波动学基础练习及答案

（B）机械波实质上就是在波的传播方向上，介质各质元的集体受迫振动； （C）波由一种介质进入另一种介质后，频率、波长、波速均发生变化； （D）介质中，距波源越远的点，相位越落后。
频率不变。
（C）
4．一平面简谐波沿 x 轴负方向传播，角频率为 ω ，波速为 u ，设 t = T 时刻的波形如图所示， 4
答案： 125 rad/s； 338m/s； 17.0m
其中ω = 125 ；利用标准公式ω(t − x / u) ，得 u=125/0.37=338；利用标准公式ωt − 2πx / λ ，得 λ = 2π / 0.37 。
2．一平面简谐波。波速为 6.0 m/s，振动周期为 0.1 s，则波长为_________。在波的传播方向上，
A
A
t=0
2
80
O
160
t=2 s 20
解：(1) 比较 t = 0 时刻波形图与 t = 2 s 时刻波形图， 可知此波向左传播．在 t = 0 时刻，O 处质点：
0 = A cosφ ， 0 < v 0 = − Aω sin φ
φ =−1π
故：
2
A / 2 = Acos(4πν − 1 π)
又 t = 2 s，O 处质点位移为：
x=0 处为波腹，则 (−ϕ − 4π ) / 2 = kπ ，由此解得ϕ = − 4π 。
3
3
二、填空题
1．3075：一平面简谐波的表达式为 y = 0.025 cos(125t − 0.37 x) (SI)，其角频率ω =______， 波速 u =________，波长λ = _________。
−
x
− u
L)
+
ϕ]
根据振动方程和波动方程定义、结合传播方向，可直接写出。
P
Ox
填空题 6 图
4
7．两个相干点波源 S1 和 S2，它们的振动方程分别是
y1
=
A cos(ωt
+
1 2
π)
和
y2
=
A cos(ωt
−
1 2
π)
。波从
S1 传到
P
点经过的路程等于
2
个波长，波从
S2 传到
P
点的路程等
于 7 2 个波长。设两波波速相同，在传播过程中振幅不衰减，则两波传到 P 点的振动的合振幅
φ = − π 。再将各值代入，即可获得表达式。 2
4．图为 t = T / 4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波
的表达式为_________
_。
y (m) u=330 m/s
答案： y = 0.10 cos[165π(t − x / 330) − π] (SI) 有 图 可 知 ， A=0.1 ， u=330 ， λ = 4 ， T = λ / u = 4 / 330,ω = 2π / T = 165π ；
第四章（二） 波动学基础
班号
学号
姓名
日期_________________
一、选择题
1．图（a）表示 t = 0 时的简谐波的波形图，波沿 x 轴正方向传播，图（b）为一质点的振动曲 线，则图（a）中所表示的 x = 0 处质点振动的初相位与图（b）所表示的振动的初相位分别为
y
（A）均为 π ；
（B）均为 − π ；
16 160 2 (SI)
计算题 2 图
x (m)
3．如图所示，两相干波源 S1 、 S2 ，其振动表达式分别为 y10 = 0.1cos 2πt cm ；
y20 = 0.1cos(2πt + π ) cm
6
它们在 P 点相遇。已知波速 u = 20cm ⋅s-1, PS1 = 40cm , PS2 = 50cm ，试求：
8．一列火车以 20 m/s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为 600 Hz，一静止观测者在机车前和机
车后所听到的声音频率分别为______和_____________（设空气中声速为 340 m/s）。
答案：637.5； 566.7
ν前
=
u
u − vs
ν
=
340 × 600 340 − 20
=
637.5Hz
（SI）；
（C）
y2
=
2.0 ×10−2
cos⎢⎣⎡100π
⎜⎛ ⎝
t
−
x ⎟⎞ − 20 ⎠
π⎤ 3 ⎥⎦
（SI）；
2
（D）
y2
=
2.0 ×10−2
cos⎢⎣⎡100π
⎜⎛ t ⎝
−
x ⎟⎞ − 20 ⎠
4π 3
⎤ ⎥⎦
（SI）。
（D ）
若要形成驻波，振幅相同、角频率相同，且传播方向应相反，则时间项为-x/20。
（D ） 由传播方向可知，时间项为正的 x/u；
