y a D+=++⎰⎰21ϕϕϕϕ，其中b a ,为常数，(){}10,10|,≤≤≤≤=y x y x D . 【证明】因为积分区域D 关于直线x y =对称，则 ()()()=+=⎰⎰Ddxdy y x x I ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x y ϕϕϕ. ① 故有()()()()212121==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y x y x I ϕϕϕϕ. ② 所以有()()()()=++⎰⎰D dxdy x y x b y a ϕϕϕϕ()()()b dxdy y x y a D++⎰⎰ϕϕϕ()()()⎰⎰+Ddxdy y x x ϕϕϕ ).(21b a bI aI +=+= 13*.设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式()()()21a b dx x f dx x f baba-≥⎰⎰. 【证法一】考虑到定积分与变量的记号无关.故有： ()()⎰⎰=b a bay f dy x f dx. ① 以及()().dy y f dx x f baba⎰⎰= ②所以有()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy y f x f x f dx dx x f ③其中，⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 同时()()()()..⎰⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D b a b a dxdy x f y f x f dx dx x f ④ ③+④，得()()()()()()()()()().2.2⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D Db a b a dxdy y f x f x f y f dxdy y f x f x f y f x f dx dx x f ()222.Ddxdy b a ==-⎰⎰即： ()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 【证法二】：因为()0≥x f ，所以有20b a dx ⎡⎤⎢≥⎢⎣⎰，即 ()()()220.bbaadxf x dx b a f x λλ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式()()()20b b a a dx b a f x dx f x ⎡⎤⎡⎤∆=--≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰. ② 故由②得到()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ⎡⎤⎡⎤≥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰14*.设()x f 在闭区间[]b a ,上连续.试利用二重积分证明不等式()()()dx x fa b dx x f ba ba ⎰⎰-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡22.【证明】由于()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰dx x f b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dx x f dx x f b a b a ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰dy y f dx x f ba b a . ① 令 ⎩⎨⎧≤≤≤≤.,:b y a b x a D 则由①得到()()()dxdy y f x f dx x f Dba ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2. ②又 ()()()()222y fx fy f x f +≤.③故()()()dxdy y fx f dx x f Db a ][21222+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰⎰b a b a b a b a dy y f dx dx x f dy 2221 ()()dx x f a b b a ⎰-=221()()dy y f a b b a ⎰-+221【定积分与变量记号无关()()dx x fa b ba⎰-=2.15*.设区域(){}0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分⎰⎰+++Ddxdy y x xy2211.【解】⎰⎰+++Ddxdy y x xy 2211⎰⎰++=D dxdy y x 2211⎰⎰+++D dxdy yx xy221 0112122+++=⎰⎰D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ⎰⎰+=2102112πθ ()().2ln 21ln 21112|1022102πππ=+=++=⎰rr d r习题9.３1.利用定积分、二重积分和三重积分计算空间立体体积时，被积函数和积分区域各有什么不同？【解】略.2.将三重积分()dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=,,化为三次积分，其中空间区域分别为：（1）由曲面22y x z +=，0=x ，0=y ，1=z 所围成且在第一卦限内的区域；【解】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤+Ω.10,10,1:222x x y z y x Ω向xoy 面上投影区域为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:2x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I y x x ⎰⎰⎰+-=1101222,,.（2）由双曲抛物面xy z =及平面01=-+y x ，1=z 所围成的区域；【解】⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤≤≤Ω.10,10,0:x x y xy z Ω向xoy 面上投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.10,10:x x y D xy ，所以()dz z y x f dy dx I xyx⎰⎰⎰-=01010,,.（3）由曲面222y x z +=及22x z -=所围成的区域. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧-=+=,2,2222x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 1:22≤+y x D xy . 故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≤≤---≤≤+Ω.11,11,22:22222x x y x x z y x所以()dz z y x f dy dx I x y x x x ⎰⎰⎰-+----=22222221111,,.3.