初中数学圆与圆的位置关系 ppt课件
初中数学教材解读人教九年级上册第二十四章圆圆的有关性质PPT
)
A.弦的垂线平分弦所对的弧;
B.平分弦的直径垂直于这条弦;
C.过弦的中点的直线必过圆心;
D.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦 且过圆心;
双基训练
5. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3 cm C. 2 3cm D. 2 5 cm
12.已知直径AB被弦CD分成AE=4,
EB=8,CD和AB成300角,则弦CD
的弦心距OF=___1_;CD=_2__3_5_.
D
F
A
B
C
EO
13.已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
(C )
A.1.5cm
B.10.5cm;
C.1.5cm或10.5cm D.都不对;
随堂训练
8.已知P为⊙o内一点，且OP＝2cm，如果⊙o
的半径是3 c m ，则过P点的最长的弦等于 .
最短的弦等于_________。
M
O
P
A
B
N
9.P为⊙O内一点,且OP=2cm,若⊙O的半径为3cm,
则过P点的最短弦长等于( A.1cm B.2cm C. 5 cm
点.
连M和N并反向延长交圆于P和Q两点.
求证: PM=NQ.
A
PM HN Q
B
O
C
•例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即 图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E
为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求
人教版九年级数学上册圆圆周角教学课件
O
C B
∠ACO ∠ACB ∠ BCO ∠OAB ∠BAC ∠OAC ∠ABO ∠CBO ∠ABC
A
O B
⌒ ⌒
有没有圆周角？ 有没有圆心角？ 它们有什么共同的特点？
C 它们都对着同一条弧
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A
O B
A O
B
C
O
D
C
B
C
A
A
O
B
D C
C 这三个角的大小有什 么关系?.
探究
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以
通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站 在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，他们的视角（∠AOB 和∠ACB）有什么关系？如果同学 丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB 和∠AEB ）和同学乙的视角相同吗？
D
B
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分 线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
解：∵AB是直径，
C
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
BC AB2 AC2 102 62 8
A
O
B
∵CD平分∠ACB，
ACD BCD.
D
∴AD=BD.
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
【学习目标】
●1.理解圆周角的概念， ●2.掌握圆周角的性质及推论。 ●3.灵活运用圆周角的性质进行证明与计算。
【课前预习】
● 1．在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（ ）
人教版初三数学九年级上册 第24章 《圆》教材分析 课件(共38张PPT)
能利用垂径定理解决有关简单问题； 能利用圆周角定理及其推论解决有关 简单问题
运用圆的性质的有关 内容解决有关问题
点和圆 的
位置关系
了解点与圆的位置关系
尺规作图（利用基本作图完成）：过 不在同一直线上的三点作圆；能利用 点与圆的位置关系解决有关简单问题
图图 形形 与的 几性 何质
直线和圆 的
位置关系
了解直线和圆的位置关系；会判断直 线和圆的位置关系；理解切线与过切 点的半径的关系；会用三角尺过圆上 一点画圆的切线
三角形的内切圆；了解三角形的内心； 有关简单问题；尺规作图（利用基本
了解正多边形的概念及正多边形与圆 作图完成）：作三角形的外接圆、内
的关系
切圆，作圆的内接正方形和正六边形
弧长、扇形面 会计算圆的弧长和扇形的面积；会计
积 算圆锥的侧面积和全面积
和圆锥
能利用圆的弧长和扇形的面积解决一 些简单的实际问题
O
O
适当补充“知二推三”，灵活运用所学 知识，特别是体会如何证明圆心在弦上 （某弦是直径）。
O
C
A
B
例. 根据条件求解：
D
（1）已知⊙O半径为5，弦长为6，求弦心距和弓形高.
（2）已知⊙O半径为4，弦心距为3，求弦长和弓形高.
（3）已知⊙O半径为5，劣弧所对的弓形高为2，求弦长和 弦心距.
（4）已知⊙O弦长为2，弦心距为，求⊙O半径及弓形高.
A
B
半径为5dm。则水深______dm.
