北大版高等数学第八章习题参考答案 周建莹 李忠
北师大版高考数学(文)大一轮复习---第八章 8.5--(附答案)
§8.5垂直关系最新考纲考情考向分析1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，nα，m∩n＝O a⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫lβl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝alβl⊥a⇒l⊥α知识拓展重要结论(1)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案D解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，又AB平面P AB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．题组三易错自纠4．(2017·湖南六校联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且α∥β答案C解析由线面垂直的判定定理，可知C正确．5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是()A．与AC，MN均垂直B．与AC垂直，与MN不垂直C．与AC不垂直，与MN垂直D．与AC，MN均不垂直答案A解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.6.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A．MN∥ABB．平面VAC⊥平面VBCC．MN与BC所成的角为45°D．OC⊥平面VAC答案B解析由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA ＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选B.题型一直线与平面垂直的判定与性质典例如图所示，在四棱锥P—ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P—ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴P A⊥CD.又∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，P A，AC平面P AC，∴CD⊥平面P AC.而AE平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而PD平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB平面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE平面ABE，∴PD⊥平面ABE.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．跟踪训练如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊈平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1⊥AB1.题型二平面与平面垂直的判定与性质典例(2018·开封模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.证明(1)方法一取P A的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH綊12AB.又CD綊12AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH平面P AD，CE⊈平面P AD，所以CE∥平面P AD.方法二连接CF.因为F为AB的中点，所以AF＝12AB.又CD＝12AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．因此CF∥AD，又CF⊈平面P AD，AD平面P AD，所以CF∥平面P AD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又EF⊈平面P AD，P A平面P AD，所以EF∥平面P AD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面P AD.又CE平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥P A.又因为AB⊥P A，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF，FG平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面P AC.证明因为AB⊥P A，AB⊥AC，且P A∩AC＝A，P A，AC平面P AC，所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面P AC.又MN平面EMN，所以平面EMN⊥平面P AC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面P AC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥P A，FG∥AC，又EF⊈平面P AC，P A平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理FG∥平面P AC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面P AC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．跟踪训练(2018届河南中原名校质检)在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，△P AD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝23，AB＝2CD＝4.(1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．(1)证明在△ABD中，由勾股定理知AD⊥BD，又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BD平面ABCD，所以BD⊥平面P AD，又BD平面BDM，所以平面MBD⊥平面P AD.(2)解如图，取AD的中点O，则PO⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，PO平面P AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO是四棱锥P—ABCD的高，且PO＝2×3＝3，2，即33，底面ABCD的面积是△ABD面积的32所以四棱锥P—ABCD的体积为13×33×3＝3.题型三垂直关系中的探索性问题典例如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明连接AC交BD于点O，连接OF.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点．又F为EC的中点，∴OF∥AE.又OF平面BDF，AE⊈平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H，连接DP，PH，CH.∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB.又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面BCE.又BE平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点，∴CH⊥BE.又CH∩CD＝C，且CH，CD平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC.又PM平面DPHC，∴PM⊥BE.思维升华对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．跟踪训练如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB ＝BC，AC＝2，AA1＝ 2.(1)求证：B1C∥平面A1BM；(2)求证：AC1⊥平面A1BM；(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时BNBB1的值；如果不存在，请说明理由．(1)证明连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM.在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，∴OM∥B1C，又∵OM平面A1BM，B1C⊈平面A1BM，∴B1C∥平面A1BM.(2)证明∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM平面ABC，∴AA1⊥BM，又∵M为棱AC的中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.∵AA1∩AC＝A，AA1，AC平面ACC1A1，∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.∵AC＝2，∴AM＝1.又∵AA1＝2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝2，∴∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，∴A1M⊥AC1.∵BM∩A1M＝M，BM，A1M平面A1BM，∴AC 1⊥平面A 1BM .(3)解 当点N 为BB 1的中点，即BN BB 1＝12时，平面AC 1N ⊥平面AA 1C 1C .证明如下：设AC 1的中点为D ，连接DM ，DN .∵D ，M 分别为AC 1，AC 的中点，∴DM ∥CC 1，且DM ＝12CC 1.又∵N 为BB 1的中点，∴DM ∥BN ，且DM ＝BN ，∴四边形BNDM 为平行四边形，∴BM ∥DN ，∵BM ⊥平面ACC 1A 1，∴DN ⊥平面AA 1C 1C .又∵DN平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.立体几何证明问题中的转化思想典例(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理．(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等．(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件，步骤书写要规范．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]又∵A1K平面A1MK，AN⊈平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C，[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则()A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直答案D解析对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误．D正确．2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β答案B解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理，知选项C，D正确．3．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m答案A解析选项A，∵l⊥β，lα，∴α⊥β，A正确；选项B，α⊥β，lα，mβ，l与m的位置关系不确定；选项C，∵l∥β，lα，∴α∥β或α与β相交；选项D，∵α∥β，lα，mβ，此时，l与m的位置关系不确定．故选A.4．(2017·中原名校联盟联考)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且mαB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β答案C解析对于选项A，由α⊥β且mα，可得m∥β或m与β相交或mβ，故A不成立；对于选项B，由α⊥β且m∥α，可得mβ或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，由m∥n且n⊥β，可得m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m 与β相交或mβ，故D不成立．故选C.5．(2018届江西南昌摸底)如图，在四棱锥P—ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥ACB．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PDD．平面PBD⊥平面ABCD答案B解析取BP的中点O，连接OA，OC，则BP⊥OA，BP⊥OC，又因为OA∩OC＝O，所以BP⊥平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A正确；又AC⊥BD，BP∩BD＝B，得AC⊥平面BDP，又PD平面BDP，所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故选项C，D正确，故选B.6.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，又PC平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A平面P AC，OM⊈平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．7.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．答案4解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形．由BC⊥AC，且AC∩P A ＝A，得BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形．8．(2018·洛阳模拟)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析∵P A⊥底面ABCD，∴BD⊥P A，连接AC，则BD⊥AC，且P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.9.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB，BC，AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC ＝C，∴AB⊥平面P AC，∴与AP垂直的直线是AB.10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．答案1 2解析 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF 平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h .又12×2×2＝12×h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66. 由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ， 得x ＝12.11.(2017·长春二检)如图，在三棱锥A —BCD 中，△ABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC ，BC ＝2，AD ⊥平面BCD ，AD ＝1.(1)求证：平面ABC⊥平面ACD；(2)若E为AB的中点，求点A到平面CED的距离．(1)证明因为AD⊥平面BCD，BC平面BCD，所以AD⊥BC，又AC⊥BC，AC∩AD＝A，AC，AD平面ABCD，所以BC⊥平面ACD，因为BC平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.(2)解由已知可得CD＝3，取CD的中点F，连接EF，因为E为AB的中点，所以ED ＝EC ＝12AB ＝2，所以△ECD 为等腰三角形，从而EF ＝52， 所以S △ECD ＝12×3×52＝154.由(1)知BC ⊥平面ACD ，所以E 到平面ACD 的距离为1，S △ACD ＝12×3×1＝32.设点A 到平面CED 的距离为d ，则V 三棱锥A —ECD ＝13·S △ECD ·d＝V 三棱锥E —ACD ＝13·S △ACD ·1，解得d ＝25.12.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高．(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC＝AD2＋DC2＝22，BC＝(AB－CD)2＋AD2＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC.又PC⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PC⊥BC，又AC∩PC＝C，AC，PC平面P AC，故BC⊥平面P AC.(2)解N为PB的中点，连接MN，CN.因为M为P A的中点，N为PB的中点，所以MN∥AB，且MN＝12AB＝2.又因为AB∥CD，所以MN∥CD，所以M，N，C，D四点共面，所以N为过C，D，M三点的平面与线段PB的交点．因为BC⊥平面P AC，N为PB的中点，所以点N到平面P AC的距离d＝12BC＝ 2.又S△ACM＝12S△ACP＝12×12×AC×PC＝2，所以V三棱锥N—ACM＝13×2×2＝2 3.由题意可知，在Rt△PCA中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23，CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2.设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23，解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.13．(2018届南宁市联考)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H .下列说法错误的是________．(填序号)①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF 所在平面．答案①③④解析折之前AG⊥EF，CG⊥EF，折之后也垂直，所以EF⊥平面AHG，折之前∠B，∠D，∠C均为直角，折之后三点重合，所以折之后AH，EH，FH三条直线两两垂直，所以AH⊥△EFH所在平面，②对；同时可知AH⊥HG，又HF⊥△AEH所在平面，过AE不可能做两个平面与直线HF垂直，③错；如果HG⊥△AEF所在平面，则有HG⊥AG，与②中AH⊥HG矛盾，④错；若AG⊥△EFH所在平面，则有AG⊥HG，与②中AH⊥HG矛盾，所以①也错．14.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A 在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，P A，AC平面P AC，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，BC，PC平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．15.(2017·兰州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将△ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________．(写出所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.答案①②④解析由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD平面AED，所以EC⊥AD，④正确．16.(2018·泉州模拟)点P在正方体ABCD—A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：。
高等数学作业集答案第八章