设表达式为 y = A cos[ω(t + x / u) + φ] ，依图可知，x=0 处在 t=T/4 时相位为 − π ，代入后相 2
位公式得： φ =- π ，等价于 π 。
5．在同一介质中两列相干的平面简谐波的强度之比是 I1 I 2 = 4 ，则两列波的振幅之比是
为了在此弦线上形成驻波，并且在 x = 0 处为一波腹，此弦线上还应有一平面简谐波，其表达
式为
（A）
y2
=
2.0 ×10−2
cos⎢⎣⎡100π
⎜⎛ t ⎝
−
x ⎟⎞ + 20 ⎠
π⎤ 3 ⎥⎦
（SI）；
（B）
y2
=
2.0 ×10−2
cos⎢⎣⎡100π
⎜⎛ ⎝
t
−
x ⎟⎞ 20 ⎠
+
4π 3
⎤ ⎥⎦
为____。 答案：2A
合Βιβλιοθήκη Baidu幅 A' =
A12
+
A22
+
2 A1 A2
cos[ϕ 2
− ϕ1
−
2π λ
(r2
−
r1 )]
其中 A1
=
A2 ,ϕ1
=
π 2
,ϕ2
=
−
π 2
,
r1
= 2λ, r2
= 7 / 2λ ，代入得
A' = A2 + A2 + 2AAcos[− π − π − 2π (7 / 2λ − 2λ)] =2A 22 λ
yP = Acos(ω t + ϕ) ，则
O 处质点的振动方程___________________________________；
L
u
该波的波动表达式_____________________________________。
答案：
y0
=
A cos[ω (t
+
L) u
+
ϕ]
；
y
=
A cos[ω (t
（C）
o
动能和势能表达式相同，在速度最大、即 x 为 0 时能量最大。不同于单个质点简谐运动表达式。
7．设有两相干波，在同一介质中沿同一方向传播，
其波源相距 3λ ，如图所示，当 A 在波峰时，B 恰 2
在波谷，两波的振幅分别为 A1 和 A2，若介质不吸收
u
• A
波的能量，则两列波在图示的点 P 相遇时，该处质点的振幅为
中波的平均能量密度是 w ，则通过截面积 S 的平均能流是___________________。
答案： ω λ wS 2π
P = wuS ，∵
u = λ ，∵ T
T = 2π ，∴ ω
u = ωλ ，由此 P = ωλ wS
2π
2π
6．如图所示，一平面简谐波沿 Ox 轴正向传播，波速大小为 u，若 P 处质点的振动方程为
t (s)
-A
d
O
Px
计算题 1 图
5
解：（1）
yP
=
A cos( 1 2
πt
+
π)
；
（2）
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π] ；（3）
y0
=
Acos(
1 2
πt) 。
解：（1）由振动曲线可知，P 处质点振动方程为
yP
=
Acos[( 2π t) 4
+
π] =
A cos( 1 2
πt
+
（A）波长为 5 m ； （B）波速为10 m ⋅ s−1 ；
（C）周期为 1 秒； （D）波沿 x 正方向传播。 3
（C ）
根据公式ω =6 π ，T = 2π / ω =1/3 秒。其它均不正确， λ = 100 / 3, u = 100 （忽略单位），传
播方向为-x。
3．下列叙述中不正确的是
（A）在波的传播方向上，相位差为 2π 的两个质元间的距离称波长；
有两质点（其间距离小于波长）的振动相位差为 5π /6，则此两质点相距______。
答案：0.6m； 0.25m
λ = uT = 6 × 0.1 = 0.6 ； S = 5π / 6 × λ = 5 × 0.6 = 0.25 。
2π
12
3．一列平面简谐波沿 Ox 轴正向无衰减地传播，波的振幅为 2 ×10−3 m，周期为 0.01s，波速为 400m ⋅ s−1 。当 t = 0 时 Ox 轴原点处的质元正通过平衡位置向 y 轴的正方向运动，则该简谐波
因此，设另一平面简谐波为：
y2
=
2.0 ×10−2
cos⎢⎣⎡100π
⎜⎛ ⎝
t
−
x 20
⎟⎞ ⎠
+
φ
⎤ ⎥⎦
根据公式 cosα
+ cos β
=
α 2 cos
+
β
α cos
−
β
,
2
2
y
=
y1
+
y2
=
4.0 ×10−2
cos[(200πt
+ϕ
−
4π 3
) / 2]cos[(10πx
−ϕ
−
4π 3
) / 2]
π)
（2）波动表达式为
y
=
Acos[2π( t 4