5.注重数学核心素养的培养
本章的教学内容能进一步发展学生的几何 直观、推理能力等数学核心素养。
在教学过程中引导学生多画图、敢画图， 借助对几何图形直观的感知、分析问题， 并在此基础之上，在解决问题的过程中， 运用合情推理探索思路，发现结论，运用 演绎推理用于证明结论。
初中数学圆ppt课件
谢谢聆听
总结词
圆内接四边形定理是关于圆内接四边形的性质和定理。
详细描述
圆内接四边形定理指出，对于圆内接四边形，其对角之和为180°。具体来说， 如果一个四边形所有顶点都在同一个圆上，则其对角之和为180°。这个定理在 解决与圆有关的几何问题时非常有用。
弦定理和切线定理
要点一
总结词
弦定理和切线定理是关于圆的弦和切线的性质和定理。
圆的周长计算公式为C=2πr，其中r为 圆的半径，π是一个常数约等于 3.14159。这个公式用于计算圆的周 长，对于解决与圆相关的实际问题非 常重要。
圆面积和周长的应用
总结词
圆面积和周长的应用广泛，需结合实际问题理解
详细描述
圆面积和周长的应用非常广泛，例如在计算圆的面积时，可以解决与圆相关的几何问题 ，如计算圆的面积、周长、半径等；在计算圆的周长时，可以解决与圆相关的实际问题 ，如计算圆的周长、直径等。此外，圆面积和周长的应用还涉及到日常生活、工程、科
03 圆的面积和周长
圆的面积计算公式
总结词
掌握圆的面积计算公式是学习圆的基 础
详细描述
圆的面积计算公式为A=πr^2，其中r 为圆的半径，π是一个常数约等于 3.14159。这个公式是圆的面积计算 的基石，需要学生熟练掌握。
圆的周长计算公式
总结词
理解圆的周长计算公式有助于解决相 关问题
详细描述
同圆或等圆中，相等的 弦所对的弧相等。
直径的性质
同圆或等圆中，相等的 直径所对的圆周角相等 。
圆的分类
根据半径和直径的比 例划分：可分为等圆 、半圆、不同比例的 圆。
根据是否有中心划分 ：可分为有中心圆的 和无中心圆的。
根据是否在同一平面 内划分：可分为共面 圆和异面圆。
初中数学知识点精讲精析 圆和圆的位置关系
3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。
圆与圆的位置关系1
课时教案课次：33教务主任签名：一、选择1. （泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切2. (滨州)已知两圆半径分别为2和3，圆心距为，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A ． B ． C ．或 D ．或3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离4. .（益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是5.（肇庆）10．若与相切，且，的半径，则的半径是（ ）A ．3B ． 5C ． 7D ． 3 或76. （遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是A.4π-8B. 8π.16π- 7.（常德市）如图4，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm8.（荆州年）如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．（乌鲁木齐市）若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 10.(陕西省)图中圆与圆之间不同的位置关系有 （ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种二、填空 11.（济宁市）已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 . 12. （齐齐哈尔市）已知相交两圆的半径分别为和，公共弦长为，则这两个圆的圆心距是_____________．13.（锦州）如图所示，点A.B 在直线MN 上，AB=11cm ，⊙A 、.⊙B 的半径均为1cm ，⊙A以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)，当点A 出发后____秒两圆相切.14. （重庆）已知的半径为3cm ，的半径为4cm ，两圆的圆心距为7cm ，则与的位置关系是 ．15. （莆田）已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系是 ． 16．（宜昌）如图，日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆， 这两个圆的位置关系是 ．B ． D ． A ．C ．17.（绍兴市）如图，，的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距为5cm ．如果由图示位置沿直线向右平移3cm ，则此时该圆与的位置关系是__________．18.（威海）如图，⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3，连接O 1O2，交⊙O 2于点P ，O 1O 2=8，若将⊙O 1绕点按顺时针方向旋转360°，则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次．19.（大兴安岭）已知相切两圆的半径分别为和，这两个圆的圆心距是 ． 20．（佛山市）已知的三边分别是，两圆的半径，圆心距，则这两个圆的位置关系是 ． 三、解答 21．（兰州）如图16，在以O 为圆心的两个同心圆中，AB 经过圆心O ，且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B ．小圆的切线AC 与大圆相交于点D ，且CO 平分∠ACB ． (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系，并说明理由； (3)若，求大圆与小圆围成的圆环的 面积．（结果保留π）22.（凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于两点，过作直线与轴负方向相交成60°的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点．（1）求直线的解析式；23.（枣庄市） 如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知6OA OB ==，AB =（1）求⊙O 的半径；（2）求图中阴影部分的面积．第23题图COABD。
人教版初中九年级上册数学精品课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定 其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
B
C
A
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作 圆
三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
．
巩固练习
6. 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个 锐角不大于45°”时，应先假设（ D ）
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
巩固练习
探究新知
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
探究新知
素养考点 1 判定点和圆的位置关系
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
探究新知 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90° ，
∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ 3 3
因此圆的半径为3．点A的坐标( 3 3， 0) ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外 接圆的直径(或半径)长度．
初中数学人教九年级上册第二十四章 圆 圆周角定理PPT
(2)∵BA=BC，∴∠A=∠C. 由圆周角定理得∠A=∠E， ∴∠C=∠E，∴DC=DE.
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知识点三：圆周角定理的推论
合作探究
先独立完成导学案互动探究1、3， 再同桌相互交流，最后小组交流；
1.如图，在⊙O中，弦AB＝3cm，点C在 ⊙O上，∠ACB＝30°.求⊙O直径. 2.如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦 ，延长BD到点C，使AC＝AB，BD与CD的 大小有什么关系?为什么?
B A
O A
O B
知识点三：圆周角定理的推论
学以致用
1、如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中
点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于( ) C
A.55°B.60°C.65°D.70°
B
A
O
2.如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条
弦，且AB＝ 3，则弦AB所对的圆周角的度 A
数为( )D A.30º B.60º C.30º或150 º D.60º或120º
如果AB＝CD，那么∠E和∠F是什么关系？ O1 D
反过来呢？
C
A
F
结合⑴、⑵你能得到什么结论？
O2
B
21
知识点三：圆周角定理的推论
归纳总结
圆周角定理推理1
同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
∵ AB=CD ∴∠E=∠F
在⊙O中∵∠E=∠F ∴AB=CD
E
A
F
O D
对的弧也相等；②两条弦相等，弦所对的弧也相等；③弦
心距弦心距所对的弦相等；④两个圆周角相等，圆周角所
对的弧相等；⑤弧相等弧所对的弦相等；
C
⑥弧相等弧所对的圆周角也相等。
北师大版初中九年级下册数学课件 《圆》
知1－练
4 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是( B ) A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形
知识点 2 与圆有关的概念
知2－讲
弦:连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意: 1.弦和直径都是线段. 2.直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是
(1)圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心和 半径．两者缺一不可； (2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在 圆周上． 特别提醒：圆是“圆周”，而非“圆面”．
知1－练
1 体育老师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个 半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗？
解：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕
知2－练
2 【中考·杭州】如图，已知AC是⊙O的直径，点B在圆 周上(不与点A，C重合)，点D在AC的延长线上，连 接BD交⊙O于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(D ) A．DE＝EB B. DE2＝EB C. DE3＝DO D．DE＝OB
知2－练
3 【中考·潍坊】点A，C为半径是3的圆周上两点，点B ︵
A
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
知3－练
3 【中考·贵港】如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，
线段PQ的中点为M，连接OP，OM. 若⊙O的半径为2，OP＝4，
则线段OM的最小值是( )
A．0
B
B．1
C．2
D．3
知3－练
4 如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在
归纳
知1－导
1. 圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定 2. 点O的距离等于定长r的点的集合． 3. 确定一个圆的两个要素：圆心、半径.圆心确 4. 定圆的位置，半径确定圆的大小.
