幂的运算讲义
幂的运算讲义-刘丹.doc
3x
是同类项，那么这两个单项式的积进（
）
6
4
3
2
8
3
2
6
4
A．x
y
B．
x
y
C．
3x
y
D．
x
y
3.已知（x－y）·（x－y）3·（x－y）m=（x－y）12，求（4m2+2m+1）－2（2m2－m－5）的值．
4.212223......220085.am=6，an=2，求a2m－3n的值．
2007
22
例1计算：
（1）
2
3
（
）
a
3
2
（）523
；
（ ）
x
32
x
23
3
；
2
；
3 m m
4
题型二幂的乘方的运算性质的逆用
例2
（1）已知am
2,求a3m；
（2）已知am
3, an
2,求a2m 3n
题型三 积的乘方的运算性质应用
例3
计算：
（1）
3x
3
；
（ ）
2
；
m
2 2； （4）
3 24
2
5ab
（3）x y
xy z
n1
aa0, n是正整数
(6)科学计数法
对于一个绝对值大于10的数，可以表示成a 10n1a10, n是正整数 的形式，对于一个绝对值
小于1且大 于0的数 ，也可以 表示 成a10n的 形式，只 不过 此时 的n是一个负 数， 如：
0.00000043
4.3
1
4.3
107
10000000
【精品讲义】幂的运算
幂的运算这节课我们学什么1. 掌握同底数幂的运算方法；2. 掌握幂的乘方运算方法；3. 掌握积的乘方运算方法；知识点梳理1、同底数幂的乘法：m n m n a a a +⋅=，逆用这个法则，也可以把一个幂分解为两个同底数幂的积，其中它们的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数．如4312233333=⨯=⨯等． 2、幂的乘方：()nm mn a a = 逆用法则：()()m n mn n m aa a ==可帮助我们根据问题的需要灵活地将式子变形． 如()()()43634342x x x x ⨯===． 3、积的乘方：()n n n ab a b =⋅ 性质的逆向使用，会使计算简化．如201020102010201011221122⎛⎫⎛⎫⨯=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭典型例题分析1、同底数幂的乘法；例1、 计算：（1） 2()a b -⋅3()b a -（2） 223()()x x x -⋅-⋅- （3） ()()2006200722-+- 【答案：（1）5()b a -（2）7x （3）20062-】例2、 化简：()()()()22-1212-2n n n n a b c c a b a b c c a b ++-⋅--++-⋅--【答案：0】例3、 已知10x m =，50x y m +=，求x y m m +的值．【答案：15】例4、 若216m n x +=，2n x =，求m n x +的值【答案：8】例5、 已知225,1a b a b +=-=-，求23222523()()()()a b b a a b a b +⋅-⋅--⋅-+的值【答案：85-】2、 幂的乘方；例6、 计算：（1）2322343()()()x x x x ⋅⋅⋅（2）()()()()()322312m n n m a a a a a -⋅-⋅⋅ 【答案：（1）26x （2）0】例7、 已知36,4m n ma a +==求111119n a ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值 【答案：1】例8、 计算：4523421042523()()()()()a a a a a a a ---⋅+---⋅-【答案：202a -】例9、 已知436482,n ⨯=求n 的值【答案：33】例10、 已知2,2x ya b ==，用,a b 表示3222x y x y +++的值 【答案：32ab a b +】例11、 比较5554443333,4,5的大小关系【答案：333555444534<<】例12、 若123n a +++⋯+=，求代数式))(())()(123221n n n n n xy y x y x y x y x --- （的值．【答案：a a x y 】例13、 比较550与2425的大小【答案：50255024>】例14、 如果的值求12),0(020*******++≠=+a aa a a ． 【答案：12】3、 积的乘方；例15、 计算：（1）1222()()()n n n aa a --⋅⋅-（2）1111127331982⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）332223219()()3x y x y x y xy ⋅-+-（4）()()()()()()()4342332344232a a a a a a a ⋅---⋅+-⋅-⋅；（5）()()()()()()()242242423222x x x x x x x ---⋅--⋅-⋅-；【答案：（1）2n a +-（2）32-（3）0 （4）176a - （5）0】例16、 已知22131346x x x +++⋅=，求x 的值【答案：1】例17、 若整数,,a b c 满足15018982725a b c c a b +⋅⋅=⋅⋅，求,,a b c 的值 【答案：6,3a b c ===】例18、 已知877,8a b ==，用,a b 的代数式表示5656【答案：78a b 】例19、 比较大小：552，443，334，225.【答案：334455224325>>>】例20、 若整数a ，b ，c 满足15018982725a b c c a b +⋅⋅=⋅⋅，求a ，b ，c 的值【答案：6,6,3a b c ===】课后练习练1． 计算：245322(2)a a a a a ⋅+⋅-，【答案：6a -】练2． 计算：（1）23323()(2)(2)()x x y xy x y -⋅-+⋅-⋅（2）()()2322324.02331xy xy y x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）()()()22313232x y y x y x ⎡⎤⎡⎤--⋅--⋅⎡-⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案：（1）534x y （2）914275x y -（3）()72x y --】练3． 已知5719,n m m x x +==，求3n x 的值练4． 试问2000199852⨯的积有多少个0？是几位数？【答案：1998个0，2000位数】练5． 若()8x x n m =，则()=-1mn mn _________．【答案：56】练6． 计算：100100100733(1)()()982-⨯⨯-【答案：1】练7． 比较831151624、、的大小【答案：153184216<<】练8． 若122154()()m n n a b a b a b ++-⋅=，则求()mn m n +的值．练9． 已知232122192x x ++-=，求x 的值【答案：52】练10． a 、b 、c 、d 都是正数，且23452,3,4,5a b c d ====，则a 、b 、c 、d 中，最大的数是 ．【答案：b 】练11． 设a 、b 、c 、d 都是自然数，且5432,a b c d ==，17a c -=，求d b -的值是 ．【答案：269】练12． 已知31416181,27,9,a b c ===则他们的大小存在什么关系？【答案：a b c >>】练13． 已知215(51)0a b c -+++-=，求1271132()()a b c a b c ⨯⨯⨯⨯⨯的值 【答案：5】练14． 化简1322(2)2(2)n n n ++-的值 【答案：78】课后小测验1. 2223()4()m m m a b a b -．【答案：22m m a b -】2. 已知2,3,m n a a ==则32m n a+=_________．【答案：72】3. 若253x y +=，求432x y ⋅的值【答案：8】4. 已知22n a =，求3222(2)3()n n a a -【答案：20】 5. 已知9999909911,99P Q ==，比较P Q 、的关系 【答案：P Q =】本章小结。
幂的运算一对一辅导讲义
课 题幂的运算 授课时间： 2016-03-27 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24教学目标 1、了解幂的意义和同底数幂的运算法则，并会用幂的运算性质进行计算； 2、了解幂的乘方的意义，会用幂的乘方的性质进行相关的运算；3、经历探索同底数幂运算法则及幂的乘方性质的推导过程，发展学生观察、概括与抽象的能力；重点、难点1、掌握同底数幂的乘除法则；2、掌握幂的混合运算性质。
考点及考试要求 1、同底数幂的运算法则；2、幂的乘除运算性质；3、幂的混合运算。
教 学 内 容第一课时 幂的运算知识梳理1.已知322=m ，42n =，求n m +2的值；2.已知642=x ，求32+x 的值；3.已知35=m ，1125=n ，求n m 235-的值；4.已知2010=a ，5110=b ，求b a 239÷的值；课前检测5.若144=n a ，9=n b ，求n ab 4)(的值；一、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=·（m 、n 为正整数）。
