古典概型的知识点

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人教A版高中数学必修第二册-第十章 -10-1-3古典概型

人教A版高中数学必修第二册-第十章 -10-1-3古典概型
D解析 A,B两项中的样本点的出现不是等可能的; C项中样本点的个数是无限多个; D项中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选D.
高中数学 必修第二册 RJ·A
二 古典概型概率的计算 例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑 球,从中摸出2个球.求: (1)样本空间的样本点的总数n;
知识点一 事件的概率
对随机事件发生 可能性大小 的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用 P(A) 表示.
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知识点二 古典概型
一般地,若试验E具有以下特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有 有限个 ; (2)等可能性:每个样本点发生的可能性 相等 . 称试验E为古典概型试验,其数学模型称为 古典概率 模型,简称
(3)摸出2个黑球的概率. 解 样本点总数 n=6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数 m=3,故 P=36=12, 即摸出 2 个黑球的概率为12.
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反思感悟
利用古典概型公式计算概率的步骤 (1)确定样本空间的样本点的总数n. (2)确定所求事件A包含的样本点的个数m.
故 P(A)=366=16.
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(2)求掷出两个4点的概率; 解 记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4). 故 P(B)=316.
(3)求点数之和能被3整除的概率. 解 记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个:(1,2),(2,1), (1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6). 故 P(C)=1326=13.

高二数学必修3知识点整理:古典概型

高二数学必修3知识点整理:古典概型

【导语】以下是⽆忧考为⼤家推荐的有关⾼⼆数学必修3知识点整理:古典概型,如果觉得很不错,欢迎点评和分享~感谢你的阅读与⽀持! 古典概型的基本概念 1.基本事件:在⼀次试验中可能出现的每⼀个基本结果称为基本事件; 2.等可能基本事件:若在⼀次试验中,每个基本事件发⽣的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件; 3.古典概型:满⾜以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等; 4.古典概型的概率:如果⼀次试验的等可能基本事件共有n个,那么每⼀个等可能基本事件发⽣的概率都是 1,如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发⽣的概率为nP(A)?m.n 知识点⼀:古典概型的基本概念 *例1:从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件?思路分析: 题意分析:本试题考查⼀次试验中⽤列举法列出所有基本事件的结果,⽽画树状图是列举法的基本⽅法. 解题思路:为了了解基本事件,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都列出来.或者利⽤树状图将它们之间的关系列出来.解答过程:解法⼀:所求的基本事件共有6个: A?{a,b},B?{a,c},C?{a,d}D?{b,c},E?{b,d},F?{c,d} 解法⼆:树状图 解题后的思考:⽤树状图求解⼀次试验中的基本事件数⽐较直观、形象,可做到不重不漏.掌握列举法,学会⽤数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题. **例2:(1)向⼀个圆⾯内随机地投射⼀个点,如该点落在圆内任意⼀点都是等可能的,你认为这是古典概型吗?为什么? (2)如图,某同学随机地向⼀靶⼼射击,这⼀试验的结果只有有限个:命中10环、命中9环??命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么? 思路分析: 题意分析:本题考查古典概型的概念.应明确什么是古典概型及其应具备什么样的条件.解题思路:结合古典概型的两个基本特征可进⾏判定解决.解答过程: 答:(1)不是古典概型,因为试验的所有可能结果是圆⾯内所有的点,试验的所有可能结果数是⽆限的,虽然每⼀个试验结果出现的“可能性相同”,但这个试验不满⾜古典概型的第⼀个条件. (2)不是古典概型,因为试验的所有可能结果只有7个,⽽命中10环、命中9环??命中5环和不中环的出现不是等可能的,即不满⾜古典概型的第⼆个条件. 解题后的思考:判定是不是古典概型,主要看两个⽅⾯,⼀是实验结果是不是有限的;另⼀个就是每个事件是不是等可能的. ***例3:单选题是标准化考试中常⽤的题型,⼀般是从A,B,C,D四个选项中选择⼀个正确答案.如果考⽣掌握了考查的内容,他可以选择正确的答案.假设考⽣不会做,他随机的选择⼀个答案,问他答对的概率是多少?思路分析: 题意分析:本题考查古典概型概率的求解运算. 解题思路:解本题的关键,即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考⽣掌握了全部或部分考查内容,这都不满⾜古典概型的第2个条件——等可能性,因此,只有在假定考⽣不会做,随机地选择了⼀个答案的情况下,才可将此问题看作古典概型. 解答过程:这是⼀个古典概型,因为试验的可能结果只有4个:选择A、选择B、选择C、选择D,即基本事件共有4个,考⽣随机地选择⼀个答案是选择A,B,C,D的可能性是相等的.从⽽由古典概型的概率计算公式得: P(答对\答对所包含的基本事件的个数1==0.25 基本事件的总数4解题后的思考:运⽤古典概型的概率公式求概率时,⼀定要先判定该试题是不是古典概型,然后明确试验的总的基本事件数,和事件A发⽣的基本事件数,再借助于概率公式运算.⼩结:本知识点的例题主要考查对古典概型及其概率概念的基本理解.把握古典概型的两个特征是解决概率问题的第⼀个关键点;理解⼀次试验中的所有基本事件数,和事件A发⽣的基本事件数,是解决概率问题的第⼆个关键点. 知识点⼆:古典概型的运⽤ *例4:同时掷两个骰⼦,计算:(1)⼀共有多少种不同的结果? (2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种?(3)向上的点数之和是5的概率是多少? (4)为什么要把两个骰⼦标上记号?如果不标记号会出现什么情况?你能解释其中的原因吗?思路分析: 题意分析:本题考查了古典概型的基本运算问题. 解题思路:先分析“同时掷两个骰⼦的所有事件数”,然后分析事件A:向上的点数之和为5的基本事件数,最后结合概率公式运算.同时可以运⽤举⼀反三的思想⾃⾏设问、解答. 解答过程: 解:(1)掷⼀个骰⼦的结果有6种,我们把两个骰⼦标上记号1,2以便区分,由于1号骰⼦的结果都可与2号骰⼦的任意⼀个结果配对,我们⽤⼀个“有序实数对”来表⽰组成同时掷两个骰⼦的⼀个结果(如表),其中第⼀个数表⽰掷1号骰⼦的结果,第⼆个数表⽰掷2号骰⼦的结果.(可由列表法得到)1号骰⼦2号骰⼦1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2) (4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5) (5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)123456由表中可知同时掷两个骰⼦的结果共有36种.(2)在上⾯的结果中,向上的点数之和为5的结果有4种,分别为:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1) (3)由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)有4种,因此,由古典概型的概率计算公式可得 P(A)=A所包含的基本事件的个数41== 基本事件的总数369(4)如果不标上记号,类似于(1,2)和(2,1)的结果将没有区别.这时,所有可能的结果将是: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(4,4)(4,5)(4,6)(5,5) (5,6)(6,6)共有21种,和是5的结果有2个,它们是(1,4)(2,3),则所求的概率为 P(A)=A所包含的基本事件的个数2= 基本事件的总数21这就需要我们考察两种解法是否满⾜古典概型的要求了.可以通过展⽰两个不同的骰⼦所抛掷出来的点,感受第⼆种⽅法构造的基本事件不是等可能事件. 解题后的思考:考查同学们运⽤古典概型的概率计算公式时应注意验证所构造的基本事件是否满⾜古典概型的第⼆个条件. 对于同时抛掷的问题,我们要将骰⼦编号,因为这样就能反映出所有的情况,不⾄于把(1,2)和(2,1)看作相同的情况,保证基本事件的等可能性.我们也可将此试验通过先后抛掷来解决,这样就有顺序了,则基本事件的出现也是等可能的. **例5:从含有两件正品a1,a2和⼀件次品b1的三件产品中,每次任取⼀件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析: 题意分析:本题考查的是不放回抽样的古典概型概率的运⽤ 解题思路:⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“不放回的,连续的取两次”. 先列举出试验中的所有基本事件数,然后求事件A的基本事件数,利⽤概率公式求解.解答过程: 解法1:每次取出⼀个,取后不放回地连续取两次,其⼀切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2).其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品,右边的字母表⽰第2次取出的产品. ⽤A表⽰“取出的两件中,恰好有⼀件次品”这⼀事件,则A=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)]事件A由4个基本事件组成,因⽽P(A)= 42=63解法2:可以看作不放回3次⽆顺序抽样,先按抽取顺序(x,y)记录结果,则x有3种可能,y有2种可能,但(x,y),(y,x)是相同的,所以试验的所有结果有3×2÷2=3种,按同样的⽅法,事件B包含的基本事件个数为2×1÷1=2,因此P(B)= 23解题后的思考:关于不放回抽样,计算基本事件的个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是⽆顺序的,其结果是⼀样的,但⽆论选择哪⼀种⽅式,观察的⾓度必须⼀致,否则会导致错误. ***例6:从含有两件正品a1,a2和⼀件次品b1的三件产品中,每次任取⼀件,每次取出后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有⼀件次品的概率.思路分析: 题意分析:本题考查放回抽样的概率问题. 解题思路:⾸先注意到该题中取出的过程是有顺序的.同时明⽩⼀次试验指的是“有放回的,连续的取两次”. 解答过程:每次取出⼀个后放回,连续取两次,其⼀切可能的结果组成的基本事件有9个,即 (a1,a1),(a1,a2)和(a1,b1)(a2,a1),(a2,b1)和(a2,a2)(b1,a1),(b1,a2)和(b1,b1) 其中⼩括号内左边的字母表⽰第1次取出的产品,右边的字母表⽰第2次取出的产品.⽤A表⽰“取出的两件中,恰好有⼀件次品”这⼀事件,则A=[(b1,a1),(b1,a2),(a2,b1),(a1,b1)]事件A由4个基本事件组成,因此P(A)= 4.9解题后的思考:对于有放回抽样的概率问题我们要理解每次取的时候,总数是不变的,且同⼀个体可被重复抽取,同时,在求基本事件数时,要做到不重不漏.⼩结: (1)古典概型概率的计算公式是⾮常重要的⼀个公式,要深刻体会古典概型的概念及其概率公式的运⽤,为我们学好概率奠定基础. (2)体会求解不放回和有放回概率的题型. 知识点三:随机数产⽣的⽅法及随机模拟试验的步骤 **例7:某篮球爱好者,做投篮练习,假设其每次投篮命中的概率是40%,那么在连续三次投篮中,恰有两次投中的概率是多少?思路分析: 题意分析:本题考查的是近似计算⾮古典概型的概率. 解题思路:其投篮的可能结果有有限个,但是每个结果的出现不是等可能的,所以不能⽤古典概型的概率公式计算,我们⽤计算机或计算器做模拟试验可以模拟投篮命中的概率为40%.解答过程: 我们通过设计模拟试验的⽅法来解决问题,利⽤计算机或计算器可以⽣产0到9之间的取整数值的随机数. 我们⽤1,2,3,4表⽰投中,⽤5,6,7,8,9,0表⽰未投中,这样可以体现投中的概率是40%.因为是投篮三次,所以每三个随机数作为⼀组. 例如:产⽣20组随机数: 812,932,569,683,271,989,730,537,925,488907,113,966,191,431,257,393,027,556,458 这就相当于做了20次试验,在这组数中,如果恰有两个数在1,2,3,4中,则表⽰恰有两次投中,它们分别是812,932,271,191,393,即共有5个数,我们得到了三次投篮中恰有两次投中的概率近似为解题后的思考: (1)利⽤计算机或计算器做随机模拟试验,可以解决⾮古典概型的概率的求解问题.(2)对于上述试验,如果亲⼿做⼤量重复试验的话,花费的时间太多,因此利⽤计算机或计算器做随机模拟试验可以⼤⼤节省时间. (3)随机函数(RANDBETWEEN)(a,b)产⽣从整数a到整数b的取整数值的随机数. ⼩结:能够简单的体会模拟试验求解⾮古典概型概率的⽅法和步骤.⾼考对这部分内容不作更多的要求,了解即可.5=25%.20 【同步练习题】 1.(2014•惠州调研)⼀个袋中装有2个红球和2个⽩球,现从袋中取出1个球,然后放回袋中再取出1个球,则取出的2个球同⾊的概率为()A.12;B.13;C.14;D.25 答案:A[把红球标记为红1、红2,⽩球标记为⽩1、⽩2,本试验的基本事件共有16个,其中2个球同⾊的事件有8个:红1,红1,红1、红2,红2、红1,红2、红2,⽩1、⽩1,⽩1、⽩2,⽩2、⽩1,⽩2、⽩2,故所求概率为P=816=12.] 2.(2013•江西⾼考)集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B中各任意取⼀个数,则这两数之和等于4的概率是 ()A.23B.12C.13D.16 答案:C[从A,B中各任取⼀个数有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共6种情况,其中两个数之和为4的有(2,2),(3,1),故所求概率为26=13.故选C.] 3.(2014•宿州质检)⼀颗质地均匀的正⽅体骰⼦,其六个⾯上的点数分别为1、2、3、4、5、6,将这⼀颗骰⼦连续抛掷三次,观察向上的点数,则三次点数依次构成等差数列的概率为()A.112B.118C.136D.7108 答案:A[基本事件总数为6×6×6,事件“三次点数依次成等差数列”包含的基本事件有(1,1,1),(1,2,3),(3,2,1),(2,2,2),(1,3,5),(5,3,1),(2,3,4),(4,3,2),(3,3,3),(2,4,6),(6,4,2),(3,4,5),(5,4,3),(4,4,4),(4,5,6),(6,5,4),(5,5,5),(6,6,6)共18个,所求事件的概率P=186×6×6=112.] 4.(2013•安徽⾼考)若某公司从五位⼤学毕业⽣甲、⼄、丙、丁、戊中录⽤三⼈,这五⼈被录⽤的机会均等,则甲或⼄被录⽤的概率为 ()A.23B.25C.35D.910 答案:D[五⼈录⽤三⼈共有10种不同⽅式,分别为:{丙,丁,戊},{⼄,丁,戊},{⼄,丙,戊},{⼄,丙,丁},{甲,丁,戊},{甲,丙,戊},{甲,丙,丁},{甲,⼄,戊},{甲,⼄,丁},{甲,⼄,丙}. 其中含甲或⼄的情况有9种,故选D.] 5.(理)(2014•安徽⽰范⾼中联考)在棱长分别为1,2,3的长⽅体上随机选取两个相异顶点,若每个顶点被选取的概率相同,则选到两个顶点的距离⼤于3的概率为()A.47B.37C.27D.314 答案:B[从8个顶点中任取两点有C28=28种取法,其线段长分别为1,2,3,5,10,13,14.①其中12条棱长度都⼩于等于3;②其中4条,棱长为1,2的⾯对⾓线长度为5<3;故长度⼤于3的有28-12-4=12,故两点距离⼤于3的概率为12C28=37,故选B.]。

