空间曲线及其方程

1y
四、曲线的一般方程与参数方程互化
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
展示空间图形
x 1
(1)
y2
z
oo
1
x
z 4 x2 y2 (2) y x 0
z
2y
o
2y
x
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z
a
oa
y
x
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
z
x2 y2 1 49 y3
2 x
思考: 对平面 y b
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
z
z
x
x2 y z0
2
ax
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0)
规定： 0 r ,
• M(x, y,z)
0 2,
z .
or
•
y
P(r, )
x
柱面坐标与直角 坐标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1, z 0.
源自文库
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
附：柱面坐标
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
y
x
球面坐标
设 M( x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数 r，， 来确定． 如图，
z
r • M(x, y,z)
规定：0 r , 0 , 0 2.
z
o
x
A
•
y
(r , , )称为点M的球坐标
x yP
x r sin cos ,
球面坐标与直角坐标的关系为
y
r
C
:
x2
(
y
1)2
(z
1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
o
1y
x
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
Co x
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x T
(
C
x,z) y0
0
例如,
x2 y2 z2 1
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、曲线的一般方程与参数方程互化
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
G(x, y, zS) 2 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
o 1y
x
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
二、空间曲线的参数方程
z
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成
参数t 的函数:
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 t
o
M
•
x A M y
令 t , b v
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
三、空间曲线在坐标面上的投影
y
0
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
sin
sin
,
z r cos .
球坐标的三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．