利用直角坐标系计算下列三重积分.（1）dV z xy ⎰⎰⎰Ω32，其中Ω是由平面x y =，1=x ，0=z 及曲面xy z =所围区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,0:⎩⎨⎧≤≤≤≤x x y D 故dz z dy y xdx dV z xy xyx⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω03021032⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=xxy dy z y xdx 004210|41⎰⎰=x dy y dx x 0610541⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10075|7141dx y x x 3641131281281|10131012=⨯==⎰x dx x . （2）()⎰⎰⎰Ω+++31z y x dV，其中Ω是由平面0=x ，0=y ，0=z 及1=++z y x 所围成的四面体；【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为三角形区域.10,10:⎩⎨⎧≤≤-≤≤x x y D 故()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω+++311=()dz z y x dy dx x y x ⎰⎰⎰---+++101010311()()z y x d z y x dy dx xyx ++++++=⎰⎰⎰---1111010103()⎰⎰---⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=1010102|11.21xy x dy z y x dx ()⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=10102411121xdy y x dx ⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=1010|411121dx y y x x⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++-=101144321dx x x ().1652ln 21811ln 4321|102-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=x x x （3）()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos ，其中Ω是由抛物柱面x y =以及平面0=y ，0=z ，2π=+z x 所围成区域.【解】Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.20,0:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤πx x y D 故()dxdydz z x y ⎰⎰⎰Ω+cos =()dz z x ydy dx xx⎰⎰⎰-+2020cos ππ()⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-200|2sin ππxxdy z x y dx ()⎰⎰-=200sin 1πx ydy x dx ()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2002|21sin 1πdx y x x ()⎰-=20sin 121πdx x x⎰=2021πxdx 21161sin 21220-=-⎰ππxdx x .【其中2202201614121|πππ==⎰x xdx ；()⎰⎰=-2020cos 21sin 21ππx xd xdx x 【分部】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰2020cos cos 21|ππxdx x x 21sin 21|20-=-=πx .】4.利用柱面坐标计算三重积分.（1）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面z y x 222=+及平面2=z 所围成的区域；【解】本题宜采用“切片法”计算()()dxdy y x dz dz dxdy y xzD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+Ω22222.3163242.||20320202422020πππθπ====⎰⎰⎰⎰z dz r rdr r d dz z z如采用柱面坐标系：()dz dxdy y x⎰⎰⎰Ω+22.3166.2142222.2|206420223222202πππθπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰r r dr r r dz r rdr d r （2）()d V y x ⎰⎰⎰Ω+22，其中Ω是由曲面()222254y x z +=及平面5=z 所围成的区域；【解】（柱面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为.4:22≤+y x D()V d y x⎰⎰⎰Ω+22dr z r dz r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==20205253525220|.2πθπ dr r r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰255223πππ82452|2054=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=r r .（3）dV xyz ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是由球面1222=++z y x 及三个坐标面所围且在第一卦限内的区域.【解】（球面坐标法）Ω在xoy 坐标面上的投影区域为V xyzd ⎰⎰⎰Ω⎰⎰⎰=2015320cos sin cos sin ππρρϕϕϕθθθd d d48161.sin 41.sin 21|||106204202=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ρϕθππ.5.利用球面坐标计算三重积分.（1）()d V z y x ⎰⎰⎰Ω++222，其中()(){}222223,|,,y x z z z y x z y x +≥≤++=Ω；【解】（球面坐标法）()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222⎰⎰⎰=60cos 02220.sin πϕπρρρϕϕθd d dϕρϕππϕd ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6cos 05|51sin 2ϕϕϕππd ⎰=605sin cos 52()ϕϕππcos cos 52605d ⎰-=πϕππ96037cos 6152|606=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.