同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，若底数是多项式，可以用字母表示为：n m n m b a b a b a ++=++)()(·）（；同底数幂的乘法法则还可以逆用：n m n m a a a ·=+（m 、n 为正整数）；同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，再幂的运算中常用到下面两种变形：① n a )(-= 为正奇数）；（为正偶数），（n b n n n a ②=-n b a )( 为正奇数）；（为正偶数），（n )(n )(n n a b a b --- 二、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），即，幂的乘方，底数不变，指数相乘；幂的乘方法则的推广：即mnp p n m aa =])[(（m 、n 、p 为正整数）； 幂的乘方法则还可以逆用：m n n m mn a a a)()(==（m 、n 为正整数）； 三、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 为正整数），即把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
《幂函数》 讲义
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。
其中x 是自变量，α 是常数。
需要注意的是，幂函数的系数必须为 1 ，例如 y ＝ 2x^3 就不是幂函数，而 y ＝ x^3 就是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）当α 为整数时若α 为偶数，幂函数的图像在第一、二象限，关于 y 轴对称，在第一象限，函数单调递增；在第二象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴为 y 轴。
若α 为奇数，幂函数的图像在第一、三象限，关于原点对称，在第一象限，函数单调递增；在第三象限，函数单调递减。
比如，y ＝x^3 的图像是一个经过原点，穿过第一、三象限的曲线。
（2）当α 为分数时若α 的分子为奇数，分母为偶数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增。
若α 的分子为偶数，分母为奇数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增，且图像在 x 轴上方。
2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^（－1) ，也就是 y ＝ 1/x ，其图像是双曲线，分布在第一、三象限。
三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时，定义域为 R；当α 为分数时，分母为偶数时，定义域为 0, ＋∞），分母为奇数时，定义域为 R。
2、值域与定义域和α 的取值有关。
3、奇偶性当α 为整数时，若α 为偶数，函数为偶函数；若α 为奇数，函数为奇函数。
当α 为分数时，需要根据具体情况判断奇偶性。
4、单调性当α ＞ 0 时，函数在第一象限单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限单调递减。
四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时，下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。
2、在经济学中的应用如成本与产量的关系，可能符合幂函数的特征。
3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。
讲义-幂的运算
第四讲幂的运算（补充讲义）Part1 同底数幂的乘除法【知识回顾】1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n（m，n都是正整数）2.同底数幂相除，底数不变，指数相减，即a m÷a n=a m-n（m，n都是正整数）注意：（1）同底数幂的乘除法法则可以逆用；（2）底数a可以是单独一个数或字母，也可以是一个单项式或多项式，但a≠0；（3）当幂指数是1时，不要误认为没有指数，如a·a2=a3；（4）注意同底数幂的乘除法与整式加减法不可混淆3.规定：a0=1（a≠0），即任何不等于0的数的0次幂都等于1.4.任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a-n=（a≠0，n为正整数）5.2n+2n=2n+1 (22017+22017=22018)【涉及题型】1.科学记数法。
2.符号问题。
3.概念的延伸【精讲例题】例1.【科学计数法】苏州市军用机场的面积为0.0087平方千米，这个数用科学记数法表示为平方米。
例2.【符号问题】m为偶数，则（a﹣b）m•（b﹣a）n与（b﹣a）m+n的结果是（）A．相等B．互为相反数C．不相等D．以上说法都不对例3.【概念延伸】（1）如果等式（2a﹣1）a+2=1成立，则a的值可能有（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个（2）下面的计算不正确的是（）A.5a3﹣a3=4a3B.2m•3n=6m+nC.2m•2n=2m+nD.﹣a2•（﹣a3）=a5Part2 幂的乘方与积的乘方【知识回顾】1.幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（a m）n=a m+n2.积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n=a n b n（n为正整数）【涉及题型】1.比较大小问题。
2.计算。
3.技巧计算。
【精讲例题】例4.【比较大小】（1）已知a=8131，b=2741，c=961，则a，b，c的关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a（2）已知a=244，b=333，c=522，那么a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．c＞a＞b D．b＞c＞a例5.【计算】（1）计算：（x4）2+（x2）4﹣x（x2）2•x3﹣（﹣x）3•（﹣x2）2•（﹣x）（2）计算0.1259×（﹣8）10+（）11×（2）12．例6.【技巧计算】（1）已知25x=2000，80y=2000，则等于（）A．2 B．1 C．D．（2）已知a x =5，a x+y =25，求a x +a y 的值；已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．（3）若2a =3，2b =5，2c =75，试说明：a+2b=c ．（4）已知22n+1+4n =48，求n 的值．（5）x 2m =3,求（2x 3m ）2-（3x m ）2．（6）2m =161，）（31n =9，求（1+x 2）m+n ÷（1+x 2）3n(7)12+22+32+...+n 2=61+n 21+n n ））（（,求22+42+62+...+502（8）计算：①1+2+22+23+...+22017-22018②1+2+22+23+...+22017+22018③1-2-22-23-...-22017+22018。
七年级下册数学第8章《幂的运算》考点+易错讲义
第8章《幂的运算》考点+易错知识梳理重难点分类解析考点1 运用幂的基本性质进行运算【考点解读】掌握幂的基本性质是解决问题的关键，要根据算式的特点确定运算的顺序，并选择幂的基本性质进行正确计算，不要混淆同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方. 例1 (2017·江西)下列运算正确的是( )A. 5210()a a -=B. 22236a a a =gC. 23a a a -+=-D. 623623a a a -÷=-分析: 5210()a a -=，故选项A 正确；23236a a a =g，故选项B 错误；2a a a -+=-，故选项C 错误；624623a a a -÷=-，故选项D 错误.答案:A【规律·技法】根据合并同类项、幂的乘方及同底数幂的乘法的定义解答. 【反馈练习】1.下列计算正确的是( )A. 224x x x +=B. 3332x x x -=C. 236x x x =g D. 236()x x =点拨:正确应用各类计算法则计算. 2.计算:201320111(3)()3-⨯-= .点拨:应用积的乘方的逆运算，把2013(3)-折分成20112(3)(3)-⨯-.考点2 运用零指数、负整数指数幂的意义进行运算【考点解读】明确零指数、负整数指数幂的规定，同时区分一些形式上相似而实质上不一样的算式，如03与03-，12-与12--等. 例2 计算0112()2-+的结果是 . 分析:0112()1232-+=+=.答案:3 【规律·技法】本题考查了0次幂和负整数指数幂的意义，解答本题的关键是熟记相关法则. 【反馈练习】3.计算018()2---的结果是( )A. 7-B. 7C. 172D. 9 点拨:018()8172---=-=. 4.计算2133-⨯的结果是( )A. 3B. 3-C. 2D. 2- 点拨: 1133-=. 考点3 用科学记数法表示数【考点解读】要善于总结用科学记数法表示数的一般性规律，如:40.000110-=，50.0000110-=，60.00000110-=，70.000000110-=等.