代数综合问题

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代数综合【解析版】

全国联赛代数问题选1. 已知实数 a, b, c 满足 a b c 1，111 1 ，则b cb cac a baabc____．【答】 0.由题意知111 1，所以2c 1 2a1 2b1(1 2a)(12b) (1 2b)(1 2c) (1 2a)(1 2c) (1 2a)(1 2b)(12c)整理得 22(a b c) 8abc ，所以 abc0.2．使得不等式9 n k8对唯一的整数 k 成立的最大正整数n为．17 n 15【答】 144.由条件得7 k8 ，由 k 的唯一性，得 k 17 且 k 1 8 ，所以8 n 9 n8 n 92 k 1 k18 7 1 144 .nnn9 8 ，所以 n7 2当 n144 时，由7k8 可得 126 k 128 ， k 可取唯一整数值127.8n 9故满足条件的正整数n 的最大值为 144.3．已知 x, y 为整数，且满足 (11)( 1212 )2(1414 ) ，则 xy 的可能的值x y xy3 xy有 _________ 个【答】由已知等式得xy x 2 y 22 x 4 y 4 ，显然 x, y 均不为 0，所以 xy ＝ 0xyx 2 y 2 3 x 4 y 4或 3xy2( x y) .若，则又 x, y 为整数，可求得 x ，3xy 2( x y)( 3x2 ) (y32 ). 4y2,x，y 1或 xy1.所以 xy 1.因此， xy 的可能的值有 3 个 .4．已知非负实数 x, y, z 满足 x y z 1，则 t2xyyz 2zx 的最大值为 _________【答】471( y t 2 xy yz 2zx 2x( y z) yz 2x( y z)z)242x(1 x)1 (1 x) 27 x 23 x 17(x 3) 2 4 ，442 44 7 7易知：当 x32 时， t2xyyz 2zx 取得最大值 4， yz.777 5. 张不同的卡片上分别写有数字2， 2， 4， 4， 6， 6，从中取出 3 张，则这 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】【答】25若取出的 3 张卡片上的数字互不相同，有2× 2×2＝ 8 种取法；若取出的 3 张卡片上的数字有相同的，有 3× 4＝ 12 种取法 . 所以，从 6 张不同的卡片中取出3 张，共有 8＋12＝ 20种取法 .要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（ 2，4，4），（ 4，4， 6），（ 2， 6，6），（ 4， 6， 6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的 3 张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝ 8 种 .82因此，所求概率为.2056．设 [t ] 表示不超过实数t 的最大整数，令 {t } t [ t] . 已知实数 x 满足 x 3118 ，3{ 1}x则 { x} _________x【答】 1设 x1 a ，则 x31(x1)( x21 1) ( x1)[( x 1 ) 2 3] a( a 2 3) ，xx 3xx 2x x所以 a( a 2 3) 18，因式分解得 ( a3)(a 2 3a6) 0 ，所以 a3.由 x1 3解得 x1(35) ，显然 0{ x} 1,0 {1} 1，所以 { x} { 1} 1.x2xx7．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元．开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是 2013 元．则他至少卖出了支圆珠笔．【答案】 207【解答】设 x ， y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则4x 7 y 2013，x y 350，所以 x2013 7 y(503 2 y)y 14 4，于是y1是整数．又 20134( xy) 3 y4 350 3y ，4所以 y204 ，故 y 的最小值为 207，此时 x 141 ．8. 实数 a ， b ， c ， d 满足：一元二次方程x 2 cx d0 的两根为 a ， b ，一元二次方程x 2 ax b 0 的两根为 c ， d ，则所有满足条件的数组 ( a ，b ，，c d )为．【答案】 (1， 2，1，2) ， (t，0， t，0) （t为任意实数）a b c，【解答】由韦达定理得ab d，c d a，cd b．由上式，可知 b a c d ．若 b d0 ，则a d1，cb1，进而 b d a c 2 ．b d若 b d0 ，则c a ，有(a，b，，c d )(t，0， t，0) （t为任意实数）．经检验，数组(1， 2，1，2) 与 (t，0， t，0) （t为任意实数）满足条件9. 已知正整数a， b ， c满足 a b2 2 c 2 0， 3a28b c0，则 abc 的最大值为．【答案】 2013【解答】由已知 a b22c 2 0 ， 3a28b c0 消去c，并整理得b826a2a66．由a 为正整数及6a2a≤，可得≤ ≤ ．661 a 3若 a 1 ，则 b8259，无正整数解；若 a 2 ，则 b8240，无正整数解；若 a 3 ，则 b829 ，于是可解得 b11 ， b5．（ i）若b11 ，则 c61 ，从而可得 abc311612013 ；（ ii ）若b 5，则c13 ，从而可得 abc3513195．综上知 abc 的最大值为2013．10.对于任意实数 x，y， z，定义运算“ * ”为：x y 3x3 y3x2 y2xy345，x3y36011且 x y z x y z ，则201320123 2 的值为（）．【答案】5463967【解答】设 20132012 4 m ，则20132012 4 3m33m333m29m2745，m33m23m164960于是2013 20123 2 92 3 932 3 92 22 92345 5463 ．103 33 6096711. 设非零实数 a ， b ， c 满足a 2b 3c 0，则 ab bc ca 的值为（）．2a 3b 4c 0， a 2 b 2 c 2【答案】12【解答】由已知得 a b c (2 a 3b 4c)( a2b 3c) 0 ，故 ( a b c) 2 0 ．于是 ab bcca1 (a2 b2c 2) ，所以abbc ca 1 ．2a 2b 2c 2212. 如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是 _________个答案： 2解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又 2≥，所以，当时，解得；当时，解得．13. 设 a n =（ n 为正整数），则 a 1+a 2+, +a 2012 的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜” ）【答案】＜解：由 a n == ，得a 1+a 2+, +a 2012==＜ 1.14. 红、黑、白三种颜色的球各10 个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有法．种放【答案】25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（ 2）于是．因此中必有一个取 5．不妨设，代入（ 1）式，得到．此时， y 可取 1，2， , ， 8，9（相应地 z 取 9，8， , ， 2，1），共 9 种放法．同理可得y=5，或者 z=5 时，也各有 9 种放法．但时，两种放法重复．因此共有9× 3－ 2 = 25 种放法．15.5 32)( x 3) 的值为 ( ).设 x，则代数式 x( x 1)( x2【答】﹣ 1解：由已知得 x 23x 1 0，于是x( x 1)(x 2)( x 3) ( x 2 3x)( x 2 3x2)( x 2 3x 1)211.16. 已知 x ， y ，z 为实数，且满足 x 2y5z 3 ， x 2 y z 5，则 x 2y 2z 2 的最小值为 _____________【答】5411，x 3z，x 2 y 5z 31解：由x2 y 可得 y z 2.，z 5于是x 2 y 2 z 2 11z 2 2z5 ．因此，当 z1 时， x 2y2z 2的最小值为54．111117. 若 x 1 ， y0 ，且满足 xyx y ， xx 3 y ，则 x y 的值为 ().y【答】92解：由题设可知 yx y 1，于是x yx 3 yx4y 11 1 ．，所以 4 y故 y1 4．于是 x y9 ，从而 x2 ．218.设S1 111 4S 的整数部分等于 ().32 333 ，则132011【答】 4解：当 k2，3，，2011 ，因为111 1 1 ，k 3k k 2 1 2 k 1 k k k 1 所以 1 S11 1 1 11 1 152333201132 22011 2012．4于是有 4 4S 5 ，故 4S 的整数部分等于4．19. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1， 3， 4，5， 6， 8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7 的概率是 .【答】 1．6解：在 36 对可能出现的结果中，有6 对：（1， 6），（ 2， 5），（ 2，5），（3， 4），（3， 4），（4， 3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为 7 的概率是6 1 .36 620. 若 y1 xx 1 的最大值为 a ，最小值为 b ，则 a 2b 2 的值为.2【答】 3．21≥ 0，得 1≤ x ≤ 1．解：由 1 x ≥ 0，且 x22y 21 2 x 2 3 x 1 1 2 ( x3 )2 1 ．22 2 2 4 16由于1<3<1 ，所以当 x = 3 时， y 2 取到最大值 1，故 a = 1．2 4 4当 x = 1 或 1 时， y 2取到最小值1，故 b =2 ．所以， a 2 b 23 ．222221. 若方程 x 2 3x 1 0 的两根也是方程 x 4 ax 2 bx c 0 的根，则 a b 2c 的值为___________答案：﹣ 1122.对于自然数n ，将其各位数字之和记为 a n，如 a2009200911，a2010 2 0 1 0 3 ，则 a1a2a3a2009 a2010_________【答案】 28068.23.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5 个或 10 个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放___ 个球 .【答案】 1524.已知 t 是实数，若a, b是关于 x 的一元二次方程x22x t 10的两个非负实根，则( a21)(b2 1)的最小值是___________.【答案】﹣ 325.如果实数 a, b 满足条件 a2b21，|12a b |2a 1b2a2，则 a b ______.【答案】﹣ 126.已知 a, b 是正整数，且满足2(1515 ) 是整数，则这样的有序数对(a, b) 共有_____ a b对.【答案】 7 对27.设n是大于 1909 的正整数，使得n 1909为完全平方数的n的个数是 ______个2009n【答案】 4 个28.设 a7 1，则3a312 a26a 12__________【答案】 2429.用 [ x] 表示不大于x的最大整数，则方程x22[ x]30 的解为_________【答案】﹣ 3,1，或根号 530.已知实数 x， y 满足423， y4y23，则4y4的值为________x4x2x4【答】 7解：因为 x20 ，y2≥0，由已知条件得1 2 4 4 4 3 1 13 ，y21 1 4 3 1 13，x28422所以4y42 3 3 y22y2 6 7．x4x2x2(22 (222另解：由已知得：2 )x 2)302，以2为根的一元x ，显然x 2 y x 2 , y( y 2 ) y 23 0二次方程为 t 2t 30 ，所以( 2 ) y 21,( 2 )y 23x 2x 24422 2 2 (2 222(3)7故 x4y ＝ [( x 2)y ]x 2 ) y( 1)31. 将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有_______种【答】5种解：设 a 1， a 2，a 3，a 4，a 5 是 1，2， 3， 4， 5 的一个满足要求的排列．首先，对于 a 1，a 2，a 3，a 4 ，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果 a （ 1≤ i ≤ 3）是偶数， a i 1 是奇数，则 a2是奇数，这说明一个偶数后面一定ii要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以 a 1， a 2， a 3，a 4，a 5 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5 种情形满足条件：2， 1， 3，4， 5；2， 3，5， 4， 1；2， 5， 1， 4， 3；4， 3， 1， 2， 5； 4， 5，3， 2， 1．32. 对于实数 u v* ”为： u v uvv ．若关于 x的方程 x (a x)，，定义一种运算 “14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】 a 0 ，或 a 1 ．解：由 x ( a x)1，得 ( a 1)x 2(a 1)x1 0 ，44a 1，依题意有( a2(a 1)，1) 0解得， a 0 ，或 a 1 ．33. 关于 x ， y 的方程 x 2y 2 208( xy) 的所有正整数解为．x 48， x 160，【答】y 32， y32.解：因为 208 是 4 的倍数，偶数的平方数除以4 所得的余数为 0，奇数的平方数除以4所得的余数为 1，所以 x ， y 都是偶数．设 x2a, y 2b ，则a 2b 2 104( a b) ，同上可知， a ， b 都是偶数．设 a2c, b 2d ，则c 2d 2 52( c d ) ，所以， c ， d 都是偶数．设 c2s, d2t ，则s 2 t 226( s t) ，于是( s 13)2 (t 13)2 ＝ 2 132 ，其中 s ， t 都是偶数．所以(s 13)2 2 132 (t 13)2 ≤ 2 132 152 112 ．所以 s13 可能为 1，3，5， 7， 9，进而 (t 13)2 为 337， 329，313，289， 257，故只s ，s，能是 (t13)2＝289，从而 s13 ＝ 7．于是620t；t，44x ，x，因此48 160y ， y 32.3222 1) b(b 2a)40 ， a(b 1) b8 ，求 1 1的值．34．设实数 a,b 满足 a (ba2b 2解由已知条件可得 a 2b 2 (a b)240， ab ( a b)8 .设 ab x ， aby ，则有 x 2y 2 40 ， x y 8 ，,,,, 5 分联立解得 ( x, y) (2,6) 或 ( x, y)(6,2) .,,,10 分若 ( x, y)(2,6) ，即 ab2 ， ab 6 ，则 a, b 是一元二次方程 t 22t 6 0的两根，但这个方程的判别式( 2)224200，没有实数根；,,,, ,15 分若 ( x, y) (6,2) ，即 ab 6 ，ab 2 ，则 a, b 是一元二次方程 t 2 6t2 0 的两根，这个方程的判别式( 6)2 8 28 0 ，它有实数根 . 所以11a2b2( a b) 22ab 62 2 28 .,,,20 分a2b2a2b2a2 b22235. 已知 c≤ b≤ a，且，求的最小值．解：已知，又，且，所以 b， c 是关于 x 的一元二次方程的两个根 .故≥0，≥ 0，即≥0，所以≥20．于是≤-10，≥ 10，从而≥≥ 10，故≥ 30，当时，等号成立．36.求关于 a， b， c，d 的方程组的所有正整数解.解：将 abc=d 代入 10ab+10bc+10ca=9d 得10ab+10bc+10ca=9 abc.因为 abc≠ 0，所以，.不妨设 a≤ b≤ c，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a≤.从而， a=2，或 3.若 a=2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤ 5.从而， b=3 ， 4，5. 相应地，可得c=15，(舍去 )， 5.当a=2， b=3， c=15 时， d=90 ；当a=2， b=5， c=5 时， d=50.若 a=3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b≤.从而， b=2（舍去）， 3.当 b=3 时， c=(舍去 ).因此，所有正整数解为(a， b， c，d)=(2 ，3， 15， 90)， (2， 15，3， 90)， (3， 2，15， 90)，(3， 15， 2， 90)， (15， 2， 3， 90)， (15，3， 2， 90)，(2， 5， 5，50)， (5， 2，5， 50)， (5， 5，2， 50).37. 已知关于x 的一元二次方程x2cx a 0 的两个整数根恰好比方程x2ax b0 的两个根都大 1，求a b c 的值.解：设方程 x2ax b 0 的两个根为，，其中，为整数，且≤ ，则方程 x2cx a0 的两根为1， 1 ，由题意得a，1 1 a ，,,,,,,,,,,,, 5 分两式相加，得221 0，即 (2)(2)3，2 ，2 ，所以，1或 3,,,,,,,,,,,,10 分2 ；21.3解得，或，15； 3.1又因为 a （），b ， c （[ 1）（ 1）]，所以 a 0， b 1， c2 ；或者 a8， b 15， c 6 ，故 a b c 3 ，或 29.,,,,,,,,,,,,,,,,,,20 分38. 设整数 a,b, c （ a b c ）为三角形的三边长，满足a 2b 2c 2 abac bc 13 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数 .解由已知等式可得(a b)2 (b c)2(a c)226①令 a b m, b cn ，则 a c m n ，其中 m,n 均为自然数 .于是，等式①变为m 2 n 2 (m n)226，即m 2 n 2 mn 13②由于 m, n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 m, n 只有两组：m 3, m 1,n和n3.1（ 1）当 m 3, n 1 时， b c 1， ab 3c 4 .又 a, b, c 为三角形的三边长，所以 b c a ，即 (c 1) c c 4，解得 c 3.又因为三角形的周长不超过 30，即a b c( c4) ( c 1)c25 3 c25 ，所以 c 可以取值 4， 5，30，解得 c.因此 336， 7， 8，对应可得到5 个符合条件的三角形 .（ 2）当 m 1,n 3 时， b c 3 ， ab 1c 4. 又 a,b, c 为三角形的三边长，所以 b c a ，即 (c 3) c c 4，解得 c 1.又因为三角形的周长不超过 30，即a b c( c4) ( c 3)c23 1 c23 ，所以 c 可以取值 2， 3，30，解得 c.因此 334， 5， 6， 7，对应可得到 6 个符合条件的三角形 .综合可知：符合条件且周长不超过30 的三角形的个数为 5＋ 6＝ 11.39. 已知 a, b, c 为正数，满足如下两个条件：a b c 32① b c a c a ba b c1②bccaab4是否存在以 a, b, c 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角.解法 1将①②两式相乘，得 (bc a c a ba bc)( a b c)8 ，bccaab即(b c)2a 2(c a)2 b 2( a b) 2 c 28 ，bccaab即 (b c)2a 24 (c a) 2 b 24 (a b)2c 2 0，bccaab即 (b c)2a 2(c a)2 b 2 (a b) 2 c 20 ，bccaab即 (bc a)(b c a)(c a b)(c ab) ( a b c)( a b c)0 ，bccaab即 (bca) [ a(b c a)b(c a b) c( a bc)]0 ，abc即 (b c a)[2 ab a2b2c 2] 0 ，即(b ca) [ c 2( a b)2 ] 0 ，abcabc即 (bc a) (c a b)(c a b) 0 ，abc所以 b c a 0 或 c a b 0 或 c ab 0 ，即 b ac 或 ca b 或 c b a .因此，以a ,b ,c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°. 解法 2结合①式，由②式可得32 2a32 2b32 2c1bccaab，4变形，得 10242(a2b2c 2)1abc③4又由①式得 (ab c) 2 1024 ，即 a 2 b 2c 2 1024 2(ab bcca) ，代入③式，得 10242[1024 2( ab bcca)]1abc ，4即 abc 16( ab bc ca) 4096 .(a 16)(b 16)(c 16) abc16(ab bc ca) 256(ab c) 1634096256 32 163 0 ，所以 a16 或 b 16 或 c 16 .结合①式可得 b a c 或 c a b 或 c b a .因此，以a ,b ,c 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°.40. 已知 a,b 为正整数，关于x 的方程 x 2 2ax b 0 的两个实数根为 x 1，x 2 ，关于 y的方程 y 22ay b 0的两个实数根为 y 1，y 2，且满足x 1 y 1 x 2 y 2 2008.求 b 的最小值 .解：由韦达定理，得x 1 x 2 2a,x 1 x 2b ； y 1 y 22a,y 1 y 2b即y 1 y 2 2a (x 1x 2)( x 1) ( x 2),y 1 y 2 b ( x 1 ) ( x 2 )解得：y 1 x1或y1x 2y 2x 2y 2x 1把y 1 , y 2的值分别代入x 1 y 1 x 2 y 2 2008得x 1 ( x 1 ) x 2 ( x 2 )2008或 x 1 ( x 2 ) x 2 ( x 1 ) 2008 （不成立）即x 2 2 x 12 2008 ， ( x 2 x 1 )( x 2 x 1 ) 2008因为x 1x 2 2a 0, x 1 x 2b 0所以 x 1 0, x 2 0于是有 2a 4a 2 4b2008即 a a 2b502 1 5022 251因为a,b都是正整数，所以a 1或a 505或a 22或a 251a 2b2a 2a 2ba 2b 4502 b 1251a 1a 502 a 2 a 251分别解得：b 1 2 或 b 2 或 b 2 2 或24502 502 1 251 b 251经检验只有： a 502 ， a 251 符合题意 .b 5022 b 2512 41所以 b 的最小值为：b 最小值2512 4＝62997。