与圆有关的位置关系
B
C
例4，如图， ⊙O的半径为 3 cm，等边⊿ABC的边长为10cm，圆心O从点B开始沿 折线B-A-C-B以2cm/s的速度移动，设运动时间为t(s)。 问：（1）在移动过程中， ⊙O与⊿ABC的三条边相切____ 6 次。（直接写出答案） （2）t为何值时， ⊙O与AC相切？ 解：（2）①当圆心O在AB边上运动时，与边AC A 有一次相切，如图，设切点为E，连接OE， E O 则OE⊥AC，在Rt⊿AOE中，
∵∠A=60 0，∴∠AOE=300 又∵OE= 3 ∴AE= 1 ,AO=2 ∴BO=AB-AO=10-2=8(cm) ∴t1=8÷2=4(s) ②当圆心O在CB边上运动时，与边AC有 一次相切，如图，设切点为F,连接OF, 则OF⊥AC，由①知OC=2
F B
O
C
∴t2=(10+10+2) ÷2=11(s)
B
Байду номын сангаас
C
例4，如图， ⊙O的半径为 3 cm，等边⊿ABC的边长为10cm，圆心O从点B开始沿 折线B-A-C-B以2cm/s的速度移动，设运动时间为t(s)。 问：（1）在移动过程中， ⊙O与⊿ABC的三条边相切____次。（直接写出答案） （2）t为何值时， ⊙O与AC相切？ A
B
C
例4，如图， ⊙O的半径为 3 cm，等边⊿ABC的边长为10cm，圆心O从点B开始沿 折线B-A-C-B以2cm/s的速度移动，设运动时间为t(s)。 问：（1）在移动过程中， ⊙O与⊿ABC的三条边相切____次。（直接写出答案） （2）t为何值时， ⊙O与AC相切？ A
初中数学九年级上册
与圆有关的位置关系
湖北省洪湖市实验中学 周毅
1、点与圆的位置关系
初中数学圆和圆的位置关系课件(共8张PPT)
探索：
（1）你能分别构造出圆和圆的几种位置关系吗？
（2）当圆和圆相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴在哪里？
当两圆（外3离）、外当切、两相圆交、相内切切和内（含内时，、d与外R和切r之间）具有时怎，样的图数量形关系是？轴反之对，当称d与图R和形r之间吗满？足一你定的能数量在关课系时本，我上们能判
（设4两）圆外探的讨切半两径圆、分位别置相为关R系和交与r（两、R圆＞半内r）径，切和圆圆心和心距距为内的d数。含量关时系之，间的d联与系。R和r之间具有怎样的数量关系？
反之，当d与R和r之间满足一定的数量关系时 （41）探你讨能两分圆别位构置造关出系 圆与和两圆圆的半几径种和位圆置心关距系的吗数？量关系之间的联系。
初R－中r数<学d 圆< R和+圆r的位置关系课件
，我们能判定
两圆之
间的位置关系吗？ 0（≤2）d <当R圆－和圆r 相离、相交、相切时所组成的图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴在哪里？
（R－1）r <在d刚<才R的+实r 验中，你发现了几种位置关系？
（R－3）r <究d竟<如R何+进r 一步区分外离和内含，外切和内切呢？
例题：两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O,是圆 心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP，NP分别为两圆的切 线，求∠TPN的大小.
