4.1实变函数与泛函分析 可测函数

n1
n


n1
n
( a-1/n
[
a ( a [ a+1/n
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n


n1
n
3.可测函数常见类
结论2.简单函数是可测函数
nFra Baidu bibliotek
可测函数 a R, E[ f a]可测
若 E E ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
i i
g 可测
f 连续
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可 测函数。
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a，
m (E[f g>a])={x| f( g(x))>a}可测即可,
由于f在R上连续，故F[f>a]为R中的开集，
又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的 开区间的并，故不妨令 F[ f a ] (ai , bi )
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
注： 若 ( x)
c
i 1 i n i 1
n
Ei
( x)为简单函数，
则f ( ( x)) f (ci ) Ei ( x)仍为E上简单函数。
6：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即th6： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) (
)
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
i 1 i
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n
E ( x)
i
1 xEi 0 xE Ei
注2：Dirichlet函数是简单函数
0 1
TH2.可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
2.可测函数的等价描述
TH1：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可,
{x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞)))
( ai , bi ) f-1((a,+∞)) = i
g 1 ((ai , bi )) ( g 1 (( ai , bi )))
E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
(2).
En , f(x)限制在E 上是可测函数， 若 En 1 n

则f(x)在E上也是可测函数。

E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
⑵ th4.可测函数类关于四则运算封闭
E[ f 2 a ] {
E E[ f
a]
E[ f
a]
a 0 a 0
再利用f(x)g(x) ={(f(x)+g(x))2 - (f(x) -g(x))2}/4即可
⑶
TH5.可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f n ( x)}
i
E[ ai g bi ]为可测集 再由g可测，可知 E[ fg a ] i
注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f( g(x))不一定 是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》， 周民强，p114)
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是可 测函数。
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，
另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。
E E [ f a] n 1 1 [f a ] n E E [ f a] n 1 1 [f a ] n
证明：利用 (1)与(4),(2)与(3)互为余集，及
E E E [a f b ] [ f a] [ f b]
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n n m n
( x) inf{ f n ( x)}
lim sup f n ( x) inf sup{ f m ( x)} lim inf f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
n n m n
E[ a] E[ f n a]
n1

E[ a] E[ f n a]
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x) g(x)仍为E上的可测函数
。
证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R
０
()
反之也有E[ f a ] ( O( x , x ) ) E G E
xE[ f a ]
故E[ f a] G E为可测集
例1. P79.
[a,b]上的连续函数和单调函数都为可测函数。
4.可测函数的性质
th3.可测函数关于子集、并集的性质
即(1)若f(x)是E上的可测函数,E1
可测函数与简单函数的关系
Th7.若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单
函数 的极限
{n ( x)}
f ( x) lim n ( x)
n
，而且还可办到
| 1 ( x) || 2 ( x) |
注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛
例3：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x))是 可测函数。
n n
再利用lim f n 和 lim f n 是可测函数即可
n n
注意：函数列收敛与函数列收敛于f的不同.
5.可测函数与简单函数的关系
M
m
M
M m | n ( x) f ( x) | n1 2
m 可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
P82.函数的正部与负部.
n1

推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
例1： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f `(x)是可测函数. 利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 2. 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散 点全体是可测集.
f n lim f n ] 证明：发散点全体为 E[lim n n
收敛点全体为 E[lim f n lim f n ]
rQ
a-g(x)
r
f(x)
证明中利用了 Q是可数集和 反之 ( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]也成立 R中的稠密集 rQ 两个性质
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,
则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x), 1/g(x), cg(x), |g(x)|
仍为E上的可测函数。（可见p80证法）
a-g(x) r f(x)
证明 ：只要证a R, E[ f g a] E[ f a g ]可测，
第四章 可测函数
第一节 可测函数的定义及性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
0
i 1
n
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1.可测函数定义
定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 若a R, E[ f a ] 可测，则称f(x)是E上的可测函数

)，
结论1. 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成 n ( x) 一列简单函数 {n ( x)} 的极限 g ( x) lim n
因为f(x)连续，故
f ( g ( x)) f ( lim n ( x)) lim f ( n ( x))
n n
所以f( g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数