代数综合题(1)

代数综合题（1）1.某仓库有甲种货物360吨，乙种货物290吨，计划用A、B两种共50辆货车运往外地．已知一辆A种货车的运费需0.5万元，一辆B种货车的运费需0.8万元．（1）设A种货车为x 辆，运输这批货物的总运费为y万元，试写出y与x的关系表达式；（2）若一辆A种货车能装载甲种货物9吨和乙种货物3吨；一辆B种货车能装载甲种货物6吨和乙种货物8吨．按此要求安排A，B两种货车运送这批货物，有哪几种运输方案？请设计出来；（3）试说明哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？2.某火车站有甲种货物60吨，乙种货物90吨，现计划用30节A、B两种型号的车厢将这批货物运出．设30节车厢中有A型车厢a节，（1）请用含a的代数式表示30节车厢中有B型车厢的节数；（2）如果甲种货物全部用A型车厢运送，乙种货物全部用B型车厢运送，则A 型、B型车厢平均每节运送的货物吨数刚好相同，请求出a的值；（3）在（2）的条件下，已知每节A型车厢的运费是x万元，每节B型车厢的运费比每节A型车厢的运费少1万元，设总运费为y万元，求y与x之间的函数关系式．如果已知每节A型车厢的运费不超过5万元，而每节B型车厢的运费又不低于3万元，求总运费y的取值范围3.（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q.（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值4.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知啊，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0,求a／b+b／a的值；（3）已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=16求正数c的最小值5.已知：一次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．（1）求该反比例函数的解析式；（2）将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点（0，-2）旋转一定角度得到；②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．6.设a、b是关于x的方程kx2+2（k-3）x+（k-3）=0的两个不相等的实根（k是非负整数），一次函数y=（k-2）x+m与反比例函数y＝n／x的图象都经过点（a，b）．（1）求k的值；（2）求一次函数和反比例函数的解析式7.二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示．已知它的顶点M在第二象限，且经过点A （1，0）和点B（0，1）．（1）试求a，b所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为C，当△AMC的面积为△ABC面积的5／4倍时，求a的值；（3）是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由9.在直角坐标系XOY中，O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A（5，0），B（0，4），C （-1，0）．点M和点N在x轴上（点M在点N的左边），点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合），直线MP与y轴相交于点G，MG=BN．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的表达式；（2）求点M的坐标；（3）设ON=t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（4）过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等腰三角形？若存在，请直接写出点R的坐标，若不存在，请说明理由运费最少是33.4万元1（x 2，0）。

代数综合【解析版】

全国联赛代数问题选1.已知实数,,a b c 满足1a b c ++=，1111a b c b c a c a b++=+-+-+-，则abc =____．【答】 0. 由题意知1111121212c a b++=---，所以 (12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)(12)a b b c a c a b c --+--+--=---整理得22()8a b c abc -++=，所以abc =0. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为．【答】144.由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤. 当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127.故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有_________个【答】由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-.若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个.4．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为_________ 【答】4721222()2()()4t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734()477x =--+，易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值47.5. 张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是【】【答】25若取出的3张卡片上的数字互不相同，有2×2×2＝8种取法；若取出的3张卡片上的数字有相同的，有3×4＝12种取法.所以，从6张不同的卡片中取出3张，共有8＋12＝20种取法.要使得三个数字可以构成三角形的三边长，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所写数字有重复，所以，取出的3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的情况共有4×2＝8种.因此，所求概率为82205=. 6．设[]t 表示不超过实数t 的最大整数，令{}[]t t t =-.已知实数x 满足33118x x+=，则1{}{}x x+=_________【答】 1 设1x a x +=，则32223211111()(1)()[()3](3)x x x x x a a x x x x x+=++-=++-=-，所以2(3)18a a -=，因式分解得2(3)(36)0a a a -++=，所以3a =.由13x x +=解得1(32x =±，显然10{}1,0{}1x x <<<<，所以1{}{}x x+=1. 7．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+，于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+，所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．8. 实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d为．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=．若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-．若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）．经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件9. 已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解；若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =．（i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=；（ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=．综上知abc 的最大值为2013．10. 对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（）．【答案】5463967【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-，于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-． 11. 设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc ca a b c ++++的值为（）．【答案】12-【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 12. 如果关于的方程有两个有理根，那么所有满足条件的正整数的个数是_________个答案：2解：由于方程的两根均为有理数，所以根的判别式≥0，且为完全平方数．≥0，又2≥，所以，当时，解得；当时，解得．13. 设a n =（n 为正整数），则a 1+a 2+…+a 2012的值 1.（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】＜解：由a n ==，得a 1+a 2+…+a 2012==＜1.14. 红、黑、白三种颜色的球各10个．把它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色的球都有，且甲、乙两个袋子中三种颜色的球数之积相等，那么共有种放法．【答案】25解：设甲袋中红、黑、白三种颜色的球数分别为，则有1≤≤9，且，（1）即，（2）于是．因此中必有一个取5．不妨设，代入（1）式，得到．此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取 9，8，…，2，1），共9种放法．同理可得y =5，或者z =5时，也各有9种放法．但时，两种放法重复．因此共有9×3－2 = 25种放法． 15. 设532x =，则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( ). 【答】﹣1 解：由已知得2310x x ++=，于是2222(1)(2)(3)(3)(32)(31)1 1.x x x x x x x x x x +++=+++=++-=-16. 已知x y z ，，为实数，且满足253x y z +-=，25x y z --=-，则222x y z ++的最小值为_____________【答】5411解：由 25325x y z x y z +-=⎧⎨--=-⎩，，可得 312.x z y z =-⎧⎨=+⎩，于是 22221125xy z z z ++=-+．因此，当111z =时，222x y z ++的最小值为5411． 17. 若1x >，0y >，且满足3yy xxy x x y==，，则x y +的值为( ). 【答】92解：由题设可知1y y x -=，于是 341y y x yx x -==，所以411y -=．故12y =，从而4=x ．于是92x y +=．18. 设333311111232011S =++++，则4S 的整数部分等于( ). 【答】4解：当2 3 2011k =，，，，因为()()()32111112111k k k k k k k ⎡⎤<=-⎢⎥-+-⎣⎦，所以333111111511123201122201120124S ⎛⎫<=++++<+-< ⎪⨯⎝⎭．于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．19. 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数之和为7的概率是 .【答】16．解：在36对可能出现的结果中，有6对：（1，6），（2，5），（2，5），（3，4），（3，4），（4，3）的和为7，所以朝上的面两数字之和为7的概率是61366=.20. 若y =a ，最小值为b ，则22a b +的值为 . 【答】32．解：由1x -≥0，且12x -≥0，得12≤x ≤1．21122y =+=+ 由于13124<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．当12x =或1时，2y 取到最小值12，故2b =．所以，2232a b +=．21. 若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 ___________答案：﹣1122. 对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= _________【答案】28068.23. 将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放___个球.【答案】1524. 已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是___________.【答案】﹣325. 如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=______.【答案】﹣126. 已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有_____对.【答案】7对27. 设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是______个【答案】4个28. 设1a =，则32312612a a a +--=__________【答案】2429. 用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解为_________ 【答案】﹣3,1，或根号5 30. 已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为________ 【答】 7解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x ++==， 21122y -+-+==，所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7．另解：由已知得：2222222()()30()30x xy y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 31. 将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有_______种【答】5种解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．32. 对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，，解得，0a >，或1a <-．33. 关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯，其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，34．设实数,a b 满足22(1)(2)40a b b b a +++=，(1)8a b b ++=，求2211a b+的值．解由已知条件可得222()40a b a b ++=，()8ab a b ++=.设a b x +=，ab y =，则有2240x y +=，8x y +=， …………5分联立解得(,)(2,6)x y =或(,)(6,2)x y =. ………10分若(,)(2,6)x y =，即2a b +=，6ab =，则,a b 是一元二次方程2260t t -+=的两根，但这个方程的判别式2(2)24200∆=--=-<，没有实数根； ………… … 15分若(,)(6,2)x y =，即6a b +=，2ab =，则,a b 是一元二次方程2620t t -+=的两根，这个方程的判别式2(6)8280∆=--=>，它有实数根.所以2222222222211()262282a b a b ab a b a b a b ++--⨯+====. ………20分35. 已知c ≤b ≤a ，且，求的最小值．解：已知，又，且，所以b ，c 是关于x 的一元二次方程的两个根.故≥0，≥0，即 ≥0，所以≥20．于是≤-10，≥10，从而≥≥10，故≥30，当时，等号成立．36. 求关于a ，b ，c ，d 的方程组的所有正整数解.解：将abc =d 代入10ab +10bc +10ca =9d 得10ab +10bc +10ca =9abc .因为abc ≠0，所以，.不妨设a ≤b ≤c ，则≥≥＞0.于是，＜≤，即＜≤，＜a ≤.从而，a =2，或3.若a =2，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b ≤5.从而，b =3，4，5. 相应地，可得 c =15，(舍去)，5.当a =2，b =3，c =15时，d =90；当a =2，b =5，c =5时，d =50.若a =3，则.因为＜≤，所以，＜≤，＜b ≤.从而，b =2（舍去），3.当b =3时，c =(舍去).因此，所有正整数解为(a ，b ，c ，d )=(2，3，15，90)，(2，15，3，90)，(3，2，15，90)，(3，15，2，90)，(15，2，3，90)，(15，3，2，90)，(2，5，5，50)，(5，2，5，50)，(5，5，2，50).37. 已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值.解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得()()11a a αβαβ+=-++=，， ………………………………5分两式相加，得2210αβαβ+++=，即 (2)(2)3αβ++=，所以，2123αβ+=⎧⎨+=⎩，；或232 1.αβ+=-⎧⎨+=-⎩， ………………………………10分解得 11αβ=-⎧⎨=⎩，；或53.αβ=-⎧⎨=-⎩，又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），所以012a b c ==-=-，，；或者8156a b c ===，，，故3a b c ++=-，或29. ………………………………………………20分38. 设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩（1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.39. 已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ① 14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=，即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=，即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=，即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=，即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=，变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++，代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-.3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°. 40. 已知,a b 为正整数，关于x 的方程220x ax b -+=的两个实数根为12x x ，，关于y的方程220y ay b ++=的两个实数根为12y ，y ，且满足11222008x y x y -=.求b 的最小值. 解：由韦达定理，得12122,x x a x x b +==　；12122,y y a y y b +=-=　即12121212122()()(),()()y y a x x x x y y b x x +=-=-+=-+-⎧⎨==--⎩ 解得：11122221y x y x y x y x =-=-⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩或把12,y y 的值分别代入11222008x y x y -= 得1122()()2008x x x x ---=或1221()()2008x x x x ---=（不成立）即22212008x x -=，2121()()2008x x x x +-=因为121220,0x x a x x b +=>=>　所以120,0x x >>　于是有 22442008aa b -=即250215022251aa b -==⨯=⨯因为a,b都是正整数，所以2222221505225150212514a a a a ab a b a b a b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=-=⎩⎩⎩⎩或或或分别解得：2222150222511502502122512514a a a ab b b b ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-=-=-⎩⎩⎩⎩或或或经检验只有：2250225150212514a ab b ==⎧⎧⎨⎨=-=-⎩⎩，　符合题意. 所以b 的最小值为：2251462997b =-最小值＝。