例3 (2017·济宁)某桑蚕丝的直径为0.000 016 m ，将0.000 016用科学记数法表示是() A. 41.610-⨯ B. 51.610-⨯ C. 61.610-⨯ D. 61610-⨯ 分析:绝时值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定，则50.000016 1.610-=⨯.答案:B【规律·技法】用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na -⨯，其中110a ≤<，n 由原数左边起第一个非零数字前面0的个数所决定. 【反馈练习】5.生物学家发现了一种病毒，其长度为0.000 000 32 mm ，数据0.000 000 32用科学记数法表示正确的是( )A. 73.210⨯ B. 53.210-⨯ C. 73.210-⨯ D. 83.210-⨯ 点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.6.蜜蜂建造的蜂巢既坚固又省料，其厚度约为0.000 073 m ，将0.000 073用科学记数法表示为 .点拨:确定科学记数法表示较小的数的一般形式10na -⨯中a 和n 的值.考点4 幂的相关运算【考点解读】熟练掌握有关幂的运算法则. 例4 下列运算正确的是( )A. 320a a -=B. 23a a a =gC. 432a a a ÷= D. 325()a a =分析:32a a a -=，故选项A 不正确；23a a a =g ，故选项B 正确；43a a a ÷=，故选项C 不正确；326()a a =，故选项D 不正确.答案:B【规律·技法】本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，这些运算很容易混淆，一定要记准不同的运算法则. 【反馈练习】7.下列计算结果正确的是( )A. 842a a a ÷=B. 236a a a =g C. 248()a a = D. 236(2)8a a -= 点拨mnm na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).8.下列运算正确的是( )A. 5210()a a = B. 1644x x x ÷=C. 224235a a a +=D. 3332b b b =g点拨m n m na a a-÷=；m n m na a a+⨯= ；()m n mna a=(m ，n 是整数).易错题辨析易错点 1 运用同底数幂的乘法法则计算时，漏掉了指数是“1”的因式例1计算: 32m m m ∙g . 错误解答: 32325m m m mm +∙==g s.错因分析:本题错在忽视最后一个因式m 的指数是1，误认为它的指数是0. 正确解答:323216m m m mm ++∙==g .易错辨析:单个字母的指数是1而不是0，只不过指数为1时可以省略不写，但不能认为指数是0.易错点2 运算法则使用不当例2计算:(1) 43(3)xy -; (2) 22(3)a b . 错误解答:(1) 4312(3)3xy xy -=-. (2) 2242(3)6a b a b =.错因分析:积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，而(1)中只将最后一个因式乘方，忽略了3-，x 两个因式的乘方，而(2)中错误地将乘方的次数乘以系数了. 正确解答:(1) 43312(3)27xy x y -=-. (2) 2242(3)9a b a b =.易错辨析:运用积的乘方法则时，要注意不能遗漏因式.易错点3 错用合并同类项法则例3计算: 3223()()x x +.错误解答: 32236612()()x x x x x +=+=.错因分析:本题错在将合并同类项法则与同底数幂乘法法则相混淆，错解中既运用了合并同类项法则，又运用了同底数幂相乘的法则.本题实际上是合并同类项，利用合并同类项法则将系数相加作为和的系数，字母和字母指数不变. 正确解答:3223666()()2x x x x x +=+=. 易错辨析:正确区分合并同类项与同底数幕乘法.易错点4 错用同底数幂除法法则例4计算:62x x ÷. 错误解答: 62623x x xx ÷÷==.错因分析:上面的解法用错了法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除. 正确解答: 62624x x xx -÷==.易错辨析:同底数幕除法法则为mnm na a a -÷= (其中m ，n 是整数)，注意m n -不能写成m n ÷.易错点5 运算中符号出错例5 计算:62()()y y -÷-. 错误解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=-.错因分析: 44444()(1)(1)y y y y -=-=-=g g . 正确解答:626244()()()()y y y y y --÷-=-=-=.易错辨析:当n 为奇数时，()nna a -=-;当n 为偶数时，()nna a -=.反馈练习1.给出下列算式:①43272()()a a c a c --=-g ；②326()a a -=-；③3342()a a a -÷=；④633()()a a a -÷-=-.其中正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 点拨:注意运算的顺序，正确运用法则运算.2.若20.3a =-，23b -=-，21()3c -=-，01()3d =-，则( )A. a b c d <<<B. b a d c <<<C. a d c b <<<D. c a d b <<<点拨:分别计算出,,,a b c d 的值，比较即可.3.给出下列各式:①523[()]a a --g；②43()a a -g ；③2332()()a a -g ；④43[()]a --.其中计算结果为12a -的有( )A.①和③B.①和②C.②和③D.③和④点拨:注意“偶次方”和“奇次方”的符号处理. 4.计算: 23()()p p --=g ；231()2a b -= . 点拨:正确运用法则计算，最后结果化为最简形式.5.计算: 2018201952()()25-⨯-= . 点拨:把20192()5-分解为201822()()55--g 即可。
第1讲 幂的运算-七年级下册数学同步精品讲义
第1讲 幂的运算1. 掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.知识点01同底数幂的乘法+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即mnpm n pa a a a++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m nm n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.【知识拓展1】计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()nn m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．【即学即练1】计算：（1）5323(3)(3)⋅-⋅-； （2）221()()ppp x x x +⋅-⋅-（p 为正整数）；知识精讲目标导航（3）232(2)(2)n⨯-⋅-（n 为正整数）．【即学即练2】计算：(1)35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； (2)23(2)(2)x y y x -⋅- ．【知识拓展2】已知2220x +=，求2x 的值．知识点02幂的乘方()=m nmna a(其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n pmnpa a (0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()nmmnm n a aa ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.【知识拓展1】计算：（1）2()m a ； （2）34[()]m -； （3）32()m a-．【即学即练1】计算：（1）23[()]a b --； （2）32235()()2y y y y +-；（3）22412()()m m x x -+⋅； （4）3234()()x x ⋅．【知识拓展2】已知25mx =，求6155m x -的值．【即学即练1】已知2a x =，3b x =．求32a bx +的值．【即学即练2】已知84=m ，85=n ，求328+m n的值．【即学即练3】已知435,25ab m n ==，请用含m 、n 的代数式表示43625a b +.【即学即练4】已知2139324n n ++=，求n 的值；【即学即练5】已知322,3m m a b ==，则()()()36322mm m ma b a b b +-⋅＝ ．知识点03积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅nnnnabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()nn na b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识拓展1】指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）22()ab ab =； （2）333(4)64ab a b =； （3）326(3)9x x -=-．