部编7年级下册数学坐标平面内点的坐标特征

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坐标平面内点的坐标特征(初中数学)

坐标平面内点的坐标特征平面直角坐标系内不同位置的点，它们的坐标各具特点，熟练掌握这些特殊位置的点及其坐标特征是解决有关问题的关键.一、各象限内点的坐标特征四个象限内点的坐标特征分别为第一象限（+，+），第二象限（－，+），第三象限（－，－），第四象限（+，－）.例1 在平面直角坐标系中，若点P（a，b）在第四象限，则点Q（－b，a）在第象限.解析：因为点P（a，b）在第四象限，根据第四象限内点的坐标特征，知a>0，b<0，则－b>0，a>0，所以点Q（－b，a）在第一象限.故填一.二、坐标轴上点的坐标特征若P（x，y）在x轴上，则y=0，x为任意数；若P（x，y）在y轴上，则x=0，y为任意数；若P（x，y）在原点，则x=0，y=0.例2 在平面直角坐标系中，若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（）A．（0，－2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，－4）解析：由于点P（m+3，m+1）在x轴上，所以m+1=0，解得m=－1.当m=－1时，m+3=2，故点P的坐标为（2，0）.故选B．三、平行于坐标轴的直线上的点的特征平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同，即若A（a1，b1），B（a2，b2），且AB//x轴，则b1=b2；平行于y轴的直线上的所有点的横坐标都相同，即若A（a1，b1），B（a2，b2），且AB//y轴，则a1=a2.例3 在平面直角坐标系中，已知点A（4，y）和B（x，－3），过A，B两点的直线平行于x轴，且AB=5，则x= ，y= ．解析：因为过A，B两点的直线平行于x轴，所以y=－3.因为AB=5，所以x－4=5或x－4=－5，解得x=9或x=－1.故分别填9或－1，－3.四、各象限角平分线上的点的坐标特征若P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则x=y；若P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则x=－y.例4 已知点P（2a+5，10－3a）位于两坐标轴所成角的平分线上，则点P的坐标为.解析：当点P在一、三象限角的平分线上时，得2a+5=10－3a，解得a=1，此时点P的坐标为（7，7）.当点P在二、四象限角的平分线上时，得2a+5=－（10－3a），解得a=15，此时点P的坐标为（35，－35）. 故填（7，7）或（35，－35）.第1 页共1 页。

初一数学第七章《平面直角坐标系》知识点归纳

平面直角坐标系知识点总结1、在平面内，两条互相垂直且原点重合的数轴组成了平面直角坐标系；2、坐标平面上的任意一点 P 的坐标，都和惟一的一对有序实数对（ a ,b ）一一对应；其中 a 为横坐标， b 为纵坐标；3、 x 轴上的点，纵坐标等于 0； y 轴上的点，横坐标等于 0；Y坐标轴上的点不属于任何象限； bP(a,b)4、四个象限的点的坐标具有如下特征：1象限横坐标 x纵坐标 y -3 -2 -1 0 1a x-1第一象限正正-2第二象限负正-3第三象限负负第四象限正负小结：（1）点 P （ x , y ）所在的象限横、纵坐标 x 、 y 的取值的正负性；（2）点 P（ x , y ）所在的数轴横、纵坐标 x 、 y 中必有一数为零；y5、在平面直角坐标系中，已知点 P (a , b ) ，则 a； bP （ a ,b ）（1）点 P 到 x 轴的距离为 b ；（2）点 P 到 y 轴的距离为 ab （3）点 P 到原点 O 的距离为 PO ＝ a 2 b 2Oax6、平行直线上的点的坐标特征：a) 在不 x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；YAB点 A 、B 的纵坐标都等于 m ；m Xb) 在不 y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等； YC点 C 、D 的横坐标都等于 n ；n7、对称点的坐标特征：a) 点 P (m , n ) 关于 x 轴的对称点为 P 1 (m ,-n ) ，即横坐标丌变，纵坐标互为相反数； b) 点 P (m , n ) 关于 y 轴的对称点为 P 2 (-m , n ) ，即纵坐标丌变，横坐标互为相反数； c) 点 P (m , n ) 关于原点的对称点为 P 3 (-m ,-n ) ，即横、纵坐标都互为相反数；yyyPPn P2nn PO mX- m- mmXOm XO- n P 1- nP 3关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称d) 点 P （a , b ）关于点 Q (m , n ) 的对称点是 M （2m-a ，2n-b ）； 8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：a) 若点 P （ m , n ）在第一、三象限的角平分线上，则 m = n ，即横、纵坐标相等； b) 若点 P （ m , n ）在第二、四象限的角平分线上，则 m = -n ，即横、纵坐标互为相反数；yyn PP nOm X m OX在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上9、用坐标点表示移（1）点的平移将点（x , y ）向右（或向左）平移 a 个单位，可得对应点（x+a , y ）｛或（x-a , y ）｝，可记为“右加左减，纵不变”；将点（x , y ）向上（或向下）平移 b 个单位，可得对应点（x , y+b ）｛或（x , y-b ）｝，可记为“上加下减，横不变”；（2）图形的平移把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数 a ，相应的新图像就是把原图形向右（或向左）平移 a 个单元得到的。

初中数学第七章平面直角坐标系

-1
-2
Hale Waihona Puke ①两条数轴-3-4
②互相垂直
-5
-6
③公共原点组成平面直角坐标系
纵轴 y
2.已知位置-求坐标
5
4
B（-4，1）
3
N2
B·
1
-4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3
-4
A的横坐标为4 A的纵坐标为2 有序数对(4, 2)就叫做A的坐标记作：A（4，2）
· A X轴上点的坐标写在前面
12345
-2
第三象限 -3 -4
第四象限
（-，-） -5 （+，-）
-6
2、坐标轴上点坐标
X轴：纵坐标0，记为（X,0）
y
Y轴：横坐标0, 记为（0,Y）
6 A (0,5)
5
4
3
2
B(-4,0) 1 (C0,0)
-4 -3 -2 -1 o -1
123
-2
-3 E (0,-3)
D (4,0)
4
x
3、象限角平分线上点
(28,30)
例2、如图是丁丁画的一张脸的示意图,如果
用(0,2)表示左眼,用(2,2)表示右眼,那么嘴的
位置可以表示成( A )
(0,2)
(2,2)
A. (1,0) C. (−1,1)
B. (−1,0) D. (1,−1)
例3、如图,A(1,1),B(−1,1),C(−1,−2),D(1,−2).把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点A处,并按A−B−C−D−A…的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是( D)

象限及坐标平面内点的特点

象限及坐标平面内点的特点坐标平面是一种用于描述点的位置和关系的数学工具。

它由两条相互垂直的线，即x轴和y轴组成，并通过原点（0，0）将平面分成四个部分，即第一象限，第二象限，第三象限和第四象限。

每个象限都有其独特的性质和特点。

第一象限：第一象限位于x轴和y轴的正半轴上，即x轴正半轴和y轴正半轴之间。

在第一象限中，x坐标和y坐标都是正数。

因此，所有位于第一象限的点的坐标形式为（x，y），其中x>0且y>0。

第一象限的特点是正数。

第二象限：第二象限位于x轴的负半轴和y轴的正半轴之间。

在第二象限中，x坐标是负数，y坐标是正数。

所以，所有位于第二象限的点的坐标形式为（x，y），其中x<0且y>0。

第二象限的特点是负x坐标和正y坐标。

第三象限：第三象限位于x轴和y轴的负半轴上，即x轴负半轴和y轴负半轴之间。

在第三象限中，x坐标和y坐标都是负数。

因此，所有位于第三象限的点的坐标形式为（x，y），其中x<0且y<0。

第三象限的特点是负数。

第四象限：第四象限位于x轴的正半轴和y轴的负半轴之间。

在第四象限中，x坐标是正数，y坐标是负数。

所以，所有位于第四象限的点的坐标形式为（x，y），其中x>0且y<0。

第四象限的特点是正x坐标和负y坐标。

总结起来，坐标平面内点的特点可以归纳如下：1.第一象限：x坐标和y坐标都是正数。

2.第二象限：x坐标是负数，y坐标是正数。

3.第三象限：x坐标和y坐标都是负数。

4.第四象限：x坐标是正数，y坐标是负数。

此外，还有一些其他的重要特点：1.原点：原点（0，0）位于坐标平面的中心。

它既不属于第一象限也不属于其他任何一个象限。

原点在坐标平面中起到了重要的作用，它是所有点的起点和参考点。

2.轴：x轴是一个水平的线，它与y轴相交于原点。

y轴是一个垂直的线，它与x轴相交于原点。

x轴和y轴是坐标平面的两个重要轴线，它们将坐标平面分成四个象限。

3.距离：坐标平面的距离可以通过勾股定理来计算。

平面直角坐标系点的坐标特点完整版(推荐完整)

