高一数学简单的幂函数PPT教学课件 (4)

§5 简单的幂函数
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重点难点
重点：几个常见幂函数 y＝x，y＝x－1，y＝x2，
1
y＝ x 2 ，y＝x3 等的图像性质．
难点：幂函数图像的奇偶性与单调性及应用．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
1．幂函数的定义 形如y＝xα(其中底数x为_自__变__量____，指数α 为_常__量_______)的函数叫幂函数．
函数
特征
y＝x
性质
y＝x2
1
y＝x3 y＝ x 2
y＝x－1
定义域 R
R
R
[0，＋ {x|x∈R, ∞) x≠0}
值域
R
_[_0，__＋__∞__) _
R
[0，＋ {y|y∈R, ∞) y≠0}
函 数 特征 性质
奇偶 性
单调 性
y＝x
y＝x2
1
y＝x3 y＝ x 2
y＝x－1
奇
偶
奇
x∈[0,＋∞)时,
既是奇函数，又是偶函数．
做一做
3.下列对函数 f(x)＝ x＋ －x的奇偶性判断
错误的是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：选D.f(x)的定义域为{0}，∴f(x)＝0. 4 ． 若 奇 函 数 在 x ＝ 0 处 有 意 义 ， 则 f(0) ＝ ________. 解析：由f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)． ∴f(0)＝0. 答案：0
(3)∵y＝x6为偶函数，∴(－0.31)6＝0.316， 又函数为[0，＋∞)上的增函数，且 0.31<0.35， ∴(－0.31)6<0.356.
题型二 函数奇偶性的判断
例2 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x3－x； (2)f(x)＝x2＋1 1； (3)f(x)＝x4xx＋＋11； (4)f(x)＝|x＋1|；
x
…
－4
－2
－1
－1 2
－1 4
…
0
…
1 4
1 2
1
2
4…
不
y
…
1 16
1 4
1
4 16 … 存 … 16 4 在
1
1 4
1 16
…
作图如图所示．
(3)由(2)可知，f(x)的单调区间为(－∞，0) 及(0，＋∞)． 其中f(x)在区间(－∞，0)上为单调递增的， 在区间(0，＋∞)上为单调递减的，且f(x)的 值域为(0，＋∞)． ∵f(x)＝f(－x)，且定义域关于原点对称， ∴f(x)为偶函数．
解 析 ： 选 A. 由 f(x) 是 偶 函 数 ， 可 得 f( － x) ＝ f(x)，由g(x)是奇函数可得g(－x)＝－g(x)， 故 |g(x)| 为 偶 函 数 ， ∴ f(x) ＋ |g(x)| 为 偶 函 数．
题型三 利用函数奇偶性求解析式
例3 若f(x)是定义在R上的奇函数，当 x<0时，f(x)＝x(2－x)． (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)画出函数f(x)的图像． 【解】 (1)法一：∵f(x)是定义在R上的奇 函数， ∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.
做一做
2.幂函数 f(x)的图像过点2，18，则 f(x)＝
________.
解析：设幂函数的解析式为 f(x)＝xα(α 为常 数)，则18＝2α，解得 α＝－3，即函数的解析式 为 f(x)＝x－3.
答案：x－3
3．函数的奇偶性
已知y＝f(x)，x∈A,则f(x)奇偶性定义见下
表类
别
奇函数
偶函数
做一做 1.在函数 y＝x12，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1 中，
幂函数有( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
2．幂函数的图像及性质 (1)五种常见幂函数的图像： 对于幂函数，我们只讨论 α∈{1,2,3，12，－1} 时的情况，在同一坐标系内这五种常见幂函数 的图像如图所示：
(2)性质
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【规律小结】 (1)求幂函数解析式的步骤： ①设出幂函数的一般形式y＝xα(α为常数)； ②根据已知条件求出α的值；③写出幂函数 的解析式． (2)研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像, 利用图像可以较直观地分析出相应的函数性 质．
变式训练 1．比较下列各题中两个幂的值的大小； (1)2.33，2.43； (2)( 2)－3，( 3)－3； (3)(－0.31)6，0.356. 解：(1)∵y＝x3 为 R 上的增函数，又 2.3<2.4， ∴2.33<2.43. (2)∵y＝x－3 为(0，＋∞)上的减函数，又 2 < 3，∴( 2)－3>( 3)－3.
增
增 x∈(－∞，0]时,
增
减
_非__奇__
_非__偶__
奇
__
0,＋∞
x∈(______)
增
时－，∞减,0 x∈(______)
时，减
定点 ((01,,01)) _____
(1,1) (0,0)
(1,1) (1,1) (0,0) (0,0)
(1,1)
想一想 1.幂函数的图像能过第四象限吗？ 提示：不能，对幂函数y＝xα而言,当x>0时, 必有y>0，故幂函数图像不过第四象限．
典 题 例 证 ·技 法 归 纳
题型探究
题型一 幂函数的定义、图像、性质
例1 函数f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－2是 幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是减函 数． (1)求f(x)的解析式； (2)用描点法作出f(x)的图像；
(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判 断其奇偶性． 【解】 (1)∵f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－ 2为幂函数，且在(0，＋∞)上为减函数， ∴m2－m－1＝1且m2＋m－2<0， ∴m＝－1，即f(x)＝x－2(x≠0)． (2)列表
12x2＋1，x>0
(5)f(x)＝
.
－12x2－1，x<0
变式训练 2．(2011·高考广东卷)设函数f(x)和g(x)分别 是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成 立的是( ) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
定义
原点
y
图像定义
图像关于_____对称 的函数叫作奇函数
图像关于__轴对称 的函数叫作偶函数
语言定义
满足任f意(－xx∈)＝A－，f(x) ________________
满任足意f(－x∈x)A＝，f(x) ______________
__
想一想
2.存在既是奇函数，又是偶函数的函数吗？
提示：存在. f(x)＝0且定义域关于原点对称,