第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=.3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得⎪⎩⎪⎨⎧-+++=+-++-+=-+-+222222222222)1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y zy z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ∆的三个顶点，设三角形的重心为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ∆的同比nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232mn mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(131313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三角形FGH ∆的重心为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221m n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积 向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ⋅++=⋅++=+⋅+=+=23241002||||)()(||400222所以242-=⋅b a ，)()(||b a b a b a -⋅-=-b a b a ⋅-+=2||||227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影.解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，7799916419cos =++⋅++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=⋅，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ⋅+⋅+⋅.解：因为0)()(=++⋅++c b a c b a ，所以0222||||||222=⋅+⋅+⋅+++a c c b b a c b a ，而1||||||222===c b a ，所以23-=⋅+⋅+⋅a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量. 解：kj i k j i k j i b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=⨯=而83)3(5)7(||222=-++-=c ，所以)3,5,7(831--±=c e .7.设)(8,186,5b a b a b a -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为b a b a 2)5(2102=+=+=+=，所以//.8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c （1）确定m 的值，使得b a +与c 平行.（2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平行，只需0=⨯+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，而c b a ⨯+)()99,0,99(32m m m j --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平行.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=⋅-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，而c b a ⋅-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-⋅---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲面及其方程 1.填空题（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（4222=++z y x ）.2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心，半径为352的球面. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹. 解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲面为单叶双曲面. （2）259916222=--z y x . 解：该曲面为双叶双曲面.（3）1254222=++z y x . 解：该曲面为旋转椭球面. （4）x y x 922=-. 解：该曲面为双曲柱面. （5）x z y 922=+. 解：该曲面为椭圆抛物面.（6）0)3()2()1(4222=---+-z y x . 解：该曲面为椭圆锥面.§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题（1）二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为（⎩⎨⎧=+=222z y x z ），在x O z 面上的投影为（22≤≤z x ），在yOz 面上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z . 3.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++4922222z x z y x . 解：做变换⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2z x ，将其带入方程9222=++z y x ，即得52=y . 所以参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=±==θθsin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：螺旋线在xOy 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===0sin 2cos 2z y x θθ，直角坐标方程为⎩⎨⎧==+0422z y x . 螺旋线在yOz 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03sin 2x z y θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03sin2x z y .螺旋线在zOx 面上的投影为⎪⎩⎪⎨⎧===03cos 2y z x θθ，直角坐标方程为⎪⎩⎪⎨⎧==03cos2y z x . 6.画出下列方程所表示的曲线：（1）⎩⎨⎧==++1164222z z y x .（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）⎪⎩⎪⎨⎧==-4116422y z x .§8.5 平面及其方程 1. 填空题（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12232=-+-+z y x ）,平面的一个单位法向量为（)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x 121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解：该平面的法向量为k j i kj i37521211--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离为1221|10122211|222=++-⨯+⨯+⨯=d .5.求平面052=-+-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.解：所给平面的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平面与xOy 面、yOz 面和zOx 面的夹角为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ⋅611)2(1|110201|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =x θcos ||||n i n ⋅611)2(1|010211|222=+-+⨯+⨯-⨯=， =y θcos ||||n j n ⋅621)2(1|011201|222=+-+⨯+⨯-⨯=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.解：设所求平面的方程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平面上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求方程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ，即2=x . （2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所求平面的法向量为k i k j i201112+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ，即02=-z x .（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，即01=++z y . §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题（1）直线421zy x =-=和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（31121-=+=-zy x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为（3π）. 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为k j i k j in n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121. 3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i .所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即01111416=+--z y x .4. 求直线⎩⎨⎧=---=-+-01023z y x z y x 与直线⎩⎨⎧=-+=+-+01202z y z y x 夹角的余弦.解：因为两直线的方向向量为k j i kjin 2241111311++=---=，k j i kjin +-=-=232101112，设两直线的夹角为θ，则422151)2(3224|122234|cos 222222=+-+++⨯+⨯-⨯=θ. 5. 求点)5,1,2(P 在直线:L13111-=-=-zy x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .将已知直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=tz t y tx 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)114,111,117(-. 6. 求直线:L ⎩⎨⎧=---=+-083032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程.解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得34-=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨⎧=+-=-+1232756z y x z y x . 7.确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i--==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L与平面∏之间的距离332)1(11|1)1(11111|222=-++--⨯+⨯-⨯=d . 8.求通过直线⎩⎨⎧=-++=-+-02201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线111121-=-+=-z y x . 解：设平面束方程为0)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ.设平行于直线111121-=-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得41=λ，平面2∏的方程为04543)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . 第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3πθ=，则=-||b a （3）.（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量的模为10，且与x 轴的夹角为6π，与y 轴的夹角为3π，与z 轴的夹角为锐角，则=（) 0 5, , 3(5）.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）.（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）.（6）直线z z y y x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （222222CB A pn m pC nB mA ++++++）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）.（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =⨯成立，这样的c有多少个，求其中长度最短的c .解：设=c ),,(z y x ，则 c a⨯y x z y zy kj ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时， 即c )21,1,21(--=长度最短. 3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小.解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，k j x i x AC AB +-+=---=⨯)1(221101，故A B C ∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(.4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242yx z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ；在yOz 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ；在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为C z B y A x ==，即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得222C B A Dt ++-=，即直线与平面的交点为),,(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则222020C B A AD x ++-=+，222020CB A BDy ++-=+，222020C B A CDz ++-=+，即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj in 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为： 0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解：设球心为),,(z y x ，则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即02=-+z y x .又因为球心在直线上，直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)67,31,611(-，所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2zy x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程. 解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i k j i43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x （1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ，所以3πθ=.（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ，即)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .（3）设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐标面，所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y . 11. 求直线321zy x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=+=+)()()(2222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=-+=+tz t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22295z y x =+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=.（5）222y x z +=，22x z -=. （6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .。
高等数学课后习题答案--第八章
第八章 多元函数积分学 §3 三重积分的计算及其应用 习 题
1. 计算下列三重积分 （1） ∫∫∫ xy 2 z 3 dσ ，其中 Ω 是曲面 z = xy 和平面 y = x, x = 1, z = 0 所围成的区域；
Ω
（2） ∫∫∫ xzdσ ，其中 Ω 是由平面 z = 0 ， x = y, y = z 以及抛物柱面 y = x 2 所围成的
D D
的大小。 【解】 利用 sin 2 x ≤ x 2 .则 sin 2 ( x + 2 y + 3z ) ≤ ( x + 2 y + 3z ) 2 积分得
∫∫∫ sin
D
2
( x + 2 y + 3 z )dσ ≤ ∫∫∫ ( x + 2 y + 3 z ) 2 dσ
D
4. 利用重积分的性质，估计积分值
（1） ∫∫ sin( x 2 + y 2 )dσ ，其中 D = {( x, y ) |
D
π
4
≤ x2 + y2 ≤
3π }; 4
dxdy , 其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 8}; ln(4 + x + y ) D 2 2 1 （3） ∫∫ e x + y dσ ，其中 D = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ }. 4 D
习题参考资料
第八章 多元函数积分学 §2 二重积分的计算 习 题
1. 计算二重积分
（1） ∫∫ xye xy dσ ，其中 D = {( x, y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1};
2
D
（2） ∫∫
高等数学课后习题答案第八章1
高等数学课后习题答案第八章1第八章习题解答节8.1部分习题解答 5、求极限（1）、101011l i m 2201=+-=+-→→yx xy y x （2）、xy y x y x 1sin)(lim 0+→→。
由y x xyy x +≤+≤1sin )(0，而0)(lim 00=+→→y x y x 所以01sin)(lim 00=+→→xyy x y x （3）、2ln 214)02ln()sin ln(lim2202=++=++→→y x y x y x （4）、=+-→→xy xy y x 42lim 041421)42(lim 00-=+-=++-→→xy xy xy y x （5）、110c o s 1c o s l i m000==++→→e y x y e x y x （6）、=++-→→xy y x ey x y x )()cos(1lim22220=++→→xy y x ey x y x )()(21sin 2lim 222220 )(21)(21sin lim 222200y x y x y x ++→→0101)(21sin lim 2200=?=+?→→xy y x e y x 6、证明下列极限不存在（1）、yx yx y x -+→→00l i m 证明：取路径0=x 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim0-=-→=yyy x 取路径0=y 有=-+→→y x y x y x 00lim1lim 00=→=xx x y ，所以y x yx y x -+→→00lim 不存在（2）、xy x x y x -+→→2220l i m证明：取路径x y =有xy x x y x -+→→22200lim x x x y x -=→→2202lim 0142lim 00=-=→→x x y x 取路径x y =有x y x x y x -+→→2220 0lim 1lim 220==→→x x y x ，所以xy x x y x -+→→22200lim 不存在。
高等数学课后习题及参考答案(第八章)
