一般位置直线段实长及倾角讲解方法的探讨

对于一般位置直线，求其实长及其对投 影面的倾角有直角形法或换面法［ １ ～２ ］ 。对于 这两种方法，换面法比较简单，这里着重介
我们知道，直线由两点确定，要作直线 的投影，实质就是作出线上两点的投影，也就 是说，它的投影由直线上两点的同面投影的连 线来确定。由此得到直线 ＡＢ 的 Ｖ 投影 ａ ＇ ｂ ＇ 和 Ｈ 面的投影 ａｂ，其中 ａｂ 垂直 Ｂｂ。过 Ａ 点 作 Ａ Ａ １ 平行于 ａ ｂ ，则 Ａ Ａ １ 垂直于 Ｂ ｂ ，由此 得一直角三角形 Ｂ Ａ Ａ １ 。
综上所述，借助于直角三角形，就可以 用图解法求出线段ＡＢ的实长和与投影面的倾 角 。 这 种 方 法 称 之 为 “ 直 角 三 角 形 法 ”。
用直角三角形法求线段实长及倾角时， 特别要注意倾角与两直角边一定是与同一投影 面发生关系。直角三角形的构成图将这种关 系表达得十分清晰。用直角三角形法求实长
三、结论
以学生为中心，发挥学生的想象空 间，从日常生活中所见到的一些事物开 始，探讨求一般位置直线实长及其对投影 面倾角求解的必要性，总结实长、倾角和 夹角的求解规律。即在投影图上求线段的 实长和倾角的方法是：以线段在某个投影 面上的投影为一条直角边，以线段的两端 点到该投影面的距离差为另一条直角边作 直角三角形，该直角三角形的斜边就是所 求线段的实长，而此斜边与投影的夹角， 就是该线段对该投影面的倾角。
Ａ ｎｏｖｅｌ ｉｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｗａｙ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌ ｌｉｎｅ’ｓ ｌｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｉｔｓ ｏｂｌｉｑｕｉｔｙ ａｎｇｌｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐｌａｎｅｓ ＨＵ Ｓｈａｏｘｉｎｇ１ ＺＨＡＮＧ Ａｉｗｕ２ ＬＩＵ Ｊｉｎｇｈｕａ１ ＷＡＮＧ Ｙｕｎｑｉａｏ１
习题 １ 已知直线 Ａ Ｂ 的两投影，见图 ４，求直线 Ａ Ｂ 对 Ｖ 面的倾角和线段的实长。
解：有两种解法，求解过程见图 ４ 。
如图 ５ 。
图 ５ 习题 ２ 的求解过程 作图步骤： （１ ）以 ｃ ｄ 为一直角边，过 ｃ 点作一直 线 ｃｍ 垂直于 ｃｄ ； （２ ）以 ｄ 点为圆心，以 ４ ５ 为半径，作 一圆弧与直线 ｃ ｍ 相交于 ｎ 点，得直角三角 形，ｃｎ 的长度即为空间直线 ＣＤ 的 Ｚ 坐标差； （３ ）根据投影关系，得到直线 Ｃ Ｄ 正面 投影，即 ｃ ＇ ｄ ＇。 习题 ３ 已知直线 Ａ Ｂ 的投影 ａ ＇ ｂ ＇，与 Ｖ 面的倾角β ＝ ３ ０ °，求其水平投影。 分析：由直角三角形的构成图可知， 若倾角为β，则该直角三角形的两条直角 边一定是线段在 Ｖ 面的投影和两端点对 Ｖ 面的距离之差。ａ ＇ ｂ ＇已知，倾角已知，该 直角三角形可以得到。另一直角边即为两 端点对 Ｖ 面的距离之差△ Ｙ ，从而可以求 出 Ｈ 面投影，求解过程见图 ６ 。
摘 要 从观察日常生活中诸多部件或零件开始， 引出一般位置直线实长及其对投影面倾角 求解的必要性，给出由投影求出一般位置 直线的实长及其对投影面倾角及直线与投 影轴夹角的方法，总结实长、倾角和夹角 的求解规律。而后通过几个典型习题的作 图过程分析，加深学生对定理的理解。几 轮讲述表明：采用该种形式学生不仅能够 快速掌握直角三角形法，而且也能激发学 生学习工程制图的兴趣。 关键词 一般位置直线；直角三角形法；实长；倾 角；夹角 中图分类号：Ｏ２２１ 文献标志码：Ａ
图 ４ 习题 １ 的求解过程
方法一：在 Ｈ 投影面上作图，这里直 线 Ａ Ｂ 的水平投影已知，可以直接得到 Ｙ 坐 标差。过 ｂ 点作 ＯＸ 轴的平行线，与 ａ ＇ ａ 相 交与 ｍ ，则 ｍ ａ 的长度为 Ｙ 坐标差，延长使 ｍ ｎ ＝ａ ＇ ｂ ＇，连接 ｎ ａ ，得直角三角形 ｎ ｍ ａ 、。 这里 ｎ ａ 为 Ａ Ｂ 的实长，直角边 ｍ ａ 所对的夹 角为空间直线 Ａ Ｂ 与 Ｖ 面所成的倾角β。
例 ２：求空间直线 ＡＢ 的实长及对 Ｖ 面的 夹角β。
解：求解过程见图 ２ 。