2023秋季初三AA第6讲代数综合

第6讲代数综合模块1 求系数范围【经典例题】例1 在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】 1）a＝1，n＝0；2）或a＞1．例2 在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上． 1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】 1）m＝n；2）4＜b＜5．例3 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+1过点 2，1）．1）求b 用含a的式子表示）；2）抛物线过点M ﹣2，m），N 1，n），P 3，p），①判断：m﹣1）n﹣1）___0 填“＞”“＜”或“＝”）；②若M，N，P恰有两个点在x轴上方，求a的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．【答案】 1）b＝﹣2a；2）①＜；②，﹣＜a＜﹣或a＞1．例4 在平面直角坐标系xOy中，点 1，y1）， 3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上．1）求抛物线的对称轴用含 m的式子表示）；2）若y1＜y2，求m的取值范围；3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1）直线x＝m；2）m＜2；3）．模块2 求坐标范围【经典例题】例5 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4 a≠0）．1）求该抛物线的顶点坐标；2）当抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4 a≠0）经过点 3，0）时：①求此时抛物线的表达式；②点M（n﹣2，y1），N（2n+3，y2）在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当y1＞y2时，求n 的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1） 1，﹣4）； 2）①y＝x2﹣2x﹣3； 2）﹣1＜n＜．例6 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+ 2m﹣6）x+1经过点 1，2m﹣4）．1）求a的值；2）求抛物线的对称轴用含m的式子表示）；3）点（﹣m，y1），m，y2），m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．【答案】 1）a＝1；2）直线x＝3﹣m；3）1＜m≤2．附加题1 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x a≠0）．1）当抛物线过点 2，0）时，求抛物线的表达式；2）求这个二次函数的对称轴用含a的式子表示）；3）若抛物线上存在两点A a﹣1，y1）和B a+3，y2），当y1•y2＜0，求a的取值范围．【专题】二次函数的应用；应用意识．【答案】 1）抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；2）抛物线对称轴为直线x＝a；3）a的取值范围为1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．附加题2 已知抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴为直线x＝t．1）若点 2，4）在抛物线上，求t的值；2）若点 x1，3），x2，6）在抛物线上，①当t＝1时，求a的取值范围；②若t≤x1＜x2，且x2﹣x1≥1，直接写出a的取值范围．【专题】代数综合题；一元一次不等式（组）及应用；二次函数图象及其性质；数据分析观念；推理能力．【答案】 1）t＝1； 2）①a≥1或a≤﹣2；②0＜a≤3．【作业】作业1 已知：抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3 a＞0）．1）求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；2）已知点A（n，y1），B（n+1，y2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧．若|y2﹣y1|≤4，求a的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1）抛物线与y轴交点坐标为 0，﹣3），对称轴x＝2；2）0＜a≤4．作业2 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+5 a≠0）与y轴交于点C．1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；2）已知点（﹣1，y1）， 2，y2）， 6，y3）在该抛物线上，且y1，y2，y3中有且只有一个小于0，求a的取值范围．【专题】分类讨论；一次方程组）及应用；二次函数图象及其性质；运算能力．【答案】 1）C 0，5），抛物线y＝ax2﹣4ax+5的对称轴为直线x＝2；2）a的范围是a＞或﹣1≤a＜﹣．作业3 在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0）， ﹣1，y1）， 1，y2）， 2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．1）若y1＝y2，求y3的值；2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【答案】 1）y3＝0．2）﹣4＜y3＜0．。

经典中考专题复习代数综合题

代数综合题【知识梳理】概述：代数综合题是中考题中较难的题目，要想得高分必须做好这类题，•这类题主要以方程或函数为基础进行综合．解题时一般用分析综合法解，认真读题找准突破口，仔细分析各个已知条件，进行转化，发挥条件整体作用进行解题．解题时，•计算不能出差错，思维要宽，考虑问题要全面．【典例精析】例1．已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，O），B（x2，0）（x1<x2），•顶点M的纵坐标为-4，若x1，x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根，且x12+x22=10．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．例2．已知抛物线y=-x2+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1<x2，x1+2x2=0，若点A关于y轴的对称点是D．（1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；（2）若P是（1）所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD和△CBD 的积相等，求直线PH的解析式．例3．矩形OABC在直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y=34x与BC边相交于点D．（1）求点D的坐标；（2）若抛物线y=ax2+bx经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；（3）P为x轴上方，（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标．例4．如图所示，抛物线y=a x2+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（•-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2ba-，244ac ba-）．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）求四边形ABDC的面积；（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．◆变式练习：1．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，如图，且二次项系数为-1a（a>0）．（1）求该抛物线的解析式（系数用含a的代数式表示）；（2）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），• 求M，N的坐标（用含a的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，当a在什么范围内取值时，ON+bm的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-bM的值也为常数？（第24题图）2．现计划把甲种货物1240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A 、B 两种不同规格的货车厢共40节，使用A 型车厢每节费用为6000元，使用B 型车厢每节费用为8000元．（1）设运送这批货物的总费用为y 万元，这列货车挂A 型车厢x 节，试写出y 与x 的函数关系式；（2）如果每节A 型车厢最多可装甲种货物35吨或乙种货物15吨，每节B 型车厢最多可装甲种货物25吨或乙种货物35吨，装货时按此要求安排A 、B 两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？（3）在上述方案中，哪个方案运费最省？最少运费多少元？3．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型肺炎的抗生素．据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药物后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似地满足如图所示的折线．（1）写出注射药液后每毫升血液中含药量y 与时间t•之间的函数关系式及自变量取值范围；（2）据临床观察：每毫克血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的/如果病人按规定的剂量注射该药液后，那么这一次注射的药液经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？（3）假若某病人一天中第一次注射药液是早上6点钟，问怎样安排此人从6：00•～20：00注射药液的时间，才能使病人的治疗效果最好？4．已知抛物线y=12x 2-x+k 与x 轴有两个不同的交点．（1）求k 的取值范围；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在原点的左侧，抛物线与y 轴交于点C ，若OB=2．OC ，求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P （点D 除外），使得以A 、B 、P•三点为顶点的三角形与△ABD 相似？如果存在，求出P 点坐标；如果不存在，请说明理由．【中考真题体验】（08江苏连云港）24．（本小题满分14分）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的AO B △，C O D △处，直角边O B O D ，在x 轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至P E F △处时，设P E P F ，与O C 分别交于点M N ，，与x 轴分别交于点G H ，．（1）求直线A C 所对应的函数关系式；（2）当点P 是线段A C （端点除外）上的动点时，试探究： ①点M 到x 轴的距离h 与线段B H 的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S 取最大值时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（08江苏宿迁）27．（本题满分12分）如图，⊙O 的半径为1，正方形ABCD 顶点B 坐标为)0,5(，顶点D 在⊙O 上运动．(1)当点D 运动到与点A 、O 在同一条直线上时,试证明直线CD 与⊙O 相切；(2)当直线CD 与⊙O 相切时，求CD 所在直线对应的函数关系式；(3)设点D 的横坐标为x ，正方形ABCD 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出S 的最大值与最小值．第27题27．解：(1) ∵四边形ABCD 为正方形 ∴CD AD ⊥∵A 、O 、D 在同一条直线上 ∴︒=∠90ODC ∴直线CD 与⊙O 相切； (2)直线CD 与⊙O 相切分两种情况:①如图1, 设1D 点在第二象限时,过1D 作x E D ⊥11轴于点1E ,设此时的正方形的边长为a ,则2225)1(=+-aa ,解得4=a 或3-=a (舍去)．由BOA Rt ∆∽11OE D Rt ∆ 得OBOD BAE D OAOE 1111==∴54,53111==E D OE ∴)54,53(1-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 34-=；②如图2, 设2D 点在第四象限时,过2D 作x E D ⊥22轴于点2E ,设此时的正方形的边长为b ,则2225)1(=++b b ,解得3=b 或4-=b (舍去)．由BOA Rt ∆∽22OE D Rt ∆ 得OBOD BAE D OAOE 2222==∴53,54222==E D OE∴)53,54(2-D ，故直线OD 的函数关系式为x y 43-=.(3)设),(0y x D ,则201x y -±=,由)0,5(B 得x x x DB 1026)1()5(22-=-+-=∴x x BDS 513)1026(21212-=-==∵11≤≤-x∴851318513=-==+=最小值最大值，SS .24．解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知A C ，两点的坐标分别为(12)(21)，，，．设直线A C 所对应的函数关系式为y kx b =+． ···························································· 2分有221k b k b +=⎧⎨+=⎩，．解得13k b =-⎧⎨=⎩，．所以，直线A C 所对应的函数关系式为3y x =-+． ·····················································4分（2）①点M 到x 轴距离h 与线段B H 的长总相等．因为点C 的坐标为(21)，，所以，直线O C 所对应的函数关系式为12y x =．又因为点P 在直线A C 上，所以可设点P 的坐标为(3)a a -，．过点M 作x 轴的垂线，设垂足为点K ，则有M K h =．因为点M 在直线O C 上，所以有(2)M h h ，． ·······················6分因为纸板为平行移动，故有EF O B ∥，即E F G H ∥．又EF PF ⊥，所以P H G H ⊥．法一：故R t R t R t M K G PH G PFE △∽△∽△，从而有12G K G H E F M KP HP F===．第27题图1第27题图2（第24题答图）得1122G K M K h ==，11(3)22G H PH a ==-．所以13222O G O K G K h h h =-=-=．又有13(3)(1)22O G O H G H a a a =-=--=-． ························································8分所以33(1)22h a =-，得1h a =-，而1B H O H O B a =-=-，从而总有h BH =．····································································································· 10分法二：故R t R t P H G P F E △∽△，可得12G H E F P HP F=-．故11(3)22G H PH a ==-．所以13(3)(1)22O G O H G H a a a =-=--=-．故G 点坐标为3(1)02a ⎛⎫-⎪⎝⎭，．设直线P G 所对应的函数关系式为y cx d =+，则有330(1)2a ca d c a d -=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，．解得233c d a =⎧⎨=-⎩ 所以，直线P G 所对的函数关系式为2(33)y x a =+-．···············································8分将点M 的坐标代入，可得4(33)h h a =+-．解得1h a =-．而1B H O H O B a --=-，从而总有h BH =． ························································· 10分 ②由①知，点M 的坐标为(221)a a --，，点N 的坐标为12a a ⎛⎫⎪⎝⎭，．O N H O N G S S S =-△△1111133(1)222222a N H O H O G h a a a -=⨯-⨯=⨯⨯-⨯⨯-22133133224228a a a ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭． ····································································· 12分当32a =时，S 有最大值，最大值为38．S 取最大值时点P 的坐标为3322⎛⎫⎪⎝⎭，． ········································································ 14分。

代数综合题解题技巧

2015/12/20
代数综合题解题技巧
目录
1、因动点产生的三角形问题
2、因动点产生的平行四边形问题 3、因动点产生的面积问题 4、因动点产生的相切问题
5、因动点产生的图像变换问题
一、因动点产生的三角形问题
常规解题思路：
1.坐标优先，不知道的坐标先以线段表示，最后再求坐标（如果是图形就是线段长度）； 2.找到相似的三角形中不变的角；
三、因动点产生的面积类问题
2015/12/20
常规解题思路：
1.观察图形是否有一边与x轴，y轴平行或重合—三角形； 2.割—四边形或多边形； 3.补成规则图形求面积； 4.利用同底等高或同高等底转化为底边之比或者高之比。 5.利用相似转化为相似比的平方。
四、因动点产生的相切问题
常规解题思路：
1、熟悉化策略
每个数学题都有其知识背景，从揭示背景入手，无论是整体考虑还是局部联想，都要注意利用与其有关的知识和方法，把问题转化为熟悉的情形来处理。
2015/12/20

2、挖掘隐含策略在审题一定要注意全面理解题意，若能发掘并利用命题中的隐含条件，就可以找到解题的突破口。
3、具体化策略在处理函数与图形的综合题时，一定要画出相应的图形，使所要解决的问题得到具体的表现，才有可能找到解题的途径。
1.圆心与直线的距离；（点与线） 2.圆心与圆心之间的距离；（点与点）
五、因动点产生的图形变换问题
常规解题思路：
平移需要找到不变的那个坐标（左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变）
六、等角问题
2015/12/20
2015/12/20
总结
• 因为综合题涉及数学中多个知识点，问题的解决往往需要灵活运用分析、综合、转化、联想、分类讨论、归纳等多种数学思想方法。在解答综合题时，注意以下策略：

线性代数综合练习题

线性代数综合练习题时间:120分钟一、选择题（每小题3分，共15分)：1．设A 是三阶矩阵,将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为( ）。

（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010; （B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010；（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010; （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。

2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（）。

（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； (B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关；（C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关；（D)A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（）。

（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量； (C ）R n 中,坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；(D)R n 中，坐标满足x 1=1,x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。

4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）—1有一个特征值等于（）。

（A)34；（B ）43；（C ）21；（D ）41.5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它( ）。

（A)合同; （B ）相似；（C ）等价；（D)以上都不对。

二、填空题(每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA ＊=2BA ＊+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵,则|B ｜= .2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。

代数综合题

代数综合题（一）与一元二次方程有关的综合题：1. 关于x 的方程(a –c )(x+1)(x –1)=2(bx+c )有两个相等实根，其中a,b,c 为ABC ∆中∠A ，∠B ,∠C 的对边，若的值和，求A B c b ac a tan sin 042222=+-+.*2. 当k 是什么整数时, 方程(k 2–1)x 2–6(3k –1)x +72=0有两个不相等的正整数根*3. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. *4. 已知一次函数b x k y +-=)2(与反比例函数xay =图象的交点坐标为（m , n ），且m , n 是关于x 的一元二次方程0)3()3(22=-+-+k x k kx 的两个不相等的实数根，其中k 是非负整数，(1) 求k 的值 (2) 求一次函数以及反比例函数解析式 5. 已知：关于x 的一元二次方程01)2(2=+++-m x m x（1）求证：方程有两个实数根；（2）设m <0，且方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＜2x ），若y 是关于m 的函数，且1214x x y -=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程03=-+m y 的解.*6. 已知关于x 的一元二次方程x c bx x =++2有两个实数根21,x x ，且满足01>x ，112>-x x . （1）试证明0>c ；（2）证明)2(22c b b +>；（3）对于二次函数c bx x y ++=2，若自变量取值为0x ，其对应的函数值为0y ，则当100x x <<时，试比较0y 与1x 的大小.7. 已知x 1，x 2 是关于x 的方程（x –2）（x –m ）=（p –2）（p –m ）的两个实数根．（1）求x 1，x 2 的值；（2）若x 1，x 2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m ，p 满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．yxP 1P 2P 3A 3A 2A 1O *8. 关于x 的方程07142=--x mx 有两实根x 1和x 2，关于y 的方程02)1(222=-+--n n y n y 有两实根y 1和y 2，且4221≤<≤-y y ，当014)2(2622212121=+-+-+y y x x x x 时，求m 取值范围.9. 已知关于x 的方程0222=+--b a ax x ，其中a 、b （1）若此方程有一个根为2a （a <0），判断a 与b 的大小关系，并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实根，求b 的取值范围.（二）探究型综合题：1. 如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，……()P ,n n n x y 在函数()40y x x=>的图象上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A A n n -都在x 轴上⑴ 求1P 的坐标 ⑵ 求12310y y y y ++++L L 的值. 2.（1）探究新知：如图1，已知△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断 AB 与CD 的位置关系，并说明理由．（2）结论应用：① 如图2，点M ，N 在反比例函数xky =（k ＞0）的图象上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ．试证明：MN ∥EF ．② 若①中的其他条件不变，只改变点M ，N 的位置如图3所示，请判断 MN 与EF 是否平行．3. 已知等腰△OAB在直角坐标系中位置如图，点A 坐标为（33,3-），点B 坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数63y =的图象上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）.O yNM图 2 E Fx NxOyD M图 3NABDC图 1图24-2图24-1xyA B CD OP yxP ODCB A 图1 图2① 当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图象上，求k 的值． ② 点A 、B 能否同时落在①中反比例函数图象上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.4. 如图1，抛物线2y x =的顶点为P ，A 、B 是抛物线上两点， AB ∥x 轴，四边形ABCD 为矩形，CD 边经过点P ，AB = 2AD ． ⑴ 求矩形ABCD 的面积；⑵ 如图24－2，若将抛物线“2y x =”，改为抛物线“2y x bx c =++”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD 的面积；⑶ 若将抛物线“2y x bx c =++”改为抛物线“2y ax bx c =++”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD 的面积. (用a 、b 、c 表示，并直接写出答案) 5. 阅读以下材料：对于三个数a b c ，，，用{}M a b c ，，表示这三个数的平均数，用{}min a b c ，，表示这三个数中最小的数．例如：{}123412333M -++-==，，，{}min 1231-=-，，，1{min -=，)1()1(1}2->-≤⎩⎨⎧-=a a a a ，．解决下列问题：（1）填空：=︒︒︒}30tan 45cos 30min{sin ，，________；如果,2{min =,22+x 2}24=-x ，则x 的取值范围为________≤≤x ．（2）① 如果,1,2{+x M ,1,2min{}2+=x x }2x ，那么x =________；② 根据①，你发现了结论“如果{}{}min M a b c a b c =，，，，，那么____________” （填a b c ，，的大小关系） ③ 运用②的结论，填空：若，22{++y x M ，y x 2+，22min{}2++=-y x y x ，y x 2+}2y x -，则x y +=________．（3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+， 2(1)y x =-，2y x =-的图象（不需列表描点）．xOPN MBAyy =xx =m 通过观察图象，得出，1min{+x ，2)1(-x }2x -的最大值为________．（三）二次函数与一次函数1. 如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O ,它的顶点为A ,连接AB ,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O ,得到直线l ,设P 是直线l 上一动点. (1) 求点A 的坐标;(2) 以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形, 请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; (3) 设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x , 当462682S +≤≤+,求x 的取值范围. 2. 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式．（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线()051x m m =<< 与抛物线交于点M ，与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）．（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．3. 在平面直角坐标系xOy 内，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．把直线3--=x y 沿y 轴翻折后恰好经过B 、C 两点. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，在坐标轴上是否存在这样的点F ，使得∠DFB =∠DCB ？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.（四）用函数思想解决实际问题：1. 5月12日，我国四川省汶川县等地发生强烈地震，在抗震救灾中得知，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要25台，乙地需要23台；A 、B 两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区．如果从A 省调运一台挖掘机到(第28题）lyx-1-2-4-3-1-2-4-312435123ABy xADM CB N甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从B 省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从A 省调往甲地x 台挖掘机，A 、B 两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y 万元．⑴请直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围； ⑵若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？ ⑶怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？2. 某公司专销产品A ，第一批产品A 上市后40天内全部售完，该公司对第一批产品A 上市后的市场销售情况进行了了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图10中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系：图11中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上市时间的关系。