高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为 {(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}, 边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}. (3){(x , y )|y >x 2}; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 {(x , y )| y ≥x 2}, 边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ).解 )(tan )()()()(),(22ty tx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+=),()tan (2222y x f t y x xy y x t =-+=.3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y 2-2x +1); 解 要使函数有意义, 必须 y 2-2x +1>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}. (2)y x y x z -++=11;解 要使函数有意义, 必须 x +y >0, x -y >0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解 要使函数有意义, 必须 y ≥0,0≥-y x 即y x ≥, 于是有 x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }. (4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解 要使函数有意义, 必须 y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221r z y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}. (6)22arccos y x z u +=.解 要使函数有意义, 必须 x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1lim y x xyy x +-→;解110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y yx . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim )0,0(),(-=++-=→xy y x .(4)11lim )0,0(),(-+→xy xyy x ;解11lim)0,0(),(-+→xy xyy x )11)(11()11(lim)0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)yxy y x )sin(lim)0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim;证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(==-+→=→x x y x yx x y y x ;如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(-=-=-+→=→y yy x y x y x y x .因此, 极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.(2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0), 则1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==-+→=→x x y x y x y x x xy y x ;如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0), 则044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=-+→=→x x x y x y x y x x xy y x .因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.8. 函数xy xy z 2222-+=在何处间断？解 因为当y 2-2x =0时, 函数无意义, 所以在y 2 -2x =0处, 函数xy x y z 2222-+=间断.9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x . 证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+,所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x y x xyy x y x .因此 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x . 方法二:证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x y x y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤-+22|0|2222y x y x xy,所以 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x .10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x -x 0|<δ, 从而|F (x , y )-F (x 0, y 0)|=|f (x )-f (x 0)|<ε, 所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8-21. 求下列函数的偏导数: (1) z =x 3y -y 3x ; 解 323y y x xz -=∂∂,233xy x y z -=∂∂.(2)uvvu s 22+=;解 21)(uv v u v v u u u s -=+∂∂=∂∂,21)(vu u u v v u v v s -=+∂∂=∂∂.(3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理 )ln(21xy y y z =∂∂.(4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅-⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -=根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz -=∂∂.(5)yx z tan ln =;解 yx y y y x yx x z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂,yx y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222-=-⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(--+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz ,]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xyxy xy y ++++=.(7)zy x u =;解 )1(-=∂∂z y x zy x u ,x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂,x x zy z y x x z u z yz y ln )(ln 22⋅-=-=∂∂.(8) u =arctan(x -y )z ;解 zz y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-, zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂. 2. 设g l T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l .解 因为lg l T ⋅⋅=∂∂1π,gg g l g T 1)21(223⋅-=⋅-⋅=∂∂-ππ, 所以 0=⋅-⋅=∂∂+∂∂g l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(yx ez +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.解 因为2)11(1x ex z yx ⋅=∂∂+-, 2)11(1y e yz y x ⋅=∂∂+-, 所以 z eeyz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .解 因为x x x x f =-+=1arcsin )11()1 ,(,所以 1)1 ,()1 ,(==x f dx d x f x .5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 因为242x x x z ==∂∂,αtan 1)5,4,2(==∂∂xz ,故 4πα=.6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2;解 2384xy x xz -=∂∂, 2222812y x x z -=∂∂; y x y yz 2384-=∂∂, 2222812x y y z -=∂∂;xy y x y yy x z 16)84(232-=-∂∂=∂∂∂. (2)xyz arctan =;解 22222)(11y x y x y xy x z +-=-⋅+=∂∂,22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy yz +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +-=∂∂;22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +-=+-+-=+-∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y xz xln =∂∂, y y x z x 222ln =∂∂; 1-=∂∂x xy yz , 222)1(--=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂--y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, -1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x , f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0, 所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2, f yz (0, -1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z ,x xy y x z 122==∂∂, 023=∂∂∂y x z ,y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z -=∂∂∂. 9. 验证:(1)nx e y tkn sin 2-=满足22xy k t y ∂∂=∂∂;证明 因为nx e kn kn nx e t y t kn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx ne x y tkn cos 2-=∂∂, nx e n x y t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 2222--=∂∂,所以 22xyk t y ∂∂=∂∂.(2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂. 证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r xr -=∂∂-=∂∂, 由对称性知32222ry r y r -=∂∂, 32222r z r z r -=∂∂,因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r -+-+-=∂∂+∂∂+∂∂ rr r r r z y x r 23)(332232222=-=++-=. 习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22yx y z +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分. 解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12,所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=, 所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x y x ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yxy xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dt dyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=x xxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明)()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y y e f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂.(2)) ,(zyy x f u =;解1211)()(f yz y x f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂, )()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f zy'⋅-=.(3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f x u ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22yz ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422, f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数):(1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)(1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=v fx u v f v u f x u f x 2222222vf v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和v f ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(1)1()(vfy y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂=y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=222112232221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2',z y=f1'⋅2xy+f2'⋅x2=2xyf1'+x2f2';z xx=y2[f11''⋅y2+f12''⋅2xy]+2yf2''+2xy[f21''⋅y2+f22''⋅2xy]=y4f11''+2xy3f12''+2yf2''+2xy3f21''+4x2y2 f22''=y4f11''+4xy3f12''+2yf2''+4x2y2 f22'',z xy=2y f1'+y2[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+2xf2'+2xy[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2y f1'+2xy3f11''+x2y2f12''+2xf2'+4x2y2f21''+2x3yf22''=2y f1'+2xy3f11''+5x2y2f12''+2xf2'+2x3yf22'',z yy=2xf1'+2xy[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+x2[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2xf1'+4x2y2f11''+2x3y f12''+2x3yf21''+x4f22''=2xf1'+4x2y2f11''+4x3y f12''+x4f22''.(4) z=f(sin x, cos y,e x+y).解z x=f1'⋅cos x+ f3'⋅e x+y=cos x f1'+e x+y f3',z y=f2'⋅(-sin y)+ f3'⋅e x+y=-sin y f2'+e x+y f3',z xx=-sin x f1'+cos x⋅(f11''⋅cos x+ f13''⋅e x+y)+e x+y f3'+e x+y(f31''⋅cos x+ f33''⋅e x+y)=-sin x f1'+cos2x f11''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e x+y cos x f31''+e2(x+y) f33''=-sin x f1'+cos2x f11''+2e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e2(x+y) f33'', z xy=cos x[f12''⋅(-sin y)+ f13''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y [f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13'+e x+y f3'-e x+y sin y f32'+e2(x+y)f33'=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'-e x+y sin y f32''+e2(x+y)f33'',z yy=-cos y f2'-sin y[f22''⋅(-sin y)+ f23''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y[f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23ts y +=, 证明2222)()()()(tu s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(yu x u ∂∂+∂∂=.又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222yu x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=22222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(22yu x u t t u t t u ∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂. 习题8-51. 设sin y +e x-xy 2=0, 求dxdy.解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设xy y x arctan ln 22=+, 求dx dy.解 令xy y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=, 22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, y x y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x ,F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z , 于是 13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F FF F y z x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu u v u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu v v u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z-xy , xye yz F F x z zz x -=-=∂∂, 222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xy z yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂.(3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g x u g xv x vf x u x u f x u 21212)1()( , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx u u sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得dy v v e v dx v v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u u u u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而 1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u , ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u . 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tFy F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dx dt t f x f dx dy , 移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F t F y F t fD 的条件下 yF t f t F x F t f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1.习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为 ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++,法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得y y 2='.。
高等数学课后答案 第八章 习题详细解答
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
高等数学第8章答案
高等数学院系_______学号________班级_______姓名__________得分______题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题型总 分题 分 20 20 20 20 20 核分人 得 分 复查人一、选择题（共 20 小题，20 分）1、C2、(B)3、C4、A5、答：C 10分6、B7、(A)8、(C)9、(C) 10、C 11、B 12、(C) 13、C 14、D 15、(A) 16、C17、答：(B) 18、C 19、A 20、(D)二、填空题（共 20 小题，20 分）1、f z x y z x y(,ln ,)(ln )= 10分2、[]1222z xyyz x dx xz y dy --+-()() 10分 3、04、x y +≥110分5、2210x y z +++=6、（2，1）7、-48、答：-ln 2 10分 9、答：arctan14=π。