（2）dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由抛物面22y x z +=之上，球面2222=++z y x 之内的部分围成；【解】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧+==++22222,2y x z z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上投影区域.1:22≤+y x D 所以dz dxdy z⎰⎰⎰Ω2⎰⎰⎰-=1222022r rdz z rdr d πθ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-123|22312r r z r π()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10632232dr r r r π()⎰-=1032232dr r r π()πππππ121228151121232107--=-=-⎰dr r ()1323260-=π.【其中()⎰-1032232dr r r π【令t r sin 2=】⎰=404cos .sin 328ππtdt t ()()πππππ228151cos 51328cos cos 328|405404-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰t t td ； .121813232|108107πππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⎰r dr r 】（3）dxdydz x ⎰⎰⎰Ω，其中()(){}0,0,0|,,2222≥≥>≤++=Ωy x a a z y x z y x .【解】（球面坐标法）⎰⎰⎰Ωxdxdydz ⎰⎰⎰=ππρρθϕρϕϕθ00220.cos sin sin ad d d ⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθθ0222.sin cos ad d d404020841.2sin 4121.sin |||a a πρϕϕθππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.6.采用三种坐标计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中()2222|,,{R z y x z y x ≤++=Ω()}2,0222Rz z y x R ≤++>.【解法一】（柱面坐标法）联立⎩⎨⎧=++=++,2,222222Rz z y x R z y x 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .43:222R y x D ≤+dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2 dr z r dz z rdr d R R r R r R R r R r R R ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==------232303220|222222223.2πθπ()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=R dr rR R r R r 23032232232π（令t R r sin =）()[]⎰--=30333cos .cos cos sin 32ππtdt R t R R t R t R[]⎰-+-=30235cos sin cos 3cos 31cos 232ππtdt t t t t R⎰=3045sin cos 34ππtdt t R ⎰-305sin cos 32ππtdt t R⎰+3025sin cos 2ππtdt t R⎰-3035sin cos 2ππtdt t R|30555cos 34ππt R -=|30252cos 32ππt R +|30353cos 2ππt R -|30454cos 2ππt R + ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32311545R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4335R π⎪⎭⎫ ⎝⎛--87325R π⎪⎭⎫ ⎝⎛-+161525R π .480595R π=【解法二】（球面坐标法）球面坐标计算：这时首先要把积分区域Ω分成两个子区域： .21Ω⋃Ω=Ω 其中⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,0,30,20:1R ρπϕπθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ω,cos 20,232,20:2ϕρπϕππθR则dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+22ρρϕρϕϕθππd d d R⎰⎰⎰=2030222.cos sinρρϕρϕϕθπππϕd d d R ⎰⎰⎰+2023cos 20222.cos sin⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰R d d 04302cos .sin 2ρρϕϕϕππ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ϕππρρϕϕϕπcos 204232cos .sin 2R d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=||0530351cos 312R ρϕππ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2375cos .sin 32512ππϕϕϕπd R 551.247.2R π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+|2385cos 81564ππϕπR 5607R π=⎪⎭⎫ ⎝⎛+81.25615645R π5607R π=5160R π+.480595R π= 【解法三】（直角坐标系之“切片法”）将Ω分块为21Ω⋃Ω=Ω.其中()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω11,,20z D y x R z ：，()22212:z Rz y x D z -≤+； ()()⎪⎩⎪⎨⎧∈≤≤Ω22,,2z D y x R z R：，()22222:z R y x D z -≤+. ()()()()[]dz z Rz z dz D S z dxdy dz z dz dxdy zR z D R R z220212022022211-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ5205440151412|R z z R Rππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=；()()()()[]dz z R z dz D S z dxdy dz z dz dxdy z RR z D RR R R z222222222222-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπ 52532480475131|R z z R R R ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 所以dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω2=dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω12dz dxdy z ⎰⎰⎰Ω+225554805948047401R R R πππ=+=. 