高考数学文优化方案一轮复习课件第8第四直线与圆圆与圆的位置关系苏教江苏专用

圆与圆的位置关系
1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆 圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不 采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程 可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0 和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在直线方程； (3)求公共弦的长度．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
第 四 节
直
双基研习·面对高考
线
与
圆 、
考点探究·挑战高考
圆
与
圆 的
考向瞭望·把脉高考
位
置
关
系
双基研习·面对高考
Hale Waihona Puke 基础梳理1．直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋ (y－b)2＝r2(r>0)的位置关系 (1)几何方法： 圆心(a，b)到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离 d＝|Aa＋Bb＋C|，
≤2(AC2＋BD2)＝40.
故 AC＋BD≤2 10，即 AC＋BD 的最大值为 2 10.
方法感悟
方法技巧 1．在直线与圆的位置关系中，直线与圆相切时 ，求切线和相交时研究与弦长有关的问题是两个 重点内容；求切线时，若知道切点，可直接利用 公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直 线的距离等于半径来求，但注意有两条．
(2)若 a＝ 2，过点 M 的圆的两条弦 AC， BD 互相垂直，求 AC＋BD 的最大值．
解：(1)由条件知点 M 在圆 O 上， 所以 1＋a2＝4.则 a＝ ± 3. 当 a＝ 3时，点 M 为(1， 3)，kOM＝ 3， k 切线＝－ 33，
此时切线方程为 y－ 3＝－ 33(x－1)， 即 x＋ 3y－4＝0.
2．圆与圆的位置关系 (1)几何方法： 两圆 (x－ a1)2＋(y－ b1)2＝ r21 (r1>0)与 (x－ a2)2＋ (y－b2)2＝r22(r2>0)的圆心距为 d，则：
_d_>_r_1_＋__r2__⇔两圆外离； _d_＝__r_1＋__r_2___⇔两圆相外切； _|r_1_－__r_2|_<_d_<_r_1＋__r_2__⇔两圆相交； _d_＝__|r_1_－__r_2|_⇔两圆内切； _0_≤_d_<_|_r1_－__r_2|__⇔两圆内含(d＝0时为同心圆)．
当 Δ＜0 时，即－43＜m＜0 时，直线与圆相离，即直
线与圆没有公共点．
法二：已知圆的方程可化为：(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为(2,1)，半径 r＝2. 圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离
d＝|2m－1－m－1|＝ |m－2| .
当 即直d＜线2与时1圆＋，有m即两2 m个＞公0共或1点＋m；m＜2 －43时，直线与圆相交， 当 即直d＝线2与时圆，只即有m一＝个0公或共m点＝；－43时，直线与圆相切，
使得PQ为定值？若存在，请举出一例，并指出相应 PR
的定值；若不存在，请说明理由．
【思路分析】 (1)由切线意义可求斜率； (2)利用点到直线的距离公式；(3)先假设 存在设出定值，找出关系式计算．
【解】 (1)设切线 l 方程为 y－2＝k(x－4)，
易得|2－4k|＝1，解得
k2＋1
k＝8±1519.
若系数对应相等，则等式恒成立，
λ28－2a＝8， ∴λ24－2b＝4，
λ2 a2＋b2－ 11＝－12，
解得 a＝2，b＝1，λ＝ 2或 a＝25，b＝15，λ＝ 310， ∴可以找到这样的定点 R，使得PPQR为定值． 如点 R 的坐标为(2,1)时，比值为 2；点 R 的坐标
为(25，15)时，比值为
其圆心为 C1(1，－5)，半径 r1＝5 2.
圆心 C1 到直线 x－2y＋4＝0 的距离
d＝|1－2×－5＋4|＝3 5，
1＋－22 设公共弦长为 2l，由勾股定理 r2＝d2＋l2，
得 50＝45＋l2，解得 l＝ 5，
所以公共弦长 2l＝2 5.
【名师点评】 求两圆的公共弦长及公共弦所 在直线方程一般不用求交点的方法，常用如下 方法：
∴x1＝－4 或x2＝0 ，
y1＝ 0
y2＝ 2
所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．
∴两圆的公共弦长为 －4－02＋0－22＝2 5.
