《电子工程物理基础》课后习题解答教程

《电子工程物理基础》习题参考答案第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知 22201x A x e dx λ∞-=⎰得到 归一化常数 2A λλ= 所以 归一化波函数为2(0,0)()0(0)xxe x x x λλλλψ-⎧≥>⎪=⎨<⎪⎩（2）粒子坐标的概率分布函数{32224(0,0)0(0)()()x x e x x w x x λλλψ-≥><==（3）令()0dw x dx = 得到 10,x x λ==，根据题意x=0处，()w x =0，所以1x λ=处粒子的概率最大。

1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。

①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为2/4/4202()()()11sin 422a a P x x dx n x dx a an n πψππ===-⎰⎰sin（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大max 11()+46P x π=。

（3）当n→∞时，1()4P x =。

这时概率分布均匀，接近于宏观情况。

1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态，2212()()x m x Aeαωψα-==求①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=解：类似题1-1的方法 （1）归一化常数由*1dx ψψ+∞-∞=⎰ 得到 1/4A απ=（2） 振子的概率密度 222()()xw x x e ααψπ-==由()0dw x dx= 得到x=0时振子出现概率最大。

（3）势能平均值222*2112214U m x m x dxωωψψω+∞-∞===⎰1-4设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。

220()102x V x m x x ω∞<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ 解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。

半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。

这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同）⎪⎩⎪⎨⎧<=≥ω=ξξ=ψξ-)0x (05,3,1n ),0x ;x m ()(H e A )x (n n 2211E 1,3.,52n n n ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1-5电子在原子大小的范围(～10-10m )内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。

解： 电子总能量 22E 2s e p m r=-作近似代换，设 ~,~,~r r p p r p ∆∆∆∆由不确定关系得，，于是22222224222211E ()221()22s s s s e me p m r m r rmeme m r ∆=-=-∆∆∆=--∆ 所以电子的最小能量 4min2E 2s me =-，此式与薛定谔方程得到的氢原子基态能量表达式相同。

1-6氢原子处在基态0301(,,)r a r eaψθϕπ-=，求：①r 的平均值；②势能2s e r-的平均值；③最可几半径。

解：（1）r 的平均值 220032r d a ππψτ+∞==⎰⎰⎰r（2）势能的平均值022223000021sin ra s s U d e e r dr d d r a e a ππψτθθϕπ-∞==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰U （3）最可几半径粒子在球壳r-r+dr 范围中出现的概率如下： 2220()()w x dr x r d d ππψθϕ=⎰⎰由()0dw x dx= 得到r=a 处电子出现的概率最大。

1-7设一体系未受微扰作用时，只有两个能级E 01及E 02，受到微扰ˆH'作用，微扰矩阵元 12211122,H H a H H b ''''====。

a ，b 都是实数，用微扰公式求能级的二级修正值。

解：根据非简并微扰公式，有221(0)111101(0)(0)120102221(0)222202(0)(0)210201H a E EH E b E E E E H a E E H E b E E E E ''=++=++--''=++=++--1-8氢分子的振动频率是1.32×1014Hz ，求在5000K 时，下列两种情况下振动态上粒子占据数之比。

①n=0，n=1；②n=1，n=2。

氢分子的振动看作为谐振子，因此振子能量为 1()2n E n ω=+振动态上被粒子占据的概率服从M-B 分布，则（1） n=0，n=1 时， （2） n=1，n=2时，00100100()/01=3.54E k TE E k TE k T k T f ef e eω---===e 10210200()/12=3.54E k TE E k TE k Tk Tf ef e e ω---===e1-9求在室温下(k 0T=0.025ev)电子处在费米能级以上0.1ev 和费米能级以下0.1ev 的概率各是多少?费米能级以上 00.1411= 1.8%11i E E k Tf e e-==++f 费米能级以下 0-0.1411=98.2%11i E E k Tf e e--==++f 第二章2-1.试说明格波和弹性波有何不同?提示：从晶格格点分立取值和晶格周期性特点出发分析与连续介质弹性波的不同。