【即学即练1】计算：（1）24(2)xy - （2）24333[()]a a b -⋅-【即学即练2】下列等式正确的个数是( )． ①()3236926x yx y -=- ②()326m m a a -= ③()36933a a =④()()57355107103510⨯⨯⨯=⨯ ⑤()()1001001010.520.522-⨯=-⨯⨯A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【知识拓展2】计算：1718191(3)(2)6⎛⎫-⨯-⨯- ⎪⎝⎭.知识点04 同底数幂的除法同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.【知识拓展1】计算：（1）83x x ÷； （2）3()a a -÷； （3）52(2)(2)xy xy ÷； （4）531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【即学即练1】计算下列各题：（1）5()()x y x y -÷- （2）125(52)(25)a b b a -÷-（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-【知识拓展2】已知32m =，34n =，求129m n+-的值．【即学即练1】已知2552m m⨯=⨯，求m 的值．1.已知(-x )a +2⋅ x 2a ⋅ (-x )3= x 32 ， a 是正整数，求a 的值．2.已知n 为正整数，化简： (-x 2 )n+ (-x n )2．3.已知： 3x +1 ⋅ 2x - 3x ⋅ 2x +1 = 216 ，试求 x 的值．能力拓展4.已知35m =，45381m n -=，求201620151n n ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的值．5.如果整数x y z 、、满足151627168910xy z⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求2x y z y +-的值．6.已知()231x x +-=，求整数x ．题组A 基础过关练一、单选题1．（2022·全国·七年级）化简1x y +-（）的结果是（ ）A ．11x y --+B ．1xy C ．11x y+D ．1x y+ 2．（2022·全国·七年级）计算52x x ÷结果正确的是（ ）. A ．3B ．3xC ．10xD ．25x3．（2021·甘肃白银·七年级期末）花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0.000036mg ，那么0.000036mg 用科学记数法表示为（ ） A ．53.610mg -⨯ B ．63.610mg -⨯C ．73.610mg -⨯D ．83.610mg -⨯二、填空题4．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）若am ＝10，an ＝6，则am +n ＝_____．分层提分5．（2022·全国·七年级）计算34x x x ⋅+的结果等于________． 6．（2022·黑龙江杜尔伯特·七年级期末）22013•（12）2012＝_____． 7．（2021·上海虹口·七年级期末）计算：23(3)a =_______．8．（2022·全国·七年级）若0(3)1x -=，则x 的取值范围是________． 9．（2022·全国·七年级）计算：0113()22-⨯+-=______．三、解答题10．（2022·全国·七年级）计算：（1）35(2)(2)(2)b b b +⋅+⋅+； （2）23(2)(2)x y y x -⋅- ．11．（2018·全国·七年级课时练习）1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×105千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×1010千克镭，试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量？12．（2020·浙江杭州·模拟预测）计算题（结果用幂的形式表示）：（1）2322⨯ （2）()32x （3）()()322533-⋅13．（2021·上海普陀·七年级期末）计算：2110213(2020)34π---⎛⎫⎛⎫⨯+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．题组B 能力提升练1．（2022·全国·七年级）计算：（1）234444⨯⨯； （2）3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅；（3）11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+．2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）计算：121432413()()()922x z y z y x------÷-⋅-3．（2022·全国·七年级）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的3次商”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）4，读作“﹣3的4次商”，一般地，把n aa a a a÷÷÷÷个（a ≠0）记作an ，读作“a 的n 次商”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：23＝ ，（﹣3）4＝ ； （2）关于除方，下列说法错误的是 ；A ．任何非零数的2次商都等于1；B ．对于任何正整数n ，（﹣1）n ＝﹣1；C ．34＝43；D ．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式．（﹣3）4＝ ；517⎛⎫⎪⎝⎭＝ ．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次方商an 写成幂的形式等于 ． （5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= ．4．（2021·江苏·苏州市工业园区第一中学七年级阶段练习）已知10×102＝1000＝103， 102×102＝10000＝104， 102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝ ，10m ×10n ＝ ．（m ，n 均为正整数） （2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）； ②（﹣6.4×103）×（2×106）．5．（2022·全国·七年级）阅读，学习和解题． (1)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题: 比较34040，43030，52020的大小． (2)阅读和学习下面的材料:学习以上解题思路和方法，然后完成下题:已知am ＝2，an ＝3，求a 2m +3n 的值．(3)计算:(－16)505×(－0.5)2021．题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·江苏·宜兴市实验中学七年级期中）计算100501111122222⋅⋅⋅-⋅⋅⋅个个其结果用幂的形式可表示为（ ） A ．25033333⋅⋅⋅个 B ．26033333⋅⋅⋅个 C ．27033333⋅⋅⋅个 D ．28033333⋅⋅⋅个2．（2022·全国·七年级）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2二、填空题3．（2019·浙江·温州市第二十三中学七年级期中）已知整数a b c d 、、、满足a b c d ＜＜＜且234510000a b c d =，则432a b c d +++的值为_____．4．（2021·北京八十中七年级期中）已知一列数：-2，4，-8，16，-32，64，-128，……，将这列数按如右图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，……，则第六个拐弯处的数是________，第一百个拐弯处的数是___________．三、解答题5．（2019·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）已知（﹣13xyz ）2M ＝13x 2n+2y n+3z 4÷5x 2n ﹣1y n+1z ，自然数x ，z 满足123x z -⋅＝72，且x ＝z ，求M 的值．6．（2021·全国·七年级专题练习）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J ．Napier ，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler ，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)x a N a a =≠＞，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．