高数第十章线面积分习题和答案

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高数第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时，曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++，则⎰⎰∑dS z y x222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)

； .
于是所求的曲面积分为
.
（2），其中为旋转抛物面介于之间部分的下侧。
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（3），其中为，的上侧；
解在面上的投影为半圆域，，
=
= =
由对称性 = ， =
∴原式= =
（4），其中是由平面，，，所围成的四面体的表面的外侧。
，
其中为上半球面，，，故
，
其中是在坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得
= ，
是一个无界函数的反常积分，按反常积分的计算方法可得
，
故
。
解法2设球面方程为，定直径在轴上，依题意得球面上点的密度为，从而得球面的质量为，由轮换对称性可知：，故有
．
2设某流体的流速为，求单位时间内从圆柱：（）的内部流向外侧的流量（通量）。
，其中从变到，
故
。
解法2作有向线段，其方程为
，其中从变到，
则有向曲线与有向线段构成一条分段光滑的有向闭曲线，设它所围成的闭区域为，由格林公式，有
，
即
，
而
，
故
。
3．计算 ,其中为平面在第一卦限中的部分；
解将曲面投影到面上，得投影区域为，此时曲面方程可表示为
，
于是
，
。
4. 计算 ,其中是球面的上半部分并取外侧；
解如右图所示，因为闭曲面取外侧，所以取下侧，取后侧，取左侧，取上侧。于是

第十章__曲线积分与曲面积分

(二) 线面积分的计算方式 1．曲线积分的计算⑴ 大体方式：曲线积分−−−→转化定积分第一类线积分：设),(y x f 在曲线弧L 上有概念且持续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，()t αβ≤≤,（要解决一、积分限，二、被积函数，3、弧微分）其中(),()t t ϕψ在[,]αβ上具有一阶持续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，那么(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰【例1】求yLxe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a t a y a t=⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解（法一）ds adt ==,故原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例2】求()Lx y ds +⎰，其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为极点的三角形(图边界.解()()()()LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰111xdx ydy =++=⎰⎰⎰【例3】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为cos (),22r a ds ad ππθθθθ=-≤≤==则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰【例4】求22()Lxy ds +⎰，其中L 是曲线(cos sin ),x a t t t =+(sin cos ),(02,0)y a t t t t a π=-≤≤≥解 ds atdt =，于是22222220()[(cos sin )(sin cos )]Lx y ds a t t t a t t t atdt π+=++-⎰⎰232320(1)2(12)a t t dt a πππ=+=+⎰第二类线积分：设(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上有概念且持续，L 的参数方程为(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩，当t 单调地αβ→时，（要解决一、积分限，二、被积函数，3、弧微分）点(,)M x y 从L 的起点A 沿L 运动到终点B ，(),()t t ϕψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶持续导数，且'2'2()()0t t ϕψ+≠，那么''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰【例1】求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧.解由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰【例2】求ABC dx dy x y ++⎰，其中ABC 如下图解（法一）:,:10,,1:,:01,1x x AB x dy dx y x x x BC x dy dxy x =⎧→=-⎨=-⎩=⎧→-=⎨=+⎩原式=0110()2(1)1AB BC dx dy dx dydx dx dx dx x y x y x x x x-+++-++=+=-+++--++⎰⎰⎰⎰解（法二）因为 1x y +=,又 ()dx dy d x y +=+,故原式=(1,0)(1,0)()2x y -+=-【例3】求2222()()Cx y dx x y dy ++-⎰，其中C 为曲线11y x =--，(02)x ≤≤解当01x ≤≤时，1(1)y x x =--=，那么dy dx =；当12x ≤≤时，1(1)2y x x =--=-，那么dy dx =-；12222222222014()()2[(2)(2)]3Cx y dx x y dy x dx x x x x dx ++-=++--+-=⎰⎰⎰ B(0,1)B(0,1) A(1,0)C(-1,0)xy图⑵ 大体技术① 利用对称性简化计算；【例1】求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰【例2】求221[()(1)]22Cy I x ds =+++⎰,其中22:1C x y += 解利用对称性2222222255[()()]()(()0)444451155515()2()284282424C C C C C y y I x x y ds x ds x y ds x y x y ds ds πππππ=++++=+++=++=++=++=+=⎰⎰⎰⎰⎰② 利用格林公式(注意：添加辅助线的技术)；【定理】格林（Green ）公式设函数(,)P x y 和(,)Q x y 在分段滑腻的闭曲线L 所围成的闭区域D 上具有一阶持续偏导数，那么有()LDQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰其中L 是D 的正向边界.【例1】计算22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y--+++⎰,其中L 是222x y a +=,顺时针方向 ● 计算关于坐标的曲线积分第二种解法: 利用格林公式求解，计算前必需利用代入技术,消去分母,不然工作量太大.因为L 是反向的,因此利用格林公式是需要补加一个负号.解将222x y a +=代入被积分式中，22222222sin x L e x y xy y dx dy x y x y --+++⎰=()()222221sin x Le x y dx xy y dy a -+-⎰ 2222,sin ,x P e x y Q xy y =-=- 22.Q P y x x y∂∂-=+∂∂ 依照格林公式，原式()2222221x y a xy d a σ+≤=-+⎰⎰232001a d r dra πθ=-⎰⎰22a π=-。

