图的拓扑排序和生成树.
数据结构复习与习题解析(2)
按路径长度递增次序产生最短路径
1、把 V 分成两组： (1) S：已求出最短路径的顶点的集合。 (2) V - S = T：尚未确定最短路径的顶点集合。
2、将 T 中顶点按最短路径递增的次序加入到 S 中，保证： (1) 从源点 v0 到 S 中各顶点的最短路径长度都不大于 从 v0 到 T 中任何顶点的最短路径长度。 (2) 每个顶点对应一个距离值： S中顶点：从 v0 到此顶点的最短路径长度。 T中顶点：从 v0 到此顶点的只包括 S 中顶点作中间顶点的 最短路径长度。
例题解析
例已知某网的邻接（出边）表，请画出该网络。
当邻接表的存储 结构形成后，图 便唯一确定！
图的遍历
❖广度优先搜索
从图的某一结点出发，首先依次访问该结点的所有邻接顶点 V1, V2, …, Vn 再按这些顶点被访问的先后次序依次访问与它们 相邻接的所有未被访问的顶点，重复此过程，直至所有顶点均 被访问为止。
7 10 3
a10 16 16 0 ✓
a11 14 14 0 ✓
v2
v7
v5
v9
v3
v8
v4 a6=2 v6
顶点 ve vl
v1
00
v2
66
v3
46
v4
58
v5
77
v6
7 10
v7 16 16
v8 14 14
v9 18 18
有向图的应用 应用
无向图的应用
Dijkstra算法 最短路径 Floyd算法
条件：边数不等于 n-1时 边 动作 连通分量 (0,2) 添加 {0,2},{1},{3},{4},{5} (3,5) 添加 {0,2},{3, 5},{1},{4} (1,4) 添加 {0,2},{3, 5},{1,4} (2,5) 添加 {0,2,3,5},{1,4} (0,3) 放弃 因构成回路 (2,3) 放弃 因构成回路 (1,2) 添加 {0,2,3,5,1,4}
图论及其应用习题答案
图论及其应用习题答案图论及其应用习题答案图论是数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的关系。
图论在计算机科学、电子工程、物理学等领域有着广泛的应用。
下面是一些图论习题的解答，希望对读者有所帮助。
1. 问题：给定一个无向图G，求图中的最大连通子图的节点数。
解答：最大连通子图的节点数等于图中的连通分量个数。
连通分量是指在图中，任意两个节点之间存在路径相连。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，统计连通分量的个数。
2. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在从节点A到节点B的路径。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，查找从节点A到节点B的路径。
如果能够找到一条路径，则存在从节点A到节点B的路径；否则，不存在。
3. 问题：给定一个有向图G，判断是否存在环。
解答：我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录遍历过程中的访问状态。
如果在搜索过程中遇到已经访问过的节点，则存在环；否则，不存在。
4. 问题：给定一个加权无向图G，求图中的最小生成树。
解答：最小生成树是指在无向图中，选择一部分边，使得这些边连接了图中的所有节点，并且总权重最小。
我们可以使用Prim算法或Kruskal算法来求解最小生成树。
5. 问题：给定一个有向图G，求图中的拓扑排序。
解答：拓扑排序是指将有向图中的节点线性排序，使得对于任意一条有向边(u, v)，节点u在排序中出现在节点v之前。
我们可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来遍历图，同时记录节点的访问顺序，得到拓扑排序。
6. 问题：给定一个加权有向图G和两个节点A、B，求从节点A到节点B的最短路径。
解答：我们可以使用Dijkstra算法或Bellman-Ford算法来求解从节点A到节点B的最短路径。
这些算法会根据边的权重来计算最短路径。
图基本算法拓扑排序（基于dfs）
图基本算法拓扑排序（基于dfs） 拓扑排序，是对有向⽆回路图进⾏排序，以期找到⼀个线性序列，这个线性序列在⽣活正可以表⽰某些事情完成的相应顺序。
如果说所求的图有回路的话，则不可能找到这个序列。