· 4）G（4,0） H （-4,y0）纵轴 4E
· （-3，2）C
3 2
·A（3，2）
H·
-4 -3 -2
· （-3，-2）D
1 -1 0
-1 -2
·G x 横轴
1234
·B（3，-2）
-3
· -4 F
观察上图中点的坐标与点在坐标系中位置的关系，用“+”“”或“0”完成下表：
点的位置
在第一象限
在第二象限
3、已知点M (3，b), N (a,5) :
5 -3 (1)若点M、N两点都在第一、三象限角平分线上，则a ___,b ___ -5 3 (2)若点M、N两点都在第二、四象限角平分线上，则a ___,b ___
1.如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同，那么过
这两点的直线（
）B
（A）平行于x轴（B）平行于y轴
）-a,-b
与坐标轴平行的直线上的点的特点
线段ＡＫ、EＧ与Ｘ轴有什么位y 置关系？点Ａ点Ｋ的纵坐标
有什么特点？点E点Ｇ呢？ 6
A（-4，4） 5
4
·K
（3,4）
·B（-6,2）
3 2
1
·C （-6,0）
-6 -5 -4 -3
-2
-1 o
-1
·J（4,2）
1 23 4 5 6 X
-2
D
-3
· · （-6,-3） E（-3,-4） -4
在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系.
通常把其中水平的一条数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．

考点01 平面直角坐标系内点的坐标特征(解析版)

考点一平面直角坐标系内点的坐标特征知识点整合1．有序数对（1）有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对．平面直角坐标系中的点和有序实数对是一一对应的．（2）经一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标．有序实数对（a，b）叫做点P的坐标．2．点的坐标特征点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限﹢+第二象限-+第三象限--第四象限+-x轴上正半轴上+0负半轴上-0y轴上正半轴上0+负半轴上0-原点003．轴对称（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．4．中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P'（-x，-y）．5．图形在坐标系中的旋转图形（点）的旋转与坐标变化：（1）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转90°，其坐标变为P′（y，-x）；（2）点P（x，y）绕坐标原点顺时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）；（3）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转90°，其坐标变为P′（-y，x）；（4）点P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转180°，其坐标变为P′（-x，-y）．6．图形在坐标系中的平移图形（点）的平移与坐标变化（1）点P（x，y）向右平移a个单位，其坐标变为P′（x+a，y）；（2）点P（x，y）向左平移a个单位，其坐标变为P′（x-a，y）；（3）点P（x，y）向上平移b个单位，其坐标变为P′（x，y+b）；（4）点P（x，y）向下平移b个单位，其坐标变为P′（x，y-b）．考向一有序数对有序数对的作用：利用有序数对可以在平面内准确表示一个位置．有序数对一般用来表示位置，如用“排”“列”表示教师内座位的位置，用经纬度表示地球上的地点等．典例引领1．根据下列表述，能确定具体位置的是（）A．电影城1号厅6排B．北京市海淀区C．北纬31︒，东经103︒D．南偏西40︒【答案】C【分析】本题考查了平面内的点与有序实数对一一对应，根据平面内的点与有序实数对一一对应分别对每个选项判断．【详解】A、电影城1号厅6排不能确定具体位置．故本选项不合题意；B、北京市海淀区不能确定具体位置．故本选项不合题意；C、北纬31︒，东经103︒能确定具体位置．故本选项符合题意；D、南偏西40︒不能确定具体位置．故本选项不合题意．故选：C2．下列表述，能确定准确位置的是（）A．威高广场东面B．环翠楼北偏西10︒C．U度影城2号厅一排D．北纬37︒，东经122︒【答案】D【分析】本题考查了有序数对，利用有序数对可以准确的表示出一个位置．确定位置需要两个数据，对各选项分析判断利用排除法即可求解．【详解】解：A、威高广场东面，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；B、环翠楼北偏西10︒，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；C 、U 度影城2号厅一排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；D 、北纬37︒，东经122︒，能确定具体位置，故本选项符合题意．故选：D ．3．2023年山西省大学生篮球锦标赛于12月中旬开赛，图1是某大学篮球场座位图，图2是该篮球场部分座位的示意图．小刚、小芳、小美的座位如图所示．若小刚的座位用()1,1-表示，小芳的座位用()3,2表示，则小美的座位可以表示为（）A ．()1,2-B ．()2,0C ．()2,1-D ．()1,0【答案】C【分析】本题考查点的坐标，根据点的位置先确定平面直角坐标系的位置，然后写出点的坐标是解题的关键．【详解】解：根据小刚、小芳的位置确定坐标系位置如图所示，∴小美的座位可以表示为()2,1-，故选C ．4．如图，雷达探测器测得六个目标A ，B ，C ，D ，E ，F ，目标E ，F 的位置分别表示为()()3,330,2,30E F ︒︒．按照此方法，目标A ，B ，C ，D 的位置表示不正确的是（）A ．()5,60A ︒B ．()3,120B ︒C ．()3,210C ︒D ．()5,270D ︒【答案】C【分析】本题考查利用有序实数对表示位置，解题的关键是根据理解题意．根据()3,330E ︒，()2,30F ︒得到第一个数为由里向外的圈数，第二个数为角度，直接逐个判断即可得到答案【详解】解：∵()3,330E ︒，()2,30F ︒，∴()5,60A ︒，()3,120B ︒，()4,210C ︒，()5,270D ︒，故选：C5．如果剧院里“5排2号”记作()5,2，那么()7,9表示（）A ．“7排9号”B ．“9排7号”C ．“7排7号”D ．“9排9号”【答案】A【分析】本题考查了坐标确定位置，解题关键是清楚有序数对与排号之间的关系，根据题意可前一个数表示排数，后一个数表示号数即可求解．【详解】解：由“5排2号”记作()5,2可知，有序数对与排号对应，所以()7,9表示第7排9号．故选：A ．6．一幢东西走向的5层教学楼，每层共8个教室．若把一楼从东侧数起第3个教室记为()1,3，二楼最东侧教室记为()2,1，则五楼最西侧教室记为（）A ．()5,1B ．()5,8C ．()8,5D ．()1,5【答案】B【解析】略7．某班级第3组第4排的位置可以用数对()3,4表示，则数对()1,2表示的位置是（）A．第2组第1排B．第1组第1排C．第1组第2排D．第2组第2排【答案】C【解析】略变式拓展00，【答案】()【分析】本题考查有序数对位置的确定，进而得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：根据棋子“马”和“车”00，．故答案为()【答案】23【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，的数为()1n n+，据此算出第三、解答题13．如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面．(1)用数对的方法表示校门的位置．9,7在图中表示什么地方？(2)数对()2,3；【答案】(1)()(2)教学楼．【分析】（1）根据校门所在的列及所在的行，即可表示出校门的位置；（2）根据数对的表示方法找到对应的位置，即可得到数对表示的地点；本题考查了用有序数对表示点的位置，理解序数对表示的含义是解题的关键．【详解】（1）解：由图可知，校门位于第2列，第3行，2,3；∴校门的位置为数对()9,7表示的位置为第9列，第7行，（2）解：数对()由图可知，表示的地方为教学楼．14．在计算机软件Excel中，若将第A列第1行空格记作A1，如图．(1)试在图中找出空格B53，并填上“B53”字样；(2)图中的蜜蜂所在位置记作什么？(3)一只电子“蜜蜂”的行进路线为A52→A51→B52→C51→D52→C53．试在图中描出它的行进路线．【答案】(1)见解析(2)D52(3)见解析【详解】（1）如图所示（2）图中的蜜蜂所在位置记作D52．（3）行进路线如图所示．考向二点的坐标特征1．象限角平分线上的点的坐标特征（1）第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数；（2）平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的直线上的点的横坐标相等．2．点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．典例引领∴点()3,1Q a a -+所在象限是第二象限，故选：B ．变式拓展二、填空题所以23a a +=±，解得3a =-（舍去）或1-．故答案为：1-．三、解答题考向三点的坐标规律探索这类问题通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．典例引领1．如图，将边长为1的正方形ABOC 沿x 轴正方向连续翻转2014次，点A 依次落在点12A A 、、32014A A 、、的位置，则点2014A 的横坐标为（）A ．1343B ．1510C ．1610D ．2014【答案】D【分析】本题考查了探究规律，利用规律即可解决问题，涉及坐标与图形变化-对称、规律型：点的坐标，先根据题意写出已知点的坐标，再找到规律为次数是2的奇数倍的偶数，位于x 轴上，横坐标为这个翻转次数；次数是2的偶数倍的偶数，位于x 轴的上方，横坐标为这个翻转次数加上1；据此作答即可．A ．()3032,1-B ．()3034,4C ．()3036,4D ．()3031,1【答案】B【分析】本题考查坐标的规律问题，先找到点的规律，然后计算解题即可，解题的关键是找到点的坐标规律．【详解】由题可知，每四个点纵坐标重复一次，横坐标向左平移6个单位长度，∴202345053÷= ，则2023A 的横坐标为：505643034⨯+=，纵坐标为4，故选：B ．4．对一组数(),x y 的一次操作变换记为()111,P x y ，定义其变换法则如下：()111,(,)P x y x y x y =+-，()()()()22211111111,,,,n n n n n n n P x y x y x y P x y x y x y ----=+-=+- （n 为大于1的整数），如这组数为(1,2)，则1(3,1)P =-，2(2,4)P =，3(6,2)P =-…当这组数为(1,1)-时，2024P =（）A ．()101210122,2-B ．()10120,2-C ．()10110,2D ．()101110112,2-【答案】A【分析】本题考查了新定义点的坐标，根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后根据规律解答，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键．【详解】解：当这组数为()1,1-时，()()11,10,2P -=，()()21,12,2P -=-，()()()231,10,40,2P -==，()()()2241,14,42,2P -=-=-，()()()351,10,80,2P -==，∴()()1012101220241,12,2P -=-，故选：A ．二、填空题【答案】()20212，【分析】本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：4,2,1,1,2-，每5次一个循环，据此即可求解．【详解】解：由题意得：动点0()34P -，在平面直角坐标系中的运动为：1()22P -，，()21,1P -，31(0)P -，，42(1)P ，，54(2)P ，，62(3)P ，，．．．∴横坐标为对应的运动次数减3，则第2024次运动到点2024P 的横坐标为：202432021-=；∵()202415405+÷=，∴第2024次运动到点2024P 的纵坐标为：2；故答案为：()20212，变式拓展【答案】()20242024,0P 【分析】本题考查了坐标系中点的坐标规律探索，仔细观察点的坐标发现第()22,0P ，第4次坐标为()44,0P ，第6次坐标为()66,0P ，故第2024次的坐标为【详解】第2次坐标为()22,0P ，第4次坐标为()44,0P ，第6次坐标为故第2024次的坐标为()20242024,0P ．故答案为：()20242024,0P ．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，我们把(11,P y x --知点1A 的友好点为2A ，点2A 的友好点为3A ，点3A 的友好点为4A ，这样依次得到各点的坐标为()1,2，设()1,A x y ，则x y +的值是．【答案】5-【分析】本题主要考查了规律型：点的坐标，解答本题的关键是准确理解题意，发现变换规【答案】()2023,1-【分析】本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，计算P 的时间，根据规律即可求得第2023秒P 点位置，找出运动规律是解题的关键．【详解】由题意可知，点P 运动一个半圆所用的时间为：π÷三、解答题10．如图，在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．(1)填写下列各点的坐标：4A （_________，_________），8A （_________，_________），12A （_________，_________）；(2)写出点4n A 的坐标（n 是正整数）；(3)指出蚂蚁从点2021A 到点2022A 的移动方向．【答案】(1)2，0；4，0；6，0；(2)()2,0n (3)向右．【分析】（1）本题考查了在平面坐标系中点的坐标特点，根据题意知道按向上、向右、向下、向右的方向每次移动1个单位，即可解题．（2）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，观察点4A 的位置，由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，得出4n OA 的值，再根据点4n A 在x 轴的正半轴上，即可解题．（3）本题考查了在平面坐标系中坐标的特点和坐标的规律，根据点4n A 的坐标，分析可得点2020A 的坐标，再结合题意知道按方向每次移动1个单位，得到点2021A 和点2021A 的坐标，即可解题．【详解】（1）解：由图可知，点4A ，点8A ，点12A 都在x 轴的正半轴上，小蚂蚁每次移动1个单位，42OA ∴=，84OA =，126OA =，()42,0A ∴，()84,0A ，()126,0A ，故答案为：2，0；4，0；6，0．（2）解：由图可知，蚂蚁每走4步为一个周期，44422n OA n n ∴=÷⨯=，点4n A 在x 轴的正半轴上，()42,0n A n ∴．（3）解：当2020n =时，4505n ∴=⨯，∴点2020A 的坐标为()1010,0，∴点2021A 的坐标为()1010,1，点2022A 的坐标为()1011,1，∴蚂蚁从点2021A 到点2022A 的移动方向为向右．。

