线面积分的计算

z = R2 − x2 − y2的上侧.
z
提示: 以半球底面 ∑0 为辅助面,
∑
且取下侧 , 记半球域为 Ω , 利用 高斯公式有
o
y
x ∑0
原式 = ∫∫∫Ω 3d x d y d z − ∫∫∑0 xdydz + ydzdx + zdxdy
= 3⋅ 2π R3 − 0 = 2π R3
3
P185 题4(2) , P185 题 9 同样可利用高斯公式计算.
(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:
∫ I2 =
(x2 − y + y2 )d x + (y2 − x)d y
L
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思考题解答:
y
∫ (1) I1 =
(x2 − 3 y)d x + (y2 − x)d y
L
C
L
= ∫L+ AB − ∫AB
D
B o Ax
∫∫ = −2 d x d y + 2 a3 = a2 (2 a − π )
习题课 线面积分的计算
第十章
一、 曲线积分的计算法 二、曲面积分的计算法
一、曲线积分的计算法
1. 基本方法 曲线积分
第一类 第二类
( (
对弧长 对坐标
) )
⎭⎬⎫
转化
定积分
用参数方程
(1) 统一积分变量 用直角坐标方程
用极坐标方程
第一类: 下小上大 (2) 确定积分上下限 第二类: 下始上终
练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)
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2. 基本技巧
(1) 利用对称性及重心公式简化计算
(2)
利用高斯公式
⎧ ⎨
注意公式使用条件
⎩ 添加辅助面的技巧
(辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化
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练习: P185 题4(3)
计算∫∫∑ x d y d z + y d z d x + z d x d y,其中 ∑ 为半球面
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例3. 设 ∑ 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为∑的
单位外法向向量, 试证 ∫∫Σ cos( n , a ) d S = 0.
证明: 设 n = (cosα , cos β , cosγ )
a 0 = (cosα ′ , cos β ′ , cosγ ′) (常向量)
− ∫BA(x2 − y) d x + ( y2 − x) d y
∫ = ∫∫D 0 ⋅ d x d y −
a x2 dx = − 2 a3
−a
3
y
C
L
D
B o Ax (利用格林公式)
思考:
(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:
∫ I1 = L (x2 − 3 y) d x + ( y2 − x) d y
中∑ 是球面 x2 + y2 + z 2 = 2x + 2z .
解: I = ∫∫Σ[ (x2 + y2 + z2 ) +2xy + 2 yz ]dS
= ∫∫Σ (2x + 2z) d S + 2∫∫Σ (x + z)ydS
用重心公式
利用对称性
= 2(x + z) ∫∫Σ d S + 0
= 32π
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则 ∫∫Σ cos( n ,a ) d S = ∫∫Σ n ⋅ a 0 dS
= ∫∫Σ( cosα cosα ′ + cos β cos β ′ + cosγ cosγ ′ )d S
= ∫∫Σ cosα ′dydz + cos β ′dzdx + cosγ ′dxdy
=
∫∫∫Ω
[
∂ ∂x
(
cosα
′)
D
3
3
(2)I2 = ∫L (x2 − y + y 2 ) d x + ( y2 − x) d y
∫ ∫ = (x2 − y) d x + (y2 − x)dy + y2 dx
L
L
L : x = a cost, y = a sin t, t : 0 → π
∫ = I − π a3 sin3 t d t = − 2 a3− 2a3 ⋅ 2 ⋅1 = −2a3
D: x + y ≤1
= −2∫∫D (x − y + 6) dxdy = −12 ∫∫D dxdy
= −24
y
1
D o 1x
D 的形心 x= y=0
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作业
P184
3 (2) , (4) ; 3 (2)
0
π sin 2 td t
0
=π a2
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P185
6
.
设在右半平面
x
>
0
内,
力
F
=
−
k
ρ3
(x
,
y)
构成力场,其中k 为常数,ρ = x2 + y2 , 证明在此力场中
场力所作的功与所取的路径无关.