10分10、-16xy （10分） 11、1312、122y yx -13、[]sinh()sin()(d d )xy xy y x x y -+ （10分）14、15215、x x 242-（10分）16、π4（10分）17、3018、答：e e2。
10分 19、答：y 轴上的所有点。
10分20、2（10分）三、计算题（共 20 小题，20 分）1、z x x (,)arctan 02=d d (,)x z x x x0214=+ （8分）∂∂z xx y ===101（10分）2、ln ln u yz x =（4分）d d ln d ln d u u yzxx z x y y x z =++ （8分） []d d ln (d d )u x yz x x x z y y z yz =++-1（10分）3、由z f u =()可得，∂∂∂∂∂∂∂∂z x f u ux z y f u uy='='()() (3分)在方程u u p t t yx=+⎰ϕ()()d 两边分别对x , y 求偏导数，得∂∂ϕ∂∂∂∂ϕ∂∂u x u uxp x u y u uyp y =+=-''()()()() 所以∂∂ϕ∂∂ϕu x p x x u y p y x =-=--()()()()''11 (8分)p y z x p x z y()()∂∂∂∂+=0(10分)4、{}n =±-=±=±=35435212452,,,cos ,cos ,cos αβγ(4分)∂∂∂∂ux x y u yx(,,)(,,)(,,)(,,)()0110110110112870=-+==-=∂∂u z(,,)0111=所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⨯+⨯±=∂∂25412102537n u =±1752 (10分) 5、由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=03306332x y z y x z yx ，得D 内驻点（1，1）且 z (,)1112=- 3分在边界x =0上，()z y y 1232302=-+≤≤'=-≤==-z y z z 111300323,(),() 在边界x =2上，z y y y 22326102=-+-≤≤()'=-+≥=-=z y z z 2223600125,(),()在边界y =0上，()z x x x 336302=-+≤≤'=-=z x 32360 得驻点x =2()z z z 33303212342(),(),==-=-在边界y =2上，)20(334≤≤-=x x z'=≥=-=z x z z 4244300325,(),()8分比较后可知，函数z 在点(,)02处取最小值z (,)023=- 在点(,)22处取最大值z (,)225=。
北师大版高考数学(文)大一轮复习---第八章 8.3--(附答案)
§8.3空间图形的基本关系与公理最新考纲考情考向分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2.了解可以作为推理依据的公理和定理．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． ②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．知识拓展1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，已知M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为________．答案60°解析连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1∥MN，故∠AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于AC＝AD1＝D1C，故∠AD1C ＝60°，则MN与CD1所成的角为60°.3.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形． 答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，故AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∵EF 綊12AC ，EH 綊12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题组三 易错自纠4．若P 是两条异面直线l ，m 外的任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l ，m 都异面 答案 B解析 A 项，设过点P 的直线为n ，若n 与l ，m 都平行，则l ，m 平行，与l ，m 异面矛盾，A 错；B 项，l ，m 只有唯一的公垂线，而过点P 与公垂线平行的直线只有1条，B 对；C 项，如图所示，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，设AD 为直线l ，A ′B ′为直线m ，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；D项，若P在P2点，则直线CC′及D′P2均与l，m异面，D错．5．下列命题正确的有________．(填序号)①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与平面α平行；③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．答案①⑤解析①正确；②错误，直线l与平面α相交时，仍有无数个点不在平面α内；③错误，直线l与平面α内过该交点的直线不是异面直线；④错误，另一条直线可能在该平面内；⑤正确．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用典例如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面BDEF于R点，则P，Q，R三点共线．证明(1)如图．∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD.∴EF，DB确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体AC1中，设A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C，∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系典例(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交．若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾．故l至少与l1，l2中的一条相交．方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．(2)(2017·唐山一中月考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案②④解析在图①中，直线GH∥MN；在图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．题型三 求两条异面直线所成的角典例 (2018·南宁模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25C.35D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB的值．解 设AA 1AB＝t ，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. ∴t ＝3，即AA 1AB＝3.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．跟踪训练 在如图所示的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱B 1B ，AD 的中点，则异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( )A.147 B.57C.105 D.255答案D解析如图，过E点作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，所以平面EMN∥平面ABCD，EG∥BF，异面直线BF与D1E所成的角，转化为∠D1EG，不妨设正方体的棱长为2，GE＝5，D1G＝2，D1E＝3，在△D1GE中，由余弦定理cos ∠D 1EG ＝9＋5－22×3×5＝255，故选D.构造模型判断空间线面位置关系典例 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是________．(填序号)思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．解析 借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．答案①④1．在下列命题中，不是公理的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案A解析选项A是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．2．(2018·佛山模拟)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线()A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．3．(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是() A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.4．(2017·福州质检)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如图，延长CA到点D，使得AD＝AC，连接DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB为等边三角形，所以∠DA1B＝60°.故选C.5．下列命题中，正确的是()A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且aα，bβ，则a，b是异面直线B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案D解析对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然aα，故B错误．对于C，当aα时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.6．以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案B解析①显然是正确的；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．7．给出下列命题，其中正确的命题为________．(填序号)①如果线段AB在平面α内，那么直线AB在平面α内；②两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；③若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面；⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．答案①③8. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB⊥EF，正确；②显然AB∥CM，所以不正确；③EF与MN是异面直线，所以正确；④MN与CD异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个．10.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.11.(2018·石家庄调研)如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．证明如图，连接BD，B1D1，则BD∩AC＝O，∵BB1綊DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，则H∈平面BB1D1D，∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.即D1，H，O三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值．解如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，∵在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角．在Rt △EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt △EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt △BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010.13．(2018·长春质检)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定答案D解析如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．因此l1与l4的位置关系不能确定．14.(2017·郑州质检)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是________．(填序号)①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ③解析 取DC 的中点F ，连接MF ，BF ，则MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos ∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为球心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；若存在某个位置，使DE ⊥A 1C ，则因为DE 2＋CE 2＝CD 2，即CE ⊥DE ，因为A 1C ∩CE ＝C ，则DE ⊥平面A 1CE ，所以DE ⊥A 1E ，与DA 1⊥A 1E 矛盾，故③不正确．15.(2017·山西四校联考)如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱DD 1上运动，点N 在正方体的底面ABCD 内运动，则MN 的中点P 的轨迹的面积是( )A ．4πB ．πC ．2πD.π2答案 D解析连接DN，则△MDN为直角三角形，在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，连接DP，则DP＝1，所以点P在以D为球心，半径R＝1的球面上，又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的18，故所求面积S＝18×4πR2＝π2.16．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．答案无数解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．方法二(图略)在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．。
高等数学东北大学出版社第15章和第810章习题和复习题参考答案
第1-5章和第8-10章习题和复习题参考答案第1章函数、极限与连续习题1.1⒈下列各组函数，哪些是同一函数，哪些不是？（1）yx =与y=是同一函数 （2）y x =与y=（3）2111x y x x -=-+与y=不是同一函数 （4）22ln ln y x x =与y=不是同一函数⒉指出下列函数的定义域. （1）43)(+=x x f 的定义域是),34[+∞- （2）xx f -=11ln )(的定义域是)1,(-∞（3）)1ln()(2-=x x f 的定义域是),2[]2,(+∞⋃-∞（4）)arcsin(ln )(x x f =的定义域是],1[e e-（5）若)(x f 的定义域是]4,4[-，则)(2x f 的定义域是]2,2[-（6）若)(x f 的定义域是]3,0[a ，则)()(a x f a x f -++的定义域是]2,[a a 3.判别下列函数的奇偶性.（1）()sin f x x x =+是奇函数 （2）()cos f x x x =⋅是奇函数（3）()2f x x x =-是非奇非偶函数 （4）()1lg 1x f x x-=+是奇函数（5）()cos(sin )f x x =是偶函数 （6）()sin x f x x=是偶函数（7）())f x x =是奇函数 （8）()f x =⒋下列函数哪些在其定义域内是单调的. （1）sin y x =在其定义域内不是单调的 （2）arcsin y x =在其定义域内是单调递增的（3）2y x x =-在其定义域内不是单调的 （4）0≠a 时，ax y e =在其定义域内是单调的，其中 0<a 时，ax y e =在其定义域内是单调递减的， 0>a 时，ax ye =在其定义域内是单调递增的5.下列函数在给定区间中哪个区间上有界. （1）),1(1+∞=在区间xy 上有界（2）)10,1()12ln(在区间-=x y 上有界 （3）)4,3(3-=在区间x y 上有界（4）)1,1(),,(),0,(sin -+∞-∞-∞=在区间x y 上分别有界 6.下列函数哪些是周期函数，如果是求其最小正周期. （1）sin 3yx =是周期函数，最小正周期是32π （2）cos y x =是周期函数，最小正周期是π（3）tan 2y x =是周期函数，最小正周期是2π （4）ln(cos 2)y x =+是周期函数，最小正周期是π 7.下列各对函数中，哪些可以构成复合函数.（1）2),2arcsin()(x u u u f =+=不可以构成复合函数 （2）x u u u f 2sin ),1ln()(=-=不可以构成复合函数（3）221ln,)(x u u u f +==不可以构成复合函数（4）212,arccos )(x xu u u f +==可以构成复合函数8.将下列复合函数进行分解. （1）对复合函数43)(2--=x x x f 的分解结果是：43,)(2--==x x u u x f（2）对复合函数32)(-=x ex f 的分解结果是：32,)(-==x u e x f u（3）对复合函数()ln(23)f x x =-的分解结果是：32,ln )(-==x u u x f （4）对复合函数()arcsin(1)f x x =+的分解结果是：1,sin )(+==x u u acc x f9.求函数值或表达式. （1）已知函数12)(,2)0(,4-)2(,0)2(,12)(222+-===-=+-=x x x f f f f x x x f 则.（2）已知函数0)(,22)4(,0)1(,1,01,sin )(===⎩⎨⎧≥<=ππf f f x x x x f 则.（3）已知函数21-)21arcsin (,sin )(=-=f x x f 则. （4）已知函数x x f 2cos )(sin =，则[]1,1,21)(2-∈-=x x x f习题1.21.用观察法判断下列数列是否有极限，若有，求其极限. （1） ,67,51,45,31,23,1:n x 没有极限 （2）n x n 1=有极限，01lim =∞→n n （3）2sinπn x n =没有极限 （4）1)1(3+-=n n x n n 有极限，0]1)1[(lim 3=+-∞→n nn n2.分析下列函数的变化趋势，求极限 （1）01lim2=∞→x x （2）011lim=++∞→x x（3）+∞=++∞→)2ln(lim x x （4）2232lim =++-∞→x x x3.图略，)(lim 0x f x →不存在4.下列变量中，哪些是无穷小量，哪些是无穷大量？（1）0→x 时，2100x 是无穷小量 （2）+→0x 时，x2是无穷大量（3）∞→x 时，112--x x 是无穷小量 （4）+∞→x 时，x e 是无穷大量 （5）∞→n 时，3)1(2+-n n n是无穷大量 （6）∞→x 时，xxsin 是无穷小量（7）∞→x 时，x1sin 是无穷小量 （8）0→x 时，12-x是无穷小量 5.已知函数2)3(1)(--=x x x f ，则)(x f 在-∞→x 或+∞→x 或∞→x 的过程中是无穷小量，在-→3x 或+→3x 或3→x 的过程中是无穷大量？6. 当1x →-时，无穷小1x +与下列无穷小是否同阶？是否等价？ （１）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小31x +同阶，但不等价 （２）当1x →-时，无穷小1x +与无穷小21(1)2x -同阶，而且等价习题1.31.设函数x x f =)(，则xt x f t x f t 21)()(lim=-+→2.设函数⎩⎨⎧<+≥+=2,122,1)(2x x x x x f ，则5)(lim ,5)(lim ,5)(lim 222===→→→+-x f x f x f x x x .3.求下列各式的极限：（1）15)52(lim 22=+--→x x x （2）3213lim 2421-=++-→x x x x（3）35)321(lim 0=--→x x （4）242lim 22=+-∞→x x x x （5）2111lim 220-=+-→x x x （6）21)21(lim 222=+++∞→nn n n n （7）1122lim2=-+++∞→x x x x （8）311lim 31=--→x x x（9）61)319(lim 2=-++∞→x x x x （10）112lim1=---→x x x x （11）201020101032)53()32()1(lim =---+∞→x x x x4.已知516lim21-=-+-→x ax x x ，则7=a . 5.2)(lim 2=-++∞→x kx x x ，则4=k .6.