讲座2-一维数组查找统计、应用举例

位置的初始值记为-1。这种从头开始，逐一枚举的查找方法称为顺序查找法。
1、查找元素
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例题2：查找x（2）
给定一列数组，在数组中查找数据x，如果x存在于数组中，则输出x的
个数，否则输出0。
例题分析: 本题和上题的区别在于数组中可能存在多个x，这时候不管有没有找到x，都需要将 数组完整地扫描一遍。初始时，记x的个数s为0，每找到一个x，则s++，扫描完毕
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1、查找元素
2、数值统计 3、其他应用
3、其他应用
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例题6：转换二进制
众所周知，整数的十进制转换成二进制采用的是“除2取余，按权展开，
倒序排列”的方法。现给出一个十进制数，保证它在整数（integer） 范围内，请你将它转换成二进制数。
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
猜数
提示
500
小
750
大
625
大
562
大
531
大
516
大
508
大
504
大
502
小
503
大
1、查找元素
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二分查找
如果待查找的元素是有序的，一般我们采用二分查找法来查找元素。
二分查找又称折半查找，其基本思想是：
1. 将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较； 2. 如果x=a[n/2],则找到x,算法中止； 3. 如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部分查找x； 4. 如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部分查找x。
//如果left=right,表示没有找到。
//记住：right所在的位置是取不到的！
1、查找元素
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二分查找的平均查找长度
已知一个有序表为（13 18 24 35 47 50 62 83 90 155 134），当用
二分法查找算法进行元素搜索时，成功的平均查找长度是多少？
1、查找元素
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例题3：找出第二小的数（NOIP2014提高组初赛）
if (S[1] < S[2]) FirstMin = S[1], SecondMin = S[2]; else FirstMin = S[2], SecondMin = S[1]; 在最坏情况下，该算法需要做
3、其他应用
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例题8：求1~N之间的质数
1
11 21 31
2
12 22 32
3
13 23 33
4
14 24 34
5
15 25 35
6
16 26 36
7
17 27 37
8
18 28 38
9
19 29 39
10
20 30 40
41
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
42
43
44
45
46
47
48
49
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例题9：猴子选大王
M只猴子要选大王，选举办法如下：所有猴子按1…M编号围坐一圈，
从第1号开始按顺序1，2，…，N报数，凡报到N的猴子退出到圈外，如 此循环报数，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。M和N由 键盘输入,打印出最后剩下的那只猴子的编号。
输入样例：8 3 输出样例：7
3、其他应用
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例题9：猴子选大王
例题分析:
有了数组工具，我们可以使用数组来模拟猴子选大王的过程。定义一个含m个元素的数 组monkey来记录猴子的状态。用元素下标代表猴子的编号，元素的值表示猴子的状态：
monkey[k]=0表示第k只猴子仍在圈中；monkey[k]=1则表示第k只猴子已经出圈。
后，输出s的值即可。
1、查找元素
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平均查找长度
为确定元素在数组中的位置，关键字和给定值进行比较的比较次数的期望值称为查
找算法在查找成功时的平均查找长度（ASL）。对于含有n个数据元素的查找表，查
找成功的平均查找长度为：ASL=∑Ki / n (i=1,2,3,…,n), 其中Ki表示找到每个元 素的比较次数，以用顺序查找法查找n个元素为例，查找第一个元素需要比较1次， 查找第二个元素需要比较2次，……，查找第n个元素需要比较 n 次，所以：
(2) 求考试成绩平均分，并输出； (3) 枚举学生成绩，输出高于平均分的学生学号和成绩。
2、数据统计
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例题5：求众数
所谓众数，就是是一组数据中出现次数最多的数，比如，3 3 4 4 4 5 6 6 8 8 9 这
列数中，众数就是4。有时候，在一组数中有好几个众数。
程序采用模拟的方法，开始时设置报数变量k的值为0，当前报数猴子的编号变量p的初 值也置为0，如果当前猴子在圈中，则报数，当报数达到n时,对当前报数的猴子作出圈
处理,即monkey[p]置1，同时k清0，然后进行下一轮报数。报数过程循环m-1次，删
除m-1只猴子后，剩下的那只猴子就是选出的大王。
3、其他应用
例题分析:
本题采用模拟法拆数，依次将除2的余数放到数组中，然后按格式倒序输出就可以了。
方便起见，可以设置一个变量记录二进制数的长度。
3、其他应用
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例题7：素数回文数
如果一个数从左边读和右边读都是同一个数，就称为回文数，例如
686就是一个回文数。编程求10到1000内所有的既是回文数同时又是素数 的自然数。
1、查找元素
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例题1：查找x（1）
给定一列数组，在数组中查找数据x，如果x存在于数组中，则输出x的
位置，否则输出-1。
例题分析: 本题采用枚举法，从数组的第一个元素开始逐一比较，查找当前元素是否和x相同， 如果相同，则记录当前元素的位置并退出循环，直至循环结束。方便起见，可以将
（
A. 2n
）次比较。
for (i = 3; i <=n; i++) if (S[1] < SecondMin) if (S[1] < FirstMin) SecondMin = FirstMin ，FirstMin = S[1] ; else SecondMin = S[1] ;
