多体多过程动量守恒问题

多体多过程动量守恒问题
名师指路
【例1】（2013·山东卷）如图所示，光滑水平轨道上放置长坂A （上表面粗糙）和滑块C ，滑块B 置于A 的左端，三者质量分别为m A =2kg 、m B =1kg 、m C =2kg 。

开始时C 静止，
A 、
B 一起以v 0=5m/s 的速度匀速向右运动，A 与
C 发生碰撞（时间极短）后C 向右运动，经过一段时间A 、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 碰撞。

求A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度大小。

思维导引：多体多过程动量守恒问题，其实就是多个一体、二体问题的组合，而每一个分阶段涉及的过程都是动量问题中的基本模型。

因此，清晰的物理过程和研究对象的准确选择，是多体多过程动量守恒问题解决的关键。

【名师指路】A 、C 碰撞是一个什么性质的碰撞？再就是A 、C 碰撞过程中，是否应该将B 扯进来？而题目中“（AB ）且恰好不再与C 碰撞”内涵的挖掘，更是本题答题的关键。

突破上述问题，并将过程分析清楚，才能够顺利地完成本题。

解法1：分阶段分析法
【名师指路】这种方法的基本套路是按照事物发展的先后顺序，一个阶段一个阶段的处理，分析过程中要注意不同阶段衔接点的速度——前一阶段的末速度即为下一阶段的初速度。

【名师指路】第一个问题是，A 、C 碰撞过程中，是否应该将B 扯进来？第一个问题，
A 、C 碰撞过程时间极短，A 、C 间相互作用的内力远大于
B 给A 的摩擦力，因此在碰撞这一过程中，A 、
C 动量守恒；另一方面，由于碰撞时间极短，B 的速度也来不及发生明显改变，即A 、C 碰撞结束时，B 的速度仍为v 0。

【名师指路】第二个问题是，A 、C 碰撞是一个什么性质的碰撞（弹性的？完全非弹性的？），题目没做任何明示或者暗示，因此应该做最一般的假设，即两者速度不相同。

【解析】因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为v A ，C 的速度为v C ，由动量守恒定律得
0A A A C C
m v m v m v =+【名师指路】此时B 的速度是原来的v 0，而A 的速度因为与C 碰撞必然减小了，所以接下来B 将减速而A 将加速，直到AB 共速，这个过程中A 一直没有没有与C 碰撞。

A 与
B 在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为v AB ，由动量守恒定律得
0()A A B A B AB
m v m v m m v +=+【名师指路】“（AB 共速时）且恰好不再与C 碰撞”这句话说明了什么？如果v AB 大于v C ，A 一定会与C 发生第二次碰撞；而AB C v v ≤就能保证A 不再与C 碰撞，因此，“恰好”的含义应该是是指AB C v v =。

A 与
B 达到共同速度后恰好不再与
C 碰撞，应满足
AB C
v v =三式联立，代入数据，解得：2m /s
A v =A B
C
解法2：全过程分析法
【名师指路】这种方法的套路，是直接分析全过程、全体研究对象作为一个整体是否满足动量守恒条件，并直接从全过程的初态到全过程的末态进行分析。

【名师指路】如前分析，“（AB 共速时）且恰好不再与C 碰撞”意味着最终AB 的共同速度AB C v v =；而对A 、B 、C 系统而言，水平方向一直不受力，因此系统动量守恒。

【解析】A 、B 、C 系统水平方向一直不受力，因此系统动量守恒，设A 、B 、C 三者最终的共同速度为v ，则有
0()()A B A B C m m v m m m v
+=++【名师指路】题目要求的是A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度大小，而我们已知了碰后C 的速度为v ，则对A 、C 碰撞过程用动量守恒，就可以算出A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度大小。

因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为v A ，C 的速度为v C ，由动量守恒定律得
0A A A C m v m v m v
=+两式联立，代入数据，解得：
2m /s A v =。