提示: F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为
∫ W =
L
−
k
ρ3
0
3
3
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练习题: P184 题 3(5) ; P185 题6; 10
∫ 3(5). 计算 I = (ex sin y − 2 y) d x + (ex cos y − 2)dy, L
其中L为上半圆周 (x − a)2 + y2 = a2 , y ≥ 0,沿逆时针方向. 提示:
例7. 设L 是平面 x + y + z = 2 与柱面 x + y = 1的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算
∫ I = ( y2 − z2 ) dx + (2z2 − x2 )dy + (3x2 − y2 )dz L
解: 记 Σ 为平面 x + y + z = 2 上 L 所围部分的上侧, D为Σ在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式 z
1
1
1
Σ
3
3
3
I = ∫∫ ∂
Σ
∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
dS
L
y2 − z2 2z2 − x2 3x2 − y2
=−
2 3
∫∫Σ
(4
x
+
2
y
+
3z)dS
Do y x
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I
="= −
2 3
∫∫Σ
(4
x
+
2
y
+
3z
)dS
Σ : x + y + z = 2, (x, y) ∈ D
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∫ P184 3(6). 计算 Γ xyzdz , 其中Γ由平面 y = z 截球面
x2 + y2 + z2 = 1所得, 从 z 轴正向看沿逆时针方向.
提示: 因在 Γ上有 x2 + 2 y2 = 1 , 故
源自文库
z
x = cost
Γ:
y = 1 sin t
2
( 0 ≤ t ≤ 2π )
∂Q = −1 = ∂P
∂x
∂y
这说明积分与路径无关, 故
y
C
L
I = ∫AB (x2 − y) d x + ( y2 − x)dy B o A x
=
∫
−a a
x2
d
x
=
−
2 3
a3
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解法2 添加辅助线段 BA,它与L所围区域为D, 则
I = ∫L+BA(x2 − y) d x + ( y2 − x) d y
o
z=
1 2
sin
t
原式 = 2 12 ∫02π cos2 t sin 2 td t
x
1y
=
1 22
⋅
π
4∫0
2
cos2
t
(1 −
cos2
t)d
t
=
2 ⎜⎝⎛
1 2
⋅π
2
−
3 4
⋅
1 2
⋅π
2
⎟⎠⎞
=
2π
16
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2. 基本技巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ; (2) 利用积分与路径无关的等价条件; (3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ; (5) 利用两类曲线积分的联系公式 .
1. 基本方法
曲面积分
⎧ ⎨ ⎩
第一类( 第二类(
对面积 对坐标
) )
⎭⎬⎫
转化
二重积分
(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程
(2)
积分元素投影
⎧ ⎨ ⎩
第一类: 第二类:
始终非负 有向投影
(3) 确定二重积分域 — 把曲面积分域投影到相关坐标面
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思考题
1) 二重积分是哪一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.
2
−π2
a2 cos2 θ ⋅ a dθ = 2a2
说明: 若用参数方程计算, 则
y r
L:
x
=
a 2
(1
+
cos
t)
y
=
a 2
sin
t
(0
≤t
≤
2π
)
o
θ
t ax
d s = x2 + y 2 d t = a d t
2
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∫ P184 3(3). 计算 (2a − y)d x + xd y, 其中L为摆线 L x = a(t − sin t) , y = a(1− cost)
上对应 t 从 0 到 2π 的一段弧.
提示: (2a − y) d x + x d y = a(1+ cos t) ⋅ a(1− cos t) d t
+ a(t − sin t) ⋅ a sin t d t
= a2t sin t d t
∴
原式
=
a
2
∫
2π
0
t
sin
td
t
= a2[ − t cos t − sin t ]02π = −2π a2
2) 设曲面 ∑ : z = 0 , (x, y) ∈ D , 问下列等式是否成立?