比如指数式4216=可以转化为24log 16=，对数式52log 25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：a log(?)log M N M =+log (0,a 1,0,N 0)a N a M ≠＞＞＞．理由如下：设a log M m =，a log N n =，所以m M a =，n N a =，所以m n m n MN a a a +==，由对数的定义得a log ()m n M N +=+，又因为a log log a m n M N +=+，所以log ()log log a a a MN M N =+．解决以下问题： （1）将指数35125=转化为对数式： ．（2）仿照上面的材料，试证明：log log -log (0,1,0,0)a a a M M N a a M N N=≠＞＞＞ （3）拓展运用：计算333log 2log 18-log 4+= ．7．（2019·江苏·汇文实验初中七年级阶段练习）（1）填空：21﹣20＝______＝2(_____)22﹣21＝_____＝2(______)23﹣22＝______＝2(______)…（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n 个等式，并说明第n 个等式成立； （3）计算20+21+22+ (22019)8．（2021·全国·七年级专题练习）观察下面三行单项式：x ，22x ，34x ，48x ，516x ，632x ，⋯；①2x -，24x ，38x -，416x ，532x -，664x ，⋯；②22x ，33x -，45x ，59x -，617x ，733x -，⋯；③根据你发现的规律，解答下列问题：（1）第①行的第8个单项式为_______；（2）第②行的第9个单项式为_______；第③行的第10个单项式为_______； （3）取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A ．当12x =时，求15124A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．9．（2021·全国·七年级课时练习）探究：22﹣21=2×21﹣1×21=2( )23﹣22= =2( )，24﹣23= =2( )，……（1）请仔细观察，写出第4个等式；（2）请你找规律，写出第n 个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．10．（2021·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算22020202112222+++⋅⋅⋅++的值，采用以下方法：设22020202112222S +++⋅⋅⋅++=①则22021202222222S =++⋅⋅⋅++②②-①得，2022221S S S -==-．请仿照小明的方法解决以下问题：（1）220222++⋅⋅⋅+=______；（2）求2501111222+++⋅⋅⋅++=______； （3）求()()()2100222-+-+⋅⋅⋅+-的和；（请写出计算过程）（4）求2323n a a a na +++⋅⋅⋅+的和（其中0a ≠且1a ≠）．（请写出计算过程）。
《幂的乘方与积的乘方》 讲义
《幂的乘方与积的乘方》讲义一、幂的乘方（一）定义幂的乘方，是指一个幂再进行乘方运算。
若有幂\（a^m\），其中\（a\）是底数，＼（m\）是指数，那么\（（a^m)＾n\）就是幂的乘方，读作“＼（a\）的\（m\）次幂的\（n\）次方”。
（二）运算法则幂的乘方法则为：＼（（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＼）（＼（m\）、＼（n\）都是正整数）也就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
（三）示例讲解例如：计算\（（2^3)＾2\）＼＼begin{align}（2^3)＾2&＝2^｛3×2}＼＼＆＝2^6\＼＆＝2×2×2×2×2×2\＼＆＝64＼end{align}＼再比如：计算\（（x^4)＾3\）＼＼begin{align}（x^4)＾3&＝x^｛4×3}＼＼＆＝x^｛12}＼end{align}＼（四）幂的乘方运算的注意事项1、要牢记法则，底数不变，指数相乘。
2、注意指数的运算，尤其是乘方运算时要细心。
3、当底数是负数或分数时，要注意符号的变化。
二、积的乘方（一）定义积的乘方，是指先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
若有式子\（（ab)＾n\），其中\（a\）、＼（b\）是因数，＼（n\）是正整数，那么这就是积的乘方运算。
（二）运算法则积的乘方法则为：＼（（ab)＾n ＝a^n b^n\）（＼（n\）是正整数）（三）示例讲解例如：计算\（（2×3)＾2\）＼＼begin{align}（2×3)＾2&＝2^2×3^2\＼＆＝4×9\＼＆＝36＼end{align}＼再如：计算\（（－2x)＾3\）＼＼begin{align}（－2x)＾3&＝（－2)＾3×x^3\＼＆＝－8x^3＼end{align}＼（四）积的乘方运算的注意事项1、每个因数都要乘方，不能遗漏。
《幂的乘方与积的乘方》 讲义
《幂的乘方与积的乘方》讲义一、幂的乘方在数学中，幂的乘方是一个重要的运算规则。
首先，我们来了解一下什么是幂的乘方。
假设我们有一个幂 a^m，其中 a 是底数，m 是指数。
现在要对这个幂进行乘方运算，也就是将它的指数再次乘以一个整数 n，得到（a^m)＾n。
那么幂的乘方的运算规则是什么呢？很简单，就是底数不变，指数相乘。
即：（a^m)＾n ＝ a^（m×n)为了更好地理解这个规则，我们来看几个例子。
例 1：计算（2^3)＾2根据幂的乘方法则，底数 2 不变，指数 3×2 ＝ 6，所以（2^3)＾2 ＝ 2^6 ＝ 64例 2：计算（x^2)＾5底数 x 不变，指数 2×5 ＝ 10，所以（x^2)＾5 ＝ x^10接下来，我们思考一下为什么幂的乘方会有这样的运算规则。
我们可以通过实际的计算来验证。
比如，（2^3)＾2 ＝ 2^3 × 2^3 ＝2^（3 ＋ 3) ＝ 2^6，这就符合了我们的规则。
再深入一点，从指数的意义来理解。
指数表示的是相同因数的个数，当一个幂再次进行乘方时，实际上就是相同因数的个数再次乘以一个倍数，所以指数就要相乘。
在解决实际问题中，幂的乘方运算规则能给我们带来很大的便利。
比如，在计算一些较大数的幂时，如果能合理运用幂的乘方规则，就可以将复杂的计算简化。
二、积的乘方说完了幂的乘方，我们再来看看积的乘方。
如果我们有几个因数相乘的形式，比如（ab)＾n，这就是积的乘方。
积的乘方的运算规则是：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：（ab)＾n ＝ a^n × b^n同样，我们通过例子来加深理解。
例 1：计算（2×3)＾2先分别计算 2^2 ＝ 4，3^2 ＝ 9，然后相乘 4×9 ＝ 36，所以（2×3)＾2 ＝ 36例 2：计算（2x)＾32^3 ＝ 8，x^3 ＝ x^3，所以（2x)＾3 ＝ 8x^3为什么会有这样的规则呢？我们还是通过实际的计算来看看。
七年级下册幂的运算讲义
七年级下册数学讲义课 题：幂的运算教学目标：1、同底数幂的乘法及其运用；2、幂的乘方及其运用；3、积得乘方及其运用。
教学过程：一、知识梳理（一） 同底数幂的乘法1、文字语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、表达式： n m n m a a a +=⋅（m ，n 都是正整数）3、注意：（1）对于三个（或三个以上）同底数幂相乘，也具有底数不变，指数相加的性质。
（2）同底数幂的乘法运算中的“同底数”，不仅可以是数，也可 以是代数式。
（3）要注意分清底数和指数。
（二）幂的乘方1.、文字语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘2、表达式： ()mn nm a a =（m ，n 都是正整数）3.、注意：（1）()p n m mnp a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（m ，n ，p 都是正整数）仍成立。
（2）幂的乘法中的底数“a ” 可以是数，也可以是代数式（3）要注意区分幂的乘法运算法则和同底数幂的乘法法则。
（三）积得乘方1、文字语言叙述：积的乘方，等于每个因式分别乘方2、 表达式： ()n n nb a ab =（n 都是正整数） 3、 注意：（1）三个（或三个以上）的积的乘方，也具有这一特性，即()n n n n abc a b c =（n 都是正整数）。
（2）这里的“a ”，“b ” 可以是数，也可以是代数式（3）应抓住“每一个因数乘方”这一要点。
二、例题分析题型一：比较幂的大小1、化幂的底数为相同后，通过比较指数的大小来确定幂的大小【例题1—1】314161a=b=27c=9a b c 若81，，，则比较、、的大小关系是2、化幂的知识为相同后，通过比较底数大大小来确定幂的大小【例题1—2】444333222a=b=3c=5a b c 已知1，，，则比较、、的大小关系是3、将幂乘方后，通过比较乘方所得数的大小来确定幂的大小【例题1—3】35a =3b =4a b 已知，，则比较、的大小关系是4、利用中间量传递来确定幂的大小【例题1—4】16131533比较和的大小5.计算()()()()()541053423223a a a a a a a ---⋅+--⋅-⋅- 题型二、法则的逆用1、 逆用同底数幂的乘法法则【例题2—1】m m+n 5=4,535n =已知，求的值。