解后反思
分阶段分析法是按事物发展先后顺序分析，过程清晰，思维难度低；全过程分析法的分析过程不再按事物发展先后顺序进行，这种方法，大多数情况下思路要简洁一些，但对综合分析能力提出了较高的要求，这种能力是需要通过多见识来培养提高的。

【例2】（2013·新课标卷2）如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m 的物块A 、
B 、
C 。

B 的左侧固定一轻弹簧（弹簧左侧的挡板质最不计）。

设A 以速度v ０朝B 运动，压
缩弹簧；当A 、B 速度相等时，B 与C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动。

假设B 和C 碰撞过程时间极短。

求从A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中，
（1）整个系统损失的机械能；
（2）弹簧被压缩到最短时的弹性势能。

思维导引：本题涉及到了完全非弹性碰撞模型和弹簧模型，涉及了弹性势能的变化的计算，而过程也多达3个阶段——对这种多过程复杂问题，要有对过程的清晰把握，就需要分阶段画好过程草图，并将不同阶段相互作用的物体是那几个要弄清楚，从而才可能正确选取研究对象和确定清楚研究对象的初末态，进而正确列出方程求解。

【名师指路】整个过程分为几个阶段？每个阶段是那几个物体在相互作用？弹簧的长度在怎样变化着？什么叫做机械能的损失？整个运动过程中，在哪个阶段存在机械能损失？是A 、B 相互作用阶段，还是B 、C 碰撞时？弹簧压缩最短时，是A 、B 速度相等时吗？这几个问题的正确回答是解决本题的前提。

很多同学因为无法正确分析过程和不很清楚机械能损失的含义（以为是动能的损失就是机械能的损失），从而导致解题时答非所问。

【名师指路】按事物发展的先后顺序，一步一步的画好过程草图，然后再答题。

如下：
①→②：A 、B 相互作用，压缩弹簧，达到共同速度v 1；
②→③：B 、C 完全非弹性碰撞，结为一体，具有共同速度v 2（＜v 1），此时A 的速度仍为v 1；
③→④：A 向右继续压缩弹簧，A 减速，BC 加速，至三者达到共同速度v 3（＞v 2）。

【名师指路】机械能包含哪几种能量？重力势能、弹性势能和动能。

①→②过程，是A 、B 整体的动能减少转化为弹簧弹性势能，A 、B 、弹簧系统机械能是守恒的，不存在机械能损失；同理，③→④过程也没有机械能损失；有机械能损失的是B 、C 完全非弹性碰撞过程——B 、C 整体的动能减少转化为内能。

所以，第一问计算整个系统机械能的损失，就是计算B 、C 完全非弹性碰撞过程的机械能损失。

【名师指路】B 、C 完全非弹性碰撞过程的机械能损失如何计算呢？这需要先将B 的初速度v 1和B 、C 碰后的共同速度v 2算出来后才能进行。

这就要分两个阶段用动量守恒来处理。

【解析】（1）从A 压缩弹簧到A 与B 具有相同速度v 1时，对A 、B 与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得
01
2mv mv =此时B 与C 发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v 2，损失的机械能为ΔE 。

对
B 、
C 组成的系统，由动量守恒和能量守恒定律得
12
2mv mv =221211(2)22mv E m v =∆+联立三式，解得
20116E mv ∆=【名师指路】弹簧被压缩到最短是哪个时候？是A 、B 速度相等为v 1时吗？根据先前的过程分析可以看出，显然不是。

弹簧被压缩到最短应该是A 、B 、C 三者达到共同速度v 3时。

（2）由于21v v <，A 将继续压缩弹簧，直至A 、B 、C 三者速度相同，设此时速度为v 3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E p 。

由动量守恒，得
03
3mv mv =【名师指路】接下来的问题是：弹簧被压缩到最短时的弹性势能是③→④过程A 、B 、C A B
C
v 0
A
B C v 1
v 1A
B C v 1
v 2v 2A B C v 3
v 3v 3①②③④。