古典概型2

古典概型2

古典概型(2)一、知识点剖析1、古典概型的定义与特点 掌握要点:古典概型的两个特征:(1)一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的,即等可能性.在古典概型中,P (A )=试验的基本事件数包含的基本事件数事件A易混易错:要套用古典概型的概率计算公式,首先要确定好基本事件总数。

强调在用古典概型计算概率时,必须要验证所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件(每个结果出现是等可能的),否则计算出的概率将是错误的.另外如果计算中有重复现象,应注意除掉重复部分.在求事件A 包含的基本事件个数时如果情况不同应注意分类讨论. 2、用排列和组合解决古典概型问题 掌握要点:从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取出m 个元素的排列。

一般地,从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

易混易错:共同点: 都要“从n 个不同元素中任取m 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关.构造排列分成两步完成,先取后排;而构造组合就是其中一个步骤. 3、有些抽样问题存在放回和不放回的区别 掌握要点: 分类计数原理完成一件事,有n 类办法. 在第1类办法中有m 1种不同的方法,在第2类方法中有m 2种不同的方法,……,在第n 类方法中有m n 种不同的方法,则完成这件事共有n m m m N ++=21分步计数原理完成一件事,需要分成n 个步骤。

做第1步有m 1种不同的方法,做第2步有m 2种不同的方法, ……,做第n 步有m n 种不同的方法,则完成这件事共有n m m m N ∙∙∙= 21 易混易错:有放回抽样与无放回抽样都属等可能事件. 对于具体问题,不知用分步还是分类二、典型题型剖析1、古典概型的定义与特点 方法归纳:在古典概型中,P (A )=试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A例题:例1、将骰子先后抛掷2次,计算: (1)一共有多少种不同的结果?(2)其中向上的数之和是5的结果有多少种? (3)向上的数之和是5的概率是多少?主要过程:有些等可能事件的概率问题中,有时在求m 时,不采取分析的方法,而是结合图形采取枚举的方法,即数出事件A 发生的结果数,当n 较小时,这种求事件概率的方法是常用的.将抛掷2次的所有结果数一一列举出来,如下表所示由上表可知,将骰子先后抛掷2次,一共有36种不同的结果,其中向上的数之和是5的结果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4种,由于骰子是均匀的,将它抛掷2次的所有36种结果是等可能出现的,故向上的数之和是5的概率是.例2、甲、乙两个均匀的正方体玩具,各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,将这两个玩具同时掷一次.(1)若甲上的数字为十位数,乙上的数字为个位数,问可以组成多少个不同的数,其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少? (2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率. 主要过程:(1)甲有6种不同的结果,乙也有6种不同的结果,故基本事件总数为6×6=36其中十位数字共有6种不同的结果,若十位数字与个位数字相同,十位数字确定后,个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果,即概率为61366 .10,11,12共11种不同结果.从中可以看出,出现2的只有一种情况,而出现12的也只有一种情况,它们的概率均为361,因为只有甲、乙均为1或均为6时才有此结果. 出现数字之和为6的共有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)五种情况,所以其概率为365. 强调内容:(1)判断一个试验是否是古典概型,要把握两个特征:(1)一次试验中,可能出现的结果只有有限个,即有限性;(2)试验中每个基本事件发生的可能性是均等的,即等可能性.“等可能性”指的是结果,而不是事件. (2)“等可能性”指的是结果,而不是事件.(3)使用计算公式时,关键是准确写出试验的基本事件数. 2、利用排列组合解决古典概型问题 方法归纳:判断排列还是组合:有序用排列,无序用组合 例 题:例2、今有强弱不同的十支球队,若把它们分两组进行比赛,分别计算: (1)两个最强的队被分在不同组内的概率. (2)两个最强的队恰在同一组的概率. 解:将十支球队平均分成两组,因每支球队分到哪一组的可能性完全相同,所以是等可能性事件.所有基本事件个数为5510522C C A . (1)两个最强的队被分在不同组记为事件A ,则A 中含有基本事件数为44284222C C A A ,故两支最强的队被分在不同组内的概率为:.C;故两个最强的队(2)两个最强的队恰在同一组记为事件B,则B中含有基本事件数为38恰在同一组内的概率为:强调内容:(1)什么时候用排列什么时候用组合:事件结果有顺序时用排列,无顺序时用组合(2)公式的运用3、放回与不放回求概率问题方法归纳:求概率时放回的用分步计数原理,不放回的采用排列组合来解决。

