2021届安徽省池州市东至县高三上学期12月大联考数学(理)试题

东至县2021届高三上学期12月大联考理科数学满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.3. 请按照题序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．．．．．．．．．．．；在草稿纸．．．．、试题．．卷上的答题无效．．．．．．．. 4. 保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.5. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合11M xx ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，(){}2log 1N x x a =-<，M N ⊆，则a 的取值范围是（ ） A. ()1,0- B. ()0,1 C . []1,0-D. []0,12. 命题p ：0a b ⋅<，则,a b 为钝角；q ：()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的一个对称中心是,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则以下真命题是（ ） A. p q ∧B. p q ⌝∧C. p q ∧⌝D. p q ⌝∧⌝3. 函数1sin ()lg,cos 22x f x x x ππ+⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象大致是（ ）A. B. C. D.4. 已知0a >，0b >且a b ≠，A a b =+，4abB a b=+，22b a C a b =+，则A ，B ，C 的大小关系是（ ） A. A B C >>B. C A B >>C. A C B >>D. C B A >>5. 2y x =与()ln y x a =+有一条斜率为2的公切线，则a =（ ） A. 1ln 22-B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 26. 已知等差数列{}n a 满足：10a >，35S a =，1a ，2a ，42a +成等比数列，则12222n a a a++⋅⋅⋅+=（ ）A.()2413n- B.()1413n- C. 41n -D. 44n -7. 函数()3sin 4cos f x x x =+在区间[]0,π上的对称轴为x ϕ=，则cos ϕ=（ ） A. -1B. 0C.35D.458. 已知函数22,0(),0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，12,x x R ∈，()()12f x f x m ==，且120x x +=，则m =（ ）A.12 B. 1 C. 32D. 29. 数列{}n a 满足：123a =，311n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是公比为3的等比数列，则1220a a a ⋅⋅⋅=（ ）A. 2020313+B. 202013123+⋅ C . 2020313- D. 202013123-⋅10. 已知函数()()ln 1f x x =-，()()f a f b >，以下命题：①若2a >，则a b >；②若a b >，则2a >；③若2a >，则111a b +<；④若2a >，则111a b+>.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 411. 如图，A ，B ，C ，D ，P 是球O 上5个点，ABCD 为正方形，球心O 在平面ABCD 内，PB PD =，2PA PC =，则PA 与CD 所成角的余弦值为（ ）A.B.C.3D.512. 若函数()()x x f x e e m mx =--有两个不同零点，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. ()1,+∞ C. ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. (),e +∞ 二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分.13. 已知向量()1,3a =，()4,1b =-，则a b +=________.14. 实数x ，y 满足条件101010x y y x y --≤⎧⎪-≤⎨⎪++≥⎩，则2x y -的最大值为________.15. 已知函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意x R ∈，恒有'()2()f x f x >，()ln 2a ef =，()40b ef =，142c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是_________.16. 我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k ，则两个几何体的体积比也为k .已知线段AB 长为4，直线l 过点A 且与AB 垂直，以B 为圆心，以1为半径的圆绕l 旋转一周，得到环体M ；以A ，B 分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N ；过AB 且与l 垂直的平面为β，平面//αβ，且距离为h ，若平面α截圆柱体N 所得截面面积为1S ，平面α截环体M 所得截面面积为2S ，则12S S =________，环体M 体积为_________.