空间曲线及其方程
高等数学 -空间曲线及其方程
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
2C
y
sin
1 x
,
,
求证： lim f (x, y) 0.
x0
y0
证： f (x, y) 0
x y
xy 0 xy 0
要证
ε
ε 0, δ ε 2,当0 ρ x2 y2 δ 时，总有
故
lim f (x, y) 0
x0
y0
证： Q 0 f (x, y)
x y 0 x 0, y 0
若对任意给定的 , 点P 的去心
E
邻域
内总有E 中的点 , 则
称 点P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为
E 的边界点 )
所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
• E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
• 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ;
• 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E
的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 .
显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的
边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
空间曲线及其方程
平行于x轴的柱面
投影柱面
yoz面上的投影Cyoz为线段：
z
x
10,
| y | 1
（3）同理xoz面上的投影Czox也为线段:
z
y
10,
| x | 1.
15
例7 求抛物面 y2 z2 x 与平面 x 2 y z 0
的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. z
解 截线C的方程为:
y2 z2 x
y
x 2y z 0
如图,
o
x
16
（1）消去z ，得 C 在 xoy 面上的投影：
x2 5 y2 4xy x 0
,
z 0
（2）消去y ，得 C 在 zox 面上的投影：
x2 5z2 2xz 4x 0
,
y 0
（3）消去 x，得 C 在 yoz 面上的投影：
y2 z2 2y z 0
F( x, y, z) 0 G( x, y, z) 0
消去x
C yoz
:
x0 R( y, z)
0
C在zox 面上的投影 Czox:
F( x, y, z) 0 消去y G( x, y, z) 0
C z ox
:
T ( x, z)
y
0
0
9
例4
C
:
x
2
x2 (y
y2 1)2
z2 1 (z 1)2
.
x 0
17
四、一元向量值函数
1. 基本概念
(1) 一元向量值函数
r r(t), t I
其中r
xi
yj
zk ,
空间曲线的向量形式
r(t )
x(t)i
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
空间曲线及其方程
-0.5 -1
0
x
0
1
2
0.5
1
y
0.1
0.05
x
z
0
-0.05 x
-1
-0.1
-0.5
0
0.25
0.5
0.75
1
0
0.5 y
1
例6
求曲线 C:z z
4x2 y2 3(x2 y2)
z
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 从方程组消去 z, 得
x2 y2 1.
Co
x
所以曲线C在 xoy 面的投影曲线为
2
4
xa2a2cots
y
a 2
sint
(0t2)
za
1 2
12
c
ots
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C的一般方程为
z
F(x, y,z) 0, G(x, y,z) 0.
C
y
从 方 程 组 中 消z去 后变 得量 到 方 程
H(x, y)0.
x C
当x、y和z满 足 方 程 , x组 、y必 时定 满 足, 方 这 说 明C曲 上线 的 所 有 点 都 所在 表由 示方 的程 面 上 .
y2
4x
0.
例1 方程组 x2y2 1, 表示怎样的 ? 曲线
2x3z6
z
解 因为 x2y21表示圆, 柱面
2
C
2x3z6表 示 平. 面
x2 y2 2x3z
1 表 6
示
二
者
的.
交线o
10
10
x
5
空间曲线及其方程
1第四节空间曲线及其方程⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.xozy1S 2S C空间曲线C 可看作空间两曲面的交线.特点：一、空间曲线的一般方程2方程组表示怎样的曲线？⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 解122=+y x 表示圆柱面，6332=++z y x 表示平面，⎩⎨⎧=++=+6332122z y x y x 交线为椭圆.例13方程组表示怎样的曲线？⎪⎩⎪⎨⎧=+---=4)2(222222a y a x y x a z 解222yx a z --=上半球面,4)2(222a y a x =+-母线平行于z 轴的圆柱面,交线如图.例2Oxyz准线为xOy 面上的圆, 圆心在点.2),0,2(a a 半径为4⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 消去变量z 后得：0),(=y x H 曲线关于的投影柱面xoy 设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：二、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.投影柱面空间曲线投影曲线56类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩⎨⎧==00),(y z x T 面上的投影曲线,yoz 面上的投影曲线,xoz ⎩⎨⎧==00),(z y x H 空间曲线在面上的投影曲线xoy7求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x （1）消去变量z 后得,4322=+y x 在面上的投影为xoy ,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 解例38求曲线在坐标面上的投影.⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 解例3所以在面上的投影为线段.xoz ;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在面上的投影也为线段.yoz .23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z (2) 因为曲线在平面上，21=z9求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(342222y x z yx z 在xOy 面上的投影.消去z 得：122=+y x ,所求投影为圆周⎩⎨⎧==+0122z y x . 注：所围立体在xy 面上的投影为：122≤+y x .即上半球面与圆锥面的交线.解例4。
同济版高等数学第六版课件第八章第六节空间曲线及其方程
直角坐标方程是另一种描述空间曲线 的方法，它由一个方程组组成，表示 曲线上任意一点的坐标与三个直角坐 标轴之间的关系。
02
空间曲线的方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的一般方程是两个三维空间 的方程联立得到的，通常表示为： F(x,y,z)=0 和 G(x,y,z)=0。
一般方程描述了空间中曲线的形状和 位置，通过解方程组可以求得曲线上 点的坐标。
参数方程
参数方程是描述空间曲线 的一种常用方法，其中参 数的变化反映了曲线上点 的运动轨迹。
空间曲线的弯曲程度
曲率
曲率描述了曲线在某一点 的弯曲程度，曲率越大， 弯曲程度越剧烈。
挠率
挠率描述了曲线在某一点 的方向变化速率，与曲线 的形状和类型有关。
曲率和挠率的关系
曲率和挠率共同决定了空 间曲线的弯曲程度和形状 。
原曲线与投影曲线的位置关系
通过比较原曲线和投影曲线的形状，可以确定它们之间的位 置关系，如相交、相切或相离。
投影曲线的面积与原曲线的关系
投影曲线面积的求解
根据投影曲线的方程，利用定积分计算其面积。
投影曲线面积与原曲线的关系
通过比较投影曲线面积和原曲线的面积，可以分析它们之间的数量关系，如相等 、成比例或相差一个常数倍。
02