线面积分复习JD.docx

高数下册第十章-曲线积分与曲面积分练习题（一）・复2填1・设曲线L:x2 +y2 =4 ,则曲线积分j（x- y + V）^x2 + y2ds = 8兀・2 2复3填1・设椭圆厶：—1的周长为Q,且椭圆厶上任意一点处的质量密度为3 4厂（兀,刃=4兀2+3尸+2心，则该椭圆构件的质量M = \2a・2 21 •设椭圆厶:—+ ^- = 1的周长为°,则L（1+4兀2 + 3y2 + 3兀2y）ds = 13a・3.设曲线厶：，+）/=]上任意一点处的质量密度p（x,y） = （x+y）2,则该曲线构件的质量M = 27V ・复5填1・设曲线厶：/+）'二]上任意一点处的质量密度。

（兀，刃=X2 4- y2 + 2 ,则该曲线构件的质量M= _______________ ・(二)・复1选1・设有向曲线厶为y = x2,从点(1,1)到点(0,0),则J /(x, y)dy = ( C )・J厶A . f(x,x2)clx; B. ^2xf(x,x2)clx ;C. J：/(V7，y)dy；D. 芳・复2选1.设有向曲线厶为『=仮，从点(1,1)到点(0,0),则\L y)dx = ( B ).A. [/（兀仮）如D.复1三、（5分〉计算曲线积分J/Fyh,其中厶为连接两点（1,0）及（0,1）的直线段.解：厶的方程为y = \-x（ 0 < x < 1 ）, y = -1 （1分）『厶x2yds = J。

%2（1 - x）y[2 dx（3 分）复2三、（6分）设曲线L:y = 2x+l （0<x<l ）上任意一点处的质量密度为p （x, y ） = xy ,求该曲线构件的质量M. 解：_/ = 2 , ds = yfidx ,M = j xy ds= 7A /5 复5三•计算曲线积分£ y(l - x)ds , 三角形的整个边界.解：OA:y = 0 （0 < x< 1）AB \ y = \- x (0 < x < 1) , ds - 4^dx ,L y(1 一 x)d$ = J ； (1 一 x) 2 y[2dx = ¥ ' OB : x = 0 (0 < y < 1) , ds = dy, \oB y(\-x)ds = \\)y dy=^1 J? 所以 $ y(l - x)ds =——i--—・2 3复3三、计算曲线积分削xds,其中厶为由及所围成区域的边界. 解：厶：y =兀(0 井 x 1) , ds -4^dx,（3分）L 2 : y= x 2 (01) , ds = Jl + 4x 2 dx,12（5分）（1分）J （）x （2x+1）亦心（5分）（6分）其中厶为0（0,0）,A （1,0）,B （0,1）三点所^xds=xj 1 + 4x 2 dxo=J1+ 4才 d(l+ 4x 2)（3分）1 2 护+4“5A /5- 1 12y(l - x)ds = 0 ,所以 51 xds =竺5—I +. （1 分）5 1226. 计算\L Jyds,其中厶是抛物线y = X 2上点0（0,0）与点B （l,l ）之间的一段弧.解厶的方程y = x 2（0 < x < 1）,ds = y]l + (x 2 )fl dx = 71 + 4x 2 dx. 因此J y[yds = j V? • J1 + 4” dx=J xy) 1 + 4x 2 dx= ±(575-1).0丄厶7.设曲线厶是y = 2x, y = 2和x = 0所围三角形区域的边界，求线积分7 =xyds .解令厶=/j + /2 + /3 ,其中厶为 y = 2%, 0 < x < 1 , ds = y[5dx ；厶为 = 2, 0 < x < 1, ds - dx ；厶为 x = 0, 1 < y < 2 , ds - dy /二 J x2x>/5dx + j 2xdx + 0 二—V5 +0 0（三）・复2四、（6分）求质点在平面力场F （x, y ） =y7 + 2xy 作用下沿抛物线L : y = \-x 2从点（1,0）移动到点（0,1）所做的功W 的值.=|] [1 - x 2 + 2^(-2x)]t/x =j (l-5x 2)rfx（6分）复1四、（7分〉验证平面力场F （x,y ） =cosxsin y ~i + sinxcosy;所做的功与路径无关，并求质所以解:W = ^yclx + lxdy（2分）（4分）（5分）点在力戸的作用下沿直线厶从点(。