2-2. 证明：在长波范围内，一维单原子晶格和双原子晶格的声学波传播速度均与一维连续介质弹性波传播速度相同，即：ρEv =式中，E 为弹性模量，ρ为介质密度。

提示：利用教材第二章中一维单原子晶格和双原子晶格的声学波的色散关系，得到长波近似下的表达式（2-35）和（2-46），并注意到qv ω=。

2-3.设有一维原子链(如下图所示)，第2n 个原子与第2n+1个原子之间的恢复力常数为β，第2n 个原子与第2n-1个原子之间的恢复力常数为β′(β′＜β)。

设两种原子的质量相等，最近邻间距为a ，试求晶格振动的振动谱以及波矢q=0和q=π/2a 时的振动频率。

解：根据题意，原子运动方程为)1()x x ()x x (dt x d m )x x ()x x (dt x d m n 21n 2n 21n 22n 221n 2n 21n 22n 221n 22⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-β'+-β=-β+-β'=-+++++设上两式的行波解为）（）2Be x Ae x ]t na 2(q [i 2n 2]t a )1n 2(q [i 1n 2⎪⎭⎪⎬⎫==ω-+ω-++ 将式（2）代入式（1），并整理得)3(0B )m A )e e (0B )e e A --m 2iqa iqa iqa iqa 2⎪⎭⎪⎬⎫=β'-β-ω+β'+β=β+β'+β'βω--（（）（方程（3）中的A 、B 有非零解，则方程组的系数行列式为零，得到])qa 2cos 2[m12/1222β'β+β'+β±β'+β=ω（）（所以 0,m20q 22=ωβ'+β=ω=-）（时， m2,m 2a 2q 22β'=ωβ=ωπ=-+时， 2-4. 一维双原子晶格振动中，证明在布里渊区边界q=±a 2π处，声频支中所有轻原子m 静止，光频支所有重原子M 静止。

提示：利用教材中第二章的式（2-46）和式（2-49）进行分析。

2-5. 什么叫声子?它和光子有何异、同之处?略2-6. 一维双原子点阵，已知一种原子的质量m=5×1.67×10-27kg ，另一种原子的质量M=4m ，力常数β=15N ·m -1，求：(a) 光学波的最大频率和最小频率0m ax ω、0m in ω (b) 声学波的最大频率Am ax ω (c) 相应的声子能量是多少eV?(d) 在300K 可以激发多少个频率0m ax ω、0m in ω、Am ax ω的声子? (e) 如果用电磁波来激发长光学波振动，试问电磁波的波长要多少? 解：m 8.0Mm mM=+=μ（a ）s /rad 106.72130max ⨯=μβ=ω，s /rad 106.0m 2130min⨯=β=ω （b ）s /rad 103.0213A max ⨯=μβ=ω， （c ）eV 044.0E 0max 1=ω= ，eV 040.0E 0main 2=ω= ，eV 020.0E Amax 3=ω=（d ）22.0e1n Tk /0max 0o max ≈=ω ,28.0Te1n 0o x min k /0min ≈=ω ,87.0e1n Tk /A max 0A max ≈=ω(e) m 108.2c 25omax-⨯=ωπ=λ2-7. 设晶体中每个振子的零点振动能量12h υ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

解：晶体的零点振动能E 0是各振动模式零点能之和。

m p 3/123p200N 89v )V N 6(N 89d v 2V 321d )()(E mm ω=π=ωπ⋅ω=ωωρωε=⎰⎰ωω 2-8.设长度为L 的一维简单晶格，原子质量为m ，间距为a ，原子间的互作用势可表示成()cos()U a A aδ+δ=-。

试由简谐近似求（1）色散关系； （2）模式密度()ρω；（3）晶格热容（列出积分表达式即可） 解：（1）原子间的弹性恢复力系数为22222))a a d U d U Adr d aβ==δ=((将上式代入本教材一维简单晶格的色散关系式（2-34）中，得到qa 21sin )m A (a 22/1=ω （2）对于一维简单晶格，有/0/()()Daad q dq N ωπ-πρωω=ρ=⎰⎰在波矢q q dq -+中的振动模式数为()22L Naq dq dq dq ρ=⨯=ππ，其中2是考虑q ±对称区域引入的。

/2/000()()2()Da d d dq dq q dq dq dqωππωωρω=ρω=ρ⎰⎰⎰所以，()2()d q dqωρω=ρ 21/2221/200cos()[1sin()]()2222d qa a qa adq ω==ω-=ω-ω 代入上式，有 1221/210221/20()2()()[()]221()d Na aq dq N a --ωρω=ρ=ω-ωπ=ω-ω（3） 利用教材第二章中的式（2-81），得 00/20/2221/2002()(1)()Dk TV k TL e C k d a k T eωωωω=ωπ-ω-ω⎰2-9. 有人说，既然晶格独立振动频率υ的数目是确定的(等于晶体的自由度数)。