随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB实现

随机信号及其自相关函数和功率谱密度的MATLAB 实现

摘要：

学习用rand 和randn 函数产生白噪声序列；学习用MATLAB 语言产生随机信号；学习用MATLAB 语言估计随机信号的自相关函数和功率谱密度。利用xcorr,xcov 以及pwelchMATLAB 函数估计随机信号的自相关函数、自协方差以及功率谱密度。 关键词：

随机信号 自相关系数 功率谱密度 实验原理:

随机信号X(t)是一个随时间变化的随机变量，将X （t ）离散化，即以Ts 对X （t ）进行等间隔抽样，得到随机序列X(nTs),简化为X(n)。在实际工作中，对随机信号的描述主要是使用一、二阶的数字特征。如果X （n ）的均值与时间n 无关，其自相关函数Rx(n1,n2)与n1,n2的选取无关，而是依赖于n1,n2之差，即：

()[]x

m n X E =

()()

1221,n n R n n R x -=

即称X （n ）为宽平稳随机序列。宽平稳随机信号是一类重要的随机信号，实际中的大部分随机信号都可以认为是宽平稳的。

对一平稳序列X(n),如果它的所有样本函数在某一固定时刻的一、二阶特性和单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则

称X(n)为各态历经序列。对于各态历经序列，可像确定性的功率信号那样定义一、二数字特征。

设X(n)是各台历经序列X(n)的一个函数，对X(n)数字特征可重新定义如下： 均值：

[]∑-=∞

→=+==N

N

n x

N x m

n x N n X E m )(121

lim

)(

自相关函数：

()[]∞

→-=∑=

++=+=N N

N

n x x m R m n x n x N m n X n X E m R )

()()(121

lim

)()(

自协方差函数：

()(){}(){}[]()2

x

x x x x m m R m m n X m n X E m C -=-+-=

具有各态历经的随机信号，由于能够使用单一的样本函数做时间平均，以求得均值和自相关函数，所以在分析和处理信号时比较方便。在实际工作中，往往先假定信号是平稳的，假定它是各态历经的。在此，我们不加说明地认为所讨论的信号都是平稳的和各态历经的，并将随机序列X （n ）改为x(n)。 随机序列的功率谱密度定义为：

()()∑∞

-∞

=-==

m x jwm

x

x m R DTFT e

m R w S )]

([

功率谱密度反映了信号的功率随频率的分布，在信号处理中占有重要的地位。然而，实际中由该定义式几乎不可能得到信号的真是功率谱密度，因此只能用所得到的有限长数据予以估计。

编制MATLAB通用程序，估计一任意指定截止频率的高斯带通白噪声的自相关函数、自协方差函数以及功率谱密度。要求将图形窗口分割成4块，分别显示带通白噪声的时域信号以及自相关函数、协方差函数和功率谱密度函数曲线，并将所有图像添加栅格线和标题。

任务程序：

a=randn(2000,1);

wc=[0.45,0.65];N=79;window=blackman(N+1);

h=fir1(N,wc,window);

x=filter(h,1,a);

subplot(2,2,1),plot(x),title('时域信号'),grid on

[c,n]=xcorr(x,10,'coeff');

subplot(2,2,2),stem(n,c,'filled'),title('自相关函数'),grid on

[b,m]=xcov(x,10,'coeff');

subplot(2,2,3),stem(m,b,'filled'),title('协方差函数'),grid on

subplot(2,2,4),pwelch(x,33,32,[],500),title('概率密度函数'),grid on

波形如图：

通过本次试验，学会了用rand和randn函数产生白噪声序列，学习了用MATLAB语言产生随机信号，学习了用MATLAB语言估计随机信号的自相关函数和功率谱密度，学会了使用xcorr,xcov以及pwelch等MATLAB函数估计随机信号的自相关函数、自协方差及功率谱密度的方法。通过本次实验，对随机信号部分的知识，有了一个全新的认识。