部编数学七年级下册专题11平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题(解析版)含答案

专题11 平面直角坐标系中利用点的坐标变化规律探究问题（解析版）第一部分典例精析类型一点的运动规律探究（1）沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．（2022•丛台区开学）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，1），（3，0），（3，﹣1）…，根据这个规律探索可得，第10个点的坐标为，第55个点的坐标为．思路引领：从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点．题目要求写出第10个点和第55个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第10个点和第50个点分别位于第几列第几行，然后对应得出坐标规律，将行列数代入规律式．解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点…第n列有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，∵1+2+3+4＝10，1+2+3+…+10＝55，∴第10个点在第4列自下而上第4行，所以奇数列的坐标为（n，n−12）（n，n−12−1）…（n，1−n2）；偶数列的坐标为（n，n2）（n，n2−1）…（n，1−n2），由加法推算可得到第55个点位于第10列自下而上第10行．代入上式得第10个点的坐标为（4，2），第55个点的坐标为（10，5），故答案为：（4，2），（10，5）．总结提升：本题是对点的变化规律的考查，观察得到横坐标相等的点的个数与横坐标相同是解题的关键，还要注意横坐标为奇数和偶数时的排列顺序不同．2．（2022•麻城市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是．思路引领：计算P点运动过程中走一个半圆所用的时间，根据规律即可求得第2022秒P点位置．解：由题意可知，点P运动一个半圆所用的时间为：π÷π2=2（秒），∵2022＝1011×2，∴2022秒时，P在第1011个半圆的最末尾处，∴点P的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．总结提升：本题主要考查的是坐标系中的规律探究问题，找出运动规律的同时也要考虑坐标系位置是解题的关键．3．（2021春•洛龙区期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2，…，第n次移动到点A n，则点A2021的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）思路引领：观察图形可知，A4，A8，…都在x轴上，求出OA4，OA8，…OA4n的长度，然后写出坐标即可；根据以上规律写出点A4n的坐标即可求出点A2020的坐标，则A2021点的坐标即可求出．解：由图可知，A4，A8，…都在x轴上，蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，…OA4n＝2n，∴点A4n的坐标为（2n，0），∴点A2020的坐标为（1010，0），∴A2021（1010，1），故选：B．总结提升：本题主要考查了点的变化规律，仔细观察图形，确定出点A 4n 都在x 轴上是解题的关键．（2）绕定点呈“回”字形运动的点的坐标变化规律4．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB 的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…．若从O点到A 1点的回形线为第1圈（长为7），从A 1点到A 2点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第10圈的长为．思路引领：如图，以点O 为原心，建立平面直角坐标系，则A 1，A 2，A 3，…的坐标分别为（－1，0），（－2，0），（－3，0），…，A 10的坐标为（－10，0），然后大致描出第10圈的形状，很轻松求出第10圈的长．解：观察图形发现：第一圈的长是2（1+2）+1=7；第二圈的长是2（3+4）+1=15；第三圈的长是2（5+6）+1=23；则第n 圈的长是2（2n-1+2n ）+1=8n-1．当n=10时，原式=80-1=79．故答案为79．题眼直击：坐标表示图形，规律探究．总结提升：依次计算第一圈长，第二圈长，……，探究这几个数的一般规律性，然后应用规律求出第10圈．5．（2022•金凤区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，从点P 1（﹣1，0），P 2（﹣1，﹣1），P 3（1，﹣1），P 4（1，1），P 5（﹣2，1），P 6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则P 2022的坐标为．思路引领：根据题意可得到规律，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），再根据规律求解即可．解：根据题意可得到规律，P1（﹣1，0），P2（﹣1，﹣1），P3（1，﹣1），P4（1，1），P5（﹣2，1），P6（﹣2，﹣2），P7（2，﹣2），P8（2，2），P12（3，3），P16（4，4），...，P4n（n，n），P4n+1（﹣n﹣1，n），P4n+2（﹣n﹣1，﹣n﹣1），P4n+3（n+1，﹣n﹣1），∵2022＝4×505+2，∴P2022（﹣506，﹣506），故答案为：（﹣506，﹣506）．总结提升：本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，找出点的坐标规律是解答此题的关键．类型二图形变换的点的坐标规律探究6．（2018春•兴城市期末）如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2换成三角形OA3B3，……，若A（﹣3，1），A1（﹣3，2），A2（﹣3，4），A3（﹣3，8），点B（0，2），B1（0，4），B2（0，6），B3（0，8），按这样的规律，将三角形OAB进行2018次变换，得到三角形OA2018B2018，则A2018的坐标是．思路引领：探究规律后利用规律即可解决问题；解：∵A 1（﹣3，2），A 2 （﹣3，4），A 3（﹣3，8）；∴A 点横坐标为﹣3，纵坐标依次为：2，22，23，…得出：A n （﹣3，2n ），∴n ＝2018时，A 2018（﹣3，22018），故答案为（﹣3，22018）总结提升：此题主要考查了规律型：点的坐标，根据题意得出A ，B 点横纵坐标变化规律是解题关键．7．12．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1第二次将OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)求三角形OAB 的面积；(2)写出三角形OA 4B 4的各个顶点的坐标；(3)按此图形变化规律，你能写出三角形OA n B n 的面积与三角形OAB 的面积的大小关系吗？解：(1)S 三角形OAB ＝12×2×3＝3；(2)根据图示知O 的坐标是(0，0)；已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，对于A 1，A 2…A n 坐标找规律比较从而发现A n 的横坐标为2n ，而纵坐标都是3；同理B 1，B 2…B n 也一样找规律，规律为B n 的横坐标为2n ＋1，纵坐标为0．由上规律可知：A 4的坐标是(16，3)，B 4的坐标是(32，0)；综上所述，O(0，0)，A 4(16，3)，B 4(32，0)；(3)根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，所以OB n ＝2n ＋1，S 三角形OA n B n ＝12×2n ＋1×3＝3×2n ＝2n S 三角形OAB ，即S 三角形A n B n ＝2n S 三角形OAB 。