法二：两方程联立，得方程组
x2＋ y2－2x＋10y－24＝0 x2＋ y2＋2x＋2y－ 8＝0
，
两式相减得 x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的
方程；
由 x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
直线与圆的综合问题
此类问题包含知识较多，多与方程、向 量、不等式相结合，解决问题时，首先 由直线与圆的知识入手，然后转化为方 程等知识解决．
例3 (2011 年盐城高三调研)已知⊙O：x2＋y2＝1 和点 M(4,2)． (1)过点 M 向⊙O 引切线 l，求直线 l 的方程； (2)求以点 M 为圆心，且被直线 y＝2x－1 截得的弦 长为 4 的⊙M 的方程； (3)设 P 为(2)中⊙M 上任一点，过点 P 向⊙O 引切 线，切点为 Q.试探究：平面内是否存在一定点 R，
思考感悟 若过一点P作圆的切线，用点斜式方程写出 切线方程，并与圆的方程联立，用Δ＝0来求 切线的斜率，若斜率有两解，则切线有两条 ；若斜率有一解，则切线只有一条，这种求 切线方程的方法对吗？
提示：不对．在以上的方法中，还应注意点P 的位置，点P在圆上时，切线只有一条，点P在 圆外时，切线一定有两条，若用以上方法求斜 率值时，只有一解，说明另一条切线的斜率不 存在，即切线还是应该有两条，只不过一条切 线的斜率存在，一条切线的斜率不存在．
3．直角坐标平面内过点P(2,1)且与圆x2＋y2 ＝4相切的直线有________条． 答案：2 4．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－ 4y＝0的位置关系是________． 答案：相交
考点探究·挑战高考
考点突破 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有相离(没有公共点)、 相切(只有一个公共点)、相交(有两个公共点) 三种，判断直线与圆的位置关系主要有两种 方法：一是圆心到直线的距离与圆的半径比 较大小；二是直线与圆的方程组成的方程组 解的个数．
直线 BD 的方程为 y－ 2＝－1k(x－1)．
根据弦长公式 l＝2 r2－d2，
可得 AC＝2
3k2＋k22＋21k＋2，
BD＝2
2k2－2 2k＋3 k2＋1 .
因为 AC2＋BD2＝
4(3k2＋k22＋21k＋2＋2k2－k22＋21k＋3)＝20，
所以(AC＋BD)2＝AC2＋BD2＋2AC×BD
当 a＝－ 3时，点 M 为(1，－ 3)，kOM ＝－ 3，k 切线＝ 33， 此时切线方程为 y＋ 3＝ 33(x－1)， 即 x－ 3y－4＝0. 所以所求的切线方程为 x＋ 3y－4＝0 或 x－ 3y－4＝0.
(2)法一：设 O 到直线 AC，BD 的距离分别为 d1， d2(d1，d2≥0)， 则 d21＋d22＝OM2＝3. 于是 AC＝2 4－d21，BD＝2 4－d22.
所以 AC＋BD＝2 4－d21＋2 4－d22. 则(AC＋BD)2＝4(4－d21＋4－d22＋2 4－d21 4－d22) ＝4(5＋2 16－4d21＋d22＋d12d22)
＝4(5＋2 4＋d12d22)．
因为 2d1d2≤d21＋d22＝3，所以 d21d22≤94，当且仅当 d1＝d2＝32时取等号，所以 4＋d12d22≤52.所以(AC＋ BD)2≤4×(5＋2×52)＝40，所以 AC＋BD≤2 10， 即 AC＋BD 的最大值为 2 10. 法二：当 AC 的斜率为 0 或不存在时，可求得 AC＋BD＝2( 2＋ 3)． 当 AC 斜率存在且不为 0 时， 设直线 AC 的方程为 y－ 2＝k(x－1)，
A2＋B2 _d_<_r__⇔直线与圆相交； _d_＝__r _⇔直线与圆相切；
_d_>_r__⇔直线与圆相离．
(2)代数方法： 由Axx－＋aB2y＋＋Cy－＝b0，2＝r2，
消元，得到一元二次方程判别式为 Δ，则 _Δ_>_0__⇔直线与圆相交； _Δ_＝__0_⇔直线与圆相切； _Δ_<_0__⇔直线与圆相离．
∴
x2＋y2－1 ＝λ，
x－a2＋y－b2
即 x2＋y2－1＝λ2(x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2)，(*)
又点 P 在圆上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9， 即 x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得：
8x＋4y－12＝λ2[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a2＋b2－11)]．
(2)代数方法：
方程组xx22＋ ＋yy22＋ ＋DD12xx＋ ＋EE12yy＋ ＋FF12＝ ＝00， ，
有两组不同的实数解⇔两圆_相__交___； 有两组相同的实数解⇔两圆__相__切__； 有无数组解⇔两圆重合； 无实数解⇔两圆_外__离__或__内__含___．
课前热身
1．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是 (1,2)，则直线PQ的方程是________． 答案：x＋2y－5＝0 2．(2011年扬州质检)“k＝1”是“直线x－y＋k ＝0与圆x2＋y2＝1相交”的________条件． 答案：充分而不必要
【解】 法一：将直线 mx－y－m－1＝0 代入圆的 方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. ∵Δ＝4m(3m＋4)， ∴当 Δ＞0 时，即 m＞0 或 m＜－43时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点； 当 Δ＝0 时，即 m＝0 或 m＝－43时，直线与圆相切， 即直线与圆只有一个公共点；