二次函数代数综合题

二次函数代数综合题1．已知直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1，0)，B (3，2)． (1)求m 的值和抛物线的解析式；(2) 结合函数图象，求不等式m x c bx x +>++2的解集(直接写出答案)．2．如图，二次函数的图象经过点D (0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6. (1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P ，使P A +PD 最小，求出点P 的坐标．3．已知抛物线2442y ax ax a=-+-，其中a是常数．(1)求抛物线的顶点坐标；(2)若25a>，且抛物线与x轴交于整数点(坐标为整数的点)，求此抛物线的解析式．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y mx n=++经过P，A(0，2)两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；(3)在(2)的条件下，求到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标．5．一次函数y=2x＋3与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A(m，5)和B(3，n)两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．(4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？6．已知二次函数y=x2－(2m+4)x+m2－4(x为自变量)的图象与y轴的交点在原点下方，与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，且A，B两点到原点的距离AO、OB•满足3(•OB－AO)=2AO·OB，直线y=kx+k与这个二次函数图象的一个交点为P，且锐角∠POB•的正切值4．(1)求m的取值范围；(2)求这个二次函数的解析式；(3)确定直线y=kx+k的解析式．7．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．8．已知：二次函数y =2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． (1)求证：此二次函数的图象与x 轴有两个交点；(2)设函数图象与x 轴的两个交点方程的分别为(1x ,0)，(2x ,0)(其中12x x <)．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 满足什么条件时，2y m ≤．9．已知二次函数y＝x2－x＋c．(1)若点A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，求此二次函数的最小值；(2)若点D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，m)(m＞n)在二次函数y＝x2－x＋c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当22≤OP≤2＋2时，试求直线DE的解析式，并判断直线DE与抛物线y＝x2－x＋c＋38的交点个数，并说明理由．10．已知抛物线y＝x²—4x+1．将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线．(1)求平移后的抛物线解析式；=，即为过点(m，0)平行于y (2)由抛物线对称轴知识我们已经知道：直线x m轴的直线，类似地，直线y m=，即为过点(0，m)平行于x轴的直线．请结合图象回答：当直线y＝m与这两条抛物线有且只有四个交点，实数m的取值范围；(3)若将已知的抛物线解析式改为y＝x²+bx+c(b＜0)，并将此抛物线沿x轴向左平移－b个单位长度，试回答(2)中的问题．11．已知关于x 的一元二次方程022=++x ax(1)求证：当0<a 时，方程022=++x ax 一定有两个不等的实数根； (2)若代数式22++-x x 的值为正整数，且x 为整数时，求x 的值；(3)当1a a =时，抛物线22++=x ax y 与x 轴的正半轴相交于点)0,(m M ；当2a a =时，抛物线22++=x ax y 与x 轴的正半轴相交于点)0,(n N ；若点M 在点N 的左边，试比较1a 与2a 的大小．12．已知：关于x 的一元二次方程063)2(22=-+-+m x m x . (1)求证：x 无论为任何实数，方程总有实数根；(2)抛物线m x m x y 63)2(22-+-+=与x 轴交于A 、B 两点，A 在原点左侧，B 在原点右侧，且OA =3OB ，请确定抛物线的解析式；(3)将(2)中的抛物线沿x 轴方向向右平移2个单位长度，得到一个新的抛物线，请结合函数图象回答：当直线y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围.13．阅读：对于二次函数2y ax bx c=++，如果当x取任意整数时，函数值y都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：222y x x=++)．回答问题：(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的解析式：．(2)请探索：是否存在二次项系数的绝对值小于12的整点抛物线？若存在，请写出其中一条抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．14．已知抛物线c bx ax y ++=232，(1)若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标；(2)若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围；(3)若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．15．已知抛物线C1：22=-的图象如图所示，把C1的图象沿y轴翻折，得y x x到抛物线C2的图象，抛物线C1与抛物线C2 Array C3．(1)求抛物线C1的顶点A坐标，并画出抛物线C2图象；(2)若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；(3)结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 的取值范围．16．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．(1)求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；(2)若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；(3)在(2)的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点(－5，0)，且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立．求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.17．已知P (3,m -)和Q (1，m )是抛物线221y x bx =++上的两点．(1)求b 的值；(2)判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；(3)将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k (k 是正整数)个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．18．已知直线y =kx -3与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C ,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍.(1)求此抛物线的解析式和直线的解析式；(2)如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t (秒)，试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；(3)在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．。

代数推理综合测试(整式)(人教版)(含答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：整体代入的思考方向：①求值困难，考虑整体代入；②化简已知及所求，对比确定整体；③整体代入，化简．在“对比确定整体”时，我们对比的是什么？例：若代数式的值是6，求代数式的值．我们是怎么对比的？问题2：①若关于的代数式的值不受取什么值的影响，即与无关，只需_______，理由是__________________；②若关于的代数式的值不受取什么值的影响，即与无关，只需_______；③若关于的代数式的值不受取什么值的影响，即与无关，只需_______．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：整体代入的思考方向：①求值困难，考虑整体代入；②化简已知及所求，对比确定整体；③整体代入，化简．在“对比确定整体”时，我们对比的是什么？例：若代数式的值是6，求代数式的值．我们是怎么对比的？答：对比系数；是的2倍，是的2倍，所以可把当成整体，问题2：①若关于的代数式的值不受取什么值的影响，即与无关，只需，理由是；②若关于的代数式的值不受取什么值的影响，即与无关，只需；③若关于的代数式的值不受取什么值的影响，即与无关，只需．答：①=0，0乘以任何数都得0；②=-1；③．代数推理综合测试（整式）（人教版）一、单选题(共10道，每道10分)1.把看成一个整体，合并同类项的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：故选B．试题难度：三颗星知识点：合并同类项2.设，把用含的代数式表示并化简的结果为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：原式用含的代数式表示为．故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入3.若，则代数式的值为( )A.0B.4C.6D.2答案：C解题思路：故选C．试题难度：三颗星知识点：整体代入4.若代数式的值是8，则代数式的值为( )A.2B.-13C.-7D.7答案：C分析：整体代入的思考方向：①求值困难，考虑整体代入；②化简已知和所求，对比确定整体；③代入求值，化简．根据已知，直接求的值比较困难，考虑整体代入．对比已知和所求，把作为整体，然后代入求值．解：∵代数式的值是8∴∴∴故选C．试题难度：三颗星知识点：整体代入5.若，则的值是( )A.-2B.-1C.1D.801答案：D解题思路：解：试题难度：三颗星知识点：整体代入6.若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：解：故选B．试题难度：三颗星知识点：整体代入7.当时，代数式；则当时，代数式的值为( )A.1B.61C.-11D.49答案：C把代入得，即把代入得故选C．试题难度：三颗星知识点：整体代入8.如果用，（，）分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为_________；交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是_________；把这两个数相加，结果是( )的倍数．A. B.C. D.答案：A解题思路：画数位表：根据数位表，原来的两位数为，交换后的两位数为，因此把这两个数相加，得，故结果是11的倍数．故选A．试题难度：三颗星知识点：数位表示9.若关于的代数式的值与无关，则，的值分别为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：分析：关于的代数式，把代数式中的当作字母，其他字母都可视为常数．代数式的值与无关，则化简后含的项的系数为0．解：∵上式的值与无关∴∴故选D．试题难度：三颗星知识点：整式的加减10.已知代数式的值与无关，则的值为( )A.12B.-12C.24D.-24答案：D解题思路：故选D．试题难度：三颗星知识点：化简求值。

