辅助函数在数学中的应用 开题报告
辅助函数在数与式的大小比较中的应用
辅助函数在数与式的大小比较中的应用【摘要】本文主要探讨了辅助函数在数与式的大小比较中的应用。
首先介绍了辅助函数的定义与特点，然后详细分析了辅助函数在数的大小比较和式的大小比较中的具体应用方法。
通过案例分析，展示了辅助函数在实际问题中的应用效果。
最后探讨了辅助函数在数与式的大小比较中的重要性，并展望了未来的发展方向。
总结指出，辅助函数在解决数与式的大小比较问题中具有重要作用，可以提高计算效率和准确性，对数学研究和实际应用都具有积极意义。
【关键词】辅助函数、数与式的大小比较、应用、案例分析、实际应用、重要性、发展展望、总结。
1. 引言1.1 背景介绍辅助函数在数与式的大小比较中起着非常重要的作用，它们能够帮助我们更好地理解和比较不同的数或数学表达式。
在日常生活和数学问题中，我们经常会需要比较不同数的大小或者判断不同数学表达式的大小关系。
辅助函数能够帮助我们更加简单和直观地进行这些比较，提高我们的工作效率和解决问题的准确性。
在本文中，将会详细探讨辅助函数在数与式的大小比较中的应用，通过具体案例分析和实际应用探讨来展示辅助函数在数学问题中的重要性和实用性。
通过对辅助函数的深入研究和应用，我们可以更好地理解和解决数学问题，提高我们的数学思维和解决问题的能力。
1.2 问题提出在数学中，对于比较两个数或两个式子的大小是非常常见的问题。
在实际应用中，我们经常需要对数据进行比较，以便做出正确的决策或得出准确的结论。
在比较过程中，有时候会遇到复杂的情况，例如当两个数或式子之间的大小关系不够明显或直接时，我们就需要借助一些辅助函数来帮助我们进行比较。
辅助函数的定义与特点将在接下来的内容中进行介绍，通过对辅助函数在数的大小比较和式的大小比较中的应用进行分析，可以更深入地了解其在解决数与式大小比较问题中的作用与意义。
通过案例分析和实际应用探讨，我们可以从实际问题中看到辅助函数的实际应用效果，进一步验证其重要性。
1.3 研究意义在研究意义部分，我们将重点探讨辅助函数在数与式的大小比较中的应用，这一领域的研究具有重要的理论指导意义和实际应用价值。
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二、 意义：利用对称性求解一些有关偏导数、定积分、重积分中的相关题目. 三、 研究方法：主要采用列举、总结，并且探讨常微分方程中的微分方程法与积分
因子法.
四、国内外研究现状：
辅助函数的构造在实际数学学习中有很广泛的应用,而且
各方面的研究取得了许多成果。在问题的研究中,有许多方法。例如,在将较难题目化简 的过程中，主要是抓住题目的特殊性利用这一构造性质。
五、研究方案：主要采用先总结课本预备知识,再进一步得到定理、结论,并分析给
出例子.
六、进度安排：
天水师范学院本科生毕业论文评定表
作者姓名 二级学院 论文题目 英文名称 论文字数 关 键 词 外文 ordinary differential equation; original function; auxiliary function 本文首先列举出了构造辅助函数的几种较常见的方法，然后重点 介绍了微分方程法与积分因子法构造辅助函数的过程.通过比较 摘 中文 说明用常微分方程中的方法构造辅助函数的可取性和重要性,相 对来说,这是一种具有一定规律可循， 可解决更为一般的命题的方 法. This paper lists several common method of constructing auxiliary function at the first. And then focuses on the process of the differential equation method and the integral factor method of constructing auxiliary functions. By comparison, using the method of ordinary differential equations explained the desirability and importance of constructed the auxiliary function. Relatively speaking, it has some certain rules to follow, and to solve more general propositions.. 指导教师评定 中文 朱小鹏 性别 男 专业 学号 281010201 数学与应用数学
辅助函数在数学分析解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２８数学学习与研究㊀２０２１ ２９辅助函数在数学分析解题中的应用辅助函数在数学分析解题中的应用Һ童雷雷㊀王良晨㊀（重庆邮电大学理学院，重庆㊀４０００６５）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造辅助函数是数学中常用的解题技巧之一，在解答一些条件与结论的逻辑关系并不直接的问题时起着重要的作用．在本文中，我们主要归纳总结几类需要通过构造辅助函数解答的题型，并针对相应的题型介绍一些辅助函数的构造方法．ʌ关键词ɔ辅助函数；微分中值定理；不等式证明；计算极限ʌ基金项目ɔ重庆邮电大学博士启动基金（Ａ２０１８－１２８）；重庆市教委科学技术研究项目（ＫＪＱＮ２０２０００６１８）；重庆邮电大学教育教学改革重点项目（ＸＪＧ１９１０５）数学分析是数学专业的基础课程，内容比较抽象，习题解答的技巧性较强，而函数思想在数学分析解题中发挥着重要作用，尤其是辅助函数的构造，往往能把相对复杂的问题变得简单，适用于解决一些不易直接从条件推导出结论的题目，如闭区间上连续函数有界性㊁介值定理的证明，某些区间上函数一致连续性的证明，方程组根的存在性证明，微分中值定理㊁积分中值定理的证明，极限㊁定积分的计算，等式或不等式的证明，条件极值等等．然而，辅助函数的构造技巧性比较强，又没有固定的构造方法，其构造过程需充分利用猜想㊁归纳㊁类比㊁化归思想㊁逆向思维等数学思想，针对不同的题目，是否需要构造辅助函数以及构造什么样的辅助函数就成为解题的难点和关键．因此，归纳一些适合通过构造辅助函数解答的题型，让学生掌握一些构造辅助函数的方法和技巧，利于学生打开解题的思路，节约解题时间，也能为数学专业老师备课提供一些帮助．在本文中，我们将归纳总结几类需要构造辅助函数解答的题型，并针对相应的题型介绍一些辅助函数的构造方法．一㊁涉及微分中值定理的题型在一些中值存在性问题的证明题中，题目给出的条件与需要证明的结论之间没有直接的逻辑关系，直接利用题目给出的条件，不能或不易得出结论，这就需要借助已有知识，构造一个从未知到已知的桥梁，即尝试通过构造辅助函数并结合罗尔定理㊁拉格朗日中值定理或柯西中值定理等理论工具进行解答．例１［１］㊀假设ｆ（ｘ）在［０，π／２］上具有一阶连续导数，在（０，π／２）上二阶可导，且满足ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３，ｆ（π／２）＝１．证明：存在ξɪ（０，π／２），使得ｆᶄ（ξ）＋ｆᵡ（ξ）ｔａｎξ＝０．证明：令Ｆ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）㊃ｅʏ１ｔａｎｔｄｔ＝ｆᶄ（ｘ）ｓｉｎｘ，则Ｆ（０）＝ｆᶄ（０）ｓｉｎ０＝０．由于ｆ（０）＝０，ｆ（１）＝３，由连续函数的介值定理知存在αɪ（０，１），使得ｆ（α）＝１．又由于ｆ（π／２）＝１，由罗尔定理知存在ηɪ（α，π／２）使得ｆᶄ（η）＝０，即Ｆ（η）＝０．所以，Ｆ（ｘ）在［０，η］上满足罗尔定理的条件，故存在ξɪ（０，η）⊂（０，π／２），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）ｃｏｓξ＋ｆᵡ（ξ）ｓｉｎξ＝０两边同除ｃｏｓξ，即得证．例２［２］㊀函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，在（ａ，ｂ）上可导且ｆᶄ（ｘ）ʂ０．证明：存在ξ，ηɪ（ａ，ｂ）使ｆᶄ（ξ）ｆᶄ（η）＝ｅｂ－ｅａｂ－ａ㊃ｅ－η．分析：结论可改写为ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆᶄ（η）ｅη，由拉格朗日中值定理可知ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ），从而可知ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆᶄ（η）ｅη，该结论可由柯西中值定理得到．证明：设ｇ（ｘ）＝ｅｘ．因函数ｆ（ｘ）满足拉格朗日中值定理的条件，所以存在ξɪ（ａ，ｂ），使ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）．由于ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）满足柯西中值定理的条件，故存在ηɪ（ａ，ｂ）使得ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｅｂ－ｅａ＝ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）＝ｆᶄ（η）ｇᶄ（η）＝ｆᶄ（η）ｅη．总结：需要利用微分中值定理解答的题目类型，一般在构造辅助函数的时候可以选用解微分方程的方法或利用逆向思维法找到原函数．如果结论中需要证明的是形如ｆᶄ（ξ）＋ｇ（ξ）ｆ（ξ）＝０的形式，则在构造函数的时候，我们将其中的ξ改为ｘ，即得ｆᶄ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ｆ（ｘ）＝０．解上述微分方程，可知ｆ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ．对于这类题型，我们可做辅助函数如下：Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＋Ｃ，再根据题目条件和微分中值定理的条件确定常数Ｃ的取值．如果结论中需要证明的是形如ｆᵡ（ξ）＋ｇ（ξ）ｆᶄ（ξ）＝０的形式，则可通过解类似的微分方程得到ｆᶄ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ＝Ｃ，从而可构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆᶄ（ｘ）ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ．类似地，如果结论是形如ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ＝０的形式，我们可将ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ记为ｈ（ｘ），从而可构造函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ｆ（ｔ）ｄｔ㊃ｅʏｇ（ｘ）ｄｘ．更一般地，如果结论是形如ｆᶄ（ｘ）＋ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）＋ｑ（ｘ）＝０的形式，我们可以通过解这个微分方程得到原函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅʏｐ（ｘ）ｄｘ＋ʏｑ（ｘ）㊃ｅʏｐ（ｘ）ｄｘ()ｄｘ．若结论中需要证明的是形如ｆ（ξ）／ｇ（ξ）＝ｆᵡ（ξ）／ｇᵡ（ξ）的形式，则我们可将结论进行变形，得到ｆ（ξ）ｇᵡ（ξ）－ｆᵡ（ξ）ｇ（ξ）＝０，从而得其原函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）－ｆᶄ（ｘ）ｇ（ｘ），即为要构造的辅助函数．对于需要利用柯西中值定理解答的题目，在构造辅助. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１２９㊀数学学习与研究㊀２０２１ ２９函数的时候需要格外注意观察结论的形式，通过逆序思维构造辅助函数．如果结论中含有函数的高阶导数（二阶㊁三阶或更高阶导数）时，我们还可以考虑用泰勒公式构造辅助函数．二㊁涉及一些不等式证明或者方程根的存在性问题的题型在处理一些不等式证明相关的习题时，需适当地将不等式移项，通过构造辅助函数，利用函数的单调性㊁拉格朗日中值定理或函数的凸凹性，比较不等式两边的大小，证明不等式．此外，通过构造辅助函数也能证明某些等式成立．例３［３］㊀若ｐ＞１，证明：对于任一ｘɪ［０，１］，有ｘｐ＋（１－ｘ）ｐȡ１２ｐ－１．证明：设Ｆ（ｘ）＝ｘｐ＋（１－ｘ）ｐ，则Ｆᶄ（ｘ）＝ｐｘｐ－１－ｐ（１－ｘ）ｐ－１＝ｐｘｐ－１－（１－ｘ）ｐ－１[]．当ｘ＜１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＜０．当ｘ＞１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＞０．当ｘ＝１／２时，Ｆᶄ（ｘ）＝０．从而，可知Ｆ（ｘ）在ｘ＝１／２处取得极小值，即Ｆ（ｘ）＝ｘｐ＋（１－ｘ）ｐȡＦ（１／２）＝１２ｐ－１．在证明方程组根的存在性问题时，也常通过构造辅助函数，利用连续函数的介值定理或罗尔定理证明解的存在性．例４［３］㊀当ａ０ｎ＋１＋ａ１ｎ＋ ＋ａｎ－１２＋ａｎ＝０时，证明：方程ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ ＋ａｎ＝０在（０，１）上至少有一个实根．证明：令Ｆ（ｘ）＝ʏｘ０ａ０ｔｎ＋ａ１ｔｎ－１＋ ＋ａｎ()ｄｔ，则Ｆ（ｘ）＝ａ０ｎ＋１ｘｎ＋１＋ａ１ｎｘｎ＋ ＋ａｎ－１２ｘ２＋ａｎｘ．显然Ｆ（０）＝Ｆ（１）＝０，由罗尔定理，在（０，１）上至少有一点ξ，使得Ｆᶄ（ξ）＝０，即Ｆᶄ（ｘ）＝ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ ＋ａｎ＝０在（０，１）上至少有一个根ξ．三㊁通过构造辅助函数，补充连续性条件在运用已学知识解答题目的过程中，会遇到缺少某个条件的情况，比如利用含参变量积分的性质计算某些极限或积分问题时，要求含参变量积分的被积函数连续或要求被积函数的导函数连续（若是参变量反常积分，还需再加上一致收敛的条件），此时积分运算与极限运算㊁求导运算可交换．利用这些性质解答一些积分或极限问题时，需严谨地验证这些条件是否满足，如果不满足，我们要构造一个既能满足所缺条件又与所证结论相联系的辅助函数．例５［４］㊀求极限ｌｉｍｙң０＋ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ．解：构造辅助函数ｆ（ｘ，ｙ）＝１１＋（１＋ｘｙ）１ｙ，㊀０ɤｘɤ１，０＜ｙɤ１，１１＋ｅｘ，０ɤｘɤ１，ｙ＝０．ìîíïïïï因为对任意的ｘɪ［０，１］有ｌｉｍｙң０＋１１＋（１＋ｘｙ）１ｙ＝１１＋ｅｘ所以ｆ（ｘ，ｙ）在［０，１］ˑ［０，１］上连续．从而ʏ１０ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ＝ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ在［０，１］上连续，极限运算与积分运算可进行交换，因此ｌｉｍｙң０＋ʏ１０１１＋（１＋ｘｙ）１ｙｄｘ＝ʏ１０ｌｉｍｙң０＋１１＋（１＋ｘｙ）１ｙæèçöø÷ｄｘ＝ʏ１０１１＋ｅｘｄｘ＝ｌｎ２ｅ１＋ｅ．在利用所学定理或已有的结论解答某些题目时，需严谨地验证这些定理或结论所应满足的条件，当某些条件缺失时，需通过辅助函数补充．类似的构造辅助函数的方法也适用于推广的罗尔中值定理的证明．例６［５］㊀若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上可导且ｌｉｍｘңａ＋ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｂ－ｆ（ｘ），证明：至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆᶄ（ξ）＝０．证明：构造辅助函数Ｆ（ｘ）＝ｆａ＋()，ｘ＝ａ，ｆ（ｘ），ａ＜ｘ＜ｂ，ｆｂ－()，ｘ＝ｂ，{则Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的条件，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆᶄ（ξ）＝ｆᶄ（ξ）＝０．结束语现有的许多教材，在通过构造辅助函数进行解题时，通常会直接给出辅助函数．由于数学题型多变，学生常常把握不住辅助函数的具体构造方法和经验，对于哪些类型的题目适合通过构造辅助函数来求解，常常也会模糊不清的，不能很好地将所学知识进行融合，长此以往，学生渐渐会失去学习的信心和兴趣．因此，高校教师需要调整或改进教学方法，在讲授相关知识点时，积极引导和帮助学生建立知识的衔接，注意整理不同辅助函数的构造方法，学会总结解题技巧，积累解题经验．通过构造辅助函数解题，既能使学生更好地熟悉和掌握所学知识，又利于打开解题思路，提高解题能力，还能培养良好的观察能力及严谨的思维能力，提高学习效率．ʌ参考文献ɔ［１］张宇．高等数学１８讲［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１７．［２］张天德，蒋晓芸．吉米多维奇高等数学习题精选精解（第二版）［Ｍ］．济南：山东科技技术出版社，２０１９．［３］钱吉林，郭金海，熊骏．数学分析解题精粹（第三版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２０１９．［４］李克典，马云苓．数学分析选讲［Ｍ］．厦门：厦门大学出版社，２００６．［５］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．. All Rights Reserved.。
毕业开题报告
毕业设计（论文）开题报告题目：辅助函数在数学分析上的应用学院：专业名称：学号：学生姓名：指导教师：2014 年2月28日1 课题来源数理学院毕业论文选题．2 研究目的和意义在学习数学转化数学问题中，辅助函数法是的一种重要手段，特别在《数学分析》的学习和解题当中我们会经常遇到构造辅助函数来解决相关题目的方法．通过构造辅助函数，我们求解的问题简单化，并且挖掘命题中的隐含条件使其具体化、明显化．作为数学类的相关专业的学生，在学习过程中，注重这种数学思想方法的学习和应用是必须的，如此不仅可以使我们的解题能力得以提高而且还可以提高我们的数学素质．3 本课题的主要研究内容及拟采取的技术路线、试验方案本文主要工作是通过研究辅助函数的定义，构造方法及在数学分析中的应用举例，更好地理解辅助函数的性质和使用.主要研究内容以及技术路线如下：1 给出辅助函数的定义．2 给出可作为辅助函数的函数．3 介绍辅助函数的构造方法．4 介绍辅助函数在数学分析中的应用．4 研究基础试验条件：a已经具备的条件：通过对数学分析的学习，对辅助函数在数学分析中的应用有一定的了解.能够在计算机上从中国期刊网、万文数据网、中国知识网和中国数字化期刊群等相关数据库上进行相关论文的检索.在图书馆期刊室查找关于论文的相关文献，并从图书馆借阅相关书籍，进一步加深对论文的了解.综合相关的资料，细心分析，认真撰写.通过自己的耐心总结，老师的指导、改正，争取写好自己的毕业论文，能够有一定的意义与创新.b未具备的条件及提出的解决方案暂无.5 预期达到的目标及进度安排本文对辅助函数和数学分析中涉及辅助函数应用的内容进行详细地分析,并分析其应用,争取有创新突破,形成有自己特色的理论体系.为有准备有计划的做好论文工作,特制定如下进度计划:2013年11月23日—2013年1月10日论文选题2014年11月23日—2月16日填写毕业论文任务书，填写选题报告2014年11月23日—2月20日文献阅读，并撰写开题报告，开始写作2014年11月23日—2月26日完成毕业论文外文文献翻译．2014年3月1日—3月15日完成论文第一稿2014年3月15日—4月16日完成论文第二稿，写作第三稿2014年4月16日—5月18日提交规范的毕业论文，论文答辩6 阅读的主要文献、资料[1] 刘勇．浅谈构造辅助函数的基本方法[M]．湖北：湖北广播电视大学．2009，4．[2] 刘士琴．辅助函数的应用[J]．SCIENCE@TECHNOLOGYINFORMATION．2011，(29)：157－159．[3] 华东师范大学数学系编．数学分析[M]．北京：高等教育出版社．2001，7[4] 余红兵，严镇军．构造法解题[M]．合肥：中国科学技术大学出版社．2009，2[5] 元玖东．高等函数辅助函数的构造及应用的应用[J]．山东：济南职业学院报，2009，5：3-4[6] 王文珍．微积分学中辅助函数的应用[J]．陕西：高等数学研究．2005．[7]惠存阳．对微积分中值定理证明中辅助函数的探讨[J]．陕西：延安教育学院学报．1997，（2）：26—27.[8] 常兴邦、李娜．辅助函数的构造方法及其应用[J]．河南：商丘职业技术学院学报，2009，2:6—7．[9] 翟修平．构造辅助函数在命题求证中的作用[J]．江苏：泰州职业技术学院学报，2004，8:45—47．[10] 盛光进．试析辅助函数在解题中的作用[J]．辽宁：锦州师范学院学报．2003，6．[11] 王德利．证题中引进辅助函数的几种方法[J]．湖北：江汉大学学报．1995，6．[12] 王德利．证题中引进辅助函数概述[J]．湖北：鄂西大学学报．1986，7．[13] 曾玉华、叶正道．构造辅助函数解题技巧探讨[J]．江西：九江学院学报．2006．[14] 王兰芳．例谈中值定理应用中辅助函数的引入[J]．陕西：高等数学研究．2011．[15] 邱烨，高战，高亚茹．高等数学辅助函数的构造方法及应用[J]．江苏：中国矿业大学．2010，8．。
数学分析中辅助函数法的妙用
数学分析中辅助函数法的妙用数学分析是一门研究变量之间关系的研究方法，在科学和工程研究中都有着广泛的应用。
其中，辅助函数法成为数学分析中重要的研究手段。
本文旨在探讨辅助函数法在数学分析中的重要意义以及妙用。
辅助函数法可以用来处理数学分析中的复杂问题。
它可以将某些复杂的问题分解为若干个简单的子问题，通过解决这些子问题，最终获得最终的解。
此外，辅助函数法还可以帮助我们确定复杂问题的解的范围，并从中获得有用的信息。
例如，假设研究问题是定义一个函数在给定区间上的最大值，那么我们可以通过辅助函数法求解此问题，从而确定函数的最大值和最大值的范围。
此外，辅助函数法在解决数学分析中的问题时还可以用来证明数学猜想。
例如，假设有一个数学猜想，主要研究函数在某些特定区域上的性质。
辅助函数法可以帮助我们证明这类猜想：首先，我们构建几个辅助函数来描述给定的数学猜想；然后，我们按照一定的逻辑关系，将辅助函数与原猜想联系起来；最后，经过一定的数学证明，我们就可以证明所研究的数学猜想正确无误。
此外，辅助函数法还可以用来解决优化问题。
通常，优化问题是指在给定约束条件下，使某个目标函数达到最优值。
辅助函数法可以用来求解这类问题：首先，我们建立一个辅助函数，其形式类似于原优化问题，但是在其中添加一些额外的约束条件；接着，通过一定的数学变换，将原优化问题转化为新的辅助函数；最后，通过求解辅助函数，可以获得原优化问题的解。
至此，我们可以看出，辅助函数法在数学分析中具有重要的意义和妙用。
通过对子问题的分解，我们可以更有效地处理复杂问题；同时，辅助函数法还可以用于证明数学猜想和求解优化问题。
未来，辅助函数法在数学分析中将会发挥更大的作用，为科学和工程应用提供更多的便利。
辅助函数法在数学证明中的应用
辅助函数法在数学证明中的应用辅助函数法在数学证明中发挥重要作用，探索数学本质精妙之处。
辅助函数法（Auxiliary Function Method）是一种通用的数学证明方法，其由于其证明的通用性而备受学者青睐。
本文将简要介绍辅助函数法在数学证明中的应用：1. 辅助函数法背后的基本原理辅助函数法是将问题函数转换为另一个更容易求解的“辅助函数”，之后可利用辅助函数的性质证明原问题。