N T
P
O， O
Q
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初中数学圆和圆的位置关系课 件
第1页，共8页。
通过观察，你发现生活中哪些与圆 和圆位置关系有关的事例和图案？ 请你将自己课前所收集到的图案 （可以是照片、资料、还可以是实 物或模型）向同学展示，并尝试说 明所提供的图案中圆和圆的位置关 系。
初中数学人教九年级上册第二十四章圆与圆有关的位置关系(切线复习课)PPT
一.切线的定义：直线与圆有唯一公共点时称直线 和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫
切点。 二.切线的判断方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线 2.距离法：如果圆心到直线的距离等于半径，那 么这条直线是圆的切线 3.判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 三.切线的证明规律： 1.有公共点时：连半径证垂直 2.无公共点时：作垂直证半径
例2；如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，CA于点
D，E，F．设圆O的半径为r，BC=a，CA=b，AB=c，
求证： S△ABC1r(abc) 2
思考：当∠C=90 °时，r与a， b， c又有 怎样的关系式？
r ab ,rabc
abc
2
练一练
1.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，⊙O分别切AB、AC于点D、F，点
作业：导学案45页，46页
谢谢指导
四.切线的性质
o
1.圆心到切线的距离等于半径
2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的C半径. A
D
（应用技巧：遇到切线：找切点连半径得垂直。）
3.切线长定理
A
.H
O
1
2P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 几何书写：
∵PA,P B是切线,A,B是切点 ∴OA ⊥ PA,OB ⊥ PB,PA=PB, ∠1= ∠2
P是优弧上一动点(点D、F除外)，若∠BAC=80°，则∠DPF=＿ ＿
A
50°
2、如图，AD、AE、CB均为⊙O的切
DO F
P
B
C
线，D、E、F分别为切点，AD=8，
初中数学九年级《圆与圆的位置关系》-完整版PPT课件
关 置
与 圆
的 位
2008 新北京新奥运
认真观察 观察结果
外离:两圆无公共点,并且每个圆上的点都在另 一个圆的外部时,叫两圆外离
切点
外切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时,叫两 圆外切
相交:两圆有两个公共点时,叫两圆相交 切点
内切:两圆有一个公共点,并且除了公共点外,一个 圆上的点都在另一个圆的内部时,叫两圆内切
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心 距O1O2分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）０cm （２）８ cm
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在另一 个圆的内部时,叫两圆内含
圆心距：两圆心之间的距离
外离
外切
相交
内切
内含同心圆
圆
外离
与
相离
圆 的
内含
位
外切
置
相切
关
系
内切
相交
两圆位置关系的性质与判定:
演示
0
两圆外离
位置关系
R―r
性质
d 和R、 r关系
Rr
d >R+ r
两圆外切
d =R+ r
两圆相交
判断： 1 两圆无公共点，两圆一定外离 （ ）
已知：⊙O1和⊙O2的半径分别２cm和4cm，当圆心距O1O2 分别为下列数值时，判断两圆位置关系．
（１）2cm （２）4 cm 3 6 cm
判断： 2 当两圆圆心距大于半径之差 时，两圆相交（ ）
判断: 3 已知两圆相切R=7, r=2则圆心距等于9 （ ）
同 心 圆 两圆内切 内
含;R+ r
5.6 圆与圆的位置关系 第三课时 课件(苏科版九年级上)
思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方 形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？
(菱形，正方形一定有内切圆)
典型例题
例2 如图，在△ABC中，点O是内心， （1）若 ∠ABC=50°， ∠ACB=70°，求∠BOC的度数 解（1）∵点O是△ABC的内心， 1 ∴ ∠OBC= ∠OBA= 2 ∠ABC= 25 °
典型例题
直角三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角, AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.
B A D
●
O
┓
┗ F
E
C
三角形的内切圆
已知:如图,△ABC的面积S=4cm2, 周长等于10cm. 求内切圆⊙O的半径r.
B A D
●
O
┓
F
E
C
三角形的内切圆
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,BC=5,r=2. 求△ABC的周长.
作圆，使它和已知三角形的各边都相切 A
求作：和△ABC的各边都相切的圆 问题１：作圆的关键是什么？ （确定圆心和半径） 问题２：怎样确定圆心的位置？ （作两条角平分线，其交点就是圆心的位置） 问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ （过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