图 ３ 倾角γ的求法示意图
从图中看出：对应的直角三角形为 Ｂ ２ Ｂ Ａ 。在该三角形中，∠ Ｂ ２ Ｂ Ａ 即空间直 线 ＡＢ 与 Ｗ 面所成的倾角，定义为γ；该角所 对的边为空间直线 ＡＢ 的 Ｘ 坐标差，另一条直 角边为直线 Ａ Ｂ 的 Ｗ 投影 ａ ’ ｂ ’ 的长度。斜 边是直线 ＡＢ 的实长，该角的余角为空间直线 与Ｘ轴的夹角。可见求实长及夹角最主要的问 题也是找到对应的直角三角形。
例 １：求空间直线 ＡＢ 的实长及对 Ｈ 面的 夹角α。
解：求解过程见图 １ 。
图 ２ 倾角β的求法示意图
从图中看出：对应的直角三角形为 Ｂ １ Ｂ Ａ 。在该三角形中，∠ Ｂ １ Ｂ Ａ 即空间直 线 ＡＢ 与 Ｖ 面所成的夹角，定义为β；该角所 对的边为空间直线 ＡＢ 的 Ｙ 坐标差，另一条直 角边为直线 ＡＢ 的 Ｖ 投影 ａ ＇ ｂ ＇的长度。斜边 是直线 ＡＢ 的实长，该角的余角为空间直线与 Ｙ 轴的夹角。可见求实长、倾角及夹角最主要 的问题仍是找到对应的直角三角形。
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｂａｓｉｎｇ ｏｎ ｎｕｍｅｒｏｕｓ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｎｙ ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ ｐａｒｔｓ ａｎｄ ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ， ｔｈｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｖｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌ ｌｉｎｅ’ｓ ｌｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｉｔｓ ｏｂｌｉｑｕｉｔｙ ａｎｇｌｅ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐｌａｎｅｓ ｉｓ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ． Ａ ｎｏｖｅｌ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｇｅｎｅｒａｌ ｌｉｎｅ’ｓ ｌｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｉｔｓ ａｎｇｌｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐｌａｎｅｓ ａｎｄ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ａｘｌｅ ｉｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ． Ａ ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｓｐａｃｅ ｌｉｎｅ’ｓ ｌｅｎｇｔｈ ａｎｄ ｉｔｓ ａｎｇｌｅｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｐｌａｎｅｓ ａｎｄ ａｘｌｅｓ ｉｓ ａｌｓｏ ｇｉｖｅｎ． Ａｕｔｈｏｒ’ｓ ｔｅａｃｈｉｎｇ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ ｉｎｄｉｃａｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｍａｋｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ ａｎｄ ｍａｓｔｅｒ ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ ｍｅｔｈｏｄ ｂｕｔ ａｌｓｏ ｃａｎ ｓｔｉｍｕｌａｔｅ ｓｔｕｄｅｎｔｓ’ ｉｎｔｅｒｅｓｔｓ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｄｒａｗｉｎｇ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｇｅｎｅｒａｌ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｌｉｎｅ； Ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ ｍｅｔｈｏｄ； Ｌｅｎｇｔｈ； Ｏｂｌｉｑｕｉｔｙ； Ａｎｇｌｅ
