江苏高考数学试卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
棱锥的体积，其中为底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1．（2012年江苏省5分）已知集合，，则▲．
2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生． 3．（2012年江苏省5分）设，（i 为虚数单位），
则的值为▲．
4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．
1
3
V Sh =
S h {124}A =，，{246}B =，，A B =U 334::a b ∈R ，
117i
i 12i
a b -+=-a b +
5．（2012年江苏省5分）函数的定义域为▲． 6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．
7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为▲cm
3
．
8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线
，则的值为▲．
9．
（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若
的值
是▲．
10．（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函
数，在区间上， 其中．若
， x x f 6log 21)(-=3-1111ABCD A B C D -3cm AB AD ==12cm AA =11A BB D D -xOy 22
214
x y m m -=+m ABCD 2AB BC ==，
E BC
F CD AB AF =u u u r u u u r
g AE BF
u u u r u u u r
g ()f x R [11]-，
0111()201
x x ax f x bx x <+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩≤≤≤，
，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则的值为▲．
11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为▲．
12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公
共点，则的最大值是▲．
13．（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x 的不等式
的解集为，则实数
c 的值为▲．
14．（2012年江苏省5分）已知正数
满足：
则
的取值范围是▲．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．
15．（2012年江苏省14
分）在中，已知．
（1）求证：； （2）若求A 的值．
3a b +α4
cos 65
απ
⎛⎫+= ⎪⎝
⎭)
12
2sin(π
+a xOy C 228150x y x +-+=2y kx =-C k 2()()f x x ax b a b =++∈R ，
[0)+∞，()f x c <(6)m m +，a b c
，，4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，b
a
ABC ∆3AB AC BA BC =u u u r u u u r u u u r u u u r
g g tan 3tan B A
=cos C =
16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，
分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面； （2）直线平面．
17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为
3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由． 18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值
或极小值，则称为函数的极值点。

已知是实数，1和是函数的两个极值点． （1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
111ABC A B C -1111A B AC =D E
，1BC CC ，D C AD DE F ⊥，11
B C ADE ⊥11BCC B 1//A F ADE xoy x y 221
(1)(0)20
y kx k x k =-
+>k a )(x f y =0x x =0x )(x f y =
a b ，1-32()f x x ax bx =++a b ()g x ()()2g x f x '=+()g x
（3）设，其中，求函数的零点个数．
19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆
的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P ．
（i ）若，求直线的斜率；
（ii ）求证：是定值．
20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和
满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的
值．
]数学Ⅱ(附加题)
()(())h x f f x c =-[22]c ∈-，()y h x =xoy 22
2
21(0)x y a b a b
+=>>1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e
，e ⎛ ⎝
⎭e ,A B x 1AF 2BF 2AF 1
BF 12AF BF -1AF 12PF PF +{}n a {}n b 2
2
1n n n n n b a b a a ++=
+*N n ∈n
n
n a b
b +=+11
*N n ∈2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪
⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
n
n
n a b b •=+21*N n ∈{}n a 1a 1b
21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并．．．．．．．．．在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．[选修4-1：几何证明选讲]（2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．
求证：．
B ．[选修4-2：矩阵与变换]（2012年江苏省10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值．
C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极
轴的交点，求圆的极坐标方程．
D ．[选修4-5：不等式选讲]（2012年江苏省10分）已知实数x ，y 满足：求证：．
【答案】证明：∵， 由题设∴。

∴。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

AB O ,D E AB BD C BD DC =,,AC AE DE E C ∠=∠A
1
13441122-⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
A A C (
)4
P π
，
sin 3ρθπ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭C 11|||2|36x y x y +<
-<，，5
||18
y <()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-11|||2|36x y x y +<
-<，，1153||=366y <+5||18
y <
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．
指定区域内．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（2012年江苏省10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，． （1）求概率；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
23．（2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：
①；②若，则；③若，则。

（1）求；
（2）求的解析式（用表示）．
ξ0ξ=ξ1ξ=(0)P ξ=ξ()E ξ{12}n P n =，，，
…*N n ∈()f n A n A P ⊆x A ∈2x A ∉A C x n
p ∈A C x n
p ∉2(4)f ()f n n。