(整理)高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分：（1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

《高数》第十章习题课-线面积分的计算

12
练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10 3(5). 计算
其中L为上半圆周提示:
沿逆时针方向.
I ex sin y d x (ex cos y 2)dy 2 ydx
L
L

2 ydx
L AB AB
L
L
:
xy

a a
(1 cos sin t
其中L为上半圆周
沿逆时针方向.
P185 6 . 设在右半平面 x > 0 内, 力
构成力场,其中k 为常数,
场力所作的功与所取的路径无关.
证明在此力场中
P185 10. 求力
沿有向闭曲线所作的
功, 其中为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
3
16
二、曲面积分的计算法
1. 基本方法
曲面积分

第一类( 第二类(
对面积对坐标
) )
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影

第一类: 第二类:
始终非负有向投影
(3) 确定二重积分域
— 把曲面积分域投影到相关坐标面
17
2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算重心公式
20
例4. 设为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的单位外法向向量, 试证
证明: 设 n (cos , cos , cos )
(常向量)
则 cos( n ,a ) d S n a 0 dS

曲线积分与曲面积分期末复习题高等数学下册 (上海电机学院)

第十章曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y-+=+⎰CA.0B.2C.4D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰DA.2π-B. 2πC.0D. π4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B.π C. 14π D. 12π5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑的值为 [ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A.21 B. 21- C. 22 D. 22- 8. 设I=⎰L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ）A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdy ydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )y x (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑83π。

大学高数第十章曲线积分与曲面积分课后参考答案及知识总结

解：设围的区域为D
，
原式=
注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有 .
★★4.利用曲线积分，求星形线所围成图形的面积。
解：由公式
★★5.求双纽线所围区域的面积。
解：双纽线的极坐标方程为：
由图形的对称性知：
★★6.计算，其中为圆周的顺时针方向。
解：参数方程为：变化从到
原式
原式
法二：线积分与路径无关。
原式 =
★★15.利用曲线积分，求下列微分表达式的原函数：
(1) ;
(2) ;
(3) .
解：(1) ,
是某函数的全微分
.
(2)
是某函数的全微分
.
(3)
是某函数的全微分
★★16.设有一变力在坐标轴上的投影为，，改变力确了一个力场.
证明质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关.
(1)螺旋形弹簧关于轴的转动惯量 ;
(2)螺旋形弹簧的重心.
解:
(1)
.
(2)
螺旋形弹簧关于平面的静力矩分别为：
同法得：
.
,
.
提高题
★★★1.计算，其中为正向圆周，直线及轴在第一项限内所围成的扇形的整个边界.
解：与在第一象限的交点为 .
如图：
;
; .
则原式
★★★★2.计算，其中为圆柱面与锥面的交线.
解：摆线的参数方程为：
原式
★★5.计算曲线积分，其中为螺旋线上相应于从到的一段弧。
解：
原式
★★6.计算曲线积分，其中为折线 ,这里 , , , 依次为点，，， .
解：如图，原式=

第十章曲线曲面积分(习题及解答)