因此，辅助函数法可以视作将一些复杂的分析问题转化为一系列更容易处理的求解问题。
2. 实际应用辅助函数法在数学证明中有广泛的应用。
例如，Andersson-Brent-Kung 微积分算法可以将扩展的高斯分布函数证明为微积分算法的辅助函数，从而可以解决复杂的分析问题。
此外，贝尔定理的原子球谐函数可以通过引入辅助函数的概念，来证明不可知数的原子球模型。
3. 领域辅助函数法在多个学科中都有广泛应用，例如，可以将它应用于几何系列、推理、复变函数、概率论、随机过程、函数估计等学科，以便有效地求解有助于数学证明的问题和结论。
4. 优点辅助函数法有很多优点。
首先，它是一种通用的数学证明方法，可以支持复杂问题的推导；其次，它可以减少证明中的步骤，缩短数学定理的证明时间；最后，它可以帮助我们拓展数学模型的应用范围。
5. 缺点但是，辅助函数法也存在一些缺点，例如：算法设计者往往需要花费大量精力找到合适的替代函数来替代原函数。
因此，有时候在寻找辅助函数方面也可能耗费大量精力，无法有效求解数学证明的问题。
总的来说，辅助函数法是一种有效的数学证明方法，可以支持很多类型的问题的推导，缩短证明的时间，以及帮助我们拓展数学模型的应用范围。
然而，在查找辅助函数的过程中也耗费了大量精力。
因此，实际使用辅助函数法时需要考虑其合适性，以保持其有效性和效率性。
辅助函数在中学数学中的应用
辅助函数在中学数学解题中的应用朱转德【摘要】函数是中学数学永远的主题,应用非常广泛.它联系着中学数学的各种问题,本篇论文主要通过举例阐述构造辅助函数在中学数学中包括方程、等式、不等式、数列等问题的应用，以提高中学生对辅助函数的应用意识.【关键词】辅助函数，等式，方程，不等式，数列The Application of Auxiliary Function in Math in theMiddle School【Abstract】Function, as the permanent theme of the math in the middle school ,has a variety of applications , connecting with all types of questions in math in middle school. This paper mainly analyses the application of formation of auxiliary function in math, including equation , equality , inequality , sequence of number and so on, so as to improve students’ consciousness of auxiliary function. 【Key Words】auxiliary function, equality, equation, inequality , sequence of number解题过程就是不断地将未知数转化为已知的过程，而构造法就是根据题设条件和结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借它认识“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒”与解决原问题的一种方法.正由于构造法的这些特点与所要求的解题转化过程很好的吻合.构造法也就成为数学家常用的解决问题的思想方法，并且在中学数学中有着广泛的应用.函数思想是一种重要的数学思想方法，它指用联系和变化的观点提出数学对象，抽取其数量特征，设法建立目标函数关系，并确定变量的限制条件，用函数的观点加以分析，使问题变得明了，从而找到一种科学的解题途径.因而，构造函数解题成为数学中的常用方法，通过巧妙地构造辅助函数，把原来的问题转化为研究辅助函数，进而达到解题的目的.函数是中学数学的主要内容之一，下面针对辅助函数在中学数学解题中的应用展开论述，分别就辅助函数在解方程、求值、证明等式、证明不等式、以及数列问题等几个方面探讨.1 辅助函数在证明等式中的应用针对这块内容，通过一个例子来说明这一类型的题目是如何运用辅助函数法的.例1 已知,,(),22k k k z ππαπβπ≠+≠+∈且33(3tan cot )tan 4tan cot 0,αβααβ++++=求证：4tan cot 0.αβ+=分析：这道题表面上看起来是一道三角函数题，可如果用三角函数内容里的角代换，或诱导公式，都很难将题目解出，所以我们只能另辟蹊径——构造辅助函数.考虑到4tan cot αβ+可拆项成(3tan cot )tan ,αβα++即原题中的已知方程可改写成33(3tan cot )(3tan cot )tan tan 0.αβαβαα+++++=证明：由33(3tan cot )tan 4tan cot 0,αβααβ++++=可得：33(3tan cot )(3tan cot )tan tan 0αβαβαα+++++= （1）显然我们知道()f x 在R 上单调递增函数且为奇函数，对于（1）式可化为(3tan cot )(tan )(tan )f f f αβαα+=-=-对于单调函数有3tan cot tan ,αβα+=- 即4tan ot 0.c αβ+=点评：在处理此类题目时，切不可掉入题设的陷阱中，如本题会误以为是三角函数题目，而应该认真观察分析题目所给条件的特点，结合结论来解题. 2 辅助函数在解方程或方程组中的应用中学数学不可能永远只解一次方程或方程组，而一旦次数升高，解方程或方程组也将会复杂起来，这时构造辅助函数不失为一种巧妙简捷的解题方法，下面分别举例说明：例2.1 解方程 345.x x x +=分析：这道题虽然是一元方程，但因为涉及到指数函数，难度就远远超过一元一次方程，考虑用辅助函数法，仔细观察方程结构，发现原方程可化为()f x =34()()1,55x x +=构造函数()f x =34()()55x x +，即可将问题简化. 解：显然()f x =34()()55x x +为R 上的减函数，易知2234(2)()() 1.55f =+= 当2x <时，()(2)1;f x f >=当2x >时，()(2)1f x f <=，所以显然只有2x =时 (2)1f =，也即2x =为原方程的唯一解.例2.2 解方程(65)1(10.x x ⎡+++=⎣ 分析：本题是关于x 的一元方程，如果按照常规的解题思路，先去根号再来解将会使问题变得非常复杂，仔细观察其结构特征，将方程转化为(65)[1(1x x +=-解决问题将是事半功倍.解：构造函数()(1f x x =显然()f x 在R 上为单调递增函数且为奇函数，即有(65)()f x f x +=-，()f x 为单调递增函数 65x x ∴+=- .即57x =-为原方程的解. 点评：用构造函数法解题的巧妙之处在于利用函数的单调性及奇偶性，将原问题转化函数问题，是一种解题的好方法.例2. 3 解方程组3232321,31,(,,)313,x y y y z z x y z R z x x ⎧--=⎪⎪⎪--=∈⎨⎪⎪--=⎪⎩. 分析:这是一道比较复杂的三元方程,面对如此的方程组,常规的方法更显得繁琐,计算量非常大.挖掘隐含信息,考虑到原方程组,,x y z 之间很有规律地排列,联想各种知识,即可构造函数模型解之.解:原方程组可化为3232321,31,313,x y y y z z z x x ⎧=++⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩3211()0,0212x y x =++>∴> . 同理0,0.y z >> 构造函数()0),f u u =>易知()f u 在(0,)+∞上是单调递增函数且()0f u >.不妨设x y > 则必有()()f x f y z x >⇒>进一步()()f z f x y z ⇒>⇒> 故有,y x >与所设x y >矛盾.同理可证x y <也不可能,故必有.x y = 同理可证,.x z z y == 因而有.x y z == 再解方程321,3x x x --=即3333310.x x x ---=而332(1)331,x x x x +=+++ 知334(1)1x x x x =+⇒=+⇒=故原方程的解为x y z === 点评:类似这样的方程组一般出现在竞赛数学中,从题中挖掘体现数学的奇异美往往与思维的创造性有着密切联系,思考越深刻,构造就成功,方法也越简单.简单是数学美的最基本特征,数学的魅力在于追求简单,而解题中的巧妙构造往往有化繁为简之效.3 辅助函数在求值中的应用学习数学必须善于寻求解题方法.解题意味着什么呢？在于发现一条摆脱疑难绕过障碍的途径，实现从未知到已知的转化过程.例 3.1 已知,,αβ满足3232351,355,αααβββ-+=-+=求αβ+的值.分析：要求αβ+的值，常规的方法是已知两个方程分别求解α和β的值，但是三次方程分解因式很难，很多学生会因此困扰而无从下笔.考虑构造函数(),()f x g x 来求解.解：构造函数323()35(1)2(1)3,f x x x x x x =-+=-+-+据题意有()1,() 5.f f αβ==又构造函数32()2g t t t =+在t ∈R 上单调递增且为奇函数，于是(1)()32,(1)()3 2.g f g f ααββ-=-=--=-=故(1)(1)(1)g g g αββ-=--=- 即11,αβ-=-从而 2.αβ+=例 3.2设432(),f x x ax bx cx d =++++其中,,,a b c d 是常数，如果(1)10,(2)20,(3)30,f f f ===求(10)(6)f f +-的值.分析：只知道(1)10,(2)20,(3)30f f f ===的值，只有三个方程，仍然无法解出()f x 的四个未知系数，所以利用解方程组来求解此题是行不通的.根据题设已知条件，挖掘隐含信息，构造函数来解此题.解：构造函数()()10,g x f x x =-则(1)(2)(3)0,g g g ===即1,2,3x x x ===均为方程()0g x =的根，于是再根据方程的知识有()(1)(2)(3)()g x x x x x m =----（假设m 为()0g x =的第四个根），从而(10)(10)1010(101)(102)(103)(10)100,(6)(6)10(6)(61)(62)(63)(6)60,(10)(6)789107897896789408104.f g m f g m f f m m =+⨯=----+-=-+⨯-=---------+-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=结论：上面两例是两类题，但却有一个共同的特点，就是用常规的方法求解已知条件明显不够，构造合适的函数关系却能轻而易举地解出来，善于观察分析题设条件是关键. 4 辅助函数在求参数（或变量）的范围中的应用关于字母参数问题是中学数学的一个基本问题，对多数学生来说又是比较难处理的问题，而构造函数法主要是利用学生比较熟悉的初等数学的性质，自变量和函数值的对应关系，由问题构成相应的函数来求参数的范围.4.1构造一次函数求参数的范围例4.1.1若不等式221(1)x m x ->-对||2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围.分析：解不等式学生往往会直接去解x ，而这样只使问题变得更为冗繁.换一种思维方式考虑问题，将m 看作自变量，构造辅助函数即可化繁为简进而解之.解：构造关于m 的一次函数2()(1)21,f m x m x =--+则()0f m <对[]2,2m ∈-恒成立，得22(2)02230(2)02210f x x f x x ⎧-<+->⎧⎪⇒⎨⎨>--<⎪⎩⎩x << 例4.1.2 对于1,o x ≤≤不等式(1)x -233log 6log 10a x a x -++>, 求a 的取值范围.分析：由于思维定势，解题者往往只会注意到这是一个关于3log a 的一元二次不等式，考虑如何求解3log a 的范围进而求解a 的取值范围.