四种典范平差模型的分析与设计

3.四中经典平差模型的分析与设计在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提高测量精度，但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同，可以分为条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差四种。

通过对它们的分析，可以很好地解决生产实践中的实际问题，亦可为以后的某些理论推导作必要的准备。

3.1条件平差模型条件平差的函数模型：AV+W=0其中A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n r r r b b b a a a 212121，W=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡r b a w w w ，V=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n v v v 21 随机模型：D=Q 20δ法方程：0=+W K N aa其中：T aa AQA N =解之得 K=W N aa 1--误差方程 ： V=K QA T观测量平差值：V L L +=平差值函数：)(21n L L L f+++=ϕ 其权函数式为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+++=ii n n Lf f L d f L d f L d f d ,***2211ϕ 单位权方差的估值：rPVV r PV V T T ==020,δδ 平差值函数ϕ的协因数阵：AQf N AQf Qf f Q aaT T 1)(--=ϕϕ 条件平差的基本向量的协因数和互协因数3.2附有限制参数的条件平差模型在一个平差问题中，如果观测值个数为n ，必要观测数为t ，则多余观测数r=n-t 。

若不增选参数，只需列出r 个条件方程，这就是条件平差方法。

如果又选了u 个独立量为参数（0<u<t ）参加平差计算，这就可建立含有参数的条件平差作为平差的函数模型，这就是附有参数的条件平差方法。

0**1,1,,1,,=++c u uc n nc W x B V A②式中，V 为观测值L 的改正数，1,u x为参数近似值0X 的改正值，即x X X V L L +=+=0,随机模型：D=12020-=P Q δδ为了求出能使min =PV V T的一组解，按求函数条件极值的方法，组成函数)(2W x B AV K PV V T T ++-=Φ式中，K 是对应于条件方程②的联系数向量，为求Φ的极小值，将其分别对V 和x求一阶导数并令其等于零，则有02022=-=∂Φ∂=-=∂Φ∂B K xA K P V VT T T由两式转置之后第一式左乘1-P ，再加②式得其基础方程解算此基础方程，通常是将其中的改正数方程代入条件方程，得到一组包含K 和1,,u x的对称线性方程组，即⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫===++-00A 1,,1,,,11,1,1,,,1,n c,c Tc u c T c n n n n c u u c n K B K A P V W x B V⎪⎭⎪⎬⎫==++00K B w x B K AQA T T令T a a AQA N =,,上式也可写成：⎪⎭⎪⎬⎫==++00,K B W x B K N T a a③ 上式称为附有参数的的条件平差的法方程。

解上面的的第一式得，)(1W x B N K aa +-=-又以1-aa T N B 左乘③的第一式，并与第二式想减，且令B N B N aa T bb 1-=,得：01=+-W BN x N aa bb解之，得W N B N x aa T bb 11---=求出x后，即可求得K ，最后可以求定V ：)(1W x B N QA V aa T +-==继而，可计算平差值x X X V L L +=+=0,平差值的权函数式为X d F L d F d t x T+=ϕ单位权方差的估值：rPVV u c PV V r PV V T T T =-==020,δδ 平差值函数ϕ的协因数阵：xX X Tx L X T x x X L T L L T F Q F F Q F F Q F F Q F Q +++=ϕϕ其中，L LQ 、X L Q 、LX Q 、X X Q 可以通过查表获得它们的的公式3.3间接平差模型在一个平差问题中，当所选的独立参数X的个数等于必要观测数t 时，可将每个观测值表达成这t 个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，这就是间接平差。

间接平差的函数模型为1,1,,1,n t t n n d X B L +=平差时，对参数X都要取近似值0X ，令x X X +=0 )(0d BX L l +-=由此可得误差方程l x B V -=上面中的：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n t b a t b a t b a B 222111 []Tn v v v V 21=[]T n x x x x 21=按最小二乘原理，上式的x必须满足min =PV V T的要求，因为t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得02==∂∂=∂∂PB V xV P V x PV V TT T 经转置后得间接平差的基础方程：⎪⎭⎪⎬⎫-==l x B V PV B T 0 ④ 解此基础方程，一般是先消去V ，得0=-Pl B x PB B T T1ˆˆˆˆT T bb XX Q F Q F F N Fφφ-==令l PB B N T BB P B W T ==，上式可简写成0=-W x N BB上式称为间接平差的法方程。

解之，得W N x BB 1-=将求出的x代入误差方程，即可求得改正数，从而平差结果为x X X V L L+=+=0,单位权中误差：tn PVV r PV V T T -==0δ平差参数X的协方差阵：12020-==BB XX X X N Q D δδ 平差参数的协方差阵 权函数式：x F d T =ϕ协因数：方差：ϕϕϕϕδ Q D 20=3.4附有限制条件的间接平差模型在一个平差问题中，多余观测数r=n-t ，如果在平差中选择的参数个数u>t 个，其中包含了t 个独立参数，则参数间存在s=u-t 个限制条件。

平差时列出n 个观测方程和s 个限制参数间关系的条件方程，以此为函数模型点的平差方法，就是附有限制条件的间接平差。

附有限制条件的间接平差的函数模型：其中，R(B)=u ，R(C)=s ，u<n ，s<n即B 为列满秩阵，C 为行满秩阵 随机模型：在附有限制条件的间接平差的函数模型中，待求量n 个改正数和u 个参数，而方程个数为n+u ，少于待求量的个数，故是有无穷多组解的一组相容方程。

为此，应在无穷多组解中求出能使min =PV V T的一组解。

按求条件极值法组成函数：式中ss K 1,是对应于限制条件方程的联系数向量为求φ得极小值将其对x取偏导并令其等于零，则有111111ˆˆ0n u n u n s u u s s x V xl B W C x⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-+=22100nnD Q pσσ-==ˆˆ2()T T s x V PV K Cx W Φ=++22220ˆˆT T T T s s VVP K C V PB K C x x∂Φ∂=+=+=∂∂转置后，得由此的附有限制条件的间接平差的基础方程上方程组中的个数是n+s+u ，待求未知数的个数n 个改正数，u 个参数和s 个联系数，故有唯一解。

解之，得由上式解得x之后，进而可求得V ，最后可求出参数和观测值的平差：ˆˆˆ0x V Bx l Cx W =-+=0T T s B PV C K +=0T T s B PV C K +=111111111()ˆ()(,,)s CC BB x T T BB BB CC BB BB CC x T T T BB CC BB K N CN W W x N N C N CN W N C N W N B PB W B Pl N CN C ---------=+=--===0ˆˆˆLL V XX x =+=+单位权方差的估值：平差值函数的权函数式X d F d T=ϕ式中⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=n 21X X X FTφφφ，，， 平差值函数的协因数F Q F Q XX T=ϕϕ 平差值函数的中误差ϕϕϕδδQ 0=其中的XXQ 可通过查表的 2ˆ()T T V PV V PV r n u s σ==--.3.5本章小结在这一章节中，分析了经典平差的四种模型：条件平差、附有参数的条件平差。

并对其的计算及公式的推到进行详细的描述。