第十章曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段 AB 为，则曲线积分有关系( ).(A )(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B ) (,)d (,)d A B B Af x y sf x y s =⎰⎰；(C ) (,)d (,)d 0A B B Af x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =--⎰⎰．答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23ttC x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=,它的质量M =( ).(A )10t ⎰; (B )1tt ⎰;(C)t ⎰; (D)t ⎰. 答(A ).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分O MI s=⎰不相等的积分是( ).(A )10x ⎰; (B )10y ⎰;(C)d rr ⎰; (D )1er ⎰ 答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A )43d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)33d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y ⎛- ⎝⎰; (D)4034x x x ⎛- ⎝⎰. 答(D). 5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A )x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x ⎰; (D)y ⎰. 答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d Lx y s +=⎰( ).(A ); (B)2; (C) (D) 答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d LI x s =⎰与52d LI x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d Lx y s +=⎰..3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d nLx y s +=⎰.答：212a a π+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d Lx y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d LI x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d Lx y s -=⎰.答:2)2e --.7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段,则Ls =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分： (1)d Lx s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答： 11)12.(2)Ls ⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+- ⎪⎝⎭(3)2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABC D ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s ⎰其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅ (5)22()d Lx y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤.答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分一、选择题1. 设AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A )2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C).2. 设C 表示椭圆22221x y ab+=,其方向为逆时针,则2()d Cx y x +=⎰ ( ).(A )ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B).3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰(C)21[(73)2(51)]d x x x -+-⎰; (D)21[(73)(51)]d x x x -+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2t π≤≤,则22d d Cx y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)220cos sin ππ-⎰⎰(D)201d 2t π⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰; (D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A )0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C). 二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0.2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-.3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y =(2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰.答：43.5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d Lxy y =⎰.答：32aπ-.6．设(2)d (23)d 9Lx y x x y y -++=-⎰ ,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32.三、解答题1．计算()d ()d Lx y x y x y ++-⎰,其中L 为:(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧;(2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d Ly x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0.3．计算22()d ()d Lx y x x y yx y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针).答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d Lx xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-.§10．3 格林公式一、选择题1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)23d d R r r πθ⎰⎰； (B)2200d d Rr r πθ⎰⎰;(C)23d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)22d d R R r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向,则3223()d ()d Lx x y x xy y y -+-⎰ = ( ).(A )323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D).3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d Cx y y x -=⎰( )(A )8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d LP x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A )0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q P x y ∂∂-=∂∂; (C)0P Q xy∂∂-=∂∂; (D)0P Qxy∂∂+=∂∂. 答(B).5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4Lx y y x x y-=+⎰( ).(A )4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4Lx y y x I x y-==+⎰( ).(A )因为Q P xy∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q Px y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在; (C)2π; (D)因为Q P xy∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A )P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂;(C)P Qxy∂∂=-∂∂; (D)P Q yx∂∂=-∂∂. 答(D).8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A )0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B).9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段, 则(3)d (3)d Lx y x y x y +++=⎰( ).(A )2311(3)d (6)d x x y y +++⎰⎰; (B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰.答(A ).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A )1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d Lx y y x -=⎰ .答: 2σ.2. 设(,)f x y 在22:14xD y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰ .答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针,则2(2)d (4)d Lxy y x x x y -+-=⎰ .答: 27π-.4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数, 则d d Lax y by x x y-+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABC D A 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx y x y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d yLe y =⎰.答: 0. 7.(2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答:22d 14LP xQs x++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d xLf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x =.答:2x xe e--.三、解答题1. 计算22d d 2()Ly x x y x y -+⎰ ，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.答:π-.2. 计算(24)d (536)dLx y x y x y -+++-⎰ ，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12. 3. 计算3222(2c o s )d (12s i n 3)d Lx y y x x y x x yy -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭的一段弧.答:24π.4. 计算22()d (sin )d Lx y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y =上由(0,0)到(1,1)的一段弧.答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰.答:52.(2)(2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰.答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-. 答: (1)22222xyxy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.7. 用格林公式计算223()d (2)d Lx x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y =(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d Lxy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y =(1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y -⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x Sx S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (B )1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z Sz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (D )1d 4d x y z S x y z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰212d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d xy S ∑+=⎰⎰12d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d xy S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰212d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分,则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ). (A)4d d xyD x y ⎰⎰; (B)4d d 3xyD x y ⎰⎰;(C)234d d 3x y ⋅⎰;(D)324d d 3x y ⎰;. 答(B).6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰( ).(A)2222d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰;(B)22200d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)22d )d r r r πθ-⋅⎰⎰;(D)220d d r r r πθ-⎰⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x yz S ∑+=⎰⎰ ; (B )22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰ ;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰. 答(C).二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰ .答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑=⎰⎰ .答: 0.3. 设∑为上半球面z =,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰ .答: 23a π.6. 设∑为上半球面z =,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++=⎪⎝⎭⎰⎰.答: 8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答:6.9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-.三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1)136π; (2)14930π; (3)11110π.2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰ ,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答:2.3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分.答: .5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰2222()d d xyD a x y x y --⎰⎰;(C)2d d zx y ∑=⎰⎰ 0; (D ) (A)(B)(C)都不对. 答(C).2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D)d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 303d y x ⎰⎰; (B)3002d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)30d z x ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=,∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d xy z x y ax y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰ ;(B)12222()d d 2d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰ ;(C)2222222()d d 2d d x y ax y z x y ax y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B)110d (1)d x x x y y ---⎰⎰; (C)110d (1)d xy x y x ---⎰⎰; (D) 110d (1)d x y x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1.3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰ ..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰ ..答:343a π.5. 设∑为球面2222()()()x a y b z c R-+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰ ..答:343R π.6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰ .答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答:77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答:32π.3. 计算d d d d d d x z x y x y y z y zz x ∑++⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答:18.4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.答:(1)32d 555P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰;(2) S ∑⎰⎰.§10．6 高斯公式一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B )1d d d d d d 3x y z y z xz x y∑++⎰⎰ ; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D)1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰ .答(B).2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ ( ).(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++=⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰ ;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰;(C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰;(D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰ (cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰ .答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d xy z z y x y ∑++=⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰ 2(321)d d d xx x y z Ω-+⎰⎰⎰;(C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D)2d d (2)d d xx y z y y z ∑++=⎰⎰ (22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰ .答:343a π.2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答:525a π.3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .答: ()a b c abc ++.5. 向量A y z i z x j x y k =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π.三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a .2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑为球面2222x y z a ++=外侧.答:525a π.3. 计算2232d d ()d d (2)d d x z y z x y z z x x y y z x y ∑+-++⎰⎰ ,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.答:525a π.4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰ ,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰ ,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答:32.6. 计算22d d (2)d d d d 2z x y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰ ,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:4π.7. 计算曲面积分3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑+++-⎰⎰,其中∑为曲面z =z =.答: 326(1cos 2)5π⋅⋅-.8. 计算曲面积分222d d d d (1)d d xyy z z z x z x x y ∑++-⎰⎰ ,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=. 9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧.答: 8π.§10．7 斯托克斯公式一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A)d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y zz x x y x y z P Q R ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(B)d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z PQRαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q R αβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰;(D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}d ,d ,d ij k x y z x y z PQR∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(0a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰ ( ).(A) 23a ; (B )26a ; (C )22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰ ( ).(A) π; (B)6π; 9π; (D) 0. 答(C).二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u =.答: 0 .3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k =-+-+-,则rot A = .答: 246i j k ++.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++ ,则rot A =.答: 222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+- .三、解答题1. 计算d d d y x z y x z Γ++⎰,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若高等数学第十章曲线曲面积分第 21 页学院专业学号姓名从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰ ,其中Γ为椭圆222x y a +=, 1(0,0)xya b a b +=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x x z y y z z Γ-+⎰ ,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰ ,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰ 化为曲线积分,并计算积分值,其中A 、∑及n分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++ ,∑为上半球面z =的上侧, n 是∑的单位法向量.(2) ()A y z i yzj xzk =-+- ,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。