这是一种不可取的解法，不仅计算麻烦，而且非常容易出错，但是构造辅助函数却让我们看到柳暗花明又一村的境界.解：构造关于x 的一次函数()f x = 22333(log 6log 1)1log ,a a x a -++-则由()0,f x >在[]0,1上恒成立,得331log 0(0)0(1)0log 20a f f a ->>⎧⎧⇒⎨⎨>-+>⎩⎩解此不等式组得a 的取值范围.点评：思维定势有时是我们解题的绊脚石，上面两例就告诫学生要善于变换思考问题的角度，突破常规，巧构一次函数并且利用一次函数的单调性来解题，不仅可以使问题迎刃而解，而且常常是更为简单快捷.4.2构造二次函数求变量的范围构造二次函数相比一次函数更为普遍，因为二次函数与一元二次不等式、一元二次方程之间的联系以及二次函数的性质有时是解题的催化剂.例4.2.1 已知实数,,,a b c d 满足22225,7,a b c d a b c d +++=+++=求a 的取值范围.解:由已知条件可构造函数222222222()()()()32()()32(5)(7)f x x b x c x d x b c d x b c d x a x a =-+-+-=-+++++=--+- ()0f x >恒成立0,∴∆≤即224(5)12(7)0a a ---≤ 亦即21252022a a a -+≤∴≤≤即为所求范围. 例4.2.2 已知,,x y z 是实数,且满足5,3,x y z xy yz zx ++=++=求z 的取值范围. 解:由已知条件可得:2222()2()19x y z x y z xy yz zx ++=++-++=,构造辅助函数2222222()()()22()22(5)(19)f t t x t y t x y t x y t z t z =-+-=-+++=--+- ()0f t ≥对t R ∈恒成立 0∴∆≤即2224(5)8(19)0310130z z z z ---≤∴--≤1313z ∴-≤≤ 即为所求的取值范围. 点评:上述两例均涉及多个字母,然后求其中一个字母的取值范围.联想到均值不等式来解题只会让原题更为复杂,根据题目的结构特点,构造完全平方形式的二次函数,不失为一种好的解题方法.例4.2.3 方程2(2)(5)0x a x a --+-=的两根都大于2,求实数a 的取值范围.分析:这是高中数学第一册解一元二次不等式时最常碰到的题目类型,很多学生在解此类题目时往往只会考虑判别式,再利用韦达定理来解,结果就是与正确答案不同.本题正确的思路应该是构造与一元二次方程相应的二次函数来解题.解:构造函数2()(2)5,f x x a a =--+-根据题意有:0(2)0222f a ⎧⎪∆≥⎪>⎨⎪-⎪>⎩解此不等式可得5 4.a -≤≤-点评:这类题目用构造二次函数的方法是高一学生必须掌握的,这同时也说明辅助函数不仅渗透到中学数学,而且十分重要.4.3构造分式函数求参数(或变量)的范围与二次函数一样,这也是十分重要的.例4.3.1 已知不等式11112log (1)122123a a n n n ++>-+++对于一切大于1的自然数n 都成立,试求实数a 的取值范围.分析:面对这类“恒成立”型的题目,就是构造相应的分式函数来解.解:构造关于n 的函数111()122f n n n n =+++++ 1111(1)()021221(21)(22)f n f n n n n n n +-=+-=>+++++(1)().f n f n ∴+> 从而()f n 是在{}2,3,4,A =上关于n 的单调递增函数,则必有7()(2)12f n f ≥=即[]min712()log (1)log (1)112123a a f n a a =>-+∴-<- 又111a a a >∴-<得 1a << 即为所求的取值范围. 点评:抓住题目特点.深刻理解此类题目的共同方法,解决这类问题不再是困难.4.4 构造指数函数求参数的范围显然这是一类与指数函数有关的题目,一般利用指数函数的值域为(0,)+∞和其单调性来解.例4.4.1 已知函数124()lg (),3x x a f x a R ++⋅=∈如果当(,1]x ∈-∞时,()f x 有意义,求a 的取值范围.解:要使原函数有意义,应有(,1]x ∈-∞时，1240x x a ++⋅> 即11()()42x x a ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦，对任意](,1x ∈-∞均成立. 构造函数11()()()42x x g x ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦, (,1]x ∈-∞ 易知()g x 为定义域上的增函数. 要使()a g x >恒成立,只须[]min 3()(1)4a g x g >==-即可. 因此,所求的范围为3,.4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭点评:虽然本题的实质是含有2x 形式的特殊的一元二次不等式,但构造特殊的函数来解却能很快地将题目解出,由此可见辅助函数的简单魅力所在.5 辅助函数在数列中的应用数列是按一定的顺序排列的一列数，它可以看作是一个定义域为正整数集N +（或是它的有限子集{}1,2,n ）的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值，因此数列是一种特殊的函数，用函数的思想研究解决数列 的有关问题是必须掌握的一种特殊方法.下面列举几例以作剖析. 例5.1 在等差数列 {}n a 中，112a =，310S S =，求n S 的最大值.解：1(1)2n n n S na d -=+及310S S =得3(31)10(101)312101222d d ⨯--⨯+=⨯+ 得2d =-，于是22(1)1316912(2)13()224n n n S n n n n -=+-=-+=--+考虑二次函数213169()()24f x x =--+当132x =时，函数有最大值又213169(6)(7)(6)4224f f ==--+=∴当6n =或7n =时，n S 有最大值为42.例5.2 已知数列通项 22(1)n n a n =+，证明对于任意不相等的自然数m ，n ，都有2m n m n a a a +++≥.证明：令函数2221()(1)(1)1x f x x x==-++，易知当0x >时，()f x 是增函数， 且2mn ≥时，222222222222222()()(1)(1)(1)(1)m n m n mn nm n m f m f n m n m n +++++=+=++++2222222222222()()(2)(1)(1)(1)(1)m n mn nm n m mn m n mn f n m nm f m n m n m n +++++++≥==++≥++++++即有2n m n m a a a +++≥得证.点评：数列的通项公式，前n 项和公式都可以看成n 的函数，并以此作为映射关系，把某些问题转化为研究相应函数的性质，根据函数的性质，反演回去，就可以将问题轻而易举地解决.6 辅助函数在不等式中的应用不等式是中学数学的又一大内容，辅助函数是解决不等式问题包括证明不等式、解不等式等的一个非常重要且常见的解题方法.构造辅助函数时要求学生能敏锐地观察不等式的结构特征，用分析的观点去加以解释，联想不等关系中所蕴涵的函数关系，从而能够准确快速地构造合适的函数模型.6.1 辅助函数在证明不等式中的应用6.1.1构造单调函数构造函数解决不等式有关问题是很常见的，通常都是构造单调函数，并利用其单调性来完成解答.例6.1.1.1 设a ，b ，c 为三角形三边，求证111a b ca b c+>+++. 分析：由要证的不等式特点可知，不等式中三项分别为函数()1x f x x=+，在a ，b ，c 三点处的函数值，自然联想到构造函数()1x f x x=+. 解：构造辅助函数1()111x f x x x==-++，易知()f x 在(0,)+∞上为单调递增函数. 因为a ，b ，c 为三角形三边，故c a b <+，亦即()()f c f a b <+ 即11()1()1()11c a b a b a bc a b a b a b a b+<=+<++++++++++∴111a b ca b c+>+++ 本题得证. 例6.1.1.2 已知x ，y R ∈，且2323x y y x --+>+，求证0x y +>.分析：已知条件中2323x y y x --+>+变形为2323x x y y --->-之后，很容易联想构造辅助函数来解.证明：构造函数()23x x f x -=-，容易证明()f x 为R 上的单调递增函数. 已知条件可转化为()()f x f y >-即x y >-，0x y +>本题得证.点评：以上两例均是通过将已知条件转化，得到熟悉的函数模型，利用函数的单调性质，很快将问题解决，既快捷又准确无误. 例6.1.1.3 求证：e e ππ>.分析：越是题目内容很少越难证明，因为所给的已知条件太少，思维需要深刻才能从条件与结论中挖掘隐含的解题信息.本题从表面上看只有信息e π<，这也是解此题的关键所在，联想构造辅助函数. 证明：令ln ()xf x π=（x e >）则21ln ()0xf x x-'=< （x e >） 故ln ()xf x π=（x e >）在定义域上是单调递减函数.又因为e π<，所以ln ln e e ππ>即e e ππ>.本题得证. 例6.1.1.4 设0b a >>，证明2()ln b b a a a b->+.分析：关于纯字母参数的问题是中学数学中对于学生来说既典型又很难处理的问题，它需要很强的技巧和深刻的思维.通过构造学生比较熟悉的初等函数是一个非常值得推崇和重视的解题方法.证明：将结论中不等式变形为2(1)ln 1b ba b a a->+，于是将b a 视作自变量.构造辅助函数2(1)()ln 1x f x x x -=-+（1x >）也即4()ln 21f x x x=+-+（1x >）又22214(1)()0(1)(1)x f x x x x x -'=-=>++，从而知()f x 为定义域上的单调递增函数， 于是当1b a >时2(1)2()2(11)()ln ln (1)ln10111b b b b a b a f f b a a b a a a---=-=->=-=+++，即2()ln b b a a a b->+，本题得证.点评：用已知条件中的元素为“元件”，用已知的数学关系为“支架”，在思维中构造出一种函数关系，在转化问题后利用函数的单调性，这就是解决以上两类问题的方法. 6.1.2 构造有界函数例6.1.2.1 已知1a <，1b <，1c <，求证：0ab bc ca ++>.证明：将不等式左边视作关于a 的一次函数()f a ，则()()1f a b c a bc =+++，（1a <）其图象是一段不包括端点的线段，于是有(1)()(1)f f a f -<<，或(1)()(1)f f a f <<-又因为1b <，1a <，所以(1)()11(1)(1)0f b c bc b c =+⋅++=++>，(1)()(1)1(1)(1)0f b c bc b c -=+⋅-++=-->，所以()0f a >恒成立. ∴0ab bc ca ++>，本题得证.点评：利用函数的取值范围.选取变元由问题构成相应的函数，再根据相应问题的要求来求函数的界定区间，此法不失为一种好的解题方法. 6.1.3构造二次函数例6.1.3.1 求证:对于任意实数1a ，2a ，n a ，1b ，2b n b ，有 222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++，当且仅i i b ka =（1,2,3,i n =，k 为常数）时等式成立.分析：这是著名的柯西不等式，用中学数学所必需掌握的构造辅助函数法是绝对能够解决的. 