求下列极限： （1）252sin 5sin lim0=→x x x （2）1sin 2tan lim 0=-→xxx x（3）43cos cos lim 20=-→x xx x （4）2)sin()2tan(lim 230=-+→x x x x x （5）11sin lim =⋅∞→x x x （6）0sin sin lim 0=+-→xx xx x（7）323arcsin 2lim 0=→x x x （8）21sin tan lim 30=-→x x x x7.求下列极限： （1）82)41(lim e x x x =+∞→ （2）21)21(lim --∞→=-e xx x（3）3220)33(lim -→=-e x x x （4）21)11(lim --∞→=+-e x x x x（5）5ln 51)ln 1(lim e x xx =++→ （6）e x x x =+→sec 2)cos 1(lim π8.用等价无穷小替换计算下列各极限：（1）236arctan lim0=→x x x （2）214lim 20=-→x x e x（3）22cos 1lim 20=-→x x x （4）21)21ln(lim 0=-+→x x e x 习题1.41.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1,31,11)(2x x x x x f ，则()f x 在1=x 处不连续．2.指出下列函数的间断点，并指明是哪一类间断点？ （1）函数11)(2-=x x f 的间断点有点1-=x 和点1=x ，它们都是第二类间断点中的无穷间断点（2）函数xe xf 1)(=的间断点有点0=x ，它是第二类间断点（3）函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点有点0=x 和点1=x ，其中点0=x 是第二类间断点中的无穷间断点，点1=x 是第一类间断点（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-≠+-=1,01,11)(2x x x x x f 的间断点有点1-=x ，它是第一类间断点中的可去间断点（5）函数⎩⎨⎧>≤+=0,2,2)(2x x x x f x的间断点有点0=x ，它是第一类间断点中的跳跃间断点（6）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=2,32,24)(2x x x x x f 的间断点有点2=x ，它是第一类间断点中的可去间断点3.设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin )(x x x x k x xxx f ，当1=k 时，函数)(x f 在其定义域内是连续的.4.求下列极限：（1）42arccoslim 21π=+→x x x （2）0sin lg lim 2=→x x π （3）021lim cos sin 0=+-→x x x e e （4）2ln ln )1ln(lim 1=-+→xxx x（5）2121lim 224=+++∞→x x x x （6）11lim 1=--→x xx x（7）e x x e x 1ln lim=→ （8）4arctan lim 1π=→x x5.（略）6.（略）复习题1一、单项选择题1.下列函数中（C ）是初等函数.（A ）)2arcsin(2+=x y （B ）⎩⎨⎧∈∉=Qx Qx x f 10)(（C ）12+-=x y （D ）⎩⎨⎧>+<≤=1110)(2x x x x x f2.下列极限存在的是（B ）.（A ）xx 4lim ∞→ （B ）131lim 33-+∞→x x x （C ）xx ln lim 0+→ （D ）11sin lim 1-→x x3.当0x →时，2tan x 与下列（D ）不是等价无穷小.（A ）2tan x （B ）2x （C ）2sin x （D ）2cos x 4.函数在某点连续是该函数在此点有定义的（B ）.（A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 5.已知0sin lim2x axx→=,则常数=a （C ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 6.闭区间[,]a b 上的连续函数()y f x =在[,]a b 上一定是（C ）.（A ）单调函数 （B ）奇函数或偶函数（C ）有界函数 （D ）周期函数 二、填空题 1.设10()20xx x f x x +-∞<≤⎧=⎨<<+∞⎩， 则(2)f = 4 . 2.函数5cos 3y x =是由简单函数 x v v u u y 3,cos ,3=== 复合而成的.3.点1x =是函数1,1()3,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩ 的第一类间断点中的跳跃 间断点.4.当x ∞- 时，函数3xy =是无穷小.5.极限 2lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭= 2e .6.函数ln(4)y x =-+的连续区间为 [)4,1 .三、计算下列极限1.24231x x x x -++=0 2.223lim 2x x x →--不存在 3.2211lim 21x x x x →---21= 4.22356lim 815x x x x x →-+-+ 5.1)2(1lim 22=---∞→x x x x 6.4281lim5x x x x →∞-++ 不存在 7.63132lim1=--+→x x x 8.231lim (3cos )1x x x x →∞+++=09.21sin cos 1lim0=-→θθθθ 10.1cos lim =-∞→x x x x 11.212sin )1ln(lim0=+→x x x 12.21)81221(lim 32=---→x x x13.320lim(12)xx x →-3-=e 14.122lim(1)xx x -→∞- 1-=e15.101lim x x x x +→+⎛⎫⎪⎝⎭e = 16.1lim()1xx x x →∞-+ 2-=e 四、综合题1.函数2101()11x x f x x x ⎧-≤≤=⎨+>⎩在点1=x 处不连续，在点2=x 处连续，函数的图像略。
(北师大版)高考数学第8章平面解析几何第8讲曲线与方程9
第8讲 曲线与方程1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎨⎧x －y ＝0 xy －1＝0. 故⎩⎨⎧x ＝1 y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1 y ＝－1.2．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切 ,与直线y ＝0相切 ,那么C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆 解析：选A.设圆C 的半径为r ,那么圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得 ,圆心C 到点(0 ,3)的距离为r ＋1 ,也就是说 ,圆心C 到点(0 ,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1 ,故点C 到点(0 ,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等 ,符合抛物线的特征 ,故点C 的轨迹为抛物线．3．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点 ,PA 是圆的切线 ,且|PA |＝1 ,那么P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2 解析：选D.如图 ,设P (x ,y ) ,圆心为M (1 ,0)．连接MA ,那么MA ⊥PA ,且|MA |＝1 , 又因为|PA |＝1 ,所以|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝ 2 ,即|PM |2＝2 ,所以(x －1)2＋y 2＝2.4．(2021·珠海模拟)点A (1 ,0) ,直线l ：y ＝2x －4 ,点R 是直线l 上的一点 ,假设RA →＝AP →,那么点P 的轨迹方程为( ) A ．y ＝－2x B ．y ＝2x C ．y ＝2x －8D ．y ＝2x ＋4解析：选B.设P (x ,y ) ,R (x 1,y 1) ,由RA →＝AP →知 ,点A 是线段RP 的中点 ,所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x12＝1 y ＋y12＝0即⎩⎨⎧x 1＝2－xy 1＝－y .因为点R (x 1 ,y 1)在直线y ＝2x －4上 , 所以y 1＝2x 1－4 ,所以－y ＝2(2－x )－4 ,即y ＝2x .5．设m ∈R ,在平面直角坐标系中 ,向量a ＝(mx ,y ＋1) ,向量b ＝(x ,y －1) ,a ⊥b ,那么动点M (x ,y )的轨迹为( ) A ．两条直线 B ．圆或椭圆 C ．双曲线D ．两条直线或圆或椭圆或双曲线解析：选D.因为a ⊥b ,a ＝(mx ,y ＋1) ,b ＝(x ,y －1) ,所以a ·b ＝mx 2＋y 2－1＝0即mx 2＋y 2＝1.当m ＝0时 ,动点M 的轨迹为两条直线 ,y ＝±1 ,当m ＝1时 ,动点M 的轨迹为圆x 2＋y 2＝1 , 当m >0且m ≠1时 ,动点M 的轨迹为椭圆x 21m＋y 2＝1 ,当m <0时 ,动点M 的轨迹为双曲线y 2－x 2－1m＝1. 6．(2021·长春模拟)设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ,A (1 , 0)是圆内一定点 ,Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ,那么M 的轨迹方程为( ) A.4x 221－4y 225＝1 B.4x 221＋4y225＝1 C.4x 225－4y 221＝1 D.4x 225＋4y221＝1 解析：选D.因为M 为AQ 垂直平分线上一点 ,那么|AM |＝|MQ | ,所以|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5 ,故M 的轨迹为椭圆．所以a ＝52 ,c ＝1 ,那么b 2＝a 2－c 2＝214,所以椭圆的方程为4x 225＋4y221＝1.7．M (－2 ,0) ,N (2 ,0) ,那么以MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程是________． 解析：设P (x ,y ) ,因为△MPN 为直角三角形 ,所以|MP |2＋|NP |2＝|MN |2,所以(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝16 ,整理得 ,x 2＋y 2＝4. 因为M ,N ,P 不共线 , 所以x ≠±2 ,所以轨迹方程为x 2＋y 2＝4(x ≠±2)．答案：x 2＋y 2＝4(x ≠±2)8．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点 ,定点F (2 ,0) ,线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ,那么点Q (x ,y )的轨迹方程是________．解析：依题意有|QP |＝|QF | ,那么||QC |－|QF ||＝|CP |＝2 ,又|CF |＝4>2 ,故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线 ,a ＝1 ,c ＝2 ,得b 2＝3 ,所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝19．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的任意一点 ,F 1、F 2是它的两个焦点 ,O 为坐标原点 ,OQ →＝PF 1→＋PF 2→,那么动点Q 的轨迹方程是________． 解析：OQ →＝PF 1→＋PF 2→ ,如图 ,PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →, 设Q (x ,y ) ,那么OP →＝－12OQ →＝－12(x ,y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x2－y 2,即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x 2 －y 2 ,又P 在椭圆上 ,那么有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1 ,即x 24a 2＋y 24b2＝1.答案：x 24a 2＋y 24b2＝110．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1 ,0)和F 2(1 ,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出以下三个结论： ①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③假设点P 在曲线C 上 ,那么△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中 ,所有正确结论的序号是________．解析：设曲线C 上任一点P (x ,y ) ,由|PF 1|·|PF 2|＝a 2,可得 (x ＋1 )2＋y 2· (x －1 )2＋y 2＝a 2(a >1) ,将原点(0 ,0)代入等式不成立 ,故①不正确． 因为点P (x ,y )在曲线C 上 ,那么点P 关于原点的对称点为P ′(－x ,－y ) ,将P ′代入曲线C 的方程等式成立 ,故②正确．设∠F 1PF 2＝θ ,那么S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|·sin θ＝12a 2sin θ≤12a 2 ,故③正确．答案：②③11．点A (－1 ,0) ,B (2 ,4) ,△ABC 的面积为10 ,求动点C 的轨迹方程． 解：因为|AB |＝32＋42＝5 ,所以AB 边上高h ＝205＝4.故C 的轨迹是与直线AB 距离等于4的两条平行线． 因为k AB ＝43,AB 的方程为4x －3y ＋4＝0 ,可设轨迹方程为4x －3y ＋c ＝0. 由|c －4|5＝4 ,得c ＝24或c ＝－16 ,故动点C 的轨迹方程为4x －3y －16＝0或4x －3y ＋24＝0.12．(2021·（高|考）广东卷节选)过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ,B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4 ,所以圆C 1的圆心坐标为C 1(3 ,0)． (2)设M (x ,y ) ,因为 A ,B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点 ,且M 为AB 的中点 , 所以由圆的性质知：MC 1⊥MO ,所以MC 1→·MO →＝0.又因为MC 1→＝(3－x ,－y ) ,MO →＝(－x ,－y ) ,所以由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在 ,所以设直线l 的方程为y ＝mx ,当直线l 与圆C 1相切时 ,d ＝|3m －0|m 2＋1＝2 ,解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0 ,解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时 ,M 的坐标为(3 ,0)．又因为直线l 与圆C 1交于A ,B 两点 ,M 为AB 的中点 ,所以53<x ≤3.所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0 ,其中53<x ≤3 ,其轨迹为一段圆弧．1．(2021·成都质量检测)在棱长为1的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中 ,假设点P 是棱上一点 ,那么满足|PA |＋|PC ′|＝2的点P 的个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．12 解析：选B.因为正方体的棱长为1 , 所以AC ′＝ 3.因为|PA |＋|PC ′|＝2 ,所以点P 是以2c ＝3为焦距 ,以a ＝1为长半轴 ,以12为短半轴的椭球上．因为P 在正方体的棱上 ,所以P 应是椭球与正方体的棱的交点．结合正方体的性质可知 ,在棱B ′C ′ ,C ′D ′ ,CC ′ ,AA ′ ,AB ,AD 上各有一点满足条件．应选B. 2．点A ,B 分别是射线l 1：y ＝x (x ≥0) ,l 2：y ＝－x (x ≥0)上的动点 ,O 为坐标原点 ,且△OAB 的面积为定值2 ,那么线段AB 中点M 的轨迹方程为________． 解析：由题意可设A (x 1 ,x 1) ,B (x 2 ,－x 2) ,M (x ,y ) , 其中x 1>0 ,x 2>0 ,那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22①y ＝x 1－x 22.②因为△OAB 的面积为定值2 ,所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12(2x 1)(2x 2)＝x 1x 2＝2.①2－②2得x 2－y 2＝x 1x 2 ,而x 1x 2＝2 , 所以x 2－y 2＝2.由于x 1>0 ,x 2>0 ,所以x >0 ,即所求点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝2(x >0)．答案：x 2－y 2＝2(x >0)3．(2021·唐山模拟)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点 ,点B (1 ,0)．线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ,记点M 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第|一象限 ,且cos ∠BAP ＝223时 ,求点M 的坐标．解：(1)圆A 的圆心为A (－1 ,0) ,半径等于2 2. 由|MB |＝|MP | ,于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22>2＝|AB | ,故曲线Γ是以A ,B 为焦点 ,以22为长轴长的椭圆 , 即a ＝ 2 ,c ＝1 ,b ＝1 , 所以曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223 ,|AP |＝2 2 ,得P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫53223.于是直线AP 的方程为y ＝24(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1 y ＝24(x ＋1 )整理得5x 2＋2x －7＝0 , 解得x 1＝1 ,x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上 ,所以点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 22.4．(2021·郑州质检)动点P 到定点F (1 ,0)和到直线x ＝2的距离之比为22,设动点P 的轨迹为曲线E ,过点F 作垂直于x 轴的直线与曲线E 相交于A 、B 两点 ,直线l ：y ＝mx ＋n 与曲线E 交于C 、D 两点 ,与线段AB 相交于一点(与A 、B 不重合)．(1)求曲线E 的方程；(2)当直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切时 ,四边形ACBD 的面积是否有最|大值 ?假设有 ,求出其最|大值及对应的直线l 的方程；假设没有 ,请说明理由． 解：(1)设点P (x ,y ) ,由题意可得 , (x －1 )2＋y 2|x －2|＝22 ,整理可得x 22＋y 2＝1.所以曲线E 的方程是x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1 ,y 1) ,D (x 2 ,y 2) ,由可得|AB |＝ 2. 当m ＝0时 ,不合题意．当m ≠0时 ,由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切 ,可得|n |m 2＋1＝1 ,即m 2＋1＝n 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋n x 22＋y 2＝1消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋12x 2＋2mnx ＋n 2－1＝0 , Δ＝4m 2n 2－4⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋12(n 2－1)＝2m 2>0 , x 1＝－2mn ＋Δ2m 2＋1 ,x 2＝－2mn －Δ2m 2＋1, S 四边形ACBD ＝12|AB ||x 2－x 1|＝2|m |2m 2＋1＝22|m |＋1|m |≤22, 当且仅当2|m |＝1|m | ,即m ＝±22时等号成立 ,此时n ＝±62 ,经检验可知 ,直线y ＝22x－62和直线y ＝－22x ＋62符合题意．。
高等数学（上）李忠周建莹课后习题答案一习题1.3