B
C
问题４:在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗?
名称 外 心 (三角形 外接圆的 圆心)
内 心 （三角形 内切圆的 圆心）
确定方法 三角形三 边中垂线 的交点
B
图形
A
性质
O
(1)OA=OB=OC (2)外心不一定在 三角பைடு நூலகம்的内部．
C
三角形三条 角平分线的 交点
初中数学竞赛第十七讲圆和圆的位置关系(含解答)
第十七讲 圆和圆的位置关系【趣题引路】如图,在篮球比赛中,进攻一方都想尽可能接近对方球篮,•但又不能轻易进入限制区,因而进攻一方往往有一两名队员站在限制区外一点,伺机接球后转身投篮,他们站在何处比较有利?解析 现以篮圈中心O 为圆心,作与限制区两边相切的圆,切点为E 、F,这时E 、F 两处并非最佳点,因为横转一步后到A 、B 或C 、D 处,反而离篮圈远了;而B 、D•两处只能向一边转身到E 和F 点投篮,因而在A 、C 两处,即可转身到E 或F 投篮,•又可向另一侧转身插入限制区后投篮,因此,高大队员站在A 、C 两处最有利.【知识延伸】圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形.•判定两圆的位置关系有如下方法:1.由两圆交点的个数确定;2.由计算两圆的半径与圆心距的大小量化确定;3.由两圆的公切线的条数确定.为了沟通两圆,常常添加与两圆都有联系的一些辅助线.在解两圆相交问题时,•常用的辅助线有:1.连结公共弦━━目的在于利用圆周角的性质和圆内接四边形的性质来沟通角与角的联系;2.作连结线━━目的在于利用“连心线垂直平分公共弦”及垂径定理.3.连结圆心与两圆交点的线段━━目的在于得到等弦、等弧及相等的圆心角,•特别是一个圆的圆心在另一个圆上时,常作这种辅助线.涉及两圆相切问题时,添加的辅助线有:1.过切点作两圆的公切线,利用弦切角性质或切线的有关性质;2.作连心线,利用连心线过切点的性质,为解题提供条件.在解题过程中,我们经常遇到与外切两圆有关的两个直角三角形.(1) 如图1,⊙O 1与⊙O 2相外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,•过P 作内公切线PC 交AB 于C,则△CO 1O 2是直角三角形.解析 ∵CA=CP,C O 1平分∠ACP.同理C O 2平分∠BCP,∴∠O 1CO 2=90°,则△C O 1O 2是直角三角形.(2) 如图2,⊙O 1与⊙O 2相外切于点P,AB 为两圆的外公切线,切点为A 、B,•则△PAB 为直角三角形.(1) (2) (3)解析 过P 作内公切线PC 交AB 于点C,则CA=CP=CB,即CP=12AB, 所以△PAB 是直角三角形.(3) 若⊙O 1和⊙O 2外离,如图3,O 1O 2与⊙O 1,⊙O 2分别交于C 、D 两点,•延长AC 、BD 交于点P,AP 与BP 是否仍垂直?解析 连结A O 1,BO 2,由O 1A ⊥AB,O 2B ⊥AB 可知O 1A ∥O 2B,因此∠O 1+∠O 2=180°.而△O 1AC,△O 2B D 都是等腰三角形.∴∠A CO 1+∠BDO 2=11802O ︒-∠+21802O ︒-∠=90°. ∴∠DCP+∠CDP=90°,则∠CPD=90°,即AP ⊥BP.若⊙O 1与⊙O 2相交,如图4,O 1O 2与⊙O 1,⊙O 2分别交于点C 、D.AC 、BD 交于点P.AP 与BP 是否仍垂直?显然与上面相同的办法可证得AP ⊥BP.(4) (5)我们常把三个切点A 、B 、P 构成的三角形称作“切点三角形”.如图5,•切点三角形还具有如下性质:1.AB 边上的中线等于AB 的半;2.BP 延长线交⊙O 1于点D,则AD 必为⊙O 1的直径;3.由AP ⊥BD,AD ⊥AB.可得到若干线段的等积式.遇到涉及两圆外切一类的几何命题,运用上述这些性质就会迎刃而解.例 已知,如图,⊙O 1和⊙O 2外切于点O,以直线O 1O 2为x 轴,点O•为坐标原点建立直角坐标系,直线AB 切⊙O 1于点B,切⊙O 2于点A,交y 轴于点C(0,2),交x 轴于M,•BO 的延长线交⊙O 2于点D,且OB:OD=1:3.(1)求⊙O 2的半径长;(2)求直线AB 的解析式;(3)在直线AB 上是否存在点P,使△MO 2P 与△MBO 相似?若存在,求出点P 坐标;若不存在,说明理由.解析 (1)连结BO 1,DO 2,则∠D=∠O 1BD.∴BO 1∥DO 2,∴O 1O:O 2O=BO:OD=1:3.∵CB=CO=CA,△ABO 为直角三角形,C(0,2),∴AB=4.作O 1N ⊥AO 2于点N,设B O 1=r,则A O 2=3r,对△O 1NO 2有16r 2=4r 2+16,∴12r 2=16,r=23则∴⊙O 2的半径为(2)在Rt △O 1NO 2中,N O 2= O 1O 2,∴∠N O 1O 2=30°.∵O 1N ∥AB,∴∠CMO=30°.在Rt △COM 中,tan30°=CO OM ,∴OM=tan 30CO =︒∴点M 坐标为设直线AB 的解析式为y=kx+b,则20b b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴32k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的解析式为y= 3x+2; (3)∵∠BO 1M =60°,O 1B=O 1O,∴∠BOM=30°.∴△MOB 是等腰三角形,•且顶角∠MBO=120°,若存在满足条件的点P,则∠M O 2P=30°或∠M O 2P=120°.①当∠MO 2P=30°时,O 2P 是∠AO 2O 的平分线.∵OC 是∠AO 2O 的平分线,∴点P 与点C 重合,∴点P 的坐标为(0,2).②当∠M O 2P=120°时,作PH 垂直x 轴于点H,则∠PO 2H=60°.