代数式综合训练题(难题)附答案

绝密★启用前代数式第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知a ﹣b ＝b ﹣c ＝2，a 2+b 2+c 2＝11，则ab +bc +ac ＝（） A ．﹣22B ．﹣1C ．7D ．112．根据图中数字的规律，则x+y 的值是（）．A ．729B ．550C ．593D ．7383．对于每个正整数n ，设()f n 表示()1n n +的末位数字．例如：()12f =（12⨯的末位数字），()26f =（23⨯的末位数字），()32f =（34⨯的末位数字），…则()()()()1232021f f f f +++⋅⋅⋅的值为（）A ．4042B ．4048C ．4050D ．104．在一列数123x x x ，，，……中，已知11x =，且当2k ≥时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2014x 等于（） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图．ABC ∆的面积为1．分别取,AC BC 两边的中点11A B 、，则四边形11A ABB 的面积为34，再分别取的11,AC B C 中点2222,,,A B A C B C 的中点33,A B ，依次取下去…．利用这一图形．计算出233333···4444n ++++的值是（）A．11414nn---B．414nn-C．212nn-D．1212nn--6．如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为3个单位长，且在圆周的三等分点处分别标上了数字0，1，2）上；先让原点与圆周上0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合，这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系．若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则这个整数是（）A．297B．298C．299D．3007．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到A n，则△OA2A2019的面积是（）A．504B．10092C．10112D．10098．设a b则21b a-的值为（）A1B1C1D1 9．根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n=（）A．17B．18C．19D．2010．观察下列算式：15a=，211 a=，319a==，…，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为n a，则123711111111a a a a++++----的值是（）A．12B．121360C．5391080D．119240第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、解答题11．已知2324A x x y xy=-+-，225B x x y xy=--+-．（1）求3A B-；（2）若24103x y xy⎛⎫+-++=⎪⎝⎭，求3A B-的值．（3）若3A B-的值与y的取值无关，求x的值．12．己知单项式134b ax y+与单项式625bx y--是同类项，c是多项式253mn m n---的次数．（1）a=___________，b=___________，c=___________；（2）若关于x的二次三项式2ax bx c++的值是3，求代数式2201926x x--的值．13．一般情况下，2323a b a b++=+不成立，但有些数是可以成立，例如a=b=0，我们称使得2323a b a b++=+成立的一对数a、b为“相对数对”，记为(a，b)．（1）若(－1，b)是相对数对，求b的值；（2）若(m，n)是相对数对且m≠0，求nm的值；（3）若(m，n)是相对数对，求代数式[]2242(31)3m n m n----的值．14．已知一个三位自然数，若满足十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个数为“银翔数”，并把其百位数字与个位数字乘积记为()F m ．例如693，369+=，∴693是“银翔数”，(693)6318F ∴=⨯=规定：(,)()()G m n pF m qF n =+（,p q 均为非零常数，,m n 为三位自然数）已知(253,121)11,(231,693)14G G ==-；（1）求,p q 的值及(473,275)G ；（2）已知两个十位数字相同的“银翔数”，,m abc n xby ==，19,19,19,19,19a b c x y ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤，且,,,,a b c x y 为整数，且m 加上各个数位上数字之和被16除余7，若()()2F m F n -=，求(,)G m n 的最小值．15．已知m,n 是两个连续的正整数，m n <，a mn =是定值且为奇数．16．数学老师在课堂上提出一个问题：“ 1.414≈...，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：（1a b ，求a b +的值；（2）已知8x y =+，其中x 是一个整数，01y <<，求(20203x y +．17．11111111111--++-1---+2018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝___18．好学小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：( 12x +4)(2x +5)(3x -6)的结果是一个多项式，并且最高次项为：12x •2x •3x ＝3x 3，常数项为：4×5×(-6)=-120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：12×5×(-6)+2×(-6)×4+3×4×5＝-3，即一次项为-3x ．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．(1)计算(x +2)(3x +1)(5x -3)所得多项式的一次项系数为_____． (2)(12x +6)(2x +3)(5x -4)所得多项式的二次项系数为_______． (3)若计算(x 2+x +1)(x 2-3x +a )(2x -1)所得多项式不含一次项，求a 的值； (4)若(x +1)2021=a 0x 2021+a 1x 2020+a 2x 2019+···+a 2020x +a 2021，则a 2020=_____． 19．有这样一道题：先化简，再求值：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中12x =-，2y =.小明同学在抄题时，把“12x =-”错抄成“12x =”，但他计算的结果却是正确的．这是怎么回事呢？请同学们先正确解答该题，然后说明理由．三、填空题20．阅读材料，我们知道，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点间的距离表示为AB ，则ABa b ，以式子3x -的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x 的点之间的距离，根据上述材料，探究下列问题：（1）式子12x x ++-的最小值是_____________；（2）式子12x x +--的最大值是____________；（3）式子21263x x x +-+--的最小值是____________．21．观察等式：232222+=-；23422222++=-；按一定规律排列的一组数：5051529910022222+++++，若502a =，则用含a 的代数式表示下列这组数50515299100222.....22++++的和_________．22．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，在如图的虚线上第一行0，第二行6，第三行21，那么第8行的数是__________．23．当x ＝1，y ＝﹣1时，关于x 、y 的二次三项式21+m ax +（m +1）by ﹣3值为0，那么当x ＝﹣12，y ＝12时，式子a m x +2mby +132的值为_____．24．若a ，b ，c 是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．25．若0,0a b c abc ++<>，则23a ab abca ab abc++的值为_________．26．已知两个正数a ，b ，可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c 在a ，b ，c 三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作，（1）若1,3a b ==，按上述规则操作三次，扩充所得的数是_________；（2）若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（m ，n 为正整数），则m n +的值为________．27．按照一定规律排列的一列数一次是9，13，17，21，25，...，按照此规律，这列数中的第100个数是__________．28．已知非零实数a b c 、、满足2221a b c ++=，且111111()()()3a b c b c c a a b+++++=-，则a b c ++=_______．29．已知有理数m ，n ，p 满足则35m n p m n p ++-=+-+，则()()14m n p ++-=_______．30．设12211112S =++，22211123S =++，32211134S =++，…，22111(1)n S n n =+++．设n S S =+，则S =_______（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．313=，则231x x x =++________．32．如果22320190x x --=.那么32220222020x x x ---=_________33．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：()()()222211,21,31,(4)1...,1234f f f f =+=+=+=+ 利用以上运算的规律写出 f（n ）＝___________ （n 为正整数）；f （1）•f （2）•f （3）…f （100）＝___________ ．34．已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为______．参考答案1．B 【分析】由a ﹣b ＝b ﹣c ＝2可得a ﹣c ＝4，然后通过配方求得a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 的值，最后整体求出ab +bc +ac 即可．【详解】解：∵a ﹣b ＝b ﹣c ＝2， ∵a ﹣c ＝4，∵a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝12（2a 2+2b 2+2c 2﹣2ab ﹣2bc ﹣2ac ）＝12[（a ﹣b ）2+（b ﹣c ）2+（c ﹣a ）2]＝12，∵ab +bc +ac ＝a 2+b 2+c 2﹣12∵11-12=﹣1．故答案为B ．【点睛】本题主要考查了完全平方式以及配方法的应用，灵活运用完全平方式进行配方成为解答本题的关键． 2．C 【分析】结合题意，根据数字规律，分别计算得x 和y 的值，从而得到x+y 的值．【详解】根据题意，得：88165x =⨯+=888658528y x =⨯+=⨯+=∴65528593x y +=+= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字规律、有理数运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、有理数加法和乘法、代数式计算的性质，从而完成求解． 3．A 【分析】试着往下求出几个式子的值，发现结果成一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，用2021除以5得到一共有几组循环，余几，从而求出式子的和．【详解】解：根据题意，()40f =（45⨯的末位数字），()50f =（56⨯的末位数字）， ()62f =（67⨯的末位数字）， ()76f =（78⨯的末位数字）， ()82f =（89⨯的末位数字）， ()90f =（910⨯的末位数字），……这些数有一个循环的规律，以2、6、2、0、0为一个循环，每组循环的数加起来等于10， ∵202154041÷=，∴原式4041024042=⨯+=．故选：A ．【点睛】本题考查数字找规律，解题的关键是掌握循环问题的求解方法． 4．B 【分析】根据题目给的公式，试着算出前面几个数，发现结果会是一个循环，以1，2，3，4为一个循环．【详解】解：当2k =时，[]()2111401140024x x ⎛⎫⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当3k =时，()32211421400344x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，当4k =时，()43321431400444x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，当5k =时，()54431441410144x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，当6k =时，()65541411411244x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+--=+-⨯-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭， ……发现结果是一个循环，每4个数一个循环， 201445032÷=，∴201422x x ==．故选：B ．【点睛】本题考查数字规律总结，解题的关键是尝试着去寻找规律，利用循环问题的解题方法去解决．5．B【分析】由△CA 1B 1∽△CAB 得出面积比等于相似比的平方，得出△CA 1B 1的面积为14，因此四边形A 1ABB 1的面积为1-14，以此类推．四边形的面积为21144-，231144-，，根据规律求出式子的值．【详解】∵A 1、B 1分别是AC 、BC 两边的中点，且△ABC 的面积为1，∴△A 1B 1C 的面积为114⨯， ∴四边形A 1ABB 1的面积=△ABC 的面积-△A 1B 1C 的面积=31144=-， ∴四边形A 2A 1B 1B 2的面积=△A 1B 1C 的面积-△A 2B 2C 的面积=22113444-=， …，∴第n 个四边形的面积1113444n n n--=，故2321333311111···(1)()()444444444n n n -++++=-+-++-114n=- 414n n -=．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型问题，三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．6．B【分析】根据题意先找出正半轴上的整数与圆周上的数字建立的对应关系，找出规律进行解答即可．【详解】解：∵数轴上1，2，3，4，…所对应的点分别与圆周上1，2，0，1，…所对应的点重合， ∵圆周上数字0、1、2与正半轴上的整数每3个一组0、1、2，3、4、5，6、7、8，…分别对应，∵数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n 为正整数）后，并落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是3n+1．当n ＝99时，3×99+1＝298．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形的变化规律，注意掌握数轴的特点并根据题意找出规律是解答此题的关键．7．B【分析】观察图形可知：2n OA n =，由2016OA 1008=，推出2019OA 1009=，由此即可解决问题．【详解】观察图形可知：点2n A 在数轴上，2n OA n =，2016OA 1008=，2019OA 1009∴=，点2019A 在数轴上，22019OA A 11009S 1009122∴=⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．8．B【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a 、b 对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【详解】∴a ，∴b ，∴21b a -，故选：B ．【点睛】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答．9．B【分析】观察上三角形，下左三角形，下中三角形，下右三角形各自的规律，让其等于396，解得n 为正整数即成立，否则舍去．【详解】根据图形规律可得：上三角形的数据的规律为：2(1)n n +，若2(1)396n n +=，解得n 不为正整数，舍去；下左三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去；下中三角形的数据的规律为：21n -，若21396n -=，解得n 不为正整数，舍去；下右三角形的数据的规律为：(4)n n +，若(4)396n n +=，解得18n =，或22n =-，舍去故选：B ．【点睛】本题考查了有关数字的规律，能准确观察到相关规律是解题的关键．10．C【分析】先通过观察找出第n 个算式的规律为n(n+3)，写出所得代数式；再找出所求代数式的规律，按照裂项法展开计算即可．【详解】解：∵15a ===1×4+1，211a ==2×5+1，319a ===3×6+1，…，观察以上各式发现规律，由规律可知：a 4=4×7+1，a 5=5×8+1，a 6=6×9+1，a 7=7×10+1 a n =n ·(n+3)+1验证：a 42947+1==⨯故依次为：a 5=5×8+1，a 6=6×9+1，a 7=7×10+1∴a n =n ·(n+3)+1 ∴123711111111a a a a ++++---- =1111111++++++142536475869710⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =111111*********-+-+-+-+-+-+-342536475869710⎛⎫ ⎪⎝⎭=1111111++---3238910⎛⎫ ⎪⎝⎭ =5391080故选：C【点睛】本题考查了规律型的数字在二次根式中的应用，观察出数字规律或正确计算出相关项并采用裂项法是进行快速计算的关键．11．（1）55715x y xy +-+；（2）2283；（3）57x = 【分析】（1）列式计算即可得到答案；（2）依据平方的非负性及绝对值的非负性求出x 与y 的值，代入（1）的结果中计算即可；（3）将3A B -整理为5x+（5-7x ）y+15，根据题意列得5-7x=0，解方程即可得到答案.【详解】（1）∵2324A x x y xy =-+-，225B x x y xy =--+-，∴3A B -=223243(25)x x y xy x x y xy -+----+-=55715x y xy +-+；（2）∵24103x y xy ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，∴403x y +-=，xy+1=0， ∴43x y +=，xy=-1， ∴3A B -=55715x y xy +-+=5（x+y ）-7xy+15 =457(1)153⨯-⨯-+ =2283；（3）∵3A B -的值与y 的取值无关，3A B -=55715x y xy +-+=5x+（5-7x ）y+15，∴5-7x=0，解得57x =. 【点睛】此题考查整式的混合运算，已知式子的值求代数式的值，整式无关型题的解法.12．（1）1；3；2 ；（2）2017【分析】（1）根据同类项的定义列得a+1=2，6-b=b ，分别求出a 及b 的值，再根据多项式的次数的定义求出c ；（2）由（1）求出232x x ++=3，得到23x x +=1，再代入计算即可.【详解】（1）∵单项式134b a x y +与单项式625b x y --是同类项， ∴a+1=2，6-b=b ，解得a=1，b=3，∵c 是多项式253mn m n ---的次数．∴c=2，故答案为：1,3,2；（2）由题意知2ax bx c ++=3，∵a=1，b=3，c=2，∴232x x ++=3，∴23x x +=1，∴2201926x x --=220192(3)x x -+=2019-2=2017.【点睛】此题考查同类项的定义，多项式的次数的定义，已知代数式的值求整式的值，正确计算是解题的关键.13．（1）94；（2）94-；（3）-2．【分析】阅读理解题意，理解“相对数对”，在此基础上，对于（1）运用“相对数对”的定义列出方程求解；对于（2）运用“相对数对”的定义列出m 、n 的关系式化简即可；对于（3）用（2）的结论，用m 表示n ，代入到所求代数式中，化简即可．【详解】解：（1）由“相对数对”的定义得11235b b --++=，解得94b =；（2）∵(m ，n)是相对数对且m≠0 ∴把2323a b a b ++=+中的a 、b 分别用m 、n 代换得 2323m n m n ++=+ 化简得94n m =-；（3）由（2）得94n m =-，所以得9n 4m =-代入到[]2242(31)3m n m n ----得原式=2299()423()1344m m m m ⎧⎫⎡⎤-⨯-----⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ =3327(42)22m m m m +-++ =33274222m m m m +--- =-2．【点睛】此题是新定义题型，综合考查解一元一次方程和代数式求值，关键是要理解“相对数对”含义和熟练整式加减运算．14．（1）2p =，1q =-；()473,27514G =；（2）8【分析】（1）应用(,)()()G m n pF m qF n =+与()F m 的定义表示出()253,121611G p q =+=，()231,69321814G p q =+=-，得到关于p 和q 的二元一次方程组，求解即可；（2）根据m 与各个数位上数字之和能被16除余7，且b a c =+，得到37716c a c ++-为正整数，即可得到c 的值，再根据()()2F m F n -=得到x 和b 的二元一次方程组，即可求解．【详解】解：（1）∵()253236F =⨯=，()121111F =⨯=，∵()253,121611G p q =+=①，∵()231212F =⨯=，()6936318F =⨯=，∵()231,69321814G p q =+=-②，联立①，②，解得2p =，1q =-；∵()4734312F =⨯=，()2752510F =⨯=，∵()473,2751221014G =⨯-=；（2）由题知，m 与各个数位上数字之和能被16除余7，且b a c =+， ∵10010716a b c a b c +++++- 101112716a b c ++-=()101112716a a c c +++-=11213716a c +-= 37716c a c +=+-，结果为整数， ∵103734c ≤+≤，∵3716c +=或32，当3732c +=时，c 不是整数，故舍去，∴3c =，∵()()2F m F n -=，∵32a xy -=，∵()()332b x b x ---=，即()()332x x b -+-=，∵3132x x b -=⎧⎨+-=⎩或3231x x b -=⎧⎨+-=⎩或3132x x b -=-⎧⎨+-=-⎩或3231x x b -=-⎧⎨+-=-⎩， ∵253451m n =⎧⎨=⎩或473572m n =⎧⎨=⎩或473275m n =⎧⎨=⎩或253154m n =⎧⎨=⎩， ()253,4518G =，()473,27514G =，()473,57214G =，()253,1548G =，∴(,)G m n 的最小值为8．【点睛】本题考查解二元一次方程组、新定义，理解题意是解题的关键．15．见解析【分析】设1m n =-，用n 将a 表示出来，代入原式化简即可证明．【详解】由题：1m n =-，()21a mn n n n n ==-=-原式===()11n n =--=1，是一个奇数．【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，和分解因式，题目较为新颖，难度较大，用n 将a 表示出来是本题的关键．16．（l ）1；（2）28．【分析】（1a 、b 的值，然后代入计算即可；（2）先求得x 的值，然后再表示出【详解】解：（1）∵459，91316<<∵23<<，34<<∵2a =-，3b =∵231a b +=+=；（2）∵12<，∵9810<∵9x =∵8y x =∵81y x =-=-∵原式39128=⨯+=．【点睛】本题主要考查了无理数大小的估算，根据估算求得a 、b 的值是解答本题的关键． 17．12020．【分析】将111++201820192020与11+20182019分别看作一个整体，再进行化简计算即可．【详解】解：设111++201820192020m =，11+20182019n =， ∴原式()()11n m m n =---m m n n m n =--+m n =-11111++20182019202020182019⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 12020=．故答案为：12020．【点睛】本题考查了有理数的混合运算及整式的化简，掌握整体思想是解题的关键．18．（1）-11（2）63.5（3）a =-3（4）2021．【分析】（1）求一次项系数，用每个括号中一次项的系数分别与另外两个括号中的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（2）求二次项系数，还有未知数的项有12x 、2x 、5x ，选出其中两个与另一个括号内的常数项相乘，最后积相加即可得出结论．（3）先根据（1）（2）所求方法求出一次项系数，然后列出等式求出a 的值．（4）根据前三问的规律即可计算出第四问的值．【详解】解：（1）由题意可得(x +2)(3x +1)(5x -3)一次项系数是：1×1×（-3）+3×2×（-3）+5×2×1=-11．（2）由题意可得( 12x +6)(2x +3)(5x -4) 二次项系数是： 112(4)5325663.522⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯=．（3）由题意可得(x 2+x +1)(x 2-3x +a )(2x -1)一次项系数是：1×a ×（-1）+（-3）×1×（-1）+2×1×a = a +3=0∴a =-3．（4）通过题干以及前三问可知：一次项系数是每个多项式的一次项分别乘以其他多项式常数项然后结果相加可得．所以(x +1)2021一次项系数是：a 2020=2021×1=2021．故答案为：（1）-11（2）63.5（3）a =-3（4）2021．【点睛】本题考查多项式乘多项式，观察题干，得出规律是关键．19．见解析【分析】先化简后消掉未知数x ，再求值时就与x 无关即可.【详解】解：2222213823333535x x xy y x xy y ⎛⎫⎛⎫-+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2222213823333535x x xy y x xy y --++++ =()2218323333355x xy xy y ⎛⎫⎛⎫-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2y 因为无论12x =-”还是“12x =，都x 无关，所以不影响结果. 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，去括号和合并同类项是解答本题的关键.20．3 3 7【分析】（1）求式子12x x ++-的最小值，由线段的性质：两点之间，线段最短，可知当-1≤x ≤2时，12x x ++-有最小值；（2）确定x 的取值范围进行分类讨论即可得到答案；（3）由线段的性质：两点之间，线段最短，去绝对值符号可得解．【详解】解：（1）当x <-1时，12x x ++-=1221x x x ---+=-+；当-1≤x ≤2时，12x x ++-=123x x +-+=；当x >2时，12x x ++-=2x-1 ∴12x x ++-的最小值为3，故答案为：3；（2）当x<-1时，12x x +--=1+21x x --+=；当-1≤x≤2时，12x x +--=1+-2-1x x +=；当x>2时，12x x +--=x+1-x+2=3 ∴12x x +--的最大值为3，故答案为：3；（3）当x <-13时，21263x x x +-+--=2263169x x x x -+-+-+=-+；当-13≤x ≤2时，21263x x x +-+--=226317x x x -+-++-=；当2<x ≤3时，21263x x x +-+--=2263123x x x x --++-=+；当x >3时，=2263169x x x x -+-+-=- 21263x x x +-+-- 所以，21263x x x +-+--的最小值是：7故答案为：7．【点睛】本题考查的是绝对值的定义，解答此类问题时要用分类讨论的思想．21．22a a -【分析】观察发现规律，并利用规律完成问题．【详解】观察232222+=-、23422222++=-发现23n 1222222n +++++=- ∴5051529910022222+++++ =()505024*********+++++ =50505122(22)+-=50505022(222)+⨯-（把502a =代入）=(22)a a a +-=22a a -．故答案为：22a a -．【点睛】此题考查乘方运算，其关键是要归纳出规律23n 1222222n +++++=-并运用之．22．231【分析】根据前四行的数归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】第1行的数是0，第2行的数是6066190=+=⨯+⨯，第3行的数是()()2106150669162901=++=+++⨯=⨯+⨯+，第4行的数是()()450615246291692639012=+++=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++，归纳类推得：第n 行的数是()()6190122n n -+++++-，其中2n ≥且为整数，则第8行的数是()()681901282⨯-+⨯++++-，()679123456=⨯+⨯+++++，42921=+⨯，231=，故答案为：231．【点睛】本题考查了用代数式表示数的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 23．5【分析】根据二次三项式的次数和项数的定义，确定m 值，再把m 代回二次三项式中得到等式，再把x 和y 值代入所求的式子中，然后把前面所得等式整体代入所求，即可得到结果．【详解】解：∵21a m x ++（m +1）by ﹣3是关于x 、y 的二次三项式，∴当x ＝1，y ＝﹣1时，有a ﹣（m +1）b ﹣3＝0，m 2＝1，∴m ＝±1，当m ＝﹣1时不合题意，∴m ＝1，∴a ﹣2b ﹣3＝0，∴a ﹣2b ＝3， ∴1322a b -+=-， ∴当x ＝﹣12，y ＝12时，式子a m x +2mby +132＝11322a b -++＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查多项式的次数项数的定义、多项式的代入求值的相关计算，根据次数项数定义确定m 的取值要考虑全面，这是本题的易错点．24．21【分析】结合态，根据完全平方公式的性质，将代数式变形，即可计算得a ，b ，c 的值，从而得到答案．【详解】∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123===∴111429a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩∴2511a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴2251121b c +=⨯+=．【点睛】本题考查了二次根式、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、完全平方公式、一元一次方程的性质，从而完成求解．25．0或2或4【分析】根据0,0a b c abc ++<>，推导出a 、b 、c 三个数中必定是一正两负，进而分三类讨论即可.【详解】∵0,0a b c abc ++<>，∴a 、b 、c 三个数中必定是一正两负，∴当0,0,0a b c <<>时，0ab >，此时231234||||||a ab abc a ab abc ++=-++= 当0,0,0a b c <><时，0ab <，此时231230||||||a ab abc a ab abc ++=--+= 当0,0,0a b c ><<时，0ab <，此时231232||||||a ab abc a ab abc ++=-+= 故答案为：0或2或4【点睛】本题考查与绝对值有关的代数式化简问题，熟练运用分类讨论思想求解是本题的关键. 26．255 21【分析】（1）a=1，b=3，按规则操作三次，第一次：c=7，第二次：c=31，第三次：c=255由此即可求解；（2）p>q>0，按规则重复两次，第一次得：()()1111c pq p q q p =++=++-，第二次得： ()()22111c p q =++-，所得新数大于任意旧数，故经过6次扩充，所得数为()()138111p q ++-，即可求解．【详解】（1）第一次，13137c =⨯++=；第二次，373731c =⨯++=；第三次，317731255c =⨯++=；（2）第一次，1(1)(1)1c pq q p p q =++=++-；第二次，22[(1)(1)11](1)1(1)(1)1c p q p p q =++-++-=++-；第三次3[(1)(1)11]c p q =++-+232(1)(1)111(1)(1)1p q p q ⎡⎤++-+-=++-⎣⎦；第四次，523243(1)(1)11(1)(1)111(1)(1)1c p q p q p q ⎡⎤⎡⎤=++-+++-+-=++-⎣⎦⎣⎦；第五次，2538535(1)(1)11(1)(1)111(1)(1)1c p q p q p q ⎡⎤⎡⎤=++-+++-+-=++-⎣⎦⎣⎦；第六次，3618(1)(1)1c p q =++-，所以13821m n +=+=．故答案为（1）255；（2）21．【点睛】本题考查了推理与论证，整式规律探究，新定义运算，主要考查学生分析解决问题的能力，求出经过6次操作后扩充所得的数是关键．27．405【分析】根据已知的一列数归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】这列数的第1个数是()99411=+⨯-，这列数的第2个数是()139421=+⨯-，这列数的第3个数是()179431=+⨯-，这列数的第4个数是()219441=+⨯-，这列数的第5个数是()259451=+⨯-，归纳类推得：这列数的第n 个数是()94145n n +-=+，其中n 为正整数，则这列数中的第100个数是41005405⨯+=，故答案为：405．【点睛】本题考查了数字类的规律型问题，依据题意，正确归纳出一般规律是解题关键． 28．1-或0或1【分析】对原式进行变形，写成()0bc ac ab a b c abc ++⎛⎫++= ⎪⎝⎭的形式，则要么0a b c ++=要么0bc ac ab ++=，再根据()2a b c ++的值求出a b c ++的值．【详解】解：将原式变形成：111111()1()1()10a b c b c c aa b++++++++=， 111111111()()()0a b c a b c b c a c a b++++++++= ()111()0a b c a b c ++++= ()0bc ac ab a b c abc ++⎛⎫++= ⎪⎝⎭， ∴0a b c ++=或0bc ac ab ++=，若0bc ac ab ++=，则()()22222101a b c a b c bc ac ab ++=+++++=+=， ∴1a b c ++=±．故答案是：1-或0或1．【点睛】本题考查乘法公式的运用，解题的关键是熟练运用乘法公式进行计算．29．0【分析】根据绝对值的意义分30m n p ++-≥和30m n p ++-<两种情况讨论化简已知，可求出10++=m n 或40p -=，即可解题．【详解】解：当30m n p ++-≥时，去绝对值得：35m n p m n p ++-=+-+，∴40p -=；当30m n p ++-<时，去绝对值得：()35m n p m n p -++-=+-+，∴10++=m n ；∴()()140m n p ++-=．故答案为：0．【点睛】本题综合考查了绝对值的性质，能够根据已知条件进行讨论，化简得出10++=m n 或40p -=是解答此题的关键．30．221n n n ++ 【分析】试题分析：先求出S n 111n n +-+，再总结出S 的表达式，从而可以得出结论．【详解】 22111(1)n S n n =+++ 222222(1)(1)(1)n n n n n n ++++=+ 222[(1)]221[(1)]n n n n n n ++++=+ 22[(1)1][(1)]n n n n ++=+， (1)111111(1)(1)1n n n n n n n n ++==+=+-+++．n S S ∴=+1111111112231n n =+-++-+++-+ 111n n =+-+ 22(1)1211n n n n n +-+==++．【点睛】本题为规律探究问题，难度较大，根据提供的式子发现规律，并表示规律是解题的关键，同时要注意对于式子()11111n n n n =-++的理解． 31．110【分析】3=两边平方，得到17x x +=，由题意得x ≠0，将231x x x ++分子分母同时除以x ，再将1x x +的值整体代入求值即可．【详解】3=， ∴式子两边同时平方得：129x x ++=， ∴17x x+=，由题意可得：0x ≠， ∴211313x x x x x=++++117310==+．【点睛】本题主要考查完全平方公式、分式有意义的条件以及分式的性质，本题关键在于整体思想的运用．32．-1【分析】根据22320190x x --=得到22232019,232019x x x x =+-=，再把原式变形，然后把22232019,232019x x x x =+-=整体代入求值即可得解.【详解】解：22320190x x --=，22232019,232019x x x x ∴=+-=32220222020x x x ∴---()2220222020x x x =--- ()3201920222020x x x =+---()232020x x =--()2232020x x =-- 20192020=-1=-故答案为-1【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.33．21n+ 5151 【分析】由已知的一系列等式，归纳总结表示出f （n ）；由得出的f （n ），分别令n =1，2，3，…，100，代入所求式子f （1）•f （2）•f （3）…f （100）中，约分后计算，即可得到结果．【详解】解：由题意总结得：()()221,n f n f n n n+=+= f （1）=31； f （2）=42； f （3）＝25133+=； f （4）＝26144+=； f （5）＝27155+=； f （6）＝28166+=， …，f （99）＝210119999+= ， f （100）＝21021100100+=，则f（1）•f（2）•f（3）…f（100）= 3456102101102 (5151)123410012⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯故答案为：21;5151n+【点睛】此题主要考查了定义新及找规律，根据题目已知条件找出规律是解题的关键．34．42【分析】根据a，b，c，n是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，故要使得n尽量大，则a，b，c的值应尽量小，对a，b，c从小到大赋值计算，可得答案．【详解】a，b，c，n是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，∴要使得n尽量大，则a，b，c的值应尽量小∴若a＝2，b＝3，c＝4，则1111111323412 a b c++=++=故此种情况不符合题意；若a＝2，b＝3，c＝5，则，则1111113123530 a b c++=++=故此种情况不符合题意；若a＝1，b＝2，c＝3，则11111111236 a b c++=++=此时n＝6，故此种情况不符合题意；若a＝2，b＝3，c＝7，则1111114123742 a b c++=++=此时n＝42，则1111a b c n+++也是整数，符合题意故n的最大值为：42．【点睛】本题考查代数式求值，明确分数的分母越小分数越大，从而最后剩下的凑整分数的分母越大，采用赋值与分类讨论是解答本题的关键．。