习题1.31.(1,2,),lim 1,0,,2|-1|,:n n n n nx n x N n n N x εε→∞===>+><L 设证明即对于任意求出正整数使得当时有 并填下表220,1,|-1||1|,2,2222,,|-1|.2.lim ,lim ||||.0,,,||,||||||||,lim ||||.3.{},(1),n n n n n n n n n n n n n x n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N εεεεεεεεε→∞→∞→∞∀><=-=<>-++⎡⎤=-><⎢⎥⎣⎦==∀>∃>-<-≤-<=不妨设要使只需取则当时就有设证明使得当时此时故设有极限证明存在一个自然数证证1||||1;(2){},,||(12,).(1)1,,,||1,|||||||||| 1.(2)max{||1,||,,||},||(12,).-313(1)lim 23n n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n εε→∞<<+≤==∃>-<=-+≤-+<+=+≤=+=-L L L 是一个有界数列即存在一个常数使得对于使得当时此时令则 4.用说法证明下列各极限式:证23/23/2; (2)lim0;21!(3)lim 0(||1); (4)lim0;111(5)lim 1;1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)31311(1),2322(23)n n nn n n n n n n n q q n n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞→∞→∞=+=<=⎛⎫+++= ⎪-⎝⎭⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+∀-=<--L g g g L 不妨设要使只需证>0,<1,3113,2113133133,,,lim .22322321(2),,,n n n N n N n n n εεεεεεε→∞>+++⎡⎤=+>-<=⎢⎥--⎣⎦∀<≤<>取当时故>0,ε0.1 0.01 0.001 0.0001 N18 198 1998 1999832222333331,.1(3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)1266242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4),,.11(5)1223nnnn N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N n n εεαααααααεααεαεαεεε⎡⎤=><⎢⎥⎣⎦=>>+==---++++++⎡⎤<<<>=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤≤<>=⎢⎥⎣⎦+++L L g g取当3/23/23/22211(1)1111111111,,.1223(1)1111(6),,.(1)(2)(1)5.lim 0,{},,||(1,2,),lim n n n n n n n n N n n n n n N n n n a b M b M n εεεεεε→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-+-++--=<>= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎡⎤++≤<<>=⎢⎥++⎣⎦=<=g L L L 设是有界数列即存在常数使得证明2222220.0,,||,||||||,lim 0.6. 1.0,11, 1.(1)24444,1,,.(1)(1)(1)127.:(1)l n n n n n n n n n n n nn a b N a a b a b M MMa b nn n n N n n n n n n εεεεεεεεεεεεεεε→∞→∞=∀>∃<=≤===∀><<+⎡⎤=<<<>=⎢⎥-+-⎣⎦++g 正整数使得故证明只需而只需求下列各极限的值证证32232244432220.310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞→∞==+-+-==-+-+++==++⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦21111(5)lim 1lim 11111111.11lim 1lim 1111111(6)lim 1lim 1,(,1),,,1101nn n n n n n nn n nn n n n n n e n n q N n N q n n e n n -→∞→∞-→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-∈∃>-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫<-⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣⎦取当时2211,lim 0,lim 10,lim 10.1111(7)lim 1lim 1lim 1 1.nnn nn nn n n n n nn n n q q n n e n n n e →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫<=-=-=⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭g 即 12221212218.1111(1),,12(1)11112 2.12(1)1111(2),,21212121111111111121222222221n n n n n n n n n n n n nn n n x x x x n n x x n nn x x x x x +++-=+++=+>+<+++=-<-=+++=+>++++-⎛⎫=+++=++++= ⎪⎝⎭L L g L L L g 利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:单调增加有上界，故有极限.111 1.12111111(3).0,1222122,0,111(4)11.0,2!!(1)!111111213 3.2231n n n n n n n n n n n n n x x x x n n n n n n n x x x x x x x n n x n n n x +++<-=+++-=-=-<++++++<>=++++-=>+⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 单调增加有上界，故有极限.单调减少有下界，故有极限.单调增加有上界，故11lim 11.2!!n e n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭L 有极限.9.证明=211(1)1(1)(1)1112!!(1)(1)1!111111112111112!!!1111111.lim 1lim 112!!2!!nknnn n n n n n n k n n n n k n n n n n n n k n n k n n n n n e n n n →∞→∞---+⎛⎫+=+++++ ⎪⎝⎭--++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫<++++=+≤++++ ⎪⎝⎭L g g L L L L L L L 证1.,11111112111,2!!1111,2!!1111lim 11lim 11.2!!2!!10.:||||,1,2,,nk n n n k n k k n n k n n n e k e k n x k x n →∞→∞+⎛⎫ ⎪⎝⎭>-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>+-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫→∞≥++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫≥++++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤=LL L L L 对于固定的正整数,由上式,当时令得设满足下列条件其中是小于211111.lim 0.||||||||0(),lim 0.n n n n n n n n x x k x k x kx n x →∞-+-→∞=≤≤≤→→∞=L 的正数证明由得证。
完整word高等代数北大版第8章习题参考答案
222第八章 —矩阵13221)o2)253123)0 04)20( 1)22322 3 21 22 35)4235 32234242123 0 143602 26)62 01 010 033 122解 1)对矩阵作初等变换 , 有A ( ) 3 22325 3 2 5 3 23221. 化下列矩阵成标准形0 0 3 10 2 3= B( ) 0 0 ( 1)2 03-10 2 -320 020 0 02)对 矩阵作初等变换 , 有2 21 0 01212A ( )2 2 2 220 0 ( 1)1 2 2 212B ( ) 即为所求。
10 0 00= B ( ) ，B ( ) 即为所求。
20 03）因为的行列式因子为0 ( 1)1 2D 1 =1,D 2 = ( 1),D 3 =2(1)3，所以d 1 : =1,d D 2 2 ==(1),d 3 =:D3=(1)2，D 1D 2从而20 01 0A ( )( 1)0 =B ()，0 (1)2(1)2B (）即为所求。
0 0224）因为的:列式因子为(1)20 020 0D 1 =1,D 2 =(1), D 3=2( 1)2, D 4 = 4(1)4，所以1 0 0 0(1) 0 0 0 0 ( -1) 0 0 0 0 2( -1)2B （）即为所求。
5）对矩阵作初等变换，有d 2 = DD i1), dD D 21)，d4 =D2( 1)2从而0 02A ()(1)2 0220 0 0B (),32 2 4 5 01001320 010 01=B ( ) ，1B ( ) 即为所求。
6)对矩阵作初等变换 , 有3 23 2 A ( )423 53243222 1 4 23 3 22 22427621 2 2 32 234 212 213232 2 4 5 0 10 01A ( )1 223210010 01 0000010 0 0 2 20 0 2 01 0 1 0 00 1 0 0 0 30 0 0 10 0 0 00 0 2 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 10 0 0 0 20 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 1 00 0 0 0 20 0 0 01 0 0 0 00 1 0 0 01 0 0 0 00 2 0 0 00 0 0 0 ,0 0 0 1 00 0 0 0 1在最后一个行列式中D 3 =1, D 4 = ( 1), D 5 = 3( 1)2，所以d 1 =d 2 =d 3 =1, d 4: —D4 =( 1), d 5 = D5 = 2( 1) OD3 D4故所求标准形为1 0 0 0 00 1 0 0 0B()= 0 0 1 0 0 00 0 0 (1) 00 0 0 0 2( 1)2.求下列矩阵的不变因子1 0 02 1 00 1 01) 0 2 1 2 )0 0 10 0 25 4 3 2D 1 =1, D 2 =1, D 3 = (2)',故该矩阵的不变因子为D3 = =D 2 =D 1 =1,D 4 = 42 3 3 245，故矩阵的不变因子为d 1 = :d 2 =d 3 =1,d 4 = 42 3 3 24503)当0时，有D 4 =1 1= (2 22 )2 2,且在矩阵中有一个 、三阶子式11 00 1 =2 ()于是由2 (),D 3=1可得D 3 = 1,故该矩阵的不变因子为d 1 =d 2 =d 3 =1,d 4 = ()222当0时，由D 1=1, D 2 =1, D 3 =( )2, D 4= ()4 ,2)因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为113)10 0 00 2 0 05)0 0 1 020 0 100 1 2 0 4)1 2 0 02 0 0 01,所以其行列式因子为d 1 =d 2 =1,3d 3 =( 2) o解1)所给矩阵的右上角的二阶子式为从而d i =d 2 =1, d 3 = ( )2, d 4 = D 4 = ( )2。
北大版高等数学课后习题答案_完整版
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nn n xy y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0,, .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n mm m n n x nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a a bn m b x b x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+03323223220312(12)5lim(112)55lim.3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解333032233222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p x xx p ∆→∆→∆→∆→∆→∆→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆-'==∆∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解0000000)()2lim()()212lim.25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x xp x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy xxx x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+∆=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴200022222222,,().22(),.,2222,.222,.p p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim limlim (0),(0)0.()()11.(),lim22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f xx x f x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.2112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22xx x xyx xxxy a bxyxx xab a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8(8)()16sin8,811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。
数学高考总复习同步优化探究文数(北师大版)练习第八章第八节第二课时最值、范围、证明问题含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R)上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值． 解析：(1)由题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2·b 2a＝1.从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.因此，所求的椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)如图，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (t ，t 2＋h )， 则抛物线C 2在点P 处的切线斜率为y ′|x ＝t ＝2t . 直线MN 的方程为： y ＝2tx －t 2＋h .将上式代入椭圆C 1的方程中，得 4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，即4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0.① 因为直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ1＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0.② 设线段MN 的中点的横坐标是x 3， 则x 3＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2).设线段P A 的中点的横坐标是x 4，则x 4＝t ＋12.由题意，得x 3＝x 4， 即t 2＋(1＋h )t ＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h )2－4≥0，得h ≥1，或h ≤－3. 当h ≤－3时，h ＋2<0,4－h 2<0， 则不等式②不成立，所以h ≥1. 当h ＝1时，代入方程③得t ＝－1， 将h ＝1，t ＝－1代入不等式②，检验成立． 所以，h 的最小值为1.2．已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 解析：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0， 即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 3.如图，在矩形ABCD 中，|AB |＝4，|AD |＝2，O 为AB 的中点，P ，Q 分别是AD 和CD 上的点，且满足①|AP ||AD |＝|DQ ||DC |，②直线AQ 与BP 的交点在椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设R 为椭圆E 的右顶点，M 为椭圆E 第一象限部分上一点，作MN 垂直于y 轴，垂足为N ，求梯形ORMN 面积的最大值．解析：(1)设AQ 与BP 的交点为G (x ，y )，P (－2，y 1)，Q (x 1,2)，由题可知， y 12＝x 1＋24，y x ＋2＝2x 1＋2，y 2－x ＝y 14， 从而有4y 2－x ＝x ＋2y ，整理得x 24＋y 2＝1，即为椭圆E 的方程．(2)由(1)知R (2,0)，设M (x 0，y 0)，则y 0＝124－x 20， 从而梯形ORMN 的面积S ＝12(2＋x 0)y 0＝14(4－x 20)(2＋x 0)2， 令t ＝2＋x 0，则2<t <4，S ＝144t 3－t 4， 令u ＝4t 3－t 4，则u ′＝12t 2－4t 3＝4t 2(3－t )， 当t ∈(2,3)时，u ′>0，u ＝4t 3－t 4单调递增， 当t ∈(3,4)时，u ′<0，u ＝4t 3－t 4单调递减，所以当t ＝3时，u 取得最大值，则S 也取得最大值，最大值为334.4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围． 解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ， 则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1，故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)， 将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k 212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |， 解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.B 组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线x ＝4与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆x 2＋(y －1)2＝1相交于B ，C 两点(A ，B 两点相邻)，过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求△ABM 与△CDM 的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F (0，p 2)，P (4,0)，Q (4，8p )，|QF |＝8p ＋p 2，|PQ |＝8p ，因为|QF |＝54|PQ |，所以8p ＋p 2＝54·8p ，解得p ＝2或p ＝－2(舍去)， 所以抛物线的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 由y ＝x 24，得y ′＝x2.所以直线MA ：y －x 214＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214.同理可求得直线MD ：y ＝x 22x －x 224.联立方程，得⎩⎨⎧y ＝x 1x 2－x 214，y ＝x 2x 2－x224，解得M (2k ，－1)．所以点M 到l 的距离d ＝2k 2＋21＋k 2＝21＋k 2.所以S △ABM ·S △CDM ＝14|AB |·|CD |·d 2＝14(|AF |－1)(|DF |－1)d 2＝14y 1y 2d 2 ＝14·x 21x 2216d 2＝1＋k 2≥1， 当且仅当k ＝0时取等号．所以当k ＝0时，△ABM 与△CDM 面积之积的最小值为1.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率； (2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围． 解析：(1)由已知，有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2. 设直线FM 的斜率为k (k >0)，F (－c,0)， 则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )． 由已知，有(kc k 2＋1)2＋(c 2)2＝(b 2)2，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0， 解得x ＝－53c ，或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为(c ，233c )．由|FM |＝(c ＋c )2＋(233c －0)2＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝6－2x 23(x ＋1)2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立， 整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈(－32，－1)时，有y ＝t (x ＋1)<0，因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈(23，233)． ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)>0. 因此m <0，于是m ＝－ 2x 2－23， 得m ∈(－∞，－233)．综上，直线OP 的斜率的取值范围是 (－∞，－233)∪(23，233)．3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >1)，设A 为圆C 与x 轴负半轴的交点，过点A 作圆C 的弦AM ，并使弦AM 的中点恰好落在y 轴上．(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)延长MC 交曲线E 于另一点N ，曲线E 在点N 处的切线与直线AM 交于点B ，试判断以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的圆与直线MN 的位置关系，并证明你的结论． 解析：(1)设M (x ，y )，x >0，由题意可知，A (1－r,0)， 记AM 的中点为D ，则D (0，y2)，因为C (1,0)，DC →＝(1，－y 2)，DM →＝(x ，y2)．在⊙C 中，易知CD ⊥DM ，所以DC →·DM →＝0， 所以x －y 24＝0，即y 2＝4x (x >0)，所以点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x (x >0)． (2)⊙B 与直线MN 相切．证明如下：设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线BN 的方程为y ＝k (x －y 224)＋y 2.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.r －1＝x 1，则点A (－x 1,0)，所以直线AM 的方程为y ＝2y 1x ＋y 12.联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －y 224)＋y 2，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4y 2－ky 22＝0，由Δ＝0，可得k ＝2y 2，所以直线BN 的方程为y ＝2y 2x ＋y 22.联立，得⎩⎨⎧y ＝2y 1x ＋y 12，y ＝2y 2x ＋y22，解得x B ＝－1，y B ＝y 21－42y 1＝y 21＋y 1y 22y 1＝y 1(y 1＋y 2)2y 1＝4my 12y 1＝2m ，所以点B (－1,2m )， |BC |＝4＋4m 2，点B 到直线MN 的距离d ＝|2＋2m 2|m 2＋1＝4m 2＋4＝|BC |， 所以⊙B 与直线MN 相切．。