三、解答题：共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程和解题步骤. 17. 数列{}n a 前n 项和为n S ，满足：12a =，122n n a S +=+.（1）求证：数列{}1n S +是等比数列； （2）求和：12n S S S ++⋅⋅⋅+. 18. 已知函数2()28f x x x =--.（1）画出()f x 的图象，并写出()f x 的增区间（不需要证明）；（2）若()f x 的图象与216y x kx k =-+-在[]2,4-上没有公共点，求k 的取值范围.19. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：1sin sin sin (sin sin )2a Ab Bc C a B b A +=++.（1）求C ∠；（2）若ABC △周长为6，求ABC △面积的最大值. 20. 已知函数2()ln 1f x x a x =--的最小值为0. （1）求a ；（2）设()00,x y 是()y f x =上一点，证明：()()000()'f x f x x x y ≥-+.21. 四棱台1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，1112AB AD DD A B ===，2CD AB =，//AB CD .（1）证明：平面11DBB D ⊥平面11BCC B ；（2）若BD BC =，平面1C AD 交1BB 于M ，求CM 与平面11DCC D 所成角的正弦值. 22.已知函数()x f x e =.（1）对0x ≥，()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围；（2）证明：1ni =<121ni n i a a a a ==⋅⋅⋅∏.东至县2021届高三上学期12月大联考理科数学试卷参考答案一、选择题 1.【答案】C 【解析】111001x x x x->⇒>⇒<<，2log ()12x a a x a -<⇒<<+，由题意得：01021a a a ≤⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，故选C. 2.【答案】B【解析】当,180a b =︒时，0a b ⋅<，故p 为假命题：3()tan tan 244f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭tan tan 044x x ππ⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝，故q 为真命题，故选B.3.【答案】A【解析】1sin 1sin ()()lg lgcos cos x xf x f x x x-+-+=+221sin lg 0()()cos x f x f x x -==⇒-=-，可知：()f x 是奇函数，排除C 、D ，0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，1sin 1cos x x +>，1sin lg 0cos xx+>，故选A.4.【答案】B【解析】2442a b ab a b B A a b a b +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭≤=+⇒<++，223322()b a b a a b ab C A a b a b ab+---=+-+=()222()()()()0a b a ab b ab a b a b a b abab+-+-++-==>，故C A B >>.5.【答案】B【解析】由'221y x x ==⇒=，由点斜式得切线方程：()121y x -=-，对曲线()ln y x a =+，11'22y x a x a ==⇒=-+，代入()ln y x a =+得：ln 2y =-，将1,ln 22a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入21y x =-，得：11ln 221ln 222a a ⎛⎫-=--⇒= ⎪⎝⎭.6.【答案】A【解析】由()()11211133432a d a d a a d a d +=+⎧⎪⎨++=+⎪⎩，解得：11a =，2d =，故21na n =-，∴2112224n a n n --==⋅，()121321142222222241143nn a a a n n--+++=+++=⋅=--.7.【答案】D【解析】343sin 4cos 5sin cos 5sin()55y x x x x x θ⎛⎫=+=⋅+⋅=+ ⎪⎝⎭，其中3cos 5θ=，4sin 5θ=（θ为锐角），22k k ππθπϕϕπθ+=+⇒=+-，仅当0k =时，符合题意，故4cos cos sin 25πϕθθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭.8.【答案】B【解析】不妨设120x x <<，则()()212122f x f x x x =⇒-=-而21x x =-，∴222221x x x =-⇒=，故()11m f ==.9.【答案】B【解析】()111131313131331133331n n n nn n n n n a a a a a ----++=⋅=⇒==--++， ∴()()()122020122020011931313113123331331331a a a ++++=⋅=⋅+++. 