微积分3-2-2复合函数的求导法则

1 1 ( x)' y' loga ( x)' x ln a x ln a
csc x 2
csc x 2 cot x 2
x0
x0
1 loga | x |' x ln a ( x 0)
微
积
分
练习
1.求函数 y ( x 1) 的导数 .
2 10
2.求函数 y f ( x 1) 的导数 , 其中f (u)可导.
f (u ) (v) ( x)
u
v
x
微
积
分
复合函数求导的关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例6 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
cos x dy dy du 1 cot x cos x sin x dx du dx u
f (u) g ( x)
微
积
分
dy dy du f (u ) g ( x) dx du dx
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导, 乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
y
例如,
d y d y d u dv d x d u dv d x
微
积
分
第三章
第二节 求导法则
一、四则运算求导法则 二、复合函数求导法则 三、反函数的求导法则
四、初等函数的求导问题
微
积
分
二、复合函数求导法则
定理3.
可导
在点 x 可导,
复合函数
dy f (u ) g ( x) dx
在点
在点 x 可导, 且
y 证: y f (u ) 在点 u 可导, 故 lim f (u ) u 0 u y f (u )u u （当 时 ) y y u u f (u ) 故有 f (u ) ( x 0) u x x x dy y lim lim d x x 0 x x 0
微
积
分
例7. 求下列导数: : (1) ( x ) (e
ln x
)
( ln x)
x
1
x
(2) ( x x ) (e x ln x )
( xln x) x x ( ln x 1)
e x e x e x e x (3) (sh x) 2 2 说明: 类似可得
必要时，先 进行化简， 再求导
微
积
csc x 2
分
例11 求 y e
, y loga | x | 的导数．
解：y' ecsc x2 (csc x2 )' ecsc x2 (csc x2 cot x2 ) ( x2 )'
2 xe
1 y' loga x ' x ln a
微
积
分
x2 1 例10 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
解:
1 1 2 y ln( x 1) ln( x 2), 2 3
1 1 1 y 2 2x 2 x 1 3( x 2) x 1 2 x 1 3( x 2)
1
1 2 x 1
2
2x

x2 1
2
即 arsh x ln ( x x 1) , 则 1 (arsh x) 2 x 1 同理有 (ar c h x ) [ln(x x 1)]
2
e x e x sh x 2 的反函数
1 x2 1
1 1 x 1 (ar t h x ) ( ln ) 2 1 x 1 x2
1 (ch x) sh x ; (th x) 2 ;
ch x
x
x
e x e x sh x 2
ch x
(a ) a ln a .
a x e x ln a
sh x th x ch x
微
积
分
例8. 设 解:
求
1 x x ( sin( e )) e cos(e x )
2
作业：第2(2)
微
积
分
3. 设 y f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导 , 求 y. 解:
e x tan(e x )
思考: 若
存在 , 如何求 f (ln cos(e x )) 的导数?
df f ( ln cos( e x ) ) (ln cos( e x )) dx
这两个记号含义不同
f (u ) u ln cos(e x )
微
积
分
例9. 设 解:
1

x x2 1 1