《幂的运算复习》课件
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
乘方运算
概念：乘方运算是一种特殊的乘法运算，表示一个数自乘若干次
符号：乘方运算的符号为“^”，如2^3表示2的3次方
运算规则：a^m * a^n = a^(m+n)，如2^3 * 2^2 = 2^5
幂的运算方法：包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等
《幂的运算复习》PPT课件
单击添加副标题
Ppt
汇报人：PPT
目录
01
单击添加目录项标题
03
幂的运算方法
05
幂的运算注意事项
02
幂的定义与性质
04
幂的运算应用
06
幂的运算易错点分析
07
幂的运算练习题与答案解析
添加章节标题
01
幂的定义与性质
02
幂的定义
幂是指一个数自乘若干次
幂的表示方法：a^n，其中a是底数，n是指数
幂的运算分配律：a^m*(b+c)=a^mb+a^mc
幂的运算结合律：a^m*a^n=a^(m+n)
幂的运算优先级：乘方>乘除>加减
底数与指数的符号问题
底数与指数的符号对幂的运算结果有重要影响
底数为负数时，幂的运算结果也为负数
指数为负数时，幂的运算结果也为负数
底数为正数时，指数为正数或负数，幂的运算结果都为正数
指数方程的解法：利用指数函数的性质和指数方程的性质进行求解
指数方程的性质：指数函数的单调性、奇偶性、周期性等
指数方程的求解步骤：确定指数方程的类型、利用指数函数的性质进行求解、验证解的正确性
幂函数的性质与图像
《幂的运算》复习课课件讲课
幂的乘方
总结词
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
详细描述
当一个幂再次被取幂时，可以将它们的指数相乘，底数保持不变。例如，$(a^m)^n = a^{m times n}$。
积的乘方
总结词
积的乘方等于各因式乘方的积。
详细描述
当几个项的乘积被取幂时，可以将每个项分别取幂后再相乘。例如，$(ab)^n = a^n times b^n$。
《幂的运算》复习课课件讲课
汇报人： 202X-12-28
目录
• 幂的定义与性质 • 幂的运算规则 • 幂运算的应用 • 幂运算的注意事项 • 幂运算的练习题与解析
01
幂的定义与性质
Chapter
幂的定义
总结词
幂是乘方运算的结果，表示一个 数连续与一个相同的数相乘的次 数。
详细描述
幂运算是一种数学运算，表示一 个数连续与一个相同的数相乘的 次数。例如，2的3次幂表示2乘 以自己2次，即2×2×2=8。
幂的性质
总结词
幂的性质包括同底数幂相乘、同底数 幂相除、幂的乘方和积的乘方等。
详细描述
同底数幂相乘时，指数相加；同底数 幂相除时，指数相减；幂的乘方时， 底数不变，指数相乘；积的乘方时， 将每个因式分别乘方，然后相乘。
幂的性质的推导过程
总结词
通过实例和证明，理解幂的性质的推导过程。
详细描述
通过具体的实例和证明，深入理解幂的性质的推导过程。例如，对于同底数幂 相乘的性质，可以设两个同底数幂为a^m和a^n，则它们的乘积为a^(m+n)， 从而证明了同底数幂相乘时，指数相加的性质。
03
幂运算的应用
Chapter
02
幂的运算规则
【精品讲义】幂次的运算
【精品讲义】幂次的运算
1. 幂次的定义
幂次运算是指将一个数字乘以自己多次的运算，其中第一个数字被称为底数，第二个数字被称为指数。
幂次运算的结果是将底数乘以自身指数次的乘积。
2. 幂次的性质
幂次运算具有以下几个性质：
2.1. 乘法规则
若底数相同，则幂次运算的结果等于指数的和，即 a^m * a^n = a^(m+n)。
2.2. 除法规则
若底数相同，则幂次运算的结果等于指数的差，即 a^m / a^n = a^(m-n)。
2.3. 幂运算的乘法规则
若指数相同，则幂次运算的结果等于底数的乘积的指数，即(a*b)^n = a^n * b^n。
2.4. 幂运算的乘方规则
若底数相同，则幂次运算的结果的指数等于指数的乘积，即(a^m)^n = a^(m*n)。
3. 幂次的例子
下面是一些幂次运算的例子：
3.1. 2的平方
2的平方运算表示为 2^2，结果为 4。
3.2. 3的立方
3的立方运算表示为 3^3，结果为 27。
4. 总结
幂次运算是数学中常见的一种运算，它可以用来表示一个数字乘以自己多次的结果。
幂次运算具有乘法规则、除法规则、幂运算的乘法规则和幂运算的乘方规则等性质。
通过幂次运算，我们可以进行简单而有趣的数学计算。
希望这份讲义能够帮助你更好地理解幂次的运算。
幂的运算-ppt课件
(2)系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是－1时，不
可忽略.
感悟新知
知3－练
例 5 计算：
(1)(x·y3)2； (2)(－3×102)3；
(3) －
2；
(4)(－a2b3)3.
解题秘方：运用积的乘方、幂的乘方的运算法则
进行计算.
感悟新知
知3－练
最后结果要符合科
学记数法的要求
(2)(－3×102)3＝(－3)3×(102)3＝－27×106＝－2.7×107；
解：(1)(x·y3)2＝x2·(y3)2＝x2y6；
(3) －
12
a ；
2＝
－
· () 2 ＝
2
2
＝
·(a6)2 ＝
系数乘方时，要带前面的符号，特
a4n－a6n用a2n表示，再把a2n＝3 整体代入求值.
解：a4n－a6n＝(a2n)2－(a2n)3＝32－33＝9－27＝－18.
感悟新知
知2－练
4-1.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值：
(1)103m；
解：103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n；
102n＝(10n)2＝22＝4；
感悟新知
知3－练
6-1. [中考·淄博] 计算(－2a3b)2－3a6b2的结果是( C )
A.－7a6b2
B. －5a6b2
C. a6b2
D. 7a6b2
感悟新知
知3－练
6-2. 计算：
(1)(－2anb3n)2＋(a2b6)n；
幂的运算复习讲义
课 题（课型） 幂的运算 学生目前情况（知识遗漏点）：复习巩固教 学 目 标或考 点 分 析：1. 学会应用同底数幂的乘法和除法。
2. 掌握幂的乘方和积的乘方。
3. 幂的混合运算和科学计数法 教学重难点： 同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方 教学方法：知识梳理，例题讲解，知识巩固，巩固训练，拓展延伸幂的运算知识点一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：文字叙述：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。
字母表示：________________________2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即m n p m n pa a a a ++⋅⋅= 注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.3、逆用同底数幂的乘法法则： =m n a a例1、计算列下列各题（1） x 3·x 5+(x 4)2； （2） 23b b b ⋅⋅ ； （3） ()()()24c c c -⋅-⋅-例2、若15(3)59n n x x x -⋅+=-，求x 的值.()2 (3)例11、（1）已知5544222,36a b c ---===，比较a,b,c 的大小。
（2）当a,b 满足什么条件时，等式1)1(=+b a 成立？4、绝对值小于1的数的科学计数法把一个正数写成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 为整数），这种计数法称为科学计数法，其方法如下：（1）确定a ，a 是只有个位整数的数；（2）确定n ，当原数的绝对值10≥时，n 为正整数，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值<1时，n 为负整数，n 的绝对值等于原数中做起第一个非0数前0的个数（包括整数位上的0）。