10.【答案】C【解析】由()f x 的图象可知：①②正确，对③、④，当2a >时，若2b ≥，则111a b+<，若12b <<，则()()()()ln 1ln 1f a f b a b >⇒->-()()ln 1ln 1a b ⇒->--，化为()()ln11011a b ab a b ⇒-->⇒--+>111a b⇒+<，故③正确.11.【答案】D【解析】ABCD 为正方形，故//AB CD ，PAB ∠即为所求异面直线所成角，2224PA PC R +=与2PA PC =，求得：PA =，AB =，PB PD PO BD PB =⇒⊥⇒=，22216225cos 42R R R PAB R +-∠==.12.【答案】B【解析】解法一：2()xx f x eme mx =--，()22'()221x x x x f x e me m e e m =--=-+，显然0m ≤时，'()0f x >，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，()f x 至多只有一个零点，不符合题意；0m >时，2'()2x x y f x e me m ==--，令x t e =，0t >，则22y t mt m =--，易知，函数在()0,+∞上有且仅有一个零点，记为0t ，设00xt e =，则00220x xe me m --=①，()00,t t ∈时，0y <，即()0,x x ∈-∞时，'()0f x <，()0,t t ∈+∞时，0y >，即()0,x x ∈+∞时，'()0f x >， ∴()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 又x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞. ∵()f x 有两个不同零点，∴()002min 00()0x x f x f x eme mx ==--<②，又由①得00221x x e m e =+③，代入②式得：()0000220201x x x x e e e e x -+⋅<+，即00210xx e +->，记()21xg x e x =+-，'()20xg x e =+>，∴()g x 在(),-∞+∞上单调递增，又()00g =，∴00x >，∴001x t e=>，∴00220020022211111x x t e t e m t t ===>+++，∴m 的取值范围为()1,+∞.解法二：当0m =时，2()0xf x e=>恒成立，()f x 无零点，不符合题意；当0m ≠时，令()0f x =得20xxme e mx --=，∴()2xxx m e e +=，∴21x x m e xe+=.记2()x x e x g x e +=，221'()x xg x ee x --+=， 记()21xh x e x =--+，'()20xh x e =--<恒成立， ∴()h x 在(),-∞+∞上单调递减，又()00h =， ∴(),0x ∈-∞时，()()00h x h >=，∴'()0g x >，()0,x ∈+∞时，()()00h x h <=，∴'()0g x <，∴()g x 在(),0-∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上单调递减， 又x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →，()01g =，∵()f x 有两个不同零点，∴1y m=与2()x x e x g x e +=有两个不同交点，∴101m<<，∴1m >.二、填空题 13.【答案】5【解析】()3,45a b a b +=-⇒+= 14.【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图，2x y z -=可化为2y x z =-，斜率为2的直线，当截距z -最小时，z 取最大值，此时最优解为()2,1，3z =.15.【答案】b c a <<【解析】[]22()''()2()0x xf x e f x f x e --⎡⎤=->⎣⎦，故2()()xg x f x e-=为增函数，由10ln 22<<可知：()()10ln 22g g g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(ln 2)2(0)4f f f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭<<，故14(0)4(ln 2)2ef f ef ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b c a <<. 16.【答案】12π28π【解析】14S ==222S r r ππ=-外内，其中，(224r =外，(224r =内，故212S S ππ==，即1212S S π=，环体M 体积为：22248V ππππ=⋅=柱.三、解答题 17.【答案】见解析【解析】（1）()1112232131n n n n n n a S S S S S +++=+⇒=+⇒+=+， ∵112S a ==，132n n S S +=+， ∴0n S >，∴10n S +>， ∴1131n n S S ++=+对任意*n N ∈恒成立，故数列{}1n S +是以113S +=为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）知：11333n n n S -+=⋅=，即31nn S =-，故1212313131nn S S S +++=-+-++-1133331322n n n n +-=⋅-=---.18.