∫∫Σ f (x, y, z) d S = ∫∫D f (x, y,0) d xdy ∫∫Σ f (x, y, z) d x d y = ∫∫D f (x, y,0) d xdy
不对 ! 对坐标的积分与 ∑ 的侧有关
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解答提示: P184 3 (1)
∫ 计算 x2 + y2 ds , 其中L为圆周 x2 + y2 = ax.
L
提示: 利用极坐标 ,
L : r = a cosθ
(−π ≤θ ≤ π )
2
2
ds = r2 + r′2 dθ = a dθ
∫ ∫ 原式 = L
π
ax ds =
∫ ∫ I = ex sin y d x + (ex cos y − 2)dy − 2 ydx
L
L
∫ ∫ ∫ =
− − 2 ydx
L+ AB AB
L
y L
L
:
⎩⎨⎧xy
= =
a (1+ cos a sin t
t)
t:0→π
D
oA a B x
∫ ∫ = ∫∫D 0d x d y −
2a
0d x
+
2a2
(x
d
x
+
y
d
y)
令
P
=
−
k
ρ
x
3
,
Q
=
−
k
ρ
y
3
易证
∂P ∂y
=
−
3k x
ρ5
y
= ∂Q ∂x
( x >0)
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P185 10. 求力 F = ( y , z , x)沿有向闭曲线 Γ 所作的
功, 其中 Γ 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三
角形的整个边界, 从 z 轴正向看去沿顺时针方向.
dz
+
y
dzdx
+
z
dxdy
思考: 计算 ?
=
1 R3
∫∫∫Ω
3d
x
d
y
d
本题 ∑ 改为椭球面
z
= x2
a2
4π
+
y2 b2
+
z2 c2
= 1时,
应如何
提示: 在椭球面内作辅助小球面 x2 + y2 + z2 = ε 2 取
内侧, 然后用高斯公式 .
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例6. 计算曲面积分 I = ∫∫Σ[(x + y)2 + z2 + 2 yz ]d S,其
∴
I
=
2 3
∫Γ (x2
+
y2
+
z2 )ds
=
2 3
a2
∫Γ d
s
=
4π
3
a3
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∫ 例2. 计算I = (x2 − y) d x + (y2 − x)dy, 其中L 是沿逆 L
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.
解法1 令 P = x2 − y, Q = y2 − x, 则
提示: 方法1
z
W = ∫Γ y d x + z d y + x d z
B
利用对称性
∫ = 3 y d x + z d y + xdz AB
oC
A
y
x
∫ = 3 x d z AB
∫ = 3
1
(1− z)dz
=3
0
2
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方法2 利用斯托克斯公式
设三角形区域为∑ , 方向向上, 则
+
∂ ∂y
(
cos
β
′)
+
∂ ∂z
(
cos
γ
′)
]d
v
=0
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例4. 计算曲面积分
I
=
∫∫Σ
x r3
d
yd
z
+
y r3
d
zd
x
+
z r3
d
xd
y
其中, r = x2 + y2 + z2 , Σ : x2 + y2 + z2 = R2 取外侧.
解:
I
=
1 R3
∫∫Σ
xdy
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例1. 计算I = ∫Γ (x2 +y +z2 ) ds, 其中Γ 为曲线
⎧ ⎨
x
⎩
2
+y x+
2
y
+ +
z z
2 =a =0
2
解: 利用轮换对称性 , 有
z
Γ
y
o
∫Γ x2 ds = ∫Γ y2 ds = ∫Γ z2 ds
x
利用重心公式知 ∫Γ y ds = y ∫Γ ds = 0 (Γ的重心在原点)
W = ∫Γ y d x + z d y + x d z
1
11
3
33
∫∫ = −
∑
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
dS
yz x
=
−
1 3
∫∫∑
(−3)
d
S
∫∫ = 3
3dxd y = 3
Dxy
2
z
B
G n
oC
A
y
x
Σ:x+ y+ z =1
n = 1 (1, 1, 1)
3
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二、曲面积分的计算法