七年级下册坐标系知识点

七年级下册坐标系知识点在初中数学中，坐标系是一个重要的概念，主要用于描述点在平面中的位置。

本文将介绍七年级下册中涉及到的坐标系知识点。

一、直角坐标系的概念直角坐标系是以两条相互垂直的坐标轴作为基准，通过坐标来描述平面内点的位置，其中，水平方向被称为x轴，竖直方向被称为y轴。

在坐标系中，点的位置用一组有序数对(x,y)表示，其中，x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

二、平面直角坐标系中点的坐标计算在平面直角坐标系中，点的坐标可以通过坐标轴上面的刻度标尺直接读出。

对于两个有坐标的点A(x1,y1)和B(x2,y2)，AB的长度可以通过勾股定理计算得出：AB=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。

三、中点的概念中点是指线段上距离两端点相等的点，即将线段等分成两段的点。

对于线段AB，它的中点为M，可以通过计算坐标求解得出：M((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。

四、平移变换的概念平移变换是指将图形按照一定的方向和距离移动到一个新的位置，但其形状、大小、方向等均不发生变化。

对于图形的平移变换，可以通过平移向量来进行描述，平移向量的坐标表示为(x,y)，其中x表示水平方向上的移动距离，y表示竖直方向上的移动距离。

五、坐标轴的对称在坐标系中，可以通过x轴、y轴或原点进行对称，得到图形的相应对称图形。

对于(x,y)点关于x轴的对称点为(x,-y)，关于y轴的对称点为(-x,y)，关于原点的对称点为(-x,-y)。

总结：七年级下册坐标系知识点主要包括直角坐标系的概念、平面直角坐标系中点的坐标计算、中点的概念、平移变换的概念以及坐标轴的对称等内容。

掌握这些知识点有助于初中数学的学习和掌握，同时也是数学学习中的基础。

七年级下数学第七章_平面直角坐标系知识点总结

七年级下数学第七章平面直角坐标系知识点总结一、本章的主要知识点（一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。

1、记作（a ，b）；2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。

a,）3、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（b一一对应；其中，a为横坐标，b为纵坐标坐标；4、x轴上的点，纵坐标等于0；y轴上的点，横坐标等于0；坐标轴上的点不属于任何象限；（二）平面直角坐标系平面直角坐标系：我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形；2、构成坐标系的各种名称；水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向两坐标轴的交战为平面直角坐标系的原点3、各种特殊点的坐标特点。

象限：坐标轴上的点不属于任何象限第一象限：x>0，y>0第二象限：x<0，y>0第三象限：x<0，y<0第四象限：x>0，y<0横坐标轴上的点：（x，0）纵坐标轴上的点：（0，y）（三）坐标方法的简单应用1、用坐标表示地理位置；2、用坐标表示平移。

二、平行于坐标轴的直线的点的坐标特点：平行于x轴(或横轴)的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴(或纵轴)的直线上的点的横坐标相同。

a) 在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；三、各象限的角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反。

c) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； d) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；XXX在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上四、与坐标轴、原点对称的点的坐标特点：关于x 轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数关于y 轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数e) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -，即横坐标不变，纵坐标互为相反数； f)点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；g) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称关于原点对称五、特殊位置点的特殊坐标： XXP X-六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：•建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；•根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；八、点到坐标轴的距离：点到x轴的距离=纵坐标的绝对值，点到y轴的距离=横坐标的绝对值。

平面坐标系

平面坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。

其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。

平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。

1.各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限＜=＞x＞0，y＞0点P(x,y)在第二象限＜=＞x＜0，y＞0点P(x,y)在第三象限＜=＞x＜0，y＜0点P(x,y)在第四象限＜=＞x＞0，y＜02.坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x轴上＜=＞y=0，x为任意实数点P(x,y)在y轴上＜=＞x=0，y为任意实数点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上＜=＞x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上＜=＞x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上＜=＞x与y互为相反数4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

5.关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p关于x轴对称＜=＞横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称＜=＞纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称＜=＞横、纵坐标均互为相反数6.点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于|y|（2）点P(x,y)到y轴的距离等于|x|（3）点P(x,y)到原点的距离等于√（x+y）。

平面内点的坐标

平面内点的坐标知识点总结 1、平面直角坐标系定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

水平的数轴叫做X 轴或横轴，取向右为正方向；垂直的数轴叫做Y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴交点O 为原点。

点的坐标：对于坐标平面内的任意一点P ，过点p 向x 轴作垂线，垂足在x 轴上的坐标为p x ，则p x 叫做点p 的横坐标，过点p 向y 轴作垂线，垂轴在y 上的坐标为py ，则py 叫做点p 纵坐标。

点p 的坐标记为点(),p p p x y 。

注意（1）坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的；（2）表示点的坐标的两个数是有顺序的，当a b ≠时，点(),p a b 与(),Q a b 表示两个不同的点。

2、坐标平面内点的坐标特点（1）各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0；第二象限：（-，+）点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0；第三象限：（-，-）点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0；第四象限：（+，-）点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0；在x 轴上：（x,0）点P （x,y ），则y ＝0；在x 轴的正半轴：（+，0）点P （x,y ），则x ＞0,y ＝0；在x轴的负半轴：（-，0）点P（x,y），则x＜0,y＝0；在y轴上：（0,y）点P（x,y），则x＝0；在y轴的正半轴：（0，+）点P（x,y），则x＝0,y＞0；在y轴的负半轴：（0，-）点P（x,y），则x＝0,y＜0；坐标原点：（0，0）点P（x,y），则x＝0,y＝0；（2）与x轴，y轴平行的直线上的点的坐标特点点(),a b不与原点重合，过(),a b点与x轴平行的直线上的点的纵坐标都是b，这条直线可表示为y b=；过(),a b点与y轴平行的直线上的点的横坐标都是a，这条直线可表示为x a=；反之也成立。

（3）点()p x y到x轴的距离为y，到y轴的距离为x。

七年级下册数学知识点归纳

七年级数学下册知识点归纳七年级数学下册内容从第五章《相交线与平行线》到第十章《数据的收集、整理与描述》共六章.第五章属于几何部分内容，第六章，第八章，第九章属于代数部分内容，第七章是《平面直角坐标系》属于数形结合的部分；第十章属于统计方面的内容.下面分章节进行归纳整理.第五章《相交线与平行线》，本章内容包括4节内容，第一节讲的是相交线，第二节讲的是平行线及其判定，第3节主要讲的是平行线的性质；第4节是有关平移方面的内容.第一节：相交线1、相交线中的角两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。

我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角.邻补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。

其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）.垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.第二节：平行线1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”.同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行.注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交.（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行.2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.补充平行线的判定方法：（1）平行于同一条直线的两直线平行.（2）垂直于同一条直线的两直线平行.（3）平行线的定义.4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等.（2）两直线平行，内错角相等.（3）两直线平行，同旁内角互补.命题、定理、证明1、命题的概念:判断一件事情的语句，叫做命题.理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断.2、命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题.所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.3、公理:人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理.4、定理:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.5、证明:判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明.6、证明的一般步骤:（1）根据题意，画出图形.（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证.（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第四节：平移1、定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