+
x
− λ
d
)
+
π]
（3）O 处质点的振动方程
y0 = Acos(12 πt)
2．图示一平面余弦波在 t = 0 时刻与 t = 2 s 时刻的波形 图。已知波速为 u，求：
(1) 坐标原点处介质质点的振动方程； (2) 该波的波动表达式。
y (m)
2
− 1 π = 4πν − 1 π
所以： 4
2 ， ν = 1/16 Hz
振动方程为：
y0
=
A cos(πt
/8−
1 2
π)
(SI)
(2) 波速： u = 20 /2 m/s = 10 m/s
波长： λ = u /ν = 160 m
y = Acos[2π( t + x ) − 1 π]
波动表达式：
（A） A1 A2 = 4 ； （B） A1 A2 = 2 ；
（C） A1 A2 = 16 ； （D） A1 A2 = 1 4 。
（B ） I=A2，由此获得比值。
6．一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位置回到平衡位置的过程中 （A）它的势能转化成动能； （B）它的动能转化成势能； （C）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加； （D）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。
ν后
=
uν u + vs
=
340 × 600 340 + 20
=
566.7Hz
三、计算题
1．一平面简谐波沿 Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的
振动规律如图所示．
（1）求 P 处质点的振动方程；
（2）求此波的波动表达式；
（3）若图中
d
=
1 2
λ
，求坐标原点
O
处质点的振动方程。
yP (m)
01
2
2
O
（C） π 与 − π ； （D） − π 与 π 。
22
22
u
y
x
O
(a )
选择题 1 图
t
(b )
（C ）
(a)中 O 点速度向下，因此相位为 π ；（b）中根据振动方程定义，初相位为 − π 。
2
2
2．机械波的表达式为 y = 0.05cos(6π t + 0.06π x) ，式中使用国际单位制，则
（1）两列波的波函数；
（2）两列波传播到 P 点的相位差；
S1
P
（3）干涉后 P 点的振动是加强还是减弱。
解：（1） y1
= 0.1cos 2π (t
−
x) 20
cm
S2
y2
=
0.1cos[2π (t
的波动表达式为__________________________。
答案： y = 2 ×10−3 cos(200πt − π x − π ) (SI) 22
由题目已知 A、T 和 u；ω = 2π / T = 200π ；
设表达式为： y = Acos[ω(t − x ) + φ] u
3
当 t=0 时，x=0 处的质元正通过平衡位置向 y 轴的正方向运动，则说明相位为 − π ，则推出 2
（A） A1 + A2 ； （B） A1 − A2 ； （C） A12 + A22 ； （D）
u
P
•
•
3λ
B
2
选择题 7 图
A12 − A22 。
（A）
设 A 超前 B 相位 π ，在 P 点处落后 B 相位为-3/2*2 π ，合成相位为-2 π ，即振动增强位置。
8．在弦线上有一平面简谐波，其表达式为 y1 = 2.0 ×10−2 cos[100π (t + x 20) − 4π 3]（SI），
则该波的表达式为
（A） y = A cos[ω (t − x ) + π ] ； u
（B） y = A cos[ω (t − x ) − π ] ； u2
（C） y = A cos[ω (t + x ) − π ] ； u2
y
u
A
x
o
−A
选择题 4 图
1
（D） y = A cos[ω (t + x ) + π ] 。 u
O -0.10
1234
填空题 4 图
x (m)
设表达式为： y = Acos[ω(t − x ) + φ] u
当 t=T/4 时，x=0 处的振动方向向上，因此相位为 − π 。 2
代入公式，165π × (4 / 330) / 4 + φ = − π ,φ = −π 。即可获得表达式。 2
5．在截面积为 S 的圆管中，传播一平面简谐波，其波动表达式为 y = A cos(ωt − 2πx λ )，管