10作业答案新高等数学下第十章习题及答案

第十章曲线积分与曲面积分1、计算以下对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ln ds y x )(22，其中L 为圆周)20( sin ,cos π≤≤==t t a y t a x .解 ⎰+L nds y x)(22⎰+-+=π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n⎰+-+π20222222)cos ()sin ()sin cos (dt t a t a t a t a n ⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）⎰+Lds y x )(，其中L 为连接（1，0）及（0，1）两点的直线段.解 L 的方程为y 1x (0x 1)⎰⎰'-+-+=+12])1[(1)1()(dx x x x ds y x L 22)1(10=-+=⎰dx x x（3）⎰L xds ，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 L 1 y x 2(0x 1) L 2 y x (0x 1)xdx L⎰xdx xdx L L ⎰⎰+=21⎰⎰'++'+=12122)(1])[(1dx x x dx x x⎰⎰++=10102241xdx dx x x )12655(121-+=. 二、计算以下对弧长的曲线积分：（1）⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.解 L =L 1+L 2+L 3, 其中 L 1: x =x , y =0(0≤x ≤a ), L 2: x =a cos t , y =a sin t )40(π≤≤t ,L 3: x =x , y =x )220(a x ≤≤, 因此ds eds eds eds ey x L y x L y x L y x L22322222122++++⎰⎰⎰⎰++=,⎰⎰⎰+++-++=axa ax dx e dt t a t a e dx e 220222402202211)cos ()sin (01π2)42(-+=a e a π.（2）⎰Γyzds x2，其中Γ为折线ABCD ，那个地址A 、B 、C 、D 依次为点A （0，0，0）、B （0，0，2）、C （1，0，2）、D （1，3，2）.解 Γ=AB +BC + CD , 其中 AB : x =0, y =0, z =2t (0≤t ≤1), BC : x =t , y =0, z =2(0≤t ≤1),CD : x =1, y =3t , z =2(0≤t ≤1),故 yzds x yzds x yzds x yzds x CDBCAB2222⎰⎰⎰⎰++=Γ 903060012221010=++++=⎰⎰⎰dt t dt dt .（3）⎰Lds y 2，其中L 为摆线一拱)2t (0 )cos 1(),sin (π≤≤-=-=t a y t t a x .解⎰⎰'+'--=L dt t a t t a t a ds y π2022222])(cos [])sin ([)cos 1(⎰--=π2023cos 1)cos 1(2dt t t a 315256a =. 3、计算以下对坐标的曲线积分：（1）dx y x L⎰-)(22，其中L 是抛物线2x y =上从点（0，0）到（2，4）的一段弧.解 L : y =x 2, x 从0变到2, 因此 ⎰⎰-=-=-L dx x x dx y x 2042221556)()(. （2）⎰Lxydx ，其中L 为圆周)0( )(222>=+-a a y a x 及x 轴所围成的区域在第一象限内的整个边界（按逆时针方向绕行）.解 L =L 1+L 2, 其中L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , 因此⎰⎰⎰+=21L L L xydx xydx xydx ⎰⎰+'++=adx dt t a a t a t a 200)cos (sin )cos 1(π3020232)sin sin sin (a t td tdt a πππ-=+-=⎰⎰. （3） ⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧。