初中数学专题复习代数综合题(含答案)

初中数学专题复习代数综合题(含答案)代数综合题是一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容，需要用到化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等数学思想方法。

解决代数综合题需要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破。

同时，需要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，从而达到解决问题的目的。

已知关于x的一元二次方程x－(k＋1)x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值。

解：设方程的另一根为x1，由韦达定理：2 x1 =－6，∴x1 =－3.由韦达定理：－3+2= k＋1，∴k=－2.已知关于x的一元二次方程（k+4）x＋3x+k－3k－4=0的一个根为2，求k的值。

解：把x=0代入这个方程，得k－3k－4=0，解得k1＝1，k2＝－4.因为k+4≠0，所以k≠－4，所以k＝1.需要注意需满足k+4的系数不能为0，即k≠－4.已对方程2x+3x－l＝0，求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数。

解：设2x+3x－l＝0的两根为x1、x2，则新方程的两根为1/x1、1/x2.得到1/x1+1/x2=3，所以新方程为y2－3y－2=0.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价x （元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）xxxxxxxx… y（件）xxxxxxxx…（省略号表示数据继续往下延伸）。

⑴在草稿纸上描点，观察点的分布，建立y与x的恰当函数模型。

⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴经观察发现各点分布在一条直线上，∴设y=kx+b（k≠0）。

⑵由题意可知每件产品的销售价应为20元，此时每日销售利润为200元。

1、根据题意可列出函数关系：y=ax^2+bx+c，代入三组数据得到三个方程组成的线性方程组：begin{cases} 8.6=1990a+1990b+c \\ 10.4=1995a+1995b+c \\ 12.9=2000a+2000b+c \end{cases}$$解得：$a=0.45,b=-1792.5,c=xxxxxxx$，所以二次函数为$y=0.45x^2-1792.5x+xxxxxxx$，代入$x=15$得到2005年该市国内生产总值为14.1亿元人民币。

中考专题：代数综合问题的解决方法

中考专题：代数综合问题的思考方法【问题概述】初中代数综合题，主要以方程、函数这两部分为重点，因此牢固地掌握方程与不等式的解法、一元二次方程的解法和根的判别式、函数的解析式的确定及函数性质等重要基础知识，是解好代数综合题的关键•在许多问题中，代数和几何问题交织在一起，就要沟通这些知识之间的内在联系，以数形结合的方法找到解决问题的突破口•通过解综合题有利于透彻和熟练地掌握基础知识和基本技能，更深刻地领悟数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.【方法点拨】（1）对“数学概念”的深刻理解是解综合题的基础；（2）认识综合题的结构是解综合题的前提；（3）灵活运用数学思想方法是解综合题的关键；（4）建立思维程序是解综合题的核心.*审题（读题、断句、找关键）;*先宏观（题型、知识块、方法）；后微观（具体条件，具体定理、公式）*由已知，想可知（联想知识）；由未知，想须知（应具备的条件），注意知识的结合;*观察——挖掘题目结构特征；联想一一联系相关知识网络；突破——抓往关键实现突破。

