正态分布

正态分布（normal distribution ）一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。

概率密度函数， -∞<x<∞二、 参数1、可变参数（1）位置参数 μ E （x ）=μ表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ11 2 3(2) 形态参数 σ表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1 V(x)= σ2固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0 (2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3 * 样本偏度系数g 1与样本峰度系数g 2公式复杂，可参阅其他教材。

三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律P{μ-σ<x<μ+σ}=0.6827P{μ-1.96σ<x<μ+1.96σ}=0.9500 P{μ-2.58σ<x<μ+2.58σ}=0.990022()())2X f X μσ-=-四、 应用1、描述资料分布2、依据面积分布规律求医学参考值范围3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线4、标准正态分布的U 值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。

而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n 、x 、s ）已计算出例：已知x =50，S=10,N=200,求45<x<65的频数 解：令x 1=45 x 2=65U 1=(45-50)/10=-0.5， U 2=(65-50)/10=1.5 查U 值表Ф{-0.5< U 1<0}=0.5-0.3085=0.1915 Ф{0< U 2<1.5}=0.5-0.0668=0.4332 P{-0.5<U<1.5}=0.1915+0.4332=0.6247 200×0.6247=1255、正态分布式在特定条件下一些离散型分布的极限分布，这意味着只要符合特定条件，这些离散型分布亦可按正态近似法处理。

五、 标准正态分布1、U 转换2、函数 22121)(xex F -=π3、参数E(U)=0V(U)=14、曲线下面积（概率）分布规律 P{-1<u<1}=0.6827P{-1.96<u<1.96}=0.9500 P{-2.58<u<2.58}=0.9900六、 医学参考值（医学正常值）范围的制定1、定义或概念：医学参考值是指正常或健康人总体人群中的大多数（通常为95%）某专业指标测定值的波动范围。

正常或健康人是指其身体状况或疾病状态不影响该专业指标的水平和测量，而非指任何疾病和缺陷都不存在的σμ-=x u人。

特别注意不能用该专业指标判定正常人或健康人！2、医学参考值科研设计中应注意的问题（1）选择和纳入适宜人群①必须是大样本②正确的纳入和排除标准③考虑到专业指标测定值分布上的分组（先细后粗），和该指标组间的差别统计分析。

（2）专业指标测量方法学的要求①方法的精密度和准确度②测量片性归因因素4M1E③样品收集方法及样品的转运、储存及测定准备于条件（3）确定单、双侧*过高、过低均为异常是双侧（如RBC），过高异常为单侧上限（如体液毒物），过低异常为单侧下限（如肺活量）（4）选择适当百分位置：如不明确专门指出（如80%、90%等），一般均系95%。

如正常人与疾病人该指标分布有交叉，要根据目的权衡假阳性和假阴性。

以确诊为目的，要减少假阳性，故百分范围取大；以发现病人为目的，要减少假阴性，故百分范围应适当取小。

（5）根据x的分布选择统计方法近似正态——正态法单峰偏态可转变为正态——对数正态法单峰偏态不能转为正态——百分位数法3、计算公式（1）正态法（2）百分位数法（3）对数正态法双侧x±1.96S Xp2.5～Xp97.5 lg-1(x lgx±1.96S lgx) 单侧上限x+1.645S 0～Xp95 lg-1(x lgx+1.645S lgx) 单侧下限x-1.645S Xp5～Xmax lg-1(x lgx-1.645S lgx)二项分布（bionomial distribution ）● 实验 已知 总体阳性率 Л=0.8；若检测两份独立样品 根据概率乘法定理 结果又4种情况 ① 两样品同为阳性 ○ ○ P=0.8×0.8=0.64 ② 甲阳乙阴 ○ ● P=0.8×0.2=0.16 ③ 甲阴乙阳 ● ○ P=0.2×0.8=0.16 ④ 两样品均为阴性 ● ● P=0.2×0.2=0.04 合之，恰为（0.8+0.2）2的展开式，共3次，系数为1、2、1若监测三份独立样品，结果恰为（0.8+0.2）3的展开式，共4次，系数为1、3、3、1……若检测n 份独立样品，结果恰为（0.8+0.2）n 的展开式，共n+1次，系数为杨辉三角的“基层”。

