安徽省池州市东至县第三中学2020-2021学年度第一学期期中考试高一数学

东至三中2020-2021学年度（上）期中考试高一数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列叙述正确的是( )A. 方程x 2+2x +1=0的根构成的集合为{−1,−1}B. {x ∈R|x 2+2=0}={x ∈R|{2x +1>0x +3<0}C. 集合M ={(x,y)|x +y =5，xy =6}表示的集合是{2,3}D. 集合{1,3，5}与集合{3,5，1}是不同的集合2. 若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A⋂B =A ； ②A ∪B =A ； ③A ∩(∁I B)=⌀；④A ∩B =I; 中与命题A ⊆B 等价的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 下列结论正确的个数为( )①两个实数a ，b 之间，有且只有a >b,a =b,a <b 三种关系中的一种；②若ab >1，则a >b ；③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变； ④一个非零实数越大，则其倒数就越小；⑤a >b >0,c >d >0⇒ad >bc ； ⑥若ab >0，则a >b ⇔1a <1b ． A. 2 B. 3C. 4D. 54. 已知函数f (x )的定义域A ={x |0⩽x ⩽2}，值域B ={y |1⩽y ⩽2}，下列选项中，能表示f (x )的图象的只可能是( )A. B. C. D.5.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0,+∞)时，f(x)是增函数，则f(−2),f(π),f(−3)的大小关系是()A.f(π)>f(−3)>f(−2)B. f(π)>f(−2)>f(−3)C. f(π)<f(−3)<f(−2)D. f(π)<f(−2)<f(−3)6.下列四组函数，表示同一函数的是()A.f(x)=√x2，g(x)=xB. f(x)=√x2−4，g(x)=√x+2√x−2C. f(x)=x，g(x)=x2xD. f(x)=|x+1|，g(x)={x+1,x≥−1−x−1,x<−17.设，则f(5)的值是()A.24B. 21C. 18D. 168.函数f(x)={(2b−1)x+b−1,x>0−x2+(2−b)x,x≤0在R上为增函数，则b的取值范围是()A.(12,+∞) B. (12,2] C. (−12,2] D. [1,2]二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选地的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9.(多选)设集合M={x|x=6k+1,kϵZ}，N={x|x=6k+4,kϵZ}，P={x|x=3k−2,kϵZ}，则下列说法中正确的是()A.M=N⊊PB. (M∪N)⊊PB.C. M∩N=⌀ D. ∁P M=N10.已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，则()A.x1x2+x1+x2<0的解集为{a|−43<a<0}B. x1x2+x1+x2的最小值为−43C. x1+x2+a x1x2的最大值为−4√33D. x1+x2+a x1x2的最小值为4√3311.下列结论中错误的命题是()A.函数y=x2是幂函数B. 函数y=√x2−2018+√2018−x2是偶函数不是奇函数C. 函数y=1x的单调递减区间是(−∞,0)∪(0,+∞)D. 有的单调函数没有最值12.给出下列四个命题是真命题的是：()A.函数y=|x|与函数y=(√x)2表示同一个函数；B. 函数y=f(x)与直线x=a(常数a∈R)有且仅有一个交点；C. 函数y=3(x−1)2的图像可由y=3x2的图像向右平移1个单位得到；D. 若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(2x)的定义域为[0,1]；三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a∈R，则“a>2”是“a2>2a”的__________条件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)14.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．15.已知函数f(x)是定义在(−2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m−1)+f(1−2m)≥0，则实数m的取值范围是______．16.若命题“∃x∈[1,4],x2−2ax+4≤0”为假命题，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17.(本题10分）已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x2−6x+8=0}，B={3,4,5,6}．(1)求A⋃B，A⋂B；(2)写出集合A的所有子集．18.(本题12分)已知集合A={x|1<x<3}，集合B={x|2m<x<1−m}．(1)当m=−1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．19.（本题12分）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场疫情防控阻击战．目前，我国疫情防控进入常态化．王兵开办了一家印刷厂．如图，一份矩形宣传单的排版面积(矩形ABCD)为P，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白．(1)若AB=20cm，BC=30cm，且该宣传单的面积不超过1000cm2，求a的取值范围；(2)若a=2cm，P=800cm2，则当AB长多少时，才能使纸的用量最少？