高中数学知识点精讲精析 古典概型的特征和概率计算公式

高中数学知识点精讲精析 古典概型的特征和概率计算公式

3.2.1 古典概型的特征和概率计算公式1.基本事件:在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.2.等可能性事件:若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性相同,则称这些基本事件为等可能基本事件.3.古典概型的特点:⑴所有的基本事件只有有限个;⑵每个基本事件发生的概率相等,⑶不需要通过大量重复的试验,只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可.4.古典概型的概率公::如果一次试验的等可能基本事件共有n 个,那么每个等可能基本事件发生的概率都是1n ,如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率为P(A)= mn.5.从集合的角度来理解古典概型的概率:把一次试验中等可能出现的所有结果组成全集I ,把事件A 发生的结果组成集合A ,则A 是I 的一个子集,则有P(A) =card(A)card(t).6.古典概型的公式推导如:在20瓶饮料中,有1瓶已经过了保质期,从中任取1瓶,取到已过保质期的饮料的概率是多少?在20瓶饮料中,有2瓶已经过了保质期了呢?(1/20,2/20=1/10)在n 瓶饮料中,有m 瓶已经过了保质期,从中任取1瓶,取到已过保质期的饮料的概率是多少?(m/n)假设有n 个等可能基本事件,某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率是多少?分析:有n 个等可能基本事件,则每个基本事件发生的概率是多少?答:1/n 事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率是多少?答:nm 1⨯公式:假设有n 个等可能基本事件,某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件,那么事件A 发生的概率nm A P =)(1.连续掷3枚硬币,观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面. (1)写出这个试验的基本事件空间; (2)求这个试验的基本事件的总数;(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件?分析:理解并运用各定义.解:(1)这个试验的基本事件空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)};(2)基本事件的总数是8.(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件:(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).2.甲.乙两人做出拳游戏(锤子.剪刀.布),求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率.分析:研究此试验是否为古典概型,如果是,基本事件总数n,事件A包含的基本事件数m各为多少.解:甲有3种不同的出拳方法,每一种出法是等可能的,乙同样有等可能的3种不同出法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果,可以认为这9种结果是等可能的.所以一次游戏(试验)是古典概型.它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同,例如都出了锤.甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲出剪且乙出布,甲出布且乙出锤这3种情况.乙赢的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出布且甲出锤这3种情况.设平局为事件A,甲赢为事件B,乙赢为事件C.由图3-2-1容易得到:图3-2-1(1)平局含3个基本事件(图中的△);(2)甲赢含3个基本事件(图中的⊙);(3)乙赢含3个基本事件(图中的※).由古典概率的计算公式,可得P (A )3193==; P (B )3193==; P (C )3193==. 3.甲.乙两个均匀的正方体玩具,各个面上分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,将这两个玩具同时掷一次.(1)若甲上的数字为十位数,乙上的数字为个位数,问可以组成多少个不同的数,其中个位数字与十位数字均相同的数字的概率是多少?(2)两个玩具的数字之和共有多少种不同结果?其中数字之和为12的有多少种情况?数字之和为6的共有多少种情况?分别计算这两种情况的概率.分析:(1)准确求出基本事件总数n 和事件A 包含的基本事件个数m . (2)可采用列表的方法求m .n .解:(1)甲有6种不同的结果,乙也有6种不同的结果,故基本事件总数为6×6=36个.其中十位数字共有6种不同的结果,若十位数字与个位数字相同,十位数字确定后,个位数字也即确定.故共有6×1=6种不同的结果,即概率为61366=. (2)两个玩具同时掷的结果可能出现的情况如下表.①每次取一件,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件空间为 Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.Ω由6个基本事件组成,而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)}.事件A 由4个基本事件组成.因而P (A )3264==. ②有放回地连续取出两件,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(a 1,a 1),(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,a 2),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2),(b 1,b 1)},由9个基本事件组成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的.用B 表示“恰有一件次品”这一事件,则B ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)}.事件B 由4个基本事件组成,因而P (B )=94. 4.判断下列命题的真假.⑴掷两枚硬币,可能出现“两个正面”.“两个反面”.“一正一反”3种等可能的结果; ⑵某口袋中装有大小和形状完全一样的三个红球.两个黑球和一个白球,那么每一种颜色的球被模到的可能相同;⑶从-3,-2,-1,0,1,2,3中任取一个数,则此数小于0与不小于0的可能相同; ⑷分别从3名男生和4名女生中各选取一名代表,那么某个同学当选的可能性相同.解:以上命题均不正确.⑴如果仅考虑这三种结果,则它们不是等可能的,若要是等可能的,则有(正,正),(正,反),(反,正)和(反,反)4种结果,故本小题总是错的;⑵应是摸到每一个球的可能相同,而三种颜色的球的数量是不相同的; ⑶小于0的有3个,而不小于0的有4个;⑷分别从男生和女生中各选取一个人,对男生或女生内部来说是等可能的,而对所有的同学来说男生是3选1,而女生是4选1,显然每个被选取的可能性不同.说明:对硬币的问题,我们不管抛掷是否有先后顺序,还是一起抛掷的,都必须看成有 先后顺序,否则它们就不是等可能的.若先后抛掷n 次或一次抛掷n 枚,基本事件总数都应是2n个.5.将骰子先后抛掷两次,求:⑴向上的点数之和为几的概率最大?最大值是多少? ⑵向上的点数之和是5的倍数的概率是多少? ⑶个向上的点数中至少有一个是6点的概率? ⑷两个点数中有2或3的的概率;⑸第一次得到的点数比第二次的点数大的概率. 解:将骰子先后抛掷两次,得到的点数情况如下表:统计向上点数和的情况如下:⑴向上点数之和是7的概率最大,最大值是636 = 16;⑵向上的点数之和是5的倍数的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4)7个,⑶至少有一个是6点的共有11个,则其概率为1136;⑷两个点数之和是2的倍数或是3的倍数,按列计算,有2+6+6+2+2+2=20个,其概率为2036 = 59;⑹去掉相等的共有6个,剩下的一半是前面的数字大,一半是后面的数字大,有15个,其概率为1536 = 512.说明:⑴骰子问题与硬币问题一样,都要考虑先后顺序,且n 个骰子的基本事件总数是2n;⑵当基本事件总数不大时,用枚举法较方便;⑶若能用一个表格来表示这些问题,可使问题直观明了.6.从数字1,2,3,4,5中任取2个,组成没有重复数字的两位数.试求: ⑴这个两位数是5的倍数的概率; ⑵这个两位数是偶数的概率; ⑶这个两位数大于40的概率.解:“从数字1,2,3,4,5中任取2个,组成没有重复数字的两位数”,共有基本事件总数5×4=20个.⑴设事件A 为“这个两位数是5的倍数”,则事件A 包含的基本事件为:个位数字是5,共有4个, ∴P(A)= 420 =15;⑵设事件B 为“这个两位数是偶数” 则事件B 包含的基本事件为:个位数字是2或4,共有8个, ∴P(A)= 820 =25;⑶设事件C 为“这个两位数大于40” 则事件C 包含的基本事件为:个十位数字是4或5,也有8个, ∴P(A)= 820 =25.说明:⑴数字问题要考虑先后顺序;⑵常把问题转换成个位数或首位数的问题,学会用到分类讨论的思想;⑶若含有0,还要考虑0不能在首位的特殊要求,这是最容易出错的地方.7.一只口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球. ⑴摸出的两只球都是白球的概率是多少? ⑵摸出的两只球是一白一黑的概率是多少?解:从中摸出两球,可分有先后顺序(有序)和无先后顺序(无序)两种情况.设摸出的2只球都是白球的事件为A ,一白一黑的事件为B .有序:从5只球中摸出2只球,其基本事件总数为5×4=20. ⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2=6,∴P(A)=620 =310;⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是(先白后黑)3×2 +(先黑后白)2×3 =12, ∴P(A)=1220 =35.无序:从5只球中摸出2只球,其基本事件总数为5×42=10.⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2 2=3 ∴P(A)= 310;⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是3×2 =6, ∴P(A)=610 =35.说明:某些摸球问题是否考虑先后顺序,对问题的答案没有区别,但必须正确理解题意. 8.袋中有红.黄.白色球各一个,每次任取一个,有放回抽三次,计算下列事件的概率: (1)三次颜色各不同;(2)三种颜色不全相同;(3)三次取出的球无红色或无黄色; 解:基本事件有3327=个,是等可能的,(1)记“三次颜色各不相同”为A ,332()279A P A ==; (2)记“三种颜色不全相同”为B ,2738()279P B -==; (3)记“三次取出的球无红色或无黄色”为C ,332215()279P C +-==; 9.将一枚骰子先后掷两次,求所得的点数之和为6的概率。

