华东理工大学高等数学第9章作业答案

第9章（之1） （总第44次）

教学内容:§微分方程基本概念

*1． 微分方程7

3

59)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ；

（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；

（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了

x C x C y 2sin 12cos 2

++=，实质上只有一个任意常数；

（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

*3．在曲线族 x

x

e

c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线．

解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x

x

e c e c y -+=21， x

x e

c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，

故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2

1

x x e e y --=，即x y sinh =．

*4．证明：函数y e x x =-233321

2

sin 是初值问题⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y

x y 的解．

证明 '=-+--y e x e x x x 33323

2

1

21

2sin cos ，

''=----y e x e x x x 33323

2

121

2sin cos ，

代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外

，

，1)0(0)0(='=y y 故y e x x =-23332

1

2sin 是初始值问题的解．

*5．验证y e e t Ce x t x

x

=+⎰20

d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y y

e x x 2

的通解．

证明 '=+⋅+⎰

y e

e t e e Ce x

t x

x x x 220

d =++y

e x x 2， 即 2

x x e y y +=-'，说明函数确实

给定方程的解．

另一方面函数y e

e t Ce x

t x x

=+⎰

2

d 含有一任意常数C ，所以它是方程的通解．

**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）31+=Cx y ；

解 将等式31+=Cx y 改写为13

+=Cx y ，再在其两边同时对x 求导，得C y y ='2

3，

代入上式，即可得到所求之微分方程为133

2-='y y xy ． （2）x

C x C y 2

1+

=． 解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得

221x C C y -

='，3

2

2x

C y =''． 从以上三个式子中消去任意常数1C 和2C ，即可得到所求之微分方程为

02=-'+''y y x y x ．

**7．建立共焦抛物线族)(42

C x C y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］．

解 在方程)(42

C x C y +=两边对x 求导有C y y 42='，从这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=．

**8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取)(x y y =上的点 ),(y x ，曲线在该点处的切线斜率为 y '=dx

dy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为

y '-1， 法线方程为y Y -=y '

-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '

-1

)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．

第9章（之2）（总第45次）

教学内容：§9.2 .1可分离变量的方程； § .2一阶线性方程

**1．求下列微分方程的通解：

（1）2

1)

1(x y x y +-=

'；

解： 分离变量

2

1d 1d x x x y y +=-，两边积分⎰⎰+=-21d 1d x x

x y y ， 得C x y ln )1ln(21

)1ln(2-+=

--，即211x

C y +-

=． （2）2

22y x e y

x y -=

'； 解：分离变量x xe y ye x y d d 222

=，两边积分就得到了通解

)d (21222x e xe e x x y ⎰

-=c e xe x x +-=)21

(2122．

（3）042)12(=-+'+y y e y e x ．

解： 12d 4

2d +-=-x x

e y e y y ，

C x e y ln 2

1

)12ln(21)2ln(21++-=-， 即 ()()e x C y

-+=221．