证明：构造二次函数2221122()()()()n n f x a x b a x b a x b =++++++222222212112212()2()()n n n n a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++显然()0f x ≥恒成立 从而2222222112212124()4()()0n n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤即222222*********()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++等号成立⇔()0f x =⇔1122330n n a x b a x b a x b a x b +=+=+==+=所以当且仅当i i b ka =（1,2,3,,i n =，k 为常数）时等号成立.例 6.1.3.2 在ABC ∆中，求证：2222cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++≥++（,,x y z R ∈） 当且仅当sin sin sin x y z A B C==时，等号成立. 分析：根据题设条件，很多学生会无从下笔，因为题中x ，y ，z 没有任何给定限制，考虑构造辅助函数——二次函数.证明：构造函数222()2cos 2cos 2cos f x x y z yz A xz B xy C =++---2222(cos cos )2cos x y C z B x y z yz A =-+++-因为2224(cos cos )4(2cos )y C z B y z yz A ∆=+-+-2222224cos cos 2cos cos 2cos()y C z B yz B C y z yz B C ⎡⎤=++---+⎣⎦222224(sin sin 2sin sin )4(sin sin )0y C z B yz B C y C z B =-+-=--≤故()0f x ≥对,,x y z R ∈恒成立所以有2222cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++≥++成立 不等式等号成立即()0f x =⇔0∆=此时sin sin y C z B =即sin sin y zB C=同理可得sin sin x y A B =，sin sin x zA C=从而当且仅当sin sin sin x y zA B C==时等号成立. 点评：利用根的判别式和函数值符号来求解.从以上两个例题中再次说明二次函数在函数中的重要地位，更是构造辅助函数非常常用的初等函数之一，掌握此类题目的解题思路和方法是非常有必要的.7 结束语中学数学首要的任务就是加强解题训练，掌握数学也就意味着善于解题.而解题方法的灵活巧妙与解题过程的简捷高效，与解题者运用的解题策略密切相关，它体现了解题者对解题过程概括性的认识和宏观把握的水平.数学家说有数学的地方就有函数，通过以上的论述，构造辅助函数解题的巧妙之处便在于不直接去解所给的问题A ，而是构造一个与A 有关的辅助函数B ，利用函数B 的。
辅助函数在数学分析中的应用
摘要：本文主要研究辅助函数在数学分析中的一些应用，如辅助函数在数学分析中的基本定理、极限、恒等式、不等式以及微分中值定理的证明等方面的具体应用等.关键词：数学分析，辅助函数，极限，不等式，微分中值定理，应用.Abstract: This article mainly studies the applications of the auxiliary function in mathematical analysis such as the proof of fundamental theorems, limit, equalities, inequalities and differential mean value theorems.Keywords: mathematical analysis, auxiliary function, limit, inequality, differential mean value theorem, applications.目录1引言 (4)2辅助函数在数学分析中的一些应用 (4)2.1辅助函数在几个定理证明中的应用 (4)2.2辅助函数在极限运算中的应用 (5)2.3辅助函数在恒等式证明中的应用 (6)2.4辅助函数在不等式证明中的应用 (7)2.5辅助函数在根的存在性问题中的应用 (9)2.6辅助函数在微分中值定理中的应用 (10)3辅助函数在数学分析中的应用的意义 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言在数学分析中,辅助函数有着广泛的应用.辅助函数在数学分析中的应用,使问题的解决简单化,方便了分析与处理问题.而辅助函数也是数学分析中解决问题的一种重要方法.通过构作辅助函数,反映了事物内部数量特征和制约关系,揭示了其内在的关系.在处理和解决问题时常用此法,并在现代数学理论中发挥着重要作用.2 辅助函数在数学分析中的一些应用辅助函数是数学分析中解决问题的一种重要方法,在证明和计算当中,有些问题直接去做往往很困难,而构造适当的辅助函数去进行证明和计算往往就可以化难为易,使问题迎刃而解. 下面就从辅助函数在数学分析中各类方面的应用进行具体说明.2.1 辅助函数在几个定理证明中的应用 例 1 罗尔定理[]1 若函数)(x f 满足以下条件:1)在闭区间[]b a ,连续; 2)再开区间()b a ,可导; 3）()()b f a f =.则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ使得0)(='ξf . 拉格朗日中值定理[]1 若函数)(x f 满足以下条件： 1)在闭区间[]b a ,连续; 2)在开区间()b a ,可导; 则在开区间内至少存在一点c,使 ab a f b fc f --=')()()(.分析：不难看到,当)()(b f a f =时,拉格朗日中值定理就成为了罗尔定理,即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况.为了应用特殊的罗尔定理证明一般的拉格朗日中值定理,需要作一个辅助函数)(x ϕ,使它满足罗尔定理的条件.由平面解析几何知,通过())(,a a f A 与())(,b f b B 的割线方程是:)()()()(a x ab a f b f a f y ---+=.设辅助函数)(x ϕ是函数)(x f 与割线AB 的方程之差,即)()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ.证 明 作辅助函数)()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ.已知函数)(x ϕ在[]b a ,连续,在()b a ,可导,又有0)()(==b a ϕϕ,根据罗尔定理,在()b a ,内至少存在一点c,使得0)(='c ϕ.而 ab a f b f x f x ---'=')()()()(ϕ,于是 0)()()()(=---'='ab a f b fc f c ϕ,即 ab a f b fc f --=')()()(.因为不论b a >或者b a <,比值ab a f b f --)()(不变,所以a b a f b fc f --=')()()(恒成立.利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理是构造辅助函数证明定理的一个典型.它充分体现了辅助函数的作用.在此例中，辅助函数形成了一座桥梁，沟通了罗尔定理与拉格朗日中值定理.例 2 定积分基本公式[]1的证明.设在[]b a ,上连续,若F 是f 在[]b a ,上得一个原函数,则)()()(a F b F dx x f ba -=⎰.证 明 因为⎰xadt t f )(是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数,而f 在任意原函数只能相差一个常数,所以 ⎰+=xaC dt t f x F )()(.若在此式中令a x =,则⎰=aadx x f 0)(,从而得到)(a F C =,移项后为 ⎰=-xadt t f a F x F )()()(.再令b x =,得到⎰=-b adx x f a F b F )()()(,即 )()()(a F b F dx x f ba-=⎰.从以上的证明中我们可以看出定积分的基本公式——牛顿-莱布尼兹公式的证明中用到了辅助函数即积分上限函数dt t f x xa ⎰=)()(ϕ ),(b a x ∈.2.2 辅助函数在极限运算中的应用例 3 求 n n n ∞→lim .解 作辅助函数 x x x f 1)(= , 则 xInx e x f =)(,所以 1lim )(lim 01limlim=====+∞→+∞→+∞→+∞→e eeex f x x Inx xInx x x x x ,故1)(lim lim ==∞→∞→n f n n n n . 例 4 求 n n n n n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→12111lim . 分析：此例求数列的极限,如果直接用数列极限的有关方法来求比较麻烦,但是如果利用辅助函数并根据定积分的定义就可以较容易地解决问题.解 因为 n 1ni 11n n 12n 11n 1n1i ⋅+=+++++∑= . 又因为xx f +=11)(在[]1,0上连续,从而可积,于是有： 101111111lim lim 21211n n n i n dx In i n n n n n x n→∞→∞=⎛⎫+++=⋅== ⎪++++⎝⎭+∑⎰. 在求极限值的运算中,合理构造辅助函数,并与其他的相关知识结合,将求极限值的问题转化为一些简单的基本知识,方可轻易解决.2.3 辅助函数在恒等式证明中的应用例 5 设函数)(x f 在[]b a ,可导,证明存在),(b a ∈ξ,使 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-.分析：观察结论 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-, 变形得 []0)()(2)()(22=--'-a f b f f a b ξξ.不难想到，它是[]222)()()()()(x a f b f x f a b x F ---=的导数,结合罗尔定理推得的结论.于是令 []222)()()()()(x a f b f x f a b x F ---=,可计算)()()()(22b f a a f b b F a F -==，并且)(x F 在[]b a ,连续,在()b a ,可导,满足罗尔定理的条件，此问题即可解决.证 明 令[]222)()()()()(x a f b f x f a b x F ---=.因为)(x F 在[]b a ,连续,在()b a ,可导,且)()()()(22b f a a f b b F a F -==, 所以由罗尔定理得,存在),(b a ∈ξ,使得[]02)()()()()(22=⋅--'-='ξξξa f b f f a b F ,即 [])()()()(222ξξf a b a f b f '-=-.例 6 设)(x f 与)(x g 在[]b a ,连续,在()b a ,可导,且0)(≠'x g ,试说明至少存在一点ξ,使得)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 证 明 把结论变形为)()()()()()()()(a f g f g g f b g f ξξξξξξ'-'='-', 移项得 )()()()()()()()(a f g b g f g f g f ξξξξξξ'+'='+',上式正是 [][]ξξ=='+='x x a g x g b g x f x g x f )()()()()()(, 从而令 )()()()()()()(a f x g b g x f x g x f x F --=.