在⼤学数据结构课上，我们知道求拓扑排序的⼀种⽅法。
⾸先⽤⼀个⼊度数组保存每个顶点的⼊度。
在进⾏拓扑排序时，我们需要找到⼊度为0的点，将其存⼊线性序列中，再将其从图中删除（与它相关的边都删除，相邻的顶点的⼊度均减1），再重复上⾯的操作，直⾄所有的顶点都被找到为⽌。
如果不对每次找⼊度为0的顶点的⽅法进⾏处理，⽽直接去遍历⼊度数组，则该算法的时间复杂度为O(|V|2)，如果使⽤⼀个队列来保存⼊度为0的顶点，则可以将这个算法的复杂度降为O(V+E)。
今天在算法导论上看了⽤dfs来求拓扑排序的算法，才发现其⾼深之处，膜拜之Orz…下⾯是算法导论的叙述： 本节说明了如何运⽤深度优先搜索，对⼀个有向⽆回路图（dag）进⾏拓扑排序。
对有向⽆回路图G=(V,E)进⾏拓扑排序后，结果为该图顶点的⼀个线性序列，满⾜如果G包含边（u, v），则在该序列中，u就出现在v的前⾯（如果图是有回路的，就不可能存在这样的线性序列）。
⼀个图的拓扑排序可以看成是图中所有顶点沿⽔平线排列⽽成的⼀个序列。
使得所有的有向边均从左指向右。
因此，拓扑排序不同于通常意义上的排序。
在很多应⽤中，有向⽆回路图⽤于说明时间发⽣的先后次序，下图1即给出⼀个实例，说明Bumstead教授早晨穿⾐的过程。
他必须先穿好某些⾐服，才能再穿其他⾐服（如先穿袜⼦后穿鞋），其他⼀些⾐服则可以按任意次序穿戴（如袜⼦和裤⼦），在图1中，有向边<u，v>表⽰⾐服u必须先于⾐服v穿戴。
因此，该图的拓扑排序给出了⼀个穿⾐的顺序。
图2说明了对该图进⾏拓扑排序后，将沿⽔平线⽅向形成⼀个顶点序列，使得图中所有有向边均从左指向右。
拓扑排序算法具体步骤如下：1、调⽤dfs_travel()；2、在dfs_travel()每次调⽤dfs()的过程中，都记录了顶点s的完成时间，将顶点s按完成顺序保存在存放拓扑排序顺序的数组topoSort[]中。
图论常考知识点总结
图论常考知识点总结1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合构成的。
顶点之间的连接称为边，边可以有方向也可以没有方向。
若图的边没有方向，则称图为无向图；若图的边有方向，则称图为有向图。
图的表示方式：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合存储稠密图，邻接表适合存储稀疏图。
2. 图的连通性连通图：如果图中任意两点之间都存在路径，则称该图是连通图。
强连通图：有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相同的路径，称为强连通图。
弱连通图：有向图中，去掉每条边的方向之后，所得到的无向图是连通图，称为弱连通图。
3. 图的遍历深度优先搜索（DFS）：从起始顶点出发，沿着一条路往前走，走到不能走为止，然后退回到上一个分支点，再走下一条路，直到走遍图中所有的顶点。
广度优先搜索（BFS）：从起始顶点出发，先访问它的所有邻居顶点，再按这些邻居顶点的顺序依次访问它们的邻居顶点，依次类推。
4. 最短路径狄克斯特拉算法：用于计算图中一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
弗洛伊德算法：用于计算图中所有顶点之间的最短路径。
5. 最小生成树普里姆算法：用于计算无向图的最小生成树。
克鲁斯卡尔算法：用于计算无向图的最小生成树。
6. 拓扑排序拓扑排序用于有向无环图中对顶点进行排序，使得对每一条有向边(u,v)，满足排序后的顶点u在顶点v之前。
以上就是图论中一些常考的知识点，希望对大家的学习有所帮助。
当然，图论还有很多其他的知识点，比如欧拉图、哈密顿图、网络流等，这些内容都值得我们深入学习和探讨。
图论在实际应用中有着广泛的应用，掌握好图论知识对于提升计算机科学和工程学的技能水平有着重要的意义。
计算机中图的名词解释
计算机中图的名词解释在计算机领域中，图（Graph）是一种常见的数据结构，用于描述对象之间的关系和相互作用。
图的概念最早由数学家欧拉提出，并且在计算机科学中得到广泛运用。
本文将从图的基本概念和操作开始，逐步介绍计算机中图的相关术语和应用。
1. 图的基本概念图由节点（Node）和边（Edge）组成。
节点表示对象或实体，边表示节点之间的连接关系。
图可以分为有向图（Directed Graph）和无向图（Undirected Graph）。