初一下册数学平面直角坐标系的知识点

初一下册数学平面直角坐标系的知识点初一下册数学平面直角坐标系的知识点在日复一日的学习中，大家最不陌生的就是知识点吧！知识点就是学习的重点。

为了帮助大家掌握重要知识点，下面是店铺为大家收集的初一下册数学平面直角坐标系的知识点，欢迎大家分享。

初一下册数学平面直角坐标系的知识点篇11、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)其中a表示横轴，b表示纵轴。

2、平面直角坐标系：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，竖直的数轴叫做Y轴或纵轴，X 轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

3、横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

4、坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标。

5、象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。

坐标轴上的点不在任何一个象限内。

6、特殊位置的点的坐标的特点(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。

(2)第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

(3)在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。

(4)点到轴及原点的距离。

点到x轴的距离为|y|;点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;7、在平面直角坐标系中对称点的特点(1)关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。

人教版七年级下册数学第7章平面直角坐标系用坐标表示地理位置 (4)

坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，
则表示下列宫殿的点的坐标正确的是()
A．景仁宫（4，2）
B．养心殿（－2，3）
B
C．保和殿（1，0）
D．武英殿（－3.5，－4）
感悟新知
知2－练
4. 【2017·六盘水】如图，已知A(－2，1)，B(－6，0)，若白棋A飞挂后，黑棋C尖顶，黑棋C的坐标为 (______，_______). －11
知2－讲
各个景点的位置均是以中心广场为参照点来描述
的，故选中心广场为原点，取东西方向为x轴方
向(向东为正)，南北方向为y轴方向(向北为正)，
建立直角坐标系，并规定一个单位长度代表50m
长，根据行走方向和距离确定各景点的位置，标
上坐标和名称．
感悟新知
解：如图，选中心广场所在位置为原点，分别以正知2－讲
感悟新知
如图，选学校所在位置为原点，分别以正东、正北方知2－讲向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1m长.依题目所给条件，点(1500，2000) 就是小刚家的位置. 类似地，请你在图上画出小强家、小敏家的位置，并标明它们的坐标.
感悟新知
归纳
知2－讲
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向； (2)根据具体问题确定单位长度； (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表50m长．
感悟新知
归纳
知2－讲
建立平面直角坐标系描述物体的位置时，要选择一个适当的参照点作为原点，一般将正北方向作为y轴正方向，将正东方向作为x轴正方向，选取适当的长度为单位长度，建立的平面直角坐标系不同，各个点的坐标一般也不同；建立的坐标系在符合题意的基础上，应尽量使较多的点落在坐标轴上．

七年级下册数学第13章知识点整理

七年级下册数学第13章知识点整理一、知识点梳理1.平面直角坐标系(1) 定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

(2) 坐标平面：建立了平面直角坐标系的平面叫做坐标平面。

2.点的坐标(1) 定义：对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，得到P在x轴、y轴上的对应点a、b，则a的横坐标、b 的纵坐标分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对(横坐标，纵坐标)叫做点P的坐标，记作P(x，y)。

(2) 特殊点的坐标特征：•x轴上的点其纵坐标为0，记作(x，0)；•y轴上的点其横坐标为0，记作(0，y)；•原点的坐标为(0，0)。

3.坐标平面内点与有序实数对的一一对应关系：在坐标平面内，每一个点都有一个唯一的坐标与之对应；反过来，对于每一个坐标，在坐标平面内都有唯一的一个点与之对应。

— 1 —4.坐标平面内点与坐标的符号特征：若点P(x，y)在第四象限，则x>0，y<0；若点P(x，y)在第三象限，则x<0，y<0；若点P(x，y)在第二象限，则x<0，y>0；若点P(x，y)在第一象限，则x>0，y>0。

5.坐标方法的简单应用：求长方形或正方形的顶点坐标；求两条直线的交点坐标；求点到直线的距离等。

6.用坐标表示地理位置：建立适当的直角坐标系描述物体的位置；由点的坐标判断物体所在的位置。

注意选择的坐标原点不同，物体的位置描述也可能不同。

7.两点间的距离公式：已知点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)，则两点间的距离为：d = sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。

8.中点公式：已知线段AB的两个端点分别为A(a, b)和B(c, d)，则线段AB的中点M的坐标为：(M_x, M_y) = ((a + c) / 2, (b +d) / 2)。

人教版七年级数学下第六章平面直角坐标系归类总结

第六章平面直角坐标系【基础知识梳理】1．平面直角坐标系：平面内有公共原点的两条的数轴构成平面直角坐标系，其中水平的数轴为x轴或横轴，垂直的数轴为y轴或纵轴，两轴的交点O为原点．2．点的坐标：在平面直角坐标系中，平面内的点用一对有序数对表示，通常先写点的名称，再写点的坐标，并将横坐标写在纵坐标前面，坐标平面的点与有序数对是．3．象限的概念：建立平面直角坐标系后，x轴、y轴将坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针方向，将这四个象限依次称为第一、二、三、四象限．坐标轴（x轴、y轴）上的点．4．由坐标确定定：假设P点的坐标是（a，b），在直角坐标系中描出这个点的方法是：先在x轴上找到坐标为a的点A，在y轴上找到坐标为b的点B；再分别由点A、B作x轴，y轴的垂线，两垂线的交点就是所要描出的点P．5．特殊位置的点的坐标：（1）x轴上方的点的纵坐标为，x轴下方的点的纵坐标为；y轴右侧的点的横坐标为，y轴左侧的点的横坐标为；（2）坐标原点的坐标为；（3）x轴上的点可记为，y轴上的点可记为；（4）坐标平面内点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．6. 利用坐标表示地理位置的一般步骤：（1）选择一个适当的参照点为原点建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向；（2）根据具体问题确定适当的比例尺在坐标轴上标出长度单位；（3）在坐标平面内画出这些点，并写出各点的坐标和各个地点的名称．7．点的平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点．8．图形的平移：一个图形沿x轴向右（或左）平移a个单位长度，图形的各个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标增加（或减小）a；一个图形沿y轴向上（或下）平移b个单位长度，图形的各个顶点的横坐标都没有改变，而纵坐标增加（或减小）b．9．用坐标表示平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．【考点例析】一、位置的确定例1.如图1，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)，则白棋⑨的位置应记为 _____.分析：本题是一道与确定位置有关的试题，要表示白棋⑨位置，则需要仔细理解题意，根据黑棋①的位置可记为(C，4)，白棋②的位置可记为(E，3)可以发现:用表示列的字母和表示行的数字来确定棋子的位置，其中表示列的字母在前，表示行的数字在后.解:观察白棋⑨在D列，6行，所以其位置可记作(D，6).点评：在平面内，确定一个点的位置通常用一对有序实数对来表示.二、点的坐标特点例2.（’09贺州市）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）在第二象限，则点Q（1－a，－b）在第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限分析与解：本题考查点在平面直角坐标系中的特征.根据第二象限点的坐标特征,a<0,b>0,所以1-a>0,-b<0,所以Q在第四象限.例3.已知点A与点B（1，—6）关于y轴对称，求点A关于原点的对称点C的坐标．分析：关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数．解：∵点A与点B（1，—6）关于y轴对称，∴点A坐标为（—1，—6），∴点A关于原点的对称点C的坐标为（1，6）．点评：通过画图，观察、归纳关地对称点的坐标特征，将这些规律理解地记忆下来，应用于解题中．三、确定点的坐标例4.如图2为九嶷山风景区的几个景点的平面图，以舜帝陵为坐标原点，建立平面直角坐标系，则玉王宫岩所在位置的坐标为．分析：要确定玉王宫岩所在位置的坐标，即E点的坐标，应根据点坐标的求法，从点E分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴上对应的数为点的横坐标，垂足在y轴上对应的数为点的纵坐标．解：观察坐标系可知点E的坐标为（2，4），所以图2玉王宫岩所在位置的坐标为（2，4）．四、用坐标表示平移例5. 如图甲所示，各点坐标分别为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，—1），（3，0），（4，—2），（0，0）．（1）依次连接各点，观察得到的图形像什么？（2）将图甲中各点作如下变化：纵坐标保持不变，横坐标分别乘以2，所得的图形与原图案相比有什么变化？（3）将各点横、纵坐标分别变成原来的2倍，这时所得的图案与原来的图案相比又有什么变化？分析：根据点的变化要求，求出变化后各点的坐标，然后在坐标系中描出这些点，依次连接得到变化后的图形，将变化后的图形与原图形比较，归纳出结论．解：（1）如图甲所示，连接各点，得到的图形像一条鱼：（2）纵坐标保持不变，横坐标都乘以2，所和各点的坐标分别是（0，0），（10，4），（6，0），（10，1），（10，—1），（6，0），（8，—2），（0，0）．将各点用线段依次连接起来，所得图形如图乙所示，与原图形相比，整条鱼被横向拉长为原来的2倍；（3）横、纵坐标分别变成原来的2倍，所得各个点的坐标依次是（0，0），（10，8），（6，0），（10，2），（10，—2），（6，0），（8，—4），（0，0）．如图丙所示，所得图形与原图相比，形状不变，大小变成原来的4倍．点评：（1）把一个图形上的各点的纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的a（1a)倍，其中a>1，所得图形与原力形相比，整个图形被横向拉长为原来的a倍（横向压缩为原来的1a)）；如果是横坐标保持警惕为，纵坐标变为原来的a（倍，所得图形与原图形相比，整个图形被纵向拉长为原来的a倍（纵向压缩为原来的1a)）．（2）将一个图形上的各点的横、纵坐标都变为原来的a倍，则所得图形与原图形相比，形状没有改变，大小为原来的a2倍．例6.如图3，在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，则右图案中右眼的坐标是 .分析：本题主要考查平移与点的坐标，要确定右图案中右眼的坐标，则需要找出平移与点的坐标之间的变化关系．解：因为根据左图与右图左眼坐标之间的关系，可以看作左图形先向平移3-(-4)=7个单位，再向上平移4-2=2个单位，根据平移的特征可知右眼也平移同样的单位，所以右图中右眼的坐标是(-2+7，2+2)，即(5，4).五、画平移后的图形确定点的坐标例7. 如图4，已知△ABC，△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；图3图4 图5分析：要作△ABC向右平移6个单位的后的△A1B1C1，首先要作出A、B、C三点向右平移6个单位的对应点，然后顺次连接即可；解：所画的图形如图5所示，此时点A1(6，4)，B1(4，2)，C1(5，1)．【点对点练习】1.如图，如果“士”所在位置的坐标为(-1，-2)，“相”所在位置为(2，-2)，那么“炮”所在位置的坐标为．2．观察图中的图象，与图①中的鱼相比，图②中的鱼发生了一些变化，如果图①中鱼上的点A 坐标为(5，4)，则这条鱼在图②中对应点的坐标应为。

