高数 第十章线面积分习题和答案

第十章曲线积分曲面积分练习题
A 组
一.填空题
1. 设L 是 12
2
=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰L
y
dy e 2
=
2.设⋂
MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分
⎰
⋂
+MN
xdy ydx =
3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则
⎰
++L
y x xdy ydx e )( =
4. 设L 是从)0,1(A 沿12
2
2
=+y x 至点2,0(B )的曲线段，
则
⎰
+L
y x y x dy ye dx xe 2
22 =
5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则
⎰+L
dx y x xy )(3
3 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰
+
+L bdy adx )( =
7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰
dy y x dx y x L
，则L 所围成的
平面区域D 的面积等于
8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰
+L
dy x kxydx 2
与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分
⎰⎰
∑
++ds z y x 222 =
10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰
L
ds =
11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则
⎰-++L
dy y x dx y x )()(=
12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则
⎰
+L
dS y x 322)(=
13. 设为曲面2
2
2
2
a z y x =++， 则⎰⎰∑
dS z y x 2
22=
二、选择题
1．设→
→
+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂
AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）
A ．若
⎰+L
Qdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有
y
P
x Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰
⋅L
ds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，
使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=
C ．若在
D 内
y
P
x Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

D ．若对D 内每一闭曲线C ，恒有
⎰
+C
Qdy Pdx ，则⎰+L
Qdy Pdx 与路径无关。

2．已知
2
)()(y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a 等于（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2 3、设曲线积分
()dx x y dx xy L
φ+⎰
2与路径无关，其中()x φ具有连续导数，且()00=φ，则
(
)
()
()dy x y dx xy φ+⎰1,10,02=（ ）
A ．3/8
B ．1/2
C ．3/4
D ．1
4．设S 是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分
⎰⎰S
yds 的值是（ ）
A ．0 ;
B ．
34
3
; C ． 34; D ． 5.设空间区域Ω由曲面2
2
2
y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，记Ω的表面外侧为S ，Ω的体积为V ，则
()dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x
S ++-⎰⎰12222
= （ ）
A ．0
B ．V
C ．2V
D ．3V 6. 已知曲线C ：12
2
=+y x 逆时针方向一周，则
⎰
+-C
y x ydx
xdy 2
2=（ ）
A. 0；
B. π2；
C. π2-；
D. π
7. 已知∑为平面1=++z y x 在第一卦限内的下侧曲面，则⎰⎰
∑
++dxdy z y x )(22=（ ） A. ⎰
⎰
-+--+-x
dy y x y x dx 10
221
)1(； B.
⎰
⎰
-+--+x
dy y x y x dx 10
221
)1(
C.
⎰
⎰-+--+x
dx y x y x dy 10
2
2
1
)1(； D. ⎰
⎰-++-x dy z y x dx 10
2210
)(
8. 单连通区域G 内),(y x P ，),(y x Q 具有连续的一阶偏导数，则曲线积分⎰+L
Qdy Pdx 与路径无关的充
要条件是（ ）
A 在G 内有一闭曲线 ，使⎰=+γ0Qdy Pdx ；
B 在G 内有恒有
x
y Q
y x P ∂∂∂=∂∂∂22 C. 在G 内有另一曲线C ，使
⎰⎰
+=+L
C
Qdy Pdx Qdy Pdx ；
D. 在G 内有恒有
y
P
x Q ∂∂=∂∂ 9. 设为平面14
32=++z
y x 在第一卦限内的部分，则
⎰⎰∑
+
+dS y x z )3
4
2(=（ ） A
⎰
⎰-)1(30
2
2
4x dy dx ； B.
⎰⎰⋅203043
61
dy dx ； C.⎰⎰⋅30204361dy dx ； D. ⎰⎰-)1(302
023
614x dy dx 10. 设L ：122
22=+b
y a x ，则⎰+-L y x ydx xdy 22（ ）
A. 与L 取向无关，与b a ,大小有关；
B. 与L 取向无关，与b a ,大小无关；
C. 与L 取向有关，与b a ,大小有关；
D. 与L 取向有关，与b a ,大小无关； 三、计算题
1. 计算曲线积分⎰
++L
dy x y xdx )(2
，其中L 是圆周122=+y x 在第一象限中的部分，依逆时针方向。

2. 计算
⎰⎰∑
++dxdy ydzdx xdydz 2，其中∑是上半球面222y x a z --=
上侧
3. 设L 是由63232=++y xy x 所表示的正向椭圆，
计算 I = ⎰
+++L
dy y xy dx y x )32()3(2
22 4．计算
⎰-L y x ds
，L 是点)2,0(-A 与)0,4(B 直线段
5．计算()ds y x L
⎰+，L 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B ，为顶点的三角形闭回路。

6．计算ds y x L
⎰
+22，L 为圆周Rx y x =+22
7．计算ds xy L
⎰
，L 是圆周222R y x =+的闭路
8.计算
⎰+L
dy x xydx 2
2，L 分别为下列三种情形。