. 例12、（1）用科学计数法表示：0.000096=________________________. （2） 用小数表示4102-⨯-=______________________________.（3）为减少全球金融危机对我国经济产生的影响，国务院决定拿出40000亿元以扩大内需，保持经济平稳较大增长.这个数用科学记数法表示为 亿元． （4）2015nm =_______________________m. （5）最薄的金箔的厚度为m 000000091.0，用科学记数法表示为 m ．例13、（1）计算并用科学计数法表示：78106.41067.3⨯-⨯（2）有一句谚语：“捡了芝麻，丢了西瓜，”意思是说有些人办事只抓一些无关紧要的小 事，却忽略了具有重大意义的大事.据测算，5万粒芝麻才200g,请你计算1粒芝麻有多少千克？练习：1．下列计算正确的是（ ）A ．1)1(0-=-B ．1)1(1=--C ．33212a a =- D ．4731)()(aa a =-÷- 2．下列各式：①5151=-,②0)00001.0(0=,③001.0102=-,④ 313310=÷-正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ． 2 个D ．3个3．下列计算错误的是 （ ）A ．1)0001.0(0=B ．01.0)1.0(2=-C ．1)5210(0=⨯-D ．0001.0104=-4．若,)31(,3,3.0022-=-=-=-c b a 则 （ ）A ．d c b a ＜＜＜B ．c d a b ＜＜＜C ．b c d a ＜＜＜D ．b d a c ＜＜＜5．通过世界各国卫生组织的努力，甲型Ｈ1N1流感疫情得到了有效地控制，到目前为止，全球感染人数为20000人左右，占全球人口的百分比约为0.0000031,将数字0.0000031用科学计数法表示为（ ）A ．5101.3-⨯B ．6101.3-⨯C ．7101.3-⨯D ．8101.3-⨯6．=÷6622_____________.=-2)21(______________.7．肥皂泡表面厚度大约是0.0007mm,用科学记数法表为____________________mm8． 当___________时, .1)12(0=-a9． 已知==-=x x x 则且,1)3(,30_____________. 10．已知==-x x 则,1312___________________.11．计算：（1）031452222)21(2+⨯⨯++---- （2）02213)2()21(])1(8)2[(-⨯-⨯-⨯------π。
幂的运算讲义
特尔教育一对一个性化辅导讲义任课教师：雷梦华授课时间：2014年11月23日（星期）教材精华：—、同底数幕的乘法法则： a m a n a m n （m n 为正整数）。
同底数幕相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，若底数是多项式，可以用字母表示 为：（a b ）m （a b ）n （a b ）m n ；同底数幕的乘法法则还可以逆用：a m n a m a n （m n 为正整数）；同底数幕相乘时，底数可以是单项式， 也可以是多项式，再幕的运算中常用到下面两种变形:③ a 4 (a)3然后按照同底数幕的乘法法则进行计算。
② (x 2)3 (x 2)5 (x 2)；③(a b)3 (b a)2 ；④ （x y ）3 （y x ）5 ；思路引导：将a+b , x+2看成是一个整体，然后运用同底数幕的乘法法则进行计算；若底数 为互为相反数的幕相乘时，可以利用幕确定符号的方法先转化为同底数幕再按法则计算。
教 学 目 标 掌握幕的运算法则，并能熟练运用法则进行计算;难点重占八熟练运用幕的运算法则进行计算学科：数学①(a)n =-教 学 过 程巩固训练:a n （ n 为正偶数）， b n （ n 为②(a b)n（b a ）n （ n 为正偶数），(1 )计算：① a 2 a 3 a ；② a 2 a 5 ；③ a 4 (a)3。
思路引导：将式子中不同的底数转化成相同的底数, 然后再用同底数幕乘法的法则进行计算:解：① a 2 a 3 a a 2 31 ②a 2 a 5方法总结：同底数幕相乘，先确定符号 负因数出现奇数个就取负号, 出现偶数个就取正号,（2）计算：①（a b ）2 （a b ）3；解：①(a b)2(a b)3 (a b)2 3 (a b)5。
②(x 2)3 (x 2)5(X 2) (x 2)3 5 1 (x 2)9。
③(a b)3 (b a)2(a b)3 (a b)2 (a b)32(a b)5。
幂的有关运算(讲义)
知识梳理一、同底数幂的乘法法则：a m·a n=a m+n（m、n都是正整数）。
二、幂的乘方的法则：(a m)n=a mn(m、n是正整数)三、积的乘方运算法则：(ab)n=a n b n(n是正整数)四、同底数幂的除法法则：a m÷a n=a m-n(m、n是正整数，m >n)五、零指数幂：a0=1（a≠0）负指数幂：1ppaa-⎛⎫= ⎪⎝⎭（a≠0，p为正整数）教学重、难点知识点1 同底数幂的乘法【典型例题】1．计算（－2）2007+（－2）2008的结果是（）A．22015B．22007C．－2 D．－22008 2．当a<0，n为正整数时，（－a）5·（－a）2n的值为（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数3．计算：（a－b）2m－1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．知识点2 逆用同底数幂的法则逆用法则为：a m+n = a m·a n(m、n都是正整数）【典型例题】（1）已知x m=3，x n=5，求x m+n．（2）变式：已知x m=3，x n=5，求x2m+n；知识点3 幂的乘方【典型例题】1．计算（-a 2）5+（-a 5）2的结果是（ ）A ．0B ．2a 10C ．-2a 10D ．2a 72．下列各式成立的是（ ）A ．（a 3）x =（a x ）3B ．（a n ）3=a n+3C ．（a+b ）3=a 3+b 3D ．（-a ）m =-a m3．如果（9n ）2=312，则n 的值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知x 2+3x+5的值为7，那么3x 2+9x-2的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．65.若2x+5y —3=0，求4x －1·32y 的值6. 已知a x ＝2，a y ＝3(x ，y 为正整数)，求a3x ＋2y 的值．知识点4 积的乘方【典型例题】 1．化简(a 2m ·a n+1)2·(-2a 2)3所得的结果为____________________________。
七年级幂的运算培优讲义
幂的运算培优讲义 【知识精要】:一．幂的四种运算法则：a a a a a ab a b m n m n m n mn m m m ·，，·===+()()a a a m n m n ÷=-（a m n ≠0，、为正整数，m n >)二．零次幂及负整数次幂的运算： )0(10≠=a a ，p p aa 1=-（0≠a ，p 是正整数）。
三．科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的数记为a ×10n 的形式的记法。
(其中1≤|a|＜10)【易错点剖析】:1.注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。
如： 234a a a a ⋅⋅⋅= 423()ab ⎡⎤=⎣⎦ 4()xyz -=2.注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项式或多项式。
如：()m n m n y -+= ，()()()x y x y x y m n n m+÷+÷+++32222= 3.注意法则的可逆性逆向应用运算法则，由结论推出条件，或将某些指数进行分解。
如：已知10m ＝4，10n ＝5，求103m +2n 的值．4.注意法则应用的灵活性在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过程简便。
如：125256255÷⨯÷n m=5. 注意符号使用的准确性如：判断下列等式是否成立：①(-x )2＝-x 2， ②(-x 3)＝-(-x )3， ③(x -y )2＝(y -x )2，④(x -y )3＝(y -x )3，⑤x -a -b ＝x -(a +b )， ⑥x +a -b ＝x -(b -a )．【拓展训练】:1.若2x ＝4y ＋1，27y ＝3x －1，求xy 的值。
教师寄语： . 人的一生没有一帆风顺的坦途。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
26.
能力提升题：1.已知 ， ，求 的值；
2.已知 ，求 的值；
3.已知 ， ，求 的值；
4.已知 ， ，求 的值；
5.若 ， ，求 的值；
6.已知 ， ， ，比较a、b、c三个数的大小；
7.若 ，求m、n的值；
8.解下列关于x的方程或不等式：
① ； ② ； ③
④ ；
综合发展题：1.已知 ，求代数式 的值；
（2）用简便方法计算：① ；② ；
思路引导：①观察该式的特点可知本题需利用乘法的结合律和逆用积的乘方公式求解；② ，故知该式需逆用同底数幂的乘法和积的乘方公式求解。
解：①
= = =1×1=1；
② = = = =-8；
（3）① 已知 ， ，求 的值。
解： = = ；
② 已知 ，试用a，b表示 的值。
思路引导： = ，已知条件是 的值，所以 ；
（2）计算：① ； ② ； ③ ；
④ ；
思路引导：将a+b，x+2看成是一个整体，然后运用同底数幂的乘法法则进行计算；若底数为互为相反数的幂相乘时，可以利用幂确定符号的方法先转化为同底数幂再按法则计算。
解：① 。
② 。
③ 。
④ 。
方法总结：若底数为互为相反数的幂相乘时，在统一底数时，尽可能地改变偶次幂的底数，这样可以减少符号的变化。
5.证明略。
课堂
检测
听课及知识掌握情况反馈
教学需: 加快□;保持□;放慢□;增加内容□
课后
作业
签
字
2.已知 ，求 的值（n为正整数）；
3.已知 ， ，求 的值；
4.无论a、b为何值时，都有 成立，其中x、y、m是正整数且m不大于8，求x+2y+m的值；
5.设 能被10整除，试说明： 也能被10整除；
学后反思 ； 3. ； 4. ； 5. ； 6.-x 7.25 ； 8.