因为)(x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件,所以存在),(b a ∈ξ,使得 0)()()()()()()()()(='-'-'+'='ξξξξξξξg a f b g f g f g f F , 即)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --=''. 根据恒等式的形式,合理的构造辅助函数,使将要解决的问题转移到另一类问题,再进行一系列简单的推理,原问题就会迎刃而解.2.4 辅助函数在不等式证明中的应用例 7 设函数)(x f 在[]1,0上连续且单调减少,证明：对于任意()1,0∈a ,均有 ⎰⎰>1)()(dx x f a dx x f a.分析：仔细观察所要证明的不等式,发现不等号主要是由于定积分的上限变化所致,故可以利用变上限积分构造辅助函数,再利用导数确定该辅助函数的单调性的方法加以证明.证 明 令 ⎰=tdx x f t t F 0)(1)( ()10≤≤t , 则 tf t f t t f t t f tdxx f t t f t F t)()()()()()()(220ξξ-=⋅-⋅=-⋅='⎰ ()t <<ξ0. 因为)(x f 在[]1,0上单调减少,所以当t <<ξ0时,)()(ξf t f <；当10≤<t 时,0)(<'t F ,故)(t F 在[]1,0上单调减少,于是对于任意的)1,0(∈a ,有)1()(F a F >,即⎰⎰>adx x f dx x f a 010)()(1,亦即⎰⎰>100)()(dx x f a dx x f a .例 8 设)x (f 在[]1,0上连续,在()1,0内可导，且1)x (f 0≤'<,0)0(f =,试证:()21130()()f x dx f x dx ≥⎰⎰分析：此例的结论极为复杂,常规思路已经走投无路了.此时,活用辅助函数将是问题的突破口.观察结论的左侧,存在平方,利用变积分上限函数,令)()(2)(20x f dt t f x F x-=⎰,对其求导后,推得结论1)()(22≥⎰x f dtt f x.再观察结论的右侧,存在三次方,不易直接使用辅助函数,但是再联系柯西中值定理可推得 )()(2)()(20103210x f dt t f dxx f dx x f x ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡.结论即可得. 证 明 因为(0)0f =,()0f x '>,所以()0f x >. 作辅助函数 20()2()()xF x f t dt f x =-⎰.则 []()2()2()()2()1()0F x f x f x f x f x f x '''=-=-≥. 又0)0(=F ,故()0F x ≥，即22()1()xf t dtf x ≥⎰.令 20()()t xg x f t d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰,30h()()0x x f t dt =>⎰.由柯西中值定理知:322()()2()g(1)(0)()1(1)(0)()()()f f t dtf t dtg g h h h f f ξξξξξξξ'-===≥'-⎰⎰,）（1,0∈ξ,而 210(1)()g f x dx ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰,0)0(g =,且130(1)()h f x dx =⎰,(0)0h =. 因此, 211300()()f x dx f x dx ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰.例 9 已知函数)(x f 在[]b a ,连续,在),(b a 内可导,且M x f ≤')(,0)(=a f ,求证： M dx x f a b ba≤-⎰)()(22.分析：把M dx x f a b ba≤-⎰)()(22变形为⎰>-b a dx x f a b M )()(212,所以要证明M dx x f a b ba≤-⎰)()(22,只要构造辅助函数⎰±-=t a dx x f a t M t F )()(21)(2,[]b a t ,∈,再利用)(x F 在[]b a ,的单调性即得本体证明.证 明 作辅助函数 ⎰±-=t a dx x f a t M t F )()(21)(2,[]b a t ,∈.得到任意[]b a t ,∈都有 [])()()()()()(a f t f a t M t f a t M t F -±-=±-=',即有 0))(()()(≥-'±-='a t f a t M t F ξ []()b a ,∈ξ, 即 )(t F 在[]b a ,时增函数,从而0)()(=≥a F b F ,即M dx x f a b ba≤-⎰)()(22.在数学分析的不等式中,观察结论与已知知识的联系,利用辅助函数将两者联系到一起解决问题,这在解决一些较麻烦的不等式问题中有重要应用.2.5 辅助函数在根的存在性问题中的应用解方程0)(=x f ,实质上就是求函数)(x f 的零点,关于零点的问题一般是利用连续函数的性质及微分中值定理来解决.例 10 已知()f x 在[]1,0上非负连续,且(0)(1)0f f ==,求证对任意的实数()01a a <<,必存在[]00,1x ∈,使得[]00,1x a +∈,且00()()f x f x a =+.证 明 做辅助函数 ()()()F x f x f x a =-+,则有 (0)()0F f a =-≤，(1)(1)0F a f a -=-≥.而)x (F 在[]0,1a -连续,由连续函数介值定理有[]00,1x a ∃∈-，使得0()0F x =， 即 00()()f x f x a =+. 例 11 证明方程03162715=-+-+-x x x 在)2,1(与)3,2(内各有一个实根. 证 明 令)2)(1(16)3)(1(7)3)(2(5)(--+--+--=x x x x x x x F . 则)(x F 在[]2,1内至少有一个实根,在()3,2内也至少存在一个实根,故方程03162715=-+-+-x x x 在()2,1与()3,2内各有一个实根. 例 12 已知01210=++++n C CC n ()n i C ,,1,0 =为常数,证明方程010=+++n n x C x C C 在()1,0内至少有一个实根.分析：若是将已知1210++++n C C C n 变为121012+++++n n x n C x Cx C ，当1=x 时,即为已知.故，令 121012)(++++=n n x n C x C x C x f ， 又可知0)1()0(==f f ,且)(x f 在()1,0连续，在()1,0可导. 再结合连续函数的性质，即可证明.证 明 令12101121)(+++++=n n x C n x C x C x f ,则n n x C x C C x f +++=' 10)(.因为)(x f 在()1,0上连续,在()1,0内可导,且0)0(=f ,012)1(10=++++=n C CC f n ,根据罗尔定理,0)(='x f 在[]1,0内至少有一个实根,即方程010=+++n n x C x C C 在)1,0(内至少有一个实根.根的存在性问题,常常和连续函数的性质、微分中值定理有关,如果能够构造合理的辅助函数,将根的存在性问题转化,变为有关于连续函数的性质和微分中值定理的问题,原问题将得到简化.2.6 辅助函数在微分中值定理中的应用例 13 设函数)(x f 在闭区间[]1,0上连续,在开区间()1,0内有二阶导数,证明存在)1,0(∈a ,使得 )(41)0()21(2)1(ξf f f f ''=+-.分析：将)(41)0()21(2)1(ξf f f f ''=+-的ξ换成变量x ,并变形的二阶常微分方程：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-='')0()21(2)1(4)(f f f x f .记 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)0()21(2)1(4f f f k ,得二阶常微分方程： k x f ='')(,其通解为： 21221)(c x c kx x f ++=. 作辅助函数 21221)()(c x c kx x f x F ---=.为了使得)(x F 满足罗尔定理条件,令0)1()21()0(===F F F ,即可得)0(21)1(1f k f c --=,)0(2f c =.于是 )0()0(21)1(21)()(2f x f k f kx x f x F -⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=.证 明 记⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=)0()21(2)1(4f f f k .作辅助函数)0()0(21)1(21)()(2f x f k f kx x f x F -⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=,则)(x F 在闭区间[]1,0上连续,在开区间)1,0(内可导,且0)1()21()0(===F F F ,由罗尔定理可知,存在)21,0(1∈ξ,)1,21(2∈ξ,使得0)()(21='='ξξF F ,再由罗尔定理,存在)1,0(),(21⊂∈ξξξ,使得0)(=''ξF ,即k f ='')(ξ.即 )(41)0()21(2)1(ξf f f f ''=+-. 例 14 设函数)(x f 在[]1,0可微,且⎰=-2100)(2)1(dx x xf f ,试证明在()1,0内至少存在一点ξ使得 ξξξ)()(f f -='.证 明 因为 0)()(=+'ξξξf f .令 )()(x xf x F =.因为 ⎰==210)(2)1()1(dx x xf f F ,而由积分中值定理,存在⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,00ξ,使得)()()021)((2)(200002100ξξξξξF f f dx x xf ==-⋅=⎰. 所以)1()(0F F =ξ,在[]1,0ξ上对)(x F 应用罗尔定理,可知存在()()1,01,0⊂∈ξξ,使得0)()()(=+'='ξξξξf f F ,即 ξξξ)()(f f -='. 例 15 设函数)(x f 在闭区间[]2,0上连续,在区间()2,0内有二阶导数,试证明：)2,0(∈∀c ,存在)2,0(∈ζ,使得()()()()())2(0)(022)2(020)0()(21--+--+--=''c c c f c f c f f ζ. 证 明 将上式的ζ换成变量x ,并变形得二阶常微分方程： )2()(22)2()0()(c c c f c f c f x f -+-+=''. 记 )2()(22)2()0(c c c f c f c f k -+-+=得二阶常微分方程：k x f =)(,其通解为： 21221)(c x c kx x f ++=. 作辅助函数 )0()0(21)2(2121)()(2f x f k f kx x f x F -⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=. 则)(x F 在闭区间[]1,0上连续,在开区间()1,0内可导,且0)2()()0(===F c F F由罗尔定理可知,存在),0(1c ∈ζ,)2,(2c ∈ζ,使得0)(=''ζF ,即k f ='')(ζ,即 )2)(0()()02)(2()2()20()0()(21--+--+-=''c c c f c f f f ζ. 众所周知,微分中值定理作为数学分析的基础之一,其重要性不言而喻.所以活用中值定理就是解决问题的关键所在.而在中值定理的应用中,通过构造合适的辅助函数,再结合微分中值定理的理论,进行一系列推理,问题将会迎刃而解.3 辅助函数在数学分析中的应用的意义辅助函数作为一种工具,是搭建命题条件与结论的桥梁.