北大版高等数学课后习题答案_完整版
习题1.1222222222222222222.,,.3,3.3,,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,.,..,:(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解(1)222(1,3/2).(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).11,01,.1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},10{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a mA A m A a b ABC B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合= 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.|}.10n n nn a b a b mn b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.26426642642666613.(1,)1).13.(,).13||13,||1,3,11||3,(,).yy xx x xyxx x x x x x xx xx x xy y x=+∞===<>++=-∞+∞+++++≤≤>≤=++=≤∈-∞+∞证明函数内是有界函数.研究函数在内是否有界时,时证解习题1.4221.-(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.1)0,|,,||.,||,|,(2)0x ax a x a x a x ax aa x a e e x ax a x aεδεεεδδεε→→→→→=>===∀>=<<<-<=-<<=∀>直接用说法证明下列各极限等式:要使取则当时故证(222222,|| 1.||||||,|||||2|1|2|,1|2|)||,||.min{,1},||,1|2|1|2|||,lim(3)0,.||(1),01),1x ax a a x a x aax a x a x a x ax a x a a aa x a x a x aa ax a x ax a e e e e eeεεεεδδεεεε→---<-=+-<+≤-+<++-<-<=-<++-<=∀>>-=-<<-<<不妨设要使由于只需(取则当时故设要使即(.1,0ln1,min{,1},0,||,1|2|lim lim lim0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,2222,|,|cos cosx aax aax a x a x ax a x a x aeex a x a e ee ae e e e e ex a x a x a x ax a x a x a x aεεεδδεεδεδ-→+→-→<+⎛⎫<-<+=<-<-<⎪+⎝⎭===+-+-∀>-==≤-=-<-取则当时故类似证故要使取则当|时...(4)2|,lim cos cos.2.lim(),(,)(,),().1,0,0|-|,|()|1,|()||()||()|||1||.(1)1(1)lim lim2x ax ax xx af x l a a a a a u f xx a f x lf x f x l l f x l l l Mxxεδδεδδ→→→→<==-⋃+==><<-<=-+≤-+<+=+-=故设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数对于存在使得当 时从而求下列极限证3.:2002222200000221222lim(1) 1.222sin sin1cos11122(2)lim lim lim1.2222(3)0).22(4)lim.22332(5)lim22xx x xx xxxx x xxx xxxx xax xx xx xx x→→→→→→→→+=+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪====⎪⎪⎝⎭==>---=-------2.33-=-20103030300022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.13132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---⎛⎫-== ⎪+++-++-+⎝⎭+-==+-+214442100(2)31.(1)3244.63(1)1(1)12(10)lim lim lim .1(11)lim x x x nn n xy y x x x x n n ny y y x y n x y y→-→→→→→→→∞--==--+====-+++-+-===-1011001001010010120.(12)lim (0)./,(13)lim(0)0,, .(14)lim lim 1x m m m mnn n x n n mm m n n x nx x a x a x a a b b x b x b b a b m na x a x a a bn m b x b x b m n x --→--→∞→∞→∞==+++≠=+++=⎧+++⎪≠=>⎨+++⎪∞>⎩=+21.11/x =+03323223220312(12)5lim(112)55lim.3(112)(16)0,l x x x xx x x x x x xx x x x x x a →→→→-+=+-+=++-+==++-+>00im lim lim x a x a x a →+→+→+⎛⎫=⎛⎫=00lim lim x a x a →+→+⎛⎫=⎫==000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin (1)limlim lim cos .tan sin sin(2)sin(2)2(2)lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5xx x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x xx x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭=====-=-利用及求下列极限:00()1/0321.sin 5555(4)lim lim 2cos sinsin sin 22(5)lim lim cos .2(6)lim 1lim 1lim 1.(7)lim(15)x x x a x a kxxxk kk k x x x yy x x xxx a x a x a a x a x ak k k e x x x y →→+→→----→∞→∞→∞→=-===+--==--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦-=51/(5)50100100lim(15).111(8)lim 1lim 1lim 1.5.lim ()lim ().lim ():0,0,0|-|().lim (y y x xx x x x ax x a x y e e x x x f x f x f x A x a f x A f x δδ--→+→∞→∞→∞→→-∞→→-∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+∞=-∞=+∞>><<>给出及的严格定义对于任意给定的存在使得当时):0,0,().A x f x A =-∞>∆><-∆<-对于任意给定的存在使得当时习题1.5222 21.(2)sin5.(1)0,|.,,|||||,0555()(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.22xx x axx x x xx a x ax aεδεεεδδεεε-==∀>=<≤<<=<<=+-∀>-=<试用说法证明连续在任意一点连续要使只需取则当时有连续.要使由于证000000555()2|cos||sin|5||,5||,||,225,|||sin5sin5|,sin55()()0,0||()0.(),()/2,0||(x a x ax a x a x ax a x a x x a y f x x f x x x f xf x x f x x xf xεεεδδεδδεδδ+-≤--<-<=-<-<==>>-<>=>-<只需取则当时有故在任意一点连续.2.设在处连续且证明存在使得当时由于在处连续对于存在存在使得当时证000000000000 )()|()/2,()()()/2()/20.3.()(,),|()|(,),?(,),.0,0|||()()|,||()||()|||()()|,||.f x f x f x f x f x f xf x a b f x a bx a b f x x xf x f x f x f x f x f x f xεδδεε-<>-=>∈>>-<-<-≤-<于是设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立任取在连续任给存在使得当时此时故在连续其证0001,,(),()|11,ln(1),1,0,(1)()(2)()arccos, 1.0;lim()lim1(0),lim()(0)x x xxf x f xxax xxf x f xa x xa x xf x f f x fπ→-→→+⎧=≡⎨-⎩+≥⎧<==⎨<+≥⎩⎪⎩=====逆命题是有理数不真例如处处不连续但是|处处连续.是无理数4.适当地选取,使下列函数处处连续:解(1)11112sin2limsin31.(2)lim()lim ln(1)ln2(1),lim()lim arccos(1)ln2,ln2.5.3:(1)lim cos lim cos0 1.(2)lim(3)lim xx x x xx xxxxxaf x x f f x a x a fae eπ→→+→+→-→-→+∞→+∞→→==+====-===-=====利用初等函数的连续性及定理求下列极限sin22sin33.(4)lim arctan arctan1.4xxx xeπ→∞→∞====()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0lim [(ln ())()]ln 22.7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈⎧≠==⎨=⎩+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.,011,sin,12,11,01,2(5)(),12,2,1,2 3.1x x x x x x f x x x x x xπ⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪-⎩⎧≤≤⎪-⎪=<≤=⎨⎪⎪<≤-⎩间断点第二类间断点.间断点第一类间断点.0000008.(),(),()()()()()()()()()()(()())()()()()()0,()().y f x y g x x h x f x g x x f x g x x h x f x g x x x g x f x g x f x x x f x g x x f x g x D x ϕϕ===+==+=+-=≡=R R 设在上是连续函数而在上有定义但在一点处间断.问函数及在点是否一定间断?在点一定间断.因为如果它在点连续,将在点连续,矛盾.而在点未必间断.例如解习题1.600001.:()lim (),lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞→-∞=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212121121121112212221212121212),,(,),0,0,(,)()()().()(),.()(),()()()()()()()(),[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=+==<+++=≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤∀∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.f x x ξξξ-===+取第一章总练习题221.:581 2.3|58|1422.|58|6,586586,.3552(2)33,52333,015.5(3)|1||2|1(1)(2),2144,.22|2|,.2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式（）或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解222312312,4,(2).32,41(2), 4.313.1.22,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.222221211,.22123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤⎧⎪=⎨->⎪⎩<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则解证1231111121211222112312222222124(1)(1)3222,22221..1(1)(2)123(1).(1)1(11)1(1)1,(1)(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nxx x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===--即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1212.1(1)123(1)(1)(1)n n n nnn n x nx x x nxn x n xx +--++++++++=++-等式成立设等式对于成立,则122122112211221221(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=--+++-++=--+++-++=--+++-++=--+++=-+即等式对于成立.,.|2|||25.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()(4)224211222422(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.41224/,2(2)()x x f x xf f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?解00022222222;2,20;0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-→+→-→--→--→-+→-+→--→-⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.求003,;2(2)()0?(3)()?391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.244(2).lim ()lim[14]14(0).(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=-=-=-+=-=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.7.,0,,:(1)(1);(2)(1).n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明1111111()()(1),(1).118.1,2,3,,1,1.:{},{}..111,1,7,111n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b an a b n n a b a b a b n nn ++--+++--+++=<+++=+--->+-⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<+=++⎛+ ⎝类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11111111111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n nn n nn nn nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++⎫⎛⎫-+⎪ ⎪+⎛⎫⎭⎝⎭<++ ⎪⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎛⎫⎝⎭++< ⎪+⎝⎭111111121111111111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.111n n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n +++++++⎛⎫-+⎪ ⎪+⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++<+-+ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++>+ ⎪++⎝⎭⇔我们证明22111211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.nn n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++⇔>++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫→∞+→+→+<<+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭最后不等式显然成立当时故9.求极限22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx ax nxf x nx a →∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++==→→∞=≠+===+作函数)的图形.解解0;1/,0.x x ⎧⎨≠⎩1111.?,()[,]|()|,[,].,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b <∀∈≤≤∀∈=+<∀∈<∀∈-<<∀∈1在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x xπ==+<<∀∈+≤+<+=<∀∈==证明若函数及在上均为有界函数则及也都是上的有界函数存在证明在的任一证,0().11(,),00,,,(),1()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,21/20().n x f x M n n M f n M n nf x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证11111000114.lim (1)ln (0).1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.ln(1)ln(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,ln (1)ln ().ln(1)15.()()nn nn n n n n y y y y y n nn n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞→∞→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证00002022222220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 116.lim.22sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞→∞→→→→→→===-=⎛⎫-==== ⎪⎝⎭定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.