一、定义 若实验只有互相对立的两种结果（阳性与阴性、治愈与未愈、发病与未发病、中毒与未中毒，……），在n 次独立实验中，出现0、1、2、……n 任何一种阳性结果数的概率分布，可用计算和描述，称之为符合二项分布。

二、参数 n 和Л两个参数数学期望 E(x)=n ·Л (即平均阳性数) 方差 V （x ）=n Л(1-Л)三、 图形 注意不同于连续型随机变量的曲线分布图形，而是离散型取值的概率高度。

1、Л=0.5时 对称分布。

如n=3k n k k n k k nk n k n C k X P ----=-==)1()!(!!)1()(ππππ2、Л≠0.5时 不对称，但随n 的增大，超于截尾对称。

四、 应用1、在n 和Л已知情况下，可求任何可能阳性（n+1种）数的取值概率如 已知某地钩虫感染率为13%，随机观察当地150人，其中有15人感染钩虫的概率可计算为：0569.0)!15150(!15!150)15(87.013.0)15150(15=⨯⨯-==-x P2、在n 和Л已知情况下，可求累积概率 如上例，要求计算x ≤5的概率P(x=5)=0.00003733=3.7328×10-5 P(x=4)=0.000008555=8.5552×10-6 P(x=3)=1.5579×10-6P(x=2)=2.1134×10-7P(x=1)=1.8985×10-8P(x=0)=8.4701×10-10合计 ∑P （x=5）=4.7672×10-53、是率的分布理论基础（1） n+1种阳性数，就意味着n+1种阳性率nxP =,(x=0、1、2、……n) （2） 如n Л及n(1-Л)≥5时，可按正态近似。

4、如资料符合二项分布，应按二项分布法进行参数估计和假设检验5、由于二项分布的Л已知，意味着阳性结果发生均按同样阳性率规律发生，因此各次试验独立进行，互不影响，时间发生无聚积性。

据此可进行某种频数分布用二项分布模型进行拟合（检验方法为拟合优度卡方检验），若拟合适度说明符合二项分布，事件有独立性、无聚积性；反之，拟合不适度，说明不符合二项分布，事件发生不独立，相互有影响，说明有聚积性。

（传染病和遗传性疾病的发生有聚积性，不符合二项分布）泊松分布（poisson distribution ）● 数学关系在二项分布基础上，令n Л=λ(平均阳性数)，当Л→0和n →∞时，可推导出下列分布，即ex x P xλλ-=!)(，由于是法国数学家poisson 发现故为泊松分布。

该分布主要描述极微小概率事件的分布，故多用于医学中单位大空间中发生质点事件的概率计算,如 水中细菌数分布概率、每立升空气中粉尘计数概率、单位时间（如1分钟）放射性质点数概率，大规模观察人年数中，疾病发生数概率等。

一、定义与函数若单位空间质点事件概率分布能用下列函数描述和计算，则称符合泊松分布。

ex x P xλλ-=!)(二、参数 只有一个λ。

E(x)= λV(x)= λ即说明泊松分布，均数二方差 三、图形泊松分布可以λ的取值为横轴（注意一般曲正整数——λ为平均阳性数），以概率为纵轴画出图形为离散取值的概率高度（类似于二项分布） 四、应用1、概率估计（已知单位空间平均质点数λ）求各种质点数的概率如已知100cm 2的培养皿中平均菌落数为6个，求菌落数x=3的概率089235078.0!3)3(636===-e x P2、求累积概率上例中，求x ≤3的概率P(x ≤3)=P(x=3)+ P(x=2)+ P(x=1)+ P(x=0)=0.151203882 3、当λ≥20时，可按正态近似处理4、解决符合泊松分布资料的参数估计和假设检验问题5、可进行泊松分布拟合，以考察资料频数分布是否有聚积性 五、注意点1、具有可加性，不具有乘积性和扩倍性，但可缩空为近似2、分析泊松分布资料在同等空间质点数分析对比时不考虑空间大小但在不等空间质点技术分析对比时，应化作同等空间（大空间→小空间）。