在有向图中，边具有方向性，表示从一个节点流向另一个节点；而在无向图中，边没有方向性，表示两个节点之间的相互关系。
2. 图的存储方式为了在计算机中表示和处理图，常见的存储方式有邻接矩阵（Adjacency Matrix）和邻接表（Adjacency List）。
邻接矩阵是一个二维数组，其中行和列表示节点，矩阵的值表示节点之间是否有边相连。
邻接表则使用链表的形式来表示节点之间的连接关系，每个节点对应一个链表，链表中存储了与该节点相连的其他节点。
3. 图的遍历图的遍历是指沿着图中的路径，依次访问所有节点的过程。
常见的图遍历算法有深度优先搜索（Depth-First Search）和广度优先搜索（Breadth-First Search）。
深度优先搜索先选择一个起始节点，沿着路径一直深入直到无法继续，然后回溯到其他未访问的节点，继续深入；而广度优先搜索则是从起始节点开始，并逐层扩展，逐层访问。
4. 最短路径算法最短路径算法用于计算两个节点之间的最短路径，即路径上边的权值之和最小。
其中，最常用的最短路径算法是狄克斯特拉算法（Dijkstra Algorithm）。
该算法通过逐步更新节点到其他节点的距离，找到起始节点到目标节点的最短路径。
5. 拓扑排序拓扑排序（Topological Sorting）是一种对有向无环图进行排序的算法。
在有向图中，如果节点 A 的边指向节点 B，那么 B 必须在 A 之后才能出现在排序结果中。
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
数据库图
V0
V2
V0
V4
V2
V4
V3
V5
V1
V3
V1
V5
无向图G3及连通分量
9
在有向图中，若任意两个顶点vi和vj都连通，则称该有向 图为强连通图。有向图的极大强连通子图称为强连通分量。
V0
V1
V1
V0
V2
图的定义和相关术语 图的存储 图的遍历 最小生成树 拓扑排序 最短路径 关键路径
2
7.1 图的基本概念 1．图的定义
图G (Graph)是由非空的顶点集合V（G）和描述顶点 之间关系的边集合E（G）构成，其形式定义为：G ＝(V(G)，E(G))。简写为G＝(V，E)。 G表示一个图，V是图G中非空顶点的集合，E是图G 中边的集合。
2．图的邻接矩阵的建立
图的邻接矩阵存储方法用一个二维数组存储顶点之间 的相邻关系，再用一个一维数组存储顶点信息，另外 还需要存储图的顶点数和边(弧)数。
12
typedef char Vextype；
typedef struct {
Vextype vexs[VEX_NUM];
int adj[MAXSIZE][MAXSIZE]; /*邻接矩阵*/
有向图：在一个图中，如果两个顶点构成的<vi, vj>∈E是序偶，则称这样的边是有向边，简称弧。用 <vi, vj>来表示。如果某图全部是由有向边构成，则称 该图为有向图。
4
无向完全图：在一个无向图中，设V是包含n个结
点的集合，且对于任意两个不相同的顶点之间都有
一条边将它们连接，则称该图为无向完全图。
NOIP信息学竞赛初赛-图论算法基础-专题十一-1
专题十一：图论算法基础对于图论算法，NOIP初赛不要求会实现算法，但手工操作还是要会的，复赛是要求会代码实现的。
什么是图一个图是一个序偶<V, E>,记为G =<V, E> 。
V 为顶点集, E 为V 中结点之间的边的集合。
自环：一条边的两个端点是相同的。
重边：两个端点之间有两条以上的边，称他们是重边。
简单图：没有自环和重边的图。
无向边：边是双向的。
有向边：单向边，有箭头。
无向图：只有无向边的图。
有向图：只有有向边的图。
混合图：既有无向边又有有向边。
顶点的度：无向图中，一个顶点相连的边数称为该顶点的度；有向图中，从一个顶点出发的边数称为该顶点得出度；到达该顶点的边数称为它的入度。
图论基本定理：著名的握手定理。
无向图中结点度数的总和等于边数的两倍。
有向图中结点入度的和等于出度的和等于边数。
通路：给定图G中结点和边交替出现的一个序列：v0 e1 v1 e2 v2 …ek vk，若每条边ei的两端点是vi-1 和vi ，那么称该序列是从v0到vk的一条通路。
基本通路(路径)：没有重复出现的结点的通路。
图的连通性：若一张无向图的任意两个结点之间都存在通路，那么称该图是连通的。
连通分量：图中连通的顶点与边的集合。
权和网：在图的边给出相关的数，成为权。