【答案】见解析【解析】（1）()f x 的图象如图.增区间为()2,1-，()4,+∞（写作[]2,1-，[)4,+∞亦可）. （2）24x -≤≤时，方程222816x x x kx k --=-+-， 化为：()222816x x x kx k ---=-+-， 即22(2)240x k x k -++-=在[]2,4-上无解，令2()2(2)24g x x k x k =-++-， 由()1240g =-<，可知：[]2,4-上，()0g x <恒成立， 等价于(2)82(2)24004(4)324(2)240g k k k g k k -=+++-<⎧⇒<<⎨=-++-<⎩.19.【答案】见解析【解析】（1）由正弦定理得：222122a b c ab +=+⋅， 得：2221cos 22a b c C ab +-==，又018060C C ︒<∠<︒⇒∠=︒； （2）由66a b c c a b ++=⇒=--，代入222222(6)a b c ab a b a b ab +=+⇒+=--+，整理得：124()ab a b +=+≥t =，则281206t t t -+≥⇒≥或236t ab ≤⇒≥或4ab ≤，而226922a b ab +⎛⎫⎛⎫≤<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故4ab ≤，故ABC △的面积11sin 4222ABC S ab C =≤⋅⋅=△即ABC △20.【答案】见解析【解析】（1）∵()10f =与()f x 的最小值为0可得：()'102f a =⇒=. 代入检验得：2a =符合题意.（2）证明：令()()000()()'g x f x f x x x y =---，则()0'()'()'g x f x f x =-， 令2()'()2h x f x x x ==-，则22'()20h x x=+>， 故()'()h x f x =为增函数，故在()00,x 上，()0'()'()'0g x f x f x =-<； 在()0,x +∞上，()0'()'()'0g x f x f x =->； ∴()()000()0g x g x f x y ≥=-=， 故()()000()'f x f x x x y ≥-+. 21.【答案】见解析【解析】（1）取CD 中点为Q ，则DQ AB =且DQ AB =且//DQ AB ⇒四边形ABQD 为平行四边形， 故BQ AD AB DQ QC ====， ∴CDB DBQ ∠=∠，DCB CBQ ∠=∠， 由三角形内角和为180︒，得90DBC ∠=︒， ∴BC DB ⊥.又1DD ⊥平面1ABCD DD BC ⇒⊥， ∵又1DD DB D =，∴BC ⊥平面11BDD B ，又BC ⊂平面11BCC B ，平面11DBB D ⊥平面11BCC B . （2）由（1）知：90DBC ∠=︒，又BD BC =， ∴45BDC ABD ADB ∠=︒=∠=∠， ∴90ADC ∠=︒.不妨设2AB =，以D 为原点，DA 、DC 、1DD 方向为x 、y 、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()10,2,2C ，()11,1,2B ，()0,4,0C ，设(),,M x y z 且1BM BB λ=，则222x y z λλλ-=-⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，()2,2,2M λλλ--，设平面1ADC 的法向量为(),,m a b c =，则10202200m DA a b c m DC ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩，令1b =，则()0,1,1m =-，222030m DM λλλ⇒--=⇒⋅==， 故444,,333M ⎛⎫⎪⎝⎭，484,,333CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，平面11CDD C 法向量为()2,0,0DA =，设CM 与平面11DCC D 所成角为θ，82sin CM DA CM DAθ⋅⋅⋅===故CM 与平面11DCC D 所成角的正弦值为622.【答案】见解析【解析】（1）由()0f x ≥恒成立可得：xe2221x x x e m ++≥恒成立，令22()21xg x ex mx =---，0x ≥，()()00g x g ≥=的一个充分条件是2'()240x g x e x m =--≥，而2''()440xg x e=-≥，故'()g x 是增函数，故只需'(0)202g m m =-≥⇒≤，2m >时，在区间10,ln 22m ⎛⎫⎪⎝⎭上，12ln 2222'()24220mx x g x e x m e m e m ⋅=--<-<-=，()g x 为减函数，()()00g x g <=，不合题意.∴2m ≤. 又由定义域可知：0x ≥时，2210x mx ++≥恒成立，当0x =时成立，显然成立.且0x >时，12m x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭恒成立，∴m ≥-∴2m -≤≤；（2）由（1xe ≤，对0x ≥恒成立，将2(1,2,3,,)(1)ix i n n ==+2(1)(1,2,3,,)in e i n +≤=，故()22212(11)(1)1nn i nn n e e e +++=⋅⋅⋅⋅≤2121(1)2(1)2n n n n e ee +++++==<=。