（5）准确计算，严密推理是解综合题的保证.【典型例题】类型一、方程与不等式综合（方程、不等式思想解决问题）C^1.已知方程组2x 3y 2 3a,的解满足X °，求a的取值范围.3x 4y 2a 1. y °.【思路点拨】本题考查了含字母系数的方程解法及利用不等式组求字母的取值范围问题.【答案与解析】2x 3y 2 3a ①解：―3x 4y 2a 1②①x 3—②X 2 得：y = 13a — 4 ①x 4—②X 3 得：x = 18a — 5【总结升华】在解含字母系数的方程时要分清未知数和字母常数，这样才能更准确地对方程进行求解.【过关测试】线上同步辅导-不等式与不等式组-B7、B8;海淀一模22 (2)、26 (2)2 • m 为何值时，x 2 2(m 2)x m 2 2m 1是完全平方式【思路点拨】本题直观考查完全平方式的特征，但是因为代数式的定性衍生出方程，不定性衍生出函数，所以完全平方式形式在方程和函数中又被赋予了独有的含义•因此，本题也可以看作是间接考查了对完全平方式不同角度的理解. 【答案与解析】解：解法1：待定系数法._ , 2 2 2设原式=[x-(m-2)] = x -2(m-2)x+m -4m+42 21所以 m+2m+l = m-4m+4, m ；2，解法2 :配方法(代数式运算、因式分解) 原式=x 22( m 2)x (m 2)2 (m 2)2 m 2 2m 1 •21=[x-(m-2)]+6m-3, 6m-3= 0, m -；2解法3:判别式法(一元二次方程)因为是完全平方式，所以方程x 2 2(m 2)x m 2 2m 1 0有两等根，2 21△ = [-2(m-2)] — 4(m +2m+1)= 0, m -；2，解法4:函数思想方法由题意令x > 0, y > 0 得:18a 5 0, 13a 4 0..5 4 --—a —. 18 132 24(m 2m"4(m 2)0, 6m 3【总结升华】定，从函数的角度解决问题•解决问题的角度不同，但结果是相同的.类型二、方程与函数综合3 •请你根据下图中图象所提供的信息，解答下面问题: (1)分别写出l i , I 2中变量y 随x 变化而变化的情况;(2) 写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件.【思路点拨】本题是一次函数与二元一次方程组的综合题•本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象的交点与方程组的解的关系. 【答案与解析】解：(1) h : y 的值随x 的增大而增大;12: y 的值随x 的增大而减小.⑵ 设直线11 , 12的函数表达式分别为y a 1x b 1, y a 2x b 2,由题意得a b 1 1a 2b 2 12 2b 1 13& b 2 01解得：a 2a 22b|1b23 •213 •直线h , I 2的函数表达式分别为 y 2x 1 , y x22因为是完全平方式，所以令y x 2 2(m 2)x m 2 2m 1 ,4ac b 2所以抛物线顶点在 x 轴上，0 ,4a对于代数式，可以考虑其为特殊值，将其看作方程,从方程的角度解决问题；也可以考虑其值不y 2x 1•••所求的方程组为13 •y —x —2 2【总结升华】利用函数及图象解决方程组的解的问题，体现了数形结合的思想【过关测试】线上中考专题-压轴题专题(03)-代数综合题(一)第一题；海淀一模 25 (3) 举一反三:1【变式】已知：如图，平行于 x 轴的直线y = a(a 丰0)与函数y = x 和函数y 的图象分别交于点 Ax和点B,又有定点 P(2，0).1(1) 若a > 0，且tan POB —,求线段AB 的长;9⑵ 在过A , B 两点且顶点在直线 y = x 上的抛物线中，已知线段 AB随着x 的增大而增大，求满足条件的抛物线的解析式;【答案】解：(1)设第一象限内的点 B(m,n ),则tan POB所以3a 2 8a 3 0，解得a8，且在它的对称轴左边时,3⑶已知经过A B , P 三点的抛物线，平移后能得到9x 2的图象, 5求点P 到直线AB 的距离.1 得m=9r ,又点B 在函数y —的图象上，得nx1 以m=3 (—3舍去)，点B 为(3 —),，31 1而AB//x 轴，所以点A (丄,1)，所以AB 3 3 m 1 ，所m318(2)由条件可知所求抛物线开口向下，设点1 1 8B ( —,a )，贝U AB — a ,a a 3 (a ,a ),当 a =— 3 时，点 A (— 3, — 3), 所以可设二次函数为 y所以所求函数解析式为5k (x ?3,二 y —(x -) 4 3 1-- B (3)，因为顶点在y = x 上，所以顶点为(一，一)3 33，点A 代入，解得k3 5、23，55. y=l1 3 5 5同理，当a 时，所求函数解析式为y (x )23 4 3 31 a i(3) 设A (a , a ), B (丄a)，由条件可知抛物线的对称轴为x - .a 2 2a9 1设所求二次函数解析式为：y 9(x 2) x (a丄)2 •5 a点A(a,a)代入，解得a13，a2 1，所以点P到直线AB的距离为3或—13 13(1)求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；(2)若抛物线y mx23m 1 x 3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；(3)若点P(X1, yj与Q(X1 n, y2)在(2)中抛物线上(点P、Q不重合),且y^y2,求代数式4为212x1 n 5n216n 8 的值.【思路点拨】(1)分别讨论当m=0和m^0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；2 2(2)令y=0，则mx+ (3m+1 x+3=0,求出两根，再根据抛物线y=mx+ ( 3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；(3)点P (X1, y1 )与Q(X1+n, y2)在抛物线上，求出y1和y2, y1和y2相等，求出n (2x1+n+4) =0,然后整体代入求出代数式的值.【答案与解析】解：(1)当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根x=-3 .当m^0时，原方程为一元二次方程.已知关于x的方程mx2(3m 1)x 3 0.v1.0可编辑可修改2 2 2■/△ = (3m+1) -12m=9m-6m+1= (3m-1) > 0.•••此时方程有两个实数根.综上，不论m为任何实数时，方程mf+ (3m+1) x+3=0总有实数根.2(2) •••令y=0,则mx+ (3m+1) x+3=0.1解得x i=-3, X2= 一m•抛物线y=mf+ ( 3m+1 x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数,/• m=1抛物线的解析式为y=x2+4x+3.(3 )•••点P (x i, y i )与Q( x i+n, y2)在抛物线上，2 2•y i=x i +4x i+3, y2=(x i+n) +4(x i+ n)+3 .•y i=y2,2 2•x i +4x i+3=(x i+n) +4(x i+n)+3 .可得2x i n+n2+4 n=0.即n (2x i+n+4) =0.••点P, Q不重合，•n^ 0.•2x i=-n-4 .2 2 2 2 2 2•4x i+i2x i n+5n+i6n+8=(2x i) +2x i? 6n+5n+i6n+8= (n+4) +6n (-n-4 ) +5n+i6n+8=24.【总结升华】本题主要考查二次函数的综合题的知识，解答本题的关键熟练掌握方程与函数之间的联系，此题难度不大，第三问需要整体代入.举一反三：【变式】已知关于x的一元二次方程x2+ (m+ 3)x + m^ i = 0.(1) 求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2) 若x i、X2是原方程的两根，且|x i —X2| = 2.2，求m的值和此时方程的两根. 【答案】解：(i)证明：由关于x的一元二次方程x2+ (m+ 3)x + m^ i= 0得2 2△ = ( m+3 —4 ( m+1 = ( m+1 +4,•••无论m取何值，(m+1) 2+ 4恒大于0,•••原方程总有两个不相等的实数根2.类型三、以代数为主的综合题.如图所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1, 0)，直线y= x+m与该二次函数的图象交于A,B两点，其中A点的坐标为(3 , 4) , B点在y轴上.(1)求m的值及这个二次函数的解析式;(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A, B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h,点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(3) D 为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.【思路点拨】本题是一道函数综合题，考查二次函数、一次函数解析式的求法，函数关系式的建立.【答案与解析】解：(1) •.•点A(3 , 4)在直线y = x+m上, • 4 = 3+m •- m= 1.设所求二次函数的关系式为y a(x 1)2.(2)：x i, X2是原方程的两根，「.x 计X2=—( m+3, x i? X2=m+1.v1.0可编辑可修改•••点A(3 , 4)在二次函数y a(x 1)2的图象上，••• 4= a(3-1) I a = 1.•所求二次函数的关系式为y (x 1)2 .即y x 2 2x 1.⑵ 设P, E 两点的纵坐标分别为 y p 和y E .22二 PE h1y p yE|(y p y E)= (x+1) - (x — 2x+1) = — x+3x . 即 h x 23x(0 x 3).⑶存在.要使四边形 DCEP 是平行四边形，必有 PE = DC •••点D 在直线y = x+1 上, ••点 D 的坐标为(1 , 2), • x 2 3x 2. 即 x 2 3x 2 0 . 解之，得x 12 , x 21( x 2不合题意，舍去).•••当P 点的坐标为(2 , 3)时，四边形 DCEP 是平行四边形. 【总结升华】若两点在平行于 x 轴或平行于y 轴的直线上，则这两点间的距离可用它们的横坐标或纵坐标的差的绝对值来表示•(海淀一模 26 ( 2)( 3))举一反三：【变式】如图，已知二次函数 y ax 2 4x c 的图象与坐标轴交于点 A (-1 , 0 )和点B (0, -5 )(1) 求该二次函数的解析式； (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点 P,使得△ ABP 勺周长最小.请求出点P 的坐标. 【答案】解:2(1)根据题意，得0 a ( 1) 4 ( 1) c,5 a 02 4 0 c.v1.0可编辑可修改• ••二次函数的表达式为 y x 2 4x 5 .由于P 是对称轴x 2上一点, 连结 AB 由于 AB ■. OA 2 OB 2. 26，要使△ ABP 的周长最小，只要PA PB 最小.由于点A 与点C 关于对称轴x 2对称，连结BC 交对称轴于点P ，因而BC 与对称轴x 2的交点P 就是所求的点.【过关测试】线上同步辅导-二次函数-B16 ;西城一模26、例题（B1605）（新定义，二次函数，一元二次方程根的判别式，不等式思想）如果变量，是变量工的函数，可用符号# 丄〕来表示，如一次函数$ 八1 又可表示为从〕1;对于函数 f若存在一个实数％，使八』％成立，则称叼是的不动点；已知函数 M ）—川I ⑴ W 3 ,（“°）⑴、当＜J 16 2时，求函数/①的不动点；⑵、若对于任意实数方，函数八）恒有两个相异的不动点，求空的取值范围;解得a 1, c 5.（2）令y =0,得二次函数y X 2 4x 5的图象与x 轴的另一个交点坐标c （ 5, 0）则PA PB = BP +PC =BC 根据两点之间，线段最短，可得PA PB的最小值为BC设直线BC 的解析式为y kx b ，根据题意，可得 b 5, 0 5k解得b.1, 5.所以直线 BC 的解析式为y x 5因此直线BC 与对称轴x 2的交点坐标是方程组 2,的解,x 5解得2, 3.所求的点P 的坐标为（2，-3）.朝阳一模26。

代数综合问题(含答案)

代数综合问题1、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．2、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且B（1，0），C （0，3），将△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点P为线段AB上的任一动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连结CP，求△PCE 面积S的最大值；（3）设抛物线的顶点为M，Q为它的图象上的任一动点，若△OMQ为以OM为底的等腰三角形，求Q点的坐标．4、如图，二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A，过A点的直线与y轴交B，与二次函数的图象交另一点C，且C点的横坐标为﹣1，AC：BC=3：1．（1）求点A的坐标；（2）设二次函数图象的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E，若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式．5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx 经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大？若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．7、如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b 的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．（1）求抛物线的解析式；（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴DF与BC相交于点E，与x轴相交于点F．（1）求线段DE的长；（2）设过E的直线与抛物线相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），试判断当|x1﹣x2|的值最小时，直线MN与x轴的位置关系，并说明理由；（3）设P为x轴上的一点，∠DAO+∠DPO=∠α，当tan∠α=4时，求点P的坐标．9、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？参考答案1、方法一：解：（1）由直线y=﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，根据题意得：，解得：，则二次函数的解析式是：y=﹣﹣x+1；（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），则M（x，﹣x+1），P（x，0）．∴MN=PN﹣PM=﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，则当x=﹣时，MN的最大值为；（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，则MN=BC，且BC=MC，即﹣x2﹣x=，且（﹣x+1）2+（x+3）2=，解x2+3x+2=0，得：x=﹣1或x=﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．方法二：（1）略．（2）设N（t，﹣），∴M（t，﹣t+1），∴MN=NY﹣MY=﹣+t﹣1，∴MN=﹣，当t=﹣时，MN有最大值，MN=．（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN=BC=，即﹣=，∴t1=﹣1，t2=﹣2，①t1=﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），∴K NC==2，∵K AB=﹣，∴K NC×K AB=﹣1，∴NC⊥BM．②t2=﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），∴K NC==，K AB=﹣，∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．2、解：（1）依题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．3、解：（1）∵B（1，0），C（0，3），∴OB=1，OC=3．∵△BOC绕点O按逆时针方向旋转90°，C点恰好与A重合．∴OA=OC=3，∴A（﹣3，0），∵点A，B，C在抛物线上，∴，∴，∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，（2）设点P（x，0），则PB=1﹣x，∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=4，∵C（0，3），∴OC=3，∴S△ABC=AB×OC=6，∵PE∥AC，∴△BPE∽△BAC，∴，∴S△PBE=（1﹣x）2，∴S△PCE=S△PBC﹣S△PBE=PB×OC﹣（1﹣x）2=（1﹣x）×3﹣（1﹣x）2=﹣（x+1）2+，当x=﹣1时，S△PCE的最大值为．（3）∵二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标（﹣1，4），∵△OMQ为等腰三角形，OM为底，∴MQ=OQ，∴=，∴8x2+18x=7=0，∴x=，∴y=或y=，∴Q（，），或（，）．4、方法一：解：（1）如图，过点C作CM∥OA交y轴于M．∵AC：BC=3：1，∴=．∵CM∥OA，∴△BCM∽△BAO，∴===，∴OA=4CM=4，∴点A的坐标为（﹣4，0）；（2）∵二次函数y=ax2+bx（a＜0）的图象过A点（﹣4，0），∴16a﹣4b=0，∴b=4a，∴y=ax2+4ax，对称轴为直线x=﹣2，∴F点坐标为（﹣2，﹣4a）．设直线AB的解析式为y=kx+n，将A（﹣4，0）代入，得﹣4k+n=0，∴n=4k，∴直线AB的解析式为y=kx+4k，∴B点坐标为（0，4k），D点坐标为（﹣2，2k），C点坐标为（﹣1，3k）．∵C（﹣1，3k）在抛物线y=ax2+4ax上，∴3k=a﹣4a，∴k=﹣a．∵△AED中，∠AED=90°，∴若△FCD与△AED相似，则△FCD是直角三角形，∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，∴∠FCD=90°，∴△FCD∽△AED．∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，∴FC=CD，∴△FCD是等腰直角三角形，∴△AED是等腰直角三角形，∴∠DAE=45°，∴∠OBA=45°，∴OB=OA=4，∴4k=4，∴k=1，∴a=﹣1，∴此二次函数的关系式为y=﹣x2﹣4x．方法二：（1）略．（2）∵A（﹣4，0），x=﹣=﹣2，∴b=4a，∴抛物线：y=ax2+4ax，∴C（﹣1，﹣3a），F（﹣2，﹣4a），∵△FCD∽△AED，∠AED=90°，∴AC⊥FC，则K AC×K FC=﹣1，∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣3a），F（﹣2，﹣4a），∴=﹣1，∴a2=1，∴a1=1（舍），a2=﹣1，∴此时抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣4x．5、解：（1）将点B（1，4），E（3，0）的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：，抛物线的解析式为y=﹣2x2+6x．（2）如图1所示；∵BD⊥DE，∴∠BDE=90°．∴∠BDC+∠EDO=90°．又∵∠ODE+∠DEO=90°，∴∠BDC=∠DE0．在△BDC和△DOE中，，∴△BDC≌△DEO．∴OD=AO=1．∴D（0，1）．（3）如图2所示：作点B关于抛物线的对称轴的对称点B′，连接B′D交抛物线的对称轴与点M．∵x=﹣=，∴点B′的坐标为（2，4）．∵点B与点B′关于x=对称，∴MB=B′M．∴DM+MB=DM+MB′．∴当点D、M、B′在一条直线上时，MD+MB有最小值（即△BMD的周长有最小值）．∵由两点间的距离公式可知：BD==，DB′==，∴△BDM的最小值=+．设直线B′D的解析式为y=kx+b．将点D、B′的坐标代入得：，解得：k=，b=1．∴直线DB′的解析式为y=x+1．将x=代入得：y=．∴M（，）．（4）如图3所示：过点F作FG⊥x轴，垂足为G．设点P（a，﹣2a2+6a），则OG=a，PG=﹣2a2+6a．∵S梯形DOGP=（OD+PG）•OG=（﹣2a2+6a+1）×a=﹣a3+3a2+a，S△ODA=OD•OA=×1×1=，S△AGP=AG•PG=﹣a3+4a2﹣3a，∴S△PDA=S梯形DOGP﹣S△ODA﹣S△AGP=﹣a2+a﹣．∴当a=时，S△PDA的最大值为．∴点P的坐标为（，）．6、解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得，，∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3；（2）如图1，连接PC、PE，x=﹣=﹣=1，当x=1时，y=4，∴点D的坐标为（1，4），设直线BD的解析式为：y=mx+n，则，解得，，∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC=PE，∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x=2，则y=﹣2×2+6=2，∴点P的坐标为（2，2）；（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3），∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形，∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，当2﹣a=﹣a2+2a+3时，整理得，a2﹣3a﹣1=0，解得，a=，当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时，整理得，a2﹣a﹣5=0，解得，a=，∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．7、解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴﹣=1，解得：m=．将点A（2，3）代入y=﹣x2+x+n中，3=﹣1+1+n，解得：n=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3．（2）∵P、A、B三点共线，PA：PB=3：1，且点A、B位于点P的同侧，∴y A﹣y P=3y B﹣y P，又∵点P为x轴上的点，点A（2，3），∴y B=1．当y=1时，有﹣x2+x+3=1，解得：x1=﹣2，x2=4，∴点B的坐标为（﹣2，1）或（4，1）．将点A（2，3）、B（﹣2，1）代入y=kx+b中，，解得：；将点A（2，3）、B（4，1）代入y=kx+b中，，解得：．∴一次函数的解析式y=x+2或y=﹣x+5．（3）假设存在，设点C的坐标为（1，r）．∵k＞0，∴直线AP的解析式为y=x+2．当y=0时，x+2=0，解得：x=﹣4，∴点P的坐标为（﹣4，0），当x=1时，y=，∴点D的坐标为（1，）．令⊙与直线AP的切点为F，与x轴的切点为E，抛物线的对称轴与直线AP的交点为D，连接CF，如图所示．∵∠PFC=∠PEC=90°，∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°，∴∠DCF=∠EPF．在Rt△CDF中，tan∠DCF=tan∠EPF=，CD=﹣r，∴CD=CF=|r|=﹣r，解得：r=5﹣10或r=﹣5﹣10．故当k＞0时，抛物线的对称轴上存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，点C的坐标为（1，5﹣10）或（1，﹣5﹣10）．8、解：由抛物线y=﹣x2+2x+3可知，C（0，3），令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得：x=﹣1，x=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；∴顶点x=1，y=4，即D（1，4）；∴DF=4设直线BC的解析式为y=kx+b，代入B（3，0），C（0，3）得；，解得，∴解析式为；y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴E（1，2），∴EF=2，∴DE=DF﹣EF=4﹣2=2．（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，∵E（1，2），∴2=k+b，∴k=2﹣b，∴直线MN的解析式y=（2﹣b）x+b，∵点M、N的坐标是的解，整理得：x2﹣bx+b﹣3=0，∴x1+x2=b，x1x2=b﹣3；∵|x1﹣x2|====，∴当b=2时，|x1﹣x2|最小值=2，∵b=2时，y=（2﹣b）x+b=2，∴直线MN∥x轴．（3）如图2，∵D（1，4），∴tan∠DOF=4，又∵tan∠α=4，∴∠DOF=∠α，∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，∵∠DAO+∠DPO=∠α，∴∠DPO=∠ADO，∴△ADP∽△AOD，∴AD2=AO•AP，∵AF=2，DF=4，∴AD2=AF2+DF2=20，∴OP=19，同理，当点P在原点左侧，OP=17．∴P1（19，0），P2（﹣17，0）．9、解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1，把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2，∴点B的坐标为（0，2）．（2）延长EA，交y轴于点F，∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，∴△AFC≌△AED，∴AF=AE，∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m），∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2，∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，∴△ABF∽△DAE，∴=，即：=，∴DE=4．（3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m），∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4），∴x=2m，y=﹣m2+m+4，∴y=﹣•++4，∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4，②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1），点P的横坐标为3m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4，把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅰ）当四边形ABPD为平行四边形时（如图2），点P的横坐标为m，点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4，把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得：m+4=﹣m2+m+4，解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．。