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结关键信息项:1、古典概型的定义2、古典概型的特点3、古典概型的概率计算公式4、基本事件的概念5、基本事件的特点6、古典概型的常见例题7、古典概型与其他概率类型的区别11 古典概型的定义古典概型是一种概率模型,它具有以下两个特点:试验中所有可能出现的基本结果是有限的。

每个基本结果出现的可能性相等。

111 有限性意味着试验的结果是可以一一列举出来的,不是无穷无尽的。

112 等可能性表明每个基本结果发生的概率相同,不存在某些结果更容易发生的情况。

12 古典概型的特点确定性:试验的条件和结果都是明确的。

互斥性:不同的基本事件之间是相互排斥的,不会同时发生。

121 可重复性相同的条件下,重复进行试验,结果具有稳定性。

122 规范性符合概率的基本定义和性质,能够通过计算得出准确的概率值。

13 古典概型的概率计算公式假设试验的基本事件总数为 n,事件 A 包含的基本事件数为 m,则事件 A 发生的概率 P(A) = m / n 。

131 计算步骤确定基本事件的总数 n 。

确定事件 A 包含的基本事件数 m 。

代入公式计算 P(A) 。

132 注意事项计算要准确,避免遗漏或重复计算基本事件。

确保对基本事件的界定清晰无误。

14 基本事件的概念基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以由基本事件组合而成。

141 基本事件的性质独立性:每个基本事件的发生与否互不影响。

完整性:所有基本事件的集合构成了试验的全部可能结果。

15 基本事件的特点最小性:不能再分解为更小的随机事件。

明确性:能够清晰地定义和区分。

151 基本事件的表示通常用简单的符号或数字来表示。

152 基本事件的数量确定根据试验的具体情况,通过分析得出。

16 古典概型的常见例题掷骰子问题:计算掷出特定点数的概率。

抽奖问题:在有限数量的抽奖券中计算中奖的概率。

摸球问题:从装有不同颜色球的容器中摸出特定颜色球的概率。

161 例题分析详细阐述如何确定基本事件和所求事件包含的基本事件数。

概率综合(古典概型)

概率综合(古典概型)

知识点之三:分房问题
例三、有n个人,每个人都以同样的概率1/N 被分配在N(n间房间中的每一间,试求下 列各事件的概率: (1)指定的n间房中各有一人 (2)恰有n间房中各有一个; (3)指定的某间房中恰有r(r≤N)个人; (4)第一间房、第二间房…第n间房中分别有 r1,r2,…rN个人,( r1+r2+…+rN=n,0≤r≤n)
有放回的抽样问题练习
4、袋中装有编号为1,2……N的球各一只, 采用有放回方式摸球,试求在第k次摸 球 时首次摸到1号球的概率.
解题分析:
从N个球中有放回地摸出k个球的所有各种可 能的结果为Nk个,把它们作为全体基本事件,有 利场合数为(N-1)k-1,故所求概率为:
(N 1) P K N
知识点练习一(不放回抽样练习)
1、甲袋中有3只白球,7只红球,15只, 黑球,乙袋中有10只白球,6只红球,9 只黑球,现从两袋中各取一球 ,求两球颜
色相同的概率。
解答: 从两袋中各取一球的所有可能作为基本事 件,总数有252,有利场合数 为3×10+7×6+15×9,故所求的概率 P=207/625
知识点练习一(不放回抽样练习)
3、从52张扑克牌中任取5张,求下列事件的 概率:①、4张A集中在一个人的手中。 ②、 以K打头的同花顺次五张牌; ③ 、同花顺 次五张牌;④ 、有四张牌同点数; ⑤ 、三 张同点数且另两张取其它同点数; ⑥、同 花五张; ⑦ 、异花顺次五张; ⑧ 、三张 同点数,另两张不同; ⑨ 、五张中 有两对; ⑩ 、五张中有一对。 说明:扑克牌的顺次为:A2345678910JKA
分析:这n个人在N间房中的所有不同的分配 ,相当于从N个元素中选取n个进行有重复的排列

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结古典概型是概率论中的一个重要内容,它是指在相同的条件下,可能的结果均等可能的情况下,通过计算各种结果出现的可能性的概率。

在古典概型中主要涉及排列、组合、二项式定理、排列组合概率等基础知识。

下面就各个知识点做详细介绍。

一、排列排列是指从n个不同元素中取出m个进行排列,如果这m个元素的顺序不同则视为不同的排列。

排列数用P(n,m)表示,表示n中取m的排列数。

公式为P(n,m) = n!/(n-m)!例如,从5个不同的元素中取出3个元素进行排列,那么排列数就是P(5,3) = 5!/(5-3)! = 5*4*3 = 60。

二、组合组合是指从n个不同元素中取出m个进行组合,不考虑元素的排列顺序。

组合数用C(n,m)表示,表示n中取m的组合数。

公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)例如,从5个不同的元素中取出3个元素进行组合,那么组合数就是C(5,3) = 5!/(3!*(5-3)!) = 10。

三、二项式定理二项式定理是代数中一个重要的定理,它包括二项式系数的公式以及二项式的展开式。

二项式系数的公式为C(n,m) = n!/(m!*(n-m)!)二项式展开式为(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,n)*a^0*b^n例如,(a+b)^3 = C(3,0)*a^3*b^0 + C(3,1)*a^2*b^1 + C(3,2)*a^1*b^2 + C(3,3)*a^0*b^3 = a^3 + 3*a^2*b + 3*a*b^2 + b^3。

四、排列组合概率排列组合概率是指在进行某种排列或组合的情况下,发生一定事件的概率。

在排列组合概率中,一般会出现某个事件的发生总数以及排列或组合的总数,然后通过计算得出该事件的概率。

例如,从一副扑克牌中随机取5张牌,计算得到顺子的概率。

我们可以计算出顺子的排列数,即5个元素的排列数P(5,5)=5!=120,然后计算出总的排列数,即从52张牌中取5张的排列数P(52,5)=52!/(52-5)!=2,598,960,最后通过计算得出顺子的概率为120/2,598,960≈0.000046。

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_古典概型_提高

人教版高中数学【必修三】[知识点整理及重点题型梳理]_古典概型_提高

人教版高中数学必修三知识点梳理重点题型(常考知识点)巩固练习古典概型【学习目标】1.正确理解古典概型的特点;2.掌握古典概型的概率计算公式;3.了解整数型随机数的产生与随机模拟实验.【要点梳理】要点一、古典概型1.基本事件:试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.基本事件的特点:(1)每个基本事件的发生都是等可能的.(2)因为试验结果是有限个,所以基本事件也只有有限个.(3)任意两个基本事件都是互斥的,一次试验只能出现一个结果,即产生一个基本事件.(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.2.古典概型的定义:(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.计算古典概型的概率的基本步骤为:(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m;(2)计算基本事件的总数n;(3)应用公式()mP An=计算概率.4.古典概型的概率公式:()AP A=包含的基本事件的个数基本事件的总数.应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.要点诠释:古典概型的判断:如果一个概率模型是古典概型,则其必须满足以上两个条件,有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件,所以是古典概型问题;若骰子或硬币不均匀,则每个基本事件出现的可能性不同,从而不是古典概型问题;“在线段AB上任取一点C,求AC>BC 的概率”问题,因为基本事件为无限个,所以也不是古典概型问题.要点二、随机数的产生1.随机数的产生方法:一般用试验的方法,如把数字标在小球上,搅拌均匀,用统计中的抽签法等抽样方法,可以产生某个范围内的随机数.在计算器或计算机中可以应用随机函数产生某个范围的伪随机数,当作随机数来应用.2.随机模拟法(蒙特卡罗法):用计算机或计算器模拟试验的方法,具体步骤如下:(1)用计算器或计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;(2)统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N;(3)计算频率()n Mf AN作为所求概率的近似值.要点诠释:1.对于抽签法等抽样方法试验,如果亲手做大量重复试验的话,花费的时间太多,因此利用计算机或计算器做随机模拟试验可以大大节省时间.2.随机函数RANDBETWEEN(a,b)产生从整数a到整数b的取整数值的随机数.3.随机数具有广泛的应用,可以帮助我们安排和模拟一些试验,这样可以代替我们自己做大量重复试验,比如现在很多城市的重要考试采用产生随机数的方法把考生分配到各个考场中.【典型例题】类型一:等可能事件概念的理解例1.判断下列说法是否正确,并说明理由。