线面积分习题课

LA

ds
D
推广
(
rotA

k )dxdy
L( A
A(M )为空间向量场

n)ds

divAdxdy
D
推广
A
dS

(rotA
n)dS

(
A

n)ds

divAdv

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
I Pdydz Qdzdx Rdxdy

{
P
,
Q,
R}

{dydz,
dzdx,
dxdy}

A

n0dS

{P,Q, R}{ f x, f y,1}dxdy

将在xoy面投影 {P, Q, R} { fx, f y, 1}dxdy.
算

三代一定
( )
LPdx Qdy

[P(,) Q(,)]dt
二代一定 (与方向有关)
3
与路径无关的四个等价命题
条在单连通开区域D 上 P( x, y),Q( x, y) 具有件连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
Q (e x cos y m) e x cos y x x
即 P Q y x
(如下图)
17
I
y
LOA OA AMOA OA
(Q P )dxdy

线面积分

第十章曲线积分与曲面积分1-1 第一型曲线积分基础题1．光滑曲线(),()()x t t y t =ϕ⎧α≤≤β⎨=ψ⎩的弧微分d s = 。

由此，圆周cos ,(02)sin x R y R =θ⎧≤θ<π⎨=θ⎩的弧微分d s = 。

2．算下列对弧长的曲线积分：（1)⎰+Lds y x )(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；（2)⎰+L y x ds e22，其中L 为圆周222x y R +=，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；3)⎰Γ++ 2221ds zy x ，其中Γ为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上相应于t 从0变到2的这段弧；4)⎰+Lds y x )(22，其中L 为曲线)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x -=+= )20(π≤≤t 。

提高题1．计算2L x ds ⎰，其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周。

1-2 第二型曲线积分基础题1．力(,)((,),(,))F x y P x y Q x y =沿光滑曲线弧L 所做功的微元d W = ，其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续。

2．计算第二型曲线积分 1)⎰L xydx ，其中Ｌ为圆周222()(0)x R y R R -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）。

2）⎰Γ-+++dz y x ydy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线。

(3) 22L xdx ydy x y -++⎰，其中L 是圆周222x y a +=以逆时针方向。

提高题1．计算⎰-++L dyx y dx y x )()(，其中L 是：（1）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；（2）曲线1 1222+=++=t y t t x ，　上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。

第10章曲线积分和曲面积分参考解答

第10章曲线积分和曲⾯积分参考解答1l ()()213122001211418312l xds x ==?+= ()1211212Ll l xds xdsxds =+=+??蜒? （2）()22234Lxy x y ds ++??，L 为椭圆22143x y +=，其周长为a 。

解：()()22222342341212LLy ds xyds x y ds ds a ++=++==蜒蜒注意第⼀类曲线积分的对称性：若曲线关于x （y ）轴对称，⽽被积函数关于y （x ）为奇函数，则曲线积分为零！（3）L，L 为圆周22x y ax +=（0a >）。