方法二：在 Ｖ 投影面上作图，过 ａ ＇做 直线 ａ ＇ ｋ 垂直于 ａ ＇ ｂ ＇，并使 ａ ＇ ｋ ＝ ａ ｍ ，连 接 ｋ ｂ ＇，同样可得直角三角形，三角形的 各边及角度含义同法一。
习题 ２ 已知线段 Ｃ Ｄ ＝ ４ ５ ｍ ｍ 及水平投 影，求其正面投影。
分析：由已知条件，由于直角三角形的 斜边已知、一直角边已知，可得直角三角 形。另一直角边即为两端点对 Ｈ 面的距离之 差△ Ｚ ，从而可以求出 Ｖ 面投影，求解过程
ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－８９７２．２０１１．１６．１２３
一般位置直线段实长及倾角讲解方法的探讨
胡少兴 １ 张爱武 ２ 刘静华 １ 王运巧 １ １ 北京航空航天大学机械工程及自动化学院，北京 １００１９１ ２ 首都师范大学三维信息获取与应用教育部重点实验室，北京 １０００３７
图 ６ 习题 ３ 的求解过程
作图步骤： （１ ）首先，过 ｂ ＇作一直线 ｂ ＇ ｎ 垂直于 ａ ＇ ｂ ＇； （２ ）过 ａ ＇点作与 ａ ＇ ｂ ＇成 ３ ０ ０ 的直线， 与直线 ｂ ＇ ｎ 交于 ｍ 点，则 ｂ ＇ ｍ 即为△ Ｙ ； （３ ）根据投影关系，得到直线 Ａ Ｂ 水平 投影，即 ａ ｂ 。
二、典型习题
由直角三角形的构成可知，该部分内 容涉及四个基本作图问题：
已知直线的两投影，求直线与投影面的 夹角和线段的实长；
已知直线的一投影及其与投影面的夹 角，求直线的投影；
已知线段的一投影及其实长，求线段的 投影；
已知线段的实长及其与投影面的夹角， 求直线的投影。
其中第 ３ 和 ４ 可以合成一种情况，下面 我们以习题方式进行讲述，以加深学生对 该方法的理解。
（２）求直线的实长及对 Ｖ 面的夹角。首 先找出空间直线的 Ｙ 坐标差和直线的正面 投影，由这两条边组成直角三角形，Ｙ 坐 标差这条直角边所对的角度为空间直线与 正立投影面所成的倾角，另一条直角边所对 的角度为空间直线与 Ｙ 轴所成的角，斜边为 实际长度。
（３）求直线的实长及对 Ｗ 面的夹角。首 先找出空间直线的 Ｘ 坐标差和直线的侧立投 影，由这两条边组成直角三角形，Ｘ 坐标差 这条直角边所对的角度为空间直线与侧立投影 面所成的倾角，另一条直角边所对的角度为 空间直线与 Ｘ 轴所成的角，斜边为实际长 度。
１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｎｄ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ， Ｂｅｉｈａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １００１９１，Ｃｈｉｎａ； ２． Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ ３Ｄ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，Ｃａｐｉｔａｌ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００３７，Ｃｈｉｎａ
例 ３：求空间直线 ＡＢ 的实长及对 Ｗ 面的 夹角γ。
解：求解过程见图 ３。
图 １ 倾角α的求法示意图
在日常生活中，同学们看到的联通信 号塔、体育馆的屋顶、电视塔等等都是根 据我们讲述的制图基本知识绘制的工程图 纸加工出来的。这些物体无论选择哪个方 向投影，在其工程图上，都会出现许多在 三个投影面上的投影均呈类似性，既不能 反映该线段的实长，也不能反映该线段对 投影面倾角的一般位置直线。因此在施工 过程中，必须求出实长，才能进行加工。这 样不仅节省材料，而且可以加快施工速 度。类似的一般位置直线的例子在机电产 品的设计过程中出现的频率更是数不胜 数，所以对于一般位置直线，我们必须求 出实长。