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结
谈话结束后,张先生起身离开了这个地方。当他外出时,他并没有忘记关门。房间又一次变得安静了,北河甚至可以听到他的呼吸声。与此同时,他又陷入了陷阱。他仍然很悲伤。他仍然不相信。主人和弟弟被箭射死了。 “嘿.”它没过多久,我听到敲门声。北河宇光瞥了一眼门。 在方向上,我听到了“哦”,房间的门被打开了。一位穿着中国服装的老人双手扶着走进去。这个人是山的主人。领主,平日经常挂在脸上的笑容,被庄严的气氛所取代。跟着这个人,有个女人扎着马尾辫,又冷又冷。他们进入这个地方之后,他们很冷。门关上了,蒋木媛已经来到北河 边,所以他低头看着他。 “你的主人。 “我只听江慕源问道。北河的呼吸明显很重,下面是:”死了。“”声音刚刚落下,蒋木媛浑浊的瞳孔没有缩小,眼睛微微眯起,脸上的敬畏变得有点凶悍。 “这到底是怎么回事。”贝赫深吸了一口气,然后他最后一次和陆厚出去了。他将去南 丘山,忘记杀人之路。他前往卢侯被凤国七国围困,并在箭中死亡。接下来就是走到一起。在这个过程中,他的语气很平静,好像他在讲一个与自己无关的故事。听完他的话后,江慕源的脸很平静,其他理解它的人会感到惊讶。因为在这位和蔼可亲的领主面前,这种表达从未出现过。这 个房间里的沉默比北海的沉默更加激烈。气氛变得极为尊严。 “哦.”又敲门,后门被推开了。脸上带着酒窝的小蟑螂进来了,手里拿着一个竹篓和饭菜。根据张先生的说法,她为北河赚了一大笔钱。
例 2 盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品, 4 只正品,有放回地从中任取 2 次,每次只取 1 只,试求下列事件的概率: (1)取到的 2 只都是次品; (2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只;(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品.
2
同取法.
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古典概型知识点总结

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结在概率论中,古典概型是一个基础且重要的概念。

它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。

接下来,让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。

一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的,并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。

例如,掷一枚均匀的硬币,出现正面和反面就是两个基本事件,且它们出现的可能性相等,这就是一个古典概型的例子。

二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中,一共有 n 个基本事件,事件 A 包含的基本事件数为 m,那么事件 A 发生的概率 P(A) = m / n 。

这个公式是古典概型计算概率的核心,通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数,就可以计算出事件 A 的概率。

三、古典概型的特点1、有限性:试验中所有可能出现的基本事件是有限的。

2、等可能性:每个基本事件出现的可能性相等。

这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。

四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。

3、代入公式 P(A) = m / n 计算概率。

例如,一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球,从中随机取出一个球,求取出红球的概率。

基本事件总数 n = 8 (5 个红球+ 3 个白球),事件“取出红球”包含的基本事件数 m = 5 ,所以取出红球的概率 P =5 / 8 。

五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如,一个袋子里有若干个不同颜色的球,从中摸出特定颜色球的概率。

2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。

3、抽奖问题在抽奖活动中,计算中奖的概率。

4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。

六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时,可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。

2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型。

它是指在所有可能的结果中,每个结果的概率相等的模型。

本文将总结古典概型的相关知识点,并探讨其应用场景和注意事项。

一、基础定义1. 古典概型的定义古典概型是指在所有可能的结果中,每个结果的概率相等的模型。

例如,掷一次骰子,每个点数出现的概率都是1/6。

2. 样本空间样本空间是指古典概型中所有可能结果的集合。

例如,掷一枚硬币的样本空间为{正面,反面}。

3. 事件事件是样本空间的子集,表示发生某种结果的可能性。

例如,掷一枚硬币出现正面的事件为{正面}。

4. 概率概率是指某个事件发生的可能性大小,通常用小数表示,取值范围在0到1之间。

在古典概型中,概率可以用公式“事件发生的次数÷样本空间中总的可能结果数”来计算。

二、应用场景古典概型主要应用于以下场景:1. 骰子、硬币等随机游戏例如,掷骰子、抛硬币等游戏中,每个结果的概率都相等,符合古典概型的条件。

2. 假设检验在做假设检验时,常常需要确定某种情况下出现某种结果的概率。

如果符合古典概型条件,可以直接根据概率公式计算概率。

3. 统计学在统计学中,古典概型被广泛应用于概率分布的研究与推导。

三、注意事项在使用古典概型时,需要注意以下事项:1. 每个结果的概率相等古典概型中的最重要条件是每个结果的概率相等。

如果存在某些结果概率不等的情况,就不能使用古典概型进行概率计算了。

2. 互斥事件在计算概率时,需要注意事件之间是否互斥。

如果两个事件不互斥,那么它们的概率应该加在一起。

3. 独立事件在计算概率时,需要注意事件之间是否独立。

如果两个事件是独立的,那么它们的概率应该相乘。

四、结论古典概型是概率论中最基础、最简单的一种模型,应用范围广泛。

在使用古典概型进行概率计算时,需要注意每个结果的概率相等、事件之间是否互斥、事件之间是否独立等问题,才能准确计算概率,避免出现错误的结果。

古典概型

古典概型
计算公式是:P(A)+ P(B)=1;P( A )=1-P(A);
(二)分布列 1.分布列:设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,…,x3,…,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,…)的概率为
P(
xi )
pi ,则称表为随机变量 ξ
的概率分布,简称 ξ
的分布列
新疆 王新敞
奎屯
ξ
x1
x2

8.两点分布列: 随机变量 X 的分布列是:
ξ
0
1
P 1 p
p
像上面这样的分布列称为两点分布列.
[全面解读] 古典概型这一模块内容分两个部分,一个是古典概型,一个是离散型随机变量的概率分布。古典概型的问题 基本是数个数,它本质是排列组合问题,分布列问题主要应掌握期望与方差的公式,对二项分布问题应重点关注。 [难度系数]★★☆☆☆
知识点分析:
(一) 古典概型
1.随机事件 A 的概率: 0 P( A) 1,其中当 P( A) 1时称为必然事件;当 P( A) 0 时称为不可能事件;
2.等可能事件的概率(古典概型): P(A)= m 。理解这里 m、n的意义。 n
3.互斥事件:A、B 互斥,即事件 A、B 不可能同时发生。计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B)。 4.对立事件:A、B 对立,即事件 A、B 不可能同时发生,但 A、B 中必然有一个发生。
6.方差的性质: Da b a2D ;
7.二项分布:在 一 次随机 试 验 中 ,某事 件 可能发 生 也 可能 不 发生 ,在 n 次独立重复试验中这个事件发生的 次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件 恰好发生 k 次的概率是

必修3 第三章 第二节 古典概型(学生版)

必修3 第三章 第二节 古典概型(学生版)