1）从点)0,0(O 经x y =到)1,1(A 2）从点)0,0(O 经2x y =到)1,1(A 3）从点)0,0(O 经3x y =到)1,1(A
9．计算
()
d y
y x L
⎰+22
，L 是由直线1=x ,1=y ,3=x ,5=y 围成的逆时针闭路。

10．计算⎰→
L dS
F ，其中→
→
→
+-=j x i y F ,L 是由x y =,1=x 及0=y 所围成的三角形逆时针闭路。

11．计算xydy dx x y L 21++⎰，L 是由2x y =与
x y =，所围成的逆时针闭路。

12.计算
()()
dy y x dx y x
L
2222
+-+⎰，L 是以)0,0(,)0,1(,)1,0(为顶点的三角形正向闭路。

13.计算(
)(
)
dy y x dx y x L 2
2
--+⎰，L 是沿椭圆122
22=+b
y a x 的正向闭路。

14.计算
()22x y z ds ++⎰⎰∑
，∑：平面1=++z y x 15.计算⎰⎰∑
++
ds z y x )342(，：14
32=++z y x 在第一卦限
16计算
ds x ⎰⎰
∑
，∑：2
222R z y x =++在第一卦限部分。

四．应用题
1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。

椭圆t x cos 34+=,t y sin 42+=
2.设半径为r 的球面∑的球心在定球面2
2
2
2
a z y x =++ (0>a )上, 问当r 取何值时, 球面∑在定球面内
部的哪部分面积最大
3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族x a y sin = ,(0>a )中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分
()()⎰+++L
dy y x dx y 213
的值最小
4.求
⎰⋂
-+-ANC
x x
dy
m y e dx my y e
)cos ()sin (，式中⋂
ANC 为由)0,(a A 至)0,0(O 的ax y x =+2
2 ()0>a
设)(x f 连续可导，求dy xy f y y x dx y xy f y C ]1)([)(1222-++⎰，式中C 是从)3
2
,3(A 到)2,1(B 的直线段。

五 证明题
1. 设函数f(x)在( -,+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，
终点为),(d c ，
记dy xy f y y x dx xy f y y I C ]1)([)]([122
2-++=
⎰ （1） 证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值
2. 设L 2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：
⎰
=+-2
22
2L y x ydx
xdy π。

A 组答案
一、1. 0；2. 0；3. 0提示：)(xy d xdy ydx =+ ；,提示：)2
(22
2
y x d ydy xdx +=+；5. 3/10；6. 0；7. 3/2；
8. 2；9. π4；10. 22+；11.
2
5
；12. 72a π；； 二、 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B ；7. A ；8. D ；9. D ；10. D
三、1、32a π 3、0 42 5、1+ 6、2R 2 7、32R
8、1 9、32 10、1 11、41
30
-+2ln 2 12、-1 13、2ab π-
14 15、 16、34R π
四、1、12π 2、2
432327
S a a π⎛⎫=
⎪⎝⎭ 3、sin y x = ()0x π≤≤是使曲线积分的为最小的曲线。

4、2
18
a m π 5、-4 B 组
一、填空题：
1、设L 是顺时针方向的椭圆
14
22
=+y x ,其周长为l ,则=++⎰L dS y x xy )4(22 . 2、设曲线C 为R z x R z y x =+=++与2
2
2
2
的交线，从原点看去C 的方向为顺时针方向，则
=++⎰
C
xdz zdy ydx .
3、计算⎰C
dS x 2
，其中⎩⎨⎧=++=++0:2
222z y x R z y x C .
4、设r =
()div gradr = .
5、设S 为曲面2
2
2
1x y z ++=的外侧，则222
s
I x dydz y dxdz z dxdy =++⎰⎰Ò= . 二、解答题：
6、计算
⎰
+-C
y
x ydx xdy 2
2，C 为逆时针方向绕圆周12
2=+y x 一圈的路径。

7、设函数)(t f 具有连续的二阶导数，且1)1()1(='=f f ，试确定函数)(x
y f ，使
0)]([)]([2='-++⎰dy x
y
f x y dx x y xf x y L ，其中L 是不与y 轴相交的简单正向闭路径。

8、计算
⎰⎰
∑
-+-xzdxdy xydzdx dydz x 48)1(22
，其中∑是由曲线)0(a y e x y ≤≤=绕x 轴旋转成的旋转曲面。

9、空间立体V 由x z z y x +==≤+2,0,12
2
所围成，V S 为的边界面。

（1）求曲面积分
⎰⎰S xdS ；
（2）若S 有均匀密度ρ（常数），求M S 的质量。

10、设)(u f 为连续函数，C 为xOy 平面上逐段光滑的闭曲线，证明：
⎰
=++C
ydy xdx y x f 0))((22
B 组答案：1．l 4 2．222R π-
3．332R π 4．23 5．12
5
π
6．π2 7．1)()()(2
3+-=x
y x y x y f 8．)1(222-a
e
a π 9．(1)π；(2)5)ρπ。