任取一个无理数取有理数序列证明证证0011000000001.2ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .ln(1)(1)lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1.(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim1.1x a xa y x y y y y y x a a a x x aa ax x x y y a a y e e e y x y y y e ye e e e e y e e e y x x x y ye e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++==证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x ax ay f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M Mδεδδεδδδδεε→→====<<-<>><-<<=<-<=<=设在点附近有定义且有极限又设在点附近有定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.x af xg x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).y f x c g x f x f x c g x c f x cc f x c g x g x =-∞+∞≤⎧⎪=>⎨⎪-<-⎩-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下 当当当试画出的略图并证明在上连续0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().(),0,||()lim ()lim ().(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|<c,g(x)=f(x),若则存在当时,g(x)=c,若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0.()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.120.()[,],[()()()],3,,[,].[,],().()()(),(),.()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},()(),[,],,[,],().21.()(),()g(),,.0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,000000||()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet ..,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+⎛⎫= ⎪+⎝⎭不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.23.求下列极限:证222001/112132100;2tan 5tan 5/5(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥===设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .lim ,(),().(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞→∞++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,证111lim ,lim lim ()(lim )().25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞→∞→∞→∞======-∞+∞==+==∀∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证11.,()(11)(1).1(0)(())()()(),().().1111,(1)()()()(),().11()()().,n n n n n n nn mmm n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),()lim ()lim ().nn n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞→∞=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性习题2.1201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,?x l O x x m x x x l x x m mx mx ∆→=≤≤∆∆∆∆∆∆设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m mx x x x x x∆→∆→∆→∆=+∆-=+∆+∆-=∆+∆∆∆+∆∆==+∆+∆∆∆∆∆∆=+∆=∆∆是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解333032233222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5.()(1)lim(33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim(2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y xx x x x x x x a a x x x x ax xp x x px x x xy p x xx p ∆→∆→∆→∆→∆→∆→==>=+∆-'=∆+∆+∆+∆-==+∆+∆=∆+∆-+∆-'==∆∆+∆=根据定义求下列函数的导函数解0000000)()2lim()()212lim.25(2)52cossin sin 5()sin 522(3)limlim55(2)552cos sin sin5(2)2222lim 5lim cos lim 5522x x x x x x x x x x x x xp x x x x x x x x p p x x x xx x xx x xy xxx x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→-+∆+∆=∆+∆+∆+∆+==+∆++∆∆+∆-'==∆∆+∆∆∆+∆==∆∆5cos5.2x x =00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11).(1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1.(2)2,(3)6,:116(3).4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,.2p F x ⎛⎫⎪⎝⎭,并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴200022222222,,().22(),.,2222,.222,.p p py px y M PMN Y y X x yy px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x pxp p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '===-=--=-=-=-⎛⎫⎛⎫=+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++=+=+=∠=∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠=∠=∠过点的切线方程：切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证2005.2341,.224,1,6,4112564(1),4 2.:6(1),.444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====⎛⎫-=-=+-=--=-+ ⎪⎝⎭曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解323226.,,;(),,, (1)():(2)();(3)().()lim ()lim,lim ()limr R r R r R r R r g r GMrr R R g r R M G GM r R rg r r g r g r r GMr GMr R g r g r R RGM g r r →-→-→+→+⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩≠====离地球中心处的重力加速度是的函数其表达式为其中是地球的半径是地球的质量是引力常数.问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GMg r g r r R R→-==在连续.(2)33(3)()2(),()(),().r R g r GM GMg R g R g R g r r R R R-+-≠'''==-≠=时可导.在不可导227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.34111113,,3(),()3.2222P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=⎧⎪'=++=+=⎨⎪+=⎩==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解3222222222228.:(1)87,24 1.(2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22.(56)122(5)1(1),.11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=---23322222226(6)(1),.1(1)1(21)(1)1(7),.(8)10,1010ln1010(1ln10).sin cos sin (9)cos ,cos sin .(10)sin ,sin cos (s x x x x xx x x x x x x x x y x y x x x x x e e x x x x y y e e ey x y x x x x x xy x x y x x x x x y e x y e x e x e -'=≠=--+++-++-+-'==='==+=+-'=+=-+'==+=in cos ).x x +00000001001100009.:()()()(),()0().()()(1)(2).()()(),()0()()()()()()(()()())()(),(m k k k k k P x P x x x g x g x x P x m x P x k x P x k k P x x x g x g x P x k x x g x x x g x x x kg x x x g x x x h x h x ---=-≠'->=-≠''=-+-'=-+-=-定义若多项式可表为则称是的重根今若已知是的重根,证明是的重根证00)()0,()(1)kg x x P x k '=≠-由定义是的重根.000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0.()(0)()(0)()(0)(0)lim limlim (0),(0)0.()()11.(),lim22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f xx x f x x f x x f x x f x→→→∆→--=''=-----'''==-=-=-+∆--∆'=∆若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→∆→∆→∆→+∆--∆+∆--∆-⎡⎤=-⎢⎥∆∆∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤=+⎢⎥∆-∆⎣⎦+∆--∆-⎡⎤'=+=+⎢⎥∆-∆⎣⎦证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度.222222422222()()()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ),()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ).y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解y =x 21/1/1/1/1/000013.,0()10, 00.1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.().()limxx x x x x x x x x xx f x ex x x x e e f f x e xe f x x a x x x a a f x x a f a ϕϕϕ→-→-→+→+-→⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩=++''======++=-=≠='=求函数在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+解证()()()()(),()lim ()().a x a a x x x a x a a a f a x a x aϕϕϕϕ-→---''=-==≠--+-f习题2.2()()()22221.,:111(2)[ln(1)],.[ln(1)](1).111(3)2.22x x xx x xx xx x x x''=-=-='''-=-=-=---'''⎡==⎣'''⎡=+=⎣=下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正错错错3322222()221(4)ln|2sin|(14sin)cos,.2sin1ln|2sin|(14sin cos).2sin2.(())()|.() 1.(1)(),(0),(),(sin);(2)(),(sin);(3)u g xx x x xx xx x x xx xf g x f u f x xf x f f x f xd df x f xdx dx=='⎡⎤+=+⎣⎦+'⎡⎤+=+⎣⎦+''==+''''错记现设求求[]()[][]2222223(())(())?.(1)()2,(0)0,()2,(sin)2sin.(2)()()224.(sin)(sin)(sin)2sin cos sin2.(3)(())(()),(())(())().f g x f g xf x x f f x x f x xdf x f x x x x xdxdf x f x x x x xdxf g x f g x f g x f g x g x''''''====''===''==='''''=与是否相同指出两者的关系与不同解()()()222233312232323.2236(1),.111(2)sec,(cos)(cos)(cos)(cos)(sin)tan sec.(3)sin3cos5,3cos35sin5.(4)sin cos3,3sin cos cos33sin sin33sinx xy yx x xy x y x x x x x x x y x x y x xy x x y x x x x x---'==-=----'''===-=--='=+=-'==-=求下列函数的导函数:2(cos cos3sin sin3)3sin cos4.x x x x x x x-=22222222222232222222241sin 2sin cos cos (1sin )(sin )2(5),cos cos sin 2cos 2(1sin )(sin ).cos 1(6)tan tan ,tan sec sec 13tan sec tan tan (sec 1)tan .(7)sin ,s ax ax x x x x x x x y y x x x x x x x xy x x x y x x x x x x x x x y e bx y ae +-+-'==++='=-+=-+=-=-='==5422in cos (sin cos ).(8)cos 5cos sin 11(9)ln tan ,sec 24224tan 2411112tan cos 2sin 24242ax ax bx be bx e a bx b bx y y x x y y x x x x ππππππ+=+'==-=⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭==⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos 42411sec .cos sin()211()()1(10)ln (0,),.22()x x x x x a x a x a x a y a x a y a x a a x a x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===+-++--'=>≠±==+-+-22222222224.:11(1)arcsin (0),11111(2)arctan (0),.1(3)arccos (||1),2arccos 1111(4)arctan ,.111(5)ar 2xy a y aa a x y a y a a a a a x x a y x x x y x x y y x x x xa y '=>==-'=>==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=<=-'===-++=求下列函数的导函数csin (0),x a a>22222222(6)ln(0)212(7)arcsin,1ya xy aayxy xx'=+==+=>⎛⎫'=++===≠±+22222222221.2112sgn(1)2.111(8)(0).212211sec2()tan()cos()s22xx x xyx xxxy a bxyxx xab a b a b a b--'===++-⎫=>≥⎪⎪⎭⎛⎫'= ⎪⎝⎭==++-++-2in21.cos(9)(1ln(1ln(1ln(1 /.(10)(11)(12)xa b xy yy yy yy yy y=+=+++=++++ '=+⎡⎤'='=='==y y'==222222222311(13)ln(),1.21(14)(1)(31)(2).ln ln(1)ln(31)ln(2),331211131321211.13132(15),(1).(16)xxxx e x e x x e x y x x a y x x a x a x ay x x x y x x x y y x x x y y x x x y e e y e e e e e ⎛⎫'=++=+= ⎪++++⎝⎭=-+-=-+++-'-=++-+--⎡⎤'=++⎢⎥-+-⎣⎦'=+=+=+11112(0).ln ()ln ln ln ln .aaxa a xaaxa x a a a x a a x a ax a a x y x a a a y a x a a ax a aa aa x a aa x a a a ----=++>'=++=++222225.()1()()84,tan (),24001001()arctan ,()100110t x t t x t t t t t t t t θθθθ===='==+2一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s 垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角的变化速率是多少?解222110,(10)0.1(/).505010101006.,2m t s θπθ'==⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭弧度在图示的装置中飞轮的半径为且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为=时,活塞向右移动的速率是多少?20()2cos8(8)()16sin8,811()8,,,()16.2161616m/s.x t t t x t t t t t t x ππππππαπππ='=-'====-活塞向右移动的速率是解习题2.323222(1)(1).1.0,?(1)10100.1(2)2(3)(1cos)2sin ,222.:0,()().()().()()3.()()(0),()()(0).o o o x o o o x x y x x x y x xy x x x x x x x x x x x x xx x x x x x αααααβ=→=++===-=→=====→=→当时下列各函数是的几阶无穷小量阶.阶.阶.已知当时试证明设试证明证00(1)(1)(1)()()()(0).()()()().()()().4.(1)sin ,/4.sin cos ,1,1.444(2)(1)(0).o o o o o o o x x x x x x x x x x xx x x x y x x x y x x x y dy dx y x y ααβαβαβππππα+=→+=+=+=+=⎛⎫⎫⎫''===+=+=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭=+>':上述结果有时可以写成计算下列函数在指定点处的微分:是常数证122(1),(0),.5.1222(1)1,,.11(1)(1)(2),(1).(1).26.(1),3 3.001,11,(3).222.001x x x x x x y dy dx x dx y y dy x x x x y xe y e xe e x dy e x dx y x x x y y αααα-'=+==-'==-+=-=-++++'==+=+=+=≠-''=-∆=求下列各函数的微分:设计算当由变到时函数的增量和向相应的微分.22解 y =-(x -1)1222113333332220.0010.0011,.2.00127..1.162(1) 2.002.5328.:11(1)(0).0,.33(2)()()(,,).2()2()dy y x y a a xy y y x x a y b c a b c x a y b y ---=-=-==+=⎛⎫''+=>+==- ⎪⎝⎭-+-='-+-=求下列方程所确定的隐函数的导函数为常数0,.x ay y b-'=--。