解：圆周之参数⽅程为cos 22sin 2a a x t a y t ?=+=??（02t π≤≤），故22200cos22La tdtππ==2222002cos cos cos2a u du a udu udu aππππ（4）Lzds，L为()0 cossin0x t ty t t t tz t==≤≤=解：()322123tLzds t==+-Lx ds，L圆周为2222x y z ax y z++=++=解：因222L L Lx ds y ds z ds==蜒?，故()222223112333L L Lx ds x y z ds a ds aπ=++==蜒?2、计算下列对坐标的曲线积分：（1）()()2222Lx y dx x y dy++-1,1再到点()2,0的⼆线段。

x解：()1:01L y x x=≤≤，()2:212L y x x=-≤≤()()2222LI x y dx x y dy=++-()()()()1222222222L Lx y dx x y dy x y dx x y dy =++-+++-()()()()1222222=++----()122201222x dx x dx =+-??43=（作代换2t x =-，知第⼆个定积分与第⼀个相等）（2）23Lydx xzdy yz dz -+??，L 是圆周2222x y zz ?+=?=?，从z 轴正向看去，该圆周取逆时针⽅向。

高数第十章线面积分习题和答案

⾼数第⼗章线⾯积分习题和答案第⼗章曲线积分曲⾯积分练习题A 组⼀.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则?Lydy e 2=2.设?MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x ⾄点 )1,3(N 的半圆，则积分+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy ⾄点)2,3(B 的曲线段，则++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x ⾄点2,0(B )的曲线段，则+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则?7. 设L 是xoy 平⾯上沿逆时针⽅向绕⾏的简单闭曲线，且9)34()2(=++-?dy y x dx y x L，则L 所围成的平⾯区域D 的⾯积等于8. 常数 k = 时，曲线积分?+Ldy x kxydx 2与路径⽆关。

9.设是球⾯ 1222=++z y x ，则对⾯积的曲⾯积分∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三⾓形围成的线，则对弧长的曲线积分? Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的⼀条线，则-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则+LdS y x 322)(=13. 设为曲⾯2222a z y x =++，则??∑dS z y x 222=⼆、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有⼀阶连续偏导数，⼜L ：? AB 是D 内任⼀曲线，则以下四个命题中，错误的是（）+LQdy Pdx 与路径⽆关，则在D 内必有yPx Q ??≡?? B ．若?Lds A 与路径⽆关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ??≡??，则必有?L ds A ·与路径⽆关。

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9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线，则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++，则⎰⎰∑dS z y x 222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

D ．若对D 内每一闭曲线C ，恒有⎰+CQdy Pdx ，则⎰+LQdy Pdx 与路径无关。

2．已知2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a 等于（）A ．-1B ．0C ．1D ．2 3、设曲线积分()dx x y dx xy Lφ+⎰2与路径无关，其中()x φ具有连续导数，且()00=φ，则()()()dy x y dx xy φ+⎰1,10,02=（）A ．3/8B ．1/2C ．3/4D ．14．设S 是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰Syds 的值是（）A ．0 ;B ．343; C ． 34; D ． 5.设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，记Ω的表面外侧为S ，Ω的体积为V ，则()dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS ++-⎰⎰12222= （）A ．0B ．VC ．2VD ．3V 6. 已知曲线C ：122=+y x 逆时针方向一周，则⎰+-Cy x ydxxdy 22=（）A. 0；B. π2；C. π2-；D. π7. 已知∑为平面1=++z y x 在第一卦限内的下侧曲面，则⎰⎰∑++dxdy z y x )(22=（） A. ⎰⎰-+--+-xdy y x y x dx 10221)1(； B.⎰⎰-+--+xdy y x y x dx 10221)1(C.⎰⎰-+--+xdx y x y x dy 10221)1(； D. ⎰⎰-++-x dy z y x dx 102210)(8. 单连通区域G 内),(y x P ，),(y x Q 具有连续的一阶偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关的充要条件是（）A 在G 内有一闭曲线，使⎰=+γ0Qdy Pdx ；B 在G 内有恒有xy Qy x P ∂∂∂=∂∂∂22 C. 在G 内有另一曲线C ，使⎰⎰+=+LCQdy Pdx Qdy Pdx ；D. 在G 内有恒有yPx Q ∂∂=∂∂ 9. 设为平面1432=++zy x 在第一卦限内的部分，则⎰⎰∑++dS y x z )342(=（） A⎰⎰-)1(30224x dy dx ； B.⎰⎰⋅20304361dy dx ； C.⎰⎰⋅30204361dy dx ； D. ⎰⎰-)1(302023614x dy dx 10. 设L ：12222=+by a x ，则⎰+-L y x ydx xdy 22（）A. 与L 取向无关，与b a ,大小有关；B. 与L 取向无关，与b a ,大小无关；C. 与L 取向有关，与b a ,大小有关；D. 与L 取向有关，与b a ,大小无关；三、计算题1. 计算曲线积分⎰++Ldy x y xdx )(2，其中L 是圆周122=+y x 在第一象限中的部分，依逆时针方向。

