初中数学几何的动点问题专题练习

动点问题专题训练

1、（09包头）如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．

（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？

解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，

∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．

又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，

∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，

又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4

33

BP t ==秒， ∴515

443

Q CQ v t

=

==厘米/秒． ·

································································· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15

32104

x x =+⨯， 解得80

3

x =

秒．

∴点P共运动了80

380

3

⨯=厘米．

∵8022824

=⨯+，

∴点P、点Q在AB边上相遇，

∴经过80

3

秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········································（12分）

3（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.

（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；

（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

解：（1）⊙P与x轴相切.

∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），

与y轴交于B（0，－8），

∴OA=4，OB=8.

由题意，OP=－k，

∴PB=P A=8+k.

在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，

∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，

∴⊙P与x轴相切.

（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P

在线段OB上时,作PE⊥CD于E.

∵△PCD为正三角形，∴DE=1

2

CD=

3

2

，PD=3，

∴PE=33

.

∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，

∴△AOB∽△PEB，

∴

33

2

,=

45

AO PE

AB PB PB

=即，

∴

315

, PB=

∴

315

8

PO BO PB

=-=-，

∴

315

(0,8)

P-，

∴

315

8 k=-.

当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－315

－8)，

∴k=－315

－8，

∴当k=315

－8或k=－

315

－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三

角形是正三角形.

4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A的坐标为（－3，4），

点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

解：

5（09河北）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单

位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动

的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距

离是 ；

（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ

的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成

为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．

解：（1）1，85

；

（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-． 由△AQF ∽△ABC

，4BC ==， 得

45QF t =．∴4

5

QF t =． ∴14(3)2

5

S t t =-⋅， 即2265

5

S t t =-+．

（3）能．

①当DE ∥QB 时，如图4．

∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB

=

， 即335t t -=

． 解得9

8

t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．

此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得

AQ AP

AB AC

=

， 即353t t -=． 解得158

t =．

图16

P

图

4

P

图5