∵点P 在直线y= x+2上,∴设点P 坐标为(a, 3a+2), 则PH=3O 2H在Rt △PO 2H 中,tan ∠PO 2H=2PH O H ,2+解得∴点P 的坐标为因此在直线AB 上存在点P,使△MO 2P 与△MOB 相似,点P 坐标为(0,2)或点评(1)作两条过切点的半径,再平移外公切线,使之构成以圆心距为斜边,两条半径之差及外公切线的长分别为直角边的直角三角形,•这是两圆外切时最常见的辅助线之一;第(2)小题是(1)小题的深化;第(3)小题是一个存在性问题,其解题方法一般是:假设存在━━依假设求解或推证━━下结论.第(3)小题也是一个比较好的分类讨论问题,解答此类问题,要加倍小心,谨防失解.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,⊙O 和⊙O ′相交A 、B 两点,且⊙O ′过⊙O 的圆心,直线OO ′交⊙O 于C 、D 两点,交⊙O ′于点P,AB 与OO ′交于点E.求证:(1)P A 2=PE ·PO;(2)PE ·EO=CE ·ED;(3) 22PA CE PD ED =. 证明 (1)连结AO,∵PO 是⊙O ′的直径,∴∠PAO=90°,∵⊙O 与⊙O ′相交于A 、•B,∴AB ⊥PO 于点E,∴△PAO ∽△PEA.∴ PA PE PO PA=,∴PA 2=PE ·PO; (2)在⊙O ′中,PE ·EO=AE 2,在⊙O 中,AE 2=CE ·ED,∴PE ·EO=CE ·ED.(3)连结AC,AD.∵AD 切⊙O 于点A,∴∠PAC=∠D.∵∠P=∠P,∴△PAC ∽△PDA.∴PA ACPD AD=, ∴2222PA ACPD AD=∵CD是⊙O的直径,∴∠CAD=90°.∵AE⊥CD,∴△ACE∽△DCA,∴AC CE CD AC=.∴AC2=CE·CD.同理,得A D2=ED·CD.∴22AC CE CD CE AD ED CD ED ==∴22PA CE PD ED=点评(1)将P A2=PE·PO化为PA PEPO PA=,由“三点定形法”可知,能证△PAO∽△PEA就行了;第(2)小题利用公共弦进行代换,是相交两圆用的方法;第(3)•小题要证两条线段的平方比等于另两条线段的比,•用到的方法是先通过相似三角形得到恰当的四条线段的比,再将此比例式两边分别平方,•然后再将过渡的两条线的平方分别交换成两条线段的积,从而证得结论成立,这种方法是证明类似第(3)•小题的比例线段的常用方法.例2如图,⊙O1与⊙O2内切于点P,⊙O2的弦BE与⊙O1相切于点C,PB•交⊙O1于D,PC 的延长线交⊙O2于A,连结AB、CD、PE.求证:(1)①∠BPA=∠EPA,②AB BC AC BD=;(2)若⊙O1的切线BE经过⊙O2的圆心,⊙O1、⊙O2的半径分别为r、R,•其中R•≥2r,如图.求证:PC·AC为定值.证明 (1)①过点P作两圆的公切线MN,则∠MPB=∠PCD=∠A,∴CD∥AB.∴∠ABC=∠ECD.∵BC为⊙O1的切线,∴∠BCD=∠BPA,∵∠ABC=∠EPA,∴∠BPA=∠EPA.②∵∠ABC=∠BPA,∠A=∠A,∴△ABC ∽△APB,∴AB BC PA PB =, ∴ABPA BCPB =,∵CD ∥AB,∴PA AC PB BD =, ∴AB BC AC BD = 即AB BC AC BD=. (2)连结O 1C,PO 2,则PO 2过点O 1,且O 1C=r,O 1O 2=R-r.∵BE 与⊙O 1相切,∴O 1C•⊥BE,在Rt △CO 1O 2中CO 2, ∴BC=BO 2+CO 2=,EC=E O 2-CO 2.∵PC ·AC=EC ·)=2Rt),∴PC ·AC 为定值.点评圆与圆的相交,相切等问题是研究圆与圆位置关系的重点,•解题时要熟练地掌握两圆的位置关系的判定,能灵活地用于解题中,•特别是对带有规律性的辅助线的添加更应熟悉.中考真题欣赏例1 (2003年天津市中考题)已知,如图,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,BC•是⊙O 1和⊙O 2的公切线,B 、C 为切点.求证:(1)AB ⊥AC;(2)若r 1,r 2分别为⊙O 1,⊙O 2的半径,且r 1=2r 2,求AB AC的值. 证明:过点A 作两圆的内公切线交BC 于点O. ∵OA 、OB 是⊙O 1的切线,∴OA=OB.同理OA=OC,∴OA=OB=OC,于是,△BAC 是直角三角形,∠BAC=90°,∴AB ⊥AC.解析:(2)连结OO 1,OO 2,与AB 、AC 分别交于点E 、F,∵OA,OB 是⊙O 1的切线,∴O O 1⊥AB,同理OO 2⊥AC.根据(1)的结论AB ⊥AC,可知四边形OEAF 是矩形,有∠EOF=90°.连结O 1O 2,有OA ⊥O 1O 2,在Rt △O 1OO 2中,有Rt △O 1AO ∽Rt △OAO 2.∴12O A OA O A OA=,于是O A 2=O 1A·O 2A=r 1·r 2=2r 22. ∴又∵∠ACB 是⊙O 2的弦切角,∴∠ACB=∠A O 2O.在Rt △OAO 2中,tan ∠A O 2O=2OA O A∴AB AC=tan ∠ACB=tan ∠AO 2点评•作两圆的公切线和与外切两圆有关的两个直角三角形是解两圆相切问题的关键. 例2 (2002年山西省中考题)如图,已知,A 是⊙O 1、⊙O 2的一个交点,•点M 是O 1O 2的中点,过点A 的直线BC 垂直于MA,分别交⊙O 1、⊙O 2于B 、C.(1)求证:AB=AC.(2)若O 1A 切⊙O 2于点A,弦AB,AC 的弦心距分别为d 1,d 2,求证:d 1+d 2=O 1O 2.(3)在(2)的条件下,若d 1d 2=1,设⊙O 1、⊙O 2的半径分别为R 、r.求证:R 2+r 2=R 2r 2.证明:(1)分别作O 1D ⊥AB 于点D,O 2E ⊥AC 于点E,则AB=2AD,AC=2AE.