2. 计算⎰⎰∑++dxdy ydzdx xdydz 2，其中∑是上半球面222y x a z --=上侧3. 设L 是由63232=++y xy x 所表示的正向椭圆，计算 I = ⎰+++Ldy y xy dx y x )32()3(222 4．计算⎰-L y x ds，L 是点)2,0(-A 与)0,4(B 直线段5．计算()ds y x L⎰+，L 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B ，为顶点的三角形闭回路。

6．计算ds y x L⎰+22，L 为圆周Rx y x =+227．计算ds xy L⎰，L 是圆周222R y x =+的闭路8.计算⎰+Ldy x xydx 22，L 分别为下列三种情形。

1）从点)0,0(O 经x y =到)1,1(A 2）从点)0,0(O 经2x y =到)1,1(A 3）从点)0,0(O 经3x y =到)1,1(A9．计算()d yy x L⎰+22，L 是由直线1=x ,1=y ,3=x ,5=y 围成的逆时针闭路。

10．计算⎰→L dSF ，其中→→→+-=j x i y F ,L 是由x y =,1=x 及0=y 所围成的三角形逆时针闭路。

11．计算xydy dx x y L 21++⎰，L 是由2x y =与x y =，所围成的逆时针闭路。

12.计算()()dy y x dx y xL2222+-+⎰，L 是以)0,0(,)0,1(,)1,0(为顶点的三角形正向闭路。

13.计算()()dy y x dx y x L 22--+⎰，L 是沿椭圆12222=+by a x 的正向闭路。

14.计算()22x y z ds ++⎰⎰∑，∑：平面1=++z y x 15.计算⎰⎰∑++ds z y x )342(，：1432=++z y x 在第一卦限16计算ds x ⎰⎰∑，∑：2222R z y x =++在第一卦限部分。

四．应用题1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。

椭圆t x cos 34+=,t y sin 42+=2.设半径为r 的球面∑的球心在定球面2222a z y x =++ (0>a )上, 问当r 取何值时, 球面∑在定球面内部的哪部分面积最大3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族x a y sin = ,(0>a )中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分()()⎰+++Ldy y x dx y 213的值最小4.求⎰⋂-+-ANCx xdym y e dx my y e)cos ()sin (，式中⋂ANC 为由)0,(a A 至)0,0(O 的ax y x =+22 ()0>a设)(x f 连续可导，求dy xy f y y x dx y xy f y C ]1)([)(1222-++⎰，式中C 是从)32,3(A 到)2,1(B 的直线段。

五证明题1. 设函数f(x)在( -,+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记dy xy f y y x dx xy f y y I C ]1)([)]([1222-++=⎰ （1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值2. 设L 2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：⎰=+-2222L y x ydxxdy π。

A 组答案一、1. 0；2. 0；3. 0提示：)(xy d xdy ydx =+ ；,提示：)2(222y x d ydy xdx +=+；5. 3/10；6. 0；7. 3/2；8. 2；9. π4；10. 22+；11.25；12. 72a π；；二、 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B ；7. A ；8. D ；9. D ；10. D三、1、32a π 3、0 42 5、1+ 6、2R 2 7、32R8、1 9、32 10、1 11、4130-+2ln 2 12、-1 13、2ab π-14 15、 16、34R π四、1、12π 2、2432327S a a π⎛⎫=⎪⎝⎭ 3、sin y x = ()0x π≤≤是使曲线积分的为最小的曲线。

4、218a m π 5、-4 B 组一、填空题：1、设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ,其周长为l ,则=++⎰L dS y x xy )4(22 . 2、设曲线C 为R z x R z y x =+=++与2222的交线，从原点看去C 的方向为顺时针方向，则=++⎰Cxdz zdy ydx .3、计算⎰CdS x 2，其中⎩⎨⎧=++=++0:2222z y x R z y x C .4、设r =()div gradr = .5、设S 为曲面2221x y z ++=的外侧，则222sI x dydz y dxdz z dxdy =++⎰⎰Ò= . 二、解答题：6、计算⎰+-Cyx ydx xdy 22，C 为逆时针方向绕圆周122=+y x 一圈的路径。

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