7.若柱面122=+y x 与平面0=z ，1=z 所围成的柱体内任一点()z y x ,,处的密度22y x z --=μ，试计算该柱体的质量.【解】()()⎪⎩⎪⎨⎧Ω∈-+Ω∈--=--=.,,,,,22212222y x z y x y x y x z y x z μ 其中()⎩⎨⎧∈≤≤+ΩD y x z y x ,,1221：；()⎩⎨⎧∈+≤≤ΩD y x y x z ,,0222：；1:22≤+y x D . 所以 =M ()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122()πππ316161222=+=-++⎰⎰⎰Ωdz dxdy z y x .【其中()dz dxdy y xz ⎰⎰⎰Ω--122【柱面坐标】()dr z r z r dz r z rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=10101221220|222.2πθπ()πππ6161222|10642153=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=⎰r r r dr r r r ；()dz dxdy z y x⎰⎰⎰Ω-+222【柱面坐标】()dr z z r r dz z r rdr d r r ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=110022220|2221.2πθππππ6161|10615=⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰r dr r .】8.分别用定积分、二重积分和三重积分求由22y x z +=和22y x z +=所围成的立体Ω的体积.【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧+=+=,,2222y x z y x z 消z ,得Ω在xoy 坐标面上的投影区域为 .1:22≤+y x D（一）定积分过z 轴上任意一点z 作Ω的截面，则该截面的面积为 ()()()[]1,0,222∈-=-=z z z z z z A πππ所以Ω的体积为()()πππ613121|103210210=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰z z dz z z dz z A V .（二）二重积分 ()[]d xdy y x y xV D⎰⎰+-+=2222【极坐标】()ππθπ61432|10432012=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰r r rdr r r d . （三）三重积分⎰⎰⎰Ω=dV V 【球面坐标】ρρϕϕθπϕϕππd d d ⎰⎰⎰=20sin cos 02242sin()ϕϕπϕϕϕπϕρϕπππππππϕϕcot cot 32sin cos 3231sin 2243245324sin cos 03|2d d d ⎰⎰⎰-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πϕπππ61cot 4132|244=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=. 9.设()x f 在0=x 处可导，且()00=f ，求极限()d xdydz z y x f t t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim，其中(){}2222|,,t z y x z y x ≤++=Ω.【解】()d xdydz z y x f tt ⎰⎰⎰Ω→++222401lim ()⎰⎰⎰=ππρρρϕϕθ00220.sin ad f d d()ρρρϕππd f a 200.cos 2|⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=()ρρρπd f a 20.4⎰=. ①所以()d xdydz z y x ft t ⎰⎰⎰Ω→++22241lim【由①】()4204lim t f tt ⎰→=ρρπ【洛必达法则】()32044lim t t t f t π→=()t t f t 0lim →=π()()00lim 0--=→t f t f t π()0f '=π. 习题9.４1.求由曲线()xy y x C =+222:所围平面图形D 的面积.【解】化曲线C 为极坐标表示：θθsin cos 2=r ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πππθ23,2,0.由对称性知()⎰⎰=12D d D S σ【极坐标】θθπθθπθθd r dr r d ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡==20cos sin 0220cos sin 0|2122()21sin 21sin sin cos sin |2022020====⎰⎰πππθθθθθθθd d d .2.求由曲面222y x z +=及2226y x z --=所围成的立体Ω的体积. 【解】联立⎪⎩⎪⎨⎧--=+=,26,22222y x z y x z 消去z ，得 Ω向xoy 面上的投影区域为 2:22≤+y x D xy .所以Ω的体积为 ()()[]d xdy y x y xV xyD ⎰⎰+---=2222226()d xdy y xxyD ⎰⎰--=22336()ππθπ6433236|2422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r rrdr r d . 3.求由曲面()xyz a z y x S 332223:=++所围立体的体积.【解】做球坐标变换：⎪⎩⎪⎨⎧===,cos ,sin sin ,cos sin ϕρθϕρθϕρz y x 则S 在球坐标下的方程为θθϕϕρsin cos cos sin 3233a =ρρϕϕθθθϕϕππd d d dV V a ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω==3231cos sin cos sin 3022020sin 44⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2020cos sin cos sin 303|32331sin 4ππθθϕϕϕρϕθd d a ⎰⎰=22033cos sin cos sin 4ππϕϕϕθθθd d a.21sin 41sin 21432042023||a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ππϕθ4.