∵AM ⊥BC,∴O 1D ∥AM ∥O 2E.∵M 为O 1O 2的中点,∴AD=AE,∴AB=AC; (2)∵O 1A 切⊙O 2于点A,∴O 1A ⊥O 2A .又∵M 为O 1O 2的中点,∴O 1O 2=•2AM.•在梯形O 1O 2E D 中,O 1D+O 2E=2AM,O 1D+O 2E=O 1O 2.即d 1+d 2=O 1O 2. (3)∵O 1A ⊥O 2A,∴∠AO 1D=∠O 2AE.∴Rt △O 1AD ∽Rt △AO 2E.∴1122O D O A AD O E AE O A==, 即12d AD R d AE r==∴AD ·AE=d 1·d 2=1. 由(1),(2)知AD=AE=1,O 1O 2=d 1+d 2.∴d 1=R r ,d 2=r R, ∴R 2+r 2=O 1O 22=(d 1+d 2)2=(R r +r R )=22222()R r R r , ∴R 2+r 2=R 2r 2.点评构建直角梯形O 1DEO 2,可证AD=AE,从而可得AB=AC.对于(2)因为△AO 1O 2为Rt △,AM 为△AO 1O 2斜边上的中线,所以O 1O 2=2A M,从而不难证明O 1D+O 2E =2AM.对于(3)•可构建以R 、r 为边的相似三角形,由(1)(2)的结论,可证得R 2+r 2=R 2r 2.竞赛样题展示例1 (2000年全国初中联赛试题)如图,⊙O 1与⊙O 2内切于点P,⊙O 2•的一弦AB 与⊙O 1相切于点Q,PQ 连线与⊙O 2相交于R,连结BR.求证:(1)AR=BR;(2)B R 2=PR ·QR.证明 (1)因⊙O 1,⊙O 2内切于点P,故O 2、O 1、P 三点共线,分别连结O 2P,O 2R,•O 1Q. 因AB是⊙O 1的切线,∴O 1Q ⊥AB.在等腰△O 1PQ 和等腰△O 2PR 中,∵∠O 1PQ=•∠O 2PR,∴∠PO 1Q=∠PO 2R,即有O 1Q ∥O 2R ,但O 1Q ⊥AB,∴O 2R ⊥AB,于是AR=BR.(2)连结PB,∵AR=BR,∴∠RBQ=∠RPB. 又∵∠BRQ=∠PRB,∴△BRQ ∽△PRB.∴BR:PR=QR:BR,故B R 2=PR ·QR.点评对于(1),连O 2R,利用同圆半径构成等腰三角形来证明.对于(2),连结BP,•证△BRQ ∽△PRB 即可.例2 (2001年第二届全澳门校际初中数学竞赛)如图,设大圆半径为R,•大圆内三个小圆两两相切,且都与大圆相切,它们的半径分别为2r,r 和r,试求r R之值. 解析 如图,点O 、B 均在图A 和图A ′的公切线上,•所以只需考虑图形的一半即可.设MO=x,MB=y,则MN=x+R.又∵MN=y+2r,于是,由x+R=y+2r,得x=y-R+2r.又AO=•OP-AP=R-r,AB=AK+KB=3r,由勾股定理,得y 2=MB 2=AB 2-A M 2=8r 2,即从而 类似地,x 2=MO 2=AO 2-A M 2=R 2-2Rr.故]2=R 2-2Rr即2r,∴r R =点评由圆的对称性只研究图形一半即可,通过两圆内切,•外切半径圆心距之间的关系,由勾股定理建立起方程,从而使问题获解.全能训练A 卷1.如果两圆相切,它们半径分别为3和5,那么它们的圆心距为________.2.已知⊙O 1与⊙O 2外切,半径分别为1cm,3cm,那么半径为5cm,且与⊙O 1、•⊙O 2都相切的圆可以共作出_________个.3.已知两圆相交,半径分别为5cm 和4cm,公共弦长为6cm,求这两圆的圆心距.4.已知两相交圆的半径分别为2,3,求圆心距d 的取值范围.5.如图,⊙O 1与⊙O 2相互外切且半径之比为2:3,O 1M 切⊙O 2于M,•O 2N •切⊙O 1于N, 笔求21O N O M的值.6.如图,已知⊙O 与⊙O ′相交于A 、B 两点,过点A 作⊙O ′的切线交⊙O 于点C,过点B 作两圆的割线分别交⊙O 、⊙O ′于点E 、F,EF 与AC 相交于点P.(1)求证: 22PE PF PC PB; (2)当⊙O ′与⊙O 为等圆且PC:CE:EP=3:4:5时,求△ECP 与△FAP 的面积的比值.A卷答案：1.8或2,当两圆外切时,圆心距为8;当两圆内切时,圆心距为2.2.4个.①与⊙O1,⊙O2都外切的圆有两个;②与⊙O1外切,与⊙O2•内切的圆有一个;③与⊙O1内切,与⊙O2外切的圆有一个.3.(1)当O1O2在公共弦AB的同侧时,O1O2(2)当O1、O2在公共弦AB•的异侧,O1O24.1<d<5.5.连结O1O2,O1N,O2M,则O1N⊥O2N,O2M⊥O1M.设⊙O1、⊙O2的半径分别为2x,•3x,则O1O2=5x,∴N O21∴2144O NO M x==.6.(1)连结AB,有∠CEB=∠F,∴EC∥AF.∴PE PFPC PA=,即2222PE PFPC PA=.又∵PA2=PB·PF,∴22PE PF PC PB=;(2)连结AE,由(1)可知△PEC∽△PFA,PC:CE:EP=3:4:5,∴PA:FA:PF=3:4:•5.•设PC=3x,CE=4x,PE=5x,PA=3y,FA=4y,PF=5y,则EP2=PC2+CE2,PF2=PA2+FA2,∴∠C=90°,∠CAF=90°.∴AE为⊙O的直径,AF为⊙O′的直径,又⊙O与⊙O′是等圆,∴AE=AF=•4y,∵A C2+CE2=AE2,∴(3x+3y)2=(4y)2-(4x)2.∴25x2+18xy-7y2=0.∴25x=7y,725xy=，∴S△ECP:S△FAP=x2:y2=49:625.B 卷1.如图1,半径为R 和r(R>r)的两圆⊙O 1与⊙O 2相交,公切线与连心线的夹角为30°,那么两圆公切线的长AB 等于( )A. 12(1) (2) (3)2.如图2,⊙O 1和⊙O 2内切于点P,⊙O 2的弦AB 经过⊙O 1的圆心O 1,交⊙O 1•于C 、D 点,其中AC:CD:DB=3:4:2,则⊙O 1和⊙O 2的直径之比为( )A.2:7B.2:5C.1:4D.1:33.