20.（本题12分）已知关于x的不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1，或x>b}(b>1)．(1)求a，b的值;(2)当x>0，y>0，且满足ax +by=1时，有2x+y≥k2+k+2恒成立，求k的取值范围．21.（本题12分）已知函数f(x)=x+bx2−1是定义域(−1,1)上的奇函数．(1)确定f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在区间(−1,1)上是减函数；(3)解不等式f(t−1)+f(t)<0．22.（本题12分）已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+3(m∈R)在(0,+∞)上单调递增．(1)求m值及f(x)解析式；(2)若函数g(x)=−√f(x)23+2ax+1−a在[0,2]上的最大值为3，求实数a的值．东至三中2020-2021学年度（上）期中考试高一数学试题答案和解析1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】D9.【答案】CD10.【答案】ABC解：∵不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为{x|x1<x<x2}，根据根与系数的关系，可得x1x2=3a2，x1+x2=4a，则x1x2+x1+x2<0可化为3a2+4a<0，解得−43<a<0，∴A正确；x1x2+x1+x2=3a2+4a=3(a+23)2−43≥−43，∴B正确；x1+x2+ax1x2=4a+13a，∵a<0，∴−4a−13a≥2√(−4a)·(−13a)=4√33，当且仅当−4a=−13a ，即a=√36时取等号．即4a+13a ≤−4√33，故x1+x2+a x1x2的最大值为−4√33，∴C正确，D错误．11.【答案】BC 12.【答案】CD13.【答案】充分不必要14.【答案】9215.【答案】[0,32)16.【答案】(−∞,2)解：由题意可知：原命题等价于∀x∈[1,4],x2−2ax+4>0，也即∀x∈[1,4],a<x2+42x =x2+2x恒成立，易得函数y =x 2+2x 在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增， 所以当x =2时，函数y =x2+2x 取最小值2，所以a <2,17.【答案】解：(1)由已知得A ={2,4}，故A ∪B ={2,3,4,5,6}，A ∩B ={4}．........6分 (2)A 的子集有⌀,{2},{4},{2,4}．.......4分18.【答案】解：(1)当m =−1时， B ={x|−2<x <2}，则A ∪B ={x|−2<x <3}.........3分 (2)由A ⊆B 知{1−m >2m2m ⩽11−m ⩾3，解得m ≤−2，即m 的取值范围是(−∞,−2].............6分 (3)由A ∩B =⌀得①若2m ≥1−m ，即m ≥13时，B =⌀符合题意 ②若2m <1−m ，即m <13时，需{m <131−m ⩽1或{m <132m ⩾3得0≤m <13或⌀，即0≤m <13综上知0≤m ，即实数的取值范围为[0,+∞)...........12分19.【答案】解：(1)该宣传单的面积为(20+2a)(30+4a)，由题意可得(20+2a)(30+4a)≤1000，解得−20≤a ≤52， 又a >0，故a ∈(0,52]；........6分 (2)设AB =xcm ，则BC =800xcm ，则该宣传单的面积为S =(x +4)(800x+8)=832+3200x+8x ⩾832+2√3200x·8x =1152，当且仅当3200x=8x ，即x =20时等号成立，故当AB 长20cm ，才能使纸的用量最少．.......12分20.【答案】解：(1)解一：因为不等式ax 2−3x +2>0的解集为{x|x <1或x >b}，所以1和b 是方程ax 2−3x +2=0的两个实数根且a >0， 所以{1+b =3a1·b =2a，解得{a =1b =2，........5分(2)由(1)知{a =1b =2，于是有1x +2y =1，故2x +y =(2x +y)(1x +2y )=4+y x +4x y≥8，当且仅当{x =2y =4时，等号成立，依题意有(2x +y)min ≥k 2+k +2，即8≥k 2+k +2，得k 2+k −6≤0⇒−3≤k ≤2，所以k 的取值范围为[−3,2]．.......12分21.【答案】解：(1)由于函数是定义域上的奇函数，则，即，化简得，因此，．........4分(2)任取、，且，即，则， ，，，，，．，，因此，函数在区间上是减函数．.....8分 (3)由(2)可知，函数是定义域为的减函数，且为奇函数， 由得，所以，解得．因此，不等式的解集为．......12发22.【答案】解：(1)幂函数f(x)=(m −1)2x m 2−4m+3(m ∈R)在(0,+∞)上单调递增，故：{(m −1)2=1m 2−4m +3>0,解得：m =0．故：f(x)=x 3．.....4分 (2)由于f(x)=x 3．所以：函数g(x)=−√f(x)23+2ax +1−a =−x 2+2ax +1−a ， 函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为x =a ．由于在[0,2]上的最大值为3， ①当a ≥2时，g(x)在[0,2]上单调递增， 故：g(x)max =g(2)=3a −3=3，解得a =2． ②当a ≤0时，g(x)在[0,2]上单调递减，故：g(x)max =g(0)=1−a =3，解得：a =−2．③当0<a <2时，g(x)在[0,a]上单调递增，在(a,2]上单调递减， 故：g(x)max =g(a)=a 2+1−a =3，解得：a =−1(舍去)或2(舍去)， 综上所述：a =±2．.......12分。