（3）如果 能被13整除，试说明： 也能被13整除。
思路引导：方法一：可以逆用同底数幂的乘法运算将 变形成 ，根据已知条件 能被13整除，可以说明 也能被13整除；方法二：如果 能被13整除，且 与 的差也能被13整除，那么 也能被13整除。
解：方法一： = ，
∵ 和 都能被13整除， ∴ 能被13整除，
积的乘方的逆用： （n为正整数）；
巩固训练：
（1）计算：① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ 。
思路引导：利用积的乘方法则计算，计算顺序为：先算积的乘方，再算幂的乘方，最后算同底数幂的乘法，有同类项的要先合并同类项。
解：① = ；② = ；
③ = ；④ = ；
⑤ = = ；
易错警示：运用积的乘方时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；系数连同他的符号一起乘方，系数是-1时不可忽略。
（3）已知 ，且m比n大3，求mn的值。
思路引导：运用同底数幂的运算法则计算，然后由指数相等列出关于m，n的一个方程，与“m比n大3”列出的方程组成方程组可解得m，n的值，进而可求mn的值。
解：∵ ，∴ ，∴1+m+n=14 .①
又∵m比n大3，∴m-n=3 .②
①②组成方程组为 ，解得 ， ∴mn=8×5=40.
解： = = ；
在积的乘方运算比较复杂时，可以利用积的乘方法则展开，并把其转化为由已知幂表示的式子，然后采用整体带入的方法求其值。
四、同底数幂的除法法则： （a≠0，m，n为正整数，并且m>n）；
同底数幂的除法法则逆用： （a≠0，m，n为正整数，并且m>n）；
巩固训练：
（1）判断下列各式是否正确，错误的请改正：
① ； ② ；
③ ； ④ 。
解：① 不正确，应改为： ，法则中底数不变，指数相减，而不是指数相除；
② 不正确，应改为： ， 与 底数不同，要先化为同底数，即 ，再计算；
③ 不正确，应改为 ，x-y与y-x互为相反数，先化同底数再计算；
④ 不正确，应改为 ，指数相减应为（m-1）-（m-2）=1；
方法总结：底数不同时不能直接与运用同底数幂的除法法则计算，一定要先化成相同底数的幂再运算。
7.m=3，n=5； 8.① x=2； ② x=1； ③ x=4； ④ x<7；
综合发展题：1. ；思路引导：先由“两非负数和为0，则每个非负数均为0,”得到x，y的值，然后化简求值；
2. ；思路引导：先由“三个非负数和为0，则每个非负数均为0,”得到x，y，z的值，然后代入求值；
3.1；思路引导：∵ ，∴ ，同理有 ，
9. ； 10.4 ； 11. ； 12. ； 13. ； 14. ；
15. ； 16. ； 17. ； 18. ； 19. ； 20. ；
21. ； 22.1； 23. ； 24.1； 25. ； 26.-2y；
能力提升题：1. ； 2. ； 3. ； 4.81；
5. ；
6.b>a>c 思路引导： ， ， ，故 ，即b>a>c；
（2）① 解方程： ； ② 解不等式： < ；
解：① 原方程可化为 ，即 ；∴x-1=2，解得x=3；
②∵ < ，∴ 2x-1> ，
∴ 2x-1>-3(1-x)， ∴ 2x-1>3+3x， ∴ -x>-2， ∴ x<2。
方法总结：在含有幂的运算的等式（不等式）中，确定指数中的字母取值（X围）的方法：通过符号（等号）两边各自计算，使左右两边底数相同，然后由指数相等（不等）构造方程（不等式）来求解字母的取值X围。
特尔教育一对一个性化辅导讲义
学科： 数学 任课教师：雷梦华 授课时间：2014年 11月 23日(星期 )
年级
性 别
总课时____ 第___ 课
教
学
目
标
掌握幂的运算法则，并能熟练运用法则进行计算；
难
点
重
点
熟练运用幂的运算法则进行计算；
教
学
过
程
教材精华：
一、同底数幂的乘法法则： （m、n为正整数）。
同底数幂相乘时，底数可以是单项式，也可以是多项式，若底数是多项式，可以用字母表示为： ；
② 09年全年生产总值比2008年增长10.7%，达到19367亿元，19367亿用科学计数法表示为：
思路引导：① 根据“路程=速度×时间”可以求出火星与地球的大约距离。②科学计数法的一般形式是a×10 （1≤a<10）；
解：① 3.0×10 ×20×60=3.6×10 （千米）；答：火星距离地球大约3.6×10 千米；
思路引导：本题所给的幂比较复杂，直接计算比较困难，经过观察可发现其底数都可以化成 的形式，故逆用幂的乘方性质把底数都化成2，再比较它们的指数的大小即可。因为a= = = ，b= ，c= ，由乘方的意义，可知 ，即b>a>c，故应选C。
答案：C。
三、积的乘方法则： （n为正整数），即把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
计算：① ； ② ； ③ ；④ ；
⑤ ； ⑥ ；⑦ ；
思路引导：按照从左到右的顺序进行计算，底数不相同要先化为同底数幂再计算；
解 ① = ； ② = ；
③ 原式= = ； ④ 原式= = ；
⑤ 原式= = ； ⑥ 原式= = = = ；
⑦ 原式= = = ；
方法总结：多个同底数幂相除要按照从左到右的顺序进行计算。
解：① = = ；
② = = = = ；
（3）若 （a>0且a≠1，m，n是正整数），则m=n。利用这个结论解决以下两个问题：①如果 ，求x的值；如果 ，求x的值；
思路引导：首先分析题意，分析结论的使用条件，即只要有 （a>0且a≠1，m，n是正整数），则可知m=n，即指数相等，然后在解题中应用即可。
∴ ，即 ，∴ xy=x+y，即 =1；
4.8或12或16；思路引导：由已知条件可以列出方程组 ，∴
又∵ m≤8，∴ 2y+2≤8，∴ y≤3； ∵y是正整数，∴y只能去1、2、3。则：
① 当y=1时，m=4，x+2y+m=8；② 当y=2时，m=6，x+2y+m=12；
③ 当y=3时，m=8，x+2y+m=16；
巩固训练：
（1）计算：① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ；
思路引导：运用幂的乘方法则进行运算时，一定要注意底数不变，指数相乘。
解：① = ； ② = ； ③ = =
④ = ； ⑤ = ；
点拨：注意分清底数，特别是有负号的时候。
（2）计算：① ； ② ；
思路引导：把底数a-2b看成一个整体，然后进行计算；
② 科学计数法的一般形式是a×10 （1≤a<10），对于大于1的数，其指数n等于改数的整数位数减1，所以19367亿元转换为科学计数法1.9367×10 元。
二、幂的乘方法则： （m、n为正整数），即，幂的乘方，底数不变，指数相乘；
幂的乘方法则的推广：即 （m、n、p为正整数）；
幂的乘方法则还可以逆用： （m、n为正整数）；
即 也能被13整除。
方法二：∵（ - ）= = = = ，
∴ 与 也能被13整除，又∵ 能被13整除，∴ 也能被13整除。
题型训练：
计算：1. = 2. = 3. =
4. = 5. = 6.
7. 8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.
16. 17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
方法总结：解此类问题，首先要根据同底数幂的乘法法则构造方程或方程组，再通过解方程或方程组求出指数中的字母，通过转化和方程组呃综合运用来解决问题。
（4）计算：① ； ② ；