教学辅导教案第1页共12 页成为受人尊敬的百年育人集团A .0.50B .0.60C .0.70D .0.801.下列对古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 ①每个事件出现的可能性相等①每个基本事件出现的可能性相等 ①基本事件总数为n ,随机事件A 若包含k 个基本事件,则n k A P )(.A .①①B .①①①C .①①D .①①2.同时抛掷两枚质地完全相同的骰子,总的事件个数为( )A .36B .30C .15D .213.在两个袋内,分别写着装有1,2,3,4,5,6六个数字的6张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为( )A .31B .61C .91D .121 4.袋子中装有编号为A 1,A 2,A 3的3个黑球和编号为B 1,B 2的2个红球,从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果;(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;(3)求至少摸出1个红球的概率.5.某公司的招聘考试有编号分别为1,2,3的三个不同的A 类基本题和一道A 类附加题:另有编号分别为4,5的两个不同的B 类基本题和一道B 类附加题.甲从这五个基本题中一次随机抽取两道题,每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的.(1)用符号(x ,y )表示事件“抽到的两题的编号分别为x 、y ,且x <y ”共有多少个基本事件?请列举出来;(2)求甲所抽取的两道基本题的编号之和小于8但不小于4的概率.知识点一古典概型的相关概念1.基本事件在试验中,能够表示其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件.基本事件具有如下的两个特点:①任何两个基本事件是互斥的;①任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型在一个试验中,如果具有以下两个特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(有限性)①每个基本事件发生的可能性相等.(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.题型一古典概型相关概念的理解【例1-1】袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为()A.{正好2个红球}B.{正好2个黑球}C.{正好2个白球}D.{至少1个红球}【例1-2】下列随机试验的数学模型属于古典概型的是()A.在适宜条件下,种一粒种子,它可能发芽,也可能不发芽B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点C.某射击运动员射击一次,试验结果为命中0环,1环,2环, (10)D.四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )A .0.30B .0.35C .0.40D .0.501.(对应题型一)下列试验属于古典概型的有( )①从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球,取出的球为红色的概率;①在公交车站候车不超过10分钟的概率;①同时抛掷两枚硬币,观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数;①从一桶水中取出100mL ,观察是否含有大肠杆菌.A .1个B .2个C .3个D .4个 2.(对应题型二)先后抛掷2枚均匀的硬币.①一共可能出现多少种不同的结果?①出现“1枚正面,1枚反面”的结果有多少种?3.(对应题型三)一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为( )A .321B .641C .643D .323 4.(对应题型三)从甲,乙,丙,丁4个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为 .5.(对应题型三)连续抛掷2颗骰子,则出现朝上的点数之和等于6的概率为( )A .365B .665C .111D .1156.(对应题型四)把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1,2,3,4,5,6且洗匀后正面朝下放在桌子上,从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片,则两张卡片上的数字之和等于7的概率是 .7.(对应题型五)任意抛掷三枚相同的硬币,恰有一枚国徽朝上的概率是 . 8.(对应题型六)调查某校高三年级500名学生的肥胖情况,得到下表:偏瘦 正常 偏胖女生(人)x 120 y 男生(人) 50 180 z已知从这批学生中随机抽取1名学生,抽到偏瘦女生的概率为0.1.(1)求x 的值;(2)若用分层抽样的方法,从这批学生中随机抽取50名,问应在偏胖学生中抽多少名?(3)已知y ≥46,z ≥46,求偏胖学生中男生人数大于女生人数的概率.9.(对应题型7)已知某运动员每次投篮命中的概率等于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0,表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下2-组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458569 683 431 257 393 027 556 488730 113 537 989据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________.【查漏补缺】1.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )A .31B .41C .51D .612.盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜(2)所取的2道题不是同一种题型的概率.4.某大学新闻系有男生45名,女生15名,按照分层抽样的方法组建了一个4人的青奥会采访小组.(1)求某学生被抽到的概率及采访小组中男、女生的人数;(2)经过半个月的实地采访,这个采访小组决定选出2名学生做后期整理编辑,方法是先从小组里选出1名学生对信息分类,该学生整理结束,再从小组内剩下的学生中选1名做后期剪辑,求选出的2名学生中恰有1名女生的概率.1.抛掷一枚质地均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面朝上的概率是( )A .9991B .10001C .1000999D .21 2.某班级为了进行户外拓展游戏,组成红、蓝、黄3个小队.甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队,则他们选到同一小队的概率为( )A .31B .21C .32D .43 3.袋中有5个球,其中红色球3个,标号分别为1,2,3;篮色球2个,标号分别为1,2;从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为( )A .103B .52C .53D .107 4.从甲,乙,丙,丁4个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只一个被选取的概率为 .5.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 .6.每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)(1)连续抛掷2次,求向上的数之和为6的概率;(2)连续抛掷2次,求向上的数不同的概率.【第一天】1.从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于( )A .31B .41C .51D .612.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号之和不小于15的概率为( )A .321B .641C .643D .323 3.一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的5个球,同时选取两个球,则两个球上的数字为相邻整数的概率为________.4.袋子中装有编号为A 1,A 2,A 3的3个黑球和编号为B 1,B 2的2个红球,从中任意。

古典概型与几何概型知识点总结

古典概型与几何概型知识点总结

古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中最基础的概率模型,它们分别适用于简单事件和几何事件的计算。

以下是古典概型和几何概型的知识点总结:一、古典概型:1.古典概型是指事件的样本空间具有有限个数的元素,样本点的概率相等。

2.样本空间是指实验中所有可能的结果的集合,例如掷一枚骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}。

3.事件是样本空间的子集,例如“掷一枚骰子,出现的点数为偶数”的事件为{2,4,6}。

4.古典概型的概率计算公式为:P(A)=n(A)/n(S),其中P(A)为事件A发生的概率,n(A)为事件A包含的样本点个数,n(S)为样本空间的样本点个数。

5.古典概型的概率计算要求样本点的概率相等,且样本点的个数有限。

二、几何概型:1.几何概型是指事件的样本空间是一个几何图形,而不是有限个元素。

2.在几何概型中,事件的概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。

3.几何概型的概率计算需要使用几何图形的面积或体积的计算方法,例如计算矩形的面积为长乘以宽,计算圆的面积为π乘以半径的平方。

4.几何概型可以应用于连续变量的概率计算,例如计算一些范围内的事件发生的概率。

5.几何概型的概率计算要求事件与样本空间之间存在其中一种几何关系,例如事件发生的可能性与事件所占的几何图形的面积或体积成正比。

综上所述,古典概型适用于简单事件且样本空间的样本点个数有限的情况,其概率计算公式为P(A)=n(A)/n(S);几何概型适用于事件的样本空间是一个几何图形的情况,概率等于事件所占的几何图形的面积或体积与样本空间所占的几何图形的面积或体积的比值。

掌握古典概型和几何概型的知识点,能够帮助我们更好地理解和计算事件的概率,为概率论的进一步学习奠定基础。

原创1:3.2.1古典概型

原创1:3.2.1古典概型
2
即 P(“出现正面朝上”)=
1 2
=“出现正面朝上”所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
试验2: 掷一颗均匀的骰子, 事件A 为“出现偶数点”,请问事件 A的概率是多少?
探讨: 基本事件总数为: 1点,2点,3点,4点,5点,6点
事件A 包含 3 个基本事件:6 2点 4点 6点
P(A) P(“2点”)
P(“4点”)
P(“6点”)
111 3 =6+6+6=6
31 =6=2
P(“出现偶数点”)=“出现偶数点基”本所事包件含的的总基数本事件的个数
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
古典概型的概率计算公式:
P(A)= A所包含的基本事件的个 数m 基本事件的总数 n
典 概

m n
在使用古典概型的概率公式时,应该注意:
(1)要判断所用概率模型是不是古典概型(前提) (2)要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本 事件的总数。
基本概念 方法探究 典型例题 课堂训练 课堂小结
例2 先后抛掷两枚均匀的硬币,会出现几种结果?列举出来. 出现“一枚正面向上,一枚反面向上”的概率是多少?
2号骰子 1号骰子
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

古典概型与几何概型知识点总结

古典概型与几何概型知识点总结

古典概型与几何概型知识点总结古典概型和几何概型是概率论中的两种常见概型,它们分别基于不同的概率空间的划分方式。

下面将对古典概型和几何概型的知识点进行总结。

古典概型(Classical Probability Model)是指概率实验基本样本点是有限个的概率模型。

在古典概型中,样本空间中的每一个样本点发生的机会相同,且样本空间中所有的样本点构成一个有限集合。

在古典概型中,我们通常会利用排列组合的方法来计算事件的概率。

以下是古典概型的一些重要知识点:1.样本空间和事件:样本空间是指一个概率实验中所有可能结果的集合,用Ω表示。

事件是样本空间的一个子集,表示我们感兴趣的结果。

2.事件的概率:在古典概型中,事件A的概率P(A)等于A中的样本点数目除以样本空间中的样本点总数。

即P(A)=,A,/,Ω。

3.加法法则:如果A和B是两个互不相容的事件(即A∩B=Ø),那么两个事件的并事件A∪B的概率等于事件A和事件B的概率之和。

即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

4.乘法法则:如果A和B是两个独立事件,即事件A的发生与事件B的发生无关,那么两个事件的交事件A∩B的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率。

即P(A∩B)=P(A)*P(B)。

几何概型(Geometric Probability Model)是指概率实验的样本空间是由几何构造组成的。

在几何概型中,样本空间通常是一个几何形状,概率的计算涉及到几何图形的面积或长度。

以下是几何概型的一些重要知识点:1.区间概率:对于一些连续型随机变量,概率可以通过计算指定区间的长度、面积或体积来求解。

这种类型的概率常常与几何图形的几何属性相关。

例如,对于均匀分布的连续随机变量,一个给定区间[a,b]内事件发生的概率等于区间长度除以总长。

2. 概率密度函数:对于连续型随机变量,其概率密度函数(Probability Density Function,PDF)描述了随机变量的可能取值的相对可能性。

两个知识点古典概型与概率可乘性

两个知识点古典概型与概率可乘性

两个知识点古典概型与概率可乘性古典概型是概率论中最基本的概率模型之一,它是指在一些随机试验中,每个可能的结果都是等可能的,并且概率只取决于样本空间和事件的个数。

古典概型在概率论的入门阶段使用较多,因为它简单且易于理解。

在古典概型中,一个随机试验的样本空间是指所有可能的结果组成的集合。

例如,抛一枚硬币的样本空间是{正面,反面};投掷一个骰子的样本空间是{1,2,3,4,5,6}。

对于古典概型来说,样本空间的所有结果大小是有限的且可数的。

古典概型也称为等可能概型,是因为每个可能的结果出现的概率都是相等的。

假设一个随机试验有n个互斥且等可能的结果,那么每个结果的概率就是1/n。

例如,抛一枚公正的硬币,正面和反面的概率都是1/2、投掷一个公正的骰子,每个面的概率都是1/6、这种等可能性是通过假设随机试验的结果不受任何外部因素的影响而得到的。