2024年七年级数学下册专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】(举一反三)(人教版)(解析版)

专题7.1 平面直角坐标系【八大题型】【人教版】【题型1 判断点所在的象限】 (1)【题型2 坐标轴上点的坐标特征】 (3)【题型3 点到坐标轴的距离】 (4)【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】 (6)【题型5 坐标确定位置】 (8)【题型6 点在坐标系中的平移】 (11)【题型7 图形在坐标系中的平移】 (13)【题型8 图形在格点中的平移变换】 (15)【题型1 判断点所在的象限】【例1】（2022春•洪山区期末）已知点P（x，y）在第四象限，则点Q（﹣x﹣3，﹣y）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据第四象限的横纵坐标范围，可求得x，y的取值范围，再确定Q点横纵坐标的取值范围即可解答．【解答】解：点P（x，y）在第四象限，∴x＞0，y＜0，∴﹣x﹣3＜0，﹣y＞0，∴点Q（﹣x﹣3，﹣y）在第二象限．故选：B．【变式1-1】（2022春•长沙期末）已知点P（﹣a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第一象限内点的横坐标大于零，纵坐标大于零，可得答案．【解答】解：因为ab＞0，a+b＜0，所以a＜0，b＜0，所以﹣a＞0，所以点P（﹣a，b）在第四象限，故选：D．【变式1-2】（2022春•青山区期末）已知，点A的坐标为（m﹣1，2m﹣3），则点A一定不会在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据每个象限点的坐标的符号特征列出不等式组，解不等式组，不等式组无解的选项符合题意．【解答】解：A选项，{m―1＞02m―3＞0，解得：m＞32，故该选项不符合题意；B选项，{m―1＜02m―3＞0，不等式组无解，故该选项符合题意；C选项，{m―1＜02m―3＜0，解得：m＜1，故该选项不符合题意；D选项，{m―1＞02m―3＜0，解得：1＜m＜32，故该选项不符合题意；故选：B．【变式1-3】（2022春•晋州市期中）对任意实数x，点P（x，x2+3x）一定不在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用各象限内点的坐标性质分析得出答案．【解答】解：当x＞0，则x2+3x＞0，故点P（x，x2+3x）可能在第一象限；当x＜0，则x2+3x＞0或x2+3x＜0，故点P（x，x2+3x）可能在第二、三象限；当x＝0时，点P（x，x2+3x）在原点．故点P（x，x2+3x）一定不在第四象限．故选：D．均为0.【题型2 坐标轴上点的坐标特征】【例2】（2022春•陇县期中）在平面直角坐标系中，点M（m﹣3，m+1）在x轴上，则点P （m﹣1，1﹣m）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据x轴上的点纵坐标为0，可得m+1＝0，从而求出m的值，进而求出点P的坐标，最后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答．【解答】解：由题意得：m+1＝0，∴m＝﹣1，当m＝﹣1时，m﹣1＝﹣2，1﹣m＝2，∴点P（﹣2，2）在第二象限，故选：B．【变式2-1】（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣4，m+1），若点P在y轴上，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据y轴上的点横坐标为0，可得2m﹣4＝0，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：2m﹣4＝0，解得：m＝2，故选：C．【变式2-2】（2022春•仓山区校级期中）已知点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，则点C（m，n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用x轴以及y轴上点的坐标得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣3，2m+3）在x轴上，点B（n﹣4，4）在y轴上，∴2m+3＝0，n﹣4＝0，解得：m=―32，n＝4，则点C（m，n）在第二象限．故选：B．【变式2-3】（2022春•东莞市期中）已知点P（2a﹣4，a+1），若点P在坐标轴上，则点P 的坐标为．【分析】分两种情况：当点P在x轴上，当点P在y轴上，分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：当点P在x轴上，a+1＝0，∴a＝﹣1，当a＝﹣1时，2a﹣4＝﹣6，∴点P的坐标为：（﹣6，0），当点P在y轴上，2a﹣4＝0，∴a＝2，当a＝2时，a+1＝3，∴点P的坐标为：（0，3），综上所述，点P的坐标为：（﹣6，0）或（0，3），故答案为：（﹣6，0）或（0，3）．【题型3 点到坐标轴的距离】【例3】（2022春•巴南区期末）已知点P在x轴的下方，若点P到x轴的距离是3，到y 轴的距离是4，则点P的横坐标与纵坐标的和为．【分析】根据题意可得点P在第三象限或第四象限，再根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点P在x轴下方，点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∴点P的横坐标为±4，纵坐标为﹣3，∴点P的坐标为（4，﹣3）或（﹣4，﹣3），点P的横坐标与纵坐标的和为4﹣3＝1或﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：1或﹣7．【变式3-1】（2021秋•城固县期末）已知点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M到两坐标轴的距离之和为6，则点M的坐标为．【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【解答】解：因为点M（a，b）在第一象限，所以a＞0，b＞0，又因为点M（a，b）在第一象限，点M到x轴的距离等于它到y轴距离的2倍，且点M 到两坐标轴的距离之和为6，所以{b=2aa+b=6，解得{a=2b=4，所以点M的坐标为（2，4）．故答案为：（2，4）．【变式3-2】（2022春•云阳县期中）坐标平面内有一点A（x，y），且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍．若xy＜0，则点A的坐标为（）A．（6，﹣3）B．（﹣6，3）C．（3，﹣6）或（﹣3，6）D．（6，﹣3）或（﹣6，3）【分析】根据题意可得x，y异号，然后再利用点到x的距离等于纵坐标的绝对值，点到y 的距离等于横坐标的绝对值，即可解答．【解答】解：∵xy＜0，∴x，y异号，∵点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的2倍，∴点A（6，﹣3）或（﹣6，3），故选：D．【变式3-3】（2021秋•阳山县期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1 或3【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a﹣5＞0，∴a＞5 3，∴a＝3．故选：C．【题型4 平行与坐标轴点的坐标特征】【例4】（2022春•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，2），AB平行于x轴，若AB＝4，则点B的坐标为（）A．（7，2）B．（1，5）C．（1，5）或（1，﹣1）D．（7，2）或（﹣1，2）【分析】线段AB∥x轴，A、B两点纵坐标相等，又AB＝4，B点可能在A点左边或者右边，根据距离确定B点坐标．【解答】解：∵AB∥x轴，∴A、B两点纵坐标都为2，又∵AB＝4，∴当B点在A点左边时，B（﹣1，2），当B点在A点右边时，B（7，2）；故选：D．【变式4-1】（2022春•延津县期中）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1），B（2，3），C （a，b），若BC∥x轴，AC∥y轴，则点C的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣3）C．（2，1）D．（﹣2，3）【分析】根据已知条件即可得到结论．【解答】解：∵点A（﹣2，1），B（2，3），C（a，b），BC∥x轴，AC∥y轴，∴b＝3，a＝﹣2，∴点C的坐标为（﹣2，3），故选：D．【变式4-2】（2022春•涪陵区期末）在平面直角坐标系中，若点P和点Q的坐标分别为P （﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，则m的值为（）A．6B．5C．4D．7【分析】借助图形，采用数形结合的思想求解．【解答】解：∵P（﹣2，m），Q（﹣2，1），点P在点Q的上方，线段PQ＝5，∴m＝1+5＝6．故选：A．【变式4-3】（2022春•硚口区期中）如图，已知点A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），CD∥AB交y轴于点D．点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，则m与n满足的等量关系式是（）A．m+2n＝﹣5B．2m+n＝﹣10C．m﹣n＝﹣5D．2m﹣n＝﹣6【分析】利用平移的性质可得点B与C对应时，点A的对应点为（﹣1，﹣2），由此可确定点P满足的等量关系式．【解答】解：∵AB∥CD，A（4，0），B（0，2），C（﹣5，0），当B与C对应时，点A平移后对应的点是（﹣1，﹣2），∵点P（m，n）为线段CD上（端点除外）一点，将点C（﹣5，0）和（﹣1，﹣2）分别代入m+2n＝﹣5，2m+n＝﹣10，m﹣n＝﹣5，2m﹣n＝﹣6中，只有m+2n＝﹣5满足条件．故选：A．【题型5 坐标确定位置】【例5】（2022春•中山市期中）中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用（2，﹣1）表示“炮”的位置，（﹣2，0）表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（﹣2，3）B．（0，﹣5）C．（﹣3，1）D．（﹣4，2）【分析】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．【解答】解：如图所示：“将”的位置应表示为（﹣3，1）．故选：C．【变式5-1】（2021秋•渠县校级期中）在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（）A．A处B．B处C．C处D．D处【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x轴和y轴的大致位置，然后画出直角坐标系即可得到答案．【解答】解：∵一号暗堡的坐标为（1，2），四号暗堡的坐标为（﹣3，2），∴它们的连线平行于x轴，∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数，四号暗堡离y轴要远，如图，∴B点可能为坐标原点，∴敌军指挥部的位置大约是B处．故选：B．【变式5-2】（2022春•朝阳区期末）为更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的6棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视．（1）在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系xOy，使得古树A、B的位置分别表示为A（1，2），B（0，﹣1）；（2）在（1）建立的平面直角坐标系xOy中，①表示古树C的位置的坐标为；②标出另外三棵古树D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置；③如果“（﹣2，﹣2）→（﹣2，﹣1）→（﹣2，0）→（﹣2，1）→（﹣1，2）→（0，2）→（1，2）→（1，1）→（1，0）→（1，﹣1）→（0，﹣1）→（0，﹣2）→（﹣1，﹣2）”表示园林工人巡视古树的一种路线，请你用这种形式画出园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线（画出一条即可）．【分析】（1）根据A（1，2），B（0，﹣1）建立坐标系即可；（2）①根据坐标系中C的位置即可求得；②直接根据点的坐标描出各点；③根据6棵古树的位置得出运动路线即可．