权可以表示一个顶点到另一个顶点的距离，耗费等。
带权图一般成为网。
最短路径：对于一张不带权的无向图来说，从s到t的最短路径就是所有从s到t的通路中长度最短的那一条(可能不唯一)，通路上的边数称为路径的长度。
完全图：任何两个顶点之间都有边（弧）相连称为完全图。
稀疏图、稠密图：边（弧）很少的图称为稀疏图，反之为稠密图。
图的存储：邻接矩阵在邻接矩阵表示中，除了存放顶点本身信息外，还用一个矩阵表示各个顶点之间的关系。
若（i,j）∈E(G)或〈i,j〉∈E(G),则矩阵中第i行第j列元素值为1，否则为0 。
例如, 下面为两个无向图和有向图对应的邻接矩阵。
图_拓扑排序关键路径最短路径
6 a 5 d 4
b
1 1 e
8 7
g 4 h
2 k
c 2 4 f
a b c d e f g h k ve vl
0 0 0 0 0 0 15 14 18 6 4 5 5 7 0 11 0 7 0 18 18 18 18 18 18 18 18 18 0 6 6 8 8 10 16 14 7
事件发生时间的计算公式： 事件发生时间的计算公式： ve(源点 = 0； 源点) 源点 ； ve(j) = Max{ve(i) + dut(<i, j>)} <i,j>表示以 为弧头的弧 表示以j为弧头的弧 表示以 vl(汇点 = ve(汇点 ； 汇点) 汇点)； 汇点 汇点 vl(i) = Min{vl(j) – dut(<i, k>)} <i,j>表示以 为弧尾的弧 表示以i为弧尾的弧 表示以
（２）弗洛伊德算法的基本思想是：
的所有可能存在的路径中， 从 vi 到 vj 的所有可能存在的路径中，选出一条长 度最短的路径。
可以用如下递推公式描述： 可以用如下递推公式描述： D-1[i][j]=cost[i][j] Dk [i][j]=min{Dk-1[i][j],Dk-1[i][k]+Dk-1[k][j]}(0≤k≤n-1) 其中， 中存放着序号为i的结点到序号为 其中，cost[i][j]中存放着序号为 的结点到序号为 的结点之 中存放着序号为 的结点到序号为j的结点之 表示从结点vi到结点 到结点vj的路径 间的权值 ； Dk[i][j](0≤k≤n-1) 表示从结点 到结点 的路径 上所经过的结点序号不大于k的最短路径长度 的最短路径长度。 上所经过的结点序号不大于 的最短路径长度。
图论基本知识
图的若干概念
• 权 (weight) ：在某些图的应用中，边（弧）上具 有与它相关的系数，称之为权。这些权可以表示 从一个顶点到另一个顶点的距离、花费的代价、 所需的时间、次数等。这种带权图也被称为网络 (network)。
• 顶点的度(degree)：在无向图中，一个顶点v的度 是依附于顶点v的边的条数，记作TD(v)。在有向 图中，以顶点v为始点的有向边的条数称为顶点v 的出度，记作OD(v)；以顶点v为终点的有向边的 条数称为顶点v的入度，记作ID(v)。有向图中顶 点v的度等于该顶点的入度与出度之和：TD(v)＝ ID(v)十OD(v)。
无向图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有向图
在图中如果顶点对(v、w)是无序的，则称此图为无 向图(undirected graph)，顶点对(v、w)称为与顶点v和 顶点w相关联的一条边。由于这条边没有方向，所以(v、 w)与(w、v)是同一条边； 在图中如果顶点对＜v、w＞是有序的，则称此图 为有向图(directed graph)，顶点对＜v、w＞称为从顶 点v到顶点w的一条有向边（又称为弧），其中v称为有 向边＜v、w＞的始点（弧尾）；w称为有向边＜v、w ＞的终点（弧头）。显然＜v、w＞与＜w、v＞是两条 不同的弧。
图的存储结构
• 邻接矩阵 • 邻接表
拓扑排序
拓扑排序算法可以描述如下： （1）建立入度为零的顶点栈； （2）当入度为零的顶点栈为空时算法转步骤 （6），否则继续步骤（3）； （3）入度为零的顶点栈中栈顶元素v出栈,并输出 之顶点v； （4）从AOV网络中删去顶点v和所有从顶点v发出 的弧<v、j>，并将顶点j的入度减一； （5）如果顶点j入度减至0，则将该顶点进入入度 为零的顶点栈；转步骤（2）； （6）如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数， 则输出网络中存在有向环的信息；算法结束。
