四种典范平差模型的分析与设计

3.四中经典平差模型的分析与设计

在生产实践中观测的数据可以通过以最小二乘原理为基本原理进行平差提高测量精度，但由于所设参数个数与观测个数和非必要观测个数的关系不同，可以分为条件平差、附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差四种。通过对它们的分析，可以很好地解决生产实践中的实际问题，亦可为以后的某些理论推导作必要的准备。

3.1条件平差模型

条件平差的函数模型：

AV+W=0

其中

A=⎥

⎥

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n r r r b b b a a a 2121

21

，W=⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡r b a w w w ，V=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n v v v 21 随机模型：

D=Q 2

0δ

法方程：

0=+W K N aa

其中：

T aa AQA N =

解之得 K=W N aa 1

--

误差方程 ： V=K QA T

观测量平差值：

V L L +=

平差值函数：

)(21n L L L f

+++=ϕ 其权函数式为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+++=i

i n n L

f f L d f L d f L d f d ,***2211

ϕ 单位权方差的估值：

r

PV

V r PV V T T =

=02

0,δδ 平差值函数ϕ

的协因数阵：

AQf N AQf Qf f Q aa

T T 1

)(--=ϕϕ 条件平差的基本向量的协因数和互协因数

3.2附有限制参数的条件平差模型

在一个平差问题中，如果观测值个数为n ，必要观测数为t ，则多余观测数r=n-t 。若

不增选参数，只需列出r 个条件方程，这就是条件平差方法。如果又选了u 个独立量为参数（0

0**1

,1

,,1

,,=++c u u

c n n

c W x B V A

②

式中，V 为观测值L 的改正数，1

,u x

为参数近似值0X 的改正值，即

x X X V L L +=+=0,

随机模型：

D=1

2020-=P Q δδ

为了求出能使min =PV V T

的一组解，按求函数条件极值的方法，组成函数

)(2W x B AV K PV V T T ++-=Φ

式中，K 是对应于条件方程②的联系数向量，为求Φ的极小值，将其分别对V 和x

求一阶导数并令其等于零，则有

020

22=-=∂Φ∂=-=∂Φ

∂B K x

A K P V V

T T T

由两式转置之后第一式左乘1

-P ，再加②式得其基础方程

解算此基础方程，通常是将其中的改正数方程代入条件方程，得到一组包含K 和1

,,u x

的

对称线性方程组，即

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬⎫===++-00A 1,,1,,,1

1

,1,1,,,1,n c,c T

c u c T c n n n n c u u c n K B K A P V W x B V

⎪⎭

⎪⎬⎫

==++00K B w x B K AQA T T

令T a a AQA N =,,上式也可写成：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

==++00,K B W x B K N T a a

③ 上式称为附有参数的的条件平差的法方程。

解上面的的第一式得，

)(1

W x B N K aa +-=-

又以1-aa T N B 左乘③的第一式，并与第二式想减，且令B N B N aa T bb 1

-=,得：

01=+-W BN x N aa bb

解之，得

W N B N x aa T bb 11---=

求出x

后，即可求得K ，最后可以求定V ：

)(1W x B N QA V aa T +-==

继而，可计算平差值

x X X V L L +=+=0,

平差值的权函数式为

X d F L d F d t x T

+=ϕ

单位权方差的估值：

r

PV

V u c PV V r PV V T T T =

-==02

0,δδ 平差值函数ϕ

的协因数阵：

x

X X T

x L X T x x X L T L L T F Q F F Q F F Q F F Q F Q +++=ϕϕ

其中，L L

Q 、X L Q 、L

X Q 、X X Q 可以通过查表获得它们的的公式

3.3间接平差模型

在一个平差问题中，当所选的独立参数X

的个数等于必要观测数t 时，可将每个观测

值表达成这t 个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，这就是间接平差。

间接平差的函数模型为

1

,1

,,1

,n t t n n d X B L +=

平差时，对参数X

都要取近似值0X ，令

x X X +=0 )(0d BX L l +-=

由此可得误差方程

l x B V -=

上面中的：

⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n t b a t b a t b a B 222

111 []T

n v v v V 21=

[]T n x x x x 21

=

按最小二乘原理，上式的x

必须满足min =PV V T

的要求，因为t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得

02==∂∂=∂∂PB V x

V P V x PV V T

T T 经转置后得间接平差的基础方程：

⎪⎭

⎪

⎬⎫

-==l x B V PV B T 0 ④ 解此基础方程，一般是先消去V ，得

0=-Pl B x PB B T T