【解答】解：（1）如图：（2）①古树C的位置的坐标为（﹣1，2）；故答案为：（﹣1，2）；②标出D（﹣1，﹣2），E（1，0），F（1，1）的位置如上图；③园林工人从原点O出发巡视6棵古树的路线：（0，0）→（1，0）→（1，1）→（1，3）→（﹣1，2）→（﹣1，2）→（0，1）．【变式5-3】（2022春•海淀区校级期中）如图1，将射线OX按逆时针方向旋转β角（0°≤β＜360°），得到射线OY，如果点P为射线OY上的一点，且OP＝m，那么我们规定用（m，β）表示点P在平面内的位置，并记为P（m，β）．例如，图2中，如果OM＝5，∠XOM＝110，那么点M在平面内的位置，记为M（5，110°），根据图形，解答下列问题：（1）如图3，点N在平面内的位置记为N（6，30°），那么ON＝，∠XON＝．（2）如果点A、B在平面内的位置分别记为A（4，30°），B（3，210°），则A、B 两点间的距离为．【分析】（1）由题意得第一个坐标表示此点距离原点的距离，第二个坐标表示此点与原点的连线与x 轴所夹的角的度数；（2）根据相应的度数判断出AB 是一条线段，从而得出AB 的长为4+3＝7．【解答】解：（1）根据点N 在平面内的位置记为N （6，30°）可知，ON ＝6，∠XON ＝30°．故答案为：6，30°；（2）如图所示：∵A （4，30°），B （3，210°），∴∠AOX ＝30°，∠BOX ＝210°，∴∠AOB ＝180°，∵OA ＝4，OB ＝3，∴AB ＝4+3＝7．故答案为：7．）【例6】（2022春•洪湖市期中）在平面直角坐标系中，将点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），经过的平移变换为（）A ．先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度B ．先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度C ．先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度）向左平移a 个单位再向上平移b 个单向下平移b 个单位D．先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】根据点向左平移，纵坐标不变的特点即可求解．【解答】解：∵点（1，﹣4）平移到点（﹣3，﹣2），∴﹣3﹣1＝﹣4，∴﹣2﹣（﹣4）＝2，∴先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度故选：C．【变式6-1】（2022春•武侯区期末）在平面直角坐标系中，将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x轴上，则点M的坐标是（）A．（2，﹣2）B．（14，2）C．（﹣2，―103）D．（8，0）【分析】让点M的纵坐标加2后等于0，求得m的值，进而得到点M的坐标．【解答】解：∵将点M（3m﹣1，m﹣3）向上平移2个单位长度得到点M'，若点M'在x 轴上，∴m﹣3+2＝0，解得：m＝1，∴3m﹣1＝2，m﹣3＝﹣2，∴M（2，﹣2）．故选：A．【变式6-2】（2022春•碑林区校级期中）在平面直角坐标系中，将点P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点Q．若点Q位于第四象限，则a，b的取值范围是（）A．a＞0，b＜0B．a＞1，b＜2C．a＞1，b＜0D．a＞﹣3，b＜2【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【解答】解：P（a，b）向右平移3个单位，再向下平移2个单位得到（a+3，b﹣2），∵Q位于第四象限，∴a+3＞0，b﹣2＜0，∴a＞﹣3，b＜2．故选D．【变式6-3】（2021秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，把点P（a﹣1，5）向左平移3个单位得到点Q（2﹣2b，5），则2a+4b+3的值为　．【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．【解答】解：将点P（a﹣1，5）向左平移3个单位，得到点Q，点Q的坐标为（2﹣2b，5），∴a﹣1﹣3＝2﹣2b，∴a+2b＝6，∴2a+4b+3＝2（a+2b）+3＝2×6+3＝15，故答案为：15．【例7】（2022春•胶州市期末）如图，△ABC的顶点坐标A（2，3），B（1，1），C（4，2），将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，则BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（）A．（m+3，n+1）B．（m﹣3，n﹣1）C．（﹣1，2）D．（3﹣m，1﹣n）【分析】根据坐标平移规律解答即可．【解答】解：∵将△ABC先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，得到△A'B'C'，∴BC边上一点D（m，n）的对应点D'的坐标是（m﹣3，n﹣1）．故选：B．【变式7-1】（2022•青岛二模）如图，线段AB经过平移得到线段A'B'，其中点A，B的对应点分别为点A'，B'，这四个点都在格点上．若线段A'B'有一个点P'（a，b），则点P'在AB上的对应点P的坐标为（）A．（a﹣2，b+3）B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3）D．（a+2，b﹣3）【分析】先利用点A它的对应点A′的坐标特征得到线段AB先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到线段A′B′，然后利用点平移的坐标规律写出点P（a，b）平移后的对应点P′的坐标．【解答】解：由图知，线段A'B'向右平移2个单位，再向下平移3个单位即可得到线段AB，所以点P'（a，b）在AB上的对应点P的坐标为（a+2，b﹣3），故选：D．【变式7-2】（2022春•滨城区期中）如图，第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是（）A．（﹣2，0）B．（0，3）C．（0，3）或（﹣4，0）D．（0，3）或（﹣2，0）【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y 轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上．【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，∴n﹣n+3＝3，∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；②P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，∵0﹣m＝﹣m，∴m﹣4﹣m＝﹣4，∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．故选：C．【变式7-3】（2022春•如东县期中）三角形ABC在经过某次平移后，顶点A（﹣1，m+2）的对应点为A（2，m﹣3），若此三角形内任意一点P（a，b）经过此次平移后对应点P1（c，d）．则a+b﹣c﹣d的值为（）A．8+m B．﹣8+m C．2D．﹣2【分析】由A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（3，m﹣3），可得△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，由此得到结论．【解答】解：∵A（﹣1，2+m）在经过此次平移后对应点A1（2，m﹣3），∴△ABC的平移规律为：向右平移3个单位，向下平移5个单位，∵点P（a，b）经过平移后对应点P1（c，d），∴a+3＝c，b﹣5＝d，∴a﹣c＝﹣3，b﹣d＝5，∴a+b﹣c﹣d＝﹣3+5＝2，故选：C．【题型8 图形在格点中的平移变换】【例8】（2021春•抚远市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）．（1）将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B．①点M平移到点A的过程可以是：先向平移　个单位长度，再向平移个单位长度；②点B的坐标为；（2）在（1）的条件下，若点C的坐标为（4，0），连接AC，BC，求△ABC的面积．【分析】（1）由点M及其对应点的A的坐标可得平移的方向和距离，据此可得点N的对应点B的坐标；（2）割补法求解可得．【解答】解：（1）如图，①点M平移到点A的过程可以是：先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度；②点B的坐标为（6，3），故答案为：右、3、上、5、（6，3）；（2）如图，S△ABC＝6×4―12×4×4―12×2×3―12×6×1＝10．【变式8-1】（2022春•长沙期末）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C （1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，且点C的对应点坐标是C'．（1）画出△A'B'C'，并直接写出点C'的坐标；（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P'，直接写出点P'的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）首先确定A、B、C三点平移后的对应点位置，然后再连接即可；（2）由平移的性质可求解；（3）利用面积的和差关系可求解．【解答】解：（1）如图所示：∴点C（5，﹣2）；（2）∵△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，∴点P'（a+4，b﹣3）；（3）S△ABC＝5×5―12×3×5―12×2×3―12×5×2＝25﹣7.5﹣3﹣5＝9.5．【变式8-2】（2022春•江岸区校级月考）如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：（1）分别写出点B和点B′的坐标，并说明三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的；（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；（3）若点M（a﹣1，2b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点N（2a﹣7，4﹣b），求a和b的值．【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；（2）根据平移的性质和平角的定义和平行线的性质即可求解；（3）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列出关于a、b的方程，解之求得a、b的值．【解答】解：（1）由图知，B（2，1），B′（﹣1，﹣2），三角形A′B′C′是由三角形ABC向左平移3个单位，向下平移3个单位得到的；（2）∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°．故答案为：∠CBC′﹣∠B′C′O＝90°；（3）由（1）中的平移变换得a﹣1﹣3＝2a﹣7，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝3，b＝4．故a的值是3，b的值是4．【变式8-3】（2021春•安阳县期中）在平面直角坐标系中，三角形ABC经过平移得到三角形A'B'C'，位置如图所示．（1）分别写出点A，A'的坐标：A ，A' ．（2）请说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（3）若点M（m，4﹣n）是三角形ABC内部一点，则平移后对应点M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），求m和n的值．【分析】（1）根据已知图形可得答案；（2）由A（1，0）的对应点A′（﹣4，4）得平移规律，即可得到答案；（3）由（2）平移规律得出m、n的方程．【解答】解：（1）由图知A（1，0），A'（﹣4，4），故答案为：（1，0），（﹣4，4）；（2）A（1，0）对应点的对应点A′（﹣4，4）得A向左平移5个单位，向上平移4个单位得到A′，三角形A'B'C'是由三角形ABC向左平移5个单位，向上平移4个单位得到．（3）△ABC内M（m，4﹣n）平移后对应点M'的坐标为（m﹣5，4﹣n+4），∵M'的坐标为（2m﹣8，n﹣4），∴m﹣5＝2m﹣8，4﹣n+4＝n﹣4，∴m＝3，n＝6．。