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
009计通学院考试大纲(硕士)2020年兰州理工大学
《数据结构》科目考试大纲层次：硕士考试科目代码：892适用招生专业：计算机系统结构，计算机科学与技术，软件工程，物联网工程，电子信息一、考试主要内容：1．数据结构基本概念①数据；②数据元素；③数据逻辑结构；④数据存储结构；⑤数据类型；⑥算法；⑦抽象数据类型；⑧算法时间复杂度和空间复杂度的分析。
2．线性表①线性表的基本概念和类型定义；②线性表的顺序存储结构；③线性表的链接存储结构。
3．稀疏矩阵和广义表①稀疏矩阵的定义、存储和运算；②广义表的定义、存储和运算。
4．栈和队列①栈的类型定义；②栈的顺序存储和链接存储的表示；③在栈的顺序存储和链接存储上进行各种栈操作的算法；④栈的应用；⑤队列的类型定义；⑥队列的顺序存储(循环队)和链接存储表示及各种操作的实现算法。
5．树和二叉树①树的定义、性质和表示方法；②二叉树的定义、性质和存储结构；③二叉树的各种遍历方法及实现；④建立二叉树、输出二叉树、求二叉树深度等的操作方法及实现；⑤树的存储结构，进行先根遍历、后根遍历和按层遍历的方法及实现，进行树与二叉树的转换方法。
6．二叉树的应用①二叉搜索树的定义及运算；②堆的定义、存储结构及运算；③哈夫曼树的定义、构造哈夫曼树的方法及哈夫曼编码的方法。
7．图①图的定义和术语；②图的邻接矩阵、邻接表和边集数组表示；③图的深度和广度优先搜索遍历；④图的生成树和最小生成树；⑤拓扑排序。
8．查找①顺序查找和二分查找；②索引查找和分块查找；③散列查找；④B树查找。
9．排序①排序的概念；②直接插入排序；③冒泡排序和快排序；④直接选择排序和堆排序；⑤归并排序；⑥排序的时间复杂度和空间复杂度。
二、建议参考书目：[1]《数据结构》（C语言版），严蔚敏，吴伟民编著，北京：清华大学出版社，2011年7月。
[2]《算法与数据结构》张永，李睿，年福忠等.北京：国防科技出版社，2008《计算机网络》科目考试大纲《计算机网络》科目考试大纲层次：硕士同等学历加试考试科目代码：894适用招生专业：通信与信息系统，信号与信息处理，计算机系统结构，计算机应用技术，物联网工程，软件工程，电子信息一、考试内容1、计算机网络体系结构及协议、物理层、数据链路层、局域网、广域网、网络互联技术、网络安全及网络应用等的研究方法，基本原理和理论结果。
图算法 总结
图算法总结图算法是指在图结构上进行各种操作和计算的算法。
图是由节点（顶点）和节点之间的边组成的数据结构，广泛应用于网络分析、社交网络分析、路由优化等领域。
图算法可以帮助我们解决许多实际问题，如求最短路径、拓扑排序、最小生成树等。
本文将总结一些常见的图算法，并介绍它们的原理和应用。
1. 最短路径算法最短路径算法用于求解节点之间的最短路径。
在图中，边上可能有不同的权重，最短路径算法的目标是找到两个节点之间权重最小的路径。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法用于计算图中某个节点到其他所有节点之间的最短路径。
算法的步骤如下：1.创建一个空的距离列表，用于存储从起始节点到其他节点的最短路径长度。
初始化起始节点的距离为0，其他节点的距离为无穷大。
2.创建一个空的已访问列表，用于记录已经访问过的节点。
3.从起始节点开始，依次遍历所有与当前节点相邻的节点。
4.对于每个相邻节点，计算从起始节点到该节点的距离。
如果通过当前节点到达该相邻节点的距离小于已存储的最短距离，则更新最短距离。
5.将当前节点标记为已访问，并找出距离最小的未访问节点作为下一个当前节点。
6.重复步骤3至5，直到所有节点都被访问过。
7.输出距离列表，即从起始节点到所有其他节点的最短路径长度。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为节点的数目。
1.2 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法用于计算图中任意两个节点之间的最短路径。
算法的步骤如下：1.创建一个二维数组dist，用于存储任意两个节点之间的最短路径长度。
初始化数组中的元素为节点之间的直接距离，若节点之间无直接距离，则赋值为无穷大。
2.对于图中的每个节点，依次遍历所有节点对（i，j）作为中间节点。