辅助函数以一种“中间量”的身份出现在形形色色的数学问题中.作为一种介质,辅助函数可以将结论与条件紧紧的联系在一起,是一个关键的连接点.有了辅助函数,我们在解决问题时尤为方便.而在数学分析的相关问题中,辅助函数的特点更是格外突出.因为它在进一步的加强了结论与条件之间的关系的同时,又给予了人们更多的探索途径以及新的数学猜想.因此,辅助函数是推动数学分析发展的一种重要方法.结论简单地研究辅助函数在数学分析中的应用之后,可以知道,构筑辅助函数的方法已渐渐被人们所熟知与运用.有时候,它就像一盏引航灯,指引问题的突破口,直至到达目的;它也是一种桥梁,建立已知与结论的道路.可以看出,辅助函数的方法在数学分析当中的应用极为宽泛与灵活.活用辅助函数,将是辅助函数在数学分析中应用的焦点.人们已经在数学分析各方面中了解与使用了辅助函数,各方面的应用使我们了解到,利用辅助函数,将问题简单化,灵活化,在处理问题时,常常事半功倍.在数学分析中,其实还有许多关于辅助函数的应用,由于作者能力有限,只是进行了简单地研究与探讨.参考文献[1]刘玉琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁.数学分析讲义(上册)[M]).北京:高等教育出版社,2008.[2]欧阳光中,姚允龙,周渊.数学分析[M].上海:复旦大学出版社,2003.[3]李山.微分中值定理及辅助函数[J].宿州教育学院学报,2001,(2):99-101.[4]王艳萍,佘学军.应用罗尔定理时的一种辅助函数构造法[J].南阳师范学院报,2003:1-2.[5]陈少元.妙用辅助函数实例[J].孝感教院学报,1998:1-3.[6]黄淑林.浅谈构造法在微积分中的应用[J].广西民族学院学报,2002,(3):180-182.。
辅助函数在数学分析中的应用
辅助函数在数学分析中的应用
辅助函数在应用数学分析中具有重要意义。
辅助函数是指在数学分析中间接辅助分析的函数。
它们的作用是让复杂的数学模型的求解变得更加容易，从而求解最优化问题，更加简单和快速地估算出最优值点。
辅助函数的研究领域包括概率论、微分几何、数值分析、图论、数理统计等等。
在高等教育中，辅助函数的重要性变得更加突出，它可以帮助学生和教师更快地完成复杂的数学分析。
在复杂的运筹学工程中，例如模型优化、数据优化、结构优化等，辅助函数可以使学生们和教师们有效地进行数学分析并有快速地获得计算结果。
例如，在数据优化的研究中，当用户选择正确的辅助函数时，可以有效地解决函数约束优化、角点优化等问题，尤其是通过自适应遗传算法和AA算法等可以使复杂的数据优化问题得到快速解决。
此外，辅助函数还可以帮助学生和教师解决复杂的数学分析，这一方面减少数学分析所需的复杂度，另一方面可以提高预测效果。
通过使用辅助函数进行求解会更加准确，而数学分析的曲线估算速度也会更快，从而提高模型的准确度和精度。
综上所述，辅助函数在数学分析领域中具有重要意义。
它可以减少数学分析的复杂度，提高计算的准确性，为高等教育解决复杂问题提供有效的支持和帮助。
因此，在现实应用中，辅助函数的使用具有非常重要的实质意义，是高等教育中不可缺少的重要组成部分。
辅助函数在数学中的应用 毕业论文
辅助函数在数学中的应用毕业论文引言在数学中，辅助函数是一种在计算中发挥重要作用的数学工具。
它们通常是定义在某个数学领域中的实数函数，能够对较复杂的函数进行简化和刻画，从而推导出一些重要的结论。
本文将主要探讨辅助函数在代数学、微积分学和概率论中的应用。
一、代数学中的应用在代数学中，辅助函数通常被用来简化多项式或者有理函数的因式分解。
其最基本的形式是Ruffini的余式定理，用于判断一个多项式是否能够被某个线性因式整除，如果整除，则得到一个余式。
余式可以作为辅助函数使用，帮助我们在代数计算中更快更准确地求解问题。
另一个重要的应用是用辅助函数推导出多项式的根和系数。
比如，假设我们要求出一个三次多项式$ax^3+bx^2+cx+d$的根和系数，我们可以通过一个辅助函数$f(x)=x^3+px+q$来实现。
我们将这个函数乘以$a$，得到$af(x)=ax^3+apx+aq$。
我们可以想到，如果我们能够找到一个有理数$s$，使得$af(s)=bs^2+cs+d$，则$s$就是原多项式的一个根，而$b,c,d$就可以通过借助$s$来求出来。
二、微积分学中的应用在微积分学中，辅助函数可以用来简化函数的极值求解。
例如，假设我们要求解函数$f(x)=x^3-3x^2+3x+1$的最小值，我们可以借助一个辅助函数$g(x)=x^3+3x^2+3x+1$。
比较$g(x)$和$f(x)$的展开式，我们可以看出，$g(x)$与$f(x)$的差别仅在于前三项。
因此，$g(x)$的极值点也会与$f(x)$的极值点相同。
我们可以通过求$g(x)$的导数，并令其等于零来求出$g(x)$的极值点。
这些极值点即为$f(x)$的极值点。
另一个重要的应用是辅助函数法求解积分。
辅助函数可以用来转换一些比较难求解的积分成为可以容易求解的积分，并且通常会得到封闭式解。
比如，$f(x)=\\int\\frac{x^2+2x+2}{(x+1)(x+2)^2}dx$，如果我们作一个辅助函数$g(x)=\\frac{A}{x+1}+\\frac{B}{x+2}+\\frac{C}{(x+2)^2}$，其中$A,B,C$都为待定系数，则我们就可以通过比较分母系数的方式，解出$A=-2$，$B=4$，$C=-2$。
有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告
有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究开题报告开题报告有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究一、选题的背景、意义1.辅助函数构造法背景当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时,可根据题设条件和结论特征、性质展开联想,进而构造出解决问题的特殊模式??构造辅助函数。
辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法,在数学分析中具有广泛的应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法,在解题时,常表现为不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
通过查阅现有的大量资料发现,现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多,其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路,但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。
通过构造辅助函数,可以解决数学分析中众多难题,尤其是在微积分学证明题中应用颇广,且可达到事半功倍的效果。
2.研究现状及发展趋势辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具,对它的研究从没中断过,众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究,也取得了很多学术成果。
辅助函数构造法在数学的发展过程中,有着非常重要的地位,许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决,所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中,它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。
本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路,现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。
相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。
二、相关研究的最新成果及动态本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用,而其中主要分三部分内容,一是通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导,尤其是其中辅助函数的构造思想;二是讨论有关中值命题证明中辅助函数构造的方法,归纳罗列出几种常见的方法,从而方便的解决有关中值命题的证明;三是在具体的题目中运用所罗列的构造法,体味构造法的思想。
辅助函数法在高等数学中的应用.1pdf
钟卫稼
（华东交通大学基础科学学院）
摘要辅助函敷在高等数学的解题及理论证明已经越来越被广泛地运用，若选择适当的辅助函数可以使解题或理论证明思路简 洁，步骤清晰节减，不失为一种较有效的方法：
关键词辅助函数导数中值定理
１ 辅助函数在理论证明中的应用
大家都知道微分中值定理中辅助函数直接奠定了证明的基础，特 别在拉格朗日中值定理即柯西中值定理的征明中更是运用得淋漓尽 致．使人不得不佩Ｈ陵科学家们的想象力。在拉格朗Ｈ定理证明中为了 能应用罗尔定理我们做了这样—个辅助函数：
只有令：辅助函数
，（Ｊ）＝ｆ∞¨·，（工）＇ ·．·Ｆ（ａ）＝一“ｆ（ａ）＝０＝Ｆ（ｂ）＝２０ ｒｂ，（６）
，１ｆ）＝２０１ｅ∞。善，ｒｆ）＋ｆ加峙，，（善）＝ｏ ｊ ２０１ｆ（ｆ）＋ｆ’（善）＝０
即得结论。 这里辅助函数的设定在具体题目中还是具有一定的技巧性的．例 如下面一题在辅助函数的没置上也是具有一定的特性的： 倒２已知函数，（Ｊ）在闭区ｌ’ＨＪ ｌ ｏ’Ｉｌ上连续，在开区间（０．１）内可 导，且ｆＯ）＝ｏ．试证：在开区间（ｏＪ）内至少存在一点ｆ，使得
‘收稿日期：爿ｍ。
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
钟卫稼 华东交通大学基础科学学院
内江科技 NEIJIANG KEJI 2008，29(4) 0次
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7.期刊论文 张翔.刘晓波 微积分在不等式证明中的应用研究 -现代商贸工业2010,22(4)
利用微积分证明不等式,其中包括拉格朗日中值定理、函数单调性、函数的最值、曲线的凹凸性、构造辅助函数、运用导数积分等方法,给出一些主 要的证明方法,并举例加以说明应用.
开题报告
学生姓名学号指导教师职称所选题目名称：关于中值定理应用中辅助函数的构造课题研究现状：微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
微分中值定理常是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理这三个定理,后两个定理的证明都是作辅助函数利用罗尔定理而得.辅助函数的作法是应用中的难点,也是整个分析教学中的难点,因此在讲解过程中讲清楚辅助函数作法的思想与方法就显得尤为重要.课题研究目的：在解决中值定理方面的应用问题时，经常需要使用辅助函数，于是，如何构造辅助函数便成为解决问题的关键。
当遇到一些复杂性证明时.往往不能直接运用微分中值定理来证明,需要构造一些辅助函数,通过对这个辅助函数做一系列的分析、变形、化简、求导等得到结论中的形式.而一般来说这个辅助函数是不容易做的。
通过对微分中值定理证明题常见结论的剖析,提出了辅助函数作法的几种模式,探讨作辅助函数的规律和方法。
课题研究要点：一般地，构造辅助函数可以沿着两条路去思考：一是如果考察的问题有明显的几何意义，则可以凭借几何直观引出必然联系来构造函数。
二是通过恒等变形，把原问题转化为等价的更为简洁的形式，从中找出必然联系，便能构造出辅助函数。
通过对微分中值定理证明题常见结论的剖析,提出了辅助函数作法的几种模式,探讨作辅助函数的规律和方法。