坐标平面内点的位置特点

坐标平面内点的位置特点大家好！今天我们来聊聊坐标平面上点的位置特点。

这可是数学里很有趣的一部分哦，像是给每个点打上一个“身份证”，让它在大千世界里找到自己的一片天地。

行了，不废话了，我们直接进入正题吧。

1. 坐标平面上的基本概念1.1 坐标平面是什么？坐标平面呢，其实就是咱们常说的“笛卡尔平面”。

它由一条横轴和一条纵轴交叉形成的。

横轴叫“X轴”，纵轴叫“Y轴”。

它们的交点叫做“原点”，通常标记为（0，0）。

这些线条就像是地图上的经纬线一样，把整个平面分成了四个象限。

1.2 点的位置怎么找？每一个点都有一个坐标，像是“张三”或者“李四”的名字一样独一无二。

点的坐标是两个数，第一个数表示点离原点在X轴上的位置，第二个数表示点离原点在Y轴上的位置。

比如，坐标（3，4）就意味着这个点从原点出发，往右走3步，往上走4步就到了。

2. 四个象限的奇妙世界2.1 第一象限在坐标平面上，咱们从原点开始，往右上角就是第一象限。

这儿的点呢，X和Y的坐标都是正数。

比如说，坐标（2，5）就在第一象限。

这种点总是让人觉得充满朝气，就像春天里的新芽一样。

2.2 第二象限往左上角看，就是第二象限。

这儿的点X坐标是负数，Y坐标是正数。

像坐标（3，4）的点，就在这里。

这个地方有点像老电影里的背景，总是让人感到一点点的怀旧感。

2.3 第三象限再往下到左下角，就是第三象限。

这里的点X和Y坐标都是负数。

举个例子，坐标（2，3）就属于这个象限。

这里的点像极了深夜的星星，静静地，神秘地存在。

2.4 第四象限最后一个就是右下角的第四象限。

这个象限里，X坐标是正数，Y坐标是负数。

比如（4，2）的点，就在这里。

这个象限常常给人一种积极向上的感觉，就像是清晨的阳光一样。

3. 特殊位置的点3.1 坐标轴上的点有些点呢，就特别简单，它们就在坐标轴上。

比如说坐标（0，4）或者（5，0），这些点的特点就是它们的其中一个坐标为0。

就像是坐标轴上的“招牌”，很容易找到。

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坐标平面内点的坐标特征
山东于华虎
平面直角坐标系内不同位置的点，它们的坐标各具特点，熟练掌握这些特殊位置的点及其坐标特征是解决有关问题的关键.
一、各象限内点的坐标特征
四个象限内点的坐标特征分别为第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-）.
例1 在平面直角坐标系中，若点P（a，b）在第四象限，则点Q（-b，a）在第象限.
解析：因为点P（a，b）在第四象限，根据第四象限内点的坐标特征，知a>0，b<0，则-b>0，a>0，所以点Q（-b，a）在第一象限.故填一.
二、坐标轴上点的坐标特征
若P（x，y）在x轴上，则y=0，x为任意数；若P（x，y）在y轴上，则x=0，y为任意数；若P（x，y）在原点，则x=0，y=0.
例2 在平面直角坐标系中，若点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（）
A．（0，-2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，-4）
解析：由于点P（m+3，m+1）在x轴上，所以m+1=0，解得m= -1.
当m=-1时，m+3=2，故点P的坐标为（2，0）.故选B．
三、平行于坐标轴的直线上的点的特征
平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同，即若A（a1，b1），B（a2，b2），且AB//x轴，则b1=b2；平行于y 轴的直线上的所有点的横坐标都相同，即若A（a1，b1），B（a2，b2），且AB//y轴，则a1=a2.
例3 在平面直角坐标系中，已知点A（4，y）和B（x，-3），过A，B两点的直线平行于x轴，且AB=5，则x=______，y= ______．
解析：因为过A，B两点的直线平行于x轴，所以y= -3.
因为AB=5，所以x-4=5或x-4=-5，解得x=9或x= -1.
故分别填9或-1，-3.
四、各象限角平分线上的点的坐标特征
若P（x，y）在第一、三象限的角平分线上，则x=y；若P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则x=-y.
例4 已知点P（2a+5，10-3a）位于两坐标轴所成角的平分线上，则点P的坐标为_______.
解析：当点P在一、三象限角的平分线上时，得2a+5=10-3a，解得a=1，此时点P的坐标为（7，7）.
当点P在二、四象限角的平分线上时，得2a+5=-（10-3a），解得a=15，此时点P的坐标为（35，-35）.
故填（7，7）或（35，-35）.。