3.对于每个节点对（i，j），如果通过节点k可以使得从节点i到节点j的距离更短，则更新距离dist[i][j]为新的最短路径长度。
考研图论知识点精讲
考研图论知识点精讲图论是计算机科学和数学中的重要分支，研究图的性质以及与之相关的各种问题。
在考研中，图论是一个必备的知识点，掌握图论的基本概念和算法对于顺利通过考试至关重要。
本文将对考研图论知识点进行精讲，以帮助考生更好地准备考试。
1. 图的基本概念图是由节点和边组成的一种数据结构，可以用来描述现实生活中各种关系。
图论中的图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边没有方向。
2. 图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示节点之间的连接关系。
邻接表是一种链表的数据结构，每个节点存储其相邻节点的信息。
3. 图的遍历图的遍历是指从图的某个节点出发，访问图中的所有节点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
深度优先搜索是通过递归或者栈来实现的，而广度优先搜索则是通过队列来实现的。
4. 最小生成树最小生成树是指连接图中所有节点的一棵树，并且边的权值之和最小。
常用的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是从一个节点开始，逐步扩展最小生成树的边，直到覆盖所有的节点。
Kruskal算法则是把所有的边按照权值排序，然后逐个添加到最小生成树中，直到覆盖所有的节点。
5. 最短路径最短路径是指连接图中两个节点之间的路径中，边的权值之和最小的路径。
常用的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法是从一个节点开始，逐步找到到其他节点的最短路径。
Floyd-Warshall算法则是通过动态规划的方式来计算任意两个节点之间的最短路径。
6. 拓扑排序拓扑排序是指对有向无环图进行排序，使得所有的顶点按照依赖关系排列。
拓扑排序常用于解决任务调度、编译顺序等问题。
常用的拓扑排序算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
7. 图的匹配图的匹配是指在一个二分图中找到一些边，使得每个节点都恰好与一条边相连。
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)
详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
图的基本概念及拓扑排序
有n-1条边。 如果在生成树上添加1条边，必定构成一个环。 若图中有n个顶点，却少于n-1条边，必为非连通 图。
最小生成树：若无向连通带权图G=<V,E,W>,T是G的一棵生成树，T的各边权之
和称为T的权，记做W（T），G的所有生成树中权值最小的生成树 称为最小生成树。
带权图： 即边上带权的图。其中权是指每条边可以标上 具有某种含义的数值（即与边相关的数）。
网 络： ＝带权图
路径： 在图 G＝(V, E) 中, 若从顶点 vi 出发, 沿一些边经过一
些顶点 vp1, vp2, …, vpm，到达顶点vj。则称顶点序列 ( vi vp1 vp2 ... vpm vj ) 为从顶点vi 到顶点 vj 的路径。它经过的边(vi, vp1)、(vp1, vp2)、...、(vpm, vj)应当是属于E的边。
最小生成树算法： Prim算法和kruskal算法
简单路径：路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不互相重复。
回 路： 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个顶点vm 重合，
则称这样的路径为回路或环。
例：
图的数学表示
点: 用整数0, 1, 2, …, V-1表示 边: 用无序数对(u, v)表示, 或者表示成u-v
4. 你认为，对于给定的两个位置A，B，聪明的机器人从A位置到B位置至少需要判断几次？
5. input
6. 第一行：M 表示以下有M组测试数据（0<M<=8）
7. 接下来每组有两行数据
8.
头一行：N A B（1<=N<=50,1<=A,B<=N）
9.