极坐标方程的一般形式为：ρ=ρ(θ)，其中 ρ 是极径，θ是极角
。
极坐标方程可以用来表示各种形状的空间曲线，如球面曲线、
03
柱面曲线等。
03
空间曲线的性质
空间曲线的方向
01
02
03
方向向量
空间曲线的方向由其上的 方向向量决定，方向向量 表示了曲线上任意两点的 相对位置。
切线向量
8.4曲面、曲线及其方程
z2
1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
球 面
(ii)抛物线 y2 2 pz绕 z 轴； ( Ellipsoid )
x 0
旋转抛物面
x2 y2 2 pz
( Paraboloid )
例9 . 试求顶点在原点且包含3个坐标轴的圆锥面方程.
解:所求的圆锥面可以看成是由 x 轴绕“过原点的旋转 轴,其旋转轴的方向为 OS (1，1，1) 旋转而成的.
f y, x2 z2 0.
绕哪个 轴旋转,该轴所对应的变量不变, 另一个变 量用其它两个变量的平方和的算术平方根(加±号) 代替。
例6. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z轴,半顶角
为 的圆锥面方程.
z
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z轴旋转时,圆锥面的方程为
L
M1(0, y1, z1)
第四、五节 空间曲面、空间曲线 及其方程
一、空间曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 四、空间曲线方程的概念 五、空间曲线在坐标面的投影
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z),则 AM BM ,即 (x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
其中: OM (x, y, z),OM1 (t,0,0) 代入上式得
| OS OM | | OS OM1 | | OS || OM | | OS || OM1 |
化简得 2x 6 y 2z 7Fra bibliotek 0说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.
曲面与空间曲面的总结
曲面与空间曲线的总结椭圆柱面；12222=+yx 122=-y x曲面与空间曲线一.曲面及其方程：1.曲面方程的一般概念： 定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为 该曲面的方程，而曲面称为此方程的‘图形’。
例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。
解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得此即所求点的规迹方程，为一平面方程。
2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： ①坐标平面xOy 的方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程：z=c③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程：①球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R 为半径 的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。
例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。
4.母线平行于坐标轴的柱面方程：一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。
其中直线l 称为柱面的母线，定曲线c 称为柱面 的准线。
本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。
此时有以下结论：若柱面的母线平行于z 轴，准线c 是xOy 面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。
分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。
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C
:
x2
(
y
1)2
(z
1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
o
1y
x
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线
z
在 xoy 面上的投影பைடு நூலகம்线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
Co x
z
2y
o
2y
x
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z
a
oa
y
x
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
z
x2 y2 1 49 y3
2 x
思考: 对平面 y b
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
z
z
x
x2 y z0
2
ax
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0)
1y
四、曲线的一般方程与参数方程互化
例1. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
展示空间图形
x 1
(1)
y2
z
oo
1
x
z 4 x2 y2 (2) y x 0
2C
o 1y
x
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
二、空间曲线的参数方程
z
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成
参数t 的函数:
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 t
o
M
•
x A M y
令 t , b v
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x T
(
C
x,z) y0
0
例如,
x2 y2 z2 1
y
0
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
例 设一个立体,由上半球面 z 4 x2 y2 和 z 3( x2 y2 )锥面所围成,求它在 xoy 面上的投影.
解 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
sin
sin
,
z r cos .
球坐标的三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
则交线 C 在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1, z 0.
一个圆,
所求立体在 xoy 面上的投影为
x2 y2 1.
附：柱面坐标
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标． z
y
x
球面坐标
设 M( x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数 r，， 来确定． 如图，
z
r • M(x, y,z)
规定：0 r , 0 , 0 2.
z
o
x
A
•
y
(r , , )称为点M的球坐标
x yP
x r sin cos ,
球面坐标与直角坐标的关系为
y
r
规定： 0 r ,
• M(x, y,z)
0 2,
z .
or
•
y
P(r, )
x
柱面坐标与直角 坐标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
z
• M (x, y, z)
z
or
• P(r, )
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、曲线的一般方程与参数方程互化
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
G(x, y, zS) 2 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.