证明：曲面2214:y x z S ++= ① 任一点处的切平面与曲面22:2y x z S +=所围立体图形Ω的体积为定值.【证明】任取曲面1S 上一点()0000,,z y x M .令 ()z y x z y x F -++=224,,.则1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面的法向量为 ()()(){}{}1,2,2,,00000-='''=y x M F M F M F z y x .1S 在点()0000,,z y x M 处的切平面π的法平面为()()()02200000=---+-z z y y y x x x .即 ()0222:02020000=-+---+z y x z z y y x x π. ②又由于()10000,,S z y x M ∈，故402020-=-+z y x . ③ 将③式代入②式得0822:000=+--+z z y y x x π. ④ 联立⎩⎨⎧+==+--+,,082222000y x z z z y y x x 消去z ，得 ()()8020202020+-+=-+-z y x y y x x 【由③】4=，故Ω向xoy 面上的投影区域为()()4:2020≤-+-y y x x D xy . ⑤所以，Ω的体积为 ()()[]d xdy y x z y yx x V xyD ⎰⎰+-+-+=2200822()()()[]d xdy y y x x z y xxyD ⎰⎰----+-+=202002028【由③】()()[]d xdy y y x x xyD ⎰⎰----=2024令⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos 00θθr y y r x x 则()()r r r y r y xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,所以()dr d r r V r D θθ⎰⎰-=24()ππθπ841224|20422022=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰⎰r r rdr r d .从而:2S 与π所围立体图形Ω的体积为定值π8.5.形状如22y x z +=，100≤≤z （单位：米）的“碗”，计划在其上刻上刻度使其成为一个容器.求对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是多少？【解】设对应于容积为１立方米的液体在该容器内的高度是h （米）. 由题意知()()σπd y xh h D⎰⎰+-⨯=222.1. ①其中222:h y x D ≤+.()⎰⎰⎰⎰=+πθσ200222.h Drdr r d d y x20421412|h r h ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. ②将②式代入①式得2221.1h h ππ-=，即 2211h π=，解之得π2=h （米）.6.求均匀密度的半椭圆平面薄片()01:2222≥≤+y by a x D 的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得⎰⎰⎰⎰=DDxd d x σσ1； ①⎰⎰⎰⎰=DDyd d y σσ1②【其中令⎩⎨⎧==,sin ,cos θθbr y ar x 则()()abrbr b ar a y ry xrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,由对称性知0=⎰⎰σd x D；()⎰⎰⎰⎰⎰⎰==πθθθθσθ0102.sin sin rdr r d ab drd J br d y r D D⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πθθ01032|31sin d r ab2020232cos 31sin 31|ab ab d ab =-==⎰ππθθθ；又 ()ab D S d Dπσ2121==⎰⎰. 故⎰⎰⎰⎰==DDxd d x 01σσ；ππσσ34213212bab ab yd d y DD===⎰⎰⎰⎰. 所以，平面薄片()01:2222≥≤+y b y a x D 的质心为⎪⎭⎫⎝⎛π34,0b .7.社平面薄片所占的区域D 由抛物线2x y =及直线x y =所围成，它在点()y x ,处的面密度()y x y x 2,=ρ，求此薄片的质心.【解】设D 的质心坐标为()y x ,.由质心坐标公式得()()⎰⎰⎰⎰=DDd y x x d y x x σρσρ,,1σσ⎰⎰⎰⎰=DDyd x yd x 321； ① ()()⎰⎰⎰⎰=D D d y x y d y x y σρσρ,,1⎰⎰⎰⎰=DDd y x yd xσσ2221②ydy x dx yd x xx D⎰⎰⎰⎰=10222σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1022|221dx y x x x ()⎰-=106421dx x x 351715121|1075=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ③ydy x dx yd x x x D⎰⎰⎰⎰=10332σ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=1023|221dx y x x x ()⎰-=107521dx x x 481816121|1086=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x ； ④ dy y x dx d y x xx D2102222⎰⎰⎰⎰=σ⎰⎪⎭⎫⎝⎛=1032|231dx y x x x ()⎰-=108531dx x x 541916131|1096=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x . ⑤故 4835351481==x ；5435351541==y .所以此薄片的质心为⎪⎭⎫⎝⎛5435,4835.8.平面薄片D 由ax y x ≥+22，222a y x ≤+确定，其上任一点处的面密度与离原点的距离成正比，求此薄片的质心.【解】由题意知，面密度()22,y x k y x +=ρ)0(>k .。

高等数学 课后习题答案第九章

第九章习题答案高数下

高等数学课后习题答案第九章

中国人民大学出版社第四版高等数学一第9章课后习题详解

高等数学(同济第七版)第九章课后答案

高等数学(经济类)课后习题及答案第九章多元函数微分

高等数学课后习题答案--第九章

高等数学第九章习题解答

《高等数学》同济第六版 第9章答案

高数答案第9章

高等数学习题九课后答案

高等数学第9章参考答案

高数课后习题九详细答案

(完整word版)大一下册高数习题册答案第9章

高数下第九章的答案

高等数学习题详解-第9章 无穷级数

上海大学高等数学教程课后习题答案(第九章)

高数第九章解答_khdaw

高等数学第九章练习题答案

高等数学课后习题答案第九章1

高等数学(本科)第九章课后习题解答

高等数学课后习题答案第九章

《高等数学》同济第六版第9章答案

高等数学习题详解-第9章无穷级数