下一行：K1 K2···Kn（0<=Ki<=N）
图论与网络知识点
图论与网络知识点一、引言近年来，随着互联网的普及和快速发展，图论与网络知识成为计算机科学中重要的研究领域之一。
图论是一门研究图和网络结构的学科，而网络知识则是应用图论来研究和解决网络中的各种问题。
本文将介绍一些图论与网络的基本概念、算法和应用。
二、图论基础知识1. 图的定义图是由节点和连接节点的边构成的一种数据结构，通常用G = (V, E)表示，其中V表示节点的集合，E表示连接节点的边的集合。
2. 图的分类根据图中边的特性，图可以分为有向图和无向图。
在有向图中，边是有方向性的，而在无向图中，边是没有方向性的。
3. 图的表示方法图可以通过邻接矩阵或邻接链表进行表示。
邻接矩阵是一个二维数组，用于表示图中节点之间的连接关系；邻接链表是一种链表的形式，用于存储每个节点的相邻节点信息。
三、图论算法1. 最短路径算法最短路径算法用于找到两个节点之间最短路径的方法，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
2. 拓扑排序拓扑排序用于对有向无环图中的节点进行排序。
拓扑排序算法常用于任务调度、依赖关系分析等场景。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于找到一棵树，使得树中所有边的权重和最小。
常用的算法包括Prim算法和Kruskal算法。
4. 最大流算法最大流算法用于找到网络中从源节点到目标节点的最大流量。
Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法是常用的最大流算法。
四、网络知识点1. 网络拓扑结构网络拓扑结构指的是网络中节点之间连接的方式，常见的网络拓扑结构有星型结构、环型结构、总线结构、网状结构等。
2. 网络协议网络协议是计算机网络中用来进行数据交换的约定和规则。
常见的网络协议有TCP/IP协议、HTTP协议、FTP协议等。
3. 网络安全网络安全是指保护计算机网络和网络资源不受未经授权的访问、使用、披露、破坏、干扰等威胁的技术、方法和措施。
网络安全涉及到防火墙、入侵检测系统、数据加密等方面。
图论的应用和实验实验原理
图论的应用和实验实验原理1. 图论的概述图论是离散数学的一个分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接这些节点的边组成，用于描述现实世界中的关系网络。
在现代科学和工程领域中，图论被广泛应用于各种问题的建模和解决。
2. 图论的应用2.1 社交网络分析社交网络是指由个体和关系构成的复杂网络。
图论可以用于社交网络分析，研究人际关系的结构、传播影响的路径和群体行为等。
例如，可以利用图论的方法找出社交网络中的影响力人物，并预测他们对社交网络的影响力。
2.2 城市交通规划图论可以用于城市交通规划，通过建立城市交通网络模型，分析道路网络的拓扑结构和交通流量，优化交通流动，减少拥堵。
例如，可以利用图论的算法找出最短路径，帮助车辆避开拥堵路段，提高通行效率。
2.3 计算机网络设计图论在计算机网络设计中起到重要的作用。
计算机网络可以看作是由计算机和通信设备组成的复杂网络。
图论可以用于研究网络的结构和性能，并优化网络的拓扑结构，提高网络的传输速率和可靠性。
2.4 DNA序列分析图论可以用于分析DNA序列之间的相似性和进化关系。
通过构建DNA序列的比对图，可以研究不同物种的基因差异和进化过程。
图论的算法可以帮助科学家发现DNA序列中的模式和重要特征，进一步理解基因的功能和调控机制。
3. 图论实验的原理图论的实验可以通过计算机编程来实现，利用图论的算法解决各种问题。
以下是一些常用的图论算法。
3.1 最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个节点之间的最短路径。
其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于单源最短路径问题，而Floyd-Warshall算法可以计算图中任意两个节点之间的最短路径。
3.2 最小生成树算法最小生成树算法用于寻找一个连通图的最小生成树。
其中最著名的算法是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法通过逐步扩展一个树，最终得到最小生成树。
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第11章
图
1
拓扑排序Topological Sort (1)
问题: 给定一组有先决条件约束的工作、课程等, 希望 以某种线性顺序组织这些任务，且不违反任何的先 决条件.
可以用一个有向无环图(DAG)来模拟这个问题。因为 任务之间存在先决条件关系，即顶点之间有方向性， 因此图是有方向的。图又需要是无回路的，因为回 路中隐含了相互冲突的条件，从而使某些条件不可 能在不违反任何先决条件的情况下得到实现.