B. n-1
C. 2n-3 D. 2n-2
2、数据统计
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例题4：成绩统计
某班有ｎ名学生参加考试，求考试成绩的平均分，并将高于平均 分的学生的学号（下标）和成绩输出。
例题分析: 平均分average可以用总分sum除以人数n求得。据此，程序可以分为以下几个部分：
(1) 读入人数及学生成绩，同时求得成绩总分；
第二讲 数组应用
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1、查找元素
2、数值统计 3、其他应用
1、查找元素
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查找元素
在一列数组元素中按要求查找元素是数组应用中的基本操作，也是很
多较复杂题的重要组成部分。按照题目要求的不同，查找可以分为各
种不同种类，这里主要解决两类查找问题： 1. 查找确定的元素 2. 查找最大的元素
输入格式：
输入两行，第一行n，表示数的个数，n<10000；第二行n个数，用空格隔开。题目保 证第二行的n个数为正数，且不超过10000。 输出格式： 输出出现次数最多的数，和它的次数。如果这样的数有多个，按照从小到大的顺序依
次输出，中间用空格隔开。
2、数据统计
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例题2：找出第二小的数（NOIP2014提高组初赛）
输入是n个不等的数构成的数组S，输出S中第二小的数SecondMin。
例题分析: 找出第K小的数一般采用排序的思想解决问题。本题由于K的值比较特殊，借鉴打擂台的 思想，也可以高效地解决问题。算法设计如下： 1. 定义两个变量（擂台）FirstMin和SecondMin； 2. 比较s[1]和s[2]的值，较小数的放在FirstMin里，较大的数放在SecondMin里。 3. s[3]~s[n]逐一和两个变量比较。先和SecondMin比较，如果比SecondMin小，再 和FirstMin比较，用比较结果更新两个变量的值，直至n-2个数全部比较完毕。 4. 最后，SecondMin的值就是S中第二小的数。
3、其他应用
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例题8：求1~N之间的质数
参考程序段： memset(a, sizeof(a), 0); for (int i=2; i*i<=n; i++) if (a[i]==0) for (int j=2; i*j<=n; j++) a[i*j]=1;
3、其他应用
50
3、其他应用
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例题8：求1~N之间的质数
算法设计： 1. 初始化数组a的元素值都为0， 假设它们都是素数； 2. a[1]=0，1既不是素数，也不是合数； 3. 循环枚举2~sqrt(n)+1，如果当前的数没有被删除，它就是素数；如果当前数是素 数，则删除该素数的所有<=n的倍数，即令a[i]=1; 4. 循环枚举2~n，输出所有值为零的元素下标。
ASL=∑Ki / n = ((1+n)*n/2)/n = (1+n)/2
1、查找元素
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讨论：猜数
这是一个猜数游戏，一位同学默想一个小于1000的正整数，让另一个
同学去猜，然后给出大或者小的提示，采取什么样的策略才能让猜的
次数尽量少呢？
一般我们会采用二分的策略，假如要猜得的数是503，猜数过程如下：
5. 回到1，在新的区域里查找x。
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参考程序段
left=1; right=1000; k=0; while (left<right) { mid=(left+right)/2; k=++k; if (mid==x) break; else if (mid>x) right=mid; else left=mid+1; } cout<<k; //这里采取左闭右开的写法，即右边的数不在范围内
例题分析: 本题的算法思路分三步：1. 枚举10~1000以内所有的数；2. 判断当前枚举的数是不是 素数；3. 判断当前枚举的数是不是回文数。 判断素数的方法大家都会，判断回文数可以利用数组，先把整数一位位拆分成数字放到 数组中，然后用两个指针分置首尾，两端逐一比较，直至两个指针会合或者发现不同的 数。如果两个指针会合，说明这个数就是回文数。
3、其他应用
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例题8：求1~N之间的质数
输入格式：一个数n（1<n<1000000）
输出格式：以空格隔开的素数 输入样例：10 输出样例：2 3 5 7
例题分析: 判断一个数是否为素数一般用循环结构解决。求范围内的素数可以枚举范围内的每一个
数，判断它是否为素数。还有没有更高效的做法？
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例题9：猴子选大王
参考程序段：
k=0; p=0; for (int i=1; i<=m-1; i++) { while (k<n) { p++; if (p>n) p=1; if (a[p]==0) k++; } a[p]=1; k=0; }
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1、查找元素
2、数据统计 3、其他应用
2、数据统计
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数据统计
统计学是一门收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论
的科学。常见的统计方式包括求总数、求平均数、求中位数、求众数
等。由于参与统计的数据通常比较多，所以数组是统计类题目里不可 或缺的工具。
例题5：求众数
例题分析：
如果把n个数逐一用数组保存后再处理，麻烦不说，还不好做。由于本题的数据范围不 是很大，我们可以用数组下标表示数据，而用数组元素的值来表示该数据的个数。算 法描述如下： 1. 读入所有数据，存储每一个数据出现的次数； 2. 循环枚举每一个数据，找出最大的次数； 3. 再次循环枚举，依次输出等于最大次数的数据。
分析：可以画一个表格模拟查找的过程。
下标 数值
0 13
4
1 18
3
2 24
2
3 35
4
4 47
3
5 50
1
6 62
4
7 83
3
8 90
2
9 10 155 134
4 3
查找
所以，总的查找次数是 1*1+2*2+3*4+4*4=33， 平均查找长度是 33/11。
1、查找元素
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