初中代数综合题（精选）

代数综合题代数综合题解题点拨解题点拨例1 二次函数b ax x y ++=22的图象经过)3,2(点，并且其顶点在直线23-=x y 上，求b a 、．例2在平面直角坐标系内，一次函数)0,0(<>+=b kb b kx y 的图象分别与x 轴、y 轴和直线4=x 交于点C B A 、、，直线x x 与4=轴交于点D ，四边形OBCD 的面积是10，若A 点横坐标是21-，求这个一次函数的解析式．，求这个一次函数的解析式．例3 如图，已知直线P A 是一次函数)0(>+=n n x y 的图象，直线PB 是一次函数)(2n m m x y >+-=的图象．（1）用n m 、表示出P B A 、、点的坐标；（2）若点Q 是P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积是2,65=AB ，试求P 点的坐标，并写出直线PB PA 与的解析式．的解析式．例4已知：如图，直线133+=x y 和x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，以线段AB 为边在第一象限内作等边三角形ABC ．如果在第一象限内有一点)21,(m P ，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，求m 的值．的值．例5已知：如图，直线l 经过)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与抛物线2ax y =在第一象限内交于点P ，又知△AOP 的面积为29，求a 的值．的值．xyQ OP BA 第3题图题图xyCOP B A第4题图题图lxyOP BA5例6如图，直线AB 过x 轴上的)0,2(A 点，且与抛物线2ax y =相交于C B 、两点，已知B 点坐标是)1,1(．（1）求直线和抛物线所表示的函数的解析式；（2）如果抛物线上有一点D ，使得OBCOADSSD D =，求这时D 点的坐标．点的坐标．例7在直角坐标系中，直线l 经过)0,4(A 点，且与两条坐标轴围成的直角三角形面积等于8．有一个二次函数的图象经过l 与两坐标轴的交点，且以3=x 为对称轴，开口向下．求这个二次函数的解析式．向下．求这个二次函数的解析式．例8如图，已知在同一坐系标系中中，直线22kkx y -+=与y 轴交于点P ，抛物线k x k x y 4)1(22++-=与x 轴交于)0,()0,(21x B x A 、两点，C 是抛物线顶点．（1）求此二次函数的最小值（用含k 的代数式表示）；（2）若点A 在点B 的左侧，且021<x x ，①当k 取何值时，直线通过点B ；②是否存在实数k ，使ABC ABP S S D D =如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．如果存在，请求出此时抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由．xyDCOB A第6题图题图lxy l 'B'O B A第7题图题图xy CO P BA第8题图题图模拟训练模拟训练 1、已知关于x 的二次函数34)2(2---=nx x m y 的图象的对称轴是2=x ，且顶点在反比例函数x y 2=的图象上，求此二次函数的解析式．的图象上，求此二次函数的解析式．2、已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于)0,1(-A 和)0,3(B ，它的顶点到x 轴的距离等于4；直线m kx y +=经过抛物线与y 轴的交点和抛物线的顶点，求抛物线和直线的解析式．析式． 3、已知以次函数b kx y +=的图象经过点)1,0(A 和点)3,(a a B -，0<a ，且点B 在反比例函数xy 3-=的图象上．（1）求a 的值；（2）求一次函数的解析式，并画出其图象；（3）利用画出的图象，求当这个一次函数的y 值在31££-y 范围内，相应的x 值的范围；（4）如果),1(),(21y m Q y m P +、是这个一次函数图象上的两个点，试比较1y 与2y 的大小．的大小．4、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线xk y =与直线)1(++-=k x y 在第四象限的交点，x AB ^轴于B ，且23=D ABO S ．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点C A 、的坐标和△AOC 的面积．的面积．5、如图，反比例函数)0(<=k xky 的图象经过点),3(m A -，过A 作x AB ^轴于点B ，△AOB 的面积为3．（1）求k 和m 的值；（2）若过A 点的直线b ax y +=与x 轴交于C 点，且30=ÐACO °，求此直线的解析式．°，求此直线的解析式．6、已知：如图，直线3+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点C B 、，抛物线c bx x y ++-=2经过点C B 、，点A 是抛物线与x 轴的另一外交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在直线BC 上，且PAB PAC S S D D =21，求点P 的坐标．的坐标．x y C O B A 第4题图题图 x y O B A 第5题图题图 xy COPBA 第6题图题图,3x=的图象与一次函数y C O B A 第8题图题图 x y C O B A第9题图题图 xy Q O P 第12题图13、已知二次函数的图象过点121),1,0()0,()0,(x C x B x A -、、和2x 是方程0322=--x x 的两根，切21x x >．（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数顶点D 的坐标；（3）在抛物线上求D ¢点，使ABCD D AB S S 四边形=¢D ．14、如图，抛物线q px x y ++-=2的顶点M 在第一象限，它与y 轴正半轴相交于点B ，与x 轴相交于)0,2(A ，并且四边形AMBO 的面积是411，求q p 、的值．的值．15、已知平行四边形ABCD 在直角坐标系中的位置如图，O 是坐标原点，12,5:3:1::==ABCD S OA OC OB 平行四边形．抛物线经过B A D 、、三点．（1）求C A 、两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）E 是抛物线与DC 交点，以DE 为边的平行四边形，它的面积与平行四边形ABCD 的面积相等，且另两顶点中有一个顶点P 在抛物线上，求P 点的坐标．点的坐标．16、已知二次函数图象与x 轴交于)0,3()0,1(B A 、-，与y 轴交于点C ，顶点P 到x 轴距离为4．（1）写出这个二次函数的解析式；（2）在这个二次函数的图象上是否存在点M ，使△MAB 的面积等于四边形ACPB 面积的32如果存在，写出所有点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．的坐标；如果不存在，请说明理由．17、抛物线的解析式c bx ax y ++=2满足四个条件：c b a ca bc ab c b a abc <<-=++=++=,4,3,0．（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线与x 轴的两交点分别为B A 、（A 在B 的左边），与y 轴的交点为P C ,是抛物线上第一象限内的点，AP 交y 轴于点5.1,=OD D ，试比较DPC AO AOD D SS D D 与的大小．的大小．x y M O B A 第14题图题图 xy E D C O B A 第15题图题图。

代数式综合练习题

代数式综合练习题一．选择题1、下列各题中的两项不是同类项的是（）A ．-25和1B ．-4xy 2z 2 和–4x 2yz 2C ．-x 2y 和-y x 2D ．-a 3和4a 32、下面合并结果正确的是( )A.4xy-3xy=xyB.-5a 2b+5ab 2=0C.-3a 2+2a 3=-a 5D.a 2-2a 2b=-2b3.代数式2a-(3b-5)去括号应为（）A.2a-3b-5B.2a-3b+5C.2a+3b+5D.2a+3b-54、当x ＝7，y ＝－3时，代数式7222+-x y x 的值是（） A.2140； B.2116； C.78； D.720。

5.下列去括号错误的有（）①m 3－（2m －n －p ）＝m 3－2m ＋n ＋p ②a －（b ＋c －d ）＝a －b －c ＋d③a ＋2（b －c ）＝a ＋2b －c ④a 2－[（－a ＋b ）]＝a 2－a ＋bA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④6．如果代数式2y 2＋3y ＋7的值是18，那么代数式－2y 2－3y ＋4的值为（）A ．18B ．15C ．－7D ．7二．填空题3、温度由-6℃上升了t ℃，上升后的温度是 ℃4、一个两位数，十位数字是a ，个位数字是b ，这个两位数可以表示为。

5、若(x+3)2+|y+1|=0, 则x 2+y 2的值为________6、（1）若3223m n x y x y -与是同类项，则m + n ＝___.（2）若－7x m+2y 与-3x 3y n 是同类项，则m=_______, n=________（3）已知32x 3m-1y 3 与41-x 5y 2n-1是同类项,则m+2n=____. 7. m 3－[3m 2－（2m －1）]＝__________8、下列式子2a+3,4a+6,8a+12,16a+24……后面将出现哪一个式子_________三．判断题。

代数式综合练习题1

代数式综合练习题一．填空题（共12小题）1．若a﹣b=2，则代数式5+2a﹣2b的值是．2．已知a2+a=1，则代数式3﹣a﹣a2的值为．3．已知2a﹣3b=7，则8+6b﹣4a=．4．若﹣x m+3y与2x4y n+3是同类项，则（m+n）2017=．5．已知2y﹣x=3，则代数式3（x﹣2y）2﹣5（x﹣2y）﹣7的值为．6．当x=﹣3时，mx3+nx﹣81的值是﹣15，则x=3时，mx3+nx﹣81的值是．7．若2a﹣3b=1，则2020﹣6a+9b=．8．已知，|a|=﹣a，=﹣1，|c|=c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|=．9．若|a|=8，b2=49，且|a﹣b|=b﹣a，则a﹣b=．10．计算：=．11．观察下列等式：=×（1﹣），=×（﹣），=×（﹣），=×（﹣），…根据你得出的规律写出第n个等式为，并根据该规律计算：+++…+=．12．如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为米2．二．解答题（共21小题）13．将一个正方体的表面全涂上颜色．（1）如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a个，则a=；（2）如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体．设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a个，各个面都没有涂色的有b个，则a+b=；（3）如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=；（4）如果把正方体的棱n等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c个，各个面都没有涂色的有b个，则c+b=．14．如图，是按规律摆放在墙角的一些小正方体，从上往下分别记为第一层，第二层，第三层…第n层…（1）第三层有个小正方体．（2）从第四层至第六层（含第四层和第六层）共有个小正方体．（3）第n层有个小正方体．（4）若每个小正方体边长为a分米，共摆放了n层，则要将摆放的小正方体能看到的表面部分涂上防锈漆，则防锈漆的总面积为分米2．15．如图A是棱长为1的小正方体，图B、图C由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫做第1层、第2层、…、第n层，第n 层的小正方体的个数记做t，请解答下列问题．（1）按要求填表：层数1234…nt13…（2）求当n=10时，该组合体的表面积为多少？16．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体需要小正方体最多几块？最少几块？答：最多块；最少块．17．指出下列平面图形各是什么几何体的展开图．18．用正方体小木块搭建成的，下面三个图分别是它的主视图、俯视图、和左视图，请你观察它是由多少块小木块组成的．19．下列各图是棱长为1cm的小正方体摆成的，如图①中，共有1个小正方体，从正面看有1个正方形，表面积为6cm2；如图②中，共有4个小正方体，从正面看有3个正方形，表面积为18cm2；如图③，共有10个小正方体，从正面看有6个正方形，表面积为36cm2；…（1）第6个图中，共有多少个小正方体？从正面看有多少个正方形？表面积是多少？（2）第n个图形中，从正面看有多少个正方形？表面积是多少？20．把立方体的六个面分别涂上六种不同颜色，并画上朵数不等的花，各面上的颜色与花的朵数情况列表如下：现将上述大小相同，颜色、花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个水平放置的长方体（如图所示），那么长方体的下底面共有多少朵花？颜色红黄蓝白紫绿花的朵数12345621．计算：﹣12﹣（﹣）÷×[﹣2+（﹣3）2]．22．﹣0.52+﹣|﹣32﹣9|﹣（﹣1）3×．23．﹣32×﹣（+﹣）÷（﹣）24．计算：（1）（﹣2）3÷+3×|1﹣（﹣2）2|（2）﹣12﹣（﹣）÷×[﹣2+（﹣3）2]．25．（﹣1）4﹣{﹣[（）2+0.4×（﹣1）]÷（﹣2）2}．26．（﹣）2÷（﹣）4×（﹣1）6﹣（1+1﹣2）×48．27．（1）计算：16÷（﹣2）3﹣（﹣）3×（﹣4）+2.5；（2）计算：（﹣1）2017+|﹣22+4|﹣（﹣+）×（﹣24）28．先化简，再求值：2x2﹣[3（﹣x2+xy）﹣2y2]﹣2（x2﹣xy+2y2），其中x=，y=﹣1．29．已知a﹣b=﹣，求代数式2（2a﹣b）﹣（a+b）+4的值．30．计算：（1）（4x2y﹣3xy）﹣（5x2y﹣2xy）；（2）6（m+n）+3（m﹣n）﹣2（n﹣m）﹣（m+n）．31．（1）计算：﹣22÷（﹣1）2﹣×[4﹣（﹣5）2]（2）化简：6a2b﹣（﹣3a2b+5ab2）﹣2（5a2b﹣3ab2）32．化简（1）3x2+2xy﹣4y2﹣3xy+4y2﹣3x2（2）2（x﹣3x2+1）﹣3（2x2﹣x﹣2）33．先化简再求值：3（x2﹣2xy）﹣[3x2﹣2y+2（xy+y）]，其中．2017年10月30日倪涛的初中数学组卷参考答案一．填空题（共12小题）1．9；2．2；3．﹣6；4．﹣1；5．35；6．﹣147；7．2017；8．﹣2c；9．﹣15或﹣1；10．；11．=×（﹣）；；12．144；二．解答题（共21小题）13．8；9；32；n3；12（n﹣2）+（n﹣2）3；14．6；46；；a2n（n+1）；15．6；10；；16．9；7；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．；32．；33．；。