将一个DAG中所有顶点在不违反先决条件规定的基 础上排成线性序列的过程称为拓扑排序
2
拓扑排序 (2)
3
由此所得顶点的线性序列称之为 拓扑有序序列
例如：对于下列有向图
B A C D
可求得拓扑有序序列： ABCD 或 ACBD
5
反之，对于下列有向图
B
A C D
不能求得它的拓扑有序序列。 因为图中存在一个回路 {B, C, D}
8
J1 J2
J3
J4
J5
J6
J7
0
1
0
1
0 0
2
2 1
2
2 1
1
1 0
1
1 1 1 0 0
打印J1
打印J2 打印J3 打印J4 打印J5 打印J7
0
1
0 0
0
1 打印J6
使用队列对图11.1所示图进行拓扑排序，其顶点的打印顺序 将是J1，J2，J3，J6，J4，J5，J7 9
Queue-Based Topsort
void topsort(Graph* G, Queue<int>* Q) { int Count[G->n()]; int v, w; for (v=0; v<G->n(); v++) Count[v] = 0; for (v=0; v<G->n(); v++) // Process edges for (w=G->first(v); w<G->n(); w = G->next(v,w)) Count[w]++; // Add to v2's count for (v=0; v<G->n(); v++) // Initialize Q if (Count[v] == 0) // No prereqs Q->enqueue(v); while (Q->length() != 0) { Q->dequeue(v); printout(v); // PreVisit for V for (w=G->first(v); w<G->n(); w = G->next(v,w)) { Count[w]--; // One less prereq if (Count[w] == 0) // Now free Q->enqueue(w); } } 10 }
拓扑排序 (3)
void topsort(Graph* G) { // Topological sort int i; for (i=0; i<G->n(); i++) // Initialize G->setMark(i, UNVISITED); for (i=0; i<G->n(); i++) // Do vertices if (G->getMark(i) == UNVISITED) tophelp(G, i); // Call helper } void tophelp(Graph* G, int v) { // Process v G->setMark(v, VISITED); for (int w=G->first(v); w<G->n(); w = G->next(v,w)) if (G->getMark(w) == UNVISITED) tophelp(G, w); printout(v); // PostVisit for Vertex v }
11
关键路径
a1=6 V1
V2
a4=1 V5
a7=9
V7
a10=2 V9
a2=4
V3
a5=1
a3=5 V4
a8=7
V8 a9=4
a11=4
a6=2 V6
12
事件V1之前的活动就是以 V1 为头的弧表 示的活动， V1之后的活动是以V1为尾的弧表 示的活动。如 V5之前的活动是a4, a5; V5之后 的活动是a7, a8 。
6
如何进行拓扑排序？
一、从有向图中选取一个没有前驱 的顶点，并输出之；
二、从有向图中删去此顶点以及所 有以它为尾的弧； 重复上述两步，直至图空，或者 图不空但找不到无前驱的顶点为止。
7
c a g b h f d e
a
b h c d g f
e
在算法中需要用定量的描述替代定性的概念
没有前驱的顶点 入度为零的顶点 删除顶点及以它为尾的弧 弧头顶点的入度减1
正常情况下，整个工程只有一个开始点和一 个完成点。在AOE网中
开始点：(即入度为零的点)称为源点
完成点：(出度为零的点)称为汇点
15
关键路径
与AOV网不同。对AOE网要研究的问题是： 1) 完成整个工程至少需多少时间？
2) 哪些活动是影响工程进度的关键？
16
术语
• 关键路径(criticed path)：从源点到汇点的最长路径叫关键 路径，其路径长度是该路径上活动持续时间之和. 也是工 程完成的最少时间. • 事件最早发生时间：从源点到事件Vi的最长路径长度，称 为Vi的最早发生时间. 用Ve(i)表示. Ve(i)也决定了所有Vi 之后的活动的最早可以开始时间. • 事件最迟发生时间：不影响整个工程进度，而Vi可最迟发 生的时间称为Vi的最迟发生时间. 用Vl(i)表示. • 活动最早开始时间：活动ai最早可以开始进行的时间. 用e(i) 表示. • 活动最迟开始时间：在不推迟整个工程完成的前提下，活 动ai最迟必须开始进行的时间，用l(i)表示. • 关键活动：活动时间余量为0的活动. 即l(i)e(i)=0的活动. 关键路径上的所有活动都是关键活动. • 非关键活动：不在关键路径上的活动.
V3 a3=5
V4
a6=2 V6
V5： a4, a5完成, a7, a8可以开始
V6： a6完成, a9可以开始 V7： a7完成, a10可以开始 V8： a8, a9完成, a11可以开始 V9： a10, a11完成, 即工程结束
14
注：工程开始，某些活动可以同时执行，但不一 定要同时执行。某一事件发生前，在它之后 的活动不能开始执行，(如v2, v3发生之前，a4, a5不能执行)
事件 V1 的发生表示 V1 之前的活动已完成，
V1之后的活动可以开始，(但不一定马上开始)。 对此假想工程有：
13
a1=6 V1： 工程开始
V2
a4=1
V7 a7=9
a10=2
V1
a2=4
V5
a5=1
V9 a8=7 V8 a9=4 a11=4
V2： a1完成, a4可以开始 V3： a2完成, a5可以开始 V4： a3完成, a6可以开始