第六章弯曲变形_材料力学

实例

车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损

，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。

吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。

研究变形目的

建立刚度条件，解决刚度问题

建立变形协调条件，解决超静定问题

为振动计算奠定基础。

概念

以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。

挠曲线：

在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线

挠度：

梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。

挠曲线的方程式：

转角：

弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。

故

:

挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个基本量。

挠度与转角符号规定：在图示坐标中，挠度向上为正，反时针的转角为正。

此式为挠曲线的近似微分方程。

挠曲线的曲率表示式：

纯弯曲：

横力弯曲：

“

细长梁,

忽略Fs影响。

挠曲线的曲率表达式

纯弯曲：

（a）

横力弯曲：

对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响

（b）

高等数学中对曲率的定义及表达式

于是式（a）转化为

（c）

在我们选定的坐标系内，若弯矩M 为正，则挠曲线向下凸，（如图所示），随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量d S对应的dθ也是正的，于是考虑符号后，式（c）可写成

（d）因为

所以

注意到

代入式（d）及：

（e）

此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f(x)是一非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是

（f）

式（e）

,

于是式（e）可写成

（g）

此式为挠曲线的近似微分方程。

挠曲线的近似微分方程

对等直梁而言，EI为常量，于是上式可写成

积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程

边界条件：

在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是已知的这类条件称为边界条件。

连续条件：

挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的挠度和转角这就是连续条件。

刚度条件：

例题

Example1

图示梁受均布载荷，已知，试用积分法求梁的转角和挠度方程，、 .

Solution.

列弯矩方程：

列微分方程及积分

求积分常数

边界条件：当时，

∴

转角方程及挠度方程：

求,

将=0代入以上二式

Example2

内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方程，及、。

Solution.

求反力：

列弯矩方程：

（AC）

（CB）

列微分方程及积分

（AC）

（CB）

求积分常数

边界条件：

连续条件：

∴

转角方程及挠度方程

（AC）

(a)

(b)

（CB）

(c)

(d)

最大挠度，最大转角

当时，

当时，

若，则,

若，则,

最大挠度

当时,为极值,所以应首先确定为零的截面位置。

.

若在式（a）中，令，可求的

若，则为正值。

可见从截面A到截面C转角由负变正，改变了符号，挠曲线既为光滑连续曲线，=0的截面必然在（AC）段。

令式（a）等于零：

即为挠度为最大值的截面横坐标。以代入式（b）的最大挠度

当F作用于中点时，即，最大挠度发生在中点。

极端情况，当F无限接近右支座时，以省略，于是

可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度，因此，在式（b）中令

求出跨度中点挠度为：

即是在极端情况下，→0时

误差分析：

用代替所引起的误差

结论

可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。

优点：

可以求得挠曲线的转角方程和挠曲线方程，因此可求任意截面的转

角和挠度是最基本的方法。

缺点：

积分法比较麻烦。

在小变形，线弹性前提下（材料服从胡克定律），挠度与转

角均与载荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每一

载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形，这就

是弯曲变形的叠加法。

为了便于工程计算，把简单基本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠度，

最大转角计算公式编入手册，以便查用。

Example 1

Given：

Find ：,

,

Solution：

查表P190

Example 2

Given：

Find ：,,,

Solution：

P189-190

查表

多余约束(redundant restraint)

多余支反力(redundant reaction)

相当系统（equivalent system）静定基

变形比较法

超静定梁求解步骤

判断梁的静不定度；

解除“多余”约束，代之以相应的多余支反力，得到原静不定梁的相当系统；

基本静定梁变形情况与原超静定梁变形情况应该相同,这就是变形协调条件。由变形协调条件和力与变形间的物理关系求得补充方程；

由平衡方程和补充方程求得全部支座反力或内力。