概率可乘性是概率论中的一个重要概念,它指的是两个事件同时发生的概率等于这两个事件分别发生的概率的乘积。

简单地说,如果A和B是两个事件,那么它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率的乘积,即P(A∩B)=P(A)*P(B)。

概率可乘性在很多实际问题中都有应用。

例如,假设一栋大楼有多个电梯,每个电梯的故障独立发生的概率都是0.01、那么如果我们想知道同时有两个或更多电梯发生故障的概率,可以使用概率可乘性来计算。

假设A表示第一个电梯发生故障,B表示第二个电梯发生故障,那么我们要计算的是P(A∩B)。

根据概率可乘性,P(A∩B)=P(A)*P(B)=0.01*0.01=0.0001、所以同时有两个或更多电梯发生故障的概率是0.0001除了古典概型和概率可乘性,概率论还有其他重要的知识点,如条件概率、贝叶斯公式、独立性等。

这些概率论的知识点有助于我们理解随机事件的概率分布和相互关系,从而在面对不确定性的问题时做出合理的决策。

古典概型计算问题

古典概型计算问题

古典概型计算问题一、主要知识点1.等可能事件的概率公式:P (A )=mn ;2.互斥事件至少有一个发生的概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);3.相互独立事件同时发生的概率公式为P(AB)=P(A)P(B);4.n 次独立重复试验事件A 恰有k 次发生的概率公式)(k P n =;)1(kn k k n p p C --⋅ 5.如果事件A 、B 互斥,那么事件A 与B 、A 与B 及事件A 与B 也都是互斥事件;6.如果事件A 、B 相互独立,那么事件A 、B 至少有一个不发生的概率是1-P (AB )=1-P(A)P(B);7.如果事件A 、B 相互独立,那么事件A 、B 至少有一个发生的概率是1-P (A ∙B )=1-P(A )P(B ); 二、典型例题例1.为做好食品安全工作,上级质检部门决定对甲、乙两地的出口食品加工企业进行一次抽检.已知甲地有蔬菜加工企业2家,水产品加工企业3家;乙地有蔬菜加工企业3家,水产品加工企业4家,现从甲、乙两地各任意抽取2家企业进行检查.①求抽出的4家企业中恰有一家为蔬菜加工企业的概率;②求抽出的水产品加工企业的家数不少于蔬菜加工企业家数的概率.解:①1102021123342334222257571215C C C C C C C C P C C C C ⋅⋅=+= ②11022222233424331225787210C C C C C C C C P C C ++== ,11020311233423342225772210C C C C C C C C P C C +==, 22343225718210C C P C C == ,1235970P P P P =++= 例2.某项考试按科目A 、科目B 依次进行,只有当科目A 成绩合格时,才可继续参加科目B 的考试。

已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。

现某人参加这项考试,科目A 每次考试成绩合格的概率均为23,科目B 每次考试成绩合格的概率均为12。

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结

古典概型知识点总结古典概型是概率论中最基本、最简单的概率模型之一。

在我们的日常生活和学习中,经常会遇到与古典概型相关的问题。

下面,让我们来系统地总结一下古典概型的相关知识点。

一、古典概型的定义如果一个随机试验具有以下两个特征:1、试验的样本空间Ω中样本点的总数是有限的。

2、每个样本点出现的可能性相等。

那么称这样的随机试验为古典概型。

例如,掷一枚均匀的硬币,观察正反面出现的情况;掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数等,都是古典概型的例子。

二、古典概型的概率计算公式在古典概型中,事件 A 的概率定义为:P(A) = A 包含的基本事件个数 m /基本事件的总数 n例如,掷一颗均匀的骰子,出现点数为偶数的概率。

基本事件的总数n =6,事件“出现点数为偶数”包含的基本事件有3 个(2、4、6),所以其概率 P = 3/6 = 1/2 。

三、古典概型的计算步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定事件 A 所包含的基本事件个数 m 。

3、代入公式计算 P(A) = m / n 。

例如,从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球,求取出的 2 个球都是红球的概率。

首先,基本事件总数 n = C(5, 2) = 10 (组合数,表示从 5 个球中选 2 个的组合数)。

事件“取出的 2 个球都是红球”包含的基本事件个数 m = C(3, 2) =3 。

所以,取出的 2 个球都是红球的概率 P = 3/10 。

四、古典概型的性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1 :任何事件的概率都在 0 到 1 之间。