如图3,⊙O 1与⊙O 2外切于点A,两圆的一条外公切线与⊙O 1相切于点B.若AB 与两圆的另一条外公切线平行,则⊙O 1与⊙O 2的半径之比为( )A.1:2B.3:4C.1:3D.2:54.如图,⊙O 与⊙O 1内切于点A,直线OO 1交⊙O 于点B,交⊙O 1于另一点F.•过B 点作⊙O 1的切线,切点为D,交⊙O 于点C,DE ⊥AB,垂足为E.(1)求证:CD=DE;(2)将两圆内切改为外切,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?•请证明你的结论.5.如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的公切线,切点为B、C,连结BA并延长交⊙O1于D,过D作CB的平行线交⊙O2于点E、F.(1)求证:CD是⊙O1的直径;(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系,并证明你的结论.6.如图,D、E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上一点,∠DAE=∠CAF.(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论.(2)若△ABD的外接圆半径是△AEC的外接圆半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长.B卷答案：1.C.连O1A,O2B,过O2作O2E⊥O1A,在Rt△O1O2E中,可得R-r）.2.D.过P作⊙O2的直径交⊙O2于Q,∵AC:CD:DB=3:4:2,可设AC=3k,CD=4k,DB=2k,AO1·O2B=O1P·O1Q,AO1=5k,O1B=4k,O1P=2k,∴5k·4k=2k·O1Q,∴O1Q=10k,∴⊙O2•直径PQ=12k,∴CD:PQ=4k.12k=1:3.3.C.连结O1C,O2D,过O1作O2D的垂线,垂足为E,两圆半径分别为r1,r2,由对称性可得∠C O1B=∠CO1A=∠AO1B=120°.故∠O2O1E=30°,于是r1+r2=2(r2-r1)•,•∴r1:r2=1:3.4.(1)连结DF,AD,AC,证Rt△EDA≌Rt△CDA即可.(2)成立,画图,证法同(1).5.(1)过点A作外公切线,连结AC,可证BA⊥AC,连结CD,则CD所对的圆周角为90°,故CD是⊙O1的直径.(2)BE=BF=BC.连结AE,△EBA∽△DBE,B E2=BA·BD.又BC2=BA·BD,∴BE=•CB.•∵∠CBE=∠BEF,∠CBE=∠EFB,∴∠EFB=∠BEF.∴BF=BE.6.(1)两圆外切,作⊙ABD的切线L交DE于H,延长BA交⊙AEC于F,可证∠HAE=∠C.•再证AH也是⊙AEC的切线.(2)延长DA交⊙AEC于G,连结GF,可证△ADB∽△AGF,∴AB:AF=2(等于两圆的半径)∵AB=4,∴AF=2.∵BA·BF=BE·BC,∴BE=4.。
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=50π
A O1 OM O2 D
B
如图，两个等圆圆A圆B分别与直线l相切于点C、D，连接 AB,与直线l相交于点O，∠AOC=30°，连接AC，BC，若 AB=4，则圆的半径为 。
解：因为圆A和圆B是等圆
所以它们的半径相等 又因为直线l与两圆相切 所以AC=BD
l D
∠ACO= ∠BDO=90°
又因为∠AOC= ∠BOD =30°
∴∠AMC=∠DMA=90°， ∴∠C+∠CAM=90°，∠C+∠D=90°，∴∠CAM=∠D， ∴Rt△MAC∽Rt△MDA，∴MA：MD=MC：MA， ∴MA2=MC•MD=100
S=So-So1-So2= （ CD ） 2 π （ - CM ） 2 π （ - DM ）π
2
2
2
= CM * DMπ 2
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圆与圆的位置关系
讲师：XX老师
圆与圆的位置关系：
圆心距：
两圆的圆心之间的距离。
R
内含
0 ≤d<R-r
r
内切
d=R-r
外切 外离
d=R+r d>R+r
相交
R-r< d<R+r
已知圆O1和圆O2的半径分别是4和5，且O1O2=8，则这两个
圆的位置关系是 。
解：因为 1<O1O2=8<9 所以 它们的关系是相交
O1 O2 A
A
O
B
所以∆AOC ≌∆BOD（AAS）
即AO=BO=2
C
可得AC=1/2AO=1
如图，圆O1、圆o2相内切点A,其半径分别是8和4，
将圆O2沿直线O1O2平移至两圆相外切时，则点
O2移动的长度是
。
解：①当圆O2向A这边移动到外切时 它所走的长度是4
②当圆O2向A相反的方向移动时 它所走的长度是8
已知圆O1与圆O2的半径为r1,r2分别是方程x2-6x+8=0的两实数根，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
若圆O1与圆O2的圆心距d=5,则圆O1与圆O2的位置关系
。
解：因为 x2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x1=2,x2=4 所以2,4分别为两圆的半径。 又因为 4-2=2<d<2+4=6 所以是相交的关系。
已知圆O1和圆O2的半径分别为2和5，如果两圆的位置关系为外 离，那么圆心距O1O2的取值范围在x上的表示正确的是（ C ）
03 A
03 B
07 C
解：因为外离的圆心距为 7=R+r<d
07 D
如图，CD是圆O的直径，弦AB⊥CD,垂足为点M，AB=20，
分别以CM、DM为直径作两个大小不同的圆O1和圆O2，则图
中阴影部分的面积为 。
C
解：连接CA，DA ∵AB⊥CD，AB=20，∴AM=MB=10， 又∵CD为直径，∴∠CAD=90°，