课题进度安排：1.2009年11月4日前完成毕业论文(设计)网上选题工作。
2.2009年11月27日前完成毕业论文开题工作。
3.2010年1月8日前完成毕业论文第一稿.4.2010年3月-2009年5月，对毕业论文修改加工，不断完善。
5.2010年6月前提交规范的毕业论文，论文答辩。
主要参考文献：[1]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M].高等教育出版社,2006.4[2]华东师范大学数学系. 数学分析[M].高等教育出版社,1991[3]邓乐斌编. 数学分析理论、方法与技巧.华中科技大学出版社[M],2006.5[4]徐兴亚，夏海峰. 数学分析选讲[M].同济大学出版社,2008.8[5]裘兆泰，王承国. 数学分析学习指导[M].科学出版社,2004.4[6]朱崇山，王承国. 微分中值定理应用中辅助函数的构造[J].高等函授学报。
辅助函数在数学中的应用 开题报告
2月28日—4月18日：完成实验、实践等研究工作，完成中期报告，汇报课题的完成情况。
5月1日以前：完成毕业论文初稿，修改初稿，并形成论文第二稿。
5月1日—5月12日：在老师指导下进一步修改二稿论文，形成论文正稿。
5月12日—5月23日：提交毕业论文，准备论文答辩。
指导教师意见
指导教师签字______年月日
院（系）审核意见
负责人签字______年月日
备注：此报告应根据下达的毕业设计（论文）任务书，在指导教师的指导下由学生独立撰写。
研究方法：
理论研究法
文献研究法
举例论证法
研究步骤：
1．通过中国知网等文献库，查阅国内外相关文献资料，把握住研究的大致方向。
2．研读不同版本《构造辅助函数法在高等数学中的应用》、《关于构造辅助函数的意义和技巧》、《辅助函数在数学分析中的应用》等了解到辅助函数的必要性和重要性。并在图书馆、网站搜集与辅助函数构造及应用相关的书籍、文章。
研究基本内容、拟解决的主要问题
研究基本内容：
主要研辅助函数常用构造方法及辅助函数在数学中的一些具体应用，领会辅助函数在解决某些数学问题中的巧妙应用，并能结合具体题目特点，构造适当辅助函数解决。
拟解决的主要问题：
辅助函数的常用构造方法
辅助函数在数学某些证明中的应用。
辅助函数在某些数学解题中的应用
研究方法、步骤及措施
3．整理资料，进行归纳总结与探究分析，在老师的指导下做好毕业设计。
研究措施：
仔细研读相关教材，大量搜索相关文献，和指导老师保持紧密联系，在老师的指导下完成论文的写作。
研究进度计划
2015—2016学年上期：
1月3日前：完成开题报告。
构造辅助函数的开题报告
构造辅助函数的开题报告1. 研究背景与意义辅助函数是编程中常用的一种工具，它们用于简化复杂的过程或重复的代码，并提供重要的功能支持。
构造辅助函数的目的是为了提高编程效率、减少代码冗余，使代码更易读、易维护。
本文旨在研究构造辅助函数的方法和技巧，以及它们在实际开发中的应用，探索如何更好地利用辅助函数提升编程效率。
2. 研究内容和方法本研究将围绕构造辅助函数展开，主要研究以下内容：2.1 辅助函数的定义和特点辅助函数是一个独立的功能模块，它接受参数并返回一个值或执行一些操作。
辅助函数通常用于封装常用代码片段，实现某些特定功能。
本研究将对辅助函数的定义和特点进行深入分析，明确其在编程中的作用和价值。
2.2 构造辅助函数的方法和技巧构造辅助函数需要一定的方法和技巧。
本研究将探讨如何选择辅助函数的输入和输出，如何设计函数的参数和返回值，以及如何提高函数的可复用性和可扩展性。
研究过程中将运用实例进行说明，以便更好地理解和掌握构造辅助函数的方法和技巧。
2.3 辅助函数在实际开发中的应用本研究将以实际案例为例，介绍辅助函数在实际开发中的应用。
通过分析和比较不同辅助函数的实现方式和效果，探索如何根据具体需求选择和使用辅助函数，以提高开发效率和代码质量。
本研究将运用实证研究的方法，通过实例的分析和比较，总结出构造辅助函数的一些通用方法和技巧，并对其应用进行评估。
3. 预期成果本研究预期能够总结出构造辅助函数的一些常用方法和技巧，帮助开发者更好地应用辅助函数进行编程。
同时，本研究将给出辅助函数的一些实际应用案例，并分析其效果，以供开发者参考和借鉴。
本研究的成果有助于提高编程效率、减少代码冗余，使代码更易读、易维护。
同时，通过通用方法和技巧的总结，开发者能够更好地利用辅助函数提升开发效率和代码质量。
4. 进度安排本研究的进度安排如下：•第一周：查阅相关文献资料，了解辅助函数的基本概念和常用方法；•第二周：分析辅助函数的特点，总结构造辅助函数的一些通用方法和技巧；•第三周：选择适当的案例，通过实例分析和比较，评估不同辅助函数的效果；•第四周：总结研究成果，撰写开题报告；•第五周：根据反馈意见完善开题报告，开始正式的研究工作；•第六周至第八周：开展实证研究，总结构造辅助函数的方法和技巧，并给出实际应用案例；•第九周至第十周：撰写研究论文，整理实验数据和分析结果；•第十一周：进行论文的初稿修改和完善；•第十二周：最终提交论文，并准备答辩。
全局优化中辅助函数法的研究的开题报告
全局优化中辅助函数法的研究的开题报告题目：全局优化中辅助函数法的研究一、选题背景及意义全局优化在实际问题中有着广泛的应用，如化学反应、计算机辅助设计、机器学习等领域。
辅助函数法是一类常用的全局优化算法，通过引入辅助函数来加速全局搜索过程，并能够在某些情况下证明全局最优解的存在和唯一性。
目前，辅助函数法已经广泛应用于各类实际问题中。
本文将重点研究辅助函数法在全局优化问题中的应用，探索具有一般性的辅助函数构造方法，提高辅助函数法的收敛速度和全局搜索能力，同时研究其算法的理论性质和实际效果。
特别地，我们将研究适用于高维问题的新型辅助函数构造方法，进一步提高辅助函数法在实际问题中的应用效果。
二、研究内容与方法1. 辅助函数法的基本思想和算法流程；2. 常用的辅助函数类型和构造方法，及其适用范围和优缺点；3. 新型辅助函数构造方法的研究和应用，包括特征空间法、参数扩展法等；4. 理论分析和实验验证，对辅助函数法的收敛性、全局最优性和搜索效率进行分析和评估；5. 与其他全局优化算法进行对比，分析辅助函数法在实际问题中的优势和局限性。
研究方法主要有以下几个方面：1. 文献综述：对辅助函数法在全局优化中的应用及研究现状进行调研和分析。
2. 理论研究：对辅助函数法的优化模型和算法进行建模和分析，通过理论推导和分析，探究其性质和优化能力。
3. 算法设计：基于新型辅助函数构造方法，设计和实现具有高效性和可扩展性的全局优化算法，开展真实问题的验证实验。
4. 实验验证：通过大量实验数据的分析和比较，对比不同算法的优劣，验证辅助函数法在全局优化问题中的效果和应用价值。
三、预期成果1. 总结和归纳辅助函数法在全局优化中的应用及研究现状，探究其优点和不足；2. 提出适用于高维问题的新型辅助函数构造方法，具有一定的理论基础和实际效果；3. 设计和实现具有高效性和可扩展性的全局优化算法，实现实际问题的求解，并验证算法的实际效果；4. 分析和比较不同算法的优劣，提出改进方案，探究辅助函数法在全局优化问题中的应用前景和发展方向。
辅助函数在高等数学解题中的作用
辅助函数在高等数学解题中的作用
【摘要】本文介绍了解题中一个常用有效的方法—辅助函数解题法.通过微分学、无穷级数、方程根等方面问题的研讨，说明了辅助函数在高等数学解题中的重要作用.
【关键词】辅助函数；微分中值定理
引言
一、在求方程的根中的应用
（一）解方程
（二）求矩阵函数的特征根
二、在微分学中的应用
（一）结合微分中值定理证明等式及不等式
引理1（罗尔（Rolle）中值定理）若函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间上连续，
（ⅱ）在开区间内可导，
（ⅲ），
则在内至少存在一点，使得.
引理2（拉格朗日（Lagrange）中值定理）若函数满足如下条件：
（ⅰ）在闭区间上连续，
（ⅱ）在开区间内可导，
则在内至少存在一点，使得
现利用上面两个定理证明下面两例题：
例3：设在上可微，证明：存在使成立
.
证明：设辅助函数
则在上连续，在上可导，
又，故由Rolle定理知存在，使.
即，
故命题得证.
例4：证明不等式.
分析：观察不等式，发现中间部分正好是对数，左端是分式（右端也可以看成是分式），而对数的导数正好是分式，因而不难想到借助拉格朗日定理来证明.
二）论证方程根的存在性
三、在无穷级数中的应用
（一）求和式的极限
（二）求级数的和
它的是构造相对应的函数项级数，结合微分法或积分法，从而求出原级数的和.
三、结束语
通过引入辅助函数还可解决其他的数学问题.辅助函数法是解题中的一个常用有效的方法，在我们解决各类数学问题时，可通过观察，大胆猜测、推理，利用转化思想，构造出合适的辅助函数，直接或间接利用函数的性质来解决问题，从而达到事半功倍的效果.。
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研究基本内容：
主要研究辅助函数常用构造方法及辅助函数在数学中的一些具体应用，领会辅助函数在解决某些数学问题中的巧妙应用，并能结合具体题目特点，构造适当辅助函数解决。
拟解决的主要问题：
辅助函数的常用构造方法
辅助函数在数学某些证明中的应用。
辅助函数在某些数学解题中的应用
研究方法、步骤及措施
2月28日：完成英文文献翻译。
2月28日—4月18日：完成实验、实践等研究工作，完成中期报告，汇报课题的完成情况。
5月1日以前：完成毕业论文初稿，修改初稿，并形成论文第二稿。
5月1日—5月12日：在老师指导下进一步修改二稿论文，形成论文正稿。
5月12日—5月23日：提交毕业论文，准备论文答辩。
指导教师意见
毕业设计（论文）开题报告
设计(论文)题目辅助函数在数学中师范类）
年级2012级1班
学生学号
学生姓名
指导教师
制
综述本课题研究动态、选题目的及意义
研究动态
构造辅助函数法在数学领域中被广泛的运用着，他们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。构造辅助函数的实质就是在解题时不对问题本身求解,而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解，它具有直观性和可行性这两个显著的特性。构造辅助函数法的内涵十分丰富，没有固定的模式和方法,构造过程充分体现出了数学的发现、类比、逆向思维及归纳、猜想、分析与化归等思想.使用构造辅助函数法是一种创造性的思维活动。
研究方法：
理论研究法
文献研究法
举例论证法
研究步骤：
1．通过中国知网等文献库，查阅国内外相关文献资料，把握住研究的大致方向。
2．研读不同版本《构造辅助函数法在高等数学中的应用》、《关于构造辅助函数的意义和技巧》、《辅助函数在数学分析中的应用》等了解到辅助函数的必要性和重要性。并在图书馆、网站搜集与辅助函数构造及应用相关的书籍、文章。
选题目的及意义
数学教育家G波利亚指出：“人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时，他就会绕过去，当原来的问题看起来似乎不好解时，就想出一个合适的辅助问题。”在数学中灵活合理地引入辅助函数,可以很简便地解决一些证明问题,常可使论证过程简洁明了,用好辅助函数法能起到事半功倍的效果。在教学中应重视这种思想方法的引导和渗透,多加训练,归纳总结,使学生切实掌握,这不仅可以提高学生的解题能力,也可以进一步提高学生的数学素质,培养数学能力，对培养学生的创造性思维也有重要作用。因此，本课题对辅助函数的构造方法及其在数学中的应用的综合性研究具有十分重要的意义。
3．整理资料，进行归纳总结与探究分析，在老师的指导下做好毕业设计。
研究措施：
仔细研读相关教材，大量搜索相关文献，和指导老师保持紧密联系，在老师的指导下完成论文的写作。
研究进度计划
2015—2016学年上期：
1月3日前：完成开题报告。
1月6日—1月18日：按所选课题借阅图书资料，为论文的撰写做准备。
2015—2016学年下期：
指导教师签字______年月日
院（系）审核意见
负责人签字______年月日
备注：此报告应根据下达的毕业设计（论文）任务书，在指导教师的指导下由学生独立撰写。