2、P(Ω) = 1 :必然事件的概率为 1 。

3、 P(∅)= 0 :不可能事件的概率为 0 。

五、古典概型的应用1、抽奖问题例如,在一次抽奖活动中,共有 1000 张奖券,其中只有 10 张是中奖券。

某人随机抽取一张,求他中奖的概率。

基本事件总数 n = 1000 ,事件“中奖”包含的基本事件个数 m = 10 ,所以中奖的概率 P = 10/1000 = 1/100 。

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第五节古典概型[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.高考对本节内容的考查多为选择题或填空题,难度中低档,如2012年广东T7,上海T11等.[归纳·知识整合]1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.[探究] 1.在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的吗?提示:不一定.如试验一粒种子是否发芽,其发芽和不发芽的可能性是不相等的.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.[探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型?提示:关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.3.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数[自测·牛刀小试]1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为()A.12 B.13C.23D.1解析:选C 基本事件总数为(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)共3种.甲被选中共2种,所以甲被选中的概率为23.2.某国际科研合作项目由两个美国人,一个法国人和一个中国人共同开发完成,现从中随机选出两个人作为成果发布人,在选出的两人中有中国人的概率为( )A.14B.13C.12D .1解析:选C 用列举法可知,共6个基本事件,有中国人的基本事件有3个. 3.5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,从这5张卡片中随机抽取2张,则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( )A.35B.25C.34D.23解析:选A 由题意得基本事件共有10种,2张卡片之和为奇数须一奇一偶,共有6种,故所求概率为610=35.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ,n 作为点P 的横、纵坐标,则点P 在直线x +y =5的下方的概率为________.解析:点P 在直线x +y =5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故P =66×6=16.答案:165.在集合A ={2,3}中随机取一个元素m ,在集合B ={1,2,3}中随机取一个元素n ,得到点P (m ,n ),则点P 在圆x 2+y 2=9内部的概率为________.解析:点P (m ,n )共有(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)6种情况,只有(2,1),(2,2),这两种情况满足在圆x 2+y 2=9内部,所以所求概率为26=13.答案:13简单古典概型的求法[例1] 编号分别为A 1,A 2,…,A 16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下:运动员编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号A 9 A 10 A 11 A 12 A 13 A 14 A 15 A 16 得分1726253322123138(1)区间 [10,20) [20,30) [30,40] 人数(2)①用运动员编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2人得分之和大于50的概率. [自主解答] (1)4,6,6.(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A 3,A 4,A 5,A 10,A 11,A 13,从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},{A 3,A 13},{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 4,A 13},{A 5,A 10},{A 5,A 11},{A 5,A 13},{A 10,A 11},{A 10,A 13},{A 11,A 13}共15种.②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,这2人得分之和大于50”(记为事件B )的所有可能结果有:{A 4,A 5},{A 4,A 10},{A 4,A 11},{A 5,A 10},{A 10,A 11}共5种.所以P (B )=515=13.本例条件不变,从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和小于50的概率.解:得分之和小于50的所有可能结果有:{A 3,A 4},{A 3,A 5},{A 3,A 10},{A 3,A 11},{A 3,A 13},{A 5,A 13},{A 10,A 13},{A 11,A 13}.故这2人得分之和小于50的概率为P =815.———————————————————应用古典概型求概率的步骤(1)仔细阅读题目,分析试验包含的基本事件的特点; (2)设出所求事件A ;(3)分别列举事件A 包含的基本事件,求出总事件数n 和所求事件A 包含的基本事件数m ;(4)利用公式求出事件A 的概率.1.从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动. (1)求所选2人中恰有一名男生的概率; (2)求所选2人中至少有一名女生的概率.解:设2名女生为a 1,a 2,3名男生为b 1,b 2,b 3,从中选出2人的基本事件有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3),(b 1,b 2),(b 1,b 3),(b 2,b 3)共10种.(1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A ,则A 包含的事件有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3)共6种,则P (A )=610=35,故所选2人中恰有一名男生的概率为35.(2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B ,则B 包含的事件有:(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,b 3),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 2,b 3)共7种,则P (B )=710,故所选2人中至少有一名女生的概率为710.较复杂的古典概型的概率[例2] 为振兴旅游业,四川省2012年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中34是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有13持金卡,在省内游客中有23持银卡.(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.[自主解答](1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,则P(A)=C16C130C236=2 7,所以采访该团2人,恰有1人持银卡的概率是27.(2)设事件B为“采访该团2人,持金卡人数与持银卡人数相等”,可以分为事件B1为“采访该团2人,持金卡0人,持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人,持银卡1人”两种情况.则P(B)=P(B1)+P(B2)=C221C236+C19C16C236=44105,所以采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.———————————————————计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点(1)解题的关键点是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型;(2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和,或先求其对立事件的概率,进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.2.(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n 14151617181920频数10201616151310①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数;②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.解:(1)当日需求量n ≥17时,利润y =85. 当日需求量n <17时,利润y =10n -85. 所以y 关于n 的函数解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧10n -85,n <17,85,n ≥17 (n ∈N ). (2)①这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为p =0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.4种方法——基本事件个数的确定方法(1)列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型;(2)列表法:此法适合于从多个元素中选定一两个元素的试验,也可看成是坐标法; (3)树状图法:树状图是进行列举的一种常用方法,适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求;(4)计数原理法:如果基本事件的个数较多,列举有一定困难时,可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m ,n ,再运用公式求概率.1个技巧——求解古典概型问题概率的技巧 (1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算;(2)较为复杂的概率问题的处理方法:一是转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式进行求解;二是采用间接法,先求事件A 的对立事件A 的概率,再由P (A )=1-P (A )求事件A 的概率.1个构建——构建不同的概率模型解决问题(1)原则:建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”,这就要求选择恰当的观察角度,把问题转化为易解决的古典概型问题;(2)作用:一方面,对于同一个实际问题,我们有时可以通过建立不同“模型”来解决,即“一题多解”,在这“多解”的方法中,再寻求较为“简捷”的解法;另一面,我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题,即“多题一解”.答题模板——求古典概型概率[典例] (2012山东高考·满分12分)袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.(1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.[快速规范审题]第(1)问1.审条件,挖解题信息观察条件:五张卡片,红色三张,标号1,2,3.蓝色2张,标号为1,2,从中取两张――――→用列举法所有可能的结果n2.审结论,明解题方向观察所求结论:求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率――――――→利用列举的结果分析得出满足这两个条件的结果m3.建联系,找解题突破口 利用古典概型概率公式求解:P =m n第(2)问1.审条件,挖解题信息观察条件:红色卡片三张、蓝色卡片二张、绿色卡片一张,从中取两张――――→用列举法得所有的可能的结果数n2.审结论,明解题方向观察所求结论:观察所求结论求两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率――――――――→利用列举的结果分析得出满足这两个条件的结果m 3.建联系,找解题突破口利用古典概型概率公式求解:P =mn[准确规范答题](1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ,B ,C ,标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ,E ,从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E )共10种.⇨(3分)由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ,D ),(A ,E ),(B ,D )共3种.⇨(5分)所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.⇨(6分)(2)记F 是标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),(D ,E ),(D ,F ),(E ,F )共15种.⇨(9分)由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A ,D ),(A ,E ),(B ,D ),(A ,F ),(B ,F ),(C ,F ),(D ,F ),(E ,F )共8种.⇨(11分)所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为815.⇨(12分)[答题模板速成]求古典概型概率的一般步骤:⇒⇒⇒计算基本事件总数的个数程是否有误一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.高三(4)班有4个学习小组,从中抽出2个小组进行作业检查.在这个试验中,基本事件的个数为()A.2B.4C.6 D.8解析:选C设这4个学习小组为A、B、C、D,“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD,共6个.2.从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数,则取出的3个数是连续自然数的概率是() A.35 B.25C.13 D.15解析:选D取出的三个数是连续自然数有4种情况,则取出的三个数是连续自然数的概率P=420=15.3.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是() A.112 B.110C.325 D.1125解析:选D小正方体三面涂有油漆的有8种情况,故所求其概率为81 000=1125.4.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是() A.136 B.19C.536 D.16解析:选D对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个景点,最后一个景点的选法有C16×C16=36种,若两个人最后选同一个景点共有C16=6种选法,所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P =C 16C 16×C 16=16.5.(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( )A.49 B.13 C.29D.19解析:选D 由个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数分别为一奇一偶.若个位数为奇数时,这样的两位数共有C 15C 14=20个;若个位数为偶数时,这样的两位数共有C 15C 15=25个;于是,个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20+25=45个.其中,个位数是0的有C 15×1=5个.于是,所求概率为545=19. 6.如图,三行三列的方阵中有九个数a ij (i =1,2,3;j =1,2,3),从中任取⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )A.37B.47C.114D.1314解析:选D 从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39=9×8×71×2×3=84种,因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11=6,所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1-684=1314.二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)7.(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示).解析:所有的可能情况有C 23C 23C 23,满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有C 23C 23C 12,由古典概率公式得P =C 23C 23C 12C 23C 23C 23=23.答案:238.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为22的概率是________.解析:从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机选取两点,共有10种取法,该两点间的距离为22的有4种,所求事件的概率为P =410=25. 答案:259.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答).解析:6节课共有A 66=720种排法,相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法有A 33A 34=144种排法,所以相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为144720=15. 答案:15三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分)10.将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,求:(1)两数之和为5的概率;(2)两数中至少有一个奇数的概率.解:将一颗骰子先后抛掷2次,此问题中含有36个等可能基本事件.(1)记“两数之和为5”为事件A ,则事件A 中含有4个基本事件,所以P (A )=436=19.所以两数之和为5的概率为19. (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B ,则事件B 与“两数均为偶数”为对立事件.所以P (B )=1-936=34.所以两数中至少有一个奇数的概率为34. 11.将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次,规定“正方体向上的面上的数字为a ,正四面体的三个侧面上的数字之和为b ”.设复数为z =a +b i.(1)若集合A ={z |z 为纯虚数},用列举法表示集合A ;(2)求事件“复数在复平面内对应的点(a ,b )满足a 2+(b -6)2≤9”的概率.解:(1)A ={6i,7i,8i,9i}.(2)满足条件的基本事件的个数为24.设满足“复数在复平面内对应的点(a ,b )满足a 2+(b -6)2≤9”的事件为B .当a =0时,b =6,7,8,9满足a 2+(b -6)2≤9;当a =1时,b =6,7,8满足a 2+(b -6)2≤9;当a =2时,b =6,7,8满足a 2+(b -6)2≤9;当a =3时,b =6满足a 2+(b -6)2≤9.即B 为(0,6),(0,7),(0,8),(0,9),(1,6),(1,7),(1,8),(2,6),(2,7),(2,8),(3,6)共计11个.所以所求概率P =1124. 12.(2012·江西高考)如图,从A 1(1,0,0),A 2(2,0,0),B 1(0,1,0),B 2(0,2,0),C 1(0,0,1),C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率;(2)求这3点与原点O 共面的概率.解:从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是:x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1,A 1A 2B 2,A 1A 2C 1,A 1A 2C 2共4种;y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1,B 1B 2A 2,B 1B 2C 1,B 1B 2C 2共4种;z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1,C 1C 2A 2,C 1C 2B 1,C 1C 2B 2共4种.所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1,A 1B 1C 2,A 1B 2C 1,A 1B 2C 2,A 2B 1C 1,A 2B 1C 2,A 2B 2C 1,A 2B 2C 2共8种.因此,从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种.(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1,A 2B 2C 2,共2种,因此,这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1=220=110. (2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1,A 1A 2B 2,A 1A 2C 1,A 1A 2C 2,B 1B 2A 1,B 1B 2A 2,B 1B 2C 1,B 1B 2C 2,C 1C 2A 1,C 1C 2A 2,C 1C 2B 1,C 1C 2B 2,共12种,因此,这3个点与原点O 共面的概率为P 2=1220=35.1.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.解析:采用枚举法:从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}共6个,符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2个,所以所求的概率为13. 答案:132.(2012·江苏高考)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是________.解析:由题意得a n =(-3)n -1,易知前10项中奇数项为正,偶数项为负,所以小于8的项为第一项和偶数项,共6项,即6个数,所以P =610=35. 答案:353.(2012·福建高考)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中,a 1=b 1=1,b 4=8,{a n }的前10项和S 10=55.(1)求a n 和b n ;(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率.解:(1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q .依题意得S 10=10+10×92d =55,b 4=q 3=8, 解得d =1,q =2,所以a n =n ,b n =2n -1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项,得到的基本事件有9